Probeseiten 1 PDF

2
Theorie und Praxis der Wechselund Drehstromtechnik
Die Grundlage der Wechsel- und Drehstromtechnik basiert auf einem „vollständigen“
Stromkreis mit Spannungsquelle, Leitungen und Verbraucher. Die Spannungsquelle befindet sich in der Regel in einem Kraftwerk. Für eine Verbraucheranlage kann man anstelle
der Spannungsquelle auch den Anschluss bzw. die Anschlussklemmen setzen. Zwischen
der Spannungsquelle und dem Verbraucher befinden sich die elektrischen Leitungen. Je
nach Aufbau und Isolierung sind sie für eine oder mehrere Installationsarten zugelassen.
Die nachgeschalteten Schaltgeräte schließen bzw. unterbrechen den Stromkreis. Diese
Schaltgeräte werden entweder handgetätigt (elektromechanische Schalter) oder fremdgetätigt (elektronische, elektromagnetische, hydraulische, pneumatische u. ä. Systeme). In
der Praxis hat man als stationäre Messeinrichtung nur den Elektrizitätszähler in der Zuleitung für die Erfassung der elektrischen Arbeit.
2.1
Grundlagen des Wechselstromkreises
Für die Grundlagen des Wechselstromkreises muss das Verhalten des ohmschen Widerstands R, des Kondensators C und der Spule L als Einzelbauelement und als Reihen- bzw.
Parallelschaltung untersucht werden. Dabei interessieren den Anwender in der Praxis im
Wesentlichen nur zwei Punkte:
Phasenlage zwischen Spannung und Strom
Frequenzabhängigkeit des Bauelements
Durch die Messgeräte des Simulators lassen sich die Schaltungen messen und abändern, sodass zahlreiche Versuche möglich sind.
H. Bernstein, Elektrotechnik/Elektronik für Maschinenbauer,
DOI 10.1007/978-3-8348-8322-3_2,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden 2012
77
78
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
2.1.1 Erzeugung von Wechselspannung
Das magnetische Feld ist die bestimmende Größe im Elektromaschinenbau. Die drei Wirkungen eines magnetischen Feldes unterscheiden sich durch
Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger oder stromdurchflossene Leiter
Kraftwirkung auf ferromagnetische Stoffe (Verhalten: stark magnetisch)
Induktionswirkung
Die drei Erscheinungsformen des magnetischen Feldes unterteilt man in
jeder magnetische Ladungstransport (stromdurchflossener Leiter) verursacht in seiner
Umgebung ein elektromagnetisches Feld, wobei man mittels Gleichstrom ein konstantes Magnetfeld und durch Wechselstrom ein sich kontinuierlich veränderbares Wechselmagnetfeld erzeugen kann
in der Umgebung von Dauermagneten entsteht ein magnetisches Feld
das magnetische Erdfeld
Die Stärke des magnetischen Feldes kann durch die Wirkung bestimmt werden, die auf
einen im Inneren des Magnetfeldes befindlichen Probemagneten ausgeübt wird. Ist kein
Magnetfeld allein vorhanden, richtet sich der Probemagnet nach dem magnetischen Erdfeld aus. Es entsteht also ein Drehmoment, das den Probemagneten in Nord-Süd-Richtung
bringt. In der Praxis unterscheidet man zwischen dem geographischen und dem magnetischen Nord- bzw. Südpol.
Wird ein Strom durch eine Spule geleitet, entsteht ein Magnetfeld und der Probemagnet
verändert seine Lage, d. h. es entsteht ein Drehmoment. Dieses Drehmoment ist ein Maß
für die magnetische Feldstärke an dieser Stelle. Schließt man eine Wechselspannung mit
f D 10 Hz an, führt der Probemagnet eine Drehbewegung aus und kann man die Frequenz verstellen, ergibt sich eine einstellbare Umdrehungszahl. Bei einer Zylinderspule
ist die Windungszahl und die Stromstärke proportional und die Spulenlänge umgekehrt
proportional. Die Richtung der Feldstärke stimmt in jedem Punkt des Magnetfeldes mit
der Richtung der Feldlinien überein. Sie richtet im Inneren der Spule den Probemagneten
vom Süd- zum Nordpol und außerhalb vom Nord- zum Südpol aus.
In der Praxis unterscheidet man zwischen Außen- und Innenpolmaschine, wie Abb. 2.1
zeigt. Bei der Außenpolmaschine befindet sich auf dem Stator (stehender Teil bzw. Ständer) die Wicklung für die Erzeugung des Magnetfelds, während bei der Innenpolmaschine
die Erregerwicklung auf dem Rotor (drehendes Teil bzw. Läufer) vorhanden ist. Bei der
Außenpolmaschine wird im Rotor durch die Spulen die Wechselspannung erzeugt, bei der
Innenpolmaschine dagegen im Stator. Der erzeugte Wechselstrom wird bei der Innenpolmaschine über zwei Schleifringe (Bürsten), welche auf der Läuferwelle angebracht sind,
abgenommen. Der Gleichstrom für die Erzeugung des magnetischen Kraftlinienfeldes
wird bei der Innenpolmaschine über zwei Schleifringe den Magnetwicklungen zugeführt.
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
79
Abb. 2.1 Aufbau und Wirkungsweise eines Wechselstromgenerators; links: Außenpolmaschine,
rechts: Innenpolmaschine
Die Außenpolmaschine ist nur für die Erzeugung kleine Wechselstromleistungen geeignet, da über die Schleifringe sehr große Ströme fließen.
2.1.2
Kraft auf parallele Stromleiter
Wenn durch einen elektrischen Leiter ein Strom fließt, baut sich um diesen ein entsprechendes Magnetfeld auf. Bringt man parallel dazu einen zweiten Leiter an, kommt es zu
einer Kraftwirkung zwischen den beiden Leitern. Abbildung 2.2 zeigt die Wirkungsweise
zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern (Stromschienen). Das Kreuz in der schraffierten Fläche symbolisiert dabei einen in die Zeichenebene hineinfließenden Strom, ein
Punkt einen aus der Zeichenebene herausfließenden Strom.
Die Berechnung lautet
0 l
I1 I2
F D
2 b
F
0
l
b
I1, I2
= Kraft in N
= magnetische Feldkonstante (4 106
= Leiterlänge in m
= Leiterabstand in m
= Leiterstrom in A
Vs
Am
oder 1;256637 106
Vs
)
Am
80
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.2 Wirkung der Kraft
zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern (Stromschienen).
Durch die entgegengesetzte
Stromrichtung stoßen sich die
beiden Leiter ab
Parallele Leiter mit gleicher Stromrichtung ziehen sich an; parallele Leiter mit entgegengesetzter Stromrichtung stoßen sich ab.
Beispiel
Zwei parallele Leitungen mit einer Länge von l D 10 m sind im Abstand von
b D 10 cm angeordnet. Es fließt jeweils ein Strom von I1 D I2 D I D 1000 A.
Wie groß ist die Kraft?
F D
Vs
10 m
1;256 106 Am
0 l
I1 I2 D
1000 A 1000 A D 20 N
2 b
2 3;14 0;1 m
Im Kurzschlussfall kann es deshalb in Schaltschränken häufig zu Problemen kommen.
Nicht nur die hohe Wärmeentwicklung führt zu Verformungen bei den Leitern, sondern
auch die Kraft zwischen den Stromschienen.
2.1.3 Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld
Magnetische Felder üben auf Ladungsträger entsprechende Kräfte aus, wenn sich diese
relativ zum Feld bewegen. Dabei ist es unerheblich, ob sich diese frei im Raum bewegen
oder als elektrischer Strom durch einen Leiter fließen. Die Richtung der Kraft ist immer
rechtwinklig zur Bewegung und zum Feld. In diesem Fall hat man eine „Lorentz-Kraft“.
Bewegt man einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld, entsteht eine Kraft,
die man folgendermaßen berechnet
F DB I l z
F = Kraft in N
I = Leiterstrom
z = Leiterzahl
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
81
Abb. 2.3 Wirkung der Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld und die Wirkungsweise
der Links-Hand-Regel
B = magnetische Flussdichte in T
l = wirksame Leiterlänge in m
In Abb. 2.3 ist die Entstehung einer Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im
Magnetfeld gezeigt. Die Feldlinien können von oben nach unten oder umgekehrt verlaufen
und „schneiden“ dabei den Leiter. Die Feldlinien sind durch Kreuze symbolisiert und
fließen in die Zeichenebene hinein. Hat man Punkte, fließen sie aus der Zeichenebene
heraus. In der Abbildung hat man nur einen wirksamen Leiter, also z D 1.
Beispiel
Durch einen Dauermagneten lässt sich eine magnetische Flussdichte von B D 0;1 T
erreichen. Der Leiterstrom wird gemessen mit I D 1 A, die wirksame Leiterlänge
beträgt l D 2 m und die Leiterzahl beträgt z D 10. Wie groß ist die Kraft?
F D B I l z D 0;1 T 1 A 2 m 10 D 2 N
Aus diesem Beispiel erkennt man, dass sich durch eine größere Flussdichte, höheren
Leiterstrom, Vergrößerung der wirksamen Leiterlänge oder Erhöhung der Leiterzahl die
Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter erheblich ansteigen lässt.
Jeder Strom in einem Leiter besteht aus bewegten Ladungen, auf die ebenfalls die
Lorentz-Kraft wirkt. Die Richtung der Kraft und die daraus resultierende Bewegung des
Leiters lassen sich durch die Links-Hand-Regel bestimmen, wie auch in Abb. 2.3 gezeigt
ist. Hält man die linke Hand so, dass die magnetischen Feldlinien in die innere Handfläche eintreten und die gestreckten Finger in Stromrichtung zeigen, deutet der abgespreizte
Daumen die Richtung der Kraft an.
Wenn man diese Formel anwendet, kommt man beispielsweise zum Wechselstrommotor. In den sich drehenden Anker werden nicht nur einer oder zwei Leiter eingelegt,
sondern eine größere Anzahl von Leitern, die hintereinander verschaltet sind. Die beiden
Enden der dadurch entstehenden Ankerwicklung werden zu zwei Schleifringen geführt
und hier fließt der Strom über die Kohlen bzw. Bürsten zu den Wicklungen auf dem Rotor.
82
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Um ein konstantes Magnetfeld für den Elektromotor zu erhalten, wird eine Gleichstromquelle an den Schleifringen angeschlossen.
Bei Gleichstrommotoren muss ein Anker mit Wicklungen und Kommutator (mechanischer Polwender) vorhanden sein. Außerdem benötigt man Feldmagnete mit ihren Feldwicklungen, die zur Erzeugung eines magnetischen Feldes dienen. Das Motorgestell (teilweise als Leiter des magnetischen Feldes von Pol zu Pol benützt) ist mit Lagern, Bürstenhalter, Klemmbrett usw. ausgerüstet. Da ein Anker und Feldwicklungen vorhanden sind,
lassen sich für die Praxis drei Schaltungsmöglichkeiten realisieren:
Nebenschluss, d. h. Feld und Anker sind parallel
Reihenschluss, wenn Feld und Anker hintereinander geschaltet sind, sich also in Reihe
befinden
Doppelschluss, wenn das Nebenschlussfeld am Netz (neben dem Anker) und das Reihenschlussfeld in Reihe mit dem Anker verbunden sind
Damit ergeben sich für die Praxis entsprechende Vor- und Nachteile:
a) Der Nebenschlussmotor arbeitet häufig im Leerlauf und Drehzahl darf von der Belastung nicht sehr abhängig sein, d. h. jede Lastaufschaltung bringt eine große Drehzahländerung mit sich
b) Der Reihenschlussmotor darf nicht im Leerlauf betrieben werden, bietet aber das größte Drehmoment
c) Der Doppelschlussmotor bietet hohe Anzugskraft bei fast gleichbleibender Drehzahl
Die Drehrichtung lässt sich dadurch ändern, wenn man die Stromrichtung nur in den
Magnetfeldern (Reihenschluss und Nebenschluss) umkehrt oder nur im Anker. Wenn die
Stromrichtung in den beiden Leitern verschieden ist, stoßen sie sich ab. Wenn man nun die
Stromrichtung in der Zuführungsleitung umkehrt, fließt nicht nur der Strom in dem Leiter
anders, sondern auch im anderen Leiter. Der Erfolg ist, dass die Stromrichtung wieder
in beiden Leitern verschieden ist und sich wieder abstoßen. Die Drehrichtung bleibt in
diesem Fall vorhanden. Die Drehrichtung ändert sich aber nur dann, wenn man durch entsprechende Schaltung nur die Stromrichtung in einem Leiter umkehrt, die Stromrichtung
im anderen Leiter aber beibehält. Damit werden sich die Leiter anziehen, d. h. die Richtung der Kraftwirkung ist umgekehrt wie zuerst. Aus diesem Grunde hat man Wendepole
und diese sind in Verbindung mit dem Anker zu betrachten.
2.1.4 Kraft im Magnetfeld
Hat man eine Spule mit Eisenkern, lässt sich ebenfalls eine Kraft erzeugen und diese
berechnet sich aus
B2 A
F D
2 0
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
83
Abb. 2.4 Entstehung einer
magnetischen Zugkraft an der
Polfläche A
F
A
B
0
= Kraft in N
= Fläche in m2
= magnetische Flussdichte in T
= magnetische Feldkonstante (4 106 Vs=Am oder 1;256637 106 Vs=Am)
Abbildung 2.4 zeigt einen Querschnitt durch einen Elektromagneten und die Entstehung der magnetischen Zugkraft.
Beispiel
Bei einer Spule ist die magnetische Flussdichte von B D 10 T und eine Fläche von
A D 10 cm2 gegeben. Wie groß ist die Kraft?
F D
.10 T/2 10 104 m2
B2 A
D
D 39:809 N
Vs
2 0
2 1; 256 106 Am
Damit lässt sich die Last m berechnen, die mit diesem Elektromagneten bewegt werden
kann
F
39:809 N
mD
D 4058 kg 4 t
D
g
9;81 m=s2
Die Kraft wird im Wesentlichen von der magnetischen Flussdichte und der Polfläche bestimmt, „g“ ist die Fallbeschleunigung.
Die Kraft im Magnetfeld wird bei den Relais ausgenützt. Ein Relais besteht aus zwei
Hauptteilen, dem Elektromagneten mit dem Anker und dem Schaltgerät, das durch die Ankerbewegung betätigt wird. In der Regel liegt die Wicklung des Relais in einem Stromkreis
(Steuerkreis), während der Schaltkontakt zu einem zweiten Stromkreis (Leistungskreis)
gehört. Meist benutzen diese Stromkreise verschiedene Stromquellen, d. h. der Steuerkreis arbeitet mit +5 VDC (Gleichspannung) bzw. +12 VDC und der Leistungskreis mit
230 VAC (Wechselspannung) oder 400/230 VAC (Drehstrom). Die Leistungsfähigkeit des
Elektromagneten hängt von den vier Faktoren B (magnetische Flussdichte), I (Strom),
l (Länge) und z (Wicklungsanzahl) ab. Man unterscheidet zwischen der Anzugskraft, die
benötigt wird, um den Anker anziehen zu können, der Haltekraft, die zum sicheren Halten
des Ankers genügt, und der „Abfallkraft“, bei der der Anker gerade abzufallen beginnt.
84
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
2.1.5 Induktion der Bewegung
Wenn man sich die Induktion der Bewegung betrachtet, kennt man in der Praxis folgende
zwei Regeln:
Links-Hand-Regel (Motorregel): Hält man die linke Hand so, dass die Feldlinien (vom
Nordpol kommend) auf die Handfläche auftreffen und zeigen die ausgestreckten Finger
in Stromrichtung, gibt der abgespreizte Daumen die Bewegungsrichtung des Leiters
an.
