Haus¨ubung 4 (Musterlösung )

SoSe 2014
Konzepte und Methoden der Systemsoftware
Universität Paderborn
Hausübung 4 (Musterlösung )
2014-06-09 bis 2014-06-20
Fachgebiet Rechnernetze
Hausübungsabgabe:
Format:
Lösungen in schriftlicher oder gedruckter Form abgeben. Quelltext wird digital
abgegeben, siehe separate Beschreibung am Ende es Übungszettels.
Ort:
Lösung in markiertem Kasten in D3 Flur einwerfen.
Uhrzeit:
Annahme der Abgaben bis Montag, 2014-06-23, 08:00 Uhr (s.t.)
Gruppen: Geben Sie Ihre Namen, Matrikelnummern und ggf. IMT-eMail-Addressen auf
der Lösung an. Maximal 4 Personen pro Lösung.
Eindeutig: Geben Sie höchstens eine Lösung zu einer Aufgabe ab.
Aufgabe 1: Bankier-Algorithmus
15 P.
Die folgenden Matrizen geben für vier Prozesse (a,b,c,d) und vier Betriebsmitteltypen (W,X,Y,Z)
an, welche und wie viele Betriebsmittel die Prozesse maximal anfordern (Gesamtforderungsmatrix G), welche sie gerade belegt haben (aktuelle Belegung B) und wie viele Betriebsmittel
insgesamt verfügbar sind (v).
W
a 0
b
 2
c 4
d 6
X
3
0
2
1
Y
5
2
0
1
Z

0
1

1
0
W
a 0
b
 1
c 2
d 3
X
0
0
1
1
Y
3
2
0
1
Z

0
0

1
0

G =

B =
v =
W
8
X
3
Y
6
Z
1
(a) Berechnen Sie aus diesen Angaben die Restforderungsmatrix R und den Vektor der momentan freien Betriebsmittel f .
(2 P.)
Lösung:
W
a 0
b 1
R=G−B = 
c 2
d 3

f=
W
2
X
1
X
3
0
1
0
Y
0
Y
2
0
0
0
Z

0
1

0
0
Z
1
(b) Was ist die Bedingung dafür, dass der Bankier-Algorithmus einen Belegungszustand als
unsicher bewertet?
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Hausübung 4 (Musterlösung )
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(1 P.)
Lösung:
Der Bankier-Algorithmus findet keine gültige Reihenfolge, in der die Restforderungen
abgearbeitet werden können, d.h. egal in welcher Reihenfolge die Anforderungen abgearbeitet werden, gerät der Algorithmus immer in eine Situation in der f keine der Zeilen
in R erfüllen kann.
(c) Prüfen Sie schrittweise mit Hilfe des Bankier-Algorithmus, ob der aktuelle Zustand sicher
ist. Geben Sie entweder eine gültige Abarbeitungsreihenfolge der Prozesse an oder geben
Sie an, an welcher Stelle Sie festgestellt haben, dass nicht alle Prozesse beendet werden
können. Geben Sie nach jedem Schritt die neuen Werte für R und f an.
Lösung:
1. Ausgangssituation:
W
a 0
b 1
R= 
c 2
d 3
X
3
0
1
0
Y
2
0
0
0
Z

0
1

0
0
W
2
X
1
Y
0
Z
2

f=
2. Wähle Prozess b (frei vs. benötigt: f R[b]): Prozess b bekommt Ressourcen
R[b] und gibt seine Ressourcen B[b] wieder frei.
W
a 0
b 0
R= 
c 2
d 3
X
3
0
1
0
Y
2
0
0
0
Z

0
0

0
0
W
3
X
1
Y
2
Z
2

f=
3. Wähle Prozess d (frei vs. benötigt: f R[d]): Prozess d bekommt Ressourcen
R[d] und gibt seine Ressourcen B[d] wieder frei.
W
a 0
b 0
R= 
c 2
d 0
X
3
0
1
0
Y
2
0
0
0
Z

