Vor 5 Monaten Folien Grundkurs Abiturwissen

Grundkurs Abiturwissen
Carsten Thiel
Beispiel
Regentonne
Das Regenwasser vom Dach Ihrer Garage (4 m × 5 m) sammeln Sie in einer Regentonne
mit 210 l Fassungsvermögen.
Die Tonne ist halbvoll und es sind 5 Millimeter Niederschlag angekündigt.
Wird die Tonne überlaufen?
Beispiel
Schachtel
Sie haben einen quadratischen Karton mit Seitenlängen 10 cm.
Sie schneiden an jeder der Ecken ein Quadrat mit Seitenlänge x heraus.
Durch Hochfalten der Seitenstücke entsteht eine Schachtel.
x
x
Für welchen Wert von x hat diese Schachtel das größte Volumen?
Kapitel 1
»Rechnen«
Zahlen
1.1 Zahlenmengen
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
N := { 1, 2, 3, 4, . . . , 17, . . . , 203 354 771, . . . }
Z := { . . ., −4, −3, −2, −1,0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Q := ba na, b ∈ Z, b o
6= 0
√
R := Q ∪
2, π, . . .
Dezimalbruch
3
= 1,5
2
1
= 0,33333 . . .
3
11
= 0,1 |571428
{z } 571428
| {z } 57 . . .
70
π ≈ 3,14159265 . . .
Rationale Zahlen: endlich viele Nachkommastellen oder periodisch
Potenzen
1.2 Potenz
Für a ∈ R und n ∈ N ist
an = a| · a ·{z. . . · a}
n
die n-te Potenz von a und
a−n =
a−1 =
1
.
an
1
= 1/a
a
Rechenregel
ar · as = ar +s
und (ar )s = ars
Brüche
1.4 Bruch
Für a, b ∈ Z mit b 6= 0 ist
a
b
der Bruch mit Zähler a und Nenner b.
Rechenregeln
a·c
a · cA
a
=
=
b·c
b · cA
b
a+
ac + d
d
=
c
c
d·
a
d ·a
=
b
b
a d
a·d
· =
b c
b·c
a d
a+d
+ =
c
c
c
a c
a e
a·e
/ = · =
b e
b c
b·c
Hauptnenner
a
c
a·d
c ·b
a·d +b·c
+ =
+
=
b d
b·d
d ·b
b·d
1. Binomische Formel
b
ab
b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
a
a2
ab
a
b
2. Binomische Formel
a−b
b
ab
b2
b
(a − b)2 = a2 − 2ab + b 2
ab
a
(a − b)2
a
a−b
3. Binomische Formel
b
a−b
b
b(a − b)
b2
b
b2
b
a(a − b)
a
a−b
a
b(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b 2
Zinsen
1.10 Beispiel
Welches der folgenden Sparkonten bietet die besten Konditionen?
1
10% Zinsen bei halbjährlicher Zinsgutschrift
2
9,9% Zinsen bei vierteljährlicher Zinsgutschrift
3
9,8% Zinsen bei monatlicher Zinsgutschrift
Summen
1.15 Summenformel
Wir schreiben
n
X
Ni = N1 + N2 + . . . + Nn
i=1
für die Summe von n Zahlen N1 bis Nn . Dabei heißt i der (Summations-)Index. Die
Grenzen können auch variieren.
Doppelsummen
Wir wollen die Summe der Zahlen
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
a1n
a2n
..
.
am1
am2
am3
...
amn
bestimmen.
m
X
ai1 +
i=1
m
X
ai2 +
i=1
Es gilt
n X
m
X
j=1 i=1
m
X
ai3 + . . . +
i=1
aij =
m
X
ain
n X
m
X
=
i=1
m X
n
X
i=1 j=1
aij =
m X
n
X
j=1 i=1
j=1 i=1
aji .
aij
Gebrochene Potenzen
1.18 Quadratwurzel
Ist a > 0, dann ist
a1/2 =
√
a
die Wurzel aus a, denn a1/2 · a1/2 = a1/2+1/2 = a.