Rechts-Hand-Regel (Generatorregel): Hält man die rechte Hand so, dass die Feldlinien
(vom Nordpol kommend) auf die Innenfläche der Hand auftreffen und zeigt der abgespreizte Daumen in die Bewegungsrichtung, so geben die ausgestreckten Finger die
Richtung des Induktionsstromes an.
Die Induktion der Bewegung in Abb. 2.5 lässt sich berechnen nach
U0 D B l v z
U0
l
z
B
v
= induzierte Spannung in V
= wirksame Leiterlänge in m
= Leiterzahl
= magnetische Flussdichte in T
= Geschwindigkeit in m=s
Beispiel
Ein Leiter mit der Leiterzahl z D 10 und einer Länge von l D 10 cm wird mit einer
Geschwindigkeit von v D 1 m=s durch eine magnetische Flussdichte von B D 5 T
bewegt. Wie groß die induzierte Spannung U 0 ?
U0 D B l v z D 5 T 0;1 m 1 m=s 10 D 5 V
Es steht an den Anschlussklemmen eine Spannung von U0 D 5 V zur Verfügung.
Abb. 2.5 Induktion der Bewegung und die Wirkungsweise der
Rechts-Hand-Regel
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
85
Beispiel
Eine Versuchsanordnung mit der Leiterzahl z D 100 und einer Länge von l D 10 cm
liegt an einer Gleichspannung von U0 D 100 V. Die magnetische Flussdichte beträgt
B D 5 T. Welche Geschwindigkeit ergibt sich?
vD
U0
100 V
D
D 2 m=s
B l z
5 T 0;1 m 100
Mit der Induktion der Bewegung kann man Gleich-, Wechsel- und Drehstromgeneratoren realisieren. Bei den Wechsel- und Drehstromgeneratoren unterscheidet man zwischen
Außenpol- und Innenpolmaschine. Bei der Außenpolmaschine enthält der stehende Teil
(Ständer) zwei oder mehr Magnetpole mit Wicklungen, welche durch eine eigene Stromquelle mit Gleichstrom versorgt werden. Der Läufer enthält die Wicklungen, in welchem
der Wechsel- bzw. Drehstrom erzeugt wird. Der erzeugte Wechsel- oder Drehstrom wird
über Schleifringe, die auf der Läuferwelle angebracht sind, abgenommen. Bei der Innenpolmaschine enthält der sich drehende Teil (Läufer) zwei oder mehr Magnetpole mit
Wicklungen, welche durch eine eigene Stromquelle mit Gleichstrom betrieben werden.
Der Ständer enthält die Wicklungen, in dem der Wechsel- bzw. Drehstrom erzeugt wird.
Der Gleichstrom für die Erzeugung des magnetischen Kraftlinienfeldes wird über zwei
Schleifringe den Feldwicklungen zugeführt.
Zur Wechsel- oder Drehstromabnahme bei Außenpolmaschinen bzw. zur Gleichstromzuführung bei Innenpolmaschinen werden auf dem Läufer Schleifringe benötigt. Auf diesen aus Messing oder Bronze hergestellten Schleifringen „schleifen“ die am Maschinengehäuse angebrachten Bürsten. Die Bürsten aus Kohle oder Kohle-Bronze-Mischung werden
durch „Bürstenhalter“ getragen. Um den Druck der Bürsten auf die Schleifringe zu erreichen, sind entweder die Bürstenhalter drehbar angeordnet und der ganze Halter mit
der Bürste wird mit Federkraft auf den Schleifring gedrückt, oder der Bürstenhalter ist
fest und die Bürste wird innerhalb einer Führungsvorrichtung mit Federkraft gegen die
Schleifringe gepresst. Vom Druck der Bürsten auf die Schleifringe ist der Reibungsverlust
der Maschine wesentlich abhängig. Die Zahl der Bürsten richtet sich nach der Polzahl der
Maschine und nach dem Strom, der über diese fließen muss.
Bei der Rechts-Hand-Regel hält man die rechte Hand so, dass die magnetischen Feldlinien in die innere Handfläche eintreten und der abgespreizte Daumen in Bewegungsrichtung zeigt, so geben die gestreckten Finger die Stromrichtung an. Bewegt sich der Leiter
mit konstanter Geschwindigkeit v, so überstreicht er in der Zeit t die Fläche A, sodass
sich der magnetische Fluss um ˚ D B l A ändern kann.
2.1.6 Feldlinien
Ein elektrisches Feld wird durch Kraftlinien oder Feldlinien dargestellt. Die Feldlinien
geben in jedem Punkt eines elektrischen Feldes die Richtung die auf eine positive Ladung
86
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.6 Feldlinienverlauf von magnetischen Feldern in a bei einem stromdurchflossenen unendlich langen geraden Leiter, b bei einer stromdurchflossenen Leiterschleife (Hin- und Rückleitung),
c bei einer stromdurchflossenen Zylinderspule mit drei Wicklungen
wirkende Kraft an. Die Feldlinien verlaufen von der positiven zur negativen Ladung, d. h.
sie weisen einen Anfang und ein Ende auf. Sie treten stets senkrecht durch die Oberfläche
eines leitenden Körpers aus. In Richtung der Feldlinien herrscht „Zug“, quer zu ihnen
„Druck“. Je nach Verlauf der Feldlinien bezeichnet man das Feld als „radial“, „homogen“
(bei parallelen Feldlinien) oder „inhomogen“ (bei nicht parallelen Feldlinien).
Die Stärke des elektrischen Feldes wird durch die Kraft ausgedrückt, die auf eine kleine
Punktladung (Probeladung) in diesem Feld wirkt. Unter einer Feldstärke versteht man das
Verhältnis der auf eine Ladung im Feld wirkenden Kraft zur Größe dieser Ladung.
Für den Linienverlauf von magnetischen Feldern kennt man drei Möglichkeiten, wie
Abb. 2.6 zeigt.
Bei dem Feldlinienverlauf des stromdurchflossenen unendlich langen geraden Leiters
symbolisiert das Kreuz in dem schraffierten Leiter, dass der Strom in die Zeichenebene
hineinfließt. Dadurch entsteht ein Feldlinienverlauf in Uhrzeigerrichtung. Fließt der Strom
aus der Zeichenebene, hat man einen Feldlinienverlauf gegen die Uhrzeigerrichtung.
Betrachtet man sich den Feldlinienverlauf von magnetischen Feldern bei einer stromdurchflossenen Leiterschleife (Hin- und Rückleitung), erkennt man die verstärkende Wirkung, wie das bei Spulen der Fall ist. Wenn man mehrere Windungen direkt aneinander
wickelt, kommt es zu dem gewünschten Feldlinienverlauf.
2.1.7 Induktionsgesetz
Voraussetzung einer Induktion ist immer eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses, die durch Veränderung des Magnetfeldes oder Bewegung des Leiters im Feld erzielt werden kann. Ein Leiter wird mit konstanter Geschwindigkeit v durch ein homogenes, zeitlich konstantes (stationäres) Magnetfeld der magnetischen Flussdichte B senkrecht zum Feld bewegt. Unter den genannten Bedingungen entsteht eine zeitlich konstante
Spannung an den Klemmen und die induzierte Spannung ist positiv. Hat man dagegen ein
inhomogenes Magnetfeld oder die Geschwindigkeit ist nicht konstant, so ergibt sich eine
Spannung als Funktion der Zeit.
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
87
Abb. 2.7 Aufbau eines Wechselstromgenerators bzw. -motors
In Abb. 2.7 erkennt man die beiden Hauptteile eines Generators bzw. Motors: den Stator (Ständer) und Rotor (Läufer). Der Stator ist ein Teil des feststehenden Motors und
besteht aus dem Gehäuse, Kugellagern, die den Rotor tragen, Lagerböcke für die Anordnung der Lager, ein Lüfterrad und als Abschluss die Abdeckungen. Über die beiden
Schleifringe erhält die Erregerwicklung die Gleichspannung zum Aufbau eines kontinuierlichen Magnetfeldes.
Das Prinzip der elektromagnetischen Induktion: In einem quer durch ein Magnetfeld B
bewegten Leiter wird eine Spannung induziert. Befindet sich der Leiter in einem geschlossenen Stromkreis, fließt ein Strom I. Auf den bewegten Leiter wirkt eine Kraft F senkrecht
zum Magnetfeld und zum Leiter. Hier unterscheidet man dann zwischen
Generatorprinzip (Induktion durch Bewegung): Bei diesem Prinzip erzeugen Magnetfeld und Bewegung eines Leiters die Spannung U 0 , d. h. der Rotor in Abb. 2.7 ist
beispielsweise mit einer Wasserturbine verbunden. Der Gleichstrom erzeugt das Erregerfeld und durch die Bewegung des Rotors ergibt sich eine entsprechende Spannung
an der Spule. Die Spule ist nur als Leiter gezeichnet und hat die Anschlüsse 1U und 2U.
Motorprinzip: In Motoren wird das Induktionsprinzip in „umgekehrter Reihenfolge“
verwendet. Ein stromführender Leiter ist in einem Magnetfeld angeordnet. Der Leiter
wird dann von einer Kraft F beeinflusst, die versucht, den Leiter aus dem Magnetfeld
zu bewegen. Beim Motorprinzip erzeugen Magnetfeld und stromdurchflossener Leiter
die rotierende Bewegung.
Im Statorgehäuse befindet sich ein Eisenkern aus dünnen 0,3 bis 0,5 mm starken Eisenblechen. Die Eisenbleche sind mit Ausstanzungen für die Phasenwicklungen versehen.
Die Phasenwicklungen und der Statorkern erzeugen das Magnetfeld. Die Anzahl der Polpaare (oder Pole) bestimmt die Drehgeschwindigkeit, mit der das Magnetfeld rotiert.
Wenn ein Motor an seine Nennfrequenz angeschlossen ist, wird die Drehzahl des Magnetfeldes als synchrone Drehzahl des Motors bezeichnet.
88
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Wenn man sich das Prinzip eines Generators in Verbindung mit Abb. 2.7 betrachtet,
erzeugt der Gleichstrom in der Erregerwicklung ein homogenes, zeitlich konstantes (d. h.
stationäres) Magnetfeld, das mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ! rotieren soll.
Als Drehrichtung ist der mathematisch positive Drehsinn gewählt, der gegen den Uhrzeigersinn verläuft. Die induzierte Spannung erhält man an den beiden Anschlüssen 1U
und 2U.
Ist „n“ die Umdrehungszahl der Leiterschleife pro Zeiteinheit und T D 1=n die Periodendauer oder Zeit für eine Umdrehung, so gilt
! D2 nD
2 T
Im Allgemeinen gilt für die synchrone Drehzahl nS von Motoren und Generatoren
nS D
60 f
p
nS = synchrone Drehzahl in min–1
f = Frequenz in Hz
p = Polpaarzahl (1 Polpaar besteht immer aus einem Nord- und einem Südpol)
Beispiel
Wie groß ist die synchrone Drehzahl eines vierpoligen Wechselstrommotors?
nS D
60 f
60 50 Hz
D
D 750 min1
p
4
Es wird eine synchrone Drehzahl von 750 min–1 erreicht. In der Praxis tritt aber immer
ein Schlupf s auf, damit bei einem Wechselstrommotor das entsprechende Drehmoment
erreicht wird. Der Schlupf berechnet sich aus
sD
nS n
nS
Der Schlupf wird immer in Prozent angegeben und liegt zwischen 0,8 % bis 5 %.
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
89
Beispiel
Bei dem vierpoligen Wechselstrommotor wird eine Umdrehungszahl von 715 min–1
gemessen. Wie hoch ist der Schlupf?
sD
nS n
750 min1 715 min1
D
D 4;66 %
nS
750 min1
Im Gegensatz zur synchronen Drehzahl ist die asynchrone Läuferdrehzahl immer etwas geringer.
2.1.8 Drehstrom
Ein Drehstromsystem kann man dadurch aufbauen, dass drei Leiterschleifen verwendet
werden, die mit gleicher Winkelgeschwindigkeit rotieren und zueinander um jeweils 120°
räumlich versetzt sind. Natürlich würde eine solche Anordnung praktisch nicht funktionieren, da die geringste Änderung die räumliche Lage der Leiterschleifen zueinander ändern
würde, d. h. es entsteht ein unsymmetrisches Drehstromnetz.
Bei einem Drehstromgenerator bzw. -motor unterscheidet man zwischen dem Stator
und Rotor. Den feststehenden Teil der Maschine definiert man als Ständer (Stator) und den
umlaufenden Teil als Läufer (Rotor). Man unterscheidet im Aufbau Teile, die den elektrischen Strom leiten (Wicklungen und Bürsten) und Teile, die den magnetischen Fluss
leiten (Metallgehäuse, Stator). Diese Anordnung wird durch Konstruktionsteile entsprechend mechanisch realisiert.
Die magnetisch leitenden Teile des Stators und Rotors von Wechsel- und Drehstrommaschinen sind aus Blechen aufgebaut, um die Wirbelströme zu reduzieren. Für die Blechpakete werden 0,35 bis 1,5 mm dicke, einseitig oder doppelseitig isolierte Blechtafeln aus
Elektroblech mittels Tafelscheren in Streifen geschnitten. Man verwendet auch Bänder aus
Elektroblech. Auf diesen Bändern werden mit speziellen Pressen mit Folgeschnitten nacheinander Ständer- und Läuferbleche so ineinanderliegend ausgeschnitten, dass möglichst
wenig Abfall entsteht. Ständer- und Läufernuten kleidet man meist mit einer Isolierung
aus Pressspan aus. Diese Nutisolierung hat die Aufgabe, Unebenheiten in der Nut zu decken und die Spule vor Beschädigungen zu schützen. In die isolierten Nuten werden dann
die Wicklungsdrähte eingelegt.
Der Drehstrom ist ein Dreiphasenwechselstrom und wird durch einen Drehstromgenerator erzeugt. Da die drei Leiterschleifen jeweils um 120° zueinander phasenverschoben
sind, ergibt sich durch den magnetischen Fluss ˚ eine Besonderheit. Infolge der Änderung des magnetischen Flusses ˚ würde in jeder Leiterschleife eine Spannung induziert
aus
d˚
˚
bzw: u D N U D N t
dt
90
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.8 Erzeugung eines Dreiphasenwechselstroms durch einen Drehstromgenerator. Neben dem
mechanischen Aufbau mit Rotor und Stator, die mechanische Anordnung der drei Spulen, die um
120° gegeneinander phasenverschoben sind, ist auch das Liniendiagramm und die elektrische Anordnung der drei Spulen dargestellt
Bei der linken Formel wird die Spannung U nach dem Induktionsgesetz von Faraday berechnet, denn die Spannung ist abhängig von einer gleichmäßigen Flussänderung ˚
und der Dauer der gleichmäßigen Änderung t. Auch die Windungszahl N muss berücksichtigt werden. Bei einer ungleichmäßigen Änderung des Flusses gilt für die induzierte
Spannung die rechte Formel für die Berechnung des augenblicklichen Wertes u. Das
Minuszeichen in den beiden Formeln bedeutet, dass Induktionsspannung und Induktionsstrom der sie erzeugenden Flussänderung entgegenwirken (Lenzsche Regel). Bei einer
Zunahme des magnetischen Flusses fließt der induzierte Strom also entgegengesetzt zu
der sich aus der Korkenzieherregel ergebenden Richtung. Für die Korkenzieherregel gilt,
schraubt man einen Korkenzieher in Richtung des fließenden Stroms vorwärts, so gibt sein
Drehsinn die Richtung der Feldlinien an.
In Abb. 2.8 ist die prinzipielle Erzeugung des Drehstroms in einem Generator mit
mechanischer Anordnung der drei Spulen und dem daraus resultierenden Liniendiagramm
gezeigt.
