Zeitreihen unter strikter Exogenität - Philipps

KAP 6: Zeitreihen unter strikter Exogenität
I
K.H. Schild
24. Mai 2017
Jahr
1948
1949
1950
1951
..
.
1998
1999
2000
2001
2002
2003
1 / 38
In diesem Kapitel ...
I
I. Grundlegendes zur Ökonometrie von Zeitreihen
I
I
Inflationsrate
8.1
-1.2
1.3
7.9
..
.
1.6
2.2
3.4
2.8
1.6
2.3
Arbeitslosenquote
3.8
5.9
5.3
3.3
..
.
4.5
4.2
4.0
4.7
5.8
6.0
3 / 38
Zeitreihen als Pfade von stochastischen Prozessen
I
I
Was sind Zeitreihen?
Zeitreihen(daten) entstehen,
indem man gewisse Variablen,
sagen wir Y , X1 , . . . ,XK
über einen gewissen Zeitraum in konstantem zeitlichen Abstand erfasst.
Zeitlicher Abstand“ kann z.B. sein: 1 Jahr, 1 Quartal, 1 Monat, 1 Tag, 1 Stunde
”
I Indizieren wie die Zeitpunkte durch t = 1, 2, . . . , T , ...
... bekommen wir die Zeitreihen
yt , xt,1 , . . . xt,K .
I Wir bekommen ein Sample“ wie bei Querschnittsdaten, nur ist der Index für die
”
Beobachtungseinheit jetzt ein Zeitpunkt t, nicht das Individuum i
Beispiel: Jahresdaten, yt = Inflationsrate INFLR, xt = Arbeitslosenquote UNEMPLR
Bei Zeitreihen ist der datengenerierende Prozess ein stochastischer Prozess.
Ein stochastischer Prozess ist eine Folge von Zufallsvektoren
(Z t )t=1,...,T ,
Was sind Zeitreihen(daten)?
Was ist ein Regressionsmodell für Zeitreihendaten?
Was ist anders bei Zeitreihen als bei Querschnittsdaten?
Welche Möglichkeiten bieten Zeitreihen gegenüber Querschnittsdaten?
(Lags von erklärenden Variablen, autoregressive Modelle, Differenzen,
Deterministische Fkt.nen der Zeit)
I
I
II. Übertragung der OLS-Small-Sample-Theorie auf Zeitreihen
(Wann kann man Zeitreihen- wie Querschnittsdaten behandeln?)
I
1. OLS-Unverzerrtheit bei Zeitreihen nur unter strikter Exogenität sichergestellt
2. Effizienz (OLS ist der BLUE) unter Homoskedastie“ und keine Fehler-Autokor.“
”
”
3. Exakte Tests benötigen darüber hinaus auch noch normalverteilte Fehler
III. Deterministische Trends (Einiges zu Trend- und Saison-Bereinigung)
IV. Hodrick-Prescott-Filter
z.B. Z t = (Yt , Xt , Ut )
Die Zeitreihen yt , xt , ut sind Realisierungen (Pfade) des stochastischen Prozesses
Der entscheidende Punkt bei Zeitreihen ist:
– Es kann nicht nur Yt mit Xt korrelieren
(intratemporale Korrelation)
– sondern es kann auch Xt mit Xt−1 oder mit Xt−4 korrelieren
– oder es kann Xt mit Ut−1 korrelieren
(intertemporale Korrelation)
Denn wir können nicht annehmen, dass Z t unabhängig ist von Z s für s 6= t
Beschreibung des Prozesses umfasst die gemeinsame Verteilung der Variablen (Z 1 , . . . , Z T )
I
Also: Was ist das Besondere bei Zeitreihen-Regressionen?
1. Wir haben i.d.R. intertemporale Korrelation
innerhalb jeder einzelnen Variable (Autokorrelation, z.B. Xt korreliert mit Xt−1 )
und auch zwischen verschiedenen Variablen (z.B.: Xt korreliert mit Ut−1 )
(Dagegen Querschnittsdaten: Nur Korrelation zwischen Variablen der gleichen Beob.Einheit)
2. Wir beobachten i.d.R. genau eine Realisierung des stochastischen Prozesses
(Wir können die Zeit nicht zurückdrehen, und den Prozess nochmal ablaufen lassen)
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Zeitreihenregressionen
I
Zwei Typen von Zeitreihenmodellen
Wenn wir Daten der betreffenden Zeitreihen haben, ...