0
0

0
0
W
5
X
2
Y
2
Z
2

f=
4. Wähle Prozess c (frei vs. benötigt: f R[c]): Prozess c bekommt Ressourcen
R[c] und gibt seine Ressourcen B[c] wieder frei.
W
a 0
b 0
R= 
c 0
d 0
X
3
0
0
0
Y
2
0
0
0
Z

0
0

0
0
W
8
X
3
Y
3
Z
2

f=
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(4 P.)
5. Wähle Prozess c (frei vs. benötigt: f R[a]): Prozess a bekommt Ressourcen
R[a] und gibt seine Ressourcen B[a] wieder frei.
W
a 0
b 0
R= 
c 0
d 0
X
0
0
0
0
Y
0
0
0
0
Z

0
0

0
0
W
8
X
3
Y
6
Z
2

f=
(d) Angenommen, ein Belegungszustand wurde als unsicher bewertet: Könnte es helfen,
einen Prozess vorzeitig zu beenden, um ihm die Ressourcen zu entziehen? Erläutern Sie
kurz.
(2 P.)
Lösung:
Im Allgemeinen könnte es helfen, wenn dadurch genug Ressourcen frei würden, dass
alle andere Prozess laufen könnten.
(e) Angenommen, der Bankier-Algorithmus stellt fest, dass eine Belegungssituation sicher
ist. Ist damit sichergestellt, dass im weiteren Programmablauf keine Verklemmung auftritt? Erläutern Sie kurz.
(2 P.)
Lösung:
Nein, es ist nur sichergestellt, dass eine Ausführungsreihenfolge existiert, die nicht zu
einer Verklemmung führt.
(f) In realen Systemen wird der Bankier-Algorithmus kaum eingesetzt, obwohl er zuverlässig
vor Verklemmungen schützen kann. Welches Problem besteht bei der Umsetzung des
Bankier-Algorithmus für z.B. Verwaltung von Arbeitsspeicher im PC?
(2 P.)
Lösung:
Bei der Ausführung eines Prozesses ist nicht vorhersehbar, welche Ressourcen dieser
noch während seiner Laufzeit anfordern wird.
(g) Der Bankier-Algorithmus trifft bestimmte Annahmen über das Prozessverhalten. In realen Systemen könnte dies dazu führen, dass ein als unsicher bewerteter Zustand trotzdem
nicht zu einem Deadlock führt. Nennen Sie diese Annahmen.
Lösung:
Ressourcen werden wieder freigegeben, nachdem der Prozess terminiert. Somit gibt ein
Prozess keine Betriebsmittel wieder heraus, wenn er dieses einmal bekommen hat.
Es gibt keine Möglichkeit einem Prozess Ressourcen wieder zu entziehen.
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(2 P.)
Aufgabe 2: Würfeln
20 P.
Bei einem bekannten Kartenspiel muss ein Helden in einem Labyrinth voller Gefahren überleben.
Eine der Gefahren sind aggressive Monster, die den Helden angreifen. Ist das Monster zu stark,
bleibt dem Helden nur die Flucht. Erfolgreich geflohen ist der Held, wenn der Spieler mindestens eine 5 auf einem 6-seitigen Würfel erwürfelt hat.
Hinweis: Der Würfel ist nicht manipuliert, d.h. alle Zahlen 1 − 6 sind gleichwahrscheinlich
(Laplace-Experiment).
(a) Modellieren Sie das Zufallsexperiment:
i. Geben Sie den Ereignisraum des Würfelwurfs an: S = {1,2,3,4,5,6}
ii. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse an: P ( X = i) = P ({i}) =
(1 P.)
1
6
,∀i ∈ S
iii. Erklären Sie kurz, welches Ereignis mit A = {1,3} gemeint ist.
(1 P.)
(1 P.)
Lösung:
In einem Ereignis (Würfelwurf) ist das Ereignis 1 oder 3.
iv. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass der Held erfolgreich flieht:
Lösung:
P (fliehen) = P ({5,6}) = P (X ≥ 5) = P ({5}) + P ({6}) =
(1 P.)
1
3
(b) Wenn ein Monster von dem Helden bezwungen wurde, darf der Held das Lager des Monsters durchsuchen, um nützlichen Gegenstände zu finden und zu behalten; der Spieler zieht
