Thema 6

SS 17
Mathematik: Thema 6
Anwendung der Differentiation in der Marginalanalyse
Bereits in Thema 5 wurde vorgestellt, wie bei einer (ökonomischen) Funktion f über
f (x) − f (x0 ) ≈ f 0 (x0 ) · (x − x0 )
proportional
die Ableitung an der Stelle x0 als Proportionalitätsfaktor für die absolute marginale Änderung der Funktionswerte bezogen auf die marginale absolute Änderung der Einflußgröße
interpretiert werden kann. Die gibt einen ersten Hinweis auf die Bedeutung von Ableitungen für die mikroökonomische Marginalanalyse. Folgende Aspekte der mikroökonomischen
Marginalanalyse einer ökonomischen Funktion f werden behandelt.
• Wachstumsverhalten von f
– Wachstumsrichtung:
Wachstum/Schrumpfung von f
– Wachstumsart:
degressives/progressives Wachstum bzw. degressive/progressive Schrumpfung
– relatives Wachstum:
marginales relatives Wachstum/marginale relative Schrumpfung von f proportional zur marginalen absoluten Änderung der Einflußgröße
• Elastizitätsverhalten von f
marginales relatives Wachstum/marginale relative Schrumpfung von f proportional
zur marginalen relativen Änderung der Einflußgröße
Die Wachstumsrichtung wir durch das Monotonieverhalten von f (B Grundlagen, Nr. 14)
beschrieben, Wachstum liegt bei monoton wachsendem f vor, Schrumpfung bei monoton
fallendem. Ist f differenzierbar, so kann die Monotonie über die Vorzeichen der Ableitungsfunktion überprüft werden (B Thema 5, Nr. 53).
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Der Aspekt der Wachstumsart spricht das “Krümmungsverhalten” der Funktion f an, das
durch die Eigenschaften der Konvexität bzw. der Konkavität (B Thema 5, Nr. 55) ausgedrückt wird. Mithilfe der Tangentengleichung y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) an der Stelle
x0 erhält man eine weitere Charakterisierung von Konvexität bzw. Konkavität, die für die
Charakterisierung der Wachstumsrichtung illustrativ ist.
57 Konvexität/Konkavität
Charakterisierung
Für differenzierbare Funktionen f ist Konvexität gleichbedeutend zu
f konvex über [a, b] ⇔
f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) für alle x, x0 ∈ [a, b]
f strikt konvex über [a, b] ⇔
f (x) > f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) für alle x, x0 ∈ [a, b] mit x 6= x0
d.h f (x) liegt oberhalb (bzw. strikt oberhalb) jeder Tangente an f über [a, b]
Für (strikte) Konkavität wird oben jedes „oberhalb“ durch „unterhalb“ ersetzt,
jedes Zeichen ≥ durch ≤ und jedes Zeichen > durch < .
Das Vielfache f 0 (x0 ) · (x − x0 ) von x − x0 ist also gleichzeitig oberhalb (bzw. unterhalb) und
Nährung für f (x) − f (x0 ), wenn f konvex (bzw. konkav) ist:
• Nährung und eine sichere Abschätzung nach unten ,
wenn f (strikt) konvex ist: f (x) − f (x0 ) & f 0 (x0 ) · (x − x0 )
• Nährung und eine sichere Abschätzung nach oben ,
wenn f (strikt) konkav ist: f (x) − f (x0 ) . f 0 (x0 ) · (x − x0 )
Für differenzierbare Funktionen f ist Konvexität (bzw. Konkavität) von f gleichbedeutend
zum monotonen Wachsen (bzw. Fallen) von f 0 B Nrn. 53/55
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Zusammen mit Obigem ergeben sich gleichwertige Eigenschaften für die Zunahme der Funktionswerte f (x) bezüglich Zunahme der Variable x:
Progressives Wachstum
• f wächst strikt monoton und ist strikt konvex,
d.h f 0 (x) > 0 und f 00 (x) > 0 für alle x
• f und f 0 wachsen beide strikt monoton
• f (x) − f (x0 ) > f 0 (x0 ) · (x − x0 ) für alle x 6= x0
und f 0 (x0 ) > 0 für alle x0
Lineares Wachstum
• f ist eine Gerade mit positiver Steigung
d.h f 00 (x) = 0 und f 0 (x) = const > 0 für alle x
• f wächst strikt und f 0 ist konstant
• f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) für alle x, x0 und
f 0 (x0 ) > 0 für alle x0
Degressives Wachstum
• f wächst strikt monoton und ist strikt konkav,
d.h f 0 (x) > 0 und f 00 (x) < 0 für alle x
• f wächst strikt und f 0 (x) fällt strikt monoton
• f (x) − f (x0 ) < f 0 (x0 ) · (x − x0 ) für alle x 6= x0
und f 0 (x0 ) > 0 für alle x0
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Eigenschaften für Progressive/Lineare/Degressive/Abnahme (Schrumpfung) statt
Progressiver/Linearer/Degressiver Zunahme (Wachstum) ergeben sich, indem oben jedes
„konvex“ gegen „konkav“, „konkav“ gegen „konvex“, „wächst“ gegen „fällt“, „fällt“ gegen „wächst“,
„>“ gegen „<“ und „<“ gegen „>“ getauscht wird. Die zugehörigen Grafiken entstehen jeweils
durch Spiegelung an der Horizontalen.
