Klausur 1 - Leibniz Universität Hannover

Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Prof. Dr. M. Erné, apl.Prof. Dr. T. Holm
16. Juli 2010
Klausur zu Diskrete Strukturen
Sommersemester 2010
Es sind alle Hilfsmittel erlaubt, außer Taschenrechnern und anderen
elektronischen Geräten wie Laptops, Mobiltelefonen etc.
Die Klausur besteht aus vier Aufgaben. Alle vier Aufgaben werden mit
gleicher Punktzahl bewertet.
Bitte nur schwarze oder blaue dokumentenechte Stifte benutzen.
Jedes Blatt ist mit Name und Matrikelnummer zu versehen.
Geben Sie bei allen Aufgaben Erläuterungen zu Ihrem Lösungsweg
sowie Begründungen für Ihre Antworten!
Name
1
Vorname
2
3
4
Σ
Matrikelnummer
Note
Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Prof. Dr. M. Erné, apl.Prof. Dr. T. Holm
16. Juli 2010
Klausur zu Diskrete Strukturen
Sommersemester 2010
1. (a) Die Folge (Fn )n∈N sei definiert durch F1 = F2 = 1 und Fn+1 = Fn + Fn−1 für
n ≥ 2. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für alle n ∈ N
n X
n−k
= Fn+1 .
k
k=0
(b) Beweisen Sie mit einem kombinatorischen Argument (durch Festhalten eines
Elements von Teilmengen einer n-Menge) folgende Identität für alle k, n ∈ N:
n
n−1
k·
=n·
.
k
k−1
n
X
n
k·
= n · 2n−1 (n ∈ N).
(c) Folgern Sie aus der Identität in (b):
k
k=1
2. (a) Wieviele Worte der Länge 9 über dem Alphabet {a, b, c, d} gibt es mit genau
drei a’s, genau zwei c’s und genau drei d’s? (Ergebnis in Dezimaldarstellung.)
(b) Für natürliche Zahlen k, n betrachten wir 0-1-Folgen der Länge k +n mit genau
k Nullen und genau n Einsen, in denen nie zwei Nullen hintereinander stehen.
Zeigen Sie, dass die Anzahl dieser Folgen gleich n+1
ist.
k
(c) Für natürliche Zahlen k und n sei dn,k die Anzahl der Permutationen der
Menge
n
n mit genau k Fixpunkten. Begründen Sie kurz die Formel dn,k = k dn−k,0 .
Wieviele Permutationen der Menge 7 gibt es mit genau zwei Fixpunkten?
(Ergebnis in Dezimaldarstellung.)
3. Eine irreflexive und antisymmetrische Relation R auf einer Menge X mit transitivem
Komplement Rc = (X ×X) \ R heißt schwache Ordnung auf X.
(a) Welche der folgenden Relationen sind schwache Ordnungen auf n?
R = {(x, y) ∈ n×n : x|y}, S = {(x, y) ∈ n×n : x < y}, T = {(x, y) ∈ n×n : x 6= y}.
(b) Zeigen Sie: Jede schwache Ordnung ist transitiv.
(c) Zeigen Sie: R ist eine schwache Ordnung ⇐⇒ Rc ist eine totale Quasiordnung.
(d) Warum ist die Anzahl der schwachen Ordnungen gleich der Anzahl der totalen
Quasiordnungen auf n? Bestimmen Sie diese Anzahl für n = 4.
4. Sei n ≥ 3. Besitzt ein Rad Wn mit n+1 Knoten und n “Speichen” (d.h. 2n Kanten)...
(a) eine Euler-Tour?
(b) eine Hamilton-Tour?
(c) einen Wald als Komplementärgraph? (Fallunterscheidung!)
(d) einen nicht-isomorphen Graphen mit gleicher Gradfolge?
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