neue Ausrüstungskarten.
Der Spieler zieht vier Karten, muss sich aber für eine der Karten entscheiden (Spielregel).
Die Frage ist nun, welche dieser Karten gibt dem Helden den größten Vorteil?
i. Die erste Karte erlauben Folgendes: Die Augenzahlen des Würfelwurfs werden erst
um +1 erhöht und danach wird überprüft, ob sie mindestens 5 erreicht haben.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held?
Lösung:
P (fliehenα ) = P ({4,5,6}) = P (X ≥ 4) = P ({4}) + P ({5}) + P ({6}) =
(2 P.)
1
2
ii. Die zweite Karte erlaubt Folgendes: Eine Augenzahl von 5 − 6 führt zum Erfolg und
bei einer 1−4 darf einmalig noch einmal gewürfelt werden. Die Flucht ist erfolgreich
mit einer 5 − 6 im zweiten Wurf.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held?
(4 P.)
Lösung:
P (fliehenβ )?
Fallunterscheidung notwendig:
1. Erster Wurf erfolgreich: P ({5,6}) = 26 = 39 = P (A1 )
2. Erster Wurf nicht erfolgreich, zweiter Wurf erfolgreich:
2
(1 − P (A1 )) · P ({5,6}) = 4·2
36 = 9 = P (A2 )
P (fliehenβ ) = P (A1 ) + P (A2 ) = 95
Zwei unabhängigen Zufallsexperimenten: P (B1 )P (B2 )
iii. Die dritte Karte erlaubt Folgendes: Eine Augenzahl von 5 − 6 führt zum Erfolg. Bei
einer 1 − 4 wird einmalig erneut gewürfelt; Erfolg im zweiten Wurf hat
1. eine ungerade Zahl, wenn im ersten Wurf schon eine ungerade Zahl gewürfelt
wurde.
2. eine 6, wenn im ersten Wurf eine gerade Zahl gewürfelt wurde.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held?
Lösung:
P (fliehenγ )?
Fallunterscheidung:
1. Erster Wurf erfolgreich: P ({5,6}) =
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2
6
=
3
9
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(6 P.)
2. Erster Wurf ungerade P ({1,3}), zweiter Wurf erfolgreich mit ungeraden
Zahlen P ({1,3,5})
3. Erster Wurf gerade P ({2,4}), zweiter Wurf erfolgreich mit 6 P ({6})
P (fliehenγ ) = P ({5,6}) + P ({1,3})P ({1,3,5}) + P ({2,4})P ({6})
= 26 + 26 12 + 26 16 = 95
iv. Die vierte Karte erlaubt Folgendes: Es muss zweimal gewürfelt werden und beide
Mal muss mindestens eine 5 gewürfelt werden. Einmal darf im ersten oder zweiten
Wurf (aber nicht in Beiden) auch eine 4 gewürfelt werden.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held?
(3 P.)
Lösung:
P (fliehenδ )? Wahrscheinlichkeit für beide mal 5 − 6 (zu viel); minus Wahrscheinlichkeit für einmalig 4:
1
P ({4,5,6})P ({4,5,6}) − P ({.,4}) = 63 36 − 36
= 29
(c) Welche Karte hat nun die größte Erfolgswahrscheinlichkeit zur Flucht?
Lösung:
Mit der dritte Karte: P (fliehenβ ) = P (fliehenγ ) =
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5
9
>
Hausübung 4 (Musterlösung )
(1 P.)
1
2
5/12
Aufgabe 3: Lehrveranstaltung
25 P.
Zur Verbesserung der Lehre hat die Universität eine Untersuchung der Lehrveranstaltungen
durchgeführt. Dabei wurde erhoben, ob Studenten Hausübungszettel gemacht hatten, ob sie in
der Zentralübung waren und ob sie die Klausur bestanden hatten. Folgende Tabelle beschreibt
die Studentenverteilung auf die fünf Gruppen und wie viel der Studenten einer Gruppe bestanden haben.
Anteil aller Studenten Hausaufgaben
Zentralübung Bestanden
10% persönlich gelöst zugehört
80%
20% abgeschrieben
zugehört
50%
20% abgeschrieben