... können wir – rein technisch – ein lineares Regressionsmodell
Grobunterteilung der Zeitreihenmodelle in:
I
Yt = β0 + β1 Xt,1 + . . . + βK Xt,K + Ut
Statische Modelle:
Die zu erklärende Variable yt wird nur durch kontemporäre Variablen
xt,1 , . . . , xt,K erklärt.
I
mit OLS schätzen ...
... als ob wir Querschnittsdaten hätten.
I
Allerdings ignorieren wir dabei vollständig, wie die Daten entstanden sind.
(Wir tun dabei so, als ob die Zeitreihendaten einer Zufallsziehung aus einer
Population entstammen, was sicher nicht der Fall ist)
I
Mindestens sollte uns klar sein, ...
unter welchen Voraussetzungen sichergestellt ist, ...
dass OLS eine gute (z.B. unverzerrte) Schätzung liefert.
I
I
I
Außerdem: Wenn wir den Zeitreihencharakter außer Acht lassen, ignorieren wir,
dass Zeitreihen viele neue Möglichkeiten für Regress.modelle bieten:
Beispiel (1): infrtet = β0 + β1 unempt + ut (Klassische Philipps-Kurve)
infrte = Jährliche Inflationsrate, unemp = Arbeitslosenquote. Modell fragt nach
dem (kontemporären) Einfluss der Arbeitslosenq. auf die Inflat.rate.
Beispiel (2): mrdrtet = β0 + β1 convrtet + β2 unempt + ut
mrdrte = Zahl der Morde pro 10 000 Einwohner (in einer bestimmten Großstadt)
convrte = Aufklärungsquote (conviction rate) von Morden
unemp = (lokale) Arbeitslosenquote
Modell fragt nach dem dem Einfluss der Aufklärungsquote auf die Mordquote.
Dynamische Modelle:
Die zu erklärende Variable yt wird auch durch vergangene (‘lagged’) Variablen
erklärt, z.B. xt,1 = zt und xt,2 = zt−1 .
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Möglichkeiten, die (nur) Zeitreihenregressionen bieten
I
I
I
I
I
Verzögerte ( lagged“) erklärte Variablen
”
z.B: INFLRTEt auf UNEMPLRt und UNEMPLRt−1
Verzögerte erklärte Variable als erklärende Variable: Autoregression
z.B: INFLRt auf INFLRt−1 , UNEMPLRt und UNEMPLRt−1
Wir können das Modell in Differenzen betrachten
z.B: ∆INFLRt auf ∆UNEMPLRt
[∆yt := yt − yt−1 ]
Wir können beides mischen
z.B.: ∆INFLRt auf ∆INFLRt−1 , ∆UNEMPLRt , und ∆UNEMPLRt−1
Wir können Funktionen der Zeit t einfügen, z.B.
Linearer Trend: t selbst als erklärende Variable
Quadratischer Trend: t und t2 als erklärende Variable
Saison-Dummies als erklärende Variable (z.B. je ein Dummy für 1., 2., 3. Quartal)
Stetige Saison-Funktionen: sin(2πωt), cos(2πωt) als erklärende Variablen
0, wenn t < tEVENT
Event-Dummies: xt =
als erklärende Variablen
1, wenn t ≥ tEVENT
⇒ Unzahl an Möglichkeiten der Modellspezifikation bei Zeitreihen-Regressionen
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Dynamische Modelle
I
In vielen Fällen:
Verzögerte Wirkung einer erklärenden Variable (jetzt z genannt) auf y,
Mögliche Gründe: technisch, biologisch, ökonomisch (Dauer von Entscheidungsund Anpassungsprozessen) usw.
I
Bei einem dynamischen Modell (oder finite-distributed-lag Modell oder
FDL-Modell oder auch FDL(q)-Modell) handelt es sich um ein Modell der Form
yt = α0 + δ0 zt + δ1 zt−1 + . . . + δq zt−q + ut
wobei q für die größte berücksichtigte Verzögerung (engl: Lag) steht.
I
Natürlich auch möglich: Weitere erklärende Variablen (kontemporär oder
ebenfalls verzögert).
I
Auch denkbar: Verzögertes y als erklärende Variable (autoregressives Modell)
Schließen wir hier aber noch aus – das würde die strikte Exogenitätsannahme
verletzen.
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Beispiel:
Geburtenrate (gfr) erklärt durch das Kindergeld (pe)
Einflussmessung: Kurz- und langfristiger Multiplikator
I
Gegeben dynamisches Modell
yt = α0 + δ0 zt + δ1 zt−1 + . . . + δq zt−q + ut ,
gfrt = α0 + δ0 pet + δ1 pet−1 + δ2 pet−2 + β1 pillt + ut
I
I
wobei:
gfr = Allgemeine Fertilitätsrate
(Zahl der Neugeborenen pro 1000 Frauen im Alter 18-45)
pe = Realer Wert der ‘personal tax exemption’ (’Kinderfreibetrag’, Kindergeld)
pill = 0 falls t < 1963, 1 falls t ≥ 1964
Wie kann man den Einfluss von z auf y messen?
