Lösungen - Hirnwindungen

47. Mathematik-Olympiade
Regionalrunde Oberberg
Aufgaben für die 11–13. Klasse
Lösungen
zu Aufgabe 1
Angenommen, (x; y) ist eine Lösung des Gleichungssystems. Subtraktion der beiden Gleichungen führt dann auf
(x − y)(x + y − 4) = 0.
Da ein Produkt reeller Zahlen nur dann gleich null sein kann, wenn mindestens einer der
beiden Faktoren verschwindet, tritt sicher einer der beiden folgenden Fälle ein:
Fall 1: x − y = 0. Hier nimmt (1) die Gestalt x2 + 4x = 21 an. Diese quadratische Gleichung
hat die beiden Lösungen x = 3 und x = −7. Zu ihnen gehören jeweils y = 3 und y = −7.
Fall 2: x + y − 4 = 0. Hier ist y = 4 − x, so dass (1) in x2 − 4x = 5 übergeht. Die Lösungen
dieser quadratischen Gleichung lauten x = 5 und x = −1. Zu ihnen gehören jeweils y = −1
und y = 5.
Als Lösungen des betrachteten Gleichungssystems kommen also nur die Paare (3; 3), (−7; −7),
(5; −1), (−1; 5) in Frage. Eine Probe bestätigt, dass diese tatsächlich Lösungen sind.
Lösungsvariante: Aus (1) ergibt sich y = 21
− 41 x2 . Dies in (2) eingesetzt ergibt
4
1 (21 − x2 )2
16
+ 4x = 21,
also nach Multiplikation mit 16 und Ausmultiplizieren
x4 − 42x2 + 64x + 105 = 0.
(3)
Durch Ausprobieren einiger Werte für x findet man die Lösung x = −1 und gelangt damit zu
der Zerlegung
(x + 1)(x3 − x2 − 41x + 105) = 0.
Ähnlich wie zuvor findet man für den zweiten Faktor die Nullstelle x = 3 und damit
(x + 1)(x − 3)(x2 + 2x − 35) = 0.
Da mindestens ein Faktor dieses Produktes gleich null sein muss, damit das Produkt den Wert
null annimmt, und da die quadratische Gleichung
x2 + 2x − 35 = 0
die Lösungen x = 5, x = −7 besitzt, haben wir vier mögliche Werte für x gefunden. Anhand
von (1) ist leicht zu sehen, dass zu den Werten x = −1, 3, 5, −7 nur jeweils der Wert y =
5, 3, −1, −7 gehören kann.
Eine Probe bestätigt, dass die Paare (3; 3), (−7; −7), (5; −1) und (−1; 5) das gegebene Gleichungssystem lösen.
1
zu Aufgabe 2
Der Berührungspunkt des Kreises k mit der Gek
D
raden AC sei D (siehe Abbildung L 470425).
Weil der Mittelpunkt M des Kreises k von
den Geraden AC und CB den gleichen AbC
M
stand hat, muss er auf der Winkelhalbierenden
des Winkels <) BCD liegen. Der Außenwinkel
r
<) BCD des Dreiecks ABC ist so groß wie die
Summe der beiden nicht anliegenden Innenwin- A
B
kel <) BAC und <) CBA. Also sind die Winkel
Abbildung L 470425
<) BAC und <) M CD gleich groß. Nach der Umkehrung des Satzes von den Stufenwinkeln an geschnittenen Parallelen sind somit die Geraden
CM und AB parallel zueinander. Folglich haben die Punkte C und M von der Geraden AB
den gleichen Abstand. Deshalb haben die Basishöhe im Dreieck ABC und der Radius des
Ankreises k die gleiche Länge.
zu Aufgabe 3
Wir beweisen, dass Berthas Behauptung falsch ist. Dazu bemerken wir,
dass für die Zeilensumme s gilt 4s = 1 + 2 + · · · + 16 = 136, also ist
s = 34. Mit den Bezeichnungen aus Abbildung L 470425 gilt außerdem
a
13
a + b + 13 + 15 = x + y + 15 + 14 = 34
b
und damit a + b = 6 und x + y = 5.
Für (a; b) kommen somit nur die Eintragungen (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1)
in Betracht und für (x; y) gibt es nur die Möglichkeiten (1; 4), (2; 3),
(3; 2), (4; 1).
x
15 14
y
Abbildung L 470425
Verwendet man für x und y die Zahlen 1 und 4, so ist für a und b keine passende Belegung
möglich. Verwendet man aber für x und y die Zahlen 2 und 3, so verbleiben für a und b die
Zahlen 1 und 5.
Im Fall b = 1 wird die Diagonale, in der x und b enthalten sind, betrachtet. Für die Summe d
der Zahlen in dieser Diagonalen gilt
d ≤ x + b + 16 + 12 = x + 29 ≤ 3 + 29 < 34.
