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J. Hesselbach, Energie- und klimaeffiziente Produktion, DOI 10.1007/978-3-8348-9956-9_2,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012
Man muss wissen, was man tut, war eine der Grundvoraussetzungen. Die Grundkenntnisse
über die unterschiedlichen Produktionsprozesse setzen wir voraus, schließlich ist das Buch für
Produktionstechniker und diejenigen, die es werden wollen, konzipiert. Aber wir benötigen
auch einige Begrifflichkeiten und formelmäßige Zusammenhänge aus der Thermodynamik, der
Wärmeübertragung, der Strömungslehre und der Elektrotechnik. Ohne dieses Handwerkszeug
ist es nicht möglich, Energieströme zu messen, zu berechnen oder über Modelle abzubilden.
Genau dies war ja aber eine weitere Grundvoraussetzung für erfolgreiches Energiemanagement:
die solide Datenbasis.
Aber keine Angst, wir werden in diesem Buch nicht die Grundlagen der Thermodynamik in
voller Breite abhandeln, hierzu sei auf die einschlägige Literatur verwiesen [Baehr, Stephan
2008; Iben, Schmidt 1999; Schmidt, Stephan, Mayinger 1975]. Es geht einerseits darum, die
wichtigsten Berechnungsgrundlagen wieder parat zu haben und andererseits zu wissen, wie
Energieströme formelmäßig bilanziert und bestimmt werden können.
2.1 Begriffe
Gemäß der Physik ist Energie die Menge an Arbeit, die ein physikalisches System verrichten
kann. Sie kann weder verbraucht noch erzeugt werden. Wenn wir also in einem Produktionsbetrieb einen mittleren Leistungsbedarf von 1 MW Strom haben und keine Kühlanlagen oder
die gefertigten Produkte die Wärme nach außen abführen, dann entspricht dies letztlich einer
elektrischen 1 MW-Heizung. Im Winter spart dies Heizwärme, ist also nicht gänzlich verloren,
führt aber im Sommer ohne Klimatisierung schnell zu Temperaturen am Arbeitsplatz von über
40 °C.
Energie lässt sich jedoch von einer Form in eine andere wandeln. Je nach Energie und Wandlungsprozess verläuft die Umwandlung verlustbehaftet. Dabei verlieren wir aber keine Energie
im streng physikalischen Sinne, sondern verkleinern den nutzbaren Anteil im Hinblick auf die
Verwendung. Insbesondere bei der Umwandlung von Wärme in andere Energieformen geht
davon aufgrund der thermodynamischen Zusammenhänge viel verloren. Hier eine Auswahl
möglicher Energieformen:
•
•
•
•
•
•
•
potenzielle Energie (Lageenergie oder Spannenergie bei Federn)
kinetische Energie (translatorisch, rotatorisch, Schwingungen)
chemische Energie
Kernenergie
Druck-Volumen-Energie
elektrische Energie
thermische Energie (Wärme)
Außer der Kernenergie sind alle Energieformen in der Produktionstechnik relevant. Potenzielle
Energie ist z. B. für Aufzüge oder Lagertransportsysteme von Bedeutung. Kinetische Energie
betrifft alle Antriebe, chemische Energie wiederum ist Basis aller Brennstoffe. Elektrischer
18
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.1 Begriffe
Strom ist die Ausgangsbasis für Druckluft (Druck-Volumen-Energie), die wiederum in Antrieben in kinetische Energie und dann letztlich in Wärme gewandelt wird. Betrachten wir an diesem Beispiel die gesamte Wandlungskette, so erzeugen wir den Strom aus thermischer Energie
(Dampf), die wiederum aus Primärenergieträgern wie Kohle (chemische Energie) gewonnen
wird. Dieser Dampf treibt eine Turbine an, deren kinetische Energie am Generator weiterverwendet wird. Da jeder dieser fünf Wandlungsschritte mit Blick auf den eigentlichen Nutzen,
die kinetische (also Bewegungs-)Energie des Antriebes, verlustbehaftet ist, verwundert ein
Gesamtwirkungsgrad von ca. 5 % bezüglich des Einsatzes von Druckluft für Antriebe nicht.
Schon jetzt lässt sich eine Regel für höhere Energieeffizienz ableiten: Wandlung vermeiden.
Überall wird über Energie gesprochen, manchmal werden Arbeit (kWh) und Leistung (kW)
verwechselt, oftmals fehlt aber vor allem die Vorstellung über Mengen: Wie viel Energie sind
denn eigentlich 1 kWh oder 1 MJ? Hier sind einige Beispiele aus dem täglichen Leben:
1 kWh entspricht:
• 1 t Masse 367 m hochheben
• eine 30 l Pressluftflasche auf 200 bar füllen
• 1 t Masse von 0 auf 85 m/s beschleunigen
• ca. 0,1 l Benzin
• ca. 0,25 kg Brennholz
• 0,12 m3 Erdgas
• 7,3 t Wasser im Stausee bei 50 m Höhenunterschied
• eine vollständig geladene Batterie für ein Dieselfahrzeug (85 Ah)
Ein durchschnittlicher Haushalt benötigt im Jahr zwischen 2.500 und 3.000 kWh Strom. Ein
Kernkraftwerk produziert etwa 8.000–12.000 GWh Strom pro Jahr, ein großes Stahlwerk benötigt etwa 1,3 TWh, ein mittelständischer Kunststoffverarbeiter mit ca. 150 Mitarbeitern bezieht
wiederum etwa 10 GWh jährlich.
Eine weitere wichtige Ausgangsbedingung besteht darin, dass alle vom Gleichen sprechen, also
dieselben Begrifflichkeiten verwenden. Der Unterschied zwischen Effizienz und Effektivität
wurde bereits im vorherigen Kapitel erläutert. Entscheidend für die Quantifizierung von Energieeffizienz ist die Bezugsgröße. Beziehen wir den Effizienzbegriff beim Druckluftantrieb auf
den eingesetzten Strom (Endenergie) oder auf die eingesetzte Kohle im Kraftwerk (Primärenergie)? Der Unterschied ist groß, da ein (modernes) Kraftwerk bereits etwa 55 % der eingesetzten
Primärenergie als Abwärme bei der Stromerzeugung an die Umgebung verliert. Folgende
„Veredlungsstufen“ für Energie sind gebräuchlich:
Primärenergie
Primärenergieträger kommen direkt in der Natur vor. Dies sind sowohl alle erneuerbaren Energiequellen (z. B. Wind, Sonne, Geoenergie) als auch alle fossilen Energieträger wie Kohle, Erdöl,
Erdgas oder auch Uran. Der größte Teil wird vor der Nutzung in Sekundär- und Endenergie
gewandelt, ein Teil jedoch auch direkt als Nutzenergie eingesetzt (z. B. Kohle).
19
Sekundärenergie
In der Regel werden fossile Primärenergieträger in Kraftwerken oder Raffinerien in Sekundärenergie umgewandelt. Aus Erdöl wird Benzin, Diesel und Heizöl, aus Erdgas oder Kohle werden
Strom und ggf. Fernwärme erzeugt. Hierbei entstehen bereits die ersten Verluste in Form von
ungenutzter Abwärme oder auch stofflichen Verlusten.
Endenergie
Endenergie ist die beim Verbraucher ankommende Energie. Dies können Strom (nach Leitungsverlusten in Abgrenzung zum Strom am Kraftwerk als Sekundärenergie) oder Erdgas und
Heizöl sein. Die genutzte Endenergie ist letztlich das, was wir auf den Abrechnungen finden.
Nutzenergie
Nutzenergie stellt die letzte Stufe der Energie dar. Dies können Licht, Wärme, Kälte oder auch
mechanische Energie sein. Die Stufe von der eingesetzten Endenergie bis zum eigentlichen Nutzen wird oftmals nicht genügend berücksichtigt. Der Verbraucher benötigt Wärme und kein
Erdgas, und die Produktion benötigt Kühlenergie, aber nicht gezwungenermaßen aus Strom.
Nochmals: Der Prozess sollte die geeignetste Energieform bestimmen und nicht die bestehende
Versorgungsstruktur.
100 % Primärenergie
Steinkohle, Erdöl, Braunkohle, Uran
52 %
Sekundärenergie
(Koks, Briketts, Benzin,
Strom, Fernwärme)
6 % Eigenbedarf
7 % sonst. Verbrauch
66 % Endenergie
Abb. 2-1: Verluste von der Primärenergie bis zur Nutzenergie
(Deutschland) [Brinkmann 2008]
29 % Nutzenergie
37 % Verluste beim Verbraucher
14 % Primärenergie
21 % Umwandlungsund Transportverluste
Der Weg von der Primärenergie zur Nutzenergie ist meist von hohen Verlusten gezeichnet
(siehe Abb. 2-1). Sie belaufen sich manchmal auf bis zu 95 % oder umgekehrt, der Primärenergiewirkungsgrad beträgt 5 % (z. B. Druckluft). Ein
deutliches Beispiel ist die Wärmeerzeugung aus Strom auf Basis der heutigen Stromerzeugung. Aus Primärenergie wird Wärme, daraus mit etwa
55 % Verlusten (Wärme!) Strom, aus dem dann wieder Wärme erzeugt wird. Zugegebenermaßen ist Strom im Hinblick auf Transport, Regelbarkeit und oftmals auch Investitionskosten ein
Die Effizienzsteigerung ist
primärenergetisch umso
wirkungsvoller, je weiter es in
Richtung Nutzenergie geht.
20
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.1 Begriffe
sehr bequemer Energieträger, aber eben manchmal auch ineffizient und zunehmend teurer.
Diese Betrachtung gilt bei vollständiger Versorgung aus erneuerbaren Energiequellen selbstverständlich so nicht mehr, aber bis dahin vergeht sicher noch einiges an Zeit.
Aus obiger Betrachtung ergibt sich eine weitere wichtige Aussage: Die Steigerung der Effizienz
ist primärenergetisch (und damit auch für den Klimaschutz) umso wirkungsvoller, je weiter wir
uns in Richtung Nutzenergie auf der Veredlungskette bewegen. Die Einsparung von 1 kWh
Druckluft führt nach obigem Beispiel zur Einsparung von 20 kWh Primärenergie (Kohle)!
Exergie ist der Teil der Gesamtenergie eines Systems, der maximal zur Verrichtung von Arbeit
genutzt werden kann, wenn das System mit der Umgebung in Gleichgewicht gebracht wird. Es
sind also immer zwei Bezugspotenziale notwendig, um die Exergie zu bestimmen. Dies gilt im
gleichen Maße für die Anergie. Sie ist jedoch der Anteil an Energie, der nicht mehr zur Verrichtung von Arbeit zur Verfügung steht. Ein gutes Beispiel zur Veranschaulichung ist ein klassisches Kohlekraftwerk. Bei Wärmekraftmaschinen muss gemäß dem zweiten Hauptsatz der
Thermodynamik stets ein Teil der zugeführten Wärme bei niedrigerer Temperatur abgeführt
werden (meist Umgebungs- bzw. Kühlwassertemperatur).
Der maximal in Arbeit umwandelbare Teil der Wärme ist nicht vom Arbeitsstoff abhängig und
berechnet sich zu [Labuhn, Romberg 2009, S. 153ff.]:
2.1
Bei einer Dampftemperatur von 600 °C und einer Kühlwassertemperatur von 10 °C ergibt sich
ein thermischer Wirkungsgrad von maximal 68 %. Aufgrund von einer Reihe weiterer Verluste
im Gesamtprozess reduziert sich der Gesamtwirkungsgrad von Kohlekraftwerken jedoch auf
etwa 45 %, alte Kraftwerke kommen kaum auf 35 %. Aus dieser einfachen Beziehung lassen sich
mehrere Aussagen ableiten. Erstens: Mehr als 50 % sind technologisch kaum möglich (50 %
Exergie und 50 % Anergie). Zweitens: Steigerungen erreicht man über die Erhöhung der
Verbrennungstemperaturen. Diese sind aber durch die Werkstoffe begrenzt. Und drittens: Bei
hohen Außen- bzw. Kühlwassertemperaturen ist der thermische Wirkungsgrad schlechter.
Auch die Begriffe Energieeffizienz, Energieeinsparung und Energieproduktivität werden oft
vermischt. Energieeffizienz beschreibt das Verhältnis von Nutzenergie zu eingesetzter Energie.