I
δ0 heißt kurzfristiger Multiplikator (short run multiplier od. impact multiplier )
(gibt den Effekt an, den eine Änderung von zt um ∆zt = 1 auf yt in der gleichen
Periode t hat, wenn vorher z unverändert war)
I
Die Summe aller δ’s,
LRP =
Modell adressiert die Frage, welchen Einfluss das Kindergeld auf die Geburtenrate
hat.
Xq
j=0
δj
wird als langfristiger Multiplikator bezeichnet
(long run multiplier oder long run propensity = LRP) bezeichnet.
Schon aus biologischen Gründen ist es sinnvoll, pe verzögert einzubeziehen.
I
I
Die LRP gibt an, wie eine permanente Erhöhung von z auf y wirkt.
Theoretisch müsste man dazu q = ∞ wählen. Aber: Schätzung des LRP ändert
sich oft nicht sehr, wenn ein (genügend) großes q weiter vergrößert wird.
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Einschub: Schätzung von dynam. Modellen in EViews
Verwendung von lagged-Variablen in EViews:
Um also das Modell:
Beispiel: Geburtenrate (gfr) erklärt durch das
Kindergeld (pe)
x(-1) für xt−1 usw.
gfrt = α0 + δ0 pet + δ1 pet−1 + δ2 pet−2 + β1 pillt + ut
I
in EViews zu schätzen, die Gleichung wie folgt eingeben:
c
gfr
t
gfr c pe pe(-1) pe(-2) pill
Die Schätzung mit US-amerik. Daten 1913-1984 ergibt (beachte Datenreduktion!):
Dependent Variable: GFR
Method: Least Squares
Date: 04/07/10 Time: 21:36
Sample (adjusted): 1915 1984
Included observations: 70 after adjustments
C
PE
PE(-1)
PE(-2)
PILL
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
I
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
96.37813
-0.079600
-0.029238
0.189525
-30.20776
3.353547
0.104015
0.159081
0.103682
4.043297
28.73916
-0.765276
-0.183791
1.827941
-7.471071
0.0000
0.4469
0.8547
0.0721
0.0000
0.465296
0.432392
14.62256
13898.25
-284.5115
14.14067
0.000000
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
94.77429
19.40881
8.271757
8.432364
8.335552
0.135670
OLS-Schätzung mit den Daten von 1913-1984 (USA) lieferte:
I
=
96.3
− 0.08 pet
(3.35)
(0.10)
T = 70, R2 = 0.47
− 0.03 pet−1
(0.16)
+ 0.19 pet−2
(0.10)
− 30.2 pillt
(4.04)
[ ≈ 0.19 − 0.03 − 0.08 = 0.08.
Die geschätzte long run propensity beträgt LRP
Das heißt: Bei einer dauerhaften Erhöhung der personal tax exemption lässt jeder
zusätzliche Dollar pe eine Erhöhung der Geburtenrate um 0.08 erwarten.
(Die pe schwankt um einen Mittelwert von 100$, die Geburtenrate gfr hat einen
Mittelwert von ca. 95 und schwankt zwischen min. 65 und max. 125. Das recht hohe R2
entsteht nur aufgrund der Berücksichtigung des Time-Dummies pill. )
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Abschnitt II. Übertragung der
OLS-Small-Sample-Theorie auf Zeitreihen
I
Zunächst: Formulierung von GM-Annahmen
I
Dann: Welche GM-Annahme wird für welches Qualitätsmerkmal“ der
”
OLS-Schätzung benötigt?
Annahme TS3: Strikte Exogenität der Regressoren
Unter strikter Exogenität verstehen wir inhaltlich folgendes:
Der Störterm hat zu jedem Zeitpunkt t einen erwarteten Wert von 0
und keinen systematischen Zusammenhang mit einer der erklärenden
Variablen zu irgendeinem Zeitpunkt s (weder dem gleichen noch
einem vergangenen oder zukünftigen)
Lässt sich mathematisch wieder mit drei Konstrukten fassen:
Gauß-Markov-Annahme TS3.1: Strikte Exogenität
Der Störterm ut hat einen erwarteten Wert von 0 und ist stochastisch unabhängig von
allen Zufallsvariablen xs,1 , . . . , xs,K zu allen Zeitpunkten s:
E[u] = 0 und u ist stochastisch unabhängig von X
← “Zufallsmatrix“
wobei X die Gesamtheit der Zufallsvariablen (xs,1 , . . . , xs,K )s=1,...,T bezeichnet.
bzw.
