Der optisch differenzierende Wellenfrontsensor

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Fakultät für Mathematik und Physik
Kiepenheuer-Institut für Sonnenphysik
Diplomarbeit im Fach Physik
Testaufbau eines neuen Sensors zur
Bestimmung der Wellenfrontdeformation in optischen Sonnenteleskopen
Dirk Schmidt
April 2006
Betreut von Professor Dr. O. von der Lühe
»Klein φ macht auch Mist.«
Dieter Sommer
Physik-Lehrer
am Kepler-Gymnasium Freiburg
Inhaltsverzeichnis
Nomenklatur
9
1. Einleitung
11
2. Abriss der Fourier-Optik
2.1. Skalare Beschreibung elektromagnetischer Wellen . . .
2.1.1. Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Sphärische Wellen . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Zerlegung in ebene Wellen . . . . . . . . . . .
2.1.4. Amplitudentransmission . . . . . . . . . . . .
2.2. Skalare Beugungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Beugung in der Rayleigh-Sommerfeld-Region
2.2.2. Beugung in der Fresnel-Region . . . . . . . .
2.2.3. Beugung in der Fraunhofer-Region . . . . . .
2.2.4. Optische Fourier-Transformation . . . . . . . .
2.3. Sphärische Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Amplitudentransmission . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Linsen und Beugung . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Abbildungen mit inkohärentem Licht . . . . . . . . . .
2.4.1. Kenngrößen abbildender Systeme . . . . . . .
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3. Adaptive Optik in der Astronomie
3.1. Motivation und Entwicklung der Adaptiven Optik . . . . . . . . . .
3.2. Beobachtungen durch die Erdatmosphäre . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Atmosphärische Einflüsse auf astronomische Beobachtungen
3.2.2. Beschreibung der turbulenten Atmosphäre . . . . . . . . . .
3.2.3. Modale Beschreibung der Wellenfront . . . . . . . . . . . .
3.3. Die Funktionsweise adaptiver Optik . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Klassische Adaptive Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Anisoplanatismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Wellenfrontmessung in der Sonnenbeobachtung . . . . . . . . . . .
3.4.1. Modale Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Zonale Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Der Hartmann-Shack Wellenfrontsensor . . . . . . . . . . .
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5
Inhaltsverzeichnis
4. Wellenfrontmessung mittels optischer Differentiation
4.1. Die Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Allgemeine analytische Beschreibung . . . . . . . . . .
4.2.1. Die Intensität in der Austrittspupille . . . . . . .
4.3. Die Maske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Intensitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Binäre Masken . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Wellenfrontrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Einbau im Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Flüssigkristallanzeigen
5.1. Flüssige Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. TFT-LC-Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. Versuchsaufbau
6.1. Skizze und Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Der Videoprojektor . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Beugung am LCD-Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Die Amplitudentransmission eines LCD-Panels . .
6.2.2. Das Beugungsmuster des LCD-Panels . . . . . . .
6.3. Der deformierbare Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. Die Form der Membran . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2. Ansteuerung des OKO-Spiegels . . . . . . . . . .
6.4. Das Twyman-Green Interferometer . . . . . . . . . . . . .
6.4.1. Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2. Bemerkungen zur Verwendung des Interferometers
6.5. Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1. Programm zur Steuerung des Wellenfrontsensors .
6.5.2. Programm zur Auswertung der Sensordaten . . . .
6.5.3. Programm zur Auswertung der Spiegelform . . . .
6.5.4. Programm zur grafischen Darstellung der Daten . .
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7. Durchführung
7.1. Interferometrische Bestimmung der Spiegelform als Referenz .
7.1.1. Kalibrierung des Interferometers . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Schwierigkeiten bei der interferometrischen Messung .
7.2. Einrichtung und Vermessung des OKO-Spiegels . . . . . . . .
7.3. Justierung des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Wellenfrontsensortestmessungen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. Messreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8. Ergebnisse
8.1. Spiegelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Auswertung der Interferometerdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Reproduzierbarkeit der Membranform . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
8.1.3. Membranformen und ihre Ableitungen . . . . . . .
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Verhalten beim Vorzeichenwechsel der Aberrationen
8.2.2. Vergleich zweier identischer Messreihen . . . . . . .
8.2.3. Auswirkungen der Objektstruktur . . . . . . . . . .
8.2.4. Unscharfe Objektstrukturen . . . . . . . . . . . . .
8.2.5. Vergrößerung der Objektstruktur auf dem LCD . . .
8.2.6. Vergrößerung des Gesichtsfelds . . . . . . . . . . .
8.2.7. Variation der Amplitude . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.8. Vergleich mit numerischer Simulation . . . . . . . .
8.3. Zusammenfassung und Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Zernike-Polynome
A.1. Explizite Form . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Grafische Darstellung . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Ableitungen der Zernike-Polynome . . . . . .
A.3.1. Ableitungen in kartesichen Koordianten
A.3.2. Die Nollschen Matrizen . . . . . . . .
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B. Verkabelung des OKO-Spiegels
115
Abbildungsverzeichnis
117
Tabellenverzeichnis
119
Literaturverzeichnis
121
Danksagung
123
7
Nomenklatur
Symbole
c
λ
f
~x = (x, y, z)
e
k
Vakuumlichtgeschwindigkeit
Wellenlänge
Brennweite einer Linse
Ortsraumkoordinaten
Euler-Zahl
ω=
Wellenzahl
Kreisfrequenz
Aperturduchmesser
Frequenzraumkoordinaten
imaginäre Einheit
2πc
λ
D
~s = (ξ, η)
i
Operationen
Komplexe Konjugation: w := a + i b ⇒ w∗ = a − i b
Z∞Z
Faltung: f (~x) ∗ h(~x) :=
f (~x0 ) h(~x − ~x0 ) dx0 dy 0
−∞
Z∞Z
Kreuzkorrelation: f (~x) ? g(~x) :=
(0.1)
(0.2)
f (~x0 ) g(~x + ~x0 ) dx0 dy 0
(0.3)
−∞
Z∞Z
Kreuzkovarianzfunktion Cf g (~x) :=
f (~x0 ) g ∗ (~x + ~x0 ) dx0 dy 0
(0.4)
−∞
Z∞Z
Fourier-Transformation: F{f (~x)} := F (~s) :=
f (~x) e −i 2π ~s·~x dx dy
−∞
Z∞Z
Rücktransformation: F −1 {F (~s)} := f (~x) :=
F (~s) e +i 2π ~s·~x dξ dη
(0.5)
(0.6)
−∞
Faltungstheorem: F{f (~x) ∗ h(~x)} = F (~s) H(~s)
(0.7)
Abkürzungen
Bi,l :=
e ikzi,l
iλzi,l
zi,j := zj − zi
2
2
q (x, y; a) := e iπa[x +y ]
(
1 wenn i = j
δi,j :=
0 wenn i 6= j
r :=
p
x2 + y 2
9
Skalare Funktionen
Kammfunktion: comb(x) :=
∞
X
δ(x − n);
comb(x, y) := comb(x) comb(y)
n=−∞


wenn x < 1
1
Rechteckfunktion: rect(x) := 0, 5 wenn x = 1 ;


0
wenn x > 1
Sinc-Funktion: sinc(x) :=
Sombrerofunktion:
Zylinderfunktion:
10
sin(πx)
;
πx
rect(x, y) := rect(x) rect(y)
sinc(x, y) := sinc(x) sinc(y)
2 J1 (πr)
mit J1 (r) Bessel-Funktion 1. Art
somb(r) :=
 πr

wenn r < 1
1
cyl(r) := 0, 5 wenn r = 1


0
wenn r > 1
1. Einleitung
»Funkle, funkle, kleiner Stern,
wer du bist, wüßt’ ich so gern.«
(Jane Taylor, 1806)
Die Sonne ist der uns nächstliegende Stern. Der zweitnächste Stern, Proxima Centauri, ist bereits über zwei Millionen mal weiter von der Erde entfernt als die Sonne. Die meisten Sterne
in unserer Galaxie sind nochmals um einige Größenordnungen weiter entfernt. Die Oberfläche der Sonne weist Feinstrukturen der Größenordnung 100 Kilometer auf. Von der Erde
aus erscheint diese typische Skala unter einem Winkel von etwa 1/10 Bogensekunde. Dies
entspricht im sichtbaren Licht auch der ungefähren Beugungsgrenze der Winkelauflösung eines 1-Meter-Teleskops. Um die feinskaligen Strukturen auf entfernten Sternen untersuchen
zu können, wären Teleskope mit einer Öffnung größer als unser ganzer Planet notwendig.
Bis zur Realisierung fantastisch anmutender Weltraumobservatorien ist die Sonne das einzige
Labor, mit dem experimentelle Stellarphysik bei feinen Skalen gemacht werden kann, deren
Erkenntnisse von großer Bedeutung auch für das Verständnis fremder Sterne sind.
Eine beugungsbegrenzte Auflösung wird jedoch schon bei Teleskopdurchmessern ab etwa
10-20 Zentimetern von der Luft der Erdatmosphäre erschwert. Bei der Beobachtung durch
die Erdatmosphäre wird die erreichbare Winkelauflösung unabhängig vom Teleskop aufgrund
turbulenter Geschwindigkeitsfelder mit geringen lokalen Temperaturfluktuationen auf etwa eine Bogensekunde beschränkt. Denn diese Temperaturfluktuationen führen zu Schwankungen
des Brechungsindex’, die die optische Weglänge innerhalb von Millisekunden verändern und
somit die gradlinige Ausbreitung von Licht beeinflussen, mit der Folge, dass ebene Wellenfronten beim Durchlaufen der Erdatmosphäre verformt werden. Der gleiche Effekt kann am
Horizont über einer stark aufgeheizten Straße oder über einer Kerzenflamme betrachtet werden. Die deutlichste Auswirkung dieses sog. Seeings ist dabei eine zufällige Bewegung des
Ojektbildes in der Bildebene des Teleskops. Beim Betrachten eines Sterns sind zudem noch
Phantombilder, die sog. Speckles, erkennbar.
Seit Begin der 1970er Jahre versuchen Astronomen mit statistischen Mehoden Kurzeitaufnahmen auf geeignete Art und Weise zu mitteln, um diese störenden Einflüsse der Erdatmosphäre im Nachhinein herauszurechen. Dies ist unter dem Namen Speckle-Interferometrie
bekannt.