Also ist b = 5. Ist auf dieser Diagonalen die 16 nicht enthalten, gilt
d ≤ x + b + 12 + 11 ≤ 3 + 5 + 12 + 11 = 31 < 34.
Damit stehen auf dieser Diagonalen die Zahlen
x = 2, b = 5 sowie 11 und 16
oder
x = 3, b = 5 sowie 10 und 16.
Im obigen ersten Fall ergibt sich als maximale Summe aller Zahlen in der ersten Spalte
12 + 10 + 9 + 2 = 33 < 34. Im zweiten Fall stehen in der ersten Spalte die Zahlen 12, 11, 8
und 3. Die maximale Summe der Zahlen in der dritten Zeile ist damit 12 + 5 + 9 + 7 = 33 < 34.
Damit führen alle Fälle zu einem Widerspruch.
2
zu Aufgabe 4
1 1
1
= +
n
a b
(1)
Es gilt a > n und b > n. Man definiert x := a − n.
1
1
1
Man erhält =
+ . Man berechnet b und erhält:
n
n+x b
1
x
1
=
+
n
n + x n · (n + x)
(2)
Für x = 1 erhält man die Darstellung
1
1
1
=
+
.
n
n + 1 n · (n + 1)
(3)
Für x = n erhält man die Darstellung
1
1
1
=
+
n
2n 2n
(4)
Da n > 1 ist, sind (3) und (4) zwei verschiedene Darstellungen. Teil a) der Aufgabe ist gelöst.
Weitere Darstellungen gibt es nur, wenn in (2) die Zahl x ein von 1 und n verschiedener Teiler
von n · (n + x) ist. Das ist nur der Fall, wenn x ein Teiler von n ist.
x
Damit sind die Aufgabenteile b) und c) gelöst. Ist n eine Primzahl, so ist
für x
n · (n + x)
ungleich 1 und x ungleich n kein Stammbruch. Ist n keine Primzahl, lassen sich mit Hilfe der
Gleichung (2) weitere Darstellungen als Summe zweier Stammbrüche konstruieren.
1
1
3
1
1
Ein Beispiel: 3 ist ein Teiler von 9. Aus (2) erhält man =
+
=
+
9
12 9 · 12
12 36
3
Punktverteilungsvorschläge
Die Punktzahlen für die einzelnen Aufgaben sind verbindlich, um Vergleiche z. B. zum Zweck
der Entscheidung über die Teilnahme an der 3. Stufe (Landesrunde) zu ermöglichen.
Die Einschätzung der Punktzahlen für einzelne Teilschritte einer Schülerlösung (nach dem
Maßstab Verwendbarkeit des Teilschrittes in einem zum Ziel führenden Lösungsweg“) liegt
”
beim Korrektor; die folgenden Aufteilungen sind möglicherweise dem Vorgehen in einer
Schülerlösung anzupassen und können in diesem Sinne gelegentlich abgeändert werden.
Aufgabe 471321
Insgesamt: 10 Punkte
Gleichsetzen bzw. Subtraktion der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Weitere Herleitung der Faktorisierung (x − y)(x + y − 4) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ansatz einer Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Behandlung des Falles x = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Behandlung des Falles x + y = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Für die alternative Lösung:
Elimination einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vereinfachung der entstehenden Gleichung (zum Beispiel zu (3)) . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Finden zweier Nullstellen und der zugehörigen y-Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Finden der beiden weiteren Nullstellen mit y-Werten; Feststellung, dass damit
alle möglichen Lösungen gefunden sind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Aufgabe 471322
1
2
1
2
3
1
Punkt
Punkte
Punkt
Punkte
Punkte
Punkt
1 Punkt
2 Punkte
4 Punkte
2 Punkte
1 Punkt
Insgesamt: 10 Punkte
Beweis für |<) BCM | = |<) M CD| bzw.: M liegt auf Winkelhalbierender . . . .. . . . . .
Berechnung von |<) BCD| aus den Innenwinkeln des Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schluss auf AB k CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Abschluss des Beweises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Aufgabe 471323
3
3
3
1
Punkte
Punkte
Punkte
Punkt
Insgesamt: 10 Punkte
Zeilensumme s = 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1 Punkt
Ausschluss von Fällen, insgesamt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8 Punkte
Am Beispiel aufgeteilt wie folgt:
Schluss auf {a, b} = {1, 5} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fall b = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fall b = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Richtige Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Aufgabe 471324
3
2
3
1
Punkte
Punkte
Punkte
Punkt
Insgesamt: 10 Punkte
Umformung zu k` = n(k + `) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Weitere Umformung zur Faktorisierung n2 = (k − n)(` − n) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Überlegung zur Äquivalenz der Zerlegung in Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Behandlung des Falles n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1
2
2
1
Punkt
Punkte
Punkte
Punkt