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Annahmen TS1 (Lineares Modell),
TS2 (Keine perfekte Kollinearität)
Annahme TS3: Strikte Exogenität der Regressoren
(Forts)
Analog zu den Gauß-Markov-Annahmen formulieren wir Standard-Annahmen im
Kontext von Zeitreihen-Regressionen:
Gauß-Markov-Annahme TS1: Lineares Modell
Der stochastische Prozess (xt,1 , . . . , xt,K , yt )t=1,...,T folgt dem Modell
Gauß-Markov-Annahme TS3.2: Strikte Exogenität
Der Störterm ut hat einen erwarteten Wert von 0 und ist unkorreliert mit allen Zufallsvariablen xs,1 , . . . , xs,K zu allen Zeitpunkten s:
E[ut ] = 0 und cov(ut , xs,j ) = 0 für j = 1, . . . , K, s = 1, . . . , T
yt = β0 + β1 x1,t + . . . + βK xK,t + ut ,
wobei ut für t = 1, . . . , T die Folge der Fehler- oder Störterme bezeichnet (die man
im Zeitreihenkontext auch Schocks oder Innovationen nennt).
Anmerkung: Analog zu GM1
Annahme TS2: Keine perfekte Kollinearität
Gauß-Markov-Annahme TS2: keine perfekte Kollinearität
Weder in der Zeitreihe noch im stochastischen Prozess ist eine der unabhängigen
Variablen eine Linearkombination der anderen.
bzw.
Gauß-Markov-Annahme TS3.3: Strikte Exogenität
Der Störterm ut hat – bei zu allen Zeitpunkten s gegebener Ausprägung der erklärenden Variablen xs,1 , . . . , xs,K – einen erwarteten Wert von 0:
E[ut | X] = 0
wobei X die Gesamtheit der Zufallsvariablen (xs,1 , . . . , xs,K )s=1,...,T bezeichnet.
Implikationskette: TS3.1 ⇒ TS3.3 ⇒ TS3.2
Anmerkung: Analog zu GM2
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Bedeutung der strikten Exogenitätsannahme
I
Annahme TS4: Homoskedastie
Betrachte (zur Verdeutlichung) die einfachste Situation:
Statisches Modell mit einer einzigen erklärenden Variable:
Gauß-Markov Annahme TS4: Homoskedastie
Zu jedem Zeitpunkt t hat der Störterm ut – bei zu allen Zeitpunkten s gegebener
Ausprägung der erklärenden Variablen xs,1 , . . . , xs,K – die gleiche Varianz σ 2 :
yt = β1 + β2 zt + ut
I
Damit ein solches Modell die strikte Exogenitätsannahme erfüllt, müssen drei
Bedingungen mehr oder weniger notwendigerweise erfüllt sein:
(1) zt darf nicht mit ut korreliert sein. D.h. zt muss kontemporär exogen sein
(analog zu Querschnittsdaten – Zufallsstichprobe).
(2) Keine Wirkung von vergangenem z auf aktuelles y.
Wenn z einen verzögerten Effekt auf yt hat, dann enthält yt Anteile des
vergangenen z. Damit enthält auch ut solche Anteile (jedenfalls solange yt nicht
komplett durch zt erklärt wird), und die strikte Exogenitätsannahme ist verletzt.
(3) Keine Wirkung von vergangenem y auf aktuelles z.
Wenn y einen verzögerten Effekt auf zt hat, dann korreliert auch das vergangenene
u mit dem aktuellen zt (da das vergangene y mit dem vergangenen u korreliert,
jedenfalls solange y nicht komplett durch z erklärt wird); dies widerspricht der
strikten Exogenitätsannahme.
Var(ut | X) = σ 2 ,
wobei X die Gesamtheit der Zufallsvariablen (xs,1 , . . . , xs,K )s=1,...,T bezeichnet.
Homoskedastie im Zeitreihenkontext: Die Störtermvarianz ist
(i) unabhängig von (der jeweiligen Ausprägung der) x-Variablen
und
(ii) konstant im Zeitverlauf
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Beispiel
I
Annahme TS5: Keine Autokorrelation der Störterme
Autokorrelation der Störterme ist bei Zeitreihen-Regressionen ein wichtiges Thema.
