3.3 Führungsverhalten der geschlossenen Regelung mit
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Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 1 Inhaltsverzeichnis 1 2 Einleitung ........................................................................................................................... 2 Vorbereitungsaufgaben ..................................................................................................... 3 2.1 Vorbereitungsaufgabe 1................................................................................................... 3 2.2 Vorbereitungsaufgabe 2................................................................................................... 3 2.3 Vorbereitungsaufgabe 3................................................................................................... 6 2.4 Vorbereitungsaufgabe 4................................................................................................... 9 2.5 Vorbereitungsaufgabe 5................................................................................................... 9 2.6 Vorbereitungsaufgabe 6................................................................................................. 15 2.7 Vorbereitungsaufgabe 7................................................................................................. 16 3 Versuchsdurchführung ................................................................................................... 21 3.1 Untersuchung der Regelstrecke ..................................................................................... 21 3.1.1 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 1 .......................................... 22 3.1.2 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 2 .......................................... 22 3.1.3 Vergleich der gemessenen mit den simulierten Übergangsfunktionen ..................... 23 3.2 Untersuchung der Regelstrecke mit Entkopplungsfilter................................................ 24 3.2.1 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 1 .......................................... 24 3.2.2 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 2 .......................................... 25 3.2.3 Vergleich der simulierten mit den gemessenen Übertragungsfunktionen ................. 26 3.3 Führungsverhalten der geschlossenen Regelung mit Entkopplungsfilter ..................... 27 3.3.1 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 1.......................................... 27 3.3.2 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 2.......................................... 28 3.4 Störverhalten der geschlossenen Regelung mit Entkopplungsfilter .............................. 29 3.4.1 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z1 an Tank 1 ...................................... 29 3.4.2 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z2 an Tank 2 ...................................... 30 3.4.3 Auswertung des Störverhaltens zi=20% .................................................................... 31 3.4.4 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z1=50% an Tank 1 ............................. 32 3.5 Führungsverhalten der geschlossenen Regelung ohne Entkopplungsfilter ................... 33 3.5.1 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 1.......................................... 33 3.5.2 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 2.......................................... 34 3.6 Störverhalten der geschlossenen Regelung ohne Entkopplungsfilter ........................... 35 3.6.1 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z1 an Tank 1 ...................................... 35 3.6.2 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z2 an Tank 2 ...................................... 36 4 Zusammenfassung ........................................................................................................... 37 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 2 1 Einleitung Im folgenden Versuch wird an Hand eines Drei-Tank-Systems die technische Realisierung eines nichtlinearen Mehrgrößensystems mit zwei Eingangs- und Ausgangsgrößen erläutert. Dazu wird in der Vorbereitung (Kapitel 2) die theoretische Prozessanalyse für dieses Modell betrieben und im weiteren Verlauf die errechneten Werte praktisch zu überprüft (Punkt 3). Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 3 2 Vorbereitungsaufgaben 2.1 Vorbereitungsaufgabe 1 Aufstellen der Differenzialgleichungen für die Volumenbilanzen de Drei-Tank-Systems: (Error! Use the Home tab to apply dV Übersch A h(t ) q e (t ) q a (t ) rift 1 to dt the text that you want to appear here..1) Volumenstrom zwischen zwei Behältern q a z s 2 g he (t ) ha (t ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..2) Tank 1: u (t ) a s h1 (t ) K Pi 1 z1 2 g h1 (t ) h3 (t ) A A (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..3) Tank 2: u (t ) a s a s h2 (t ) K Pi 2 z 3 2 g h3 (t ) h2 (t ) z 2 2 g h2 (t ) A A A (Error! Use the Home Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 4 tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..4) Tank 3: a s a s h3 (t ) z1 2 g h1 (t ) h3 (t ) z 3 2 g h3 (t ) h2 (t ) A A (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..5) 2.2 Vorbereitungsaufgabe 2 Linearisieren der Differenzialgleichungen (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..3), (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..4) und (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..5) mittels Taylor-Reihenentwicklung am Arbeitspunkt und Abbruch nach dem ersten Glied: Für kleine Änderungen am Arbeitspunkt gilt (Zufluss und Abfluss am AP heben sich auf): (Error! Use the Home tab to apply df ( xe ) Übersch xa (t ) | AP xe (t ) K p xe (t ) rift 1 to dt the text that you want to appear here..6) Tank 1: a s 2 g u (t ) h1 (t ) K Pi 1 z1 (h1 h3 ) A 2 A h10 h30 (Error! Use the Home tab to Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 5 apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..7) Tank 2: h2 (t ) K Pi a s 2 g a s 2 g u 2 (t ) z3 (h3 h2 ) z 2 h2 A 2 A h30 h20 2 A h20 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..8) Tank 3: h3 (t ) a z1 s 2 g 2 A h10 h30 (h1 h3 ) a z3 s 2 g 2 A h30 h20 (h3 h2 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..9) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 6 Zur Berechnung der Koeffizienten aij am Arbeitspunkt wird vorausgesetzt: (Error! Use the Home tab to apply hi ai1 h1 ai 2 h2 ai 3 h3 ; h10 27,4cm ; h2 (t ) 12,3cm ; h3 (t ) 19,8cm ; Übersch rift 1 to cm s 0,5cm 2 ; A 154cm 2 ; a z1 0,4421 ; a z 2 0,7063 ; a z 3 0,4898 ; g 981 2 the text s that you want to appear here..10 ) Tank 1, ai1: a11 a13 cm 1 s2 0.0115 2 s 2 154cm 27,4cm 19,8cm 0.4421 0.5cm 2 2 981 a z1 s 2 g 2 A h10 h30 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..11 ) Tank 2, ai2: a 22 a z3 s 2 g 2 A h30 h20 0,4898 0,5cm 2 2 981 308cm 2 17,5cm a 23 az3 s 2 g 2 A h30 h20 az2 s 2 g 2 A h20 cm s2 0,7063 0,5cm 2 2 981 08cm 2 12,3cm cm s2 -0,0242 cm s2 0,0129 308cm 2 19,8cm 12,3cm 0,4898 0,5cm 2 2 981 1 s (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..12 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 7 the text that you want to appear here..13 ) Tank 3, ai3: a31 a32 a z1 s 2 g 2 A h10 h30 az3 s 2 g 2 A h30 h20 a33 cm 1 s2 0,0115 2 s 308cm 27,4cm 19,8cm 0,4421 0,5cm 2 2 981 cm 1 s2 0,0129 2 s 308cm 19,8cm 12,3cm a z1 s 2 g 2 A h10 h30 0,4898 0,5cm 2 2 981 a z3 s 2 g 2 A h30 h20 0,4421 0,5cm 2 2 981 308cm 7,6cm 2 cm s2 0,4898 0,5cm 2 2 981 308cm 7,5cm 2 cm s2 -0,0244 1 s (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..14 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..15 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..16 ) Durch diese Koeffizienten ergeben sich die Vereinfachungen der Differenzialgleichungen zu: u (t ) (Error! h1 (t ) K Pi 1 a11 h1 a13 h3 Use the A Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 8 Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..17 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch u (t ) rift 1 to h2 (t ) K Pi 2 a22 h2 a23 h3 A the text that you want to appear here..18 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to h3 (t ) a31 h1 a32 h2 a33 h3 the text that you want to appear here..19 ) h1 a11 h2 0 h3 a31 0 a 22 a 32 K Pi A 0 a13 h1 K Pi u1 a 23 h2 0 A u 2 a33 h3 0 0 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..20 ) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 9 