Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle Strukturgleichungsmodelle

Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Strukturgleichung: Gleichung zur Repräsentation des kausalen Einflusses einer Menge von unabhängigen Variablen
auf eine abhängige Variable y:
f() symbolisiert eine nicht näher spezifizierte
Funktion, welche die kausale Beziehung
zwischen dem Effekt y und den Ursachen
repräsentiert.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Lineare Strukturgleichungen:
haben die Form einer Regressionsgleichung:
mit den Regressionsgewichten:
Diese werden auch strukturelle Koeffizienten oder Strukturkoeffizienten genannt
(Auch Ladungskoeffizienten oder Ladungen,
siehe später).
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Strukturgleichungsmodelle:
Systeme von Strukturgleichungen:
Abhängige Variablen können als unabhängige Variablen in anderen Gleichungen fungieren (»Verkettung«).
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Lineare Strukturgleichungsmodelle:
Systeme linearer Strukturgleichungen:
Notation: Reihenfolge der Indizes:
Index der AV vor Index der UV.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Lineare Strukturgleichungsmodelle:
Bezeichungen:
 SEM = Structural equation models
(modeling)
 LISREL = Linear Structural Relations
(System linearer Strukturgleichungen
oder ein Programm zur Schätzung dieser
Modelle)
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Kausaldiagramme: Graph bestehen aus
Knoten und Kanten:
 Knoten repräsentierten Variablen.
 Kanten repräsentieren Relationen
(kausale und nicht-kausale).
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Kausaldiagramme:
1. Kreise und Rechtecke repräsentieren
Variablen: 1 ,2 , 1 ,2 , 𝑌1 , 𝑌2 .
2. Kreise repräsentieren unbeobachtete,
latente Variablen:1 ,2 , 1 ,2 ,
Rechtecke beobachtete: 𝑌1 , 𝑌2 .
3. Die Pfeile stellen kausalen Einflüsse dar, wobei die genaue Art
und Weise (z.B. linear), sowie die
Stärke (vorerst) nicht genau
bestimmt ist.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Kausaldiagramme:
4. Doppelpfeile repräsentieren kausal
nicht näher spezifizierte Korrelationen
(bzw. Kovarianzen) zwischen den Variablen.
Die Abwesenheit eine Doppelpfeils
signalisiert die Abwesenheit einer
Korrelation bzw. Kovarianz (Die
Korrelation oder Kovarianz zwischen den Variablen ist gleich Null).
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Kausaldiagramme:
5. Unterscheidung zwischen exogenen
und endogenen Variablen:
 Exogene Variablen sind jene, die
im Modell nicht erklärt werden:
Das Modell dient nicht dazu, deren
Verteilung bzw. Kovarianzstruktur
(im linearen Modell) zu erklären.
 Auf exogene Variablen ist daher
kein Pfeil gerichtet und Kovarianzbögen können nur zwischen
exogenen Variablen vorliegen.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Kausaldiagramme:
5. Unterscheidung zwischen exogenen
und endogenen Variablen (Fortsetzung):
 Exogene Variablen im Modell sind:
X,1 ,2 , 1 ,2 .
 Endogene Variablen: Deren Verteilung bzw. Kovarianzstruktur
wird durch das Modell erklärt.
 Zwischen endogenen Variablen
gibt es keine Kovarianzbögen.
 Im Modell: 𝑌1 , 𝑌2 .
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Kausaldiagramme:
6. Endogene Variablen und Fehlerterme:
 Gewöhnlich werden für die endogenen
Variablen zusätzlich zu den eigentlichen
Ursachenvariablen Fehler- bzw. Residuenterme als weitere latente Ursachenvariablen hinzugefügt.
 Diese repräsentieren alle im Modell
vernachlässigten Ursachen.
 Fehlerterme im Modell: 1 ,2 .
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Lineare Kausalmodelle:
 Kausale Beziehungen sind linear
und die Kovarianzbögen repräsentieren Kovarianzen (Korrelationen).
 Modellparameter:
1. Varianzen und Kovarianzen der
exogenen Variablen:
 Welche keine Fehler repräsentieren: 21 , 22 , 12 , 2𝑋 .
 Welche Fehler repräsentieren:
21 , 22 .
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Lineare Kausalmodelle:
 Modellparameter:
2. Strukturelle Parameter
(Regressionskoeffizienten):
 Zwischen beobachteten exogenen
und endogenen Variablen: 𝛾𝑌1𝑋 , 𝛾𝑌2𝑋 .
 Zwischen latenten und beobachteten Variablen (Ladungskoeffizienten: 𝑌11 , 𝑌22 .
 Zwischen endogenen Variablen:
𝛽𝑌2𝑌1 .
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Ermittlung der linearen Strukturgleichungen
aus dem kausalen Diagramm:
1. Für jede endogene Variable wird eine Gleichung erzeugt.
Es gibt daher so viele Gleichungen, wie es endogene
Variablen.
2. Die endogene Variable erscheint auf der linken Seite und
alle Variablen, von denen ein Pfeil auf die endogene Variable hinführt, erscheinen auf der rechten Seite der Gleichung. Die strukturellen Koeffizenten bilden die Regressionsgewichte.
3. Die Regressionsgewichte für die Fehlerterme sind 1.0.
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Bsp. 3-1:
Ermittlung der linearen
Strukturgleichungen:
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Vorhersage der Kovarianzstruktur:
 Das kausale Modell dient zur Vorhersage der Kovarianzstruktur, d.h. der Varianzen und Kovarianzen der beobachteten endogenen Variablen (auch die Mittelwertstruktur kann vorhergesagt werden, was wir jedoch
vorläufig ignorieren).
 Zur Vorhersage werden die linearen kausalen Beziehungen zwischen den Variablen verwendet, sowie die
Kovarianzen und Varianzen der exogenen Variablen
(deren Kovarianzstruktur im Modell nicht erklärt wird).
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Vorhersage der Kovarianzstruktur:
 Gegeben: beobachtete Kovarianzmatrix:
 Es gilt:
 Die Matrix hat 𝑚 × 𝑚 = 𝑚2 Einträge.
 Es gibt aber nur
𝑚∙ 𝑚+1
2
eindeutige Einträge, da die
Matrix symmetrisch ist: m Varianzen und
eindeutige Kovarianzen.
𝑚∙ 𝑚−1
2
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Vorhersage der Kovarianzstruktur:
Kovarianzgleichungen:
 Die Kovarianzgleichungen beschreiben die
Varianzen und Kovarianzen mit Hilfe der
Parameter des Modells.
 Auf der linken Seite befinden sich die vorherzusagenden Varianzen und Kovarianzen.
 Auf der rechten Seite Ausdrücke, welche Parameter enthalten: Varianzen und Kovarianzen
der exogenen Variablen und strukturelle
Koeffizienten.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Vorhersage der Kovarianzstruktur:
Erzeugung der Kovarianzgleichungen:
beinhaltet 2 Schritte:
1. Reduktion der linearen Strukturgleichungen:
Sukzessives Ersetzen endogener Variable auf
der rechten Seite durch deren Gleichungen,
solange bis keine endogenen Variablen auf der
rechten Seite mehr vorhanden ist.
2. Anwendung der Kovarianzrechnung zur
Ermittlung der beobachteten Varianzen und
Kovarianzen der endogenen Variablen.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Vorhersage der Kovarianzstruktur:
Erzeugung der Kovarianzgleichungen:
1. Reduktion der linearen Strukturgleichungen:
Gegeben:
Reduktion von Gleichung 2:
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Vorhersage der Kovarianzstruktur:
Erzeugung der Kovarianzgleichungen:
2. Anwendung der Kovarianzrechnung.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Vorhersage der Kovarianzstruktur:
Erzeugung der Kovarianzgleichungen:
3. Kovarianzgleichungen in Parameter-Notation:
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Gegeben: Grundgleichung der KTT:
Es handelt sich um eine lineare Strukturgleichung, wobei 𝜏𝑝𝑖
und 𝜀𝑝𝑖 als kausale Einflussgrössen interpretiert werden:
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
14
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Allgemeines Klassisches Testmodell für 4 Tests:
 Erfüllt die Axiome der KTT:
Fehlende Kovarianzbögen indizieren fehlenden Varianzen.
 Anstelle von  zur Bezeichnung der Truescores wird 
zur Bezeichung der latenten
Konstrukte verwendet.
13
12
1
21
23
2