Die Adaptive Optik, die seit den 1990er Jahren Einzug in die Astronomie hält, soll das
Seeing in Echtzeit und optisch kompensieren, so dass bereits das aufzunehmende Bild im Idealfall beugungsbegrenzt aufgelöst ist (siehe Abbildung 1.1). In optisch adaptiven Systemen
wird dazu die optische Weglänge – z. B. mit einem deformierbaren Spiegel – entsprechend der
Wellenfrontverformung korrigiert. Zur Bestimmung dieser Verformung wird ein Wellenfrontsensor benötigt.
11
1. Einleitung
Abbildung 1.1.: Zwei fotografische Aufnahmen im G-Band des selben Sonnenflecks bei normalen
Seeing (links) und bei angeschalteter adaptiver Optik (rechts). Die Bilder zeigen einen Ausschnitt von
etwa 6000 × 6000 . Aufnahme: Kasia Mikurda (KIS) am Vacuum Tower Telescope (VTT) mit dem Kiepenheuer Adaptive Optics System (KAOS), 2003.
Momentan werden in der Sonnenphysik nur Hartmann-Shack Wellenfrontsensoren eingesetzt. Diese können jedoch nicht flexibel an die gegebenen Seeingverhältnisse angepasst werden. Mit dieser Diplomarbeit soll ein neuartiger, optisch differenzierender Wellenfrontsensor
(Optical Differentiation Wavefront Sensor) für die Sonnenbeobachtung auf Basis einer Flüssigkristallanzeige experimentell aufgebaut und getestet werden, der in dieser Hinsicht nicht
eingeschränkt ist. Entsprechende Flüssigkristallanzeigen finden heutzutage in Videoprojektoren breite Verwendung und sind zu niedrigen Preisen zu erwerben. Für den Test wird der
Wellenfrontsensor auf ein künstliches Beobachtungsziel gerichtet und in den Lichtweg eine
bekannte Aberration eingeführt, die der Sensor erkennen soll.
In Kapitel 2 über Fourier-Optik werden die grundlegenden Modelle der Lichtausbreitung
und Bildentstehung, die für das Verständnis des Wellenfrontsensors wichtig sind, aufgeführt.
Im darauffolgenden Kapitel 3 werden die auflösungsbeschränkenden Einflüsse der Erdatmosphäre erläutert und wie die Adaptive Optik diese kompensiert. In Kapitel 4 wird das Prinzip
der optischen Wellenfrontdifferentiation erklärt. In Kapitel 5 werden die für diese Arbeit wichtigen Eigenschaften von Flüssigkristallen bzw. Flüssigkristallanzeigen behandelt. Der Testaufbau des Wellenfrontsensors wird detailliert in Kapitel 6 vorgestellt. Die Vorgehensweise bei
der experimentellen Durchführung und die Ergebnisse sind in den Kapiteln 7 und 8 dargestellt.
12
2. Abriss der Fourier-Optik
»Fouriers Theorem ist nicht nur eines der schönsten Ergebnisse
der modernen Analysis, sondern es könnte ein unabkömmliches
Instrument der Behandlung fast jeder tiefgründigen Frage der
modernen Physik liefern.«
(Lord Kelvin, 1867)
Die Fourier-Optik beschreibt die Ausbreitung von Licht im freien Raum. Sie beruht auf der
skalaren Theorie des Lichts, die nur die Amplitude der elektromagnetischen Feldvektoren betrachtet. Die Fourier-Optik kann daher keine Beschreibung für Polarisationszustände liefern.
Für die Behandlung der Lichtausbreitung im freien Raum ist die Polarisation jedoch nicht von
Bedeutung. In diesem Kapitel werden kurz die Grundlagen der Fourier-Optik, die dem Verständnis der Beugung und der Bildentstehung in einem Teleskop dienen, in Anlehnung an das
Buch Linear Systems, Fourier Transforms and Optics von Jack D. Gaskill ([5]) dargestellt.
2.1. Skalare Beschreibung elektromagnetischer
Wellen
Die elektrische Feldamplitude E : R3 ×R 7→ R einer monochromatischen, linear polarisierten
elektromagnetischen Welle wird durch
E(~x, t) = a(~x) cos(ω0 t − φ(~x))
(2.1)
e : R3 × R 7→ C
beschrieben, wobei ~x = (x, y, z) ist. Die komplexe Darstellung E
e x, t) = a(~x)e i[ω0 t−φ(~x)] = a(~x)e −iφ(~x) · e iω0 t ,
E(~
(2.2)
n
o
e x, t) ist, erleichtert die folgenden Rechnungen: Der stationäre Term
so dass E(~x, t) = < E(~
u(~x) := a(~x)e iφ(~x)
(2.3)
wird komplexe Amplitude genannt. In der komplexen Schreibweise separiert die Feldamplitude
also im Ort und in der Zeit, so dass
e x, t) = u∗ (~x) · e iω0 t
E(~
(2.4)
e also immer einfach durch die Multiplikation der
ist. Da sich das zeitliche Verhalten von E
∗
iω0 t
komplexen Amplitude u (~x) mit e
ergibt, genügt es im Folgenden nur die komplexe Amplitude u(~x) zu betrachten.
13
2. Abriss der Fourier-Optik
Die Strahlungsleistung I : R3 7→ R+ einer elektromagnetischen Welle ist definiert durch
2 e
2
= |u(~x)| .
(2.5)
x, t)
I(~x) := E(~
t
Sie gibt die pro Fläche und Zeit durch eine elektromagnetische Welle transportierte Energie
an und hat die Einheit W/m2 .
2.1.1. Ebene Wellen
Die Feldamplitude einer unendlich ausgedehnten Welle mit fester Amplitude A, die sich mit
der Wellenlänge λ in Richtung ~k ausbreitet, wird durch
E(~x, t) = A cos(ω0 t − ϕ − ~k · ~x)
(2.6)
beschrieben. Eine Welle nach Gleichung (2.6) hat ebene Wellenfronten und wird ebene Welle
genannt. Ihre Phase im Koordinatenursprung ist ϕ und für den Wellenvektor ~k gilt
~k = 2π (γx , γy , γz ) ,
λ
mit γx2 + γy2 + γz2 = 1 .
(2.7)
Ist αi der Winkel zwischen der i-ten Koordinatenachse und der Ausbreitungsrichtung ~k, dann
ist
γi = cos αi , mit i ∈ {x, y, z} .
(2.8)
Die komplexe Amplitude einer ebenen Welle ist in kartesischen Koordinaten gegeben durch
u(x, y, z) = Ae iϕ e ikγz z · e ik[γx x+γy y] .
(2.9)
Der rechnerischen Einfachheit halber sei im Folgenden das kartesische Koordinatensystem
stets so definiert, dass seine positive z-Achse mit der Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle
übereinstimmt. Zuweilen wird im Folgenden die Abkürzung
ui (x, y) := u(x, y, zi )
(2.10)
für die komplexe Amplitude in einer festen Ebene mit z = zi benutzt. Für eine ebene Welle,
die sich entlang der z-Achse ausbreitet gilt somit:
ui (x, y) = A e iϕ e ikzi
(2.11)
Weiterhin soll gelten:
i > l ⇒ zi > zl
Anmerkung: Ebene Wellen sind eine Idealisierung und – da sie insbesondere keiner ausgezeichneten Quelle entspringen und ihre Energie nicht endlich ist – unphysikalisch. In Abschnitt 2.1.3 wird erläutert, dass ebene Wellen nicht nur als Näherung Verwendung finden,
sondern dass sie – für die exakte und bequeme Beschreibung beliebiger physikalischer Wellen
dienend – von grundlegender Bedeutung für die Fourier-Optik sind.
14
2.1. Skalare Beschreibung elektromagnetischer Wellen
2.1.2. Sphärische Wellen
Nach dem Prinzip von Huygens und Fresnel ist jeder Punkt einer Wellenfront der Ursprung
einer sphärischen Elementarwelle, die auch unter dem Namen Huygens-Wavelet bekannt ist.
Es ist die Überlagerung dieser Elementarwellen, durch die Beugungseffekte in Abschnitt 2.2
erklärt werden können. Die komplexe Amplitude einer sphärischen Welle, die von dem Punkt
(α, β, 0) ausgeht, wird durch
u(x, y, z) = D cos ψ
e ikR
R
(2.12)
beschrieben, wobei
s
R := z
1+
x−α
z
2
+
y−β
z
2
!
λ
(2.13)
der Abstand des Punktes (x, y, z) von der Quelle ist und
cos ψ :=
z
R
(2.14)
der Inklinationsfaktor. Ist z > 0, so beschreibt Gleichung (2.12) eine sphärische Welle, die
vom Punkt (α, β, 0) aus divergiert, ist z < 0, beschreibt Gleichung (2.12) eine sphärische
Welle, die auf den Punkt (α, β, 0) konvergiert.
2.1.3. Zerlegung in ebene Wellen
Die komplexe Amplitude ui (x, y) einer beliebigen, aber physikalischen Welle ist immer Fourier-transformierbar. Ist Ui (ξ, η) := F {ui (x, y)} die Transformierte von ui (x, y), dann lässt
sich ui (x, y) wiederum als Rücktransformation darstellen:
ZZ
ui (x, y) = F −1 {Ui (ξ, η)} =
Ui (ξ, η) e i 2π[ξx+ηy] dξ dη
(2.15)
Nach Gleichung (2.9) beschreibt der Exponentialterm
e i 2π[ξx+ηy] eine ebene Welle mit Amp
2
2
plitude 1, die sich in Richtung (λξ, λη, 1 − λ [ξ + η 2 ]) ausbreitet.
Die komplexe Amplitude ui (x, y) einer physikalischen Welle kann als lineare Superposition sich in verschiedene Richtungen ausbreitender, ebener
Wellen verstanden werden. Ui (ξ, η) wird deswegen auch Winkelspektrum
von ui (x, y) genannt.
2.1.4. Amplitudentransmission
Die Wirkung einer Transparenz – bspw. einer Blende oder eines Dias – auf eine Welle wird
durch die komplexe Amplitudentransmission t : R2 7→ C beschrieben. Ist u− (x, y) die komplexe Amplitude der Welle unmittelbar vor der Blende und u+ (x, y) die komplexe Amplitude
15
2. Abriss der Fourier-Optik
unmittelbar hinter der Blende, so ist die komplexe Amplitudentransmission definiert als
t(x, y) :=
u+ (x, y)
.
u− (x, y)
(2.16)
Unter Kenntnis der komplexen Amplitudentransmission eines Objektes lässt sich die auslaufende Welle aus u+ (x, y) = t(x, y)u− (x, y) bestimmen. Da eine Transparenz ein passives
Element ist, gilt darüber hinaus
2
|t(x, y)| ≤ 1 .