Füllhöhe / cm y1 1 0 h1 0 0 u1 y 0 1 h 0 0 u 2 2 2 Abbildung 1 Sprungantworten bei u1=0,6V und u2=0V (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..21 ) Füllhöhe / cm Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 10 Abbildung 2 Sprungantworten bei u1=0V und u2=0,6V 2.3 Vorbereitungsaufgabe 3 Im Folgenden wird die Übertragungsmatrix mit Hilfe von Matlab ermittelt und in Simulink die entsprechenden Sprungantworten simuliert. Diese stimmen folglich mit den in Kapitel 2.2 ermittelten Sprungantworten überein. (Error! Use the Home tab to apply Übersch G12 G G 11 rift 1 to G21 G22 the text that you want to appear here..22 ) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 11 Simulink Modell der Regelstrecke Abbildung 4 Sprungantworten bei u1=0,6V und u2=0V Füllhöhe / cm Abbildung 3 Füllhöhe / cm Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 12 Abbildung 5 Sprungantworten bei u1=0V und u2=0,6V Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 13 2.4 Vorbereitungsaufgabe 4 Der Entkopplungsfilter K21 dient zur Entkopplung des Zulaufvolumenstromes u1 auf die Füllhöhe h2 an einem vorgegebenen Arbeitspunkt (für das linearisierte Modell). K21 ist idealerweise so zu wählen, dass die Übertragungsfunktion von u1 zu h2 zu Null wird und die Übertragungsfunktion von u1 zu h1 unverändert bleibt. Mit dem Entkoppelfilter K12 ist analog zu K21 zu verfahren. Die Entkopplungsfilter ergeben sich bei einer P-kanonischen Form zu: K12 G12 0,3 25,8 s 1 77,4 s 1 G11 K 21 G21 1 32,1 s 1 210,1 s 1 G22 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..23 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..24 ) 2.5 Vorbereitungsaufgabe 5 Im Folgenden wird das Mehrgrößensystem mit den Entkopplungsfilters so vereinfacht, dass daraus die PI-Regler berechnet werden kann. Berechnung der entkoppelten Regelstrecke G1: Y1 (V1 V2 K12 ) G11 (V2 V1 K 21 ) G12 V1 G11 V2 K12 G11 V2 G12 V1 K 21 G12 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 14 that you want to appear here..25 ) Mit den Entkopplungsfiltern (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..23) und (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..24) ergibt sich (Error! Use the Home tab to apply Übersch Y G1 1 G11 K 21 G12 rift 1 to V1 the text that you want to appear here..26 ) Berechnung der entkoppelten Regelstrecke G2: (Error! Use the Home tab to apply Übersch Y2 (V2 V1 K 21 ) G22 (V1 V2 K12 ) G21 rift 1 to V2 G22 V1 K 21 G22 V1 G21 V2 K12 G21 the text that you want to appear here..27 ) Mit den Entkopplungsfiltern (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..23) und (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..24) ergibt sich (Error! Use the Home tab to apply Y2 Übersch G2 G22 K12 G21 rift 1 to V2 the text that you want to appear here..28 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 15 ) Die PI-Regler wurden mit RLtool ermittelt: Bei G1 mit großer Zeitkonstante: GR1 _ 1 18,91 210,1 s 1 210,1 s (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..29 ) Bei G1 mit kleiner Zeitkonstante: G R1 _ 2 19,23 32,09 s 1 32,09 s (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..30 ) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 16 -5 1.5 Root Locus Editor (C) x 10 1 Imag Axis 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 Real Axis WOK mit Regler GR1_1 bei großer Zeitkonstante Abbildung 6 Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Time (sec) Abbildung 7 Sprungantwort mit Regler GR1_1 bei großer Zeitkonstante Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 17 Root Locus Editor (C) 0.03 0.02 Imag Axis 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 Real Axis Abbildung 8 WOK mit Regler GR1_2 bei kleiner Zeitkonstante Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 Time (sec) Abbildung 9 Sprungantwort mit Regler GR1_2 bei kleiner Zeitkonstante Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 18 Bei G2 mit großer Zeitkonstante: (Error! Use the Home tab to apply Übersch 77,4 s 1 G R 2 _ 1 19,38 rift 1 to 77,4 s the text that you want to appear here..31 ) Bei G2 mit kleiner Zeitkonstante: GR 2 _ 2 18,04 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..32 ) 25,7 s 1 25,7 s Root Locus Editor (C) 1 0.8 0.6 0.4 Imag Axis 