Der einfache Drehstromgenerator besteht aus drei getrennten Phasenwicklungen und
die einzelnen Phasenwicklungen sind um 120° oder 1/3 Periode gegeneinander verschoben. In jeder Phasenwicklung entsteht ein Wechselstrom. Infolgedessen entstehen drei
getrennte Wechselströme und sie sind wie ihre Phasenwicklungen um 120° oder 1/3 Periode gegeneinander verschoben. Die Anschlüsse der drei Spulen lauten:
1 U (Anfang) und 2 U (Ende)
1 V (Anfang) und 2 V (Ende)
1 W (Anfang) und 2 W (Ende)
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
91
Je nach Zusammenfassung der drei Spulen erhält man entweder eine Stern- oder Dreieckschaltung. Bei der Sternschaltung sind die drei Enden miteinander verbunden und
bilden den Mittelpunkt. Hat man eine Dreieckschaltung, muss der Anfang einer Spule
mit dem Ende der vorherigen Spule verbunden sein.
2.1.9 Drehstromübertragung
In der Praxis verwendet man die Drehstromübertragung von Abb. 2.9 und hier sind alle
wichtigen Begriffe eingezeichnet.
Auf der linken Seite hat man den Drehstromgenerator mit Gleichstromerregung, d. h.
der Permanentmagnet in Abb. 2.8 wird gegen eine Gleichstromspule ausgetauscht. Dadurch benötigt man eine entsprechende Bürste (Kohle) für die Übertragung des Erregerstromes. Der Drehstromgenerator arbeitet in einer Sternschaltung, d. h. der Mittelpunkt
der drei Spulen ist miteinander verbunden. Die drei Phasen des Drehstromgenerators erzeugen für den Drehstromtransformator die Primärspannung und die Primärwicklung wird
in Sternschaltung betrieben. Die Sekundärwicklung arbeitet in Dreieckschaltung und die
drei Phasen bilden das Hochspannungsübertragungsnetz für die Überlandleitungen. Auf
der Seite des Kunden hat man einen Drehstromtransformator, der die Hochspannung entsprechend in eine Niederspannung von 230/400 V umsetzt. Danach muss man dann das
entsprechende Verteilungsnetz realisieren.
Für Abb. 2.9 gelten folgende Definitionen:
Drehstrom ist die übliche Bezeichnung für ein dreiphasiges Wechselstromsystem
Phase ist der augenblickliche Schwingungsvorgang eines periodischen Schwingungsvorgangs
Phasenfolge ist in einem Mehrphasensystem die zeitliche Reihenfolge, in der die
gleichartigen Augenblickswerte der Spannungen in den einzelnen Stromleitungen
nacheinander auftreten
Mittelpunkt bei einem Mehrphasensystem ist der „Sternpunkt“, ein Anschlusspunkt,
die in Anordnung und Wirkung gleichwertiger Stränge eines Systems ausgehen
Außenleiter ist der Leiter, der an einem Außenpunkt angeschlossen ist, z. B. L1, L2
und L3
Neutralleiter N ist der Leiter, der an einem Mittelpunkt oder Sternpunkt angeschlossen
ist
Mittelleiter ist der Neutralleiter N, der an einem Mittelpunkt angeschlossen ist
Nullleiter ist der unmittelbar geerdete Leiter, meist der Neutralleiter
Strang ist die Stromleitung in einem Mehrphasensystem, in der der Strom einer Phase
(in Abhängigkeit vom Schwingungszustand) fließt
Außenleiterspannung ist die Spannung zwischen zwei Außenleitern mit zeitlich aufeinanderfolgenden Phasen, z. B. U UV , U VW und U WU
92
Abb. 2.9 Beispiel einer praxisgerechten Drehstromübertragung
vom Hersteller (Elektrizitätswerk), Transformator,
Überlandleitungen bis zum Verbraucher
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
93
Dreieckspannung ist der effektive Nennwert der Außenleiterspannung in einem Drehstromnetz
Außenleiter-Mittelleiterspannung ist die Spannung zwischen einem Außenleiter und
dem Mittelleiter (Mittelpunkt) z. B. U UN , U VN und U WN
Sternspannung ist die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt
Strangspannung ist die Spannung zwischen den Enden eines Stranges, unabhängig davon, in welcher Schaltung die Stränge zusammengeschlossen sind
Mittelpunktspannung ist die Spannung zwischen einem Mittelpunkt (Mittelleiter) und
einem Punkt mit festgelegtem Potential, z. B. der Bezugserde
Sternpunktspannung ist die Spannung zwischen einem Sternpunkt und einem Punkt
mit festgelegtem Potential, z. B. der Bezugserde
Dreieckstrom ist eine andere Bezeichnung für den Strangstrom in einer Dreieckschaltung
Sternstrom ist eine andere Bezeichnung für den Strangstrom in einem Mehrphasensystem in Sternschaltung
Soll jeder einzelne Wechselstrom für sich abgeleitet werden, dann sind für jeden Wechselstrom zwei Leitungen und für alle drei Wechselströme sechs Leitungen erforderlich. In
Abb. 2.9 ist der Verlauf der drei um je 120° gegeneinander verschobenen Wechselspannungen gezeigt.
2.1.10 Vergleich zwischen Stern- und Dreieckschaltung
Bei der symmetrischen Belastung einer Stern- oder Dreieckschaltung gelten folgende Bedingungen:
Sternschaltung
p
U D 3 UStr
I D IStr
p
S D 3 UStr I D 3 U I
p
P D 3 UStr I cos ' D 3 U I cos '
p
Q D 3 UStr I sin ' D 3 U I sin '
U
p
= Außenleiterspannung U 12 , U 23 , U 31
3 = Verkettungsfaktor
I Str = Strangspannung U 1N , U 2N , U 3N
S
= Scheinleistung in VA oder kVA
I
= Außenleiterstrom I 1 , I 2 , I 3
Dreieckschaltung
p
I D 3 IStr
U D UStr
p
S D 3 U IStr D 3 U I
p
P D 3 U IStr cos ' D 3 U I cos '
p
Q D 3 U IStr sin ' D 3 U I sin '
94
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.10 Gegenüberstellung der Spulenanordnungen für Stern- und Dreieckschaltung
P = Wirkleistung in W oder kW
U Str = Strangstrom I 12 , I 23 , I 31
Q = Blindleistung in var oder kvar
Durch die Gegenüberstellung von Abb. 2.10 lässt sich der Unterschied zwischen Sternund Dreieckschaltung sofort erkennen. Bei der Sternschaltung hat man immer vier Leitungen (L1, L2, L3, N), bei der Dreieckschaltung kommt man dagegen mit drei Leitungen
(L1, L2, L3) aus.
Bei einer symmetrischen Belastung tritt in der Sternschaltung im Neutralleiter N kein
Stromfluss auf, da die Außenleiterströme und die Verbraucherwiderstände alle gleich groß
sind. Bei einer unsymmetrischen Belastung muss bei einer Sternschaltung mit Neutrallei-
2.1 Grundlagen des Wechselstromkreises
95
Abb. 2.11 Spannungen in einem Drehstromsystem
ter jede Phase gesondert berechnet werden, z. B.
Phase 1N: I1N D
U1N cos '
R1
U
U1N D p
3
P1N D U1N I1 cos '1
Bei einer unsymmetrischen Dreieckschaltung muss die Berechnung für jeden Verbraucherwiderstand ebenfalls wieder gesondert erfolgen, z. B.
Zwischen L1 und L2: I12 D
U cos '12
R12
P12 D U12 I12 cos '12
Der Strom im Neutralleiter lässt sich grafisch aus den Außenleiterströmen ermitteln. Diese
werden entsprechend ihrem Wert unter Berücksichtigung des Phasenwinkels bzw. ihrer
Richtung geometrisch aneinandergereiht. Die Strecke von Pfeil I 3 zum Anfang von I 1
ergibt den Neutralleiterstrom. Bilden die Ströme I 1 , I 2 und I 3 ein geschlossenes Dreieck,
so fließt im Neutralleiter kein Strom. Dies ist aber nur bei einer symmetrischen Belastung
der Fall.
Gehen vom Generator vier Leitungen aus, so definiert man ein solches Netz als ein
„Vierleiternetz“. Im 400-V-Vierleiternetz beträgt die Spannung zwischen je zwei Außenleitern 400 V und die Spannung zwischen jedem Strangleiter und dem Neutralleiter 230 V.
Da zwei verschiedene Spannungen vorhanden sind, arbeitet man in der Praxis mit 230 V
für Glühlampen und Haushaltsgeräten oder mit 400 V bei Motoren, Wärmegeräte aller
Art.
In der Schaltung von Abb. 2.11 sind drei Wechselspannungsgeneratoren und sechs
Multimeter gezeigt. Die drei Generatoren erzeugen jeweils eine Wechselspannung von
U D 230 V und sind mit der gemeinsamen Masse verbunden, die dann die PEN-Leitung
bildet. Die Besonderheit in dieser Schaltung sind die eingestellten Phasenverschiebungen
von U1 D 0ı , U2 D 120ı und U3 D 240ı . Damit lässt sich der typische Verlauf eines
96
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Drehstroms simulieren, da jede Phasenwicklung um 120° oder 1/3 Periode gegeneinander
phasenverschoben ist. Es gilt:
U1N D U2N D U3N D 230 V
U12 D U23 D U31 D 400 V
Befindet sich ein Multimeter zwischen Strang und Masse (Neutralleiter), gibt die Anzeige
einen Wert von U D 230 V aus. Schaltet man das Multimeter zwischen die Außenleiter
ein, zeigt das Multimeter einen Wert von U D 400 V an.
2.2 Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
Betreibt man einen Widerstand im Wechselstromkreis, verändert sich dessen Wert kaum.
Daher spricht man vom Wirkwiderstand R, der nicht frequenzabhängig ist. Im Gegensatz
hierzu ist der Widerstandswert von Kondensator und Spule frequenzabhängig und man
spricht vom kapazitiven bzw. induktiven Blindwiderstand.
2.2.1 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Ein Wechselstrom in einem ohmschen Widerstand ist stets in Phase mit der Spannung.
Die Nulldurchgänge von Strom und Spannung erfolgen also im gleichen Zeitpunkt. Fließt
dagegen ein Wechselstrom durch einen Kondensator oder eine Spule, dann sind Strom und
Spannung nicht mehr gleichphasig, denn es tritt eine entsprechende Phasenverschiebung
auf.
Abbildung 2.12 zeigt eine Schaltung zur Untersuchung eines ohmschen Widerstands
im Wechsel- und Gleichstromkreis. Achtung! Die Messgeräte sind immer auf eine DCMessung (Direct Current, Gleichstrom) eingestellt. Wird mit einer DC-Einstellung ein
Wechselstrom gemessen, erscheint keine Fehlermeldung, sondern ein „unsinniger“ Wert.
In diesem Fall muss auf eine AC-Messung (Alternating Current) umgestellt werden. Wenn
man den Widerstand anhand der Messwerte von Spannung U und Strom I ermittelt, zeigt
sich für Gleich- und Wechselstrom das gleiche Ergebnis:
RD
230 V
U
D
I
2;3 A
Durch diese Messung stellt man fest, dass der ohmsche Widerstand frequenzunabhängig
ist. Bei rein ohmscher Last (Wirkwiderstand) weisen Spannung und Strom gleichzeitig
die Höchstwerte bzw. Nulldurchgänge auf, d. h. Spannung und Strom sind phasengleich.
Ein Stromverbraucher, bei dem Spannung und Strom stets genau in Phase sind, bezeichnet man als „Wirkwiderstand“ oder „reellen Widerstand“. Der Strom durch den
Widerstand folgt sowohl mit seinem Augenblickswert i als auch mit seinem Effektivwert I
2.2 Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
97
Abb. 2.12 Untersuchung eines ohmschen Widerstands im Wechsel- und Gleichstromkreis
dem ohmschen Gesetz:
iD
u
R
bzw:
I D
U
R
In einem Wirkwiderstand wird die gesamte vom Generator gelieferte Leistung verbraucht,
beispielsweise in Wärme umgesetzt. Alle Augenblickswerte der Leistung PO sind demnach
positiv:
u D UO sin !t
i D IO sin !t
Dies gilt jedoch nicht uneingeschränkt. Bei höheren Frequenzen zeigen sich zusätzliche Erscheinungen (z. B. Skineffekt). Auch bei Induktivitäten und Kapazitäten gelten die
nachfolgenden Formeln für die Blindwiderstände im Hochfrequenzbereich nur mit gewissen Einschränkungen.
2.2.2
Kondensator im Wechselstromkreis
Besteht zwischen Strom und Spannung eine Phasenverschiebung von ' D C90ı , dann ist
das ein Zeichen dafür, dass der Verbraucher die in einem gewissen Zeitraum aufgenommene Leistung anschließend restlos an den Generator zurückliefert. Das Produkt Q D U I
bezeichnet man in diesem Fall als Blindleistung. Den Widerstand X D U=I eines Blindleistungsverbrauchers definiert man folglich als „Blindwiderstand“ oder „Reaktanz“.
Ein verlustloser Kondensator stellt für Wechselströme einen solchen Blindwiderstand
dar. Das Zustandekommen der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung lässt
sich durch folgende Überlegung erklären: Legt man an einen Kondensator eine Gleichspannung an, fließt sofort ein großer Strom, da der zunächst ungeladene Kondensator
spannungslos ist. Der Ladestrom fließt so lange, bis der Kondensator auf den Wert der
angelegten Gleichspannung aufgeladen ist. Die auf den Kondensatorplatten befindlichen
positiven und negativen Ladungen stehen sich dann gegenüber und erzeugen ein elektrisches Feld, in dem sich ein Teil der während der Aufladung von dem Gleichstromgenerator
abgegebenen Energie befindet. Senkt man die Spannung auf 0 V auf, fließt ein Strom in
98
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.13 Untersuchung eines Kondensators im Wechselstromkreis
umgekehrter Richtung, der die Spannungen wieder ausgleicht. Der Kondensator gibt dabei einen Teil seiner Ladung ab. Im Extremfall könnte man eine geladene Batterie gegen
eine ungeladene austauschen. In diesem Fall würde der Kondensator seine gespeicherte
Energie völlig verlieren.
Abbildung 2.13 zeigt eine Schaltung zur Untersuchung eines Kondensators im Wechselstromkreis. Schließt man an einen Kondensator eine sinusförmige Wechselspannung
an, gilt folgende Überlegung: im Nulldurchgang der Spannung ist deren Änderungsgeschwindigkeit sehr groß, weshalb auch ein großer Strom fließen muss. Beim Scheitelwert
der Spannung ist die Änderungsgeschwindigkeit dagegen null, folglich fließt auch kein
Strom. Ein genaues Verfolgen der Spannungsänderung ergibt dann die Tatsache, dass der
ebenfalls sinusförmige Strom durch einen Kondensator der Spannung um 90° vorauseilt:
erst muss ein Strom fließen, der die für eine bestimmte Spannung erforderliche Ladung
auf den Kondensator bringt.
Da der Strom umso größer ist, je schneller die Spannungsänderung erfolgt, ist der
Blindwiderstand eines Kondensators umso geringer, je höher die Frequenz f und je größer
die Kapazität C ist:
1
1
D
XC D
2 f C
!C
Aus mathematischen Gründen steht in der Gleichung nicht die Frequenz f , sondern die
Kreisfrequenz ! bzw. die Winkelgeschwindigkeit !. Es gilt:
I D
U
U
D
DU !C
XC
1=! C
2.2 Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
99
Beispiel
In Abb. 2.13 fließt bei einer Spannung von uC D 12 V ein Strom von iC D 3;77 mA.
Wie groß ist die Kapazität des Kondensators?
uC
12 V
D
D 3;18 k
iC
3;77 mA
1
1
C D
D
1 F
2 f XC
2 3;14 50 Hz 3;18 k
XC D
Vergleicht man die Rechnung mit dem Wert in der Schaltung von Abb. 2.14, ergeben sich gleiche Werte. Der Kondensator C wird in Farad D As=V definiert und mit
einer Frequenz f in 1/s ergibt sich für den kapazitiven Blindwiderstand X C die Einheit
V=A D .