Das bedeutet: eine Transparenz kann die Amplitude ortsabhängig schwächen und eine ortsabhängige Phasenverschiebung einführen.
2.2. Skalare Beugungstheorie
Trifft eine ebene Welle im freien Raum senkrecht auf eine Blende, deren Öffnung deutlich
größer als ihre Wellenlänge ist, so lassen sich auf einem Schirm nach der Blende interessante
Helligkeitsverteilungen beobachten. Diese sog. Beugungsmuster verändern ihren Charakter
mit wachsender Entfernung zwei Mal. Der gesamte Bereich hinter der Blende wird RayleighSommerfeld-Region genannt. In der Nähe der Blende entspricht die Helligkeitsverteilung in
etwa dem Quadrat der Transmission der Blende. In größerer Entfernung, der sog. FresnelRegion, werden Beugungseffekte aufgrund des Huygens-Fresnelschen Prinzips signifikant und
deutliche Variationen in der Helligkeit treten auf. In noch größerer Entfernung scheinen die
Muster glatter, und es treten darüber hinaus auch völlig dunkle Bereiche auf. Dieser Bereich
heißt Fraunhofer-Region.
2.2.1. Beugung in der Rayleigh-Sommerfeld-Region
Die Beugungsformel von Rayleigh und Sommerfeld beschreibt das Ausbreiten einer optischen
Welle zwischen zwei beliebigen Ebenen: Ist u1 (x, y) die komplexe Amplitude in der Ebene
mit z = z1 , dann ist die Amplitude in einer Ebene mit z = z2 gegeben durch
Z∞ Z∞
u2 (x, y) =
u1 (x0 , y 0 )
−∞ −∞
1
z12
e ikr12 dx0 dy 0
−i
2
kr12
λr12
,
(2.17)
wobei die Abkürzungen
s
z12 := z2 − z1 ,
r12 := z12
x − x0
1+
z12
2
y − y0
+
z12
2
(2.18)
benutzt werden. Ist r12 λ, vereinfacht sich Gleichung (2.17) zu
Z∞ Z∞
u2 (x, y) ≈
−∞ −∞
16
u1 (x0 , y 0 )
z12 ikr12 0 0
dx dy
2 e
iλr12
.
(2.19)
2.2. Skalare Beugungstheorie
2
Nach den Gleichungen (2.12) und (2.13) beschreibt 1/r12
e ik12 r eine sphärische Welle, die
0 0
sich vom Punkt (x , y , z1 ) ausbreitet. Gleichung (2.19) liefert somit eine mathematische Beschreibung des Prinzips von Huygens und Fresnel, nach dem sich Elementarwellen zu einer
neuen Welle superpositionieren.
Das Doppelintegral in Gleichung (2.19) ist ein Faltungsintegral, so dass
u2 (x, y) = u1 (x, y) ∗ h12 (x, y)
(2.20)
mit der Abkürzung
s
(
x2
y2
1+
+
z12
z12
exp ikz12
h12 (x, y) :=
)
s
iλz12
(2.21)
y2
x2
+
1+
z12
z12
geschrieben werden kann. Gleichung (2.20) beschreibt die Antwort des linearen, ortsunabhängigen Systems freier Raum zwischen z1 und z2 auf eine Anregung durch die komplexe
Amplitude u1 (x, y). Die Funktion h12 (x, y) ist dann als Impulsantwort dieses Systems zu
interpretieren.1
Das Faltungsintegral in Gleichung (2.19) ist i. Allg. schwierig zu berechnen. Da aber für
lineare, ortsunabhängige Systeme die Impulsantwort h12 (x, y) aus der Transferfunktion
H12 (ξ, η) = F {h12 (x, y)}
(2.22)
des Systems durch eine inverse Fourier-Transformation gegeben ist, lässt sich u2 (x, y) wegen
des Faltungstheorems bequem mit der Gleichung
u2 (x, y) = F −1 {U1 (ξ, η) H12 (ξ, η)}
(2.23)
ausrechnen.
Transferfunktion des freien Raums
Die Transferfunktion H12 (ξ, η) des freien Raumes zwischen z1 und z2 wird aus folgender
Überlegung gewonnen:
p Für die Phasen ϕl und ϕi einer ebenen Welle, die sich unter dem
Winkel αz = arccos( 1 − λ2 [ξ 2 + η 2 ]) zur z-Achse zwischen den beiden Ebenen zl und zi
ausbreitet, gilt nach Gleichung (2.9):
ϕl = ϕ + kγz zl ,
ϕi = ϕ + kγz zi
p
⇒ ϕl − ϕi = kγz [zl − zi ] = k 1 − λ2 [ξ 2 + η 2 ] [zl − zi ] =: ∆φ(ξ, η)
(2.24)
Bei der Ausbreitung im freien Raum erfährt eine elektromagnetische Welle also eine Phasenverschiebung in Abhängigkeit von ihrer Ortsfrequenz. Daraus ergibt sich für den freien Raum
zwischen den Ebenen zi und zl die Übertragungsfunktion
√ 2 2 2
Ul (ξ, η)
= e i ∆φ(ξ,η) = e ik 1−λ [ξ +η ] [zl −zi ] .
(2.25)
Hi,l (ξ, η) =
Ui (ξ, η)
1 Zum
Hintergrund dieser Betrachtungsweise sei an dieser Stelle auf [5] verwiesen.
17
2. Abriss der Fourier-Optik
2.2.2. Beugung in der Fresnel-Region
Bisher wurden keine Forderungen an die Ausdehnung von u1 (x, y) gestellt. Da reale Lichtquellen aber immer endlich groß sind und in Experimenten häufig Blenden zum Einsatz kommen, erscheint es plausibel, u1 (x, y) auf ein Gebiet zu beschränken. Befinde sich also in der
Ebene z1 eine Blende mit der Transmission t1 (x, y) und der maximalen radialen Ausdehnung
L1 , so muss für die komplexe Amplitude u+
1 (x, y) unmittelbar nach der Blende
p
x2 + y 2 > L1
(2.26)
u+
1 (x, y) = 0 , wenn
gelten. In der Praxis ist die komplexe Amplitude der fortschreitenden Welle ebenfalls nur in
einem beschränkten Bereich
p
x2 + y 2 6 L2
(2.27)
der Ebene z2 interessant. Diese beiden Einschränkungen ergeben zusammen
[x − x0 ]2 + [y − y 0 ]2 6 [L1 + L2 ]2 ,
(2.28)
wobei (x, y) die Koordinate in der Ebene z2 bezeichnet und (x0 , y 0 ) die Koordinate in der
Ebene z1 . Die Reihenentwicklung von kr12 mit r12 aus Gleichung (2.18) lautet
s
2 2
x − x0
y − y0
k r12 = k z12 1 +
+
z12
z12
k (2.29)
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2
≈ k z12 +
2 z12
2
k (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 .
−
3
8 z12
Durch Erfüllen der 1. Fresnelschen Bedingung
3
π [L1 + L2 ]4
4λ
!
|z12 | (2.30)
wird der dritte Term in (2.29) wesentlich kleiner als ein Radiant und wird vernachlässigt, d. h.
k r12 ≈ k z12 +
k (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 .
2 z12
(2.31)
Darüber hinaus sei der Abstand z12 zwischen Blende und Beobachtungsebene deutlich größer
als die lateralen Ausdehnungen des Experiments, so dass auch die 2. Fresnelsche Bedingung
!
|z12 | L1 + L2
(2.32)
2
erfüllt ist. Nach Gleichung (2.28) folgt dann [x − x0 ]2 + [y − y 0 ]2 z12
, und es folgt aus
Gleichung (2.29)
2
2
r12
≈ z12
.
(2.33)
18
2.2. Skalare Beugungstheorie
Die beiden sog. Fresnelsche Näherungen aus den Gleichungen (2.31) und (2.33) vereinfachen
die Rayleigh Sommerfeld Gleichung aus (2.19) zum Fresnelschen Beugungsintegral
e ikz12
u2 (x, y) =
ikz12
Z∞ Z∞
0 0
u+
1 (x , y )
π
[(x−x0 )2 +(y−y0 )2 ] 0 0
λz
12
·e
dx dy
i
(2.34)
−∞ −∞
und Gleichung (2.21) zur Impulsantwort des freien Raumes in der Fresnelschen Näherung
1
h12 (x, y) = B12 q x, y;
(2.35)
λz12
mit
Bi,l :=
e ikzi,l
,
iλzi,l
2
q (x, y; a) := e iπa[x
+y 2 ]
.
(2.36)
Durch Fourier-Transformation ergibt sich die Transferfunktion
H12 (ξ, η) = F{h12 (x, y)} = e ikz12 e −iπλz12 [ξ
2
+η 2 ]
= e ikz12 q ∗ (ξ, η; λz12 ) .
(2.37)
Um Beugungsmuster in einem radialen Bereich von 20 cm nach den Fresnelschen Bedingungen beobachten zu können, ist für eine Blende mit 2 cm Durchmesser bei Beleuchtung
durch eine ebene Welle mit λ = 500 nm ein Abstand z12 ≈ 30 m erforderlich.
Sphärische Wellen in der Fresnelschen Näherung
Unter Anwendung der Fresnelschen Näherungen (Gl. (2.31) u. (2.33)) auf eine Kugelwelle
(Gl. (2.12)), die vom Punkt (0, 0, z1 ) ausgehend divergiert, ergibt sich für die komplexe Amplitude in einer Ebene z = z2 in der Fresnel-Region:
π 2 2
D ikz12 i λz [x +y ]
D ikz12
1
12
u2 (x, y) ≈
e
e
=
e
q x, y;
z12
z12
λz12
(2.38)
2.2.3. Beugung in der Fraunhofer-Region
Wird nun sogar gefordert, der Abstand z12 von Blende und Beobachtungsebene solle viel
größer als die Blendenöffnung sein, so dass die Fraunhofersche Bedingung
!
|z12 | πL21
λ
(2.39)
erfüllt ist, wird aus dem Phasenfaktor im Fresnelschen Beugungsintegral aus Gleichung (2.34)
π π
2π
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 ≈
[x2 + y 2 ] −
[xx0 + yy 0 ] ,
λ z12
λ z12
λ z12
(2.40)
19
2. Abriss der Fourier-Optik
und das Fresnelsche Integral vereinfacht sich zur Fraunhoferschen Beugungsformel:
2π
π 2 2 Z∞ Z∞
−i
[xx0 +yy 0 ]
e ikz12 i λz [x +y ]
+
0
0
12
u1 (x , y ) · e λz12
u2 (x, y) =
dx0 dy 0
e
ikz12
−∞ −∞
{z
}
|
=U1+
1
⇔ u2 (x, y) = B12 q x, y;
λ z12
“
x
λ z12
U1+
, λ zy
(2.41)
”
12
y
x
,
λz12 λ z12
(2.42)
Die komplexe Amplitude in der Fraunhofer-Region ist nach Gleichung (2.42) also proportional zur Fourier-transformierten Amplitude direkt im Anschluss an die Blende. Somit bildet
die komplexe Amplitude in der Fraunhofer-Region das Winkelspektrum der Amplitude im
Anschluss an die Blende ab. Dem Ort (x, y) in der Ebene z2 entspricht dabei die Frequenz
(x/[λz12 ], x/[λz12 ]). Die komplexe Amplitude u2 (x, y) p
gibt somit den Beitrag der ebenen
Welle mit der Ausbreitungsrichtung (x/[λz12 ], y/[λz12 ], 1 − [x2 + y 2 ]/z12 ) zur Amplitude u+
1 in der Blende an.