√
ab =
√ √
a b
r
und
√
a
a
=√
b
b
(b 6= 0)
1.20 n-te Wurzel
a1/n =
√
n
a
ist die n-te Wurzel aus a.
√
ap/q = (a1/q )p = ( q a)p
= (a1/q )p = (ap )1/q =
√
q
ap
Kapitel 2
»Gleichungen und Ungleichungen«
Gleichungen
2.1 Beispiel
3x + 10 = x + 4
2.2 Beispiel
6p − 12 (2p − 3) = 3(1 − p) − 67 (p + 2)
2.3 Beispiel
x +2
8
2
−
=
x − 2 x 2 − 2x
x
Spezielle Gleichungen
2.4 Lineare Gleichungen
Eine allgemeine lineare Gleichung hat die Form
ax = b .
Dabei sind a, b ∈ R reelle Zahlen, sogen. Parameter und x ist ein Variable.
2.7 Quadratische Gleichungen
Eine allgemeine quadratische Gleichung hat die Form
ax 2 + bx + c = 0
(a 6= 0) .
Dabei sind a, b, c ∈ R reelle Parameter und x die Variable.
Quadratische Gleichungen
2.10 Lösungsformel
Für b 2 − 4ac ≥ 0 und a 6= 0 gilt
2
ax + bx + c = 0
⇔x =
−b ±
√
b 2 − 4ac
2a
und für a = 1 ist das die bekannte p-q-Formel für p 2 ≥ 4q:
x 2 + px + q = 0
⇔ x = − p2 ±
q
( p2 )2 − q
Ungleichungen
a postiv
b negativ
c nicht-negativ
a>0
b<0
c≥0
2.11 Ungleichheitszeichen
a > 0 und b > 0
a, b, c > 0, d < 0 und a < b
a+b >0
und
a·b >0
ac < bc
aber
ad > bd
Multipliziert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl, bleibt die
Ungleichung erhalten.
Multipliziert man aber mit einer negativen Zahl, so dreht sich die Ungleichung um!
Kapitel 3
»Funktionen in einer Variablen«
Definitions- und Wertebereich
3.2 Beispiele
1
D = { 1, 2, 3 }, W = { 4, 5, 6 } und f (1) = 6, f (2) = 4, f (3) = 5
2
D = Z = W , f : x 7→ x
3
D = Q, W = { −1, 0, 1 } und f : x 7→



 1
0


−1
für x > 0
für x = 0
für x < 0
3.3 Beispiele
Was sind Definitions- und Wertebereich der Funktionen
f (x ) =
1
x +3
und g(x ) =
√
2x + 4 ?
Beispielgraphen I
f (x )
f (x )
f (x ) = x
1
−1
1
x
f (x )
−1
1
x
f (x )
f (x ) = x 2
1
−1
f (x ) = 2x + 1
1
1
x
f (x ) = x 3
1
−1
1
x
Beispielgraphen II
f (x )
f (x ) =
√
f (x )
x
−1
f (x ) = 1/x
1
1
1
x
f (x )
−1
1
x
f (x )
f (x ) = sign(x )
f (x ) = |x |
1
−1
1
x
1
−1
1
x
Steigungsbestimmung
Bestimme die Steigungen der Geraden
f (x )
g(x )
Q
3
3
P
2
2
1
−1
−2
P
1
1
2
3
4
x
−1
−2
1
2
Q
3
4
x
Formeln für Geradengleichungen
3.9 Punkt-Steigungs-Formel
Die Gleichung einer Geraden mit Steigung a durch den Punkt (x1 , y1 ) ist
y − y1 = a(x − x1 ) .