Im Querschnittsdaten-Szenario wurde die Autokorrelation der Störterme durch die
Annahme einer Zufallstichprobe implizit ausgeschlossen, hier müssen wir das fordern:
Ein Beispiel, wo der dritte Punkt (vergangenes y wirkt auf aktuelles z)
vermutlich zur Verletzung der strengen Exogenitätsannahme führt, ist:
mrdrtet = β0 + β1 convrtet + ut
Nimmt man zur Vereinfachung an, dass die aktuelle Auklärungsquote convrtet mit
den Aufwendungen für die Kripo im Zeitraum (t − 1, t] identifiziert werden kann
und dass die Politik diese Aufwendungen an die vergangene Verbrechensquote
mrdrtet−1 anpasst, so hat man eine Wirkung von yt−1 = mrdrtet−1 auf
zt = convrtet . Das führt zu einer Verletzung der Annahme strikter Exogenität.
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Gauß-Markov Annahme TS5: Keine Autokorrelation der Störterme
Für jeweils zwei (verschiedene) Zeitpunkte t und t0 gilt: Die Störterme ut und ut0
sind – bei zu allen Zeitpunkten s gegebener Ausprägung der erklärenden Variablen
xs,1 , . . . , xs,K – unkorreliert:
cov(ut , ut0 | X) = 0 für t 6= t0
wobei X die Gesamtheit der Zufallsvariablen (xs,1 , . . . , xs,K )s=1,...,T bezeichnet.
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Annahme TS6: Normalverteilte Störterme
Anmerkungen zur Erwartungstreue/Unverzerrtheit
Gauß-Markov Annahme TS6: Normalverteilte Störterme
Zu jedem Zeitpunkt t ist der Störterm ut – – bei zu allen Zeitpunkten s gegebener
Ausprägung der erklärenden Variablen xs,1 , . . . , xs,K – normalverteilt,
I
Benötigt werden dazu nur
TS.1 (lin. Mod.),
TS.2 (keine Kollinearität),
TS.3 (strikte Exogenität)
I
Nicht benötigt werden:
TS.4 (Homoskedastie von u),
TS.5 (keine Autokorrelation von u),
TS.6 (Normalverteilung von u)
I
Aber: Um die Standardfehler (auf einfach Weise konsistent und/oder erwartungstreu)
schätzen zu können, benötigen wir TS4 und TS5.
I
Für exakte Tests benötigen wir dann auch noch TS6.
2
ut |X ∼ N (0, σ ),
wobei X die Gesamtheit der Zufallsvariablen (xs,1 , . . . , xs,K )s=1,...,T bezeichnet.
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Erwartungstreue der OLS-Schätzung
(unter TS1,TS2,TS3)
Varianz der OLS Schätzung
Satz 1: Unter den Annahmen TS1 (lineares Modell), TS2 (keine Kollinearität) und
TS3 (strikte Exogenität) ist die OLS-Schätzung erwartungstreu.
E[β̂|X] = β
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(und daher auch: E[β̂] = β)
Analog zum Ergebnis bei Querschnittsdaten haben wir (der Trick ist jedesmal, auf die
gesamte Beobachtungsmatrix X zu konditionieren)
Satz 2: Unter den Annahmen TS1 bis TS5 gilt für die Varianzmatrix des OLS-Schätzer
β̂ bei Vorliegen der exogenen Daten X:
Var(β̂ | X) = σ 2 (X 0 X)−1
Beweis:
E[β̂|X]
=
=
=
E[(X 0 X)−1 X 0 y | X]
0
−1
E[(X X)
0
0
−1
X Xβ | X] + E[(X X)
E[β|X]
| {z }
=β
0
−1
+ (X X)
X
0
| ersetze y = Xβ + u
0
X u | X]
E[u|X]
| {z }
= β
Satz 3: Unter den Annahmen TS1 bis TS5 ist
=0 (wg. TS3)
0
−1
0
Der entscheidende Schritt dabei ist das Herausziehen von (X X) X ;
das geht, da auf ganz X konditioniert wurde und folgende allgemeine Regel für
bedingte Erwartungswerte gilt:
E[g(X) · Y | X] = g(X) · E[Y | X]
Um den Standardfehler von β̂ schätzen zu können, muss lediglich σ 2 geschätzt
werden. Der auf den OLS-Residuen ût basierende Standard-Schätzer ist
erwartungstreu, wenn eine Freiheitsgradkorrektur vorgenommen wird:
T
1 X 2
σ̂ =
û
T − K t=1 t
2
(K = Gesamtzahl der Regressoren)
ein erwartungstreuer (d.h. unververrter, unbiased) Schätzer von σ 2 .