Da zwischen dem Bezug der Effizienz auf Primär-, Sekundär- oder Endenergie unterschieden
werden muss, gibt es verschiedene „Stufen“ zur Bewertung. Energieeinsparung setzt sich aus
Nichtnutzung von Energie und Energieeffizienzsteigerung zusammen, ist also mehr. Dies wird
anschaulich, wenn man beispielsweise Glühbirnen tauscht und gleichzeitig die Einschaltdauer
verringert. Energieproduktivität ist der Quotient aus Energieverbrauch und einer wirtschaftlichen Leistung, oft das Bruttoinlandsprodukt. Bei Unternehmen lässt sich dieser Quotient analog über die wirtschaftliche Leistung bilden, bei Supermärkten wäre es z. B. der Umsatz. Solche
Kennzahlen sind zum einen sicher aussagekräftiger als reine Verbrauchszahlen, zum anderen
muss man die richtigen Verhältniszahlen auswählen, um ein zielgerichtetes Energiemanagement zu ermöglichen. Hierzu kommen wir noch in Kapitel 3.
21
2.2 Thermodynamik
Die Thermodynamik ist ein Teilgebiet der Physik und beschreibt Prozesse zur Energiewandlung
und Energieübertragung. Soviel zur inhaltlichen Beschreibung, für die Studenten der Ingenieurwissenschaften (Maschinenbau, Verfahrenstechnik und Wirtschaftsingenieure) ist es eines
der Fächer, mit denen die Studierenden erfahrungsgemäß am meisten Schwierigkeiten haben,
ein sogenanntes „Dickes Brett“ also. Im klassischen Maschinenbau gibt es an den meisten deutschen Hochschulen eine klare Trennung von „kaltem“ und „warmem“ Maschinenbau. Der kalte
Maschinenbau umfasst die Konstruktionstechnik, die Mechanik, WerkThermodynamik ist für
die Studierenden eines der stoffkunde und eben die Produktionstechnik. Der warme Maschinenbau,
Fächer, mit dem sie am meisdas sind die Energie- und Verfahrenstechniker sowie die Thermodynaten Schwierigkeiten haben.
miker. Eine Zusammenarbeit dieser beiden Gruppierungen ist eher die
Ausnahme; die Denkweisen und Themenstellungen sind bzw. waren zu unterschiedlich: Die
„kalten“ Maschinenbauer waren froh, die unverständliche Thermodynamik hinter sich gelassen
zu haben. Wer sich mit Energieeffizienz in Produktionsverfahren auseinandersetzen will, muss
leider einen Schritt zurück. Die Basis bilden die Standardwerke [Baehr, Stephan 2008; Iben,
Schmidt 1999; Schmidt, Stephan, Mayinger 1975], wobei wir uns auf das Notwendige beschränken und versuchen, die Theorie durch anwendungsnahe Beispiele verständlicher zu machen.
Einen guten (Wieder-)Einstieg in lockerem Schreibstil bietet auch [Labuhn, Romberg 2009].
Thermodynamische Systeme
Für thermodynamische Betrachtungen muss zunächst ein Bilanzraum definiert werden.
Dieser ist
1.
2.
3.
4.
abgeschlossen, wenn es keine Wechselwirkung mit der Umgebung gibt;
geschlossen, wenn nur Arbeit und/oder Wärme, aber keine Masse übertragen werden;
offen, wenn ein Stoff- und Energieaustausch mit der Umgebung möglich ist;
adiabat, wenn keine thermische Energie über die Bilanzgrenze ausgetauscht wird.
Als Beispiel werden in den Lehrbüchern gerne Kolben und Zylinder verwendet. In Produktionssystemen können dies jedoch vollständige Maschinen, Produktionsbereiche oder auch die
gesamte Fabrik sein. Hier ist es wichtig, die richtigen Bilanzgrenzen zu definieren. Am besten
benutzt man zur Darstellung einfach Rechtecke oder Kreise und zeichnet die relevanten Energieströme ein.
Zur physikalischen Beschreibung des Zustandes von thermodynamischen Systemen werden
bevorzugt Zustandsgrößen verwendet. Diese sind unabhängig vom Weg, auf dem das System
einen Zustand erreicht hat. Das reduziert den Aufwand oftmals auf eine quasistationäre, also
zeitunabhängige Bilanzierung eines Endzustandes (2) im Vergleich zu einem Anfangszustand
(1), um einen Prozess zu beschreiben. Äußere Zustandsgrößen wie z. B. Lagekoordinaten oder
die Geschwindigkeit beschreiben den mechanischen Zustand eines Systems. Innere Zustandsgrößen wiederum beschreiben den makroskopischen Zustand der Materie. Diese lassen sich
einteilen in thermische Zustandsgrößen (z. B. Druck, Temperatur, Volumen) und energetische
Zustandsgrößen (z. B. Innere Energie, Enthalpie, Entropie). Intensive Zustandsgrößen wie
Druck (p) und Temperatur (T) sind dabei von der Systemmasse unabhängig. Extensive
22
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
Zustandsgrößen wie Volumen (V), Innere Energie (U), Enthalpie (H) und Entropie (S) hängen
dagegen von der Masse ab, können jedoch durch „Teilen durch die Masse“ ebenfalls in intensive
Zustandsgrößen (v, u, h, s) umgewandelt werden.
Für viele Betrachtungen ist die Definition eines Normzustandes hilfreich. Er ist festgelegt auf
eine Temperatur von 273,15 K und einen Druck von 1,01325 . 105 Pa. Dieser wird insbesondere
bei der Bilanzierung von Luftzuständen (Druckluft, Lüftungsanlagen) benötigt.
Zustandsänderungen können entweder reversibel oder irreversibel ab- Für viele Betrachtungen ist
Definition eines Normlaufen. Kann man ein System wieder in seinen Ausgangszustand zurück- die
zustandes hilfreich.
führen, ohne dass eine Änderung der Umgebung verursacht wird, ist ein
Prozess reversibel. Reversible Prozesse existieren faktisch nie, sind aber als physikalische
Grenzfälle zur Beschreibung von Zustandsänderungen geeignet.
Zur formelmäßigen Beschreibung von Systemzuständen werden Zustandsgleichungen verwendet. Es wird zwischen thermischen und energetischen oder kalorischen Zustandsgleichungen
unterschieden. Thermische Zustandsgleichungen beschreiben den Zusammenhang von Druck,
Temperatur und Volumen bzw. spezifischem Volumen.
‫ ݌‬ൌ ‫݌‬ሺܶǡ ‫ݒ‬ሻ 2.2
Die einfachste Form stellt die ideale Gasgleichung dar. Die energetische Zustandsgleichung
für die innere Energie beschreibt den Zusammenhang von innerer Energie, Temperatur und
Volumen.
‫ ݑ‬ൌ ‫ݑ‬ሺܶǡ ‫ݒ‬ሻ 2.3
Weitere Zustandsgleichungen lassen sich aus der von der inneren Energie und/oder der Entropie abgeleiteten Zustandsgrößen ableiten. Die wichtigste ist die Enthalpie:
‫ ܪ‬ൌ ܷ ൅ ‫ܸ݌‬
bzw. mit spezifischen Größen
݄ ൌ ‫ ݑ‬൅ ‫ ݒ݌‬
2.4
Die Zustandsgleichungen müssen für die jeweiligen Stoffe experimentell bestimmt werden.
Thermische Zustandsgleichung(en)
Die thermische Zustandsgleichung beschreibt den formelmäßigen Zusammenhang zwischen
dem Volumen, dem Druck und der Temperatur. Für viele Anwendungsfälle in der Praxis kann
für Gase das ideale Gasgesetz verwendet werden:
23
‫ ܸ݌‬ൌ ܴ݉ܶ
bzw. mit spezifischem Volumen
‫ ݒ݌‬ൌ ܴܶ
2.5
R ist dabei die individuelle Gaskonstante in J/kg K, die für jedes Gas unterschiedlich ist. Durch
Umrechnung mit dem molaren Volumen = V/n erhält man die Darstellung mit der universellen Gaskonstante = 8.314 J/kmol K.
ഥ ܶ
‫ݒ݌‬
ഥ ൌ ܴ
mit
ܴത ൌ ܴ‫ܯ‬
2.6
Bei idealen Gasen wird in der Modellvorstellung unterstellt, dass sich die Moleküle vergleichbar
mit Bällen ohne jeglichen Einfluss der Schwerkraft und unabhängig voneinander bewegen. Dieser Ansatz gilt, solange sich nicht zu viele Moleküle in einem definierten Volumen befinden,
d. h. der Druck nicht zu hoch ist. Bis zu Drücken von etwa 5 bar kann das Gesetz des idealen
Gases problemlos angewendet werden, bis 10 bar ist es immer noch akzeptabel, so dass es
beispielsweise für Berechnungen bei der Drucklufterzeugung völlig ausreicht. Vorsicht ist allerdings geboten, wenn sich das Gas bzw. Gasgemisch in der „Nähe“ von Kondensationszuständen
befindet. Hier sind die Wechselwirkungen zwischen den Molekülen schon so groß, dass die
Annahme als ideales Gas keine Gültigkeit mehr besitzt [Labuhn, Romberg 2009, S. 25].
Die Zustandsgleichungen für reale Gase basieren oft auf Erweiterungen der idealen Gasgleichung um weitere Parameter. Die beiden wichtigsten sind die van der Waals-Gleichung und
die Redlich-Kwong-Soave-Gleichung [Labuhn, Romberg 2009, S. 44]. Letztlich werden die
höhere Genauigkeit und der größere Gültigkeitsbereich durch einen erhöhten experimentellen
Aufwand zur Bestimmung von mehr Parametern erkauft.
Bei Festkörpern und Flüssigkeiten hängt das spezifische Volumen, insbesondere bei niedrigen
Drücken, nur wenig von Temperatur und Druck ab. Bei idealen Flüssigkeiten existiert kein
Zusammenhang zwischen spezifischem Volumen, Druck und Temperatur, so dass hier gilt:
‫ ݒ‬ൌ ݇‫ݐݏ݊݋‬Ǥ
2.7
Bei inkompressiblen Flüssigkeiten ist das spezifische Volumen nur eine Funktion der Temperatur. Diese Abhängigkeit wird über den (isobaren) Volumenausdehnungskoeffizienten β
beschrieben.
‫ ݒ‬ൌ ‫ݒ‬ሺܶሻ
bzw.
݀‫ ݒ‬ൌ ‫ ܶ݀ߚݒ‬
2.8
Komplizierter wird es, wenn Stoffe oder Stoffgemische gleichzeitig in unterschiedlichen Aggregatzuständen, also Phasen, vorliegen. Die gleichzeitig auftretende feste und flüssige Phase kennt
man von schwimmendem Eis. Das gleichzeitige Auftreten von Flüssigkeit und Gas beschreibt
24
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
man als Nassdampfgebiet. Im Tripelpunkt liegt ein Stoff gleichzeitig in allen drei Aggregatzuständen vor. Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge zwischen den drei Größen der thermischen Zustandsgleichung (v, T und p) verwendet man zweidimensionale (p, v-Diagramm,
T, v-Diagramm oder p, T-Diagramm) oder auch dreidimensionale Zustandsdiagramme (v, p, TDiagramm), siehe Abbildung 2-2.
221
Eis
Wasser
Wasserdampf
Druck in bar
Tripelpunkt
kritischer Punkt
1
0
100
374
Temperatur in °C
Abb. 2-2: p, T-Diagramm für Wasser
[in Anlehnung an Labuhn, Romberg 2009, S. 36]
Im kritischen Punkt verschwindet der Unterschied zwischen dem spezifischen Volumen von
Dampf und Flüssigkeit, die beiden Phasen sind dann auch optisch nicht mehr zu unterscheiden.
Aus energetischer Sicht sind insbesondere die Phasenwechsel (Kondensieren-Verdampfen und
Erstarren-Schmelzen) von Bedeutung, da hierzu ein relativ hoher spezifischer Energieumsatz
notwendig ist.