Im Gegensatz zum Gleichstromkreis, in dem die Kapazität einen praktisch unendlich
hohen Widerstand aufweist, hat diese bei Wechselstrom einen endlichen Widerstand, den
kapazitiven Widerstand X C . Dieser Blindwiderstand ist nur bei Wechselstrom wirksam.
Die in der Versuchsanordnung bemessene Stromstärke steigt mit zunehmender Frequenz oder größerer Kapazität. Somit ist der kapazitive Blindwiderstand X C umso kleiner,
je höher die Frequenz bzw. Kreisfrequenz und je größer die Kapazität ist.
2.2.3 Spule im Wechselstromkreis
Schließt man eine ideale (verlustarme) Spule an eine Gleichspannungsquelle an, widersetzt sich die Induktivität L zunächst jeglichem Stromfluss: Im Einschaltmoment liegt
demnach die volle Spannung U an den Spulenklemmen. Allmählich beginnt dann der
Strom nach einer e-Funktion anzusteigen, bis er den maximalen Wert erreicht hat. Dieser
maximale Stromwert ist vom Gleichstromwiderstand der Spule abhängig. Wenn dieser
sehr klein ist, schließt er im Endzustand die Spannungsquelle praktisch kurz. Bei einer
Spule tritt also das umgekehrte Verhalten wie bei einem Kondensator auf: hier ist erst eine
Spannung vorhanden, aber es fließt kein Strom, während die Spannung auf null reduziert
wird, wenn der Strom seinen Höchstwert erreicht hat.
Abbildung 2.14 zeigt eine Schaltung zur Untersuchung einer Spule im Wechselstromkreis. Im Wechselstromkreis hat die „verlustfreie“ Induktivität einen großen Widerstand,
den man als induktiven Blindwiderstand bezeichnet. Dieser Blindwiderstand ist nur bei
Wechselstrom wirksam. Mit dieser Versuchsanordnung lässt sich zeigen, dass bei Erhöhung der Frequenz der Strom durch die Induktivität sinkt, der Blindwiderstand X L also
zunimmt. Für die Größe des induktiven Blindwiderstandes X L gilt die Formel
XL D ! L D 2 f L
Mit L in Henry D Vs=A und f in 1/s ergibt sich für den induktiven Blindwiderstand X L
die Einheit des Widerstands mit V=A D .
100
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.14 Untersuchung einer Spule im Wechselstromkreis
Beispiel
In der Schaltung von Abb. 2.14 fließt ein Strom von iL D 38;2 mA bei einer Spannung
von uL D 12 V. Welchen Wert hat die Induktivität der Spule?
XL D
uL
12 V
XL
314 D
D 314 L D
D
1H
iL
38;2 mA
2 f
2 3;14 50 Hz
Damit sind Mess- und Rechenergebnis identisch.
2.2.4
Zeigerbild- und Liniendiagramm
Mit Hilfe des Zeigerbild- und Liniendiagramms kann man die Vorgänge zwischen dem
Spannungs- und Stromverlauf darstellen, wie Abb. 2.15 zeigt.
Abb. 2.15 Darstellung des Einheitskreises durch Zeigerbild- und Liniendiagramm
2.2 Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
101
Abb. 2.16 Darstellung des
Bogenmaßes
Man zeichnet einen Kreis mit dem Radius r D 1 und den Radius lässt man entgegen
den Uhrzeigersinn umlaufen. Seine Projektion auf die senkrechte Achse (Ordinate) ist
dann gleich dem Sinus des Winkels, den er im jeweiligen Augenblick mit der waagrechten
Achse (Abszisse) bildet. Gibt man nun dem Radius einen Maßstab für den Scheitelwert der
Spannung oder des Stroms, dann ist die Projektion des Radius auf die Ordinate gleich dem
jeweiligen Augenblickswert. Der Scheitelwert ist dabei der größte während des Umlaufs
vorkommende Spannungs- oder Stromwert. Er wird mit UO und IOsymbolisiert. Es gilt:
u D UO sin ˛
i D IO sin ˛
Den Winkel ˛ misst man in der Mathematik nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß (in
„Radianten“ = rad). Darunter ist diejenige Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis
zu verstehen, die den Winkel ˛ einschließt, wie Abb. 2.16 zeigt.
Für die ganze Umdrehung beträgt sie „2 r“ D „2 rad“. Dreht sich der Radius mit
n-Umdrehungen/Sekunde, dann hat die Zeigerspitze die Geschwindigkeit v D 2 n.
Bei einer Umdrehung pro Sekunde ist v D 2 rad s1 D 6;28 rad s1 und bei 50 Umdr./s
ist v D 314 rad s1 usw.
Bei jedem Umlauf wird die Sinuskurve einmal durchlaufen und man bezeichnet das
als „Periode“. Mit n Umdr./s entstehen folglich n Perioden. Die Periodenzahl pro Sekunde
definiert man als Frequenz f . Sie hat die Einheit „Hertz“ (Hz).
Der Ausdruck für die Umlaufgeschwindigkeit der Zeigerspitze wird nun v D ! D
2 f . Diese Geschwindigkeit trägt die Bezeichnung „Winkelgeschwindigkeit“ oder
„Kreisfrequenz“. Sie wird durch „!“ definiert.
Eine Periode T dauert bei 1 Hz eine Sekunde, bei 10 Hz 0,1 Sekunde usw. Die Periodendauer T ist also gleich dem Kehrwert der Frequenz: T D 1=f . Der jeweilige Winkel
˛ des Radius mit der Abszisse berechnet sich nach der Gleichung
Weg D Geschwindigkeit Zeit zu Winkel D Geschwindigkeit Zeit W
˛ D!t D2 f t
102
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Damit ergibt sich der Augenblickswert einer Spannung oder eines Stromes zu
u D UO sin !t
i D IO sin !t
2.2.5 Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
Ein Wechselstrom in einem ohmschen Widerstand ist stets in Phase mit der Spannung. Die
Nulldurchgänge von Spannung und Strom erfolgen also im gleichen Zeitpunkt. Fließt ein
Wechselstrom dagegen durch einen Kondensator oder eine Spule, dann sind Spannung und
Strom nicht mehr gleichphasig. Auf die Ursachen wird in diesem Kapitel eingegangen.
Der Strom in einem Verbraucher kann der Spannung bis zu 90° vor- oder nacheilen.
Spannung und Strom sind im Vektordiagramm von Abb. 2.17 gezeigt. Die Spannung UO
wird auf der Abszisse und den Strom IO trägt man auf der Ordinate in positiver bzw. negativer Richtung auf. Bei der Betrachtung mit einer Phasenverschiebung um +90° steigt die
Spannung von 0 aus an, so hat der Strom sein Maximum bereits überschritten und beginnt
abzunehmen. Abbildung 2.18 zeigt diese Verhältnisse. Die dritten Kurve stellt den zeitlichen Verlauf der Leitung p D u i dar. Im Gegensatz zum Leistungsverlauf bei einem rein
ohmschen Widerstand kommen nun nicht nur positive Werte vor, sondern auch negative.
Bei einer Phasenverschiebung von 90° ist die Leistung in der Summe null, da sich die
Flächen oberhalb und unterhalb der Nulllinie aufheben. Die während der ersten ViertelAbb. 2.17 Vektordiagramm für
eine Phasenverschiebung von
˙90ı zwischen Spannung und
Strom
Abb. 2.18 Spannung, Strom und
Leistung bei einer Phasenverschiebung von +90°
2.2 Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
103
Abb. 2.19 Phasenverschiebung '. a Zwei Wechselgrößen, b Vor- und Nacheilen von drei Wechselgrößen gleicher Frequenz
periode an den Verbraucher abgegebene Energie gibt dieser in der zweiten Viertelperiode
an den Generator zurück. Das Produkt p D u i ist zwar eine Leistung, die aber über
die Dauer einer Periode gesehen keine Leistung verrichten kann. Man bezeichnet diese
Amplitude als „Blindleistung“.
Mit einer Phasenverschiebung von –90° ergeben sich ähnliche Verhältnisse, nur beginnt die Leistungskurve mit negativen Werten und endet mit positiven. Die während einer
Periode vom Verbraucher aufgenommene Energie ist auch hier null.
Die Phasenverschiebung kennzeichnet die Differenz der Nullphasenwinkel zwischen
mehreren Wechselgrößen, wie Abb. 2.19 zeigt. In vielen Fällen unterscheiden sich die
Nullphasenwinkel mehrerer Wechselstromgrößen voneinander und weisen dadurch untereinander eine Phasenverschiebung ' auf. Die Angabe der Phasenverschiebung ' ist nur
bei gleichzeitiger Angabe der Phasenlage einer Bezugsgröße '1 oder '2 sinnvoll. Für die
Praxis gilt:
Positiver
Voreilung
Phasenwinkel oder
bedeutet eine Verschiebung
Negativer
Nacheilung
der Sinusschwingung in
Im Zeigerdiagramm ist der
im
positiver
Richtung der Zeitachse.
negativer
voreilende
Zeiger gegenüber dem Bezugszeiger
nacheilende
LinksSinn um den Winkel ˙ ' gedreht (Abb. 2.19)
Rechts-
104
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.20 Spannung, Strom und
Leistung bei einer Phasenverschiebung von +45°
Als dritter Fall soll eine Phasenverschiebung von +45° betrachtet werden, wie
Abb. 2.20 zeigt. Die Leistungskurve ist jetzt gegenüber derjenigen von 90° nach oben
verschoben. Die Flächen oberhalb und unterhalb der Nulllinie sind daher ungleich, d. h.
dass außer einer Blindleistung auch noch die wirkliche Leistung (Wirkleistung) vorhanden
sein muss, weil die Flächensumme positiv ist: der Verbraucher hat während einer Periode
eine gewisse Energie verbraucht, die sich durch Ausmessen der Flächen bestimmen lässt.
2.2.6 Induktive und kapazitive Blindleistung
Die Leistung bei Gleichstrom berechnet sich aus
P DU I
Diese Formel gilt auch für Wechselspannung, wenn man sich auf die Augenblickswerte
von Spannung und Strom bezieht. Liegt eine Wechselspannung an einem ohmschen Widerstand (Heizgerät), sind Spannung und Strom phasengleich. Durch Multiplikation der
Augenblickswerte von Spannung und Strom ergibt sich der Augenblickswert der Leistung.
Die Leistungskurve ist immer positiv, da Spannung und Strom beim Wirkwiderstand entweder gleichzeitig positiv oder negativ sind. Positive Leistung bedeutet, dass die Leistung
vom Erzeuger direkt zum Verbraucher übergeht, also keine Blindleistung vorhanden ist.
Liegt an einem ohmschen Widerstand eine Wechselspannung an, fließt ein bestimmter
Strom und das Produkt ergibt die elektrische Leistung in Watt, wie Abb. 2.21 zeigt.
P D
.230 V/2
U2
D
D 529 W
R
100 Das Wattmeter zeigt einen Wert von P D 529 W an. Der Leistungsfaktor beträgt
cos ' D 1, da es sich um einen rein ohmschen Verbraucher handelt,
2.2 Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
105
Abb. 2.21 Messung der Wechselstromleistung eines Widerstands mittels Wattmeter
Die Wechselstromleistung hat den Scheitelwert bei
pO D uO iO
und lässt sich durch Flächenwandlung in eine gleichwertige Gleichstromleistung, der sogenannten Wirkleistung P, umwandeln.
Das Wattmeter in Abb. 2.22 zeigt keine Wirkleistung an und der Leistungsfaktor beträgt cos ' D 0, da es sich um einen rein kapazitiven Verbraucher handelt. Bei einem
idealen Kondensator eilt die Spannung dem Strom um 90° nach. Die Multiplikation der
Augenblickswerte von Spannung und Strom führt zur Leistungskurve im positiven und
negativen Bereich. Die positive Leistung bedeutet, dass aus dem Netz (Wechselspannungsquelle) eine Leistung entnommen wird, während bei der negativen Leistung die
Ladung des Kondensators wieder an das Netz (Wechselspannungsquelle) zurückfließt. Die
Leistung, die kurzzeitig aus dem Netz entzogen wird, dient zum Aufbau des elektrostatischen Feldes, die Leistung, die in das Netz zurückfließt, zum Abbau des elektrischen
Feldes. Da keine Wirkleistung in dem Kondensator umgesetzt wird, spricht man von einer
Blindleistung. Die Blindleistung errechnet sich aus
QC D U IC
Die kapazitive Blindleistung hat die Bezeichnung „var“ (volt-ampere-reaktiv, reaktiv = rückwirkend).
Der kapazitive Blindwiderstand errechnet sich aus
XC D
1
1
D
D 31;84 2 f C
2 3;14 50 Hz 100 F
Die kapazitive Blindleistung ist dann
QC D
U2
.230 V/2
D
D 1;66 kvar
XC
31;84 106
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.22 Messung der Wechselstromleistung eines Kondensators mittels Wattmeter
Abb. 2.23 Phasenverschiebung
an einem Kondensator
Die Blindleistung hat die Bezeichnung „var“ (volt-ampere-reaktiv). Aus diesem Grund
zeigt das Wattmeter keine Wirkleistung an. Abbildung 2.23 zeigt die Phasenverschiebung
für einen kapazitiven Blindwiderstand. Der durch einen Kondensator fließende Strom eilt
der Spannung um 90° voraus.
Die Berechnungen erfolgen nach
u D UO C sin !t
i D IOC sin !t C
2
Das Wattmeter in Abb. 2.24 zeigt keine Wirkleistung an und der Leistungsfaktor beträgt
cos ' D 0, da es sich um einen rein induktiven Verbraucher handelt. Bei einer idealen
Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° vor. Die Multiplikation der Augenblickswerte
von Spannung und Strom führt zur Leistungskurve im positiven und negativen Bereich.
Die positive Leistung bedeutet, dass aus dem Netz (Wechselspannungsquelle) eine Leistung entnommen wird, während bei der negativen Leistung die Energie wieder an das
Netz (Wechselspannungsquelle) zurückfließt. Die Leistung, die kurzzeitig aus dem Netz
entzogen wird, dient zum Aufbau des elektrodynamischen Feldes, die Leistung, die in das
Netz zurückfließt, zum Abbau dieses Feldes. Da keine Wirkleistung in der Spule umgesetzt wird, spricht man von einer induktiven Blindleistung. Die induktive Blindleistung
2.2 Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis
107
Abb. 2.24 Messung der Wechselstromleistung einer Spule mittels Wattmeter
Abb. 2.25 Phasenverschiebung
an einer Spule
errechnet sich aus
QL D U IL
Der induktive Blindwiderstand errechnet sich aus
XL D 2 f L D 2 3;14 50 Hz 1 H D 314 Die induktive Blindleistung ist dann
QL D
U2
.230 V/2
D
D 168 var
XL
314 Die induktive Blindleistung hat die Bezeichnung „var“ (volt-ampere-reaktiv). Das diesem
Grund zeigt das Wattmeter keine Wirkleistung an. Abbildung 2.25 zeigt die Phasenverschiebung für einen induktiven Blindwiderstand. Der durch die Spule fließende Strom eilt
der Spannung um 90° nach.
Die Berechnungen erfolgen nach
i D IOL sin !t
u D UO L sin !t C
2
108
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
2.2.7 Scheinleistung
Bei der Leistungsaufnahme und deren Berechnung kennt man im Wechselstromkreis drei
unterschiedliche Größen:
Scheinleistung S in VA
Wirkleistung P in W
Blindleistung Q in var
Liegt ein Kondensator oder eine Spule an einer Wechselspannung, ergibt sich eine
Blindleistung, bei einem ohmschen Widerstand dagegen eine Wirkleistung. Schaltet man
einen Widerstand in Reihe mit einem Kondensator oder einer Spule, tritt eine Scheinleistung auf. Die Wirkleistung errechnet sich aus
P D U I cos '
Die Blindleistung ist
Q D U I sin ' D
p
S2 P 2
Die Scheinleistung erhält man aus
S DU I D
p
P 2 C Q2
Die Scheinleistung lässt keinen Rückschluss darüber zu, wie groß der Anteil der wirklich
aufgenommenen und „verbrauchten“ Leistung ist.