VORSICHT vor ungenauen Sprechweisen: Die oft verwendete umgangssprachliche
Gleichsetzung von „progressivem/degressivem Wachstum“ und „Wachstum mit zunehmender/abnehmender Rate“ ist i.a. falsch. Besser wäre etwa „progressives/degressives Wachstum“ durch „Wachstum mit zunehmenden/abnehmenden (absoluten) Zuwächsen“ zu umschreiben.
Das Konzept zur Messung des relativen Wachstums von f bei marginalen absoluten Änderungen der Einflußgrößen bildet die sogenannte Wachstumsrate.
58 Wachstumraten von f
f
• Wdiskret
(xneu ) :=
f (xneu )−f (xalt )
f (xalt )·(xneu −xalt )
heißt diskrete Wachstumsrate von f .
Hierbei ist oft x die Zahl und der betrachtete Veränderungszeitraum wird normiert
auf xneu − xalt = 1, z.B. gleich 1 Jahr bei betrachteten relativen Veränderungen
gegenüber dem entsprechenden Zeitpunkt eines Vorjahres.
• W f (x) :=
f 0 (x)
f (x)
heißt (stetige) Wachstumsrate von f an der Stelle x.
f
W f (xalt ) ist also gleich dem Grenzwert limxneu →xalt Wdiskret
(xneu ).
Über
f (x) − f (x0 )
≈ W f (x0 ) · (x − x0 )
f (x0 )
proportional
kann die Wachstumsrate W f (x0 ) als Proportionalitätsfaktor für die relative Änderung von
f bei marginaler absoluter Änderung von x0 gesehen werden.
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Zur Messung des relativen Wachstums von f bei marginalen relativen Änderungen der Einflußgröße wird die sogenannte Elastizität von f verwendet.
59 Elastizität von f
•
f
Ediskret
(xneu )
:=
Elastizität von f .
• E f (x) :=
f 0 (x)
f (x)
f (xneu )−f (xalt )
f (xalt )
xneu −xalt
xalt
f
= Wdiskret
(xneu ) · xalt
heißt diskrete
· x = W f (x) · x heißt Elastizität von f an der Stelle x
f
E f (xalt ) ist also gleich dem Grenzwert limxneu →xalt Ediskret
(xneu ).
Mit Nr. 59 kann man für x “in der Nähe” von x0 schreiben
x − x0
f (x) − f (x0 )
≈ E f (x0 ) ·
f (x0 )
x0
proportional
Die Elastizität von f gibt an einer Basisstelle x0 annähernd den Faktor an, mit dem sich eine
relative Änderung von x bzgl. x0 in eine relative Änderung von f (x) bzgl. f (x0 ) übersetzt
(B Nr. 61-3). Je nach Ausmaß dieses Faktors heißt
• f elastisch in x0 , wenn |E f (x0 )| > 1
überproportional
f
1:1-proportional
• f 1-elastisch in x0 , wenn |E (x0 )| = 1
f
• f unelastisch in x0 , wenn |E (x0 )| < 1 unterproportional
Zur Erstellung einer Übersicht über die Messungen des Änderungsverhaltens führen wir
folgende gebräuchliche Notation ein.
60 Differential df(x0 ) (x) := f 0 (x0 ) · dx ≈ f 0 (x0 ) · (x − x0 )
Hierbei soll dx ≈ x − x0 für kleine Abweichung von x gegenüber x0 stehen und
df ≈ f (x)−f (x0 ) kann dann entsprechend für Abweichung von f (x) gegenüber f (x0 ) stehen.
Wird dies so verwendet, dann wird aus der Gleichheit df = f 0 · dx eine Näherung
df ≈ f 0 · dx.