Thermodynamische Hauptsätze
Die Thermodynamik kennt vier Hauptsätze. Der nullte Hauptsatz besagt, dass zwei Systeme, die
beide mit einem dritten System im thermodynamischen Gleichgewicht stehen, auch untereinander ein Gleichgewicht aufweisen. Der erste Hauptsatz ist für dieses Buch die zentrale Basis, da
er die Energie eines Systems bilanziert. Der zweite Hauptsatz befasst sich wiederum mit der
Bilanzierung der Entropie, die anschaulich als Maß für die Unordnung eines Systems verwendet
wird. Je mehr Unordnung in einem System herrscht, desto schwieriger ist es, eine Energieform
in eine andere umzuwandeln. Die Entropie gibt sozusagen eine zusätzliche Information zur
Qualität der vorhandenen Energie. Der dritte Hauptsatz besagt, dass durch keinen realen Prozess der absolute Nullpunkt bei T = 0 K erreicht werden kann. Dies kommt in produzierenden
Unternehmen eher selten vor, so dass wir den dritten Hauptsatz unkommentiert hinnehmen.
25
Energie – Der erste Hauptsatz
Die Energie eines Systems Eges setzt sich aus der inneren Energie, der kinetischen Energie Ekin
und der potenziellen Energie Epot zusammen.
‫ •‡‰ܧ‬ൌ ܷ ൅ ‫ ‹ܧ‬൅ ‫–‘’ܧ‬
2.9
Mit der inneren Energie wird der Zustand im Inneren eines Systems quantifiziert. Sie resultiert
aus der Bewegungsenergie der Atome und Moleküle. Diese können Translations-, Rotationsoder auch Schwingungsbewegungen sein. Die Intensität der Bewegungen hängt neben der Art
der Atome und Moleküle vom Druck und der Temperatur des Systems ab. Um diesen Zusammenhang formelmäßig zu beschreiben, werden energetische, also kalorische, Zustandsgleichungen verwendet. Die kinetische und die potenzielle Energie sind aus der Mechanik bekannt:
‫ ‹ܧ‬ൌ ௠௖ʹ
ଶ
und
‫ –‘’ܧ‬ൌ ݉݃‫ ݖ‬
2.10/11
Ein System kann mit anderen Systemen und/oder der Umgebung in Wechselwirkung treten und
an seiner Systemgrenze Energie übertragen. Dies kann über mechanische Arbeit (W) oder Wärme (Q) erfolgen. Bei offenen Systemen kann zudem über ein- und abfließende Massenströme
Energie zu- oder abgeführt werden, da jeder Massenstrom quasi seine spezifische Energie (e)
mit sich führt. Arbeit und Wärme sind wegabhängige Prozessgrößen. Mechanische Arbeit tritt
durch die Wirkung einer Kraft an der Systemgrenze auf. Wärme wiederum ist Energie, welche
eine wärmedurchlässige Systemgrenze aufgrund einer Temperaturdifferenz als treibende Größe
überschreitet. Führt man nun für ein offenes System eine Bilanzierung der Energie durch, die
für die Überführung von einem Ausgangszustand (1) in einen Endzustand (2) benötigt wird, so
erhält man den ersten Hauptsatz im formelmäßigen Zusammenhang.
‰‡•ǡʹǦ‰‡•ǡͳൌ σ ܳͳʹ ൅ σ ܹͳʹ ൅ σሺ݉ ȉ ݁ሻ 2.12
Geht man zur Bilanzierung der zeitlichen Änderung der Systemenergie über, liefert die Differenzierung:
ௗா‰‡•
ௗ௧
mit
ൌ ‫ܧ‬ሶ ‰‡• ൌ σ ܳሶ ൅ σܲ ൅ σሺ݉ሶ ȉ ݁ሻ
݁ ൌ ‫ ݑ‬൅ ‫ ݒ݌‬൅
௖ʹ
ଶ
൅ ݃‫ݖ‬
oder auch
2.13
௖ʹ
݁ ൌ ݄ ൅ ൅ ݃‫ݖ‬
ଶ
2.14
In dieser Form wird der erste Hauptsatz in den folgenden Kapiteln häufig anzutreffen sein. Die
Bilanzierung von Energieströmen an Maschinen und Anlagen sind typische Anwendungsbe26
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
reiche. Probleme in der Anwendung bereitet oft die richtige Vorzeichensetzung, zumal zu Beginn einer Rechnung z. B. nicht immer bekannt ist, ob ein Wärmestrom ab- oder zugeführt
wird.
Das Beispiel: Die Spritzgießmaschine
Die Herausforderung besteht in der Wahl der richtigen Bilanzgrenze. Hierzu muss man ein
gewisses Maß an Abstrahierungsvermögen besitzen: Die Spritzgießmaschine wird z. B. auf
einen Kasten mit ein- und ausgehenden Energieströmen reduziert (siehe Abb. 2-3).
Pel
.
Qkon
Tsky
.
Qstr
Oberfläche:
O
Volumen:
V
THydr, r
.
QK, Hydr
Tamb
Wärmekapazität: V . ρm . cm
mittlere Oberflächentemperatur:
To,m
.
QK, Form
TForm, v
.
VForm
.
VHydr
THydr, v
TForm, r
Abb. 2-3: Modellierung Spritzgießmaschine
Dabei stellt sich nun die Frage, ob die Pfeile in die Spritzgießmaschine hinein oder aus ihr heraus zu zeichnen sind. Im ersten Schritt werden die Ströme gesetzt, deren Richtung eindeutig ist:
Die elektrische Leistung Pel geht in die Maschine, die Kühlwasserströme K, Hydr und K,Form für
Hydraulik und Form aus der Maschine. Es bleibt der Wärmestrom übrig, den die Maschine über
Konvektion und Strahlung an die Umgebung abgibt (oder aufnimmt). Wenn unklar ist, in welche Richtung der Wärmestrom gerichtet ist, zeichnet man ihn am besten als in das System eingehend ein. Für einen stationären Zustand, also Ėges = 0, ergibt die Bilanz:
2.15
Mit einer elektrischen Leistungsaufnahme von 5 kW und einer Kühlleistung von 2.500 W ergibt
sich der an die Umgebung abgegebene Wärmestrom ( kon + str) zu – 2,5 kW. Die eingezeichnete
Pfeilrichtung ist also logisch falsch, da die Maschine Wärme an die Umgebung abgibt. Das ist
aber für das Rechenergebnis unerheblich, da die Mathematik automatisch das richtige Ergebnis
liefert. Bei offenen ( e) und/oder instationären Systemen (Ėges ≠ 0) bleibt die Systematik dieselbe, auch wenn die Mathematik aufwändiger wird.
27
Formen der Arbeit
In den obigen Gleichungen wurden die Begriffe Arbeit (W) bzw. Leistung (P) und Wärme (Q)
bzw. Wärmestrom ( ) als bekannt vorausgesetzt. Insbesondere für die Arbeit bedarf es noch
einer Differenzierung der Begrifflichkeiten (insbesondere zwischen offenen und geschlossenen
Systemen). In [Labuhn, Romberg 2009, S. 63 ff.] wird sehr anschaulich zur Erläuterung der
Volumenänderungsarbeit bei geschlossenen Systemen das Beispiel der Fahrradluftpumpe verwendet, deren Auslassventil mit dem Daumen verschlossen wird.
Abb. 2-4: Volumenänderungsarbeit am Beispiel der verschlossenen Fahrradpumpe
[Labuhn, Romberg 2009, S. 64, mit freundlicher Genehmigung des Verlags]
Zur Komprimierung des in der Luftpumpe eingeschlossenen Luftvolumens muss von außen die
Kraft F aufgebracht werden. Die Arbeit berechnet sich zu
ܹ ൌ ‫ݏܨ‬
oder mit dem Druck
ܹ ൌ ‫݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ‫ ݏܣ‬ൌ ‫݌‬ሺ‫ݏ‬ሻȟܸ
2.16
Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jeder Körper bei steigendem Druck sein Volumen verringert. Wird über eine äußere Kraft Arbeit an einem System verrichtet, muss die Volumenänderungsarbeit positiv sein, da ja Energie in das System eingebracht wird. Da das Volumen dabei
kleiner wird, muss die Volumenänderungsarbeit ein negatives Vorzeichen besitzen, also
ܹ ൌ െ‫݌‬ሺ‫ݏ‬ሻȟܸ
oder differentiell
ܹ݀ ൌ െ‫݌‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ݀
2.17
Wichtig ist, dass im Regelfall der Druck vom Weg bzw. vom Volumen abhängt (in diesem Beispiel zunimmt). Für die Integration muss also ein formelmäßiger Zusammenhang von p und V
bekannt sein, was z. B. bei Annahme eines idealen Gases die thermische Zustandsgleichung liefert.
Die Nutzarbeit ergibt sich aus der Volumenänderungsarbeit, wenn berücksichtigt wird, dass die
Umgebung in der Regel ebenfalls einen Druck besitzt, der einerseits das Komprimieren der Luft
28
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
in der Pumpe unterstützt und andererseits z. B. beim Aufblasen eines Luftballons mehr Arbeit
erfordert. Bei konstantem Umgebungsdruck ergibt sich für eine Zustandsänderung:
ଶ
ܹǡͳʹ ൌ ܹǡͳʹ െ ‫„ƒ݌‬ሺܸͳ െ ܸʹሻെ‫׬‬ଵ ‫ ܸ݀݌‬െ ’ƒ„ሺͳ െ ʹሻ
2.18
In einem offenen System interessiert nicht die Volumenänderungsarbeit, sondern die Arbeit, die
notwendig ist, um eine Druckerhöhung an einem bewegten Volumenelement zu erreichen. Im
Beispiel der Fahrradpumpe ist nun das Auslassventil offen.
Abb. 2-5: Volumenänderungsarbeit am Beispiel Fahrradpumpe mit offenem Ventil
[Labuhn, Romberg 2009, S. 66]
Es geht also z. B. um die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um den Druck in einen Luft- oder
Wasserstrom zu erhöhen oder im umgekehrten Fall, welche Arbeit über eine Druckabsenkung
aus einem Luft- oder Wasserstrom genutzt werden kann. Diese Arbeit heißt daher Nutzarbeit
oder technische Arbeit bzw. als zeitliche Ableitung Nutzleistung.
ଶ
ܹ–ǡͳʹ ൌ ‫׬‬ଵ ܸ݀‫݌‬
bzw.
ଶ
ܲ– ൌ ‫׬‬ଵ ܸሶ ݀‫݌‬
2.19
Bei der technischen Arbeit steht kein Minuszeichen, da bei steigendem Druck Arbeit in das
System hineingehen muss. Da Arbeit in der Regel nicht verlustfrei verrichtet werden kann, setzt
sich die Gesamtarbeit aus der reversiblen Arbeit und der Dissipationsarbeit zusammen. Die
bekannteste Form der Dissipationsarbeit ist die Reibung, da keine Bewegung ohne Reibungsverluste durchgeführt werden kann.
ܹͳʹ ൌ ܹͳʹǡ”‡˜ ൅ ܹͳʹǡ†‹••
2.20
Auf die dissipierte Arbeit wird im Zusammenhang mit der Entropie nochmals näher eingegangen.
29
Kalorische Zustandsgleichungen
Weiterhin fehlen bisher geeignete formelmäßige Zusammenhänge, um die in den Energiebilanzen enthaltenen Größen „innere Energie (U)“ bzw. „Enthalpie (H)“ zu bestimmen. Wir
benötigen diese, um beispielweise das (instationäre) thermische Verhalten von Maschinen und
Anlagen zu beschreiben. Die Maschinen nehmen Strom auf, erwärmen sich (Zunahme innere
Energie) und geben diese dann wieder an die Hallenluft ab.
