Aufgabe 1 : 10 Punkte Weisen Sie nach, daß die durch K(x) := e x +

Aufgabe 1 :
10 Punkte
Weisen Sie nach, daß die durch
√
K(x) := e
x
+ 2,
x≥0
definierte Funktion ökonomisch als ertragsgesetzliche Gesamtkostenfunktion interpretiert werden
kann. Nennen Sie dazu zunächst 3 Eigenschaften, über die eine ertragsgesetzliche Gesamtkostenfunktion ihrer Meinung nach verfügen muß, und begründen Sie anschließend, warum diese im vorliegenden Fall erfüllt sind.
Antwort:
Geforderte Eigenschaften:
1.)
K ≥ 0 bzw. K(0) = 0
2.)
Ks%
3.)
Es liegt ein Krümmungswechsel vor, dh. es existiert eine Konstante a,
sodass K auf [0, a] s∩ und auf [a, ∞) s∪ ist.
Nachweis der Erfüllung: (Nebenrechnungen rechts)
√
zu 1.) K(x) = |{z}
e x + |{z}
2 ≥ 0 bzw. K(0) = 3 ≥ 0.
≥0
>0
s%
(Katalog)
z}|{
√
zu 2.) K(x) =
x
|e {z
}
s%(gleichsinnige Komposition)
+ |{z}
2
s % (als Summe von s % und %)
%
zu 3.) K ist auf [0, 1] s∩ und auf [1, ∞) s∪.
2
Rechnungen:
3
Aufgabe 2 :
15 Punkte
Eine Nachfragefunktion lasse sich auf einem geeigneten Definitionsbereich mit Hilfe des Ausdrucks
2
p = 64(27 − x) 3
darstellen. (Dabei bezeichne p den Preis eines Gutes (in GE/ME) und x die nachgefragte Menge
(in ME)).
a) Bei welchem Preis pmax erlischt die Nachfrage? (Zutreffendes bitte ankreuzen)
pmax =
925
1025
364
×
128
576
475
575
?
b) Wie groß ist die größtmögliche Nachfrage xmax ? (Zutreffendes bitte ankreuzen)
xmax =
125
13
2
22
55
2
23
64
×
27
?
c) Legen Sie den Definitionsbereich D und den Wertebereich W der Nachfragefunktion so fest,
daß diese eine Umkehrfunktion besitzt.
W =
D=
[0,27]
[0,576]
d) Geben Sie eine Formel für die Umkehrfunktion an.
x(p) =
27 −
3
p2
512
e) Bestimmen Sie die Grenznachfrage allgemein (d.h. als Funktion von x) und an der Stelle
x = 19.
p0 (x) =
−3
− 128
3 (27 − x)
1
p0 (19) =
× 13 − 803
−21
64
6
-19
125
6
−
122
3
14
3
?
(Zutreffendes bitte ankreuzen)
f) Interpretieren Sie den zuletzt gefundenen Wert:
Erhöht sich die nachgefragt Menge ausgehend von einem Wert von 19 um eine marginale
Einheit, so sinkt der Preis um 21 13 marginale Einheiten.
4
Rechnungen:
5
2
Erinnerung: p = 64(27 − x) 3
g) Bestimmen Sie die Elastizität p (x) des Preises bezüglich der nachgefragten Menge x allgemein und an der Stelle x = 19.
p (x) =
p (19) =
1
12
−
24
19
x·p0 (x)
p(x)
2x
= − 3(27−x)
39
25
38
−
7
12
×1912
−
13
31
?
(Zutreffendes bitte ankreuzen)
h) Interpretieren Sie den zuletzt gefundenen Wert:
Erhöt sich die nachgefragt Menge ausgehend von einem Wert von 19 um ein marginales
Prozent, so sinkt der Preis um 19
12 marginale Prozente.
(i) Welchen Wert nimmt die Elastizität U (x) des Umsatzes bezüglich der nachgefragten Menge
x an der Stelle x = 19 an?
U (19) = −
19
12
39
25
−
24
19
38
(Zutreffendes bitte ankreuzen)
6
13
31
1
12
7
×
−
12
?
Rechnungen:
7
Aufgabe 3 :
12 Punkte
Eine Zementfabrik produziert einen Spezialzement zu täglichen Gesamtkosten in Höhe von
K(x) = 3x2 + 8x + 147
[GE]
bei einer Ausbringungsmenge von x [ME]. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 35 [ME].
Bestimmen Sie die Angebotsfunktion des Unternehmens (vor Ausgabe der Fixkosten).
Antwort: (Zutreffendes bitte ankreuzen)
×
xBO =
12
3.5
6
9
35
7
5
?
pBO =
47
15
51
35
50
×
48
90
?
Formel:








xA (p) = 






0
p−8
6
35
0 ≤ 50
50 < p ≤ 218
218 < p
Skizze: (Koordinaten wichtiger Punkte beschriften)
xA(p)
40
20
100
200
8
p
Rechnungen:
9
Aufgabe 4 :
18 Punkte
I) Bestimmen Sie: (bei a) und d) Zutreffendes bitte ankreuzen)
∫
1
a)
0
(x2 −
√
x)dx
=
−
2
3
−
1
4
3
4
(
1
1 2x−5
e
x−
2
2
∫
b)
∫
c)
∫
d)
1
∫
e)
2
xe2x−5 dx
=
ln2 x
dx
x
=
(x −
1 2
) dx
x
f 0 (g(x))g 0 (x)dx
=
=
1
1
3
−
×13
2
?
1
2
1
4
5
?
)
+c
ln3 x
+c
3
2
5
×
6
1
3
f (g(x)) + c
10
6
5
Rechnungen:
11
II) Angebot und Nachfrage auf einem Gütermarkt mögen durch die Funktionen
pA (x) =
pN (x) =
√
x
+2
5
100 − 5x
gegeben sein. (Mit x werde jeweils die Menge des betroffenden Gutes, mit pA bzw. pN der
zugehörige Angebots- bzw. Nachfragepreis bezeichnet.)
a) Bei welchem Preis pM befindet sich der Markt im Gleichgewicht? (Zutreffendes bitte
ankreuzen)
pM =
15
10
6
100
×
5
√
4
75
(GE/M E)
?
b) Welche Menge xM des Gutes wird bei diesem Preis nachgefragt?
xM =
33
200
5
35
115
15
×
25
?
(M E)
41 13
42
?
(GE)
c) Bestimmen Sie die Konsumentenrente RK .
RK =
21
40 16
41
×
2
3
21 13
12
22
Rechnungen:
13
Rechnungen:
14