2.2.4. Optische Fourier-Transformation
i[kz1 +ϕ]
Wird die Transparenz t1 (x, y) mit einer ebenen Welle u−
senkrecht be1 (x, y) = A e
+
leuchtet, dann ist die komplexe Amplitude u1 (x, y) im Anschluss an die Transparenz nach
Gleichung (2.16)
i[kz1 +ϕ]
u+
t1 (x, y) .
(2.43)
1 (x, y) = A e
Ihre Fourier-Transformierte lautet
U1+ (ξ, η) = A e i[kz1 +ϕ] T1 (ξ, η) .
(2.44)
Somit ist nach Gleichung (2.42) die komplexe Amplitude in der Fraunhofer-Region proportional zur Fourier-Transformierten Transmissionsfunktion T1 multipliziert mit dem quadratischen Phasensignal q. Das Betragsquadrat von Gleichung (2.42)
1
I2 (x, y) = |u2 (x, y)| =
λz12
2
2 2
+
x
y
U
1 λz12 , λz12 (2.45)
entspricht der Helligkeitsverteilung auf einem Schirm an der Position z2 in der FraunhoferRegion. Das Einsetzen von Gleichung (2.44) führt auf:
I2 (x, y) =
2
2
|A|
x
y
T1
,
2
(λz12 )
λz12 λz12 Die Helligkeitsverteilung in der Fraunhofer-Region einer gebeugten ebenen Welle entspricht dem Powerspektrum der beugenden Transmission.
20
(2.46)
2.3. Sphärische Linsen
Linse
x
Ausgangspunkt
konjugierter Punkt
z
z1
z2
z3
Abbildung 2.1.: Wirkung einer sphärischen Linse auf eine Kugelwelle
2.3. Sphärische Linsen
Linsen sind das wichtigste und bekannteste optische Bauelement. Mit ihrer Hilfe können abbildende Systeme wie Teleskopobjektive realisiert werden. In der geometrischen Optik sind
sie lediglich refraktive optische Elemente zur Beeinflussung der gradlinigen Ausbreitung von
Licht. In der Fourier-Optik wird die Funktion von sphärischen Linsen als Spekralanalysator2
interpretiert. Eine sphärische Linse wandelt nach Definition eine einfallende Kugelwelle in
eine auslaufende Kugelwelle mit verändertem Krümmungsradius um. Die Bezeichnung sphärisch bezieht sich im eigentlichen Sinne nur auf diese Eigenschaft und nicht auf ihre Form.
Prinzipiell besteht kein Unterschied zwischen (dispersionslosen) refraktiven und reflektiven
Elementen, die diese Eigenschaft erfüllen.
2.3.1. Amplitudentransmission
In Abbildung 2.1 ist eine sphärische Linse in der Ebene z = z2 skizziert, die mit einer Kugelwelle beleuchtet wird. Die sphärische Linse wandelt die einfallende Kugelwelle in eine andere
Kugelwelle um. Die einfallende Kugelwelle habe ihr Zentrum im Punkt (0, 0, z1 ) auf der optischen Achse. In der Fresnelschen Näherung lautet ihre komplexe Amplitude nach (2.38)
1
−
u2 (x, y) = A q x, y;
(2.47)
λz12
unmittelbar vor der Linse. Die Amplitude A enthält dabei auch die Phase der Welle. Die
auslaufende Welle habe ihr Zentrum im Punkt (0, 0, z3 ). Für ihre komplexe Amplitude gilt
dann mit q(x, y; −a) = q ∗ (x, y; a)
1
+
∗
u2 (x, y) = A q x, y;
pl (x, y) ,
(2.48)
λz23
wobei pl (x, y) die Aperturfunktion der Linse ist. Sie verschwindet außerhalb der Linse und
ist innerhalb idealerweise 1. Aus den beiden komplexen Amplituden unmittelbar vor und nach
der Ebene z2 ergibt sich die komplexe Amplitudentransmission einer sphärischen Linse:
1
1
u+
∗
2 (x, y)
= q x, y;
+
pl (x, y)
(2.49)
tl (x, y) = −
λz12
λz23
u2 (x, y)
2 Mit
Spektrum ist hier das Winkelspektrum und nicht etwa das chromatische Spektrum gemeint!
21
2. Abriss der Fourier-Optik
Linse
Transparenz
Beobachtungs−
ebene
x
z
z1
z2
z3
z4
z5
Abbildung 2.2.: Beugung einer Kugelwelle mit einer sphärischen Linse.
Die beiden Ebenen z1 und z3 mit den Zentren der Kugelwellen werden konjugierte Ebenen
genannt, da sie über die Linsengleichung für eine Linse mit der Brennweite f
1
1
1
=
+
f
z12
z23
(2.50)
miteinander verbunden sind. Die Amplitudentransmission einer sphärischen Linse mit der
Brennweite f lautet somit
tl (x, y) = q
∗
1
x, y;
λf
pl (x, y) .
(2.51)
2.3.2. Linsen und Beugung
Im Folgenden wird die komplexe Amplitude in einiger Entfernung hinter der Linse betrachtet.
In einer Ebene z = z3 zwischen der Linse und der Beobachtungsebene bei z = z4 soll sich
eine Transparenz t3 (x, y) – beispielsweise eine Blende oder ein Dia – befinden. Die Linse wird
mit einer Kugelwelle beleuchtet, die vom Punkt (0, 0, z1 ) mit z1 < z2 aus divergiert. Die Linse
fokussiere die auslaufende Kugelwelle auf den Punkt (0, 0, z5 ). Der Aufbau ist in Abbildung
2.2 grafisch veranschaulicht. Für die komplexe Amplitude nach der Linse gilt nach Gleichung
(2.48):
1
+
∗
u2 (x, y) = A q x, y;
pl (x, y)
(2.52)
λz25
Nach der skalaren Beugungstheorie (2.20) ist die komplexe Amplitude unmittelbar vor der
Transparenz durch die Faltung von u+
2 mit der Impulsantwort h23 (x, y) des freien Raumes
zwischen den Ebenen z2 und z3 gegeben. Erfüllt z23 = z3 −z2 die Fresnelschen Bedingungen,
22
2.3. Sphärische Linsen
so folgt mit Gleichung (2.35)
u−
3 (x, y)
=
u+
2 (x, y)
∗ h23 (x, y) =
u+
2 (x, y)
1
∗ B23 q x, y;
.
λz23
(2.53)
Die durch die Transparenz transmittierte Amplitude ist nach Gleichung (2.16) gegeben durch
−
u+
3 (x, y) = u3 (x, y) t3 (x, y) .
Um nun die komplexe Amplitude in der Beobachtungsebene z4 zu erhalten, soll
gemäß den Fresnelschen Bedingungen propagieren, d. h. :
1
+
u4 (x, y) = u3 (x, y) ∗ B34 q x, y;
λz34
(2.54)
u+
3
wieder
(2.55)
Befindet sich die Transparenz dicht hinter der Linse, kann ihre Aperturfunktion näherungsweise auf die Transparenz projiziert werden. Die komplexe Amplitude vor der Ebene z3 kann
dann als eine konvergierende Kugelwelle
z25 ikz23 ∗
1
q
u−
(x,
y)
≈
A
e
x,
y;
(2.56)
3
z35
λz35
angesehen werden. Durch die Projektion der Aperturfunktion auf t3 (x, y) ist dann
1
z25 ikz23 ∗
z25 z25
+
e
q x, y;
· pl
x,
y t3 (x, y) .
u3 (x, y) ≈ A
z35
λz35
z35 z35
(2.57)
Legt man die Beobachtungsebene in die zu z1 konjugierte Ebene z5 und löst Gleichung (2.55)
für z4 = z5 , so erhält man
2 z25 ikz23
1
1
u5 (x, y) ≈A
e
B35
q x, y;
z35
λz25
λz35
y
y
x
x
× Pl
,
∗ T3
,
(2.58)
λ z25 λ z25
λ z35 λ z35
und
2
I5 (x, y) = |u5 (x, y)| ≈|A|2
× Pl
2
1
λ z35
2
x
y
y
x
,
∗ T3
,
λ z25 λ z25
λ z35 λ z35 z25
z35
2 1
λz25
4 (2.59)
mit Pl (ξ, η) := F{pl (x, y)} und T3 (ξ, η) := F{t3 (x, y)}.
Große Linsen Für eine unendlich ausgedehnte Linse mit pl (x, y) = 1 (d. h.
Pl (ξ, η) = δ(ξ, η)) entsprechen die Gleichungen (2.58) und (2.59) den Ergebnissen des Abschnitts 2.2.4 über optische Fourier-Transformation, da
x
y
x
y
x
y
δ
,
∗ T3
,
= T3
,
.
λ z25 λ z25
λ z35 λ z35
λ z35 λ z35
23
2. Abriss der Fourier-Optik
Transparenz Linse
Fraunhofer−Ebene
x
z
z2
z3
z 4 =z 5
f
Abbildung 2.3.: Beleuchtung einer Transparenz vor einer Linse mit ebener Welle. Die Brennebene
entspricht der Fraunhofer-Ebene
Ein Aufbau nach Abbildung 2.3 arbeitet in diesem Fall als ein Spektralanalysator für die
Transparenz t3 (x, y). Die Ebene z = z5 heißt Fraunhofer-Ebene oder Fourier-Ebene.
Durch Beleuchtung mit einer konvergierenden Welle wird die Entfernung
der Fraunhofer-Region verkürzt und die Skala des Beugungsmusters verkleinert. Eine spärische Linse ist ein Spektralanalysator der beugenden
Transmission.