Entsprechend der kalorischen Zustandsgleichung (2.3) lässt sich die innere Energie für einfache
Systeme (Reinstoffe) über zwei unabhängige Variablen (z. B. v und T) beschreiben. Da die
innere Energie eine Zustandsgröße ist, ergibt sich das vollständige Differential zu:
డ௨
డ௨
డ் ௩
డ௩ ்
݀‫ ݑ‬ൌ ቀ ቁ ݀ܶ ൅ ቀ ቁ ݀‫ ݒ‬
2.21
Analog gilt für die spezifische Enthalpie
డ௛
డ௛
డ் ௣
డ௣ ்
݄݀ ൌ ቀ ቁ ݀ܶ ൅ ቀ ቁ ݀‫ ݌‬
2.22
Die partielle Ableitung
డ௨
ቀ ቁ ൌ ܿ˜ሺ‫ݒ‬ǡ ܶሻ
డ் ௩
2.23
bezeichnet man als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Sie kann messtechnisch bestimmt werden, indem man einem geschlossenen System bei konstantem Volumen
(dv = 0) Wärme zuführt. Treten keine Verluste auf, gilt nach dem ersten Hauptsatz:
ଶ
‫ ʹͳݍ‬ൌ ‫ ʹݑ‬െ ‫ͳݑ‬ൌ‫׬‬ଵ ܿ˜ሺ‫ݒ‬ǡ ܶሻ݀ܶ
2.24
In ähnlicher Weise erhält man aus der Ableitung der spezifischen Enthalpie:
డ௛
ቀ ቁ ൌ ܿ’ሺ‫݌‬ǡ ܶሻ
డ் ௣
30
2.25
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck. Die zugeführte Wärme ist dann:
ଶ
‫ ʹͳݍ‬ൌ ݄ʹ െ ݄ͳൌ‫׬‬ଵ ܿ’ሺ‫݌‬ǡ ܶሻ݀ܶ
2.26
Die spezifischen Wärmekapazitäten cv und cp unterscheiden sich für Feststoffe nicht und für
Flüssigkeiten unwesentlich, so dass hier im Gegensatz zu Gasen
ܿ’ ൎ ܿ˜ ൎ ܿ 2.27
gesetzt werden kann. Um einen Festkörper (z. B. die Spritzgießmaschine von oben) mit der
Masse m und der mittleren spezifischen Wärmekapazität cm um die Temperatur dT zu erwärmen, benötigt man demnach die Wärmemenge:
݀ܳ ൌ ݉ܿ݀ܶ
2.28
Für ideale Gase vereinfacht sich Gleichung 2.21 ebenfalls, da die innere Energie für ideale Gase
nur eine Funktion der Temperatur ist. Damit wird
݀‫ ݑ‬ൌ ܿ˜݀ܶ 2.29
Analog gilt für die Enthalpie:
݄݀ ൌ ܿ’݀ܶ 2.30
Mit h=u+pv ergibt sich mit der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gase:
ܿ’ሺܶሻ െ ܿ˜ሺܶሻ ൌ ܴ 2.31
Mit der spezifischen Wärmekapazität ergibt sich nun die Möglichkeit, in den Energiebilanzen
gemäß dem ersten Hauptsatz die innere Energie und die Enthalpie zumindest für Feststoffe,
Flüssigkeiten und ideale Gase formelmäßig einfach zu bestimmen.
31
Entropie – Der zweite Hauptsatz
Die Entropie S ist bei den meisten Studierenden die unbeliebteste Zustandsgröße der Thermodynamik. Dies liegt vor allem daran, dass es im Wesentlichen eine „unsichtbare“ Größe ist.
Folgerichtig wird sie auch als reine mathematische Größe behandelt. Wozu benötigt man sie
aber eigentlich? Wie oben beschrieben, dient die Entropie einerseits als Qualitätsmerkmal für
die Energie. Je weniger Entropie im System ist, desto flexibler und verlustDie Entropie S ist bei den
meisten Studierenden die freier ist die Energie einsetzbar. Strom ist sozusagen das qualitative highunbeliebteste Zustandsend-level von Energie, wohingegen von Wärme nur ein Teil in andere
größe der Thermodynamik.
Energieformen gewandelt werden kann. Der Rest wird an die Umgebung
nutzlos abgegeben. Die Entropie hilft uns, den nutzbaren Teil der Energie (Exergie) zu berechnen. Gleichzeitig können mit Hilfe der Entropie und dem Volumen bzw. dem Druck für die
innere Energie bzw. die Enthalpie sogenannte Fundamentalgleichungen aufgestellt werden, aus
denen sich alle anderen Zustandsgrößen mathematisch bestimmen lassen [Iben, Schmidt 1999,
S. 73ff.].
Da die Entropie ebenfalls eine Zustandsgröße ist, lässt sie sich analog zur Energie bilanzieren.
Allerdings kann im Unterschied zur Energie die Entropie in einem Prozess erzeugt werden,
wohingegen Energie immer nur von einer Form in eine andere gewandelt werden kann. Für die
Bilanzierung der Entropie ist, anschaulich gesprochen, wichtig, dass sie immer zusammen mit
Energie- oder Massenströmen über eine Systemgrenze ein- oder austritt. Das heißt: Unabhängig
davon, ob Wärme, Arbeit oder bei offenen Systemen ein Enthalpiestrom in ein System ein- oder
austritt, ist damit immer auch ein Austausch von Entropie verbunden. Somit kann der zweite
Hauptsatz zur Bilanzierung der Entropie eines offenen Systems ganz allgemein formuliert
werden:
ௗௌ‰‡•
ௗ௧
ൌ ܵሶ ൅ ܵሶ†‹•• ൅ ܵሶ ൅ ܵሶ‹ 2.32
Gleichung 2.32 zeigt, dass die Aussage, die Entropie müsse in einem System immer zunehmen,
falsch ist, da die Summe der mit Energie- und Masseströmen ein- und ausfließende Entropie
durchaus negativ sein kann. Richtig ist hingegen, dass die Entropieerzeugung i immer positiv
sein muss. Mit dieser Bedingung kann für Prozesse überprüft werden, ob sie thermodynamisch
überhaupt möglich sind. Die Frage ist nun, wie sich die Entropieströme bestimmen lassen. Für
die Entropie eines Wärmestromes gilt ohne Herleitung nach [Labuhn, Romberg 2009, S. 118]:
ொሶ
ܵሶ ൌ ்
2.33
Für die Entropieerzeugung durch Dissipation gilt analog:
௉†‹••
ܵሶ†‹•• ൌ ்
32
2.34
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
Im Unterschied zur Entropie eines Wärmestromes muss man bei der Arbeit wissen, wie hoch
der dissipierte Anteil ist, um die dadurch verursachte Entropieerzeugung zu berechnen. Bei der
Wärme kann der Entropiestrom direkt aus dem Wärmestrom berechnet werden. Somit ergibt
sich aus Gleichung 2.32:
ௗௌ‰‡•
ௗ௧
ൌ
ொሶ
்
൅
௉†‹••
்
൅ ݉ሶ‫ ݏ‬൅ ܵሶ‹
2.35
Die Gleichungen 2.32 und 2.35 gelten analog für die Berechnung der absoluten und spezifischen
Entropie bei einer Zustandsänderung von Zustand 1 nach Zustand 2.
Nach [Schmidt, Stephan Mayinger 1975, S. 149 ff.] kann mit der Entropie und dem Volumen eine
Fundamentalgleichung der Form
‫ ݑ‬ൌ ‫ݑ‬ሺ‫ݏ‬ǡ ‫ݒ‬ሻ 2.36
aufgestellt werden, aus der sich alle anderen Zustandsgrößen mathematisch bestimmen lassen.
Voraussetzung ist die Durchführung einer Vielzahl von experimentellen Untersuchungen, um
die notwendigen funktionalen Abhängigkeiten zu bestimmen. Aus dem vollständigen Differential für die Entropie und der Anwendung des ersten Hauptsatzes erhält man nach [Schmidt,
Stephan Mayinger 1975, S. 148] die Fundamentalgleichung für die innere Energie in der Form:
݀‫ ݑ‬ൌ ܶ݀‫ ݏ‬െ ‫ݒ݀݌‬
2.37
Man nennt sie auch Gibbsche Fundamentalgleichung. Umgeformt für die spezifische Enthalpie
lautet sie:
݄݀ ൌ ܶ݀‫ ݏ‬൅ ‫݌݀ݒ‬
2.38
Durch Umformen von Gleichung 2.38 erhält man eine Bestimmungsgleichung für die Entropie:
݀‫ ݏ‬ൌ ௗ௨ା௣ௗ௩
்
2.39
33
Für ideale Gase (du = cv dT) sowie Flüssigkeiten und Feststoffe (dv = 0 und cv ≈ cp ≈ c) lässt sich
die spezifische Entropie nun durch Integration leicht berechnen:
Ideales Gas:
݀‫ ݏ‬ൌ ܿ˜
ௗ்
்
൅ ܴ
ௗ௩
௩
also
‫ ʹݏ‬െ ‫ ͳݏ‬ൌ ܿ௣ ݈݊
்ʹ
்ͳ
௣ʹ
െ ܴ݈݊ ௣ͳ
2.40/41
Diese Gleichung ist z. B. wichtig für die Bestimmung des Verlustes an nutzbarer Energie
(Exergie) bei der Drosselung von Druckluft. Bei einer Drosselung von Luft kann mit guter
Genauigkeit von adiabaten Verhältnissen ausgegangen werden und gleichzeitig der Beitrag der
kinetischen Energie vernachlässigt werden. Dann liefert der Erste Hauptsatz die Beziehung:
݄˜‘” ൌ ݄ƒ…Š 2.42
Da bei idealen Gasen die Enthalpie nur von der Temperatur anhängt, sind auch die Temperaturen vor und nach der Drosselung gleich. Damit vereinfacht sich Gleichung 2.41 zu:
‫ ʹݏ‬െ ‫ ͳݏ‬ൌ ܴ݈݊
௣ଵ
௣ଶ
2.43
Hieraus lässt sich die dissipierte Arbeit bestimmen zu:
௣ͳ
‫••‹†ݓ‬ǡͳʹ ൌ ܶͳሺ‫ ʹݏ‬െ ‫ͳݏ‬ሻ ൌ ܶͳܴ݈݊ ௣ʹ
2.44
Das Einsetzen von Zahlenwerten zeigt die unter Effizienzgesichtspunkten schlechte Eignung
der Drosselung zur Regelung von Durchflüssen in Fluiden (Kapitel 5). Für Feststoffe und Flüssigkeiten gilt analog:
݀‫ ݏ‬ൌ ܿ
ௗ்
்
also
்ʹ
‫ ʹݏ‬െ ‫ ͳݏ‬ൌ ݈ܿ݊ ்ͳ
2.45/46
Somit haben wir nun alle Berechnungsgrundlagen, um die Energie- und Entropieumsätze für
unterschiedliche Zustandsänderungen zu bestimmen. Die wichtigsten sind:
1.
2.
3.
4.
5.
34
Isochor (v = konst.)
Isobar (p = konst.)
Isotherm (T = konst.)
Isentrop bzw. reversibel adiabat (si = 0, = 0)
Polytrop (p . vn = konst.)
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
Die nachfolgende Tabelle gibt für ideale Gase die wichtigsten Größen für die jeweiligen
Zustandsänderungen an. Sie können insbesondere zur Beurteilung von Prozessen mit Druckluft verwendet werden.
Tab. 2-1: Formelmäßige Zusammenhänge bei Zustandsänderungen von Luft [Iben, Schmidt 1999, S. 79]
Isobare
Isotherme
Isentrope
Polytrope
v1
v2
T1
T2
p2
p1
p2
p1
T2
T1
p2
p1
p1
p2
1
v2
v1
v2
v1
T1
T2
v2
v1
T1
T2
v1
v2
1
p1
p2
s2– s1
T2
cp ln T
1
p2
– R ln p
1
w V, 12, rev
– p1 ( v2 – v1 )
p2
RT1 ln p
1
w D, 12, rev
0
w V, 12, rev
q 12, rev
cp ( T2 – T1 )
– w V, 12, rev
v2
v1
p1
p2
1
n
T2
T1
n
T1
T2
n –1
n
v2
v1
1
n –1
n
n –1
n –1
T2
v2
cv ln T + R ln v
1
1
0
p2
p1
–1
p1 v1
n –1
p2
p1
n –1
n
–1
n w V, 12, rev
0
cv
( T2 – T1 )
Technische Prozesse
Die Entropie bzw. der zweite Hauptsatz sollte auch dazu dienen, Energiewandlungsprozesse
energetisch zu bewerten. Dies betrifft insbesondere die Umwandlung von Wärme in technische
Arbeit in einer so genannten Wärme-Kraft-Maschine bzw. den Einsatz von technischer Arbeit
zur Kälte- oder Wärmebereitstellung (Kältemaschine bzw. Wärmepumpe). Beides sind so
genannte Kreisprozesse, d. h. nach Durchlaufen mehrerer Zustandsänderungen wird wieder der
Ausgangszustand erreicht. Wird dabei Arbeit verrichtet, muss unabhängig von der Art des
Prozesses jeweils mindestens einmal entspannt und verdichtet werden. Die dabei verrichtete
Kreisprozessarbeit ist gleich der negativen Differenz der zu- und abgeführten Wärme.