VORSICHT
Die Kurzschreibweisen df = f 0 · dx bzw. df ≈ f 0 · dx verwenden Sie bitte erst dann, wenn
ihnen klar ist, wo die Basisstelle x0 eingesetzt wird und wo die Variable x auftaucht.
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df
Als Grenzwert (mit dx → 0, d.h. x → x0 ) ist dann dx
(x0 ) = f 0 (x0 ). Weil dies für jede
0
Basisstelle x0 gilt, wird auch oft geschrieben df /dx = f .
Um den Gegenstand, nämlich das Änderungsverhalten von f , zu betonen schreiben wir in
der folgenden Übersicht xneu für x und xalt für x0 .
Alle Nenner werden als 6= 0 vorrausgesetzt!
ÜBERSICHT
61 Näherung für Absolute und Relative Änderungen von f
Aussageziel bzgl. f (x)
≈
Proportion‘faktor
absolute Änderung
Ableitung von f
1 f (xneu ) − f (xalt )
f 0 (x
≈
f (xneu )−f (xalt )
f (xalt )
≈
absolute Änderung
·
alt )
(xneu − xalt )
f 0 (xalt )
absolute Änderung
(xneu − xalt )
·
f (xalt )
Elastizität von f
relative Änderung
3
Aussagebasis bzgl. x
Wachstumsrate von f
relative Änderung
2
·
f (xneu )−f (xalt )
f (xalt )
≈
f 0 (xalt )
f (xalt )
· xalt
relative Änderung
xneu −xalt
xalt
·
Gesamtbeispiel B Bsp. 2
VORSICHT
(1) „Absolute“ Änderung bezeichnet nicht den Absolutbetrag einer Änderung, sondern
eine nicht-relative Änderung.
(2) Statt des Begriffs „Änderung“ wird oft der Begriff „Wachstum“ verallgemeinert verwendet mit den Bedeutungen: Zunahme = positives Wachstum, keine Änderung =
Null-Wachstum und Abnahme = negatives Wachstum.
Bsp. 1 f (x) = 1 + x3 , f 0 (x) = 3x2 , xalt = 3 , f (3) = 28, f 0 (3) = 27
W f (x) =
f 0 (x)
f (x)
=
3x2
,
1+x3
E f (x) = W f (x) · x =
3x3
,
1+x3
W f (3) =
27
28
, E f (3) =
81
28
Bei Marginalanalysen (für dieses f und diese Basisstelle) mit einem der Ansätze 1, 2, 3 von
27 81
Nr.61 gehen also die Zahlen 7, 28
, 28 als Proportionalitätsfaktoren ein.
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Bsp. 2 Gesamtbeispiel zu Änderungen
„Ökonomisches“ teils vereinfacht
Bsp. 2a (B Nrn. 57, 60) mit bei ökonomischen Anwendungen üblicher Symbolik
Für x > 0 sei p(x) = 100(x + 10)−1 eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen Preis
p und Nachfrage x beschreiben soll, hier den Preis in Abhängigkeit von der Nachfrage x.
dp
0
−2 < 0, also p in Abgängigkeit von x strikt monoton fallend.
dx (x) = p (x) = −100(x + 10)
00
−3
Weil p (x) = 200(x + 10) > 0, ist p als Funktion strikt konvex. Im Bereich x > 0 ist p
also degressiv abnehmend.
Bsp. 2b (B Nr. 58, 59, 61) Absolute und relative Änderung am Beispiel
−xalt
xneu = 36 und xalt = 40, d.h. xneu − xalt = 36 − 40 = −4 und xneuxalt
= −10%
100
−1
0
und mit p(x) = 100(x + 10) , d.h p(40) = 2, p (x) = − (x+10)2 :
4
, W p (40) =
p0 (40) = − 100
p0 (40)
p(40)
2
, E p (40) =
= − 100
1:
4
p(36) − p(40) ≈ p0 (40) · (36 − 40) = (− 100
) · (−4) =
2:
p(36)−p(40)
p(40)
p(36)−p(40)
p(40)
3:
≈ W p (40) · (36 − 40) =
≈
E p (40)
·
36−40
40
=
2
)
(− 100
8
(− 10
)
· (−4) =
16
100
8
100 =
p0 (40)
p(40)
8
· 40 = − 10
(„exakt“ 0.174)
+8%
· (−10%) = +8%
(„exakt“ 8.7%)
(„exakt“ 8.7%)
Wegen |E p (40)| = 0.8 < 1 ist p „unelastisch“ bzgl. x an der Stelle xalt = 40.
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