Wirk- und Blindleistung lassen sich im Zeigerbild zur Scheinleistung addieren, wie
Abb. 2.26 zeigt. Das Verhältnis von Wirkleistung zur Scheinleistung ist der Wirkleistungsfaktor. Das Verhältnis von P zu S im Leistungsdreieck ist das Verhältnis von Ankathede
zur Hypotenuse, also der Cosinus des Winkels '. Der Wirkleistungsfaktor errechnet sich
aus
P
cos ' D
S
Verwendet man die beiden anderen Winkelfunktionen, kann man den Wirkleistungsfaktor
auch berechnen aus
Q
Q
sin ' D
oder tan ' D
S
P
Beispiel
Ein Verbraucher nimmt an U D 230 V einen Strom von I D 21;74 A auf und hat eine
Wirkleistung von P D 4 kW. Wie groß ist Scheinleistung S, der Wirkleistungsfaktor
2.3 Wechselstromkreise
109
Abb. 2.26 Leistungsdreieck für
die Wirk-, Blind- und Scheinleistung
cos' und die Blindleistung?
S D U I D 230 V 21;74 A D 5000 VA D 5 kVA
QD
cos ' D
P
4 kW
D
D 0;8
S
5 kVA
q
p
S 2 P 2 D .5 kVA/2 .4 kW/2 D 3000 var D 3 kvar
Man kann auch folgende Formeln verwenden:
P D U I cos ' D S cos '
2.3
Q D U I sin ' D S sin '
Wechselstromkreise
Unter Wechselstromkreisen versteht man die Reihen- bzw. Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator bzw. Spule.
2.3.1 Widerstand-Kondensator-Reihenschaltung
Das Problem in der praktischen Messtechnik ist die Phasenverschiebung zwischen Strom
und Spannung, damit man Wirk- und Blindleistung berechnen kann. Bevor die Messung
durchgeführt wird, soll zuerst die Theorie für eine Reihenschaltung betrachtet werden.
Ein Widerstand mit R D 1 k und ein Kondensator mit C D 5 F liegen in Reihe an
einer Wechselspannung von 230 V/50 Hz. Abbildung 2.27 zeigt die Schaltung mit den
drei Messgeräten.
Für den kapazitiven Blindwiderstand gilt
XC D
1
1
D
D 637 2 f C
2 3;14 50 Hz 5 F
Der Scheinwiderstand Z errechnet sich aus
q
q
2
2
Z D R C XC D .1 k/2 C .0;637 k/2 D 1;185 k
110
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.27 Messung einer
Widerstand-KondensatorReihenschaltung
Der Strom durch die Widerstand-Kondensator-Reihenschaltung ist
I D
230 V
U
D
D 194 mA
Z
1;185 k
Die beiden Spannungen am Widerstand und Kondensator sind dann
UR D I R D 194 mA 1 k D 194 V
UC D I XC D 194 mA 637 D 123;6 V
Zur Kontrolle:
Uges
q
q
2
2
D UR C UC D .194 V/2 C .123;6 V/2 D 230 V
Messungen und Rechnungen sind identisch!
Die Phasenverschiebung ist dann
cos ' D
R
Z
sin ' D
XC
Z
tan ' D
XC
R
und für dieses Beispiel gilt:
tan ' D
637 XC
D
D 0;637 ! 32;5ı
R
1 k
Es tritt eine Phasenverschiebung von 32,5° auf. Abbildung 2.28 zeigt die Schaltung zur
direkten Messung der Phasenverschiebung.
Die Phasenverschiebung misst man zwischen den zwei Nulldurchgängen der beiden
Amplituden im Oszilloskop. Die komplette Sinusschwingung misst vier Divisionen und
die Phasenverschiebung zwischen den beiden Sinusschwingungen dagegen 0,4 Divisio-
2.3 Wechselstromkreise
111
Abb. 2.28 Schaltung zur Messung der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung
nen. Mittels des Dreisatzes erhält man die Phasenverschiebung mit
4 Div ! 360ı
360ı 0;4 Div
D 36ı
4 Div
Kennt man die Spannung, den Strom und die Phasenverschiebung, lässt sich die Wirk-,
Blind- und Scheinleistung berechnen.
Ein Zweikanal-Oszilloskop hat zwei identische Y-Eingänge, die mittels der Zeitablenkung zwei Amplituden über den Bildschirm anzeigen. Für die Messung der Phasenverschiebung lässt sich das Oszilloskop auf den X-Y-Betrieb umschalten. Bei dem simulierten
Oszilloskop hat man hierzu die beiden Felder B/A und A/B und das Umschalten erfolgt
durch Anklicken mit der Maus. Es erscheint die Lissajous-Figur von Abb. 2.29.
Der A-Eingang des Oszilloskops von Abb. 2.29 erhält direkt die Eingangsspannung,
während die Spannung für den B-Eingang zwischen dem Widerstand und dem Kondensator abgegriffen wird. Damit ergibt sich eine Phasenverschiebung zwischen den beiden
0;4 Div ! ‹
112
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.29 Messung der Phasenverschiebung bei einem RC-Glied mittels Lissajous-Figur und dem
Wattmeter für die Anzeige der Wirkleistung P mit dem Leistungsfaktor cos '
Eingängen. Der Elektronenstrahl wird genau entsprechend dem augenblicklichen Spannungswert der beiden Amplituden abgelenkt und damit lässt sich bei periodischen Vorgängen ein charakteristisches Kurvenbild erzeugen, die sogenannte Lissajous-Figur. Bei
gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und Phasenlage entsteht ein nach rechts um 45° geneigter Strich und bei einer Phasenverschiebung von 90° ein Kreis. In dem Oszillogramm
lässt sich der Phasenverschiebungswinkel aus
cos ' D
1;4 Div
Y0
D
D 0;77 ! 39ı
Ymax
1;8 Div
berechnen. Damit sind Rechenergebnis und Messung fast identisch.
Aus den beiden Spannungskomponenten U R und U C ergibt sich die resultierende Gesamtspannung U ges , die mit dem Strom I den Phasenwinkel ' bildet. Obwohl es sich um
einen Kondensator handelt, ist dieser Winkel nicht mehr 90°, sondern kleiner. Den feh-
2.3 Wechselstromkreise
113
Abb. 2.30 Schaltung und Vektordiagramm für eine Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator
lenden Winkelbetrag definiert mal als „Fehlwinkel“ oder „Verlustwinkel“ ı wie Abb. 2.30
zeigt.
Die Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator von Abb. 2.30 dient als Ersatzschaltbild für einen verlustbehafteten Kondensator. Im Widerstand R denkt man sich
konzentriert alle Verluste, während der Kondensator C die ideale, verlustlose Kapazität
repräsentiert. Ohne Verluste ist also R D 0 und damit auch der Fehlwinkel ı D 0. Der
Fehlwinkel ı dient als Maß für die Verluste eines Kondensators. Zur zahlenmäßigen Erfassung zieht man Tangens heran und erhält:
tan ı D
I R
UR
D
UC
I 1=.! C /
Man bezeichnet „tan ı“ auch als Verlustfaktor und dieser ist das Verhältnis der Wirkspannung U R zur Blindspannung U C . Da die Spannungen den Widerständen proportional sind,
ist der Verlustfaktor zugleich das Verhältnis aus Wirk- und Blindwiderstand. Die Verluste
sind auch durch einen Parallelwiderstand darstellbar, wobei aber eine andere Formel gilt.
Das Wattmeter zeigt eine Leistung von P 40 W und einen Leistungsfaktor von
cos ' D 0;827 an. Die Scheinleistung S berechnet sich aus
SD
40 W
P
D
D 48;37 VA
cos '
0;827
Die Blindleistung beträgt
QD
p
S2 P 2 D
q
.48;34 VA/2 .40 W/2 D 27;2 var
Abbildung 2.31 zeigt eine komplette Zusammenfassung der Formeln für die Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator.
114
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.31 Zusammenfassung der Formeln für die Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator
2.3.2 Reihenschaltung von Widerstand und Spule
Das Problem in der praktischen Messtechnik ist die Phasenverschiebung zwischen Strom
und Spannung, damit man Wirk- und Blindleistung berechnen kann. Abbildung 2.32 zeigt
eine Reihenschaltung von Widerstand und Spule.
Ein Widerstand mit R D 1 k und einer Spule von 2,5 H liegen in Reihe an einer
Wechselspannung von 230 V/50 Hz. Für den induktiven Blindwiderstand gilt
XL D 2 f L D 2 3;14 50 Hz 2;5 H D 785 Der Scheinwiderstand Z errechnet sich aus
q
q
Z D R2 C XL 2 D .1 k/2 C .0;785 k/2 D 1;27 k
Abb. 2.32 Reihenschaltung von
Widerstand und Spule
2.3 Wechselstromkreise
115
Der Strom durch die Widerstand-Spulen-Reihenschaltung ist
I D
230 V
U
D
D 180 mA
Z
1;27 k
Die beiden Spannungen an Widerstand und Spule sind dann
UR D I R D 180 mA 1 k D 180 V
UL D I XL D 180 mA 785 D 141;3 V
Zur Kontrolle:
Uges D
q
q
UR2 UL2 D .180 V/2 .141;3 V/2 D 230 V
Messungen und Rechnungen sind identisch! Die Phasenverschiebung ist dann
cos ' D
R
Z
sin ' D
XL
Z
tan ' D
XL
R
und für dieses Beispiel gilt:
tan ' D
785 XL
D
D 0;785 ! 38ı
R
1 k
Es tritt eine Phasenverschiebung von 38° auf. Abbildung 2.33 zeigt die Schaltung zur
direkten Messung der Phasenverschiebung.
Die Phasenverschiebung misst man zwischen den zwei Nulldurchgängen der beiden
Amplituden im Oszilloskop. Die komplette Sinusschwingung misst vier Divisionen und
die Phasenverschiebung zwischen den beiden Sinusschwingungen dagegen 0,4 Divisionen. Mittels des Dreisatzes erhält man die Phasenverschiebung mit
4 Div ! 360ı
0; 4 Div ! ‹
360ı 0;4 Div
D 36ı
4 Div
Kennt man die Spannung, den Strom und die Phasenverschiebung, lässt sich die Wirk-,
Blind- und Scheinleistung berechnen.
Der A-Eingang des Oszilloskops erhält in Abb. 2.34 direkt die Eingangsspannung,
während die Spannung für den B-Eingang zwischen dem Widerstand und der Spule abgegriffen wird. Damit ergibt sich eine Phasenverschiebung zwischen den beiden Eingängen.
Der Elektronenstrahl wird genau entsprechend dem augenblicklichen Spannungswert der
beiden Amplituden abgelenkt und damit lässt sich bei periodischen Vorgängen ein charakteristisches Kurvenbild erzeugen, die sogenannte Lissajous-Figur. Bei gleicher Amplitude,
gleicher Frequenz und Phasenlage entsteht ein nach rechts um 45° geneigter Strich und
116
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.33 Schaltung zur Messung der Phasenverschiebung an einem RL-Glied zwischen Strom
und Spannung
bei einer Phasenverschiebung von 90° ein Kreis. In unserem Oszillogramm lässt sich der
Phasenverschiebungswinkel berechnen aus
cos ' D
Y0
1;6 Div
D
D 0;8 ! 36;8ı
Ymax
2 Div
Damit sind Rechenergebnis und Messung identisch.
Das Wattmeter zeigt eine Leistung von P D 33;25 W und einen Leistungsfaktor von
cos ' D 0;786 an. Die Scheinleistung S berechnet sich aus
SD
P
33;25 W
D
D 42;3 VA
cos '
0;786
Die Blindleistung beträgt
QD
p
S2
P2
q
D .42;3 VA/2 .33;25 W/2 D 26;1 var
2.3 Wechselstromkreise
117
Abb. 2.34 Messung der Phasenverschiebung mittels Lissajous-Figur und Wattmeter für die Anzeige der Wirkleistung P mit Leistungsfaktor cos '
Abbildung 2.35 zeigt eine Zusammenfassung der Formeln für die Reihenschaltung aus
Widerstand und Spule.
2.3.3 Reihenschaltung von Widerstand, Kondensator und Spule
Bei der Reihenschaltung ist die Betrachtung in diesem Buch auf sinusförmige Wechselspannung und -ströme beschränkt. Für die einzelnen Schaltungen ergeben sich daher
übersichtliche Zeigerdiagramme.
In der Reihenschaltung von Abb. 2.36 fließt durch alle drei Bauelemente immer der
gleiche Strom. Der Spannungsfall U R am ohmschen Widerstand hat die gleiche Phasenlage wie der Strom. Die Kondensatorspannung U C erreicht die entsprechende Phase
(Höchstwert bzw. Nulldurchgang) um 1/4 Periode (–90°) später. Die Spulenspannung U L
118
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.35 Zusammenfassung der Formeln für die Reihenschaltung aus Widerstand und Spule
Abb. 2.36 Spannungen und Zeigerdiagramme für eine Reihenschaltung von Widerstand, Kondensator und Spule
eilt dem Strom um 1/4 Periode (+90°) voraus. Die Phasenverschiebung zwischen den Teilspannungen U C und U L beträgt daher 1/2 Periode (180°). Da der jeweilige Spannungsfall
an den beiden Blindwiderständen einander entgegengerichtet ist, wird die größere Spannung stets um den Betrag der kleineren Spannung vermindert.
Für die Zeigerdiagramme gelten in der Praxis drei Betrachtungen: Bei niedrigen Frequenzen überwiegt der kapazitive Blindanteil X C des Kondensators C, während bei hohen
Frequenzen der induktive Blindanteil X L der Spule L überwiegt. Im ersten Fall zeigt die
Reihenschaltung ein kapazitives, im zweiten Fall ein induktives Verhalten.
Bei einer bestimmten Frequenz, der Resonanzfrequenz, sind X C und X L gleich. Die beiden Blindwiderstände heben sich aufgrund ihrer entgegengesetzten Phasenlage auf und es
ist nur der ohmsche Widerstand R wirksam, d. h. der Scheinwiderstand hat den kleinsten
Wert. Dadurch fließt der größte Strom in der Schaltung und an den beiden Blindwider-
2.3 Wechselstromkreise
119
ständen treten bedingt durch das ohmsche Gesetz hohe Spannungen auf, die sich aber
gegenseitig aufheben. Man hat jetzt eine Spannungsresonanz.
Der Blindwiderstand X aus den beiden Blindwiderständen X C und X L zeigt, ob man
einen kapazitiven oder einen induktiven Fall hat:
XC > XL W X D XC XL (kapazitiver Fall)
XC D XL W X D 0 (Resonanzfall)
XL > XC W X D XL XC (induktiver Fall)
Der Scheinwiderstand ist
ZD
p
R2 C X 2
Der Strom durch die Reihenschaltung berechnet sich aus
I D
U
Z
Über den Stromfluss lassen sich die drei Spannungsfälle bestimmen mit
UR D I R
UC D I XC
UL D I XL
Die Phasenverschiebung kann man errechnen aus
cos ' D
UR
R
D
Z
U
sin ' D
X
UX
D
Z
U
tan ' D
X
UX
D
R
UR
Man muss noch das entsprechende Vorzeichen für den kapazitiven bzw. induktiven Fall
beachten.
Abb. 2.37 Dimensionierte RCLReihenschaltung
120
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Beispiel
Als Beispiel für eine Simulation von Abb. 2.37 soll eine RCL-Reihenschaltung untersucht werden mit R D 3 k, C D 1 F und L D 20 H an einer Spannung von
U D 230 V=50 Hz. Wie groß sind die einzelnen Spannungen und die Phasenverschiebung?