‫ ݓ‬ൌ െሺ‫ —œݍ‬െ ‫„ƒݍ‬ሻ
2.47
35
w kann positive oder negative Werte annehmen. Wird mehr Wärme zu- als abgeführt, wird w
negativ, es handelt sich dann um eine Wärmekraftmaschine. Im umgekehrten Fall muss dem
Prozess Arbeit zugeführt werden, um Wärme von einem System niedriger Temperatur in ein
System höherer Temperatur zu transportieren. Entsprechend der Darstellung im T-S-Diagramm
handelt es sich bei Wärme-Kraft-Maschinen um Rechtsprozesse. Linksprozesse finden in Kälteund Wärmepumpen statt.
p1
T
1
1
To
WP
2
1
4
Tamb
Qzu
∆TWue
2
4
4
TH
p2
3
3
KM
Tamb
TK
Qab
2
S1
S2
S
3
S
Abb. 2-6: T-S-Diagramm für Wärmekraftmaschine (links) und Kältemaschine (KM) und Wärmepumpe (WP)
(rechts) als Carnot-Prozesse [in Anlehnung an Iben, Schmidt 1999, S. 98ff.]
Bei der Betrachtung einer Wärme-Kraft-Maschine (z. B. Kraftwerk) als adiabate black-box lautet die Energiebilanz:
Ͳ ൌ ܳ െ ܳƒ„ െ ܹ–
2.48
Dabei haben wir einen stationären Zustand und einen reversiblen Prozess unterstellt. Reversibilität wird immer zu Grunde gelegt, um herauszufinden, wie viel der eingesetzten Energie
bestenfalls in nutzbare Energie umgesetzt werden kann. Weiterhin ist in 2.49 die Forderung des
zweiten Hauptsatzes eingearbeitet, dass eine vollständige Umwandlung von Wärme in technische Arbeit unmöglich ist. Eine Abgabe eines hinreichend großen Wärmestroms amb (meist an
die Umgebung) muss immer gleichzeitig vonstatten gehen. Die Entropiebilanz liefert:
ொ
ொƒ„
்
்ƒ„
Ͳ ൌ െ
36
2.49
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
Damit ergibt sich für die (maximale) technische Arbeit:
ܹ– ൌ ܳ െ ܳƒ„ ൌ ܳ ቀͳ െ
்ƒ„
்
ቁ ൌ ‫š‡ܧ‬
2.50
Sie wird auch als Exergie der Wärme bezeichnet. Die Anergie ist somit:
ܳƒ„ ൌ ܳ
்ƒ„
்
ൌ ‫ ƒܧ‬
2.51
Dementsprechend teilt sich jede Energieform in Exergie und Anergie auf.
‫ ܧ‬ൌ ‫ š‡ܧ‬൅ ‫ƒܧ‬
2.52
Will man wissen, wie hoch der Nutzen Wt zu eingesetzter Energie Q ist, so ergibt sich der
thermische Wirkungsgrad zu:
ߟ ൌ ͳ െ
்ƒ„
்
2.53
Dieser hängt also ausschließlich vom Temperaturniveau der bereitgestellten Wärme und der
Umgebungstemperatur ab und kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Für ein Kohlekraftwerk
liegt der maximale theoretische Wirkungsgrad (reversibel, ohne Verluste) etwa bei 68 %, faktisch für neue Kraftwerke bei etwa 45 % [Bockhorst 2010].
Für Linksprozesse werden im Gegensatz dazu Leistungsziffern zur Bewertung verwendet. Diese
setzen bei Kältemaschinen den Nutzen (dem Kühlschrank entzogene Wärme) ins Verhältnis
zum Aufwand (Kreisprozessarbeit = Kompressor). Der Wärmeentzug erfolgt beim Kompressionskälteprozess über die isobare Verdampfung eines Kältemittels bei niedrigem Druck. Die
hierfür notwendige Druckabsenkung erfolgt durch eine einfache Drossel. Nach der Verdampfung wird der Kältemitteldampf über einen elektrisch angetriebenen Kompressor wieder verdichtet und im Anschluss in einem Kondensator bei hohem Druck isobar verflüssigt. Danach
gelangt das Kältemittel wieder zur Drossel, der Kreisprozess ist geschlossen. Bei der Wärmepumpe ist der Prozess identisch, jedoch liegt der Nutzen in der im Kondensator abgegebenen
Wärme.
ߝ ൌ ொ¡Ž–‡
ௐ–
bzw.
ߝ ൌ ொ¡”‡
ௐ–
2.54/55
37
Im reversiblen Fall, also dem verlustfreien best-case (Carnot), sind auch die Leistungsziffern
nur eine Funktion der beiden Temperaturniveaus bei der Verdampfung (Tu) bzw. der Kondensation (To).
bzw.
2.56/57
Im Gegensatz zum thermischen Wirkungsgrad können Leistungsziffern auch Werte größer 1
annehmen. Entsprechend der englischen Übersetzung werden sie auch COP (Coefficient of
performance) genannt. Bei Kältemaschinen wird auch der Begriff EER (Energy Efficiency Ratio)
verwendet. Aus den obigen Gleichungen werden drei Dinge ersichtlich:
1. Die Kühltemperaturen sollten nur so nieder gewählt werden, wie es der Prozess auch
erfordert. Dies gilt analog für das Temperaturniveau beim Einsatz von Wärmepumpen
(z. B. für Heizzwecke).
2. Bei der Bewertung von Leistungsziffern oder COP-Werten muss zwischen MomentanWerten (z. B. bei Referenzzuständen) und Jahresmittelwerten unterschieden werden.
Die Hersteller verwenden gerade bei Wärmepumpen gerne Referenzwerte bei günstigen
Temperaturverhältnissen, um möglichst hohe COP-Werte vorweisen zu können.
Jahresmittelwerte liegen in der Regel deutlich niedriger.
3. (Maximale) Leistungsziffern geben nur einen Teil der Wahrheit wieder. Von den Werten
müssen noch Abschläge aus den Irreversibilitäten der Wärmeaustauschprozesse an
Verdampfer und Kondensator berücksichtigt werden. Zudem benötigen industrielle
Kühlanlagen noch Energie (Strom) für Hilfsverbraucher, die ebenfalls für eine Gesamtbeurteilung einberechnet werden müssen.
Aus den Betrachtungen lässt sich jedoch auch die kontroverse Diskussion zum Einsatz von Wärmepumpen aufzeigen. Die heutige Stromerzeugung hat heute inkl. Transportverlusten bis zum
Verbraucher im Mittel einen Primärenergiewirkungsgrad von etwa 36 % [AG Energiebilanzen
2008]. Einfache, mit Strom betriebene Wärmepumpen, die der Umgebungsluft Wärme entziehen und in das Heizsystem abgeben, haben einen mittleren COP von 3.
Aus den Betrachtungen lässt
sich auch die kontroverse Wenn also Primärenergie verbrannt wird, um mit einem GesamtwirDiskussion zum Einsatz von
kungsgrad von etwa 0,3 Strom zu erzeugen, der dann mit einer LeistungsWärmepumpen aufzeigen.
ziffer von ca. 3 wieder in Wärme umgewandelt wird, stellt sich die Frage
der energetischen Sinnhaftigkeit. Dann kann man, primärenergetisch betrachtet, den Energieträger auch direkt zu Hause verfeuern, um den Wärmebedarf zu decken. Diese Betrachtung
hinkt dann, wenn wir zukünftig von einem immer höheren Anteil an erneuerbaren Energien
ausgehen und die alten fossilen Kraftwerke durch neue, mit deutlich höheren thermischen Wirkungsgraden ersetzen können. Bis dahin sollten Wärmepumpen jedoch so eingesetzt werden,
dass der mittlere COP möglichst deutlich über 4 liegt. Die Nutzung von Erdwärme oder Grundwasser über geeignete Sonden bietet dazu Möglichkeiten. Außerdem sollten die Nutztemperaturen so gewählt werden, wie sie die Prozesse auch wirklich benötigen. Übermäßige Sicherheit
in der Auslegung (wie üblich) führt zu drastisch schlechteren Leistungsziffern. Hierzu kommen
wir noch in Kapitel 5.
38
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
Neben den oben angeführten Grundprozessen gibt es noch eine Reihe weiterer Energiewandlungsprozesse wie den Otto-Prozess (KWK-Anlagen), den Diesel-Prozess (ebenfalls KWKAnlagen), den Joule-Prozess oder auch den Stirling-Prozess. Für diese sei an weitergehende
Literatur verwiesen [z. B. Schmidt, Stephan Mayinger 1975 und Baehr, Stephan 2008].
Phasenwechsel
Durch Phasenwechsel können große Mengen spezifischer Energie übertragen werden. Bei einer reversiblen Verdampfung bei gleichzeitig isobarem Zustand bestimmt sich die notwendige
Wärme zu
“ͳʹǡ”‡˜ ൌ ̶݄ െ ݄Ԣ ൌ ‫ݎ‬
2.58
rD ist dabei der Unterschied zwischen der spezifischen Enthalpie des Dampfes h" und der Flüssigkeit h'. Man bezeichnet sie als spezifische Verdampfungsenthalpie in J/kg. Liegen Dampf und
Flüssigkeit gleichzeitig vor und wird dabei nur ein Stoff (z. B. Wasser) betrachtet, findet der
Prozess gleichzeitig unter isothermen Bedingungen statt. Nach der Gibb’schen Phasenregel
besteht bei einem Stoff (N = 1) und zwei Phasen (P = 2) nur noch ein Freiheitsgrad (F = 1)
[Schmidt, Stephan, Mayinger 1977, S. 56].
‫ ܨ‬ൌ ܰ െ ܲ െ ʹ
2.59
Steht der Druck fest, ist somit auch die Temperatur eindeutig definiert. Wasser verdampft bei
Normaldruck bei (ca.) 100 °C. Der gesamte übertragene Wärmestrom errechnet sich somit mit
dem Massenstrom des verdampfenden Wassers zu:
ܳሶͳʹǡ”‡˜ ൌ ݉ሶ ȉ ሺ̶݄ െ ݄Ԣሻ ൌ ݉ሶ‫ݎ‬
2.60
Bei Kondensation ergibt sich der betragsmäßig gleiche Wärmestrom mit umgekehrtem Vorzeichen. Bei der Übertragung auf reale Prozesse muss für den gesamten Energieeinsatz der irreversible Anteil durch die Wärmeübertragung mit aufgebracht werden. Nur bei verschwindenden
Temperaturdifferenzen bei der Wärmeübertragung kann eine Entropieerzeugung vermieden
werden. Dies würde allerdings unendlich große Übertragungsflächen oder unbegrenzte Prozesszeit erfordern, was den realen Bedingungen widerspricht.
Die große spezifische Wärmemenge, die durch Verdampfung bzw. Kondensation übertragen
wird, kann jeder spüren, der in einer Sauna einen großzügigen Aufguss macht: Die Wassermenge, welche kurz danach am Körper abläuft, ist kein Schweiß, sondern kondensierender
Dampf aufgrund der vergleichsweise kühlen Körperoberfläche. Wird gleichzeitig noch der
Wärmeübergang durch Wedeln eines Handtuchs erhöht, kann dies bei hohen Temperaturen zu
Verbrennungen führen, es sei denn man kapituliert vorher und verlässt fluchtartig die Sauna.
39
Bei Phasenübergängen von fest nach flüssig ergibt sich obige Gleichung analog. Es müssen
lediglich die Enthalpien der Flüssigkeit und der festen Phase eingesetzt werden. Die Differenz
zur Bestimmung der notwendigen Wärme nennt man spezifische Schmelz- oder Erstarrungsenthalpie rE. Für Wasser beträgt die spezifische Verdampfungsenthalpie rD = 2.502 kJ/kg und die
Erstarrungsenthalpie rE = 333 kJ/kg. Für andere Stoffe können die Werte beispielsweise dem
[VDI-Wärmeatlas, 2006] entnommen werden.
