Blatt 5 - Mathematisches Institut Heidelberg

WS 2016/2017
Höhere Mathematik für’s Studium der Physik 18. November 2016
Aufgabenblatt 5
Abgabe am 25.11. um 11:00 Uhr
Aufgabe 5.1 (Diagonalisierung symmetrischer Matrizen) (10 Punkte)
Diagonalisieren Sie die symmetrische Matrix


4 −2 2
A := −2 4 −2
2 −2 5
orthogonal und geben Sie die Transformationsmatrix B ∈ O(3) an bezüglich der B −1 AB eine
Diagonalmatrix ist.
Hinweis: Das charakteristische Polynom von A ist χA (x) = (x − 2)(x2 − 11x + 22).
Aufgabe 5.2 (punktweise und gleichmäßige Konvergenz) (3+3+4 Punkte)
(a) Sei D := [0, 1). Geben Sie eine Folge stetiger Funktionen fn : D → R an, deren punktweiser Grenzwert f stetig ist, die Folge fn aber nicht gleichmäßig gegen f konvergiert.
(b) Finden Sie auf dem Kompaktum K := [0, 1] eine Folge stetiger Funktionen fn : K → R,
deren punktweiser Grenzwert f existiert aber nicht stetig ist. Zeigen Sie dann, dass fn
nicht gleichmäßig konvergiert.
(c) Sei auf dem Kompaktum K := [0, 2] die Funktionenfolge

2

für x ∈ [0, n1 ),
n x,
fn : K → R,
fn (x) := 2n − n2 x, für x ∈ [ n1 , n2 ), .


0,
für x ∈ [ n2 , 2]
Bestimmen Sie die punktweise Grenzfunktion f der Funktionenfolge fn und zeigen Sie
dann, dass fn nicht gleichmäßig konvergiert.
Aufgabe 5.3 (Monotonie des Integrals) (je 5 Punkte)
Sei f : [a, b] → R stetig und nicht-negativ, d.h. f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b].
Z
(a) Zeigen Sie:
f (x)dx ≥ 0
[a,b]
(b) Zeigen Sie, dass in dieser Aussage genau dann Gleichheit
gilt, wenn f (x) = 0 ∀x ∈ [a, b].
R
(M.a.W.: Gilt f (x∗ ) > 0 für ein x∗ ∈ [a, b], so folgt [a,b] f (x)dx > 0.)
(Bitte wenden)
Prof. Johannes Walcher
Felipe Müller
1
Aufgabenblatt 5
10 Punkte pro Aufgabe
WS 2016/2017
Höhere Mathematik für’s Studium der Physik 18. November 2016
Aufgabe 5.4 (Treppenfunktionen) (je 5 Punkte)
Eine Funktion ϕ : Rn → R heisst Treppenfunktion, falls es endlich viele Quader Q1 , . . . , Qk
◦
◦
und reelle Zahlen ϕ1 , . . . , ϕk gibt mit der Eigenschaft, dass für i 6= j, Qi ∩ Qj = ∅ (d.h. die
Inneren der Quader sind paarweise disjunkt), und
ϕ=
k
X
ϕi χQi
(1)
i=1
Der Raum T (Rn ) der Treppenfunktionen ist ein Vektorraum. (Das müssen Sie nicht zeigen.)
(a) Zerlegen Sie für zwei beliebige Quader Q1 = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] und
Q2 = [c1 , d1 ] × · · · × [cn , dn ] die Summe χQ1 + χQ2 explizit in die Form (1).
(b) Zeigen Sie unter Benutzung von T (Rn ) = span{χQ | Q ⊂ Rn ein Quader}, dass
T (Rn+m ) = T (Rn ) ⊗ T (Rm )
Tipp: (b) ist unabhängig von und einfacher als (a).
Q1
Q2
Prof. Johannes Walcher
Felipe Müller
2
Aufgabenblatt 5
10 Punkte pro Aufgabe