Vortragsliste - Goethe

Goethe–Universität Frankfurt
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Jakob Stix
Martin Lüdtke
Aus dem Buch der Beweise
L3-Seminar Mathematik — Sommersemester 2017
für L3
Ort: RM10, 404 — Zeit: Di 14-16 — Erster Termin: 25. April, 2017
You don’t have to believe in God, but you should believe in The Book.
—Paul Erdős
Im Seminar sollen ausgewählte Kapitel aus dem BUCH der Beweise [AZ] vorgestellt werden. Das Buch enthält eine Sammlung von besonders eleganten Beweisen aus den Bereichen
Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, Kombinatorik und Graphentheorie. Es geht zurück auf die
Vorstellung des Mathematikers Erdős von einem Buch, welches die schönsten Beweise zu allen
mathematischen Sätzen enthält.
Jeder Seminarvortrag wird ein Kapitel aus [AZ] zum Thema haben. Die verschiedenen Themen sind voneinander unabhängig und sind mit Grundkenntnissen des Mathematikstudiums
verständlich. Beispiele von behandelten Fragen sind:
• Das Museumswächterproblem: An wie vielen Punkten muss man Wächter platzieren, um
ein Museum in Form eines Polygons mit n Ecken vollständig zu überwachen?
• Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat: Welche natürlichen Zahlen n lassen sich als Summe
von zwei Quadraten n = a2 + b2 darstellen?
• Wie viele Simplizes lassen sich im Rd anordnen, so dass je zwei sich an einer Seitenfläche
berühren?
• Hat R2 mehr Elemente als R?
• Das Nadelproblem von Buffon: Lässt man eine Nadel auf ein liniertes Papier fallen, mit
welcher Wahrscheinlichkeit kreuzt sie eine der Linien?
Eine schriftliche Ausarbeitung des Vortragsthemas ist mindestens eine Woche vor dem Vortrag
abzugeben.
Vorkenntnisse: Grundlagenkenntnisse in Linearer Algebra und Analysis
Was man lernt: Ausgewählte Juwelen der Mathematik
Version: 27. April 2017
2
(1) Katharina Liebs
(25. April 2017)
Unendlichkeit der Primzahlen. Euklids klassischer Beweis, Eulers Beweis mittels
Analysis, Fürstenbergs topologischer Beweis.
[AZ], Kapitel 1, Beweise 1,4,5.
(2) Yildiz Kotan (entfällt)
(2. Mai 2017)
Abzählbarkeit. Hilberts Hotel, Abzählbarkeit von N ∪ {x} und Z, Diagonalaufzählung
von Q+ , abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist abzählbar, Calkin-WilfBaum, Nachfolgerfunktion für die Calkin-Wilf-Aufzählung.
[AZ], Kapitel 16.
(3) Philipp Schreck (entfällt)
(9. Mai 2017)
Überabzählbare Mengen und Schröder-Bernstein. Nichtabzählbarkeit von R mittels Cantors Diagonalisierungsmethode (Satz 1), Bijektion zwischen (0, 1] und [0, 1],
Gleichmächtigkeit von R und R2 (Satz 2), Satz von Schröder-Bernstein (Satz 3).
[AZ], Kapitel 16.
(4) Johanna Häuser
(23. Mai 2017)
Die Eulersche Polyederformel. Graphen ([AZ], Kapitel 9 Anhang), Dualgraph, Beweis der Eulerschen Polyederformel, Satz von Pick über Flächeninhalte von ganzzahligen
Polygonen.
[AZ], Kapitel 11.
(5) Jonathan Vogt
(30. Mai 2017)
Museumswächter. Wie viele Wächter braucht man mindestens, um ein Museum in
Form eines Polygons mit n Kanten zu überwachen? Beispiel, in dem bn/3c Wächter
nötig sind, Beweis, dass bn/3c Wächter ausreichen.
[AZ], Kapitel 31.
(6) Juri Müller
(6. Juni 2017)
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat. Keine Zahl der Form n = 4m + 3 ist Summe
zweier Quadrate (Lemma 2), Primzahlen der Form p = 4m + 1 sind darstellbar (zweiter
Beweis mittels Involutionen), Lösbarkeit der Gleichung s2 ≡ −1 (mod p) (Lemma 1), n
ist genau dann darstellbar, wenn alle Primfaktoren der Form p = 4m + 3 mit gerader
Vielfachheit auftreten.
[AZ], Kapitel 4.
(7) Nazan Köksal
(13. Juni 2017)
Simplexe, die einander berühren. Was ist die maximale Zahl f (d) von Simplexen,
die sich im Rd so anordnen lassen, dass je zwei sich in einer (d − 1)-dimensionalen
Fläche berühren? Beweis für f (d) < 2d+1 (Satz 2), Beweis für f (d) ≥ 2d durch induktive
Konstruktion einer Beispielanordnung (Satz 1).
[AZ], Kapitel 11.
(8) Julia Huth
(27. Juni 2017)
2
r
Einige irrationale Zahlen. Irrationalität von e, e , e für r ∈ Q \ {0} (Satz 1), π 2
(Satz 2).
[AZ], Kapitel 6.
Der Termin am 20. Juni fällt aus.
(9) Teresa Arconada
(11. Juli 2017)
Das Nadelproblem von Buffon. Lässt man eine Nadel der Länge ` auf ein liniertes
Papier mit Linienabstand d ≥ ` fallen, so kreuzt sie mit Wahrscheinlichkeit π2 d` eine
3
der Linien. Beweis durch Verallgemeinerung auf Polygonzüge, direkter Beweis mittels
Analysis.
[AZ], Kapitel 21.
(10) Jonas Milke
(18. Juli 2017)
P∞ 1
Das Basler Problem. Zwei Beweise für die Eulersche Reihe n=1 n2 = π 2 /6: mittels
Berechnung eines Doppelintegrals (erster Beweis), mittels einer Identität für die Kotangensfunktion (dritter Beweis).
[AZ], Kapitel 7.
Literatur
[AZ]
Aigner, M., Ziegler, G. Das BUCH der Beweise, Springer 2004