Beugungsgrenze der Winkelauflösung
Die endliche Form der Linsenapertur sorgt wegen der Faltung in Gleichung (2.58) für eine
Verschmierung des Transparenzspektrums.
p Für eine runde Linsenapertur mit dem Durchmesser d, d. h. pl (x, y) = cyl(r/d) mit r = x2 + y 2 ist
Pl (ξ, η) = d2
p
π
somb(d ξ 2 + η 2 ) .
4
Nach entfernen der Transparenz, d. h.
t(x, y) = 1
⇔
T3
x
y
,
λ z25 λ z25
= (λz25 )2 δ(x, y)
und beim senkrechten Beleuchten der Linse mit einer ebenen Welle, so dass z25 = f ist, ist
die Helligkeitsverteilung in der Bild- bzw. Brennebene gegeben als
2
r
J
πd
1
d4 
λf 
 .

r

4 
d
λf

2
If (r) = |A|
24
1
λf
2
(2.60)
2.4. Abbildungen mit inkohärentem Licht
Objektebene
Eintrittspupille
Austrittspupille
Bildebene
(x’’,y’’)
x
D
z
(x’,y’)
z1
z 12 >> f
z2
z3
f
z4
Abbildung 2.4.: Schematische Darstellung eines abbildenden Systems
Dabei ist J1 (r) die Bessel-Funktion erster Art. Bei r0 ≈ 1.22λf /d liegt die erste Nullstelle von If (r). Der Kreis mit dem Radius r0 wird Beugungs- oder Airy-Scheibchen genannt.
Man kann ρ0 := r0 /(λf ) als Auflösungsgrenze des zuvor erwähnten Spektralanalysators definieren, oberhalb derer zwischen zwei ebenen Wellen verschiedener Frequenzen nicht mehr
unterschieden werden kann. Dies ist das Rayleighsche Auflösungskriterium.
2.4. Abbildungen mit inkohärentem Licht
In diesem Abschnitt wird die Abbildung weit entfernter, ausgedehnter selbstleuchtender Objekte, wie z. B. der Sonne, in eine Bildebene erläutert. Das Objekt wird als eine Ansammlung
zeitlich nicht korrelierter Punktquellen aufgefasst. Das ausgesandte Licht ist daher nicht kohärent. Das abbildende System wird über seine Eintritts- sowie Austrittspupille und seine
(kohärente) Impulsantwort charakterisiert, die für konkrete Konfigurationen aus den in Abschnitt 2.3 vorgestellten Methoden bestimmt werden können. Für Details sei auf [5, Kapitel
11] verwiesen.
In Abbildung 2.4 ist eine Kugelwelle dargestellt, die von einem Punkt (x0 , y 0 ) des Objekts aus divergiert und auf die Eintrittspupille des Systems als nahezu ebene Welle trifft. Das
System wandelt diese Welle in eine auf den Punkt (x, y) in der Brenn- bzw. Bildebene konvergierende Kugelwelle um, die beim Verlassen des Systems an der Austrittspupille gebeugt
wird.
Die Intensitätsverteilung, die ein einzelner Punkt (x0 , y 0 ) des Objektes in der Bildebene z4
erzeugt, ist gegeben durch
2
FEP
f 0
f 0 0 0 I4 (x, y; x , y ) = 2 I1 (x , y ) P x −
x ,y −
y .
z12
z12
z12
0
0
(2.61)
25
2. Abriss der Fourier-Optik
I1 (x0 , y 0 ) ist die Intensität des Quellpunktes, z12 ist der Abstand zwischen Objekt und Eintrittspupille und Fläche FEP der Eintrittspupille. f ist die Brennweite des Systems und
P (ξ, η) = F {p(x, y)} ist die Fourier-tranformierte der Pupillenfunktion p(x, y) des Systems.
Die Funktion PSF(x, y) := |P (x, y)|2 heißt Punktverbreiterungsfunktion. Sie entspricht dem
Betragsquadrat der (inkohärenten) Impulsantwort des Systems, die durch die Fourier-Transformierte der Aperturfunktion p(x, y) gegeben ist. Eine ebene Welle, die senkrecht auf das
System trifft, erzeugt in dessen Brennebene eine Intensitätsverteilung, die proportional zum
Betragsquadrat der Fourier-transformierten Aperturfunktion ist.
Die gesamte Intensitätsverteilung I4 (x, y), die alle Punkte des Objektes zusammen in der
Bildebene erzeugen, ist durch die Summe einzelnen Verteilungen I4 (x, y; x0 , y 0 ) gegeben:
ZZ
I4 (x, y) =
I4 (x, y; x0 , y 0 ) dx0 dy 0
(2.62)
Z
f 0
f 0
FEP
I1 (x0 , y 0 ) PSF x −
x ,y −
y dx0 dy 0
(2.63)
= 2
z12
z12
z12
FEP
f
f
= 2 I1 (x, y) ∗ PSF
x,
y
(2.64)
z12
z12 z12
Die Intensitätsverteilung in der Bildebene eines abbildenden Systems ergibt
sich aus der Faltung der Objektintensität mit der skalierten Punktverbreiterungsfunktion des Systems.
Die Punktverbreiterungsfunktion eines runden abbildenden Systems mit der Eintrittsöffnung d ist identisch mit dem Quadrat der Sombrero-Funktion aus Gleichung (2.60)
2
 r
J
πd
p
 1
λf 
 , r = x2 + y 2 .
PSF(x, y) = 
(2.65)
r


d
λf
Entsprechend gilt für runde abbildende Systeme auch das Rayleighsche Auflösungskriterium,
das die Winkelauflösung auf
λ
δ0 ≈ 1.22
(2.66)
d
begrenzt.
2.4.1. Kenngrößen abbildender Systeme
2
Neben der Punktverbreiterungsfunktion PSF(ξ, η) = |F{p(x, y)}| kann das Leistungsvermögen eines optischen Systems äquivalent durch seine optische Transferfunktion OTF(ξ, η) :=
F{PSF(x, y)} beschrieben werden. Nach dem Satz von Wiener-Khinchine
2
2
2
Cf f (~x) = F −1 {|F (~s)| } ↔ F{Cf f (~x)} = F{F −1 {|F (~s)| }} = |F (−~s)|
(2.67)
über die Autokovarianzfunktion Cf f einer Funktion f gilt
OTF(x, y) = F{PSF(ξ, η)} = F{F{Cpp (−x, y)}} = Cpp (x, y) .
26
(2.68)
2.4. Abbildungen mit inkohärentem Licht
Jedoch beinhaltet sowohl die optische Transferfunktion als auch die Punktverbreiterungsfunktion weniger Information über das System als die Pupillenfunktion oder ihre Transformierte,
da weder die Autokorrelation noch das Bilden des Betragsquadrats invertierbar ist. Die Funktionen PSF und OTF genügen aber zur Beschreibung eines abbildenden Systems bei inkohärenter Beleuchtung. Wir fassen zusammen:
Pupille F
-
Bildebene
F −1
Betragsquadrat
Autokorrelation
?
F −1
OTF -
?
PSF
F
Mit der optischen Transferfunktion kann Gleichung (2.64) als
z12 z12
FEP
F{I4 (x, y)} = 2 F{I1 (x, y)} · OTF
ξ,
η
f
f
f
(2.69)
formuliert werden. Die i. Allg. komplexwertige optische Transferfunktion kann in zwei Teile
aufgeteilt werden:
OTF(ξ, η) = MTF(ξ, η) e i PTF(ξ,η)
(2.70)
Die Modulationstransferfunktion MTF(ξ, η) gewichtet die Ortsfrequenzen und bestimmt den
Kontrast der Abbildung. Sie fällt üblicherweise mit zunehmenden Frequenzbeträgen ab und
legt somit die Auflösung des abbildenden Systems fest. Insbesondere für die Adaptive Optik
und interferometrische Anwendungen ist auch die Phasentransferfunktion PTF(ξ, η), die die
frequenzabhängige Phasenverschiebung eines optischen Systems beschreibt, von Bedeutung.
27
3. Adaptive Optik in der Astronomie
»Denn die Luft, durch welche wir nach den Sternen blicken,
ist in beständigem Erzittern, wie wir [...] aus dem Funkeln der
Fixsterne erkennen. Aber die Sterne funkeln nicht [...].«
(Isaac Newton, 1718)
In diesem Kapitel wird, durch die Bücher Adaptive Optics for Astronomical Telescopes von
John W. Hardy ([6]) und Principles of Adaptive Optics von Robert K. Tyson ([12]) inspiriert,
ein kleiner Überblick über die Entwicklung und das Prinzip der Adaptiven Optik gegeben. Es
wird kurz erklärt, wie die atmosphärischen Auswirkungen auf die Lichtausbreitung beschrieben und wie Wellenfronten gemessen werden können.
3.1. Motivation und Entwicklung der Adaptiven Optik
Sterne funkeln. Dies wird ein jeder bestätigen, der in einer warmen Sommernacht gen einen
wolkenlosen Himmel blickt. Bereits Sir Isaac Newton erkannte, dass dieses Funkeln – Szintillation genannt – jedoch keine Eigenschaft der Sterne ist, sondern von der Erdatmosphäre
verursacht wird [8]. So romantisch das Sternenfunkeln in einer klaren Sommernacht auch
sein kann, stellen die atmosphärischen Auswirkungen auf die Lichtausbreitung (Seeing) ein
ernsthaftes Problem für astronomische Beobachtungen dar, da die Abbildungen von Sternen
dramatisch verschlechtert werden.
Im Jahre 1948 wurde mit dem 5-Meter-Hale-Teleskop auf dem Mount Palomar das damals
weltweit größte Teleskop in Betrieb genommen.1 Mit dieser großen Öffnung war es möglich,
lichtschwächere Objekte am Nachthimmel zu finden und somit auch tiefer in das All und weiter in die Vergangenheit des Universums zu blicken als jemals zuvor (vgl. Gleichung (2.64)).
Die theoretische Winkelauflösungsgrenze des 5-Meter-Teleskops beträgt nach dem Rayleighschen Kriterium aus Gleichung (2.66) ca. 1/40 Bogensekunde. Im Durchschnitt wurde während der Beobachtungen ein Wert von ca. 2 Bogensekunden erreicht und nur in seltenen Fällen
eine Auflösung bis zu 1/3 einer Bogensekunde [1].