Verbrennung
Mit der thermodynamischen Beschreibung der Verbrennungsprozesse von Energieträgern
kommen wir am Ende dieses Abschnittes quasi am Anfang der Energiewandlungskette an. Die
Verbrennung, oder chemisch genauer gesagt: die Oxidation von Primärenergieträgern (Kohle,
Öl, Gas oder Holz) oder auch Sekundärenergieträgern (Brikett, Holzpellets und Diesel), wandelt chemisch gebundene Energie in Wärme um. Die Beschreibung der Verbrennungsprozesse
verbindet die Chemie mit der Thermodynamik und ist damit der größtmögliche Feind des
gemeinen Maschinenbauers.
Ausgangsbasis für die Bilanzierung bilden die stöchiometrischen Reaktionsgleichungen für die
unterschiedlichen Energieträger. Wir begrenzen uns auf Erdgas, da dies der häufigste eingesetzte Primärenergieträger in der Industrieproduktion ist. Der Rechenweg ist jedoch für alle
anderen Brennstoffe gleich und kann z. B. aus [Labuhn, Romberg 2009, S. 256ff.] entnommen
werden.
Die Chemie liefert für die Reaktion von Methan (Hauptbestandteil von Erdgas) und Sauerstoff
folgende Reaktionsgleichung:
‫ܪܥ‬Ͷ ൅ ʹܱʹ ՜ ‫ ʹܱܥ‬൅ ʹ‫ ܱʹܪ‬൅ ο݄— ൌ ͺͲʹǡ͵‫ܬܯ‬Ȁ݇݉‫݈݋‬
2.61
In dieser Gleichung stecken gleich mehrere für die Verbrennung wichtige Informationen. Da
die Anzahl der Moleküle in der Gasphase vor und nach der Reaktion gleich bleibt (3), verändert
sich auch das Volumen nicht. Dies muss nicht so sein, bei Äthan und Kohlenwasserstoffen mit
mehr als 4 H-Atomen nimmt das Volumen bei der Verbrennung zu. Dieser Umstand ist für die
Dimensionierung der Abgaseinrichtungen wichtig.
Weiterhin ist in der Gleichung eine Enthalpie angegeben. Es ist die Reaktionsenthalpie, die
grundsätzlich positive (exotherme Reaktion) oder auch negative Werte (endotherme Reaktion)
annehmen kann. In diesem Fall ist es die Verbrennungsenthalpie oder auch der Heizwert Δhu,
der grundsätzlich positiv ist. Dies gibt ja auch Sinn, denn wir wollen durch die Verbrennung
Wärme erzeugen. Der Heizwert berechnet sich aus der Differenz der spezifischen Enthalpie aller
Reaktionsteilnehmer vor und nach der Verbrennung. Dabei wird (abweichend von den üblichen
Standardbedingungen) eine Bezugstemperatur von 25 °C und ein Druck von 1 bar für alle einund austretenden Stoffströme zu Grunde gelegt.
40
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.2 Thermodynamik
Bei der Verbrennung von wasserstoffhaltigen Energieträgern entsteht Wasser. Dieses kann je
nach Bilanzgrenze und Temperaturverhältnissen nach der Verbrennung vollständig flüssig
(Brennwertheizgerät), dampfförmig oder auch als Nassdampf vorliegen. Man unterscheidet
dementsprechend zwischen oberem Heizwert = Brennwert (Wasser flüssig) und unterem Heizwert (Wasser gasförmig im Rauchgas). Der Brennwert lässt sich aus dem unteren Heizwert wie
folgt bestimmen:
ο݄‘ ൌ ο݄— ൅
௠ƒ••‡”
௠”‡•–‘ˆˆ
‫ݎ‬
2.62
Dazu muss die im Abgas befindliche Wassermasse bekannt sein. Die Gesamtmenge ergibt sich
aus der Reaktionsgleichung, sofern eine vollständige Verbrennung des Brennstoffes stattgefunden hat.
Dies führt zu einer weiteren wichtigen Größe, dem Luftüberschuss. Für die Verbrennung von
Methan gemäß Gleichung 2.61 ist zwar nur Sauerstoff notwendig, aber der stammt üblicherweise aus Luft. Diese enthält aber nur etwa 21 Volumen-% Sauerstoff und etwa 79 Volumen-%
Stickstoff. Letzteren müssen wir leider, ohne dass er an der Verbrennung teilnimmt, durch den
gesamten Brennraum hindurchschleppen. Er reagiert an heißen Oberflächen zu allem Überfluss mit dem Sauerstoff zu Stickoxiden, die man danach ggf. mühsam wieder aus dem Abgas
entfernen muss.
Gemäß obiger Verbrennungsgleichung benötigt man zur stöchiometrischen Umsetzung
von 1 Mol Methan 2 Mole Sauerstoff. Mit den Molmassen (Periodensystem) für Methan
MCH4 = 16 kg/kmol, Sauerstoff MO2 = 32 kg/kmol, Wasser MH2O = 18 kg/kmol und Kohlendioxid
MCO2 = 44 kg/kmol benötigt man also für die Verbrennung von 1 kg Methan genau 4 kg Sauerstoff und produziert im Gegenzug 2,25 kg Wasser sowie 2,75 kg Kohlendioxid. Die Massenbilanz
ergibt auf der rechten und linken Seite der Reaktionsgleichung jeweils 5 kg, was uns beruhigt.
Da die Luft aber nur 21 % (Volumen) bzw. 23,2 % (Masse) Sauerstoff beinhaltet, erhalten wir eine
für die Reaktion notwendige minimale Luftmenge von
2.63
Wird weniger Luft zugeführt, ist die Verbrennung unvollständig und unverbrannter Brennstoff
gelangt ins Abgas bzw. verbrennt unvollständig (Emission von CO oder C). Beim Automotor
oder beim Autogenschweißen führt dies z. B. zum Rußen. Bei Sauerstoff- bzw. Luftüberschuss
bleibt Sauerstoff übrig und gelangt ohne Reaktion ins Abgas. Den Luftüberschuss beschreibt
man formelmäßig mit der Luftüberschusszahl λ.
݉ሶ—ˆ– ൌ ߣ݉ሶ—ˆ–ǡ‹
2.64
41
Da in jedem Fall vermieden werden muss, dass zu wenig Sauerstoff für die Verbrennung zur
Verfügung steht, muss immer gelten: λ > 1. Beim Autokatalysator sorgt die Lambda-Sonde
dafür, bei der Gasheizung sind es der Hersteller bzw. der Schornsteinfeger.
Für die Energiebilanz kann nun der altbekannte erste Hauptsatz angewendet werden. Der
Brennraum stellt unseren Bilanzraum dar, in den das Methan und die Luft ein- und das Abgas
mit Wasser und Kohlendioxid austreten. Bei den Druckverhältnissen können wir getrost von
idealen Gasen ausgehen, im Brennraum findet keine zeitliche Änderung der inneren Energie
statt. Wir haben daher einen quasi stationären Prozess, bei dem sowohl kinetische als auch
potenzielle Energie getrost vernachlässigt werden können.
.
mB tB
.
mA tA
Brennraum
.
mL tL
.
Q
Abb. 2-7: Energiebilanz für einen Verbrennungsprozess
Die Energiebilanz liefert dann:
Ͳ ൌ ݉ሶͶ݄ͶሺܶͶሻ ൅ ݉ሶ—ˆ–݄—ˆ–ሺܶ—ˆ–ሻ݉ሶ„‰ƒ•݄„‰ƒ•ሺܶ„‰ƒ•ሻ െ ܳሶ
2.65
Bezieht man das Ganze jetzt auf den Massenstrom des Brennstoffs und setzt Gleichung 2.64 ein,
ergibt sich für den spezifischen Wärmestrom (W/kgCH4):
‫ݍ‬ሶ ൌ ݄ͶሺܶͶሻ ൅ ߣ
௠ሶ—ˆ–ǡ‹
݄—ˆ–ሺܶ—ˆ–ሻ
௠ሶ Ͷ
െ
௠ሶ„‰ƒ•
௠ሶͶ
݄„‰ƒ•ሺܶ„‰ƒ•ሻ
2.66
Da wir von idealen Gasen ausgehen, können die Enthalpien über die spezifischen Wärmekapazitäten und die Temperaturen bestimmt werden. Dies ist die gute Nachricht. Die schlechte ist,
dass sich bisher die so genannten Nullpunkt-Enthalpien immer eliminiert haben, da dieselben
Stoffströme in das System ein- und austraten. Dies ist bei der Verbrennung leider nicht der Fall.
Daher müssen wir durch die gesamte Berechnung auch die Enthalpien bei Bezugstemperatur
(25 °C und 1 bar) mitschleppen. Gleichzeitig muss aufgrund der deutlich unterschiedlichen
Temperaturniveaus von ein- und austretenden Strömen mit Temperatur gemittelten Wärmekapazitäten gerechnet werden. Zudem handelt es sich sowohl bei Luft als auch beim Abgas um
Gemische, für welche die Wärmekapazitäten nochmals, diesmal entsprechend den Massen42
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.3 Wärmeübertragung
anteilen, gemittelt werden müssen. Wir ersparen uns hier die aufwändige (aber nicht schwierige) Umrechnung und verweisen für den Interessierten hierzu auf [Labuhn, Romberg 2009, S.
267–269]. Das Ergebnis lautet:
‫ݍ‬ሶ ൌ ܿǡͶሺܶͶ െ Ͳሻ ൅ ߣ
௠ሶ—ˆ–ǡ‹
ܿǡ„‰ƒ•ሺܶ„‰ƒ•
௠ሶͶ
െ Ͳሻ ൅ ݄—
2.67
Ganz am Ende erscheint wieder der (untere) Heizwert, sofern für die Stoffwerte des Abgases
von gasförmigem Wasser ausgegangen wird.
Wenn wir am Ende wieder die abstrakte Brille des Bilanzierers komplexer Produktionsstrukturen aufsetzen, kann obenstehende Gleichung für bekannte Wärmeerzeuger und beliebige
Brennstoffe auch einfach umgeformt werden zu:
ܳሶ ൌ ߟ݉ሶ”‡•–‘ˆˆȟ݄—ǡ”‡•–‘ˆˆ
2.68
Die Wirkungsgrade können in der Regel aus den Herstellerangaben entnommen werden. Man
muss nur aufpassen, ob diese auf Brennwerte oder untere Heizwerte bezogen sind. Bei Heizgeräten können die Wirkungsgrade zahlenmäßig auch über 1 liegen, wenn gerätetechnisch das
Wasser im Abgas kondensiert wird, die Berechnung der Wirkungsgrade aber mit unteren Heizwerten erfolgt. Gasheizgeräte kommen so schon mal zu Wirkungsgraden von bis zu 109 % (bei
theoretisch möglichen 111 %), ohne dass wir doch noch eine Möglichkeit zur Energieerzeugung
aus dem Nichts gefunden haben.
Damit sind wir nun, was dieses Buch angeht, am Ende der Thermodynamik angekommen.
Darüber hinaus böte dieses weitläufige Sachgebiet noch eine Vielzahl weiterer Themen wie die
Beschreibung von Stoffgemischen, insbesondere feuchter Luft, oder das Arbeiten mit Phasendiagrammen. Dies überlassen wir den Standardwerken der Thermodynamik, das Handwerkzeug für dieses Buch haben wir nun zusammen. Kapitel 5 fokussiert sich auf die Anwendung in
praxisnahen Beispielen. Wo nötig, wird dort das spezifisch Fehlende noch kurz ergänzt.
2.3 Wärmeübertragung
Im vorherigen Abschnitt haben wir uns damit beschäftigt, in welchen Wechselwirkungen die
Energieform Wärme mit einem System stehen kann und welcher Anteil der Wärme sich in
andere Energieformen wandeln lässt. Dabei spielte es keine Rolle, wie die Wärme in ein System
ein- oder austritt. Dies ist Aufgabe der Wärmeübertragung.