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Gauß-Markov-Theorem
(unter TS1,. . .,TS5)
Schließlich gilt unter TS1 bis TS5 das Gauß-Markov-Theorem:
Satz 4: Unter den Annahmen TS1 bis TS5 ist OLS der best linear unbiased estimator (BLUE).
Das heißt: Unter allen linearen Schätzern β̂ = W (X) y mit einer von X abhängigen
Matrix W = W (X) hat β̂ OLS = (X 0 X)−1 X 0 y die kleinste Varianzmatrix im folgenden Sinne:
Var(β̂ OLS ) − Var(β̂) ist positiv semidefinit für jeden linearen Schätzer β̂
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Exakte Hypothesentests (unter TS1,. . .,TS6)
Wenn wir die Normalverteilungsannahme bzgl. der Störterme aus TS6 hinzufügen,
dann übertragen sich die Ergebnisse der Small-Sample-Theorie der Querschnittsdaten
auf die Regression in Zeitreihenmodellen (unter strikter Exogenität):
Satz 5: Unter den Annahmen TS1 bis TS6 ist die OLS-Schätzung normalverteilt
(konditional auf X):
β̂ OLS ∼ N (β, σ 2 X 0 X)
Außerdem gilt unter diesen Annahmen: Die t-Statistiken haben die exakten tVerteilungen und die F -Statistiken die exakte F -Verteilung.
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Abschnitt III.1: Deterministische Trends
I
Ökonomische Zeitreihen sind haben oft einen offensichtlichen Trend
(vor allem dann, wenn es sich um ‘Level-Größen’ handelt)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Trends in Regressionsbeziehungen; Spurious
Regression
I
Einkommen (in industrialisierten Ländern),
Konsum (in industrialisierten Ländern),
BIP
Produktivität
Aktienkurs
DAX, Dow-Jones, ....
Natürlich kann man auch in allgemeinen (statischen oder dynamischen)
Regressionsmodellen Trendterme als zusätzliche erklärende Variablen einbeziehen:
Anstatt
betrachte
oder sogar
In Regressionsmodellen kann ein Trend (in der erklärten und wenigstens
einer der erklärenden Variablen) wie eine omitted variable“ wirken.
”
Gemeinsame Trends in erklärter wie erklärenden Variable können also zu
(starken) Verzerrungen in den geschätzten Regressionskoeffizienten führen
(ohne Trend)
0
(linearer Trend)
yt = β x̃t + γ t + ut
0
yt = β x̃t + γ1 t + γ2 t
2
+ ut
(quadr. Trend)
I
Die Berücksichtigung eines solchen (deterministischen) Trends ist oft sehr wichtig
– zur Vermeidung des Problems der
I
Spurious regression: Wenn es Faktoren (in ut ) gibt, die mit der Zeit wachsen
und sowohl mit xt als auch yt positiv korrelieren, zeigt die Regression von yt auf
xt (ohne Trendterm) einen signifikanten Einfluss von xt (und ein großes R2 ) an,
ohne dass dies irgendetwas über den ‘wahren Mechanismus’ aussagt.
I
Standard-Beispiel: yt = Geburtenrate, xt = Zahl der Störche
Man spricht dann von einer spurious regression (Geister-Regression)
(Grob gesagt sieht man im Regr.Koeffizienten primär den Effekt des gemeinsamen
Trends, nicht den eigentlichen Effekt der Variable.)
yt = β 0 x̃t + ut
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Trendbereinigung (Bestimmung von Wachstumsraten)
I
Hat man eine einzelne Zeitreihe yt , kann man die mittlere Zunahme pro
Zeiteinheit β̂1 durch OLS-Schätzung von
yt = β0 + β1 t + ut
bestimmen. (E-Views-Funktion zur Ermittlung von t: @trend(["base date"]))
Bei diesem Vorgehen verwendet man xt,1 = 1 und xt,2 = t als Regressoren.
I
Zur Trendbereinigung wird der geschätzte Trend abgezogen, d.h. zu den
Residuen
ÿt = yt − β̂0 − β̂1 t,
übergegangen.
I
Liegt exponentielles Wachstum vor, sollte log(yt ) statt yt regressiert werden:
log(yt ) = β0 + β1 t + ut
Das geschätzte β̂1 gibt in diesem Fall die mittlere Wachstumsrate an
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Interpretation einer Regression mit Trend als
trendbereinigte Regression
Man kann zeigen:
Einschluss eines linearen Trends γt in das Regres.Modell yt = β 0 x̃t + ut
liefert die gleiche OLS-Schätzung β̂ wie folgendes zweistufige Vorgehen:
(1) Sowohl yt also auch sämtliche Regressoren xt = (xt,1 , . . . , xt,K ) werden
(einzeln) linear-trendbereinigt, mit dem Ergebnis ÿt , ẍt = (ẍt,1 , . . . , ẍt,K )
(2) Es wird ÿt regressiert auf ẍt .
