Rückblick auf die letzte Vorlesung Ausblick auf die heutige Vorlesung
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Rückblick auf die letzte Vorlesung 1. Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung 2. Greenesche Funktion 3. Lösungsdarstellung 4. Eigenwertaufgaben Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 329 / 363 Allgemeines Ausblick auf die heutige Vorlesung 1. Numerische Verfahren 2. Euler–Verfahren 3. Verfahren von Heun 4. Runge-Kutta Verfahren Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 331 / 363 Diskretisierung Gegeben sei das skalare Anfangswertproblem y 0 (t) = f (t, y (t)), y (a) = ya . Wir wollen die Lösung y (t) an einer Stelle b > a berechnen. Kann man die Lösung nicht explizit durch Integration bestimmen, so verwendet man ein Definition Ein Diskretisierungsverfahren besteht aus einer Zerlegung des Integrationsintervalls a = t0 < t1 < · · · < t m = b und der Bestimmung von Näherungen Yj ≈ y (tj ), j = 0, . . . , m. Man nennt hj := tj+1 − tj die Schrittweite. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 332 / 363 Allgemeines Numerische Integratoren Definition Das Verfahren zur Bestimmung einer Näherungslösung (Y0 , . . . , Ym ) bezeichnet man als Numerischen Integrator. Numerische Verfahren lassen sich bestimmten Klassen zuordnen: 1) Einschrittverfahren: Yj+1 = Yj + hj Φ(tj , Yj , hj ) Man nennt Φ die Verfahrensfunktion. 2) Mehrschrittverfahren: Yj+1 = Φ(Yj , . . . , Yj−k ), k ∈N Man verwendet die bereits berechneten Näherungen Yj , . . . , Yj−k . Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 333 / 363 Numerische Integratoren II Definition (Fortsetzung) 3) Extrapolationsverfahren Kombiniere ein Einschritt– bzw. Mehrschrittverfahren aus 1) und 2) mit verschiedenen Schrittweiten und extrapoliere das Ergebnis. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 334 / 363 Allgemeines Merkmale eines Integrators Wichtige Fragen zur Qualität eine Integrators: 1) Es gelte Yj = y (tj ). Welchen Fehler machen wir im nächsten Integrationsschritt, d.h. |y (tj+1 ) − Yj+1 | =? 2) Wenn wir die lokalen Fehler aus 1) kontrollieren können, was gilt dann zur Zeit t = b, d.h. |y (b) − Ym | =? Insbesondere, wenn wir hj → 0 wählen, d.h. konvergiert das Verfahren im Grenzfall hj → 0? 3) Gibt es eine geeignete Wahl für die Schrittweite hj , so dass etwa der Approximationsfehler – etwa im Vergleich zum Rechenaufwand – minimal wird. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 335 / 363 Einschrittverfahren: Euler Das Eulersche Polygonzugverfahren ist das einfachste Einschrittverfahren Yj+1 = Yj + hj f (tj , Yj ). Das Verfahren entsteht aus der Approximation y 0 (ty ) = f (tj , Yj ) ≈ 1 (Yj+1 − Yj ). hj Geometrische Deutung: Zur Berechnung des Wertes Yj läuft man immer ein kurzes Stück in Richtung der Tangente im Punkt Yj , d.h. entlang der Geraden mit der Richtung f (tj , Yj ). Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 336 / 363 Einschrittverfahren Einschrittverfahren: Heun modifiziertes Euler–Verfahren Verfahren von Heun: Wähle den Mittelwert zweier Steigungen K1 := f (tj , Yj ) K2 := f (tj + hj , Yj + hj K1 ) 1 1 Yj+1 := Yj + hj K1 + K2 2 2 Das modifizierte Euler–Verfahren: Wähle eine mittlere Steigung (Collatz, 1960) K1 := f (tj , Yj ) hj hj K2 := f tj + , Yj + K1 2 2 Yj+1 := Yj + hj K2 Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 337 / 363 Lokaler Diskretisierungsfehler Definition Gegeben sei die Näherung (tj , Yj ) und ein Einschrittverfahren in der Form Yj+1 = Yj + hj Φ(tj , Yj , hj ). Sei z(t) die Lösung des (lokalen) Anfangswertproblems z 0 (t) = f (t, z(t)), z(tj ) = Yj . 1) Das exakte Inkrement ist gegeben durch ∆(tj , Yj , h) := 2) Man nennt z(tj + h) − Yj . h τ (tj , Yj , h) := ∆(tj , Yj , h) − Φ(tj , Yj , h) den lokalen Diskretisierungsfehler. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 338 / 363 Einschrittverfahren Konsistenz und Ordnung Definition (Fortsetzung) 3) Das Einschrittverfahren heißt konsistent, falls für alle hinreichen oft stetig differenzierbaren rechten Seiten f (t, y ) gilt: lim τ (tj , Yj , h) = 0 h→0 Das Einschrittverfahren besitzt die Ordnung p, falls gilt: τ (tj , Yj , h) = O(hp ) d.h. ∃ C , h0 > 0 : ∀ h ∈ (0, h0 ] : |τ (tj , Yj , h)| ≤ Chp Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 339 / 363 Darstellung des lokalen Diskretisierungsfehlers Bemerkung Man kann den lokalen Diskretisierungsfehler auch als 1 z(tj+1 ) − Yj+1 τ (tj , Yj , h) = h darstellen, d.h. τ ist der Integrationsfehler pro Schrittweite. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 340 / 363 Einschrittverfahren Konsistenzordnung Bestimmung der Konsistenzordnung: Man verwendet dazu die Taylor–Entwicklung von z(t + h) um h = 0 h2 z(t + h) = z(t) + z (t)h + z (t) + . . . 2 0 00 Nun gilt neben z(t) = Y z 0 (t) = f (t, z(t)) z 00 (t) = ft (t, z) + fy (t, z)z 0 = ft (t, z) + fy (t, z)f (t, z) z (3) (t) = ftt + 2fty f + fyy f 2 + ft fy + fy2 d. Wir erhalten daher für ∆(t, y , h) = (z(t + h) − Y )/h den Ausdruck h h2 2 2 ft fy f ) + ftt + 2fty f + fyy f + ft fy + fy d + O(h3 ). ∆=f + 2 6 Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 341 / 363 Konsistenz in Beispielen Beispiel 1) Beim Euler–Verfahren gilt Φ = f (t, Y ) und daher h h 2 ft fy f ) + O(h ) − Φ = ft fy f ) + O(h2 ) τ =∆−Φ=f + 2 2 Das Verfahren ist also konsistent erster Ordnung. 2) Beim Verfahren von Heun gilt 1 Φ = (f (t, Y ) + f (t + h, Y + hf (t, Y )) 2 h 1 f (t, Y ) + f (t, Y ) + (ft (t, Y ) + fy (t, Y )f (t, Y )) + O(h2 ) = 2 2 Daraus folgt τ = ∆ − Φ = O(h2 ) Das Heun–Verfahren ist ein konsistentes Verfahren zweiter Ordnung. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 342 / 363 Einschrittverfahren Abschätzung Satz (Voraussetzung) Die exakte Lösung des Anfangswertproblems y 0 (t) = f (t, y (t)), y (a) = ya existiere im Intervall [a, b]. Das Einschrittverfahren der Form Yj+1 = Yj + hj Φ(tj , Yj , hj ) sei konsistent und besitze die Ordnung p mit |τ (t, Y , h)| ≤ Ch p . Ferner sei die Verfahrensfunktion Φ Lipschitz–stetig bezüglich Y : |Φ(t, Ỹ , h) − Φ(t, Y , h)| ≤ L|Ỹ − Y |. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 343 / 363 Abschätzung II Satz (Aussage) Dann gilt für die mit äquidistanter Schrittweite h = (b − a)/m, m ∈ N, berechneten Näherungen Ym = Y (b; h) von y (b): 1 L(b−a) e − 1 Chp . |Y (b; h) − y (b)| ≤ L Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 344 / 363 Einschrittverfahren Runge–Kutta–Verfahren Allgemeine Form mit Stufenzahl s: Yj+1 = Yj + hj s X ci Ki (tj , Yj , hj ) i=1 K1 (t, Y , h) = f (t, Y ) Ki (t, Y , h) = f t + ai h, Y + h i−1 X l=1 Schreibweise: (Butcher–Schema) bil Kl ! 0 a2 b21 a3 b31 b32 .. .. .. .. . . . . as bs1 bs2 ... bs,s−1 c1 c2 . . . cs−1 cs Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 345 / 363 Butcher Schema Beispiel 1) Verfahren von Heun (p = 2) 0 1 1 1 2 1 2 2) Modifiziertes Euler–Verfahren (p = 2) 0 1 2 1 2 0 1 Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 346 / 363 Einschrittverfahren Butcher Schemata Beispiel 3) Kutta–Regel (p = 3) 0 1 2 1 2 1 −1 2 1 6 2 3 1 6 4) Klassische Runge–Kutta–Verfahren (p = 4) 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 6 1 3 1 3 1 6 Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 347 / 363 Runge–Kutta–Fehlberg–Verfahren Man kombiniert zwei RK–Verfahren der Ordnung p und p + 1, um eine automatische Schrittweitensteuerung zu generieren: z(tj + h) − Yj+1 h z(tj + h) − Ŷj+1 h = Chp + O(hp+1 ) = O(hp+1 ). Daraus folgt aber τ (tj , Yj , h) ≈ Chp ≈ |Ŷj+1 − Yj | =: τest . h Wähle die Schrittweite stets so, dass τest ≤ TOL mit gegebener Genauigkeitstoleranz TOL gilt. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 348 / 363 Einschrittverfahren Allgemeine Form der RKF–Verfahren Yj+1 = Yj + hj Ŷj+1 = Yj + hj s X i=1 ŝ X ci Ki (tj , Yj , hj ) ĉi Ki (tj , Yj , hj ) i=1 Ki (t, Y , h) = f t + ai h, Y + h i−1 X l=1 bil Kl ! Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 349 / 363 Beispiel RKF2(3)–Verfahren nach Fehlberg (1969) 0 1 1 1 4 1 2 1 6 1 2 p=2 p=3 1 4 1 2 1 6 2 3. Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 350 / 363 Einschrittverfahren England Verfahren Beispiel RKF4(5)–Verfahren nach England (1969) 0 1 2 1 2 1 2 1 4 1 0 2 3 7 27 1 5 1 4 −1 2 10 27 0 1 27 28 625 − 51 546 625 54 625 378 − 625 1 6 0 2 3 1 6 0 14 336 0 0 35 336 162 336 125 336 Reiner Lauterbach (Fakultät für Mathematik, InformatikDifferentialgleichungen und Naturwissenschaften I Universität Hamburg)WS 2005/2006 351 / 363