Während seiner Tätigkeit am Palomar-Observatorium regte Horace Babcock 1953 an, mit
einem Stellglied den Lichtstrahl zu modifizieren und so das Seeing zu kompensieren [1]. Als
Stellglied schlug Babcock einen elektrostatisch geladenen Spiegel vor, der mit einem dünnen
Ölfilm bedeckt ist und mit einem Kathodenstrahl gerastert wird, so dass sich die Filmdicke
und somit die optische Weglänge lokal verändert. Ein solcher Spiegel wurde damals in TVGroßbildprojektoren (Eidophor) zur Bilderzeugung eingesetzt.
1 Erst
das 1975 fertiggestellte BTA-6-Teleskop des nordkaukasischen Selentschuk-Observatoriums war mit seinem
6-Meter-Spiegel größer.
29
3. Adaptive Optik in der Astronomie
Die technischen Anforderungen an ein System das atmosphärisches Seeing in Echtzeit
(zumindest partiell) kompensiert sind gewaltig. Der zivilen Wissenschaft gelang es erst im
Jahre 1993 mit ADONIS2 am 3,6-Meter-Infrarot-Teleskop der Europäischen Südsternwarte
(ESO) auf La Silla in Chile ein derartiges System zu realisieren. Konzepte zur Kompensierung des Seeings durch Modifizierung des Lichtstrahls in Echtzeit werden unter dem Begriff Adaptive Optik3 zusammengefasst. In den fünf Jahrzehnten des Kalten Krieges betrieb
das US-amerikanische Verteidigungsministerium unter strengster Geheimhaltung Forschungen auf dem Gebiet der Adaptiven Optik. Ziel war es, nach dem Sputnik-Schock, möglichst
detaillierte Bilder von russischen Satelliten zu erhalten. Nach dem Zerfall der Sowjet Union
wurden die Entwicklungen 1992 der wissenschaftlichen Gemeinschaft zur Verfügung gestellt.
Seit 1998 arbeitet schließlich auch das Hale-Teleskop mit einer adaptiven Optik zur Verbesserung der Abbildungsqualität [11]. Heutzutage wird an fast allen optischen Großteleskopen
adaptive Optik eingesetzt, um eine beugungsbegrenzte Auflösung zu erreichen. In der Sonnenbeobachtung wurde die erste Adaptive Optik am National Solar Observatory (NSO) auf
dem Sacramento Peak im Jahre 1999 realisiert. Das Vacuum Tower Telescope (VTT) des
Kiepenheuer-Instituts für Sonnenphysik (KIS) auf Teneriffa arbeitet seit 2002 im Alltagsbetrieb erfolgreich mit adaptiver Optik und ist heute führend bei der Entwicklung einer multikonjugierten adaptiven Optik (MCAO) zur Vergrößerung des korrigierten Bildfeldes.
Auf das genaue Prinzip der adaptiven Optik wird im übernächsten Abschnitt eingegangen.
Es folgt eine kurze Übersicht über das Zustandekommen atmosphärischer Störungen.
3.2. Beobachtungen durch die Erdatmosphäre
3.2.1. Atmosphärische Einflüsse auf astronomische
Beobachtungen
Die Erdatmosphäre ist eine Quelle schwerwiegender, prinzipieller Beschränkungen von astronomischen Beobachtungen. Wegen ihrer streuenden Wirkung (Himmelblau) können lichtschwache Objekte nur auf der sonnenabgewandten Seite (Nacht) beobachtet werden, und ihre
vielfältige molekulare Zusammensetzung verhindert durch Absorption Beobachtungen über
weite Bereiche des elektromagnetischen Spektrums. Die Adaptive Optik hat nun die Aufgabe
aus dem das Teleskop erreichende Licht maximale räumliche Information über ein Zielobjekt
im Visuellen und nahen Infrarot zu erhalten.
Die optisch störenden Gebiete der Atmosphäre sind an guten Beobachtungsorten hauptsächlich auf Scherwinde in einer Höhe von ca. 10 000 Metern begrenzt. Insbesondere bei der
Sonnenbeobachtung tritt ein weiterer Effekt auf: Die Einstrahlung der Sonne erhitzt den Boden
und Konvektionszellen entstehen, die den Lichtweg in Bodennähe stören. In diesen Gebieten
verursachen kleine, lokale Temperaturschwankungen von weniger als einem Kelvin leichte
Variationen des Luftbrechungsindex. Die Summe dieser Variationen führt zu signifikant unterschiedlichen optischen Weglängen für parallele, benachbarte Strahlen.4 In der Folge wird
eine ebene Wellenfront bei der Passage dieser Gebiete verformt. Die Abweichungen von einer
2 ADaptive
Optics Near Infrared System
zu verwechseln mit Aktiver Optik, die nur stationäre instrumentelle Einflüsse kompensiert.
4 Dies ist der sog. geometrische Ansatz, der keinerlei Beugungseffekte berücksichtigt.
3 Nicht
30
3.2. Beobachtungen durch die Erdatmosphäre
ebenen Wellenfront können mehrere Wellenlängen betragen. Die Zeitskala für die Brechungsindexfluktuationen beträgt Millisekunden.
3.2.2. Beschreibung der turbulenten Atmosphäre
Nach dem Turbulenzmodell für inkompressible, strömende Fluide von Andrei N. Kolmogorow
wird ein Teil der Energie der einfallenden Sonnenstrahlung in Luftwirbeln mit der typischen
Größe L0 aufgefangen. Diese Wirbel zerfallen in einer Kaskade in immer kleinere Wirbel, bis
schließlich bei einer weiteren typischen Größe l0 die Turbulenz zum erliegen kommt und die
Energie als Reibungswärme dissipiert wird. Die beiden Skalen sind mit der Reynoldszahl Re
nach
L0
(3.1)
l0 =
Re3/4
miteinander verknüpft. Die innere Skala l0 beträgt Millimeter, und die äußere Skala L0 reicht
von einem Meter in Bodennähe bis zu mehreren hundert Metern in höheren Schichten. Mit
zahlreichen Arbeiten konnte die Statistik der lokalen Brechungsindexfluktuationen auf die Statistik der Turbulenzzellen zurückgeführt werden. Dabei wird ausgenutzt, dass die Variationen des Luftbrechungsindex direkt den trägen Temperaturfluktuationen entsprechen, da lokale
Druckstörungen mit Schallgeschwindigkeit ausgeglichen werden. Die großen Turbulenzzellen
wirken sich optisch stärker als die kleinen Wirbel aus. Auf eine detaillierte Betrachtung der
Kolmogorowschen Turbulenzstatistik wird an dieser Stelle verzichtet, da sie für einen ersten
Testaufbau des optisch differenzierenden Wellenfrontsensors nicht von unmittelbarer Bedeutung ist.
David L. Fried erforschte die optische Abbildung durch die turbulente Atmosphäre hindurch. Er definierte die Auflösungsleistung eines Teleskops mit der optischen Transferfunktion T (ξ, η) durch
ZZ
R :=
B(ξ, η) T (ξ, η) dξ dη .
(3.2)
B(ξ, η) ist die optische Transferfunktion der Erdatmosphäre und kann über die Kolmogorowsche Turbulenzstatistik berechnet werden [6, Abschnitt 3.4.2]. Bei kleinen (aberrationsfreien) Teleskopen
entspricht Rλ2 der Öffnungsfläche des Teleskops. Für große Teleskope
RR
ist R =
B(ξ, η) dξ dη. Der Fried-Parameter r0 definiert den Durchmesser eines fiktiven
Teleskops für das
ZZ
ZZ
T (ξ, η) dξ dη =
B(ξ, η) dξ dη
(3.3)
erfüllt ist. Für ein solches Teleskop beträgt die Standardabweichung der Wellenfront über die
Pupille λ/(2π).
Der Fried-Parameter ist also ein Maß für die optische Turbulenz der Atmosphäre. Für
ein Teleskop, dessen Öffnung größer als 10 r0 ist, erhält man über die volle Halbwertsbreite des Bildes einer Punktquelle in der Teleskopbrennebene (Seeing-Scheibchen) die Seeingbegrenzte Winkelauflösung, kurz Seeing genannt,
δSeeing =
λ
.
r0
(3.4)
31
3. Adaptive Optik in der Astronomie
Ab einem Teleskopdurchmesser D > r0 ist die Auflösung wegen des Seeings begrenzt und
nicht mehr durch Beugung. Teleskope mit D < r0 nehmen die atmosphärischen Einflüsse
höchstens als Bildbewegungen wahr, die aufgrund von Wellenfrontverkippungen über die gesamte Apertur entstehen. Bei Kurzzeitaufnahmen beeinflussen die Bildbewegungen die Auflösung jedoch nicht. Der Fried-Parameter liegt an astronomischen Beobachtungsorten bei einer
Wellenlänge von 500 Nanometern typischer Weise zwischen 7 und 12 Zentimetern und die
Auflösungsgrenze bei etwa einer Bogensekunde. Typische Wellenfrontabweichungen in einer
1 Meter großen Pupille bewegen sich im Bereich von ca. 3 bis 6 µm was in etwa 6 bis 12
Wellenlängen entspricht.
3.2.3. Modale Beschreibung der Wellenfront
Aberrationen von optischen Geräten mit runder Öffnung werden analytisch üblicherweise mit
Zernike-Polynomen beschrieben. Diese orthogonalen Polynome, benannt nach dem niederländischen Nobelpreisträger Frits Zernike, sind auf dem Einheitskreis und in Polarkoordinaten
definiert. Robert J. Noll führte eine neue Normierung der Polynome und ein Ordnungsschema
ein [9]. Noll zeigte die Möglichkeit auf, atmosphärische Aberrationen einer ebenen Wellenfront als zufällige Komposition dieser modifizierten Zernike-Polynome zu betrachten: Die
Phasenlage φ(r, θ) einer Wellenfront in einer Pupille des Durchmessers R lautet
φ(Rρ, θ) =
∞
X
aj Zj (ρ, θ).
(3.5)
j=1
Zj (ρ, θ) bezeichnet das Zernike-Polynom j-ter Ordnung. Die Koeffizienten ai sind normalverteilt und haben den Mittelwert Null. Ihre Kovarianz folgt aus der Kolmogorowschen Turbulenzstatistik.
Definition der Zernike-Polynome
Die Zernike-Polynome sind nach [3] in Polarkoordinaten (0 ≤ ρ ≤ 1 und 0 ≤ θ ≤ 2π) wie
folgt definiert:
(
cos(m θ) , wenn m ≥ 0
m
m
Zj (ρ, θ) = Zn (ρ, θ) := Rn (ρ) ·
(3.6)
sin(m θ) , wenn m < 0
mit
[n−m]/2
Rnm (ρ)
:=
X
l=0
[−1]l [n − l]
n+m
n−m
ρn−2l
l!