 2 4
3
2
2
34
4
2 3
1
1
1
1
Y1
Y2
Y3
Y4
1
1

2
1
1
2

2
2
1
3
23
1
4
2 4
24
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Das kongenerische Testmodell
für 4 Tests:
 Zentrales Merkmal: Alle
4 Test messen das gleiche
latente Konstrukt.
Y1
 Jedoch nicht in gleicher
Weise: Unterschiedliche
Ladungen und Fehlervarianzen).
2
1

3
4
Y2
Y3
Y4
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle

KTT und lineare Strukturgleichungen:
Das -äquivalente Testmodell
für 4 Tests:
 Zentrales Merkmal: Alle 4
Test messen das gleiche
latente Konstrukt.
 Latentes Konstrukt
beeinflusst Messung in
gleicher Weise.
 Fehlervarianzen
verschieden.
1
1
1
1
Y1
Y2
Y3
Y4
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:

Das parallele Testmodell
für 4 Tests:
 Zentrales Merkmal: Alle 4
Test messen das gleiche
latente Konstrukt.
 Die Maße sind vollständig austauschbar:
Gleiche Ladungen und
gleiche Fehlervarianzen.
1
1
1
1
Y1
Y2
Y3
Y4
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Bsp.3-3: Prüfung von Testmodellen
(Jöreskog, 1971)
Gegeben: 4 Arten von Vokabeltests:
 X1, X2: zwei Tests, bestehend aus je 15
Items, die ohne Zeitdruck präsentiert
wurden (Power-Tests).
 Y1, Y2: Tests, bestehend aus je 75
Items, die unter Zeitdruck präsentiert
wurden (Speed-Tests).
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Bsp.3-3: Prüfung von Testmodellen
(Jöreskog, 1971)
Gegeben: Kovarianzmatrix (N= 649):
X1
X2
Y1
X1
86.3979
X2
57.7751
86.2632
Y1
56.8651
59.3177
97.2850
Y2
58.8986
59.6683
73.8201
Y2
97.8192
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Bsp.3-3: Prüfung von Testmodellen
(Jöreskog, 1971) Hypothesen:
H1: X1 und X2, sowie Y1 und Y2 sind jeweils parallel. Die
beiden Paare sind jedoch nicht kongenerisch.
H2: X1 und X2, sowie Y1 und Y2 sind jeweils parallel und alle
4 Tests sind kongenerisch.
H3: X1 und X2, sowie Y1 und Y2 sind jeweils kongenerisch,
aber die beide Paare (zusammengenommen) sind
nicht kongenerisch.
H4: Die 4 Tests sind kongenerisch, jedoch nicht notwendigerweise parallel.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Bsp.3-3: Prüfung von Testmodellen
(Jöreskog, 1971) Erklärung:
Die 4 Hypothesen beziehen sich auf 2 Aspekte der Tests:
1. Der erste Aspekt betrifft die Frage, ob die 4 Tests (mit
und ohne Zeitbeschränkung) das gleiche Konstrukt
messen.
Falls dies der Fall ist, so sind die 4 Tests kongenerisch.
Hypothese H2 und H4 behaupten dies.
Die Hypothesen H1 und H3 hingegen bestreiten dies und
nehmen an, dass Tests mit und ohne Zeitbeschränkung
unterschiedliche Konstrukte erfassen.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Bsp.3-3: Prüfung von Testmodellen
(Jöreskog, 1971) Erklärung:
2. Der 2. Aspekt betrifft die Frage, ob es sich bei den
beiden Subtests X1, X2 bzw. Y1, Y2 jeweils um
Parallelformen handelt.
Die Hypothesen H1 und H2 nehmen an, dass es sich um
Parallelformen handelt, H3 und H4 nehmen dies nicht an.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
KTT und lineare Strukturgleichungen:
Bsp.3-3: Prüfung von Testmodellen
(Jöreskog, 1971)
Subtests parallel
Gleiches Konstrukt
(kongenerisch)
Ja
Nein
Ja
H2
H4
Nein
H1
H3
Vorgehensweise: Zuerst einzelne Modelle
betrachtet, anschliessend Modellvergleiche.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Bsp.3-3: Jöreskog, 1971
Modell H2: partiell parallel