In der Schaltung sind bereits die Werte aus der Simulation angezeigt worden. Mittels der nachfolgenden Berechnung lässt sich die Simulation überprüfen.
XC D
1
1
D
D 3;18 k
2 f C
2 3;14 50 Hz 1 F
XL D 2 f L D 2 3;14 50 Hz 20 H D 6;28 k
.induktiverFall/
X D XL XC D 6;28 k 3;18 k D 3;1 k
q
p
Z D R2 C X 2 D .3 k/2 C .3;1 k/2 D 4;3 k
I D
U
230 V
D
D 53;3 mA UR D I R D 53;3 mA 3 k D 160 V
Z
4;3 k
UC D I XC D 53;3 mA 3;18 k D 169 V
UL D I XL D 53;3 mA 6;28 k D 334 V
tan ' D
X
3;1 k
D
D 1;03 ! 46ı
R
3 k
Zwischen der Simulation und der algebraischen Lösung ergeben sich minimale Differenzen. Zur Überprüfung der Richtigkeit der algebraischen Lösung:
UX D 334 V169 V D 165 V
U D
q
q
UR 2 C UX 2 D .160 V/2 C .165 V/2 D 230 V
Verstellt man die Frequenz des Generators, erkennt man, wie sich Spannungen, der Strom
und die Phasenverschiebung ändern. Die Resonanzfrequenz ist bei
fres D
1
1
p
D
p
D 35;6 Hz
2
3;14
20 H 1 F
2 LC
erreicht. Bei Änderung der Frequenz der Eingangsspannung einer Reihenschaltung ergibt
sich für jede Frequenz ein anderer Scheinwiderstand Z. Bei Gleichspannung (f D 0)
sperrt der Kondensator (Z D 1; I D 0) und bei hohen Frequenzen (f D 1) sperrt die
Spule (Z D 1; I D 0). Im Resonanzfall (f res ) heben sich die Blindwiderstände von X C
und X L auf, und es gilt Z D R und I D Imax .
2.3 Wechselstromkreise
121
Abb. 2.38 Phasenverschiebung bei einer Reihenschaltung von Widerstand, Kondensator und Spule
Für die Schaltung von Abb. 2.38 gelten folgende Formeln:
cos ' D
R
Z
.Leistungsfaktor/
sin ' D
X
Z
.Blindleistungsfaktor/
tan ı D
X
R
.Verlustfaktor/
Wenn man die Phasenverschiebung misst, ergibt sich folgender Wert:
cos ' D
1;6 Div
Y0
D
D 0;66 ! 48;2ı
Ymax
2;4 Div
Messergebnisse und Berechnungen sind weitgehend identisch!
122
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
2.3.4 Parallelschaltung von Widerstand, Kondensator und Spule
Bei der Parallelschaltung von Widerstand, Kondensator und Spule muss man von der Betrachtung der Leitwerte oder der Teilströme in der Schaltung ausgehen. Die einzelnen
Teilströme werden unter Berücksichtigung der Phasenlage zur Ermittlung des Gesamtstroms geometrisch addiert. Aus dem Gesamtstrom lässt sich dann der Scheinwiderstand
berechnen.
Der Gesamtstrom der Schaltung in Abb. 2.39 ist von den drei Teilströmen abhängig,
während die Spannung an allen drei Bauelementen immer gleich groß ist. Je nachdem ob,
der kapazitive oder induktive Widerstand geringer ist, ist der Gesamtstrom zur Spannung
vor- oder nacheilend. Entsprechend ergibt sich ein kapazitives oder induktives Verhalten.
Bei niedrigen Frequenzen ist der induktive Blindwiderstand niederohmig und damit der
Strom durch die Spule entsprechend hoch. Bei hohen Frequenzen hat der kapazitive Blindwiderstand einen niedrigen Wert und es fließt ein hoher Strom. Bei der Resonanzfrequenz
pendelt der Strom zwischen dem Kondensator und der Spule hin und her. Der zufließende
Strom wird nur durch den ohmschen Widerstand bestimmt. Da sich beide Blindströme
nach außen aufheben, spricht man von einer Stromresonanz.
Abb. 2.39 Parallelschaltung und Zeigerdiagramme von Widerstand, Kondensator und Spule
Abb. 2.40 Simulation einer dimensionierten RCL-Parallelschaltung
2.3 Wechselstromkreise
123
Beispiel
Als Beispiel für eine Simulation soll die RCL-Parallelschaltung von Abb. 2.40 untersucht werden mit R D 3 k, C D 1 F und L D 20 H an einer Spannung von
U D 230 V=50 Hz. Wie groß sind die einzelnen Ströme und die Phasenverschiebung?
IR D
U
230 V
D
D 76;6 mA
R
3 k
1
1
D
D 3;18 k
2 f C
2 3;14 50 Hz 1 F
U
230 V
IC D
D
D 72;2 mA
XC
3;18 k
XC D
XL D 2 f L D 2 3;14 50 Hz 20 H D 6;28 k
U
230 V
D
D 36;6 mA
IL D
XL
6;28 k
IX D IC IL D 72;2 mA 36;6 mA D 35;6 mA
q
q
I D IR 2 C IX 2 D .76;6 mA/2 C .35;6 mA/2 D 84;47 mA
ZD
230 V
U
D
D 2;72 k
I
84;47 mA
tan ' D
IX
35;6 mA
D
D 0;42 ! 22;8ı
I
84;47 mA
Wenn man die Phasenverschiebung in Abb. 2.41 misst, ergibt sich folgender Wert:
cos ' D
0;7 Div
Y0
D
D 0;269 ! 74;4ı
Ymax
2;6 Div
Durch diesen Messaufbau muss die Phasenverschiebung korrigiert werden mit
90ı 74;4ı D 15;6ı . Messergebnisse und Berechnungen sind weitgehend identisch!
Statt die Berechnungen über die Ströme durchzuführen, kann man auch mit den Leitwerten rechnen:
Wirkleitwert:
Blindleitwert:
Scheinleitwert:
Leistungsfaktor:
1
GDR
B Dp
BC BL (kapazitiv) oder B D BL BC (induktiv)
Y D G2 B 2
cos ' D G
Y
Blindleistungsfaktor:
sin ' D
B
Y
124
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.41 Messen der Phasenverschiebung mit der Lissajous-Figur
2.3.5 Leistung im Wechselstromkreis
Für die Leistung im Wechselstromkreis gilt die Scheinleistung
S DU I
Die Wirkleistung berechnet sich aus
P D U I cos '
Die Blindleistung ermittelt man aus
Q D U I sin '
oder Q D
Bei der Reihenschaltung gilt für die Wirkleistung
P D UW I
p
S2 P 2
2.3 Wechselstromkreise
125
Man unterscheidet zwischen
UX D UL UC
(induktiver Fall) bzw. UX D UC UL
(kapazitiver Fall)
Die Blindleistung berechnet sich aus
Q D UX I
QL D UL I
QC D UC I
Für die Parallelschaltung gilt
P D U IW
mit
IX D IL IC
(induktiver Fall) bzw. IX D IC IL
(kapazitiver Fall)
Die Blindleistung berechnet sich aus
Q D U IX
QL D U IL
QC D UC I
Die Scheinleistung definiert man in VA (Volt-Ampere), die Wirkleistung in W (Watt) und
die Blindleistung in var (volt-ampere-reaktiv).
In der Schaltung von Abb. 2.42 steuert die Wechselspannungsquelle die Reihenschaltung von Kondensator und Lampe an. Während der Kondensator frequenzabhängig ist,
stellt die Lampe einen ohmschen Widerstand dar. In dieser Schaltungsanordnung hat
man durch die Reihenschaltung eine frequenzabhängige Lichtquelle. Wenn die Simulation läuft, blinkt die Lichtquelle. Verringert sich die Frequenz, hört die Lampe auf zu
blinken.
Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung multipliziert mit dem Strom.
Die Wechselstromleistung ist proportional der Spannungsamplitude multipliziert mit der
Stromamplitude und ist abhängig von der Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom.
Dieser Zusammenhang ist im Oszilloskop sichtbar, was folglich Aufschluss über die Leistung gibt. Die Phasenverschiebung errechnet sich aus
cos ' D
1 Div
Y0
D
D 0;416 ! 65;4ı
Ymax
2;4 Div
Die zu bestimmende Leistung beträgt die Hälfte des Produkts aus der maximalen XAuslenkung (Spannungsamplitude) und der zugehörigen Y-Auslenkung (Stromamplitude). In der Auslenkung sind bereits die Phasendifferenz und die Stromamplitude berücksichtigt.
Bei 1,6 Div auf der X-Achse schneidet die Kurve die Achse. Damit fällt an dem Widerstand R1 eine Spannung von 16 V ab, da der Kanal B auf 10 V/Div eingestellt ist. Damit
ergibt sich ein Strom von
16 V
U
D
D 16 mA
I D
R1
1 k
126
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.42 Messung der Wechselstromleistung bei einem kapazitiven Verbraucher
Der kapazitive Blindwiderstand des Kondensators berechnet sich aus
XC D
1
1
D
D 6;37 k
2 f C
2 3;14 50 Hz 500 nF
Der Spannungsfall an dem Kondensator ist
UC D I XC D 16 mA 6;37 k D 102 V
Damit ergibt sich für die Lampe (ohmscher Verbraucher) und dem Widerstand eine Spannung von
q
q
UX D
U 2 UC2 D
.230 V/2 .102 V/2 D 206 V
2.3 Wechselstromkreise
127
An der Lampe ist eine Spannung von 206 V 16 V D 190 V vorhanden. Die Schein-,
Wirk- und Blindleistung der Schaltung ist
S D U I D 230 V 16 mA D 3;68 VA
P D U I cos ' D 230 V 16 mA 0;4 D 1;47 W
QC D
p
S2
P2
q
D .3;68 VA/2 .1;47 W/2 D 3;37 var
Für die Untersuchung der Schaltung verringert man zuerst die Frequenz und danach erhöht man diese wieder. Bei sehr niedriger Frequenz beträgt die Phasendifferenz annähernd
eine Viertelperiode, d. h. die Phasenfigur ist kreisförmig oder besteht aus einer aufrechtstehenden Ellipse. Die maximale X-Auslenkung fällt in diesem Fall mit der Y-Auslenkung
zusammen und die aufgenommene Leistung ist null, die Lampe erlischt. Bei hohen Frequenzen tritt dagegen keine Phasendifferenz auf und die Phasenfigur zeigt die Form einer
Geraden an. Die maximale X-Auslenkung fällt dann mit der maximalen Y-Auslenkung
zusammen und die aufgenommene Leistung ist gleich der Hälfte des Produkts beider
Auslenkungen. Beträgt z. B. die Phasendifferenz eine 1/6 Periode, fällt die maximale XAuslenkung mit der halben maximalen Y-Auslenkung zusammen und die Leistung ist
dann nur noch ein Viertel des Produkts aus der Stromamplitude multipliziert mit der Spannungsamplitude.
In der Schaltung von Abb. 2.43 steuert die Wechselspannungsquelle die Reihenschaltung von Spule und Lampe an. Während die Spule frequenzabhängig ist, stellt die Lampe
einen ohmschen Widerstand dar. In dieser Schaltungsanordnung hat man durch die Reihenschaltung eine frequenzabhängige Lichtquelle. Wenn die Simulation läuft, blinkt die
Lichtquelle. Verringert sich die Frequenz, hört die Lampe auf zu blinken.
Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung multipliziert mit dem Strom.
Die Wechselstromleistung ist proportional der Spannungsamplitude multipliziert mit der
Stromamplitude und ist abhängig von der Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom.
Dieser Zusammenhang ist im Oszilloskop sichtbar, was folglich Aufschluss über die Leistung gibt. Die Phasenverschiebung errechnet sich aus
cos ' D
1;3 Div
Y0
D
D 0;59 ! 53;77ı
Ymax
2;2 Div
Die zu bestimmende Leistung beträgt die Hälfte des Produkts aus der maximalen XAuslenkung (Spannungsamplitude) und der zugehörigen Y-Auslenkung (Stromamplitude). In der Auslenkung sind bereits die Phasendifferenz und die Stromamplitude berücksichtigt.
Der Strom berechnet sich aus dem Schnittpunkt an der X-Achse mit zwei Divisionen
und einer Einstellung von 10 V=Div D 20 V:
I D
20 V
U
D
D 20 mA
R1
1 k
128
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.43 Messung der Wechselstromleistung bei einem induktiven Verbraucher
Der induktive Blindwiderstand der Spule berechnet sich aus
XL D 2 f L D 2 3;14 50 Hz 30 H D 9;42 k
Der Spannungsfall an der Spule ist
UL D I XL D 20 mA 9;42 k D 188;4 V
Damit ergibt sich für die Lampe (ohmscher Verbraucher) und dem Widerstand eine Spannung von
q
q
UX D
U 2 UL2 D
.230 V/2 .188;4 V/2 D 132 V
2.3 Wechselstromkreise
129
An der Lampe ist eine Spannung von 132 V 20 V D 112 V vorhanden. Die Schein-,
Wirk- und Blindleistung der Schaltung ist
S D U I D 230 V 20 mA D 4;6 VA
P D U I cos ' D 230 V 20 mA 0;59 D 2;71 W
QC D
q
p
S 2 P 2 D .4;6 VA/2 .2;71 W/2 D 3;72 var
Für die Reihenschaltung gilt:
P D UW I
UX D UL UC
Q D Ub I
(induktiv)
QL D UL I
UW D U cos '
UX D UC UL
(kapazitiv)
QC D UC I
Ub D U sin ' D UW tan '
In der Praxis misst man die Wirkleistung und den Leistungsfaktor mit einem Wattmeter,
wie Abb. 2.44 zeigt. Das Wattmeter zeigt eine Wirkleistung von P D 8;522 W und einen
Leistungsfaktor von cos ' D 0;695 an. Durch die Schaltung fließt ein Strom von
I D
8;522 W
P
D
D 53;3 mA
U cos '
230 V 0;695
Die Scheinleistung ist
S D U I D 230 V 53;3 mA D 12;26 VA
Die Blindleistung berechnet sich aus
QC D
p
S2 P 2 D
q
.12;26 VA/2 .8;522 W/2 D 8;81 var
Bei der RCL-Parallelschaltung von Abb. 2.45 wird eine Wirkleistung von
P D 17;626 W und ein Leistungsfaktor von cos ' D 0;773 gemessen. Der Strom
durch den ohmschen Widerstand ist
IR D
P
17;626 W
D
D 99 mA
U cos '
230 V 0;773
Die Scheinleistung berechnet sich aus
S D U IR D 230 V 99 mA D 22;77 VA
und die Blindleistung
q
p
2
2
QC D S P D .22;77 VA/2 .17;626 W/2 D 13;1 var
130
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.44 Messung der Wirkleistung und des Leistungsfaktors bei einer RCL-Reihenschaltung
Abb. 2.45 Messung der Wirkleistung und des Leistungsfaktors bei einer RCL-Parallelschaltung
Für die Parallelschaltung gilt:
P D UW I
IX D IL IC
Q D U Ib
IW D U cos '
(induktiv)
IX D IC IL
QL D U IL
QC D U IC
(kapazitiv)
Ib D I sin ' D IW tan '
2.3.6 Kompensationsschaltung für den Einphasenbetrieb
Wechselstrommotoren und die Drossel (Vorschaltgerät) von Leuchtstofflampen erzeugen
während ihres Betriebszustandes eine Blindleistung. Diese Blindleistung muss man durch
einen Kondensator kompensieren. Diese Blindstromkompensation hilft Energiekosten
einzusparen, elektrische Einrichtungen wie Leitungen, Schaltelemente, Transformatoren
und Generatoren vom Blindstrom zu entlasten. Diese Vorteile sind besonders in Industrie-
2.3 Wechselstromkreise
131
und Gewerbebetrieben zu beachten, bei denen die Stromkosten eine bedeutende Rolle
spielen. Aus wirtschaftlichen Gründen kompensiert man in der Regel nur bis zu einem
maximalen Leistungsfaktor von cos ' D 0; 95 (induktiv). Würde man den Leistungsfaktor
auf cos ' D 1; 0 verbessern, benötigte man eine unwirtschaftliche hohe Kondensatorleistung. Eine Überkompensation ist auf jeden Fall zu vermeiden, da hierbei unter Umständen
die Spannung gefährlich hoch ansteigen kann. Zur Ermittlung der erforderlichen Kompensationsleistung gibt es folgende Möglichkeiten:
Messung von Spannung, Strom und Leistung
Messung des cos ' mittels Leistungsfaktor
Messung der Wirk- und Blindleistung mittels Zähler bzw. Schreiber
Beispiel
Die Leuchtstofflampe mit Drossel von Abb. 2.46 hat eine Leistungsaufnahme von
P D 40 W bei einem Leistungsfaktor von cos ' D 0;6. Welchen Kondensator benötigt
man für eine vollständige Kompensation mit cos ' D 1 und bei einer Kompensation
von cos ' D 0;92?