43
Wärme kann grundsätzlich über drei Transportmechanismen ausgetauscht werden:
1. Wärmeleitung (betrifft überwiegend Feststoffe)
2. Konvektion (betrifft überwiegend Flüssigkeiten und Gase)
3. Strahlung (zwischen Körpern, aber auch Gasen (Treibhauseffekt))
Der Strahlungsaustausch erfolgt dabei im Gegensatz zur Konvektion und zur Wärmeleitung
nicht Stoff gebunden, kann also auch im Vakuum stattfinden. Bezüglich der formelmäßigen
Beschreibung gilt für alle drei Transportmechanismen das Prinzip:
Spezifischer Wärmestrom = Transportkoeffizient ∙ Treibendes Gefälle
Wärmeleitung
Die Basis für die formelmäßige Beschreibung der Wärmeleitung ist der empirische Fourier’sche
Wärmeleitungsansatz [Marek, Nitwsche 2007, S. 20]. Für eindimensionale Wärmeleitung ergibt
er sich zu:
డ்
‫ݍ‬ሶ š ൌ െߣሺ‫ݔ‬ሻ డ௫
2.69
Für viele Fälle kann die Wärmeleitfähigkeit λ (W/m K) als ortsunabhängig angesehen werden.
Sie kann für die meisten Stoffe aus Tabellenwerken entnommen werden [VDI Wärmeatlas
2006]. Der flächenspezifische Wärmestrom ergibt sich gemäß obiger Gleichung in W/m2. Die
Multiplikation mit der Wärme übertragenden Fläche führt zum gesamten Wärmestrom. Bei
mehrdimensionaler Wärmeleitung ist der Wärmestrom eine vektorielle Größe mit den entsprechenden Ableitungen der Temperatur in den Koordinatenrichtungen [Marek, Nitwsche 2007,
S. 20].
Konvektion
Konvektiver Wärmeübergang findet in der Regel zwischen Oberflächen von Feststoffen und
Fluiden (Gase, Flüssigkeiten) statt. Je nach Situation wird zwischen freier Konvektion und
erzwungener Konvektion unterschieden. Bei der freien Konvektion sind die physikalischen
Vorgänge komplizierter, da die Temperatur die Strömungsverhältnisse beeinflusst (z. B. Auftrieb
an warmen Oberflächen), welche wiederum u. a. den Wert des Wärmeübergangskoeffizienten α
(W/ (m2 K)) bestimmen. Der formelmäßige Zusammenhang für den konvektiv übertragenen
Wärmestrom zwischen einer Wand und einem Fluid ergibt sich aus dem Newton’schen Abkühlgesetz [Newton 1701] zu:
‫ݍ‬ሶ ‘ ൌ ߙ‘ሺܶ™ƒ† െ ܶƒ„ሻ 44
2.70
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.3 Wärmeübertragung
Die Wärmestromrichtung ergibt sich aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik (von
warm nach kalt). Der Wärmeübergangskoeffizient hängt von einer Vielzahl von Parametern ab
und muss experimentell ermittelt werden. Dies geschieht in der Regel über die dimensionslose
Nußelt-Zahl:
ఈ௅
ܰ‫ ݑ‬ൌ ఒŽ—‹†
2.71
Die Bezugslänge L wird abhängig von der Problemstellung gewählt. Die Berechnung der
Nußelt-Zahl erfolgt mit Hilfe des [VDI-Wärmeatlas 2006] und aus der Nußelt-Zahl kann über
obige Gleichung dann der Wärmeübergangskoeffizient bestimmt werden. Bei erzwungenen
Strömungen ist die Nußelt-Zahl wiederum eine Funktion der Reynolds- und der Prandtl-Zahl.
Bei freier Konvektion hängt die Nußelt-Zahl von der Grashof-Zahl ab. Da die Berechnungsalgorithmen im VDI-Wärmeatlas (insbesondere für freie Konvektion) sehr aufwändig sind
und zum Teil eine Vielzahl von weiteren Stoffdaten und Hilfsrechnungen erfordern, eignen
sich für viele Betrachtungen überschlägige Werte oder auch einfach empirische Beziehungen.
Tabelle 2-2 gibt für Gase und Wasser überschlägige Werte:
Tab. 2-2: Größenordnungen von Wärmeübergangskoeffizienten [Marek, Nitwsche 2007, S. 21]
W
m² K
Medium
αK in
freie Konvektion
Gase
Wasser
3 – 20
100 – 600
erzwungene Konvektion
Gase
Wasser
10 – 100
500 – 10.000
Phasenübergang
siedendes Wasser
kondensierender Wasserdampf
2.000 – 25.000
5.000 – 100.000
Bei bekannter Anströmgeschwindigkeit kann der Wärmeübergangskoeffizient für Luft als Fluid
nach [Hesselbach 2008] bei freier Konvektion näherungsweise bestimmt werden.
2.72
Für Wasser ergibt sich anlog:
2.73
45
Die Anströmgeschwindigkeiten ergeben sich aus den thermisch bedingten Strömungen und
müssen gemessen oder abgeschätzt werden. Da es sich um empirische Gleichungen handelt,
muss die Strömungsgeschwindigkeit in m/s eingesetzt werden, um als Ergebnis den Wärmeübergangskoeffizient in W/(m2 K) zu erhalten.
Wenn man reale Fertigungen oder Maschinen bilanziert, muss immer abgewogen werden, welchen Aufwand die vermeintlich exakte Berechnung verursacht. Die genauen Randbedingungen
sind ohnehin oft nicht oder nur grob bestimmbar bzw. ändern sich aufDie ersten Berechnungen
sollte man zunächst mit grund des Fertigungsbetriebes ständig. Die dadurch verursachte UnschärNäherungen beginnen.
fe ist meist genauso groß wie bei Anwendung der oben angeführten
Näherungen, es ist jedoch ein erheblich höherer Aufwand notwendig. Zumindest sollte man die
ersten Berechnungen erst mit diesen Näherungen beginnen und dann entscheiden, ob man
tiefer einsteigen muss. Wir rechnen zum Beispiel bei freier Konvektion von Luft häufig mit
7 W/m2 K.
Wärmestrahlung
Thermische Strahlung findet zwischen Oberflächen von Körpern statt. Wir vernachlässigen hier
allerdings die Tatsache, dass Strahlungsaustausch auch zwischen bestimmten Gasen stattfindet,
da es sonst keinen Treibhauseffekt geben könnte. Die Oberflächen emittieren und absorbieren
einen Teil der Strahlung. Der zwischen zwei Körpern übertragene Nettowärmestrom rad , 12
beträgt nach dem Strahlungsgesetz von Stefan-Boltzmann [Stefan 1879, Boltzmann 1884]:
‫ݍ‬ሶ ”ƒ†ǡͳʹ ൌ ߪͳʹሺܶଵସ െ ܶଶସ ሻ
2.74
Die Strahlungskonstante σ12 berücksichtigt die Geometrie und die Oberflächeneigenschaften
und beinhaltet zudem die Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5,67 . 10-8 W/m2 K. In Gleichung 2.74
ist zu beachten, dass die Temperaturen mit der vierten Potenz eingehen
Es gilt analog zur Bestimmung
der Wärmeübergangs- und daher unbedingt in K eingesetzt werden müssen. Bei Wärmeleitung
koeffizienten: Aufwand und
und der Konvektion ist es aufgrund des linearen Zusammenhanges unerNutzen abschätzen.
heblich, wenn die Temperaturen in °C eingesetzt werden – daher am besten immer in K rechnen, um Fehler zu vermeiden. Die Bestimmung der Geometrieabhängigkeit
der Strahlungskonstante ist bei mehreren Körpern sehr aufwändig. Hierzu wird auf
[Marek, Nitwsche 2007] verwiesen. Es gilt analog zur Bestimmung der Wärmeübergangskoeffizienten: Aufwand und Nutzen abschätzen. Bei der Bilanzierung von Maschinen und Anlagen
z. B. befinden sich diese im Strahlungsaustausch mit dem Dach, dem Hallenboden und den
Wänden. Natürlich findet genau genommen ein Strahlungsaustausch auch zwischen allen
Maschinen statt, die sich vereinfacht formuliert „sehen“. Zur exakten Berechnung der Wärmeströme durch Strahlungsaustausch müsste man den Abstand aller Maschinen untereinander
kennen, den Winkel der Strahlung austauschenden Oberflächen zueinander und die Flächen. Es
ist leicht einzusehen, dass dies zu maximaler Entropieerzeugung im Gehirn, verbunden mit
sofortiger Kapitulation, führen würde. Im ersten Schritt bietet sich die Annahme an, dass der
Wärmeaustausch lediglich mit den (vergleichsweise) großen Oberflächen Decke, Wand und
Hallenboden stattfindet. Sind die Oberflächentemperaturen bekannt, können diese flächenan46
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.3 Wärmeübertragung
teilig gemittelt werden. So erhält man mathematisch gesehen eine sehr große Oberfläche mit
einer einheitlichen Temperatur. Wer noch leichter zufriedenzustellen ist, rechnet einfach mit
der mittleren Temperatur der Hallenluft für die Oberflächen. Je besser die Bauteile wärmegedämmt sind, desto zulässiger ist diese Vereinfachung. Unter der Annahme, dass die Oberfläche der zu bilanzierenden Maschine sehr klein im Vergleich zur Gesamtoberfläche von
Decke, Wänden und Hallenboden ist, ergibt sich der durch Strahlung übertragene flächenspezifische Wärmestrom zu:
ସ
‫ݍ‬ሶ ”ƒ†ǡͳʹ ൌ ߪߝ൫ܶெସ െ ܶ௦௞௬
൯ 2.75
Tsky ist dabei, in Anlehnung an den Strahlungsaustausch mit dem Himmel, die Temperatur eines
gedachten „Fabrikhimmels“, also die flächengemittelte Temperatur der inneren Oberfläche der
Gebäudehülle. εM ist wiederum der Emissionskoeffizient der Maschinenoberfläche, der z. B.
über Messungen mit einer Thermografiekamera bestimmt werden kann. Multipliziert man den
flächenspezifischen Wärmestrom mit der am Strahlungsaustausch teilnehmenden Maschinenoberfläche Arad, 1 , so erhält man den gesamten durch Strahlung übertragenen Wärmestrom. Er
addiert sich zu dem durch Konvektion übertragenen Wärmestrom. Dabei müssen die Wärme
übertragenden Flächen nicht identisch sein. Stehen mehrere gleiche Maschinen nebeneinander,
so reduziert man z. B. die Strahlungsaustauschfläche jeweils um die gegenüberliegenden
Flächen. Dies gilt nicht zwingend im gleichen Maße für die Maschinenoberflächen, die über
Konvektion mit der Hallenluft Wärme austauschen. Die realen Gegebenheiten bestimmen hier
den richtigen Ansatz zur Vereinfachung. Insofern ergibt sich der gesamte von einer Maschinenoberfläche (M) mit seiner Umgebung ausgetauschte Wärmestrom zu:
ସ
൯ ൅ ‫‘ܣ‬ǡߙሺܶ െ ܶƒ„ሻ ܳሶ‰‡•ǡͳ ൌ ‫†ƒ”ܣ‬ǡߝߪ൫ܶெସ െ ܶ௦௞௬
2.76
Diese Gleichung wird häufig für die thermische Wechselwirkung von Maschinen bzw. Anlagen
und der Hallenluft verwendet. Die Maschinen besitzen aufgrund der eingesetzten Materialien
hohe thermische Speicherfähigkeiten und beeinflussen damit den Wärmehaushalt und die Temperaturverhältnisse der Hallen entscheidend. Hier soll nochmals angemerkt werden, dass meist
der in produzierenden Betrieben eingesetzte Strom am Ende seines „Lebensweges“ als innere
Wärmelast endet (sofern keine Kühlanlagen die Wärme vorher nach außen abführen).
Gleichung 2.76 verknüpft die Abwärme der Maschinen und Anlagen über die Wärmebilanz der
Hallenluft mit der technischen Gebäudeausrüstung (Heizung, Lüftung und Klimatisierung).
Dies kann sowohl über stationäre Bilanzen oder auch instationär erfolgen. Dazu müssen wir uns
jedoch wieder Wissen über die innere Energie und die Enthalpie aus der Thermodynamik
leihen. Hierzu mehr im Kapitel 4.