Subtests parallel
1
Gleiches Konstrukt
(kongenerisch)
Ja
Nein
Ja
H2
H4
Nein
H1
H3
1


X1
X2
Y1
Y2
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Bsp.3-3: Jöreskog, 1971
Modell H2*: parallel

Subtests parallel
1
Gleiches Konstrukt
(kongenerisch)
Ja
Nein
Ja
H2
H4
H1
H3
Nein
1
1
1
X1
X2
Y1
Y2
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Bsp.3-3: Jöreskog, 1971
Modell H4: kongenerisch

Subtests parallel
1
Gleiches Konstrukt
(kongenerisch)
Ja
Nein
Ja
H2
H4
Nein
H1
H3
X1
X2
Y1
Y2
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Bsp.3-3: Jöreskog, 1971
Modell H1:
partiell parallel
1
Subtests parallel
Gleiches Konstrukt
(kongenerisch)
Ja
Nein
Ja
H2
H4
Nein
H1
H3
X
Y
1
1
1
X1
X2
Y1
Y2
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Bsp.3-3: Jöreskog, 1971
Modell H3:
X
Y
Subtests parallel
Gleiches Konstrukt
(kongenerisch)
Ja
Nein
Ja
H2
H4
Nein
H1
H3
1
X
1
Y
X1
X2
Y1
Y2
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Bsp.3-3: Jöreskog, 1971
1
Modellierungsstrategie:
X
Y
1
Varianzen der latenten
Konstrukte auf 1 gesetzt
dafür Ladungen frei:
Setzt man daher
,
so sind Konstrukte perfekt
korreliert (= gleiches
Konstrukt).
X1
X2
Y1
Y2
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Bsp.3-3: Jöreskog, 1971
Modellierungsstrategie:
1
X
Y
1
Gleiches Konstrukt:
X1
X2
Y1
Y2
Parallel: Ladungen und
Fehlervarianzen gleich:
1
1
1
1
1
2
3
4
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Unterschied zwischen KTT- und LISREL-Ansatz:
Unterschied betrifft zwei Aspekte:
1. Kausalannahmen
2. Verteilungsannahmen
Die KTT macht weder Kausalannahmen noch
Verteilungsannahmen. Der lineare Strukturgleichungsansatz macht beides.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Unterschied zwischen KTT- und LISREL-Ansatz:
Ein Messmodell / Testmodell ist ein kausales Modell,
welches die Mess- bzw. Testsituation repräsentiert.
Es umfasst folgende Komponenten:
i. Die Menge der verwendeten Maße (Indikatoren, Tests).
ii. Die Menge aller relevanten Einflussgrössen, welche
einen direkten Einfluss auf die Messung (den Test)
aufweisen, sowie deren Beziehung untereinander.
iii. Eine detaillierte Spezifikation der (kausalen) Beziehungen zwischen den Maßen und den Einflussgrössen.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Unterschied zwischen KTT- und LISREL-Ansatz:
In der KTT (wenn kausal interpretiert) gibt es
zwei relevante Einflussgrössen, welche das
Testergebnis beeinflussen:
1. Der Truescore (die wahre Fähigkeit).
2. Andere Einflussgrössen, welche durch den
Fehler repräsentiert werden.
Bei kausaler Betrachtung ist der Truescore wenig
sinnvoll und durch das zu messendes latentes
Konstrukt zu ersetzen.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Unterschied zwischen KTT- und LISREL-Ansatz:
LISREL-Ansatz der KTT nimmt 2 Einflussgrössen
an:
1. Das (zu messende) latente Konstrukt.
2. Andere Einflussgrössen, welche durch den
Fehler repräsentiert werden.
Der Ansatz erlaubt die Messung weiterer Einflussfaktoren, zum Beispiel:
 Methodeneinflüsse (Multitrait-Multimethod)