40 W
P
D
D 66;7 VA
SD
cos '
0;6
I D
66;7 VA
S
D
D 290 mA
U
230 V
cos ' D 0;6 ! ' D 53ı ) tan ' D 1;33
QL D P tan ' D 40 W 1;33 D 53 var
Vollständige Kompensation mit cos ' D 1:
I D
40 W
P
D
D 174 mA
U
230 V
QL D QC D 53 var und S D P D 53 var
C D
53 var
QC
D
D 3;2 F
2 f U2
2 3;14 50 Hz .230 V/2
132
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.46 Schaltung einer
Leuchtstofflampe mit Drossel
und Kompensationskondensator
Praktische Kompensation mit cos ' D 0;92:
cos ' D 0;92 ! ' D 23ı ) tan ' D 0;43
SD
40 W
P
D
D 43;5 VA
cos '
0;92
I D
S
43;5 VA
D
D 190 mA
U
230 V
Q D P tan ' D 40 W 0;43 D 17 var
QC D QL Q D 53 var 17 var D 36 var
C D
36 var
QC
D
D 2;2 F
2
2 f U
2 3;14 50 Hz .230 V/2
Das Ergebnis zeigt, dass sich bei einer Kompensation von cos ' D 1 auf cos ' D 0;92
der Strom in den Zuleitungen um I D 100 mA reduziert. Die erforderliche Kapazität
für den Kompensationskondensator verringert sich von C D 3;2 F auf C D 2;2 F
und dies bei einer Leuchtstofflampe mit P D 40 W.
2.4 Drehstrom
133
Abb. 2.47 Zeigerdiagramm für
die Blindleistungskompensation
Abbildung 2.47 zeigt das Zeigerdiagramm für die Blindleistungskompensation. Die
kapazitive Blindleistung QC errechnet sich aus
QC D P .tan '1 tan '2 /
tan '1 D
QL
P
tan '2 D
Q
P
QC D QL Q
Die Berechnung für den Kondensator lautet
cos 0;6 ! ' D 53ı ) tan ' D 1;33
cos 0;92 ! ' D 23ı ) tan ' D 0;43
QC D 40 W.1;33 0;43/ D 36 var
C D
36 var
QC
D
D 2;2 F
2
2 f U
2 3;14 50 Hz .230 V/2
Die Simulationsdaten von Abb. 2.48 sind weitgehend identisch mit den numerischen Werten.
2.4 Drehstrom
Bei der Erzeugung von Drehstrom werden in einem Generator drei Spulen so angeordnet,
dass diese gegeneinander um 120° versetzt sind. Damit entsteht in jeder Spule eine Wechselspannung, die zur anderen um jeweils 120° verschoben ist. Die drei Wechselspannungen U 1–2 , V 1–2 und W 1–2 sind entsprechend der Spulenanordnung um 120° gegeneinander
phasenverschoben, wie Abb. 2.49 zeigt.
Schließt man an die drei Generatorspulen je einen Verbraucher an, fließen die drei
Wechselströme I 1 , I 2 und I 3 . Hat man drei gleiche Widerstände, und addiert man die drei
Spannungen oder Ströme jeweils in einem bestimmten Zeitpunkt, so ergibt deren Summe
134
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.48 Simulationsschaltung zwischen einer vollständigen und einer praktischen Blindleistungskompensation mit cos ' D 1 und cos ' D 0;92
Abb. 2.49 Anordnung und Drehstromliniendiagramm der Wicklungen bei einem Drehstromgenerator bzw. -motor
immer null. Wenn man sich das Drehstromliniendiagramm betrachtet, lassen sich beispielsweise folgende Summen bilden:
Augenblick 1
I1 D C5 A
I2 D 10 A
I3 D C5 A
I D C0 A
Augenblick 2 usw:
I1 D C10 A
I2 D 5 A
I3 D 5 A
I D 0 A
Aus diesem Grunde lassen sich die drei so genannten Phasen des Drehstromnetzes einfach
zu einer Stern- oder Dreieckschaltung verketten.
2.4 Drehstrom
135
In Abb. 2.49 sind die Wicklungsanfänge und -enden der einzelnen Wicklungen durch
Buchstaben gekennzeichnet. Jeder einzelne Wicklungsteil im Generator bzw. jeder einzelne Teilwiderstand Z im Verbraucher eines Drehstromsystems wird als „Strang“ oder
„Phase“ bezeichnet. Der Anfang des ersten Strangs wird bei elektrischen Maschinen mit
1U, der zweite mit 1V und der dritte mit 1W gekennzeichnet und das jeweils zugehörige
Ende mit 2U, 2V und 2W. An die Anfangspunkte eines Strangs schließt man die Außenleiter an, die man mit L1, L2 und L3 bezeichnet.
2.4.1
Simulation einer symmetrisch belasteten Sternschaltung
Die Spannungen bei einem Drehstromsystem wurden durch die Schaltung von Abb. 2.11
bereits untersucht und auch die Besonderheiten der drei Wechselspannungsgeneratoren,
die die drei Außenleiter-, bzw. Strangspannungen erzeugen.
Der Drehstrom in Abb. 2.50 wird durch die Parallelschaltung von drei Wechselspannungsquellen erzeugt. Wichtig ist nur, dass die Phasenverschiebung zwischen den einzelnen Leitern um 120° beträgt. Durch einen Doppelklick auf das Symbol erhält man die Einstellungen für Spannung, Frequenz und Phasenverschiebung. Die drei oberen Anschlüsse
bilden die Leiterspannungen L1, L2 und L3. Die unteren Anschlüsse sind zusammengefasst und ergeben die Leitung PEN (PE = Protection Earth oder Schutzerde, N = Neutralleiter). Durch die drei Leiter und PEN erhält man ein typisches Vierleitersystem. Für den
PEN verwendet man die Farbe „grün-gelb“. Trennt man den gemeinsamen PEN in einen
separaten PE und separaten N auf, erhält man heute das praxisnahe Fünfleitersystem. Für
die PE-Leitung verwendet man die Farbe „grün-gelb“ und für die N-Leitung die Farbe
„hellblau“. Die Leitungen L1, L2 und L3 sind in „schwarz“ auszuführen. Das Massezeichen in der Schaltung definiert man als Betriebserder oder als Sternpunkt.
Mit den drei Voltmetern werden die Spannungen zwischen dem entsprechenden Leiter
und N (Neutralleiter) angezeigt. Es ergibt sich
U1N D U2N D U3N D 230 V
IStr D
U
230 V
D
D 2;3 A
R
100 Durch die drei Widerstände fließt jeweils ein Strom von I D 2;3 A. Die Leistung pro
Widerstand und Strang berechnet sich aus
P D U I D 230 V 2;3 A D 529 W
Die Messung von Abb. 2.51 mit den Wattmetern ist identisch mit den Rechenwerten.
Durch das Wattmeter kann man nur die Leistung für eine Phase messen. Die Gesamtleistung ist dann
Pges D 3 P D 3 529 W D 1587 W D 1;587 kW
136
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.50 Messung an einer symmetrisch belasteten Sternschaltung mit ohmschen Verbrauchern,
wobei vier Multimeter die jeweiligen Ströme anzeigen
2.4.2
Simulation einer symmetrisch belasteten Dreieckschaltung
Bei einer Dreieckschaltung darf an den drei Widerständen keine Masse angeschlossen
werden.
In der Dreieckschaltung von Abb. 2.52 wird kein PEN-, PE- oder N-Leiter benötigt.
Mit den drei Amperemetern werden die Außenleiterströme angezeigt. Es ergibt sich
U12 D U23 D U13 D 400 V
I12 D
p U
p 400 V
3 D 3
D 6;9 A
R
100 Durch die drei Widerstände fließt jeweils ein Strom von I D 6;9 A.
Wenn man einen Drehstrommotor über P > 2 kW betreibt, verwendet man einen
Stern-Dreieck-Schalter. Schaltet man den Motor ein, wird er zuerst in Sternschaltung betrieben, d. h. er wird zuerst auf eine verminderte Spannung und daher auch mit einem
2.4 Drehstrom
137
Abb. 2.51 Messung an einer symmetrisch belasteten Sternschaltung mit ohmschen Verbrauchern,
wobei drei Wattmeter die jeweilige Strangleistung anzeigen
Abb. 2.52 Messung an einer
symmetrischen Dreieckschaltung
mit ohmschen Verbrauchern
reduzierten Strom gestartet. Die Phasenwicklungen setzen weniger Leistung um. Bei der
Umschaltung auf Dreieck tritt zwar wieder ein Stromstoß auf, aber dieser fällt geringer
aus, da der Rotor bereits eine bestimmte Drehzahl erreicht hat.
Beispiel
Auf dem Leistungsschild eines Drehstrommotors befindet sich folgende Angabe:
3 400 V in Y (Sternschaltung). Für welches Drehstromnetz kann dieser Motor verwendet werden?
Das Leistungsschild gibt an, dass bei Sternschaltung der Spannung des Netzes
3 400 V sein kann. Für das Einschalten lässt sich ein Stern-Dreieck-Schalter verwen-
138
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
den. Außerdem besteht die Möglichkeit, den Motor in Dreieckschaltung zu verwenden.
Eine Phase darf dann über nur an 230 V angeschlossen werden, denn bei 400 V in Y
erhält eine Phase nur eine Spannung von 230 V. Bei Anschluss des Motors an 3 230 V
mittels Stern-Dreieck-Schalter beträgt die Spannung pro Phase in
230 V
Schalterstellung I: u D p D 127 V
3
Schalterstellung II: U D 230 V
Beispiel
Ein Drehstrommotor hat die Bezeichnung 230 V=400 V=Y (Dreieck/Stern). An welches Netz kann man diesen Motor mit Stern-Dreieck-Schalter anschließen?
Beim Stern-Dreieck-Schalter muss der Motor nach Anlauf in Dreieckschaltung laufen, kann also hier nur an ein Netz mit 3230 V angeschlossen werden.
Beispiel
Ein Motor hat die Bezeichnung 400 V. Kann man hier einen Stern-Dreieck-Schalter
einsetzen?
Der Stern-Dreieck-Schalter ist bei einer Netzspannung von 3 400 V ohne weiteres
p
verwendbar. In Sternschaltung würde dieser Motor an eine Spannung von 400 V 3 D
693 V angeschlossen werden, aber diese Netzspannung ist praktisch nicht vorhanden.
Wenn man einen Drehstrommotor bestellt, muss man folgendermaßen definieren: Motor. . . kW, 400/690 V oder Motor. . . kW, 400 V. Der Stern-Dreieck-Schalter hat zur
Folge, dass die aufgenommene Leistung bei Sternschaltung nur etwa einem Drittel der
Nennleistung des Drehstrommotors entspricht. Dementsprechend ist auch der Strom in
der Sternschaltung geringer als bei Direkteinschaltung in Dreieck.
Das Verhältnis von Außenleiterspannung zur Sternspannung ist der Verkettungsfaktor des Drehstroms mit
p
U12 D U23 D U13
D 3 D 1;73
U1N D U2N D U3N
Bedingt durch die höhere Spannung von U12 D U23 D U13 D 400 V fließt auch ein
entsprechend höherer Strom.
2.5 Elektrische Arbeit und Energie
Während die elektrische Leistung W im Sinne von „Leistungsfähigkeit“ lediglich eine
Größenbestimmung darstellt, ist die elektrische Arbeit eine Verbrauchsangabe: Wenn man
eine gewisse Leistung innerhalb einer bestimmten Zeit wirken lässt, erhält man die Arbeit:
W DP t
W DU I t
W D I2 R t
W D
U2
t
R
2.5 Elektrische Arbeit und Energie
139
Diese Arbeit ist es, die in dem Zähler zur EVU gemessen wird und für die der Abnehmer
elektrischen Stroms die Verbrauchskosten zu bezahlen hat. Die Einheit der elektrischen
Arbeit ist dadurch gegeben, dass die Leistung von 1 Watt 1 Sekunde oder 1 Watt 1 Stunde
lang benutzt wird. Die Einheit der elektrischen Arbeit ist also 1 Wattsekunde (Ws) oder
1 Wattstunde (Wh), wobei 1 Wh D 3600 Ws ist. Da diese Einheit für technische Berechnungen zu klein ist, nimmt man 1000 Wattstunden und erhält 1 Kilowattstunde (1 kWh).
Beispiel
Eine Glühlampe mit P D 100 W wird mit U D 230 V betrieben und ist t D 100 h
eingeschaltet. Wie groß ist die elektrische Arbeit?
W D P t D 100 W 100 h D 10:000 Wh oder 10 kWh
Die elektrische Arbeit gibt man in Kilowattstunden an. Diese Aufgabenstellung erlaubt
danach die Berechnung der Kosten für die elektrische Arbeit (Energie):
Arbeitspreis D W Preis je kWh
Strompreis D Arbeitspreis C Grundpreis C Messpreis
Grenzverbrauch D
Grundpreisunterschied
Arbeitspreisunterschied
Unter dem Begriff „Messpreis“ definiert man nach den EVU-Bestimmungen den Zuschlag zum jeweiligen Grundpreis bei Verwendung zusätzlicher, nicht im Tarif enthaltener
Messeinrichtungen. Zur Ermittlung der Gesamtkosten ist zum Strompreis immer noch die
Mehrwertsteuer zu addieren.
2.5.1
Allgemeine Leistungsmessung
In der Praxis bezieht man sich bei der Leistungsmessung (Gleich- und Wechselstrom) auf
die Formel:
P DU I
Betrachtet man diese Formel, erkennt man, dass sich die von einer Spannungs- oder
Stromquelle abgegebene Leistung Pab oder von einem Verbraucher aufgenommene Leistung Pzu auf verschiedene Methoden bestimmen lässt:
Getrennte Messungen von Spannung und Strom mit anschließender Produktbildung
bei bekanntem Innenwiderstand RV des Verbrauchers, entweder durch Messen der
Spannung U oder des Stroms I mit anschließender Berechnung:
Pab D Pzu D I 2 Rv
oder Pab D Pzu D U 2 =Rv
140
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.53 Die linke Schaltung ist die spannungsrichtige Messung mit einer falschen Strommessung
und rechts die stromrichtige Messung mit einer falschen Spannungsmessung
Messen der Leistung mit einem multiplizierenden Messgerät (z. B. elektrodynamisches
Wattmeter). Als Anzeige erhält man z. B. einen der Leistung P proportionalen Ausschlag ˛:
˛ DkP
Bei der getrennten Leistungsmessung durch eine separate Strom- und Spannungsmessung kennt man zwei Schaltungsvarianten, wie Abb. 2.53 zeigt.