−
l
!
+
l
!
2
2
(3.7)
für n ∈ N mit
m = −n; . . . ; 0; . . . ; n
und (n − m) gerade.
(3.8)
Der Index n markiert die radiale Ordnung und der Index m die azimutale Frequenz. Die Moden sind so zu ordnen, dass j genau dann gerade ist, wenn m ≥ 0 ist. Bei gegebenem n werden
die Moden nach m aufsteigend sortiert. Es gilt:
Rnm (1) = 1
32
und |Znm (ρ, θ)| ≤ 1
(3.9)
3.2. Beobachtungen durch die Erdatmosphäre
Die Orthogonalität der Zernike-Polynome ist durch
1
π
Z1 Z2π
Zj (r, θ) Zj 0 (r, θ) ρ dθ dρ = δj j 0
0
(3.10)
0
gesichert.
Nolls modifizierte
p Zernike-Polynome beinhalten√zusätzlich zu Gleichung (3.6) noch den
Normierungfaktor 2(n + 1), wenn m 6= 0, bzw. n + 1, wenn m = 0.
Die ersten 15 Zernike-Polynome sind in Tabelle A.1 explizit aufgeführt und auf den Seiten
110-111 grafisch dargestellt.
Ableitungen von Zernike-Polynomen
Noll hat desweiteren gezeigt, dass sich der Radialanteil der Zernike-Polynome über BesselFunktionen erster Art durch das Integral
Rnm (ρ)
[n−m]/2
Z∞
Jn+1 (2πk) Jm (2πkρ) dk
= 2π(−1)
(3.11)
0
ausdrücken läßt. Durch Anwendung der Eigenschaften der Bessel-Funktionen fand er heraus,
dass die Ableitungen von Zernike-Polynomen durch
~ j=
∇Z
∞
X
~γj j 0 Zj 0
(3.12)
j 0 =1
(x)
(y)
gegeben sind. Die so genannten Nollschen Matrizen γj j 0 bzw. γj j 0 sind in kartesischen Koordinaten gegeben durch
Z
Zj 2
(x)
Zj 0
γj j 0 =
d ρ
(3.13)
dx
Z
Zj 2
(y)
γj j 0 =
Zj 0
(3.14)
d ρ .
dy
Es stellt sich heraus, dass die Ableitung der Zernike-Mode Zj (ρ, θ) nur aus Moden besteht,
deren Ordnung kleiner als j ist. Die beiden Matrizen sind auf Seite 113 notiert. Die Ableitungen der ersten 21 Zernike-Polynome sind in Tabelle A.1 explizit aufgeführt.
Entwicklung nach Zernike-Polynomen
Die Koeffizienten aj in Gleichung (3.5) zur Entwicklung einer beliebigen Phasenfunktion
φ(r, θ) innerhalb eines Kreises mit dem Radius R nach Zernike-Moden erhält man aus dem
Integral
Z
1
aj =
φ(r, θ) Zj (r/R, θ) d2 r.
(3.15)
πR2
Apertur
33
3. Adaptive Optik in der Astronomie
3.3. Die Funktionsweise adaptiver Optik
3.3.1. Klassische Adaptive Optik
Ein optisch adaptives System besteht konzeptuell aus drei Komponenten: einer Vorrichtung
zur Messung (Sensor) der Phasenlage in der Pupille, einem Rekonstruktionsprozessor und einem Stellglied (Aktor) zur Manipulation der optischen Weglänge zwischen Pupille und Bildebene des Teleskops (siehe Abbildung 3.1). Die Phasenmessung übernimmt ein Wellenfrontsensor, auf den in Abschnitt 3.4 genauer eingegangen wird. Die Manipulation der optischen
Weglänge wird in der Regel mittels kipp- und deformierbarer Spiegel bewerkstelligt. Bei einer klassischen Adaptiven Optik befindet sich der deformierbare Spiegel deshalb praktischer
Weise in einer zur Pupille konjugierten Ebene und der Kippspiegel möglichst dicht davor. Es
gibt auch Ansätze die Phasenlage mit Flüssigkristallanzeigen zu glätten [4]. Ein Rekonstruktionsprozessor berechnet aus den Sensordaten die Steuersignale für den Aktor zur Korrektur
der Wellenfront und verbindet beide Komponenten in einem – üblicherweise – geschlossenen
Regelkreis.
wiss. Instrumente
Hauptspiegel
Kippspiegel
Rekontrukti−
onsprozessor WFS
Strahlteiler
deformierbarer Spiegel
Wellenfront
Abbildung 3.1.: Schematischer Aufbau einer adaptiven Optik mit geschlossenem Regelkreis. Ein Rekonstruktionsprozessor (Parallelcomputer) wertet die Signale des Wellenfrontsensors (WFS) aus und
steuert die beiden beweglichen Spiegel an. Der Kippspiegel korrigiert Bildbewegungen und der deformierbare Spiegel Wellenfrontdeformationen höherer Ordnungen.
3.3.2. Anisoplanatismus
Ein optisch adaptives Teleskop nach Abbildung 3.1 misst streng genommen nur die atmosphärischen Einflüsse entlang seiner Sichtlinie bzw. optischen Achse. Lichtstrahlen, die von einer
abweichenden Richtung die Teleskopöffnung erreichen, haben im Allgemeinen eine andere
Weglängenstörung erfahren und können somit nicht korrigiert werden (siehe Abb. 3.2). Diese Tatsache – Anisoplanatismus genannt – wirkt sich sowohl auf nächtliche Beobachtungen als
auch auf Sonnenbeobachtungen aus: Die Helligkeit nachtastronomischer Objekte reicht oft
nicht aus, um Wellenfrontmessungen durchzuführen. Daher werden benachbarte Objekte mit
einer scheinbaren Helligkeit im sichtbaren und nahen infraroten Licht von mindestens 10-15
34
3.4. Wellenfrontmessung in der Sonnenbeobachtung
turbulente
Schicht
Eintrittsöffnung
Bildebene
θ
h
Abbildung 3.2.: Grafik zur Veranschaulichung des Anisoplanatismus’.
Magnituden als Referenz herbeigezogen. (Diese sog. Leitsterne können sowohl echte Sterne
sein, als auch künstliche Leuchttürme, die mit Laseranregung in der oberen Erdatmosphäre
erzeugt werden.) Die Sonne hingegen kann bei ihrer Beobachtung selbst als Referenz dienen. Wegen des Anisoplanatismus’ kann jedoch nicht über die ganze Sonnenscheibe korrigiert
werden, sondern nur über ein beschränktes Gebiet. Der Winkel-Anisoplanatismus ist eine der
großen Einschränkungen aktueller, optisch adaptiver Teleskope.
Der isoplanatische Winkel θ0 ist derjenige Winkel zur Sichtlinie, bei dem die durchschnittliche Abweichung der Wellenfronten entlang der Sichtlinie und entlang θ0 in der Apertur einen
Radiant beträgt. Der isoplanatische Winkel θ0 ist neben dem Fried-Parameter r0 abhängig von
der Höhe h der turbulenten Luftschicht und der Winkeldistanz z der Sichtlinie zum Zenit. Für
eine einzelne turbulente Luftschicht gilt:
θ0 ∝ 0,31 cos(z)
r0
h
(3.16)
Für sichtbares Licht liegt θ0 zwischen zwei und drei Bogensekunden.
3.4. Wellenfrontmessung in der Sonnenbeobachtung
Für astronomische adaptive Optiken ist es erforderlich, die Wellenfront in der Eintrittspupille
an etwa 5-20 Punkten/Meter gleichzeitig mit einer Frequenz bis zu 1 kHz zu kennen. Der
mittlere Fehler einer Messung sollte dabei nicht mehr als 0,1 Wellenlängen betragen.
In der adaptiven Optik wird zwischen der modalen und der zonalen Methode zur direkten
Messung der Wellenfront in der Teleskoppupille unterschieden:
3.4.1. Modale Messung
Bei der modalen Messung wird die Wellenfront über die gesamte Pupille in Moden zerlegt.
Die Zerlegung der Wellenfront in zwei linear unabhängige Verkippungen und in Defokus ist
einfach realisierbar (siehe Hartmann-Shack Methode in Abschnitt 3.4.3 und Messerschneidemethode [12, Kap. 5.2.3]).
35
3. Adaptive Optik in der Astronomie
Wellenfront
Mikrolinsen
Photodetektoren
Abbildung 3.3.: Schematische Darstellung eines Hartmann-Shack Wellenfrontsensors. Der mittlere
Wellenfrontgradient innerhalb einer Subapertur führt in der Bildebene zu einer Bildbewegung.
3.4.2. Zonale Messung
Bei der zonalen Messung wird die Pupille durch mehrere, identische Subaperturen in Zonen
unterteilt. Die Größe einer Subapertur ist so gewählt, dass die dominierende Aberration einer
Wellenfrontverkippung entspricht. Nach Abschnitt 3.2.2 ist das für Subaperturdurchmesser
D0 < r0 der Fall. Die gleichzeitige und unabhängige Messung dieser Verkippung in allen
Subaperturen, beschreibt den lokalen Gradienten der Wellenfront innerhalb der gesamten Pupille. Die räumliche Auflösung einer solchen Messung wird allein von der Größe bzw. Anzahl
der Subaperturen bestimmt. Aufgrund der Endlichkeit von r0 braucht die Auflösung aber nicht
beliebig hoch zu sein. Die maximale Anzahl der zu korrigierenden Subaperturen ist in etwa
(D/r0 )2 . Zur zonalen Wellenfrontmessung in der Hartmann-Shack Wellenfrontsender weit
verbreitet.
Auch wenn die Bestimmung höherer Moden mittels der modalen Messung deutlich komplizierter wird, sind modale und zonale Messungen prinzipiell gleichwertig. Die Werte aus der
modalen Messung können in zonale Daten umgewandelt werden und umgekehrt. Dies ermöglicht die Verwendung zonaler Wellenfrontsensordaten mit modalgesteuerten deformierbaren
Spiegeln.
3.4.3. Der Hartmann-Shack Wellenfrontsensor
Hartmann-Shack Wellenfrontsensoren erfreuen sich in der adaptiven Optik einer großen Beliebtheit. Ihr Funktionsprinzip ist einfach und ihre Leistung ist robust gegen äußere Einflüsse
wie Temperatur und Vibrationen. In der Sonnenbeobachtung wie u. a. im Kiepenheuer Institut
Adaptive Optic System (KAOS) am VTT kommen sie heute exklusiv zum Einsatz. Aber auch
in der Augenheilkunde werden Sensoren nach dem von Roland Shack erweiterten Prinzip
Johannes Hartmanns zur präzisen und objektiven Bestimmung von Sehfehlern verwendet.