 Situationseinflüsse (State-Trait-Modelle)
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Unterschied zwischen KTT- und LISREL-Ansatz:
Verteilungsannahmen:
 KTT macht keine Annahmen zu Verteilungen von
Truescores und Fehler, sondern nur Annahmen zu
Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen.
Problem: Keine statistischen Tests der Modelle
möglich.
 Mit LISREL-Ansatz sind gewöhnlich – aber nicht notwendig – Verteilungsannahmen verbunden:
Häufigste Annahme: Konstruktwerte und Fehler sind
multivariat normal verteilt.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und probabilistische Testtheorie (PTT):
Problemstellung:
 Kategorisierung von Items, ob korrekt (=1) /
falsch (=0) (oder vorhanden / nicht
vorhanden), etc.
 Modelliert wird dann die Wahrscheinlichkeit
einer korrekten Antwort (bzw. die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Antwortmusters und nicht Kovarianzen.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Modellierungsansatz:
 Die Itemschwierigkeit β und die kognitive
Leistungsfähigkeit  beeinflussen die Tendenz
zu einer korrekten Antwort Y* wie folgt:
Die Tendenz für eine korrekte Antwort nimmt
mit der Leistungsfähigkeit  zu und mit der
Itemschwierigkeit ab.
 β ist eine Konstante,  eine Zufallsvariable,
gewöhnlich: 𝜃~𝑁 μθ , σ2θ .
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Modellierungsansatz:
 Aufgrund der Tendenz zu einer korrekten
Antwort Y* ergibt sich mit Hilfe einer sogenannten Itemresponse-Funktion die Wahrscheinlich einer korrekten Antwort:
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Modellierungsansatz:
 Einsetzen für Antwort Y* ergibt:
Hierbei gilt:
 𝑃 𝑌 = 1 θ ist die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Antwort für eine Personen mit Fähigkeit .
 𝑃 𝑌 = 1 θ = 0.5 für θ = β.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Itemresponse-Funktionen:
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Kausal-Diagramm:
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Modellierung eines Anwortmusters:
 Gegeben sei das Antwortmuster: 𝐘 = 1,0,1,0
 Gesucht: 𝑃 𝐘 = 1,0,1,0 𝜃 =
𝑃 𝑌1 = 1, 𝑌2 = 0, 𝑌3 = 1, 𝑌4 = 0 𝜃
 Annahme der lokalen stochastischen Unabhängigkeit: Anwortwahrscheinlichkeiten der
einzelnen Items sind bei gegebenen  unabhängig voneinander. Daher ist Wahrscheinlichkeit des Musters gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Modellierung eines Antwortmusters:
𝑃 𝐘 = 1,0,1,0 θ = 𝑃 𝑌1 = 1 θ ∙ 𝑃 𝑌2 = 0 θ ∙ 𝑃 𝑌3 = 1 θ ∙
𝑃 𝑌4 = 0 θ
Einsetzen der Ausdrücke für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
exp α1 ∙ θ − β1
𝑃 𝐘 = 1,0,1,0 θ =
1 + exp α1 ∙ θ − β1
1
×
1 + exp α2 ∙ θ − β2
exp α3 ∙ θ − β3
1 + exp α3 ∙ θ − β3
1
×
1 + exp α4 ∙ θ − β4
×
Kapitel 3: Strukturgleichungsmodelle
Non-lineare Strukturgleichungsmodelle und PTT:
Modellierung eines Antwortmusters:
Problem:
𝑃 𝐘 = 1,0,1,0 θ hängt von  ab. Man möchte aber
die unbedingte Wahrscheinlichkeit 𝑃 𝐘 = 1,0,1,0
des Antwortmusters.
Lösung:
Bilde den Erwartungswert bezüglich der Verteilung
von : 𝑃 𝐘 = 1,0,1,0 = Eθ 𝑃 𝐘 = 1,0,1,0 θ
=
𝑃 𝐘 = 1,0,1,0 θ ∙ 𝑓 θ dθ