Zusatzmaterial Vektorraum

Mathematik I - Grundkurs für Wirtsch.-Ingenieurwesen, BG
und SPTE - Zusatzmaterial 2 (1.1.c)
PD Dr. B. Rummler
Der lineare Vektorraum V
Def: Eine Menge V , V 6= ∅, für deren Elemente(Punkte) eine Addition( + ): 00 +00 und
Multiplikation( s∗ ) 00 · 00 mit einer Zahl(Skalar) α ∈ K (bei K = R bzw. K = C als Körper
der reellen Zahlen bzw. komplexen Zahlen) erklärt ist, heißt ein linearer Vektorraum, wenn
das Tripel [V, +, ·] = V (als Abkürzung verstanden) den folgenden Axiomen genügt:
(A1) ∀ a, b ∈ V gilt: a + b ∈ V , a + b ist in V eindeutig. Für die damit erklärte Addition
gelten ∀ a, b, c ∈ V die folgenden Rechenregeln:
(i)+
(ii)+
a + (b + c) = (a + b) + c
(Assoziativgesetz)
a+b=b+a
(Kommutativgesetz)
(iii)+
o = oV , sowie a = a + oV
(iv)+
∀ a ∈ V ∃! x ∈ V : a + x = oV ; d.h. x = −a
(Neutrales (Null-)Element)
(Inverses Element)
(A2) ∀ a ∈ V und ∀ α ∈ K gilt: α · a ∈ V , α · a = αa ist in V eindeutig. Für die
damit erklärte skalare Multiplikation gelten ∀ a ∈ V und ∀ α, β ∈ K die folgenden
Rechenregeln:
(i)s∗
α · (β · a) = (αβ) · a
(ii)s∗
oV = 0 · a
(iii)s∗
a=1·a
[∀ a ∈ V ]
(Assoziativgesetz)
(Null-Skalar und Neutrales (Null-)Element)
(Neutraler (Eins-)Skalar)
(A3) ∀ a, b ∈ V und ∀ α, β ∈ K gelten die folgenden Distributivgesetze:
(D)s∗+
α · (a + b) = α · a + α · b
(1. Distributivgesetz)
(D)s∗+
(α + β) · a = α · a + β · a
(2. Distributivgesetz)