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 Real Axis -0.2 -0.1 0 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 19 Abbildung 10 WOK mit Regler GR2_1 bei großer Zeitkonstante Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time (sec) Abbildung 11 Sprungantwort mit Regler GR2_1 bei großer Zeitkonstante Root Locus Editor (C) 0.02 0.015 0.01 Imag Axis 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Real Axis Abbildung 12 WOK mit Regler GR2_2 bei kleiner Zeitkonstante 0 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 20 Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Time (sec) Abbildung 13 Sprungantwort mit Regler GR2_2 bei kleiner Zeitkonstante Bei der Regelung mit Entkopplungsfilter ist es aus dynamischen Gründen sinnvoller die kleinere Zeitkonstante zu kompensieren, damit das System schneller wird. Durch Partialbruchzerlegung, wie es in Gleichung (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..33) und (Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here..34) dargestellt ist, sieht man, dass sich eine Parallelstruktur mit einer großen und einer kleinen Zeitkonstante ergibt. Diese können als Laststörung angesehen werden. Wird nun der Term mit der kleineren Zeitkonstante kompensiert, so wirkt nur noch die langsamere Störung, welche das System nicht so stark beeinflusst. G1 5,3 41 s 1 0,3 5,1 (32,09 s 1) (210,1 s 1) 32,09 s 1 210,1 s 1 G 2 1,6 41 s 1 0,5 4 (25,8 s 1) (77,4 s 1) 25,8 s 1 77,4 s 1 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..33 ) (Error! Use the Home Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 21 tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..34 ) Abbildung 14 Beispiel-Struktur mit Regler Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 22 2.6 Vorbereitungsaufgabe 6 Die Hauptregler werden mittels Matlab in den z-Bereich transformiert: G R1 _ 2 19,23 GR 2 _ 2 19,23 18,63 z 1 32,09 s 1 G RZ1 _ 2 32,09 s 1 z 1 18,04 17,34 z 1 25,7 s 1 G RZ 2 _ 1 18,04 25,7 s 1 z 1 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..35 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..36 ) Daraus folgenden die Differenzengleichungen: G RZ1 _ 2 19,23 18,63 z 1 y1 (n) y1 (n 1) 18,63 x1 (n 1) 19,23 x1 (n) 1 z 1 G RZ 2 _ 1 18,04 17,34 z 1 y2 (n) y2 (n 1) 17,34 x2 (n 1) 18,04 x2 (n) 1 z 1 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..37 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 23 rift 1 to the text that you want to appear here..38 ) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 24 2.7 Vorbereitungsaufgabe 7 Die PI-Regler werden für die Hauptregelstrecken G11 und G22 (ohne Entkopplungsfilter) mittels RLtool ermittelt: Bei G11 mit großer Zeitkonstante: G R11 _ 1 18,70 374 s 1 374 s (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..39 ) Bei G11 mit kleiner Zeitkonstante: GR11 _ 2 20 24,38 s 1 24,38 s (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..40 ) Bei G22 mit großer Zeitkonstante: G R 22 _ 1 19,82 374 s 1 374 s Bei G22 mit kleiner Zeitkonstante: (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..41 ) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 25 (Error! Use the Home tab to apply Übersch 24,38 s 1 G R 22 _ 2 20 rift 1 to 24,38 s the text that you want to appear here..42 ) Root Locus Editor (C) 1 0.8 0.6 0.4 Imag Axis 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Real Axis Abbildung 15 WOK mit Regler GR11_1 bei großer Zeitkonstante 0 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 26 Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Time (sec) Abbildung 16 Sprungantwort mit Regler GR11_1 bei großer Zeitkonstante Root Locus Editor (C) 0.04 0.03 0.02 Imag Axis 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Real Axis Abbildung 17 WOK mit Regler GR11_2 bei kleiner Zeitkonstante 0 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 27 Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time (sec) Abbildung 18 Sprungantwort mit Regler GR11_2 bei kleiner Zeitkonstante Root Locus Editor (C) 1 0.8 0.6 0.4 Imag Axis 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Real Axis Abbildung 19 WOK mit Regler GR22_1 bei großer Zeitkonstante 0 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 28 Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 Time (sec) Abbildung 20 Sprungantwort mit Regler GR22_1 bei großer Zeitkonstante Root Locus Editor (C) 0.02 0.015 0.01 Imag Axis 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Real Axis Abbildung 21 WOK mit Regler GR22_2 bei kleiner Zeitkonstante 0 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 29 Step Response 20 Sprungantw ort 18 Stellgröße 16 14 Amplitude 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 Time (sec) Abbildung 22 Sprungantwort mit Regler GR22_2 bei kleiner Zeitkonstante Die ausgewählten Hauptregler werden mittels Matlab in den z-Bereich transformiert: GR11 _ 2 20 24,38 s 1 20 19,18 z 1 G RZ11 _ 2 24,38 s 1 z 1 G R 22 _ 2 20 24,38 s 1 20 19,18 z 1 GRZ 22 _ 2 24,38 s 1 z 1 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..43 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..44 ) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 30 Daraus folgenden die Differenzengleichungen: G RZ11 _ 2 20 19,18 z 1 y11 (n) y11 (n 1) 19,18 x11 (n 1) 20 x11 (n) 1 z 1 GRZ 22 _ 2 20 19,18 z 1 y22 (n) y22 (n 1) 19,18 x22 (n 1) 20 x22 (n) 1 z 1 (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..45 ) (Error! Use the Home tab to apply Übersch rift 1 to the text that you want to appear here..46 ) Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 31 3 Versuchsdurchführung 3.1 Untersuchung der Regelstrecke Zunächst wird das System bei u10=u20=30% in seinen Arbeitspunkt gefahren und gewartet bis sich ein stationärer Endwert einstellt. Dieser stellte sich dann nach ca. 2000 Sekunden ein. 40 30 20 10 0 200 400 600 800 1000 1200 Zeit / s 1400 1600 1800 2000 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 23 Befüllung der Behälter mit 30% Pumpenleistung Zum Vergleich der Simulation und des realen Systems werden in den anschließenden Kapiteln die Sprungantworten ermittelt. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 32 3.1.1 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 1 40 30 20 10 0 2000 2200 2400 2600 2800 3000 Zeit / s 3200 3400 3600 3800 4000 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 24 Änderung der Eingangsgröße u1 am AP auf 33% Pumpenleistung 3.1.2 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 2 40 30 20 10 0 4000 4200 4400 4600 4800 5000 Zeit / s 5200 5400 5600 5800 6000 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 25 Änderung der Eingangsgröße u2 am AP auf 27% Pumpenleistung Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 33 3.1.3 Vergleich der gemessenen mit den simulierten Übergangsfunktionen 5.5 h1 / cm 5 h2 / cm h3 / cm 4.5 4 Test 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 500 1000 1500 2000 2500 Zeit / s Abbildung 26 gemessene/simulierte Übergangsfunktion für u1=0.6V, u2=0V Um einen direkten Vergleich der simulierten Übergangsfunktionen mit den gemessenen Übergangsfunktionen zu erreichen, wurde die Weg- und die Zeitachse dahingehend verschoben, dass ein direkter Vergleich der simulierten und gemessenen Daten möglich ist. Der Verlauf der gemessenen Funktionen entspricht in etwa dem der simulierten Funktionen, wobei der statische Endwert in allen drei Funktionen leicht abweicht. Ursachen sind in den unterschiedlichen Arbeitspunkten zu finden. Das errechnete Zustandsmodell setze einen Arbeitspunkt von h10=27,4cm, h20=19,8cm und h30=12,3cm voraus. In dem Praktikumsversuch wurden aber die Arbeitspunkte h10= 29,0cm h20=21,6cm und h30=13,4cm angefahren. Es ist deutlich die Verkopplung des Gesamtsystems zu erkennen. In Abbildung 25 ist auch zu sehen, dass die Änderung des Zulaufes von Tank 2 eine gleiche Absenkung der Füllhöhen in allen drei Behältern verursachte. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 34 3.2 Untersuchung der Regelstrecke mit Entkopplungsfilter Im Nachfolgenden werden die Auswirkungen der berechneten Entkopplungsfilter in der Regelstrecke untersucht. 