47
Wärmedurchgang
Der Wärmedurchgang ist keine eigenständige Transportform, sondern setzt sich aus Konvektion und Wärmeleitung zusammen. Er ist proportional zur treibenden Temperaturdifferenz und
einem Wärmedurchgangskoeffizienten Uth (früher k-Wert genannt), der in W/(m2 K) angegeben wird. Für eine ebene Wand aus einem Material errechnet er sich zu [Marek, Nitwsche 2007,
S. 27]:
ܷ–Š ൌ భ
ଵ
ഃ
భ
ା ା
ഀ ഊ ഀ
‹
2.77
ƒ
Bei mehrschichtigen Wandaufbauten (z. B. Hauswand mit Wärmedämmung):
2.78
αi und αa sind dabei die Wärmeübergangskoeffizienten an der Innen- und Außenwand. Der
Wärmestrom errechnet sich anlog zur Wärmeleitung zu
‫ݍ‬ሶ ൌ ܷ–Šሺܶ‹ െ ܶƒሻ
mit
ܶ‹ ൐ ܶƒ
2.79
In der Regel ist immer eines der drei Transportphänome (Wärmeübergang innen bzw. außen
und Wärmeleitung) maßgebend. Insofern kann sich der geübte Bilanzierer hier aufwändige
Berechnungen sparen. Ein Beispiel stellt z. B. ein Heizkörper dar. Der Wärmeübergang innen
(erzwungene Konvektion Wasser) kann ebenso wie die Wärmeleitung durch den Stahl im
Vergleich zum Wärmeübergang außen (Freie Konvektion Luft) vernachlässigt werden. Dementsprechend entspricht der Wärmedurchgangskoeffizient in etwa dem Wärmeübergangskoeffizient außen.
Wärmeübertrager
Wärmeübertrager unterscheiden sich bezüglich der Strömungsführung grundsätzlich durch
drei Bauprinzipien:
1. Gleichstrom
2. Gegenstrom
3. Kreuzstrom
Entsprechend der Namensgebung strömen beim Gleichstrom-Wärmeübertrager beide Fluide in
dieselbe Richtung, wohingegen diese beim Gegenstrom-Wärmeübertrager gegenläufig
strömen.
48
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.3 Wärmeübertragung
T
T
Gleichstrom
Gegenstrom
T1,E
T1,E
T1,A
∆Tgr
∆Tgr
∆Tkl
T2,A
T2,A
T1,A
T2,E
∆Tkl
T2,E
Fläche (A)
.
m2
.
m1
.
m2
Fläche (A)
.
m2
.
m1
.
m2
.
m2
.
m1
.
m2
.
m2
.
m1
.
m2
Abb. 2-8: Temperaturdifferenzen und Strömungsführung
bei Gleichstrom- und Gegenstrom-Wärmeübertragern
Die Berechnung des übertragenen Wärmestromes erfolgt bei beiden mit Hilfe der logarithmischen Temperaturdifferenz zu
mit
οܶŽ‘‰ ൌ
ሺο்‰”ିο்Žሻ
୪୬ሺ
ο೅‰”
ሻ
ο೅Ž
2.80/81
Die Temperaturdifferenzen in Gleichung 2.80 / 81 ergeben sich entsprechend Abbildung 2-8.
Beim Kreuzstrom-Wärmeübertrager strömen die Fluide folglich senkrecht zueinander. Die
Berechnung der übertragenen Wärmeströme ist bei dieser Bauart aufgrund der Strömungsführung deutlich komplizierter, zumal es unterschiedliche Unterarten gibt. Wir verweisen hierzu
an [Marek, Nitwsche 2007, S. 216ff.].
Bisher haben wir nur zeitunabhängige, also stationäre Wärmeaustauschvorgänge betrachtet. Die
grundlegenden Zusammenhänge bleiben auch bei instationären Bilanzierungen unverändert,
allerdings müssen wir dann die Bilanzierung von innerer Energie und Enthalpie der betrachteten Systeme mit einbeziehen. Dies erfordert die Kenntnis von Bilanzierungstechniken, die wir
in Kapitel 4 behandeln.
49
2.4 Strömungslehre
Eine der wesentlichen Grundlagen der Strömungslehre bilden die Navier-Stokes-Gleichungen,
aber keine Angst, so tief steigen wir nicht ein. Das überlassen wir den Autoren in [Eppler 1991,
Durst 2006]. Für die Berechnungen in diesem Buch reichen die Bernoulli-Gleichung (Energiehaltung in Strömungen) in vereinfachter Form und die Kontinuitätsgleichung als Massenbilanz
aus. Für stationäre Bedingungen ergibt sich die Bernoulli-Gleichung nach [Radespiel 2010] zu:
௣
ఘ
൅
௖ʹ
ଶ
൅ ݃‫ ݖ‬ൌ ݇‫ݐݏ݊݋‬Ǥ
2.82
Bei vernachlässigbarer potenzieller Energie wird ersichtlich, dass eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit (z. B. durch eine Querschnittsverringerung) zwangsläufig zu einer
Erniedrigung des Drucks führt. In Rohrleitungssystemen stellt sich dementsprechend der
höchste Druck = Staudruck dann ein, wenn alle Öffnungen verschlossen sind, also kein Fluid
entweicht.
Zusammen mit der (ebenfalls vereinfachten stationären) Kontinuitätsgleichung (2.83) als
Massenbilanz können nun einfache Beziehungen zwischen Druck, Geschwindigkeit und Durchflüssen aufgestellt werden.
݉ሶ ൌ ߩܿ‫ ܣ‬ൌ ݇‫ݐݏ݊݋‬Ǥ 2.83
Bei konstanter Dichte (inkompressible Flüssigkeiten) vereinfacht sich die Konti-Gleichung
(übliche sprachliche Kurzform) zu:
ܸሶ ൌ ܿ‫ ܣ‬ൌ ݇‫ݐݏ݊݋‬Ǥ
2.84
Damit ergeben sich bei gegebenen geometrischen Verhältnissen eindeutige Zusammenhänge
zwischen Druckverhältnissen und Durchflüssen, was in der Messtechnik gerne für die Durchflussbestimmung verwendet wird. Da wir bei der Bilanzierung von absoluten Enthalpieströmen
die Durchflüsse kennen müssen, benötigen wir für die Praxis auch ein Messverfahren, das uns
ermöglicht, diesen zu bestimmen. Zu diesem Zweck haben wir die Grundlagen zur Strömungslehre hier nochmals kurz aufgefrischt. Die zugehörigen Durchflussmessverfahren lernen wir im
nächsten Kapitel kennen.
50
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.5 Elektrotechnik
2.5 Elektrotechnik
Die edelste Energieform ist der elektrische Strom – das finden zumindest die Elektrotechniker.
Sie reden immer von Energie, meinen aber Strom, da für sie im tiefsten Inneren nur Strom die
einzig wahre, die edelste Energieform ist. Wenn man bedenkt, dass Strom Die edelste Energieform
zu 100 % in Wärme umgewandelt werden kann, klingt das auf den ersten ist der elektrische Strom.
finden zumindest die
Blick plausibel. Das sieht der Thermodynamiker naturgemäß etwas Das
Elektrotechniker.
anders, denn er weiß, mit welchen Verlusten der Strom erst aus Wärme
hergestellt wird. Dem Energiespezialisten in der Produktion muss das egal sein, wir müssen
diese Grabenkämpfe ignorieren und mit beiden Energieformen umgehen können. Daher benötigen wir auch zur Elektrotechnik einige Basics. Zum Glück begrenzt sich dies nur auf einen
kleinen Ausschnitt – die elektrische Leistung.
Solange wir uns im Bereich des Gleichstroms bewegen, ist die Bestimmung der Leistung P noch
trivial. Sie berechnet sich aus dem Produkt von Spannung U und Stromstärke I.
ܲ ൌ ܷ‫ܫ‬
2.85
Bei Wechselstrom ist es leider bekanntlich so, dass sowohl Strom als auch Spannung einen
sinusförmigen Verlauf haben, der im deutschen Stromnetz mit 50 Hz schwingt. Solange sich
nur ohmsche Widerstände im elektrischen Netz befinden, schwingen Strom und Spannung
gleichphasig. Sobald sich jedoch kapazitive oder induktive Lasten im Netz befinden, kommt es
zu einer Phasenverschiebung φ zwischen Strom und Spannung. Die Bestimmung der elektrischen Leistung wird dann etwas aufwändiger. Werden Strom und Spannung als Wechselgrößen
miteinander multipliziert, erhält man die mit doppelter Frequenz pulsierende Scheinleistung.
Diese enthält offensichtlich einen Anteil, der kurzzeitig eine Umkehr der Energieflussrichtung
verursacht. Mit Nutzung der trigonometrischen Funktionen kann die Scheinleistung in zwei
Bestandteile zerlegt werden. Die Wirkleistung kann Arbeit verrichten, weil ihr Mittelwert von
Null verschieden ist. Die Blindleistung hingegen schwankt periodisch um den Nullwert. Sie
kann daher keine Arbeit verrichten.
51
1,0
Wirkleistung
Scheinleistung
Blindleistung
normierte Leistung
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
- 0,2
Zeit in s
Abb. 2-9: Zusammenhang zwischen Schein-, Wirk- und Blindleistung [Stiny 2011 S. 285ff.]
In der Elektrotechnik ist es üblich, die Wechselstromrechnung (also das Rechnen mit sinusförmigen Wechselgrößen) mit Hilfe komplexer Zeiger im Bildbereich durchzuführen, da dies
wesentlich einfacher ist als die analytische Berechnung im Zeitbereich. Zum Anschluss der
Leistungsgrößen an die komplexe Wechselstromrechnung wurde die komplexe Scheinleistung S
eingeführt, die Wirk- bzw. Blindleistung (P und Q) in einer komplexen Größe zusammenfasst,
siehe Abbildung 2-10.
j Im (S)
S
jQ
φ
0
0
P
Re (S)
Abb. 2-10: Komplexe Darstellung von Schein-,
Wirk- und Blindleistung
52
Kap. 2 Grundlagen
und Rahmenbedingungen
2.5 Elektrotechnik
In der komplexen Zeigerdarstellung ist die Blindleistung Q durch die imaginären Anteile an der
Leistung beschrieben. Der Winkel φ zwischen den Zeigern von Wirk- und Blindleistung
entspricht der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Die Wirkleistung P ist die
für die Leistungsaufnahme der Maschinen und Anlagen relevante Größe und berechnet sich
als zeitlicher Mittelwert zu:
ܲ ൌ ܷ‫߮ •‘… ܫ‬
2.86
Als Blindleistung wird der Leistungsanteil eines Wechselstromkreises bezeichnet, der keine
nutzbare Arbeit verrichten kann. Sie dient zur Erzeugung elektrischer Ladungen und elektromagnetischer Felder und kann in elektrischen Verbrauchern nicht in andere Formen der Leistung umgewandelt werden. Daher gelangt die Energie „unverbraucht“ zum Erzeuger zurück.
Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch (Wechselstrom). Blindleistung ist ein Gleichgewicht
zwischen den kapazitiven und induktiven Netzanteilen. Sie wird daher manchmal auch als Pendelleistung beschrieben. Sie trägt somit zwar nicht zum realen Stromverbrauch bei, belastet
jedoch das Netz, da dieses auch diesen Leistungsanteil transportieren Blindleistung ist ein Gleichgemuss. Insofern müssen Unternehmen bei zu hohen Blindleistungsanteilen wicht zwischen den kapazitiven
auch hierfür bezahlen. Um dieses zu vermeiden, installieren große Unter- und induktiven Netzanteilen.
nehmen eine Blindleistungskompensation. Da die Blindleistungsanteile in der Regel durch induktive Lasten wie Motoren verursacht werden, dienen Kondensatoren als elektrotechnische
„Antipoden“ der Induktivitäten zur Kompensation.
Es ist geschafft, wir haben nun alle notwendigen Grundlagen aus den unterschiedlichen ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen aufgearbeitet, um Energieströme formelmäßig bestimmen
und bewerten zu können. Allerdings benötigen wir hierzu meist Hilfsgrößen wie Drücke, Temperaturen oder auch Durchflüsse. Aber woher nehmen? Dazu bedarf es geeigneter Messtechnik.
Ist diese schon installiert, kann man sich glücklich schätzen. Denn dann hat man es leicht und
muss sich die Daten nur besorgen. Für detailliertere Betrachtungen muss man sich die Daten
meist selbst beschaffen, wofür die zu besorgende Messtechnik geeignet sein muss. Dabei soll das
nächste Kapitel helfen. Sie erinnern sich? Die solide Datenbasis!
53
http://www.springer.com/978-3-8348-0448-8