3.11 Zwei-Punkte-Formel
Die Gleichung einer Geraden durch die Punkte (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ), mit x1 6= x2 ist
y − y1 =
y2 − y1
(x − x1 ) .
x2 − x1
Exponentielle Funktionen
f (x )
f (x )
A
A
x
f (x ) = A ax
(a > 1)
x
f (x ) = A ax
(0 < a < 1)
Manipulationen
k(x ) =
f (x ) =
1
−1
1
√
√
−x
x
1
−1
1
√
`(x ) = 2 x
1
−1
1
Manipulationen
f (x ) =
1
−1
√
x
1
−1
1
m(x ) =
−1
h(x ) =
1
√
x +1
1
−1
x −1
1
g(x ) =
1
√
1
√
x +1
Symmetrie
g(x )
f (x )
−x
x
x
−x x
x
Kapitel 4
»Differenzieren und Integrieren«
Tangente
f (x )
f (t + ∆t)
f (t)
f (t + ∆t) − f (t)
P
∆t
t
t + ∆t
x
Ableitung I
4.4 Ableitung
Sei f : R → R eine Funktion mit Ableitung f 0 . Dann gilt für alle Konstanten c ∈ R
g(x ) := c · f (x )
⇒
g 0 (x ) = c · f 0 (x ) ,
h(x ) := f (x ) + c
⇒
h0 (x ) = f 0 (x ) .
4.5 Potenzregel
f (x ) := x a
⇒
f 0 (x ) = ax a−1
für beliebiges a .
4.6 Summenregel
Seien f : D → R und g : D → R Funktionen mit Ableitungen f 0 und g 0 . Dann
h(x ) := f (x ) ± g(x )
⇒
h0 (x ) = f 0 (x ) ± g 0 (x ) .
4.8 Polynomableitung
f (x ) =
n
X
i=0
ai x i
⇒
f 0 (x ) =
n
X
i=1
ai i x i−1
Ableitung II
4.9 Produktregel
Seien f : D → R und g : D → R Funktionen mit Ableitungen f 0 und g 0 . Dann
h(x ) := f (x ) · g(x )
⇒
h0 (x ) = f 0 (x ) · g(x ) + f (x ) · g 0 (x ) .
4.11 Quotientenregel
Seien f : D → R und g : D → R Funktionen mit Ableitungen f 0 und g 0 und sei g(x ) 6= 0
für alle x ∈ D. Weiter
h(x ) :=
f (x )
g(x )
⇒
h0 (x ) =
f 0 (x ) · g(x ) − f (x ) · g 0 (x )
.
(g(x ))2
4.13 Kettenregel
Seien f : D → R und g : G → D Funktionen mit Ableitungen f 0 und g 0 . Dann ist die
Verkettung (3.29) F = f ◦ g : G → R differenzierbar mit
F 0 (x ) = f 0 (g(x )) · g 0 (x ) .
Kurvendiskussion
f (x ) = 3x 3 − 5x 2 + 8
f 0 (x )
f 00 (x )
8
f (x )
−1
10
9
Das Schachtelproblem
x
x
x
a
a − 2x
a − 2x
a
Einige Integrale
4.25 Einige wichtige Integrale
Z
Z
af (x ) dx = a
1
Z
f (x ) + g(x ) dx =
2
Z
3
5
6
x a dx =
(a Konstante)
Z
Z
f (x ) dx +
1
x a+1 + C
a+1
g(x ) dx
(a 6= −1)
1
dx = ln|x | + C (x 6= 0)
x
Z
1
eax dx = eax + C (a 6= 0)
a
Z
1 x
x
a dx =
a + C (a > 0, a 6= 1)
ln a
Z
4
f (x ) dx
Flächeninhalt unter der Kurve
f (x )
f (t)
a
∆A
t
f (t + ∆t)
t + ∆t
b
x
Integration
4.30 Partielle Integration
Seien f : D → R und g : D → R.
Z
f (x )g 0 (x ) dx = f (x )g(x ) −
Z
f 0 (x )g(x ) dx .
4.32 Integration durch Substitution
Seien f : D → R und g : D → R.
Z
0
f (g(x ))g (x ) dx =
Z
f (u) du
wobei u = g(x ) .
(Dabei tut man so, als wäre dx das Differential von x und man ersetzt es durch das
Symbol du geteilt durch die Ableitung von u.)