Also:
Man kann den Einschluss eines lin. Trends auch so interpretieren, dass man
implizit alles (die erklärte wie die erklärenden Var.) linear-trendbereinigt.
Allerdings:
Der Einschluss eines lin. Trends in die Regres. bereinigt alles von linearen Trends,
und z.B. nicht von quadrat. Trends (man müsste dann einen solchen ansetzen).
Es gibt Formen von Trends (sog. stochastische Trends), die sich nicht durch
deterministische Funktionen der Zeit erfassen lassen.
Solche Trends können nicht durch Einbeziehung deterministischer Trends
kontrolliert werden. → Dies wird ein Thema der nä. Kapitel sein.
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III.2 Saisonale Effekte
I
I
I
Time-Dummies
Einfache Möglichkeit zur Behandlung saisonaler Effekte: Verwendung von
Saison-Dummies (binäre Variablen, die angeben, ob man sich in der
betreffenden Saison befindet).
Der Regressionskoeffizient eines Saison-Dummies misst den ‘Einfluss der Saison’:
Um wieviel höher ist yt im Schnitt in der betreffenden Saison?
Beispiel: Die Daten liegen monatlich vor und man hat eine regelmäßige
Veränderung von yt im Juli, d.h. für t = 7, 19, 31, . . .. Dann kann/sollte man eine
Dummy-Variable (1 im Monat Juli, 0 sonst) in die Regression einbeziehen;
in EViews lässt sich eine solche Variable als series (Zeitreihe) wie folgt
definieren:
series month7 = (@mod(@trend,12) = 7)
(setzt voraus, dass die erste Beobachtung im Januar des Jahres 0 liegt; @trend
liefert den Index t zurück; @mod(t,x) ist der Rest der Ganzzahldivision von t
durch x).
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I
Fragestellung: Einfluss einer Intervention (z.B. Regulierungsmaßnahme) auf eine
interessierende Größe (das Outcome, häufig: Kapitalmarktrenditen) schätzen,
wobei der Beginn der Intervention in den Beobachtungszeitraum fällt (so dass es
ein ‘Vorher’ und ‘Nachher’ gibt).
I
Einfachstes Modell: Dauerhafte Veränderung der Outcome-Größe y um einen
konstanten Wert, sobald die Intervention stattgefunden hat.
I
Standard-Vorgehen: Periodenspezifische binäre erklärende Variable(n)
verwenden
D.h. Eine Dummy-Variable hinzufügen, die den Wert 0 vor und 1 nach der
Intervention annimmt. E-Views Funktion:
series isEvent = (@trend >= t0)
I
Signifikanz des Koeffizienten der Dummy-Variablen signalisiert Einfluss der
Intervention.
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Saisonbereinigung
I
Analog zur Trendbereinigung:
Saisonbereinigung wird erreicht, indem die ursprüngliche Variable ersetzt wird
durch die Residuen einer einf. Regression von ihr auf (eine Konstante u.) die
Saison-Dummies.
I
Ebenfalls wie bei der Trendbereinigung:
Einschluss eines Saison-Dummies im Regressionsmodell ist äquivalent dazu,
für jede der Variablen (erklärte wie erklärenden) zunächst eine saisonale
Bereinigung durchzuführen und dann die saisonbereinigten Variablen
aufeinander zu regressieren (ohne Saison-Dummy).
I
Manchmal sind Zeitreihendaten schon saisonbereinigt, so dass man keine
Anpassung benötigt.
I
Es gibt mehr oder weniger standardisierte Verfahren zur Saisonbereinigung
(z.B. Census X12).
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36 / 38
Abschnitt IV: Hodrick-Prescott-Filter
I
Ziel: Zerlege eine (univariate) Zeitreihe (xt )t=1,...,T in eine Trendkomponente gt
und eine zyklische Komponente ct :
xt = gt + ct ,
I
I
Beispiel zum HP-Filter
gt = Trend-Komponente,
ct = zyklische Komponente
um – z.B. in einem Regressionsmodell – anstatt xt nur den Trend (oder auch: nur
die zyklische Komponente) zu verwenden.
Der Hodrick-Prescott-Filter betrachtet die Trendkomponente als eine ‘glatte’
Komponente, die sich dadurch auszeichnet, dass
gt − gt−1 gt+1 − 2gt + gt−1
1 gt+1 − gt
−
=
2
∆t
∆t
∆t
(∆t)
zu jedem Zeitpunkt t klein sein sollte.