nicht zugehört
30%
10% nichts abgegeben zugehört
40%
40% nichts abgegeben nicht zugehört
20%
(a) Modellieren Sie das Zufallsexperiment:
i. Wie viele Zufallsexperimente enthält die Tabelle? Wie sieht der Ereignisraum aus?
(3 P.)
Lösung:
3 Zufallsexperimente: SHausaufgaben = {persönlich, abgeschrieben, nicht}
SZentralübung = {zugehört, nicht}
SBestanden = {ja, nein}
S = SHausaufgaben × SZentralübung × SBestanden , |S| = 3 · 2 · 2 = 12
Beispiel: Student der persönlich Hausaufgaben gelöst hat und in der Zentralübung
war, aber dennoch die Klausur nicht bestanden hat: (persönlich, zugehört, nein) ∈
S
P
Rahmenbedingung: 1 = e∈S P (e)
ii. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Student ...
• ... die Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung zugehört?
(2 P.)
Lösung:
P (”Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung zugehört”) =
P ({persönlich, zugehört, ja),(persönlich, zugehört, nein)}) = 0.1
• ... die Hausaufgaben abgeschrieben und in der Zentralübung zugehört?
Lösung:
A = ”die Hausaufgaben abgeschrieben und in der Zentralübung zugehört”
P (A) = 0.2
= P ({(abgeschrieben, zugehört, ja),(abgeschrieben, zugehört, nein)})
• ... die Hausaufgaben nicht abgegeben und in der Zentralübung zugehört?
Lösung:
P ({(nicht, nicht, ja),(nicht, nicht, nein)}) = 0.1
• ... die Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung nicht zugehört?
Lösung:
P ({(persönlich, nicht, ja),(persönlich, nicht, nein)}) = 0
iii. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine StudentIn die Klausur bestanden, wenn sie
vorher ...
• ... die Hausaufgaben persönlich gelöst hatte und in der Zentralübung zugehört
hatte?
(4 P.)
Lösung:
B = ”Bestanden”
= {(ja,x,y)|x ∈ SHausaufgaben ,y ∈ SZentralübung }
P (B|{(persönlich, zugehört,z)|z ∈ SBestanden })
= P (”Bestanden”|(”Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung zugehört”)
= P ({ja} | {(persönlich, zugehört, ja),(persönlich, zugehört, nein)}) = 0.8
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• ... die Hausaufgaben abgeschrieben hatte und in der Zentralübung zugehört hatte?
Lösung:
A = ”die Hausaufgaben abgeschrieben und in der Zentralübung zugehört”
P (B|A) = 0.5
= P ({ja}|{(abgeschrieben, zugehört, ja),(abgeschrieben, zugehört, nein)})
= P (B|{(abgeschrieben, zugehört,z) | z ∈ SBestanden })
• ... die Hausaufgaben nicht abgegeben hatte und in der Zentralübung zugehört
hatte?
Lösung:
P ({ja}|{(nicht, nicht, ja),(nicht, nicht, nein)}) = 0.4
= P (B|{(nicht, nicht,z) | z ∈ SBestanden })
• ... die Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung nicht zugehört?
Lösung:
P ({ja}|{(persönlich, nicht, ja),(persönlich, nicht, nein)}) = 0
= P (B|{(persönlich, nicht,z) | z ∈ SBestanden })
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein (beliebiger) Student besteht? (Benutzen Sie
den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.)
(5 P.)
Lösung:
B = {ja}
(1)
A1 = {(persönlich, zugehört, ja),(persönlich, zugehört, nein)}
(2)
A2 = {(abgeschrieben, zugehört, ja),(abgeschrieben, zugehört, nein)}
(3)
A3 = {(abgeschrieben, nicht, ja),(abgeschrieben, nicht, nein)}
(4)
A4 = {(nicht, zugehört, ja),(nicht, zugehört, nein)}
(5)
A5 = {(nicht, nicht, ja),(nicht, nicht, nein)}