Die Berechnung der Leistung in dem Widerstand RV berechnet sich aus
PV D URV IV
Wie man erkennt, sind beide Schaltungen mehr oder weniger fehlerbehaftet. Vom Verbraucher RV aus betrachtet kann man hier von einer spannungs- und stromrichtigen Messung
sprechen. Die jeweils errechnete Leistung ist immer größer als die tatsächliche Leistung
PV im Widerstand bzw. Verbraucher.
Sind die Innenwiderstände des Voltmeters und des Amperemeters bekannt, lassen sich
die Messfehler korrigieren. Ohne Korrektur ist bei großen Strömen die linke, bei kleinen
Strömen die rechte Schaltung günstiger.
Zur direkten Leistungsmessung mit einem Leistungsmesser benötigt man Geräte, die
Spannung und Strom vorzeichenrichtig und phasenrichtig miteinander multiplizieren können. Für Gleich- und Wechselstromleistung setzt man das elektrodynamische Messwerk
ein. Man unterscheidet bei diesem Messgerät zwischen dem Strom- und Spannungspfad.
Der Strompfad ist im Dauerbetrieb bis zu 20 % überlastbar, kurzzeitig sogar bis zu 1000 %,
ohne dass ein elektrischer oder mechanischer Defekt auftritt. Der Strompfad besteht aus
einer feststehenden Spule und hat einen dicken Draht, da ein großer Strom durchfließt.
Der Spannungspfad ist ebenfalls bis zu 20 % überlastbar, kurzzeitig bis zu 100 %. Der
Spannungspfad ist eine bewegliche Spule mit einem dünnen Draht, da nur ein geringer
Strom fließt. Abbildung 2.54 zeigt das Prinzip der Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Messgerät.
Durch den Strompfad mit der Feldspule RI fließt der zu messende Strom und erzeugt
ein bestimmtes Magnetfeld in der Feldspule. Durch den Spannungspfad der Feldspule RU
2.5 Elektrische Arbeit und Energie
141
Abb. 2.54 Prinzip der Leistungsmessung mittels eines
elektrodynamischen Messgeräts mit einem Strompfad (dicke
Linie im Symbol des Messwerks)
und einem Spannungspfad (dünne Linie)
Abb. 2.55 Stromrichtige (a) und spannungsrichtige (b) Messschaltung für Leistungsmesser mit
elektrodynamischem Messwerk
fließt der zu messende Strom I SP und erzeugt ebenfalls ein bestimmtes Magnetfeld in der
Drehspule. Während der Strompfad relativ niederohmig ist und daher ein hoher Strom
fließen kann, ist der Spannungspfad sehr hochohmig und es fließt nur ein geringer Strom.
Der Zeigerausschlag für das elektrodynamische Messgerät errechnet sich aus:
˛ D k RI ISP D k I U
k
D
U I DK P
RU
RU
Die Werte k und K sind Konstanten des elektrodynamischen Messwerks. Der Zeigerausschlag ˛ ist somit direkt proportional der Leistung P:
˛P
In der Praxis kennt man hier zwei Betriebsschaltungen, wie Abb. 2.55 zeigt.
Je nach Betrachtungsweise der beiden Messschaltungen ergeben sich folgende Zusammenhänge:
Stromrichtige Messschaltung:
˛ P .Pzu PU /
PU D Eigenverbrauch des Spannungspfades
Spannungsrichtige Messschaltung:
˛ D k .Pzu PI /
PI D Eigenverbrauch des Strompfades
142
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Die Anzeige ˛ entspricht also der um die Verluste PU des Spannungspfades oder der
um die Verluste PI des Strompfades größeren Verbraucherleistung Pab , d. h. der Eigenverbrauch PU und PI geht also additiv (Pab ) oder subtraktiv (PQ ) in die angezeigte Leistung
ein. Um diese Fehler auszuschließen, verwendet man im Messgerät eine „Selbstkorrektur“
für den Eigenverbrauch des Wattmeters mit doppelt ausgeführter Stromspule.
2.5.2
Leistungsmessung bei Wechselstrom
Die Prinzipschaltungen zur Leistungsmessung und die Probleme des Eigenverbrauchs
sowie der Selbstkorrektur sind bei den Leistungsmessungen im Gleich- und Wechselstrombereich identisch. Während im Gleichstromkreis keine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom auftreten kann, muss dies bei der Messung im Wechselstromkreis berücksichtigt werden. Aus diesem Grund muss man bei der Leistungsmessung im
Wechselstromkreis zwischen Wirkleistung p, Scheinleistung s und Blindleistung q unterscheiden.
Die Leistungsmessung im Wechselstromkreis beruht auf der Grundformel
p Dui
Es ist lediglich bei der Leistungsmessung zu berücksichtigen, dass bei entsprechenden
Verbrauchern (induktiv oder kapazitiv), jeweils zum gleichen Zeitpunkt einer Messung der
Augenblickswert von Spannung und Strom ein bestimmter Phasenverschiebungswinkel
vorhanden ist. Bei der Wirkleistungsmessung muss das Messinstrument die Anteile von
Spannung und Strom, und auch die Phasen messen. Als Messinstrument lässt sich ein
elektrodynamisches Messgerät verwenden, wie Abb. 2.56 zeigt.
Der Strom i, der durch den Verbraucher Z (Wirk- und Blindanteil) fließt, wird von der
Feldspule des elektrodynamischen Messwerks erfasst. Der Strom iS durch den Spannungspfad ist von der Wechselspannung und dem Widerstand RS der Spannungsspule abhängig.
Aufgrund der Trägheit des elektrodynamischen Messwerks kann der Zeigerausschlag den
Signalverläufen von u und i nicht folgen. Das Messwerk zeigt damit den arithmetischen
Abb. 2.56 Elektrodynamisches
Messgerät für die Messung der
Wirkleistung P in einem Wechselstromkreis
2.5 Elektrische Arbeit und Energie
143
Abb. 2.57 Leistungsmessung bei Einphasen-Wechselstrom. Die linke Schaltung zeigt eine direkte
Messungsmethode, während die rechte Variante eine indirekte Messung mit Spannungs- und Stromwandlern verwendet
Mittelwert ˛N an:
˛N D
k
U I cos '
RS
und es gilt:
˛N P
Nach DIN 43 807 ist zu beachten, dass die Spannungspfade von Instrumenten für Geräte und Schalttafel vor den Strompfaden (Leistungsrichtung von links nach rechts) angeschlossen werden. Bei höheren Verbraucherströmen und -spannungen führt man eine
„indirekte“ Leistungsmessung durch, d. h. man hat Spannungs- und Stromwandler, wie
Abb. 2.57 zeigt.
Bei dieser Leistungsmessung ist darauf zu achten, dass die Wandlersekundärseiten stets
gemeinsam geerdet sind, damit keine zu hohen Spannungen zwischen Spannungs- und
Strompfad auftreten.
Das elektrodynamische Messwerk zeigt immer das Produkt der phasengleichen Komponenten von Spannung und Strom an:
P D U I cos '
Es wird also die Wirkleistung P gemessen. Zur Blindleistungsmessung muss man daher
einen zusätzlichen Phasenschieber . =2/, eine 90°-Schaltung, in den Spannungspfad
einschalten. Abbildung 2.58 zeigt den Unterschied zwischen der Messung der Blindleistung Q und der Wirkleistung P mittels eines dynamischen Messgeräts.
144
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.58 Unterschied zwischen der Messung der Blindleistung Q und der Wirkleistung P mittels
eines dynamischen Messgeräts, wobei für die Blindleistungsmessung ein Phasenschieber mit =2
(erzeugt eine Phasenverschiebung von 90°) erforderlich ist
Abb. 2.59 Schaltung zur
Scheinleistungsmessung
Der Zeigerausschlag für die Blindleistungsmessung Q ergibt sich dann zu
˛N D
k
k
D
U I cos U I sin '
RS
3
RS „ ƒ‚ …
Q
Dies gilt für die folgende Bedingung, da
D sin '
cos ' 2
ist. Bei der Verwendung von elektrodynamischen Messwerken als Scheinleistungsmesser
muss der Einfluss der Phase zwischen Strom und Spannung auf dem Messwerk vorhanden sein. Dies lässt sich nur durch eine Gleichrichtung im Spannungs- und Strompfad
erreichen. Der Anzeigefehler, der von den Wechselanteilen nach der Gleichrichtung verursacht wird, lässt sich durch parallel geschaltete Kondensatoren an dem Spannungs- und
Strompfad vermeiden. Abbildung 2.59 zeigt eine Schaltung zur Scheinleistungsmessung.
Die Leistungsermittlung erfolgt in der Praxis meistens in Verbindung mit einem Zähler.
Durch die magnetische Wirkung einer vom Verbraucherstrom durchflossenen Spule sowie
2.5 Elektrische Arbeit und Energie
145
einer an der Netzspannung liegenden Spule wird eine Zählerscheibe in Drehung versetzt.
Die Umdrehungen werden von einem Zählwerk angezeigt. Mit den folgenden Formeln
lässt sich die elektrische Leistung messen:
PkW D
PkW
n
Cz
th
tmin
ts
n
n 60
n 3600
D
D
Cz th
Cz tmin
Cz ts
= Elektrische Leistung (kW)
= Anzahl der Umdrehungen der Zählerscheibe
= Zählerkonstante
= Zeit in Stunden
= Zeit in Minuten
= Zeit in Sekunden
Beispiel
Für die Zählerkonstante auf einem Typenschild steht: 600 Umdr./kWh. Die Messzeit
beträgt t D 45 s und der Zähler hat n=12 Umdrehungen durchgeführt. Welche Leistung
nimmt dieses Gerät auf?
PkW D
n
12 Umdr: 3600 s
D
D 1;6 kW
Cz ts
600 Umdr:=kWh 45 s 1 h
Das Gerät hat eine Leistungsaufnahme von P D 1;6 kW.
In der Praxis verwendet man als Zähler das Induktionsmessgerät (Ferraris- oder Wandlerfeldzähler). Zwei um 90° versetzte Elektromagnete (Spannungs- und Stromspule), deren Ströme bei cos ' D 1 um 90° gegeneinander phasenverschoben sind, erzeugen ein
magnetisches Drehfeld, sodass auf die Metallscheibe das elektrische Drehmoment M el
wirkt:
Mel D k1 V I cos '
Durch den Permanentmagneten (Wirbelstrombremse, Bremsmagnet) entsteht ein Gegendrehmoment M mag proportional zur Drehzahl n der Metallscheibe.
Mmag D k2 n
Über die Gleichgewichtsbeziehung Mel D Mmag folgt daraus für die Drehzahl der Scheibe:
k1
U I cos ' d. h. n P
nD
k2
146
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.60 Anschluss des
Wirkarbeitszählers im Einphasenwechselstromnetz
Die Integration über die Zeit (Zeitberücksichtigung) erfolgt einfach durch Zählen der
Scheibenumdrehungen und damit ist der Zählerstand proportional zur elektrischen Arbeit
mit
W DU I t
Abbildung 2.60 zeigt den Anschluss des Wirkarbeitszählers im Einphasenwechselstromnetz.
Der Anschluss des Wirkarbeitszählers ist ähnlich dem Leistungsmesser.
2.5.3 Leistungsmessung bei Drehstrom
Die Leistung eines Drehstromsystems ist die Summe der Leistungen in den einzelnen
Strängen (Phasen). Im Allgemeinen benötigt man zur Messung der Wirkleistung P in
einem Drehstromsystem pro Phase ein Wattmeter. Abbildung 2.61 zeigt die allgemeine
Wirkleistungsmessung in einem Vierleitersystem mit beliebiger Belastung.
Die Gesamtleistung Pges ist die Summe der drei Einzelleistungen PStr in den einzelnen
Strängen mit
Pges D PStr1 C PStr2 C PStr3
Abb. 2.61 Allgemeine Wirkleistungsmessung in einem
Vierleitersystem mit beliebiger
Belastung
2.5 Elektrische Arbeit und Energie
147
Abb. 2.62 Wirkleistungsmessung in einem symmetrisch
belasteten Dreileiterdrehstromsystem
In symmetrisch belasteten Systemen sind die einzelnen Strang- bzw. Phasenleistungen
identisch. Es genügt damit, die Leistung in einem Strang bzw. in einer Phase zu messen
und diese Strangleistung PStr mit dem Faktor 3 zu multiplizieren. Die Gesamtleistung
errechnet sich aus
Pges D 3 PStr D 3 UStr IStr cos '
Bei gegebenen Leiterspannungen lautet die Formel für die Gesamtleistung Pges sowohl
bei Stern- als auch Dreiecksbelastung:
p
Pges D 3 U I cos '
Dies gilt analog auch für die Scheinleistung S und die Blindleistung Q. In Dreileitersystemen mit symmetrischer Belastung stehen nur die verketteten Spannungen zur Verfügung,
denn der Sternpunkt kann entfallen. Hier muss dann ein künstlicher Sternpunkt realisiert
werden, wie Abb. 2.62 zeigt.
Die Widerstände R dieses Hilfsnetzwerks müssen gleich dem Widerstand des Spannungspfades in dem Messwerk RS sein. In Dreileitersystemen mit beliebiger Belastung
(unsymmetrischer Belastung) lässt sich ebenfalls eine Reduzierung der Messwerke realisieren, wie folgende Formel zeigt:
Pges D U12 I1 cos ' C U32 I3 cos '
Um die Gesamtwirkleistung zu messen, genügen in diesem Fall zwei Messgeräte. Abbildung 2.63 zeigt eine Wirkleistungsmessung im Dreileitersystem mit beliebiger unsymmetrischer Belastung.
Diese Methode bezeichnet man als Zweiwatt- oder Aronschaltung.
In Drehstromsystemen vereinfacht sich die Blindleistungsmessung gegenüber der
Messung im Einphasensystemen erheblich, da immer zwei Spannungen vorhanden sind,
die aufeinander senkrecht wirken und damit sind keine phasendrehenden Schaltungen
erforderlich.
Abbildung 2.64 zeigt eine Blindleistungsmessung im symmetrisch belasteten Drehstromsystem, wobei die in der Phase L1 verbrauchte Blindleistung gemessen wird. Zu
148
2
Theorie und Praxis der Wechsel- und Drehstromtechnik
Abb. 2.63 Wirkleistungsmessung im Dreileitersystem
(Sternschaltung) mit beliebiger
unsymmetrischer Belastung
Abb. 2.64 Blindleistungsmessung im symmetrisch belasteten
Drehstromsystem
Abb. 2.65 Blindleistungsmessung im symmetrisch belasteten Drehstromsystem mit Spannungsund Stromwandler
2.5 Elektrische Arbeit und Energie
149
Abb. 2.66 Anschluss des Wirkarbeitszählers im Drehstromnetz
p
beachten ist, dass die verkettete Spannung um den Faktor 3 größer ist als die Strangbzw. Phasenspannung. Die Blindleistung eines Strangs oder einer Phase beträgt
QStr D
Pgemessen
p
3
Die Gesamtblindleistung ist
Qges D 3 QStr D 3 p
Pgemessen
D 3 Pgemessen
p
3
Abbildung 2.65 zeigt die Blindleistungsmessung im symmetrisch belasteten Drehstromsystem mit Spannungs- und Stromwandler.
Abbildung 2.66 zeigt den Anschluss des Wirkarbeitszählers im Drehstromnetz. Die
Nennwerte des Einphasenwechselstrom- und Drehstromzählers sind die Netzspannung
und der fließende Netzstrom. Im Dauerbetrieb sind die Zähler gegen eine Überspannung
und -ströme bis zu einer Überlastung von 25 % geschützt. Die Genauigkeitsklasse bleibt
aber auch bei diesen Überlastungswerten erhalten, d. h. es tritt kein zusätzlicher Fehler
auf.
http://www.springer.com/978-3-8348-1606-1