3.2.1 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 1 40 30 20 10 0 6000 6200 6400 6600 6800 Zeit / s 7000 7200 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 27 Änderung der Stellgröße u1=30% am Tank 1 7400 7600 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 35 3.2.2 Sprungförmige Änderung der Eingangsgröße an Tank 2 40 30 20 10 0 7600 7800 8000 8200 8400 Zeit / s 8600 8800 9000 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 28 Änderung der Stellgröße u2=30% am Tank 2 9200 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 36 3.2.3 Vergleich der simulierten mit den gemessenen Übertragungsfunktionen 2 h2Simu / cm 1.8 h1Simu / cm 1.6 h1 / cm h2 / cm 1.4 h3 / cm 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 2500 Zeit / s Abbildung 29 Angepasste Darstellung von Abbildung 28 Bei dem Teilversuch 3.2 wurde das Rücksetzen der Arbeitspunkt auf u1=u2=30% nicht beachtet. In Abbildung 29 ist der Vergleich der Simulation und der Messung bei sprungförmiger Änderung der Eingangsgröße von Tank 2 zu sehen. Da die Entkopplungsfilter nicht das gewünschte Verhalten aufweisen, lässt den Schluss zu, dass in der Messungen von Kapitel 3.2 die Entkopplungsfilter nicht richtig eingestellt oder gar ausgeschalten waren. Warum dieser Fehler auftreten konnte, kann nun nicht mehr nachvollzogen werden. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 37 3.3 Führungsverhalten der geschlossenen Regelung mit Entkopplungsfilter In diesem Kapitel wird das Verhalten der Regelung mit Entkopplungsfilter untersucht. Dazu werden die in Kapitel 2.5 und 2.6 berechneten Regler verwendet. Die Führungsgrößen betragen dabei am Arbeitspunkt w10=27cm und w20=15cm. 3.3.1 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 1 80 60 40 20 0 9600 9620 9640 9660 9680 9700 Zeit / s 9720 9740 9760 9780 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 30 Sprung der Führungsgröße auf w1=30cm am Tank 1 9800 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 38 3.3.2 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 2 50 40 30 20 10 0 1 1.005 1.01 1.015 Zeit / s 1.02 1.025 4 x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 31 Sprung der Führungsgröße auf w2=16,2cm am Tank 2 Bei den sprungförmigen Änderungen am Tank 1 und 2 arbeiten die, in der theoretischen Prozessanalyse ermittelten, digitalen Regler wie erwartet. Der Sollwert wird ohne markantes Überschwingen nach ca. 30s erreicht und die jeweils andere Füllhöhe bleibt unverändert. Durch die große Verstärkung ist ein großer Anstieg der Stellgröße zu verzeichnen. Im Vergleich zur Simulation ist die Ausregelzeit 6-mal länger. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 39 3.4 Störverhalten der geschlossenen Regelung mit Entkopplungsfilter Dieser Abschnitt beschreibt das Verhalten des Systems mit Entkopplungsfilter und Regelung. 3.4.1 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z1 an Tank 1 60 50 40 30 20 10 1.035 1.04 1.045 Zeit / s 1.05 4 x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 32 kleine Störung z1=20% zum Zeitpunkt t=10400s am Tank 1 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 40 40 30 20 10 0 1.05 1.055 1.06 Zeit / s 1.065 4 x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 33 wegnehmen der Störung von z1=20% auf z1=0% am Tank 1 3.4.2 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z2 an Tank 2 40 30 20 10 0 1.06 1.065 1.07 Zeit / s Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 1.075 4 x 10 Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 41 Abbildung 34 kleine Störung z2=20% am Tank 2 40 30 20 10 0 1.075 1.0755 1.076 Abbildung 35 1.0765 1.077 1.0775 1.078 1.0785 1.079 1.0795 1.08 4 Zeit / s x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 wegnehmen der Störung von z2=20% auf z2=0% am Tank 2 3.4.3 Auswertung des Störverhaltens zi=20% Kleine Störungen (im Bereich von zi=20%) an Tank 1 und 2 werden von den Reglern sehr gut kompensiert. Der sichtbare Füllstandsabfall an Abbildung 32 ist durch eine versehentlich zu stark eingestellte Störgröße zu begründen. An den Stellgrößen der jeweiligen Pumpen ist während des Ausregelns der Störgrößen ein entsprechender Anstieg zu verzeichnen. Die Stellgröße von Tank 2 oszilliert, was dadurch zu Begründen ist, dass die Störung direkt vor dem Ausfluss eingreift und somit ständig ausgeglichen werden muss. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 42 3.4.4 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z1=50% an Tank 1 80 60 40 20 0 1.08 1.09 1.1 1.11 1.12 1.13 1.14 Zeit / s 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 4 x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 36 große Störung z1=50% an Tank 1 Große Störungen (im Bereich von zi=50%) führen hingegen zu erheblichen Regelabweichungen. Im ersten Augenblick ist zu sehen wie die Pumpe von Tank 1 mehr Wasser fördert, sodass der Sollwert kurzzeitig erreicht ist. Durch die trägen Elemente der Regelung bzw. des Systems ist ein Zeitversatz zwischen dem Einschwingen von Tank 1 und dem Reagieren des verkoppelten Tanks 2 zu beobachten. Tank 2 wurde in Folge dessen fast vollständig entleert. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 43 3.5 Führungsverhalten der geschlossenen Regelung ohne Entkopplungsfilter Bei diesem Versuch wird das System mit Regelung ohne Entkopplungsfilter untersucht. Die Führungsgrößen betragen dabei am Arbeitspunkt w10=27cm und w20=15cm. 3.5.1 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 1 80 60 40 20 0 1.209 1.21 1.211 1.212 1.213 1.214 1.215 1.216 1.217 1.218 1.219 1.22 4 Zeit / s x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 37 Führungssprung w1=30cm am Tank 1 ohne Entkopplungsfilter Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 44 3.5.2 Sprungförmige Änderung der Führungsgröße an Tank 2 60 50 40 30 20 10 1.229 1.23 1.231 1.232 1.233 1.234 1.235 1.236 1.237 1.238 1.239 1.24 4 Zeit / s x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 38 Führungssprung w2=16,2cm am Tank 2 ohne Entkopplungsfilter Beide Füllhöhen erreichen ohne Entkopplungsfilter ebenfalls schnell ihren Sollwert. Dies lässt den Schluss zu, dass bei kleinen Änderungen der Führungsgröße am Arbeitspunkt der jeweils andere Regler die durch die Verkopplung hervorgerufene Störung ausgleicht. Das prinzipielle Verhalten, sowie die Ausregelzeiten sind dabei im Vergleich zur Simulation identisch. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 45 3.6 Störverhalten der geschlossenen Regelung ohne Entkopplungsfilter 3.6.1 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z1 an Tank 1 80 60 40 20 0 1.249 1.25 1.251 1.252 1.253 1.254 1.255 1.256 1.257 1.258 1.259 1.26 4 Zeit / s x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 39 große Störung z1=50% am Tank 1 ohne Entkopplungsfilter Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 46 3.6.2 Sprungförmige Änderung der Störungsgröße z2 an Tank 2 80 60 40 20 0 1.275 1.276 1.277 1.278 1.279 1.28 Zeit / s 1.281 1.282 1.283 1.284 1.285 4 x 10 Tank 1 Tank 2 Tank 3 Sollwert Tank 1 Sollwert Tank 2 Stellgröße Pumpe 1 Stellgröße Pumpe 2 Abbildung 40 große Störung z2=50% am Tank 2 ohne Entkopplungsfilter Große Störungen werden durch die Regelung ohne Entkopplungsfilter langsamer ausregelt, aber es treten nicht, wie in Kapitel 3.4.4 auf Abbildung 36 zu sehen ist, solche „Verkopplungseffekte“ auf, dass sich ein Behälter fast vollständig entleert. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. Error! Use the Home tab to apply Überschrift 1 to the text that you want to appear here. 47 4 Zusammenfassung In diesem Praktikumsversuch wurde das Verhalten eines Dreitanksystems untersucht. Dazu wurde für das Mehrgrößensystem zunächst eine theoretische Prozessanalyse erstellt, dabei das Übertragungsverhalten ermittelt und entsprechende Regler für Tank 1 und 2 mit- und ohne Entkopplungsfilter erstellt. Das durch die theoretische Prozessanalyse ermittelte Übertragungsverhalten des Drei-Tank-Systems konnte im Versuch in Kapitel 3.1 auch weitestgehend praktisch nachgewiesen werden. In Abschnitt 3.2 wurde festgestellt, dass die Entkopplungsfilter nicht richtig eingestellt oder gar ausgeschalten waren. Das Führungsverhalten der Regelung mit- und ohne Entkopplungsfilter wurde in Kapitel 3.3 und 3.5 untersucht. Dabei wurde nachgewiesen, dass die errechneten Regler zufrieden stellend arbeiteten und das Verhalten weitestgehend mit der Simulation übereinstimmte. In Abschnitt 3.4 und 3.6 wurde das Störungsverhalten der Regelung mit- und ohne Entkopplungsfilter untersucht. Dabei ist festzustellen, dass der Grad der Verkopplung des Systems bei der Auswahl der Regelung von entscheidender Bedeutung ist. Durch die große Förderleistung der Pumpen konnten Störungen durch die berechneten Einzelregler auch ohne Entkopplungsfilter entsprechend schnell ausgeregelt werden. Somit ist die Verwendung von Regelungen mit Entkopplungsfiltern für Systeme mit kleinerer Förderleistung besser geeignet.