X
P (B) =
P (B|Ai )P (Ai )
(6)
(7)
i
= P (B|A1 )P (A1 ) + · · · + P (B|A5 )P (A5 )
(8)
= 0.8 · 0.1 + 0.5 · 0.2 + 0.3 · 0.2 + 0.4 · 0.1 + 0.4 · 0.2
(9)
= 0.36
(10)
(c) Satz von Bayes:
i. Wie lautet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit?
(1 P.)
Lösung:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
ii. Der Satz von Bayes lautet formal für P (A) > 0,P (B) > 0:
P (A|B) =
(2 P.)
P (B|A)P (A)
.
P (B)
Beschreiben Sie kurz, was Sie durch Anwenden des Satzes berechnen können?
Lösung:
Man kommt von P (A|B) nach P (B|A) (wenn auch P (A),P (B) bekannt sind).
Hat man die (bedingte) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignis A wenn
ein anderes Ereignis B schon eingetreten ist, dann kann man die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten von B, wenn A schon passiert ist, berechnen.
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iii. Beweisen Sie den Satz von Bayes aufbauend auf der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.
(2 P.)
Lösung:
P (B|A)P (A) = P (A ∩ B) = P (B ∩ A) = P (A|B)P (B)
P (B|A)P (A)
P (A ∩ B)
=
= P (A|B)
P (B)
P (B)
(11)
(12)
(d) Besteht ein Student, mit welcher Wahrscheinlichkeit war er in welcher Gruppe? Rechnen
Sie für jede Gruppe die Wahrscheinlichkeit aus.
•
•
•
•
•
Gruppe A1 : “persönlich gelöste Hausaufgaben und in Zentralübung zugehört”
Gruppe A2 : “Hausaufgaben abgeschrieben und in Zentralübung zugehört”
Gruppe A3 : “Hausaufgaben abgeschrieben und in Zentralübung nicht zugehört”
Gruppe A4 : “Hausaufgaben nicht abgegeben und in Zentralübung zugehört”
Gruppe A5 : “Hausaufgaben nicht abgegeben und in Zentralübung nicht zugehört”
Lösung:
P (Ai |B) =
P (A1 |B) =
P (A2 |B) =
P (A3 |B) =
P (A4 |B) =
P (A5 |B) =
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P (Ai )P (B|Ai )
P (B)
2
0.08
= ≈ 0.222
0.36
9
0.1
≈ 0.278
0.36
0.06
1
= ≈ 0.167
0.36
6
1
0.04
= ≈ 0.111
0.36
9
0.08
2
= ≈ 0.222
0.36
9
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(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
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(6 P.)
Aufgabe 4: Markov-Ketten
43 P.
Ein Brettspiele-Entwickler bat Sie um Hilfe, um sein Brettspiel zu verbessern. Spielfiguren
bewegen sich abwechselnd über N Felder. Die Felder sind in einem Kreis angeordnet: nach
Feld N − 1 kommt Feld 0. Spielfiguren fangen in Feld 0 an. Wie weit die Spielfiguren laufen,
entscheidet ein Würfelwurf. Die Frage ist, welche Felder werden häufig und welche Felder
sehr selten besucht.
(a) Modellieren Sie das Spiel als Markov-Kette. Gegen Sie davon aus,
1. dass Sie zunächst allgemein N = 5 Felder haben und
2. dass ein W = 3 seitiger unmanipulierter Würfel geworfen wird.
(Zahlen 1..W kommen gleichwahrscheinlich vor; Laplace Experiment)
3. dass vereinfacht nur eine Spielfigur betrachtet wird.
i. Die Zustände beschreiben “Spielfigur ist auf Feld i”. Beschreiben Sie kurz wofür die
Übergänge stehen.
(1 P.)
Lösung:
Die Würfelergebnisse bewegen die Spielfigur und sind die Übergänge zwischen
den Zuständen.
ii. Zeichnen Sie die entsprechende Markov-Kette auf.
(3 P.)
Lösung:
2
3
1
4
0
alle Kanten p=1/3
iii. Geben Sie die Zustandsübergangsmatrix vollständig an.
(2 P.)
Lösung:


1
M= 
3

0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0






(19)
iv. Geben Sie die Zustandsübergangsmatrix mij mit beliebige N , W für N > W an.
Nutzen Sie ggf. eine Fallunterscheidung.
Lösung:
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(4 P.)


1/W
mij = 1/W


0
(
1/W
=
0
if 0 < j − i ≤ W
if 0 < j + N − i ≤ W
else
(20)
if j − i mod N ≤ W
else
(21)
v. Begründen Sie kurz, ob die Gesamtwahrscheinlichkeit
der Übergange aus einem ZuP
stand immer noch 1 sind, 1 = j mij , ∀i. (Voraussetzung für eine gültige MarkovKette.)
Lösung:
Zeilensumme der Matrix ist immer 1 durch die beiden Bedingungen (und weil N >
W gilt) (1∗ P)
P
vi. Ein Kommilitone behauptet 1 = i mij , ∀j muss auch gelten! Stimmt dies? Begründen Sie ihre Antwort.
(1 P.)
(2 P.)
Lösung:
P
Mit i mij werden die Wahrscheinlichkeiten für eingehende Kanten zusammenaddiert, z.B. in Aufg.
P (vii) gibt es Zustände in die man häufiger kommt, z.B. Feld
0 = j. Damit ist i mij > 1.
vii. Würde nach einem Würfelwurf die Spielfigur auf Feld 4 stehen bleiben, wird die
Spielfigur stattdessen auf Feld 0 versetzt. Geben Sie die Zustandsübergangsmatrix,
wie in (iii) vollständig an:
(2 P.)
Lösung:


1
M= 
3

0
1
2
2
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0






(22)
viii. Wie verändert sich die angegebene Zustandsübergangsmatrix zu dieser Aufgabe in
(iv), wenn zusätzlich N ≤ W gilt. Beschreiben Sie kurz in Worten.
(3 P.)
Lösung:
Es besteht die Möglichkeit mit der Spielfigur alle Felder einmal zu überspringen.
Für diesen Fall müssen die Wahrscheinlichkeiten der Übergangskanten angepasst
werden.
(b) Nach wie viel Runden ist die Spielfigur mit welcher Wahrscheinlichkeit auf welchem
Feld? Als Startsitutation vor dem ersten Würfelwurf befindet sich die Spielfigur auf
Feld 0.
i. Beschreiben Sie die Startsituation als Anfangsverteilung π (0) für beliebige Felder.
(1 P.)
Lösung:
π (0) = (1,0,0, . . . )
ii. Berechnen Sie den Zeilenvektor nach 3 Runden und nach 9 Runden mit N = 5 Feldern und dreiseitigem Würfel (W = 3). Geben Sie die resultierenden Wahrscheinlichkeiten numerisch an.
Lösung:
Wolfram Alpha: π (k) = π (0) M k auszurechnen:
1
π (3) = 27
(6 7 6 4 4)T
und
1
π (9) = 19683
(3912 3912 3946 3967 3946)T
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(4 P.)
(Für M aus (a.iii)
1
Alternative mit M aus (a.vii): π (3) = 27
(7 7 6
1
(9)
π = 19683 (7060 4009 3693 4921 0)T
7
0)T
(3)
iii. Beschreiben Sie in eigenen Worten was π4 = 0,235 ausdrückt.
(2 P.)
Lösung:
Mit 23,5%-iger Wahrscheinlichkeit befindet sich die Spielfiguren nach drei Runden
auf Feld 4.
(c) Wie sieht die Verteilung für eine lange Spielpartie aus, limt→inf ?
i. Beschreiben Sie kurz, was eine stationäre Verteilung einer Markov-Kette ist.
(1 P.)
Lösung:
π ∗ = π ∗ M , Eine stationäre Verteilung verändert sich nicht mehr über die Zeit.
ii. Geben Sie die stationäre Verteilung π ∗ für unser Beispiel an? Erklären Sie, wie Sie
darauf gekommen sind.
Hinweis: Die Übergangsmatrix ist nicht diagonalisierbar!
Lösung:
Mit großer Anzahl Runden wird die Verteilung immer gleichförmiger πi∗ =
(ausprobieren).
1
N
=
1
5
(d) Nun soll die Modellierung wie folgt geändert werden:
• Es gibt zwei Würfel mit W Seiten.
• Die Summe beider Würfel zieht die Spielfigur auf einmal.
• Wird ein Pasch (= beide Würfelaugenanzahl gleich) zum ersten Mal gewürfelt, wird
die Spielfigur noch einmal gezogen.
• Werden zwei Pasche nacheinander gewürfelt, landet die Spielfigur auf Feld 0.
Hinweis: Alle Zustände bekommen eine weitere Dimension, die angibt, ob ein Pasch
vorher gewürfelt wurde oder nicht.
i. Bonusaufgabe: Beschreiben Sie die Zustandsmenge für N beliebige Felder und W
beliebige Würfelseiten als mathematische Formel (Konstruktionsvorschrift): S =
Lösung:
0
S = (a,b)k0 ≤ a ≤ N, a ∈ N, b =
1
if “ohne vorherigem Pasch”
if “vorher ein Pasch”
(3 P.)
(3 P.)
(23)
ii. Bonusaufgabe: Modellieren Sie zunächst die Wahrscheinlichkeiten für
• Ai = “Wert i wird gewürfelt”; P (Ai )?
(3 P.)
Lösung:
Wert i
z.B. durch Abzählen von W = 6 Wert i
Häufigkeit Hi
P (Ai ) =
Hi
36
2
12
1
3
11
2
4
10
3
5
9
4
6
8
5
7
6
(Beliebiges W kann durch Formel ausgedrückt werden.)
• B = “irgendein Pasch wird gewürfelt”; P (B)?
Lösung:
P (B) = 6/36
• B = “i wurde als Pasch gewürfelt”; P (B|Ai )?
Lösung:
Wert i
P (B|Ai )
KMS SoSe 2014
2, 4, 6, 8, 10, 12
1/36
3, 5, 7, 9, 11
0
Hausübung 4 (Musterlösung )
11/12
Hinweis: Ungewertete Zusatzaufgabe.
iii. Bonusaufgabe:
Beschreiben Sie die Zustandsübergangsmatrix für N beliebige Felder und W beliebige Würfelseiten als mathematische Formel (Konstruktionsvorschrift).
Hinweis: Benutzen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus (ii).
Hinweis: Nehmen Sie vereinfacht an, dass 2W < N ist.
Lösung:
Besonderheit hier: (ia ,ib ) = i ∈ S, (ja ,jb ) = j ∈ S


ja − ia
∆ij = ja + M − ia


0


P (A∆ij ) − P (B|A∆ij )




P (B|A∆ij )
mij = P (A∆ij ) − P (B|A∆ij )



P (B)




0
KMS SoSe 2014
if 0 < ja − ia ≤ W
if 0 < ja + N − ia ≤ W
else
(24)
if ∆ij > 0 ∧ bi = 0 ∧ bj = 0
if ∆ij > 0 ∧ bi = 0 ∧ bj = 1
if ∆ij > 0 ∧ bi = 1 ∧ bj = 0
if aj = 0 ∧ bi = 1 ∧ bj = 0
else
(25)
Hausübung 4 (Musterlösung )
12/12
(8 P.)