Der HP-Filter sucht einen Kompromiss zwischen der Größe des Abstands von gt
zu xt und der Größe dieser Differenzenquotienten, indem er (gt )t=1,...,T so wählt,
dass
XT
XT −1
(xt − gt )2 + λ
(gt+1 − 2gt + gt−1 )2 → min
(∗)
t=1
t=2
{gt }
minimal wird, wobei λ = λ(∆t) ein fester (Anwender-definierter) Parameter ist.
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Wir betrachten aggregierte Quartalsdaten des US-amerikanischen Arbeitsmarkts im Zeitraum
von 1948 bis 2011. Die Zeitreihe EMPLRATE = employment rate enthält die
Beschäftigungsquote (1 - Arbeitslosenquote), die Zeitreihe RULC = real units labour costs
die reale Lohnquote ( Quotient aus ‘Lohn pro Stunde’ und ’Output pro Stunde’). Nach einem
Modell von R. Goodwin sollten diese beiden Größen in einer Räuber-Beute-Beziehung stehen,
was dazu führt, dass sich beide Größen periodisch verhalten (mit gleicher Periodendauer, aber
zeitlich versetzt, so dass ein Maximum der Lohnquote einem Minimum der
Beschäftigungsquote vorausgeht und umgekehrt). Ein solches periodisches Verhalten lässt
sich, wenn überhaupt, nur nach einer adäquaten Trendbereinigung identifizieren.
In den beiden linken Diagrammen der folgenden Folie wurde für den Glättungsparameter der vorgesehene Wert λ = 1600 gewählt. Dadurch kommt es zu komplizierten
Trendkomponenten, aber in den zyklischen Komponenten ist ein periodisches
Verhalten zumindest zu erahnen.
In den beiden Diagrammen rechts wurde λ sehr groß gewählt, so dass Krümmungen in
der Trendkomponente stark bestraft werden. Der HP-Filter versucht hier,
Krümmungen im Trend möglichst zu vermeiden, mit dem Ergebnis annähernd linearer
Trends. Ein periodisches Verhalten in den zyklischen Komponenten ist dann aber
kaum noch ersichtlich.
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Hodrick-Prescott-Filter (II)
Beispiel zum HP-Filter (II)
Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)
I
I
I
I
Hodrick-Prescott Filter (lambda=16000000)
Man kann zeigen: Das Problem (*) hat für jedes λ > 0 eine eindeutige Lösung,
die sich durch Lösen eines lin. Gl.Systems der Form (I + λD0 D)g = x ergibt.
1.5
1.5
1.4
1.4
1.3
1.3
1.2
Für λ → 0 konvergiert gt → xt und ct → 0, d.h. der Filter reproduziert xt als gt .
Je größer λ, je glatter wird die Trend-Komponente gt .
Für λ → ∞ wird versucht, einen linearen Trend gt = γ t durch xt zu legen (da
die 2. Ableitung von gt Null wird).
Hodrick/Prescott empfehlen, λ = λ(∆t) gemäß der Formel
λ = 1600(∆t/Quartal)−2 zu wählen, was auf folgende Werte hinausläuft:


für ∆t = 1 Jahr
100
λ = 1600 für ∆t = 1 Quartal


14400 für ∆t = 1 Monat
2
Da in die Zielfunktion (∗) ( ∆t)2 = (∆t)4 eingeht, erscheint es sinnvoller, λ
mit der 4. Potenz von 1/∆t ansteigen zu lassen, z.B. λ = 1600(∆t/Quartal)−4
In EViews: Betreffende series öffnen, dann proc – Hodrick-Prescott-Filter
.04
1.0
.04
1.2
1.1
1.0
0.9
.02
.00
.00
-.04
-.02
-.08
-.04
0.9
-.12
50
55
60
65
70
75
RULC
80
85
90
Trend
95
00
05
10
50
55
60
65
Cycle
70
75
RULC
Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)
80
85
90
Trend
95
00
05
10
Cycle
Hodrick-Prescott Filter (lambda=160000000)
.98
.98
.96
.94
.02
.92
.01
.90
.96
.04
.94
.02
.92
.00
.00
.90
.88
-.02
.88
-.01
-.04
-.02
-.03
38 / 38
1.1
.08
-.06
50
55
60
65
70
75
EMPLRATE
80
85
90
Trend
95
00
Cycle
05
10
50
55
60
65
70
75
EMPLRATE
80
85
90
Trend
95
00
Cycle
05
10
40 / 38