Ein Hartmann-Shack Wellenfrontsensor, wie er in Abbildung 3.3 dargestellt ist, besteht
aus einer regelmäßigen, zweidimensionalen Anordnung identischer Mikrolinsen – einem sog.
Lensletarray – und einem mehrkanaligen Photosensor in der Bildebene dieser Linsen. Die Mikrolinsen befinden sich in der Regel in einer konjugierten Ebene der Teleskoppupille. Die
Linsenanordnung unterteilt die Pupille in einzelne Bereiche in denen die durchschnittliche
Wellenfrontverkippung bestimmt wird (zonale Messung): Jede Mikrolinse erzeugt ein Bild
36
3.4. Wellenfrontmessung in der Sonnenbeobachtung
des betrachteten Objekts auf dem Photosensor. Eine Wellenfrontverkippung entlang einer solchen Linse bewirkt eine Verschiebung des Bildes weg von der optischen Achse. Im Falle eines unaufgelösten Sterns entspricht das Bild dem Beugungsmuster der Mikrolinse. Um die
i. Allg. zweidimensionale Verschiebung des Beugungsscheibchens zu bestimmen, sind pro
Mikrolinse wenigstens 2×2 Pixel auf dem Photosensor erforderlich. Die Position des Beugungsscheibchens wird über die Analyse seines Intensitätsschwerpunktes ermittelt. Ein ausgedehntes Objekt wie die Sonne wird jedoch nicht als Beugungsscheibchen auf den Photosensor
abgebildet sondern als aufgelöste Struktur (siehe Abschnitt 2.4). Um anisoplanatische Effekte zu verhindern, muss das Gesichtsfeld des Sensors kleiner als der anisoplanatische Winkel
θ0 sein, so dass nur ein kleiner Teil der Sonne abgebildet wird. Die Verschiebung der Bilder
wird mittels numerischer Korrelationsmethoden bestimmt, die ein gewisses Maß an Kontrast
und Detailreichtum der Bilder benötigen. Um die nötige Auflösung zu erreichen, sind jedoch
deutlich mehr als 2×2 Pixel pro Subapertur erforderlich.
Der Hartmann-Shack Sensor am VTT besteht aus 37 hexagonal angeordneten Mikrolinsen.
Die Kantenlänge einer Linse beträgt 0,2525 mm und ihre Brennweite 40 mm. Das Gesichtsfeld von ca. 1000 × 1000 wird auf einen CCD-Chip im Maßstab von 0,500 /Pixel abgebildet, so
dass eine Subapertur mit einer Auflösung von 20×20 Pixeln abgetastet wird. Bei den verwendbaren 30-36 Subaperturen und einer erforderlichen Abtastrate von 1 kHz, stellt dies eine
enorme technische Anforderung an den Photosensor dar, die erst mit der modernen Entwicklung der CCD- und Computertechnologie gemeistert werden konnte. Die komplette Steuerung
von KAOS ist auf einem Parallelcomputer mit acht 800 MHz UltraSPARC III Prozessoren implementiert.
Limitationen
Wie bereits erwähnt, ist die räumliche Auflösung des Wellenfrontgradients bei der zonalen
Messung von der Größe der Subaperturen abhängig. Die Subaperturen des Hartmann-ShackSensors dürfen jedoch nicht zu klein werden, da sonst ihre Winkelauflösung aufgrund von
Beugung verringert wird und die Bilder der Sonnenoberfläche in der Bildebene des Mikrolinsen in der Folge verschmieren und an Kontrast verlieren. Die Korrelationsmessungen der
Subaperturbilder sind nicht mehr möglich. Andererseits dürfen die Subaperturen auch nicht
so groß sein, dass höhere Wellenfrontaberrationen innerhalb einer Subapertur als einfache
Verkippungen zum tragen kommen, da dann die Subaperturbilder unscharf würden und deren Bewegung verschwände. Ein Hartmann-Shack Wellenfrontsensor kann wegen der festen
Subaperturgröße nicht optimal an das momentane Seeing angepasst werden.
37
4. Wellenfrontmessung mittels
optischer Differentiation
Von der Lühe hat 1988 einen optisch differenzierenden Wellenfrontsensor auf Basis eines
Flüssigkristallbildschirms (LCD) vorgeschlagen [7], der insbesondere für die Beobachtung
ausgedehnter inkohärenter Zielobjekte mit geringem Kontrast, wie z. B. der Sonnengranulation, geeignet sein soll. Im Rahmen dieser Diplomarbeit soll erstmals das vorgeschlagene
Konzept experimentell demonstriert werden. Frühere Versuche mit Flüssigkristallanzeigen aus
Taschen-TV-Geräten schlugen fehl, da der Kontrast dieser Anzeigen nicht ausreichte und die
Pixelabmessungen zu groß waren. Die technischen Daten moderner LCD-Panels, wie sie in
handelsüblichen Videoprojektoren Verwendung finden, sind vielversprechend und motivieren
einen erneuten Versuch.
4.1. Die Idee
Der Aufbau des optisch differenzierenden Wellenfrontsensors ist in Abbildung 4.1 skizziert.
Eine Linse in einer Ebene z2 bildet das betrachtete, sich praktisch im Unendlichen befindliche
Objekt in der Brennebene z3 ab. Eine zweite Linse, deren Brennebene mit dieser Bildebene
zusammenfällt, erzeugt ein Bild von der Eintrittspupille in der Ebene z5 , die sog. Austrittspupille. Die Idee von der Lühes ist es, in die Bildebene z2 eine komplexe Amplitudentransmission m(ξ, η) – Maske genannt – in Form eines LCDs zu bringen, die das momentane Bild
des Objekts auf eine Weise moduliert, die die momentane lokale Wellenfrontverkippung in
der Eintrittspupille entlang einer Richtung, die durch die Maske vorgegeben ist, in der Austrittspupille in Form von lokalen Intensitätsschwankungen sichtbar macht. Mit zwei solcher
1. Linse
Maske
2. Linse
z
(ξ′,η′)
z2
Eintrittspupille
f1
z3
Bildebene
f2
z4
z5
Austrittspupille
Abbildung 4.1.: Schematischer Aufbau des optisch differenzierenden Wellenfrontsensors.
39
4. Wellenfrontmessung mittels optischer Differentiation
Masken, die die Wellenfrontverkippung entlang zueinander senkrechten Richtungen messbar
machen, ließen sich so die lokalen Wellenfrontgradienten bestimmen und daraus durch Integration die Wellenfront in der Pupille rekonstruieren. Auf die Berechnung der Maske wird erst
in Abschnitt 4.3 eingegangen. Da möglicherweise verschiedene Methoden zum Ziel führen,
sei hier nur angemerkt, dass die Maske aus dem Objektbild selbst entsteht. Die Maske an sich
ist statisch, sie wird nur aktualisiert, wenn sich die Objektstruktur zu sehr verändert hat. Bei
der Sonne würde die Maske nur einmal innerhalb einiger weniger Minuten aktualisiert werden müssen. Die typische Reaktionszeit moderner LCDs von ca. 10-20 µs ist somit nicht von
Belang.
Zum intuitiven Zugang des zugrunde liegenden Prinzips stelle man sich eine ebene Wellenfront vor, die schräg auf die Pupille fällt. Wie bereits in Abschnitt 3.4.3 über den HartmannShack Sensor erwähnt wurde, führt diese Wellenfrontverkippung über die gesamte Apertur zu
einer Verschiebung des Bildes. In Abbildung 4.2 sind beispielhaft Überlagerungen eines Sonnengranulationsbildes mit einer entsprechenden Maske gezeigt. Bewegt sich das Bild aufgrund
einer Verkippung der Wellenfront horizontal, so nimmt die Gesamthelligkeit in der Bildebene
und im Weiteren damit auch in der Austrittspupille je nach Richtung der Bewegung zu oder
ab. Die Erweiterung dieses Prinzips zur Messung der Gesamtwellenfrontverkippung in der
Pupille hin zu lokalen Verkippungen in Subaperturen stellt keine Schwierigkeit dar.
4.2. Allgemeine analytische Beschreibung
Obgleich Abbildung 4.2 einen intuitiven Zugang zu von der Lühes Idee gewährt, sollen seine
Berechnungen kurz anhand der in Kapitel 2 dargestellten Erkenntnisse über die Ausbreitung
von Licht erläutert werden. Zuvor werden kurz die verwendeten Koordinaten erklärt:
Von einem einzelnen Punkt (x0 , y 0 , z1 ) des weit entfernten Objekt geht eine Kugelwelle aus,
0 0
die am Ort der Eintrittspupille als ebene Welle u−
2 (x, y; x , y , z1 ) interpretiert werden kann.
Das Winkelspektrum einer solchen Welle besteht nur aus einer Frequenz (ξ 0 , η 0 ), die stellvertretend für den Ort der Quelle auf dem Objekt steht, und wir schreiben deshalb der Einfachheit
halber (x0 , y 0 , z1 ) ≡ (ξ 0 , η 0 ).
4.2.1. Die Intensität in der Austrittspupille
Ein System aus zwei Linsen, deren Brennebenen zusammenfallen, wie in Abbildung 4.1 gezeigt, ist eine Hintereinanderschaltung zweier Spektralanalysatoren. Dass eine solche Kaskade
als ein Signalskalierer wirkt, wird schnell plausibel, wenn man an das Kepler-Fernrohr denkt,
das den Winkeldurchmesser des betrachten Objekts vergrößert und nach dem eben beschrieben Prinzip aus zwei Linsen aufgebaut ist. Das Einbringen der Maske in die Fourier-Ebene
z3 erlaubt ein selektives Abschwächen von Raumfrequenzen der Pupillenamplitude. Aus dem
Signalskalierer wird so ein optischer oder räumlicher Filter.
Die komplexe Amplitude u3 (x, y; ξ 0 , η 0 ), die der Objektpunkt (ξ 0 , η 0 ) in der Brennebene z3 erzeugt, ist proportional zur Fourier-Transformierten der Amplitude u2 (x, y; ξ 0 , η 0 ) =
0 0
t2 (x, y) u−
2 (x, y; ξ , η ), die er in der Pupillenebene z2 erzeugt. Dabei ist t2 (x, y) die Transmission der Pupille. Die Ortskoordinate (x, y, z3 ) in der Brennebene entspricht (ξ 0 λf1 , η 0 λf1 ).
40
4.2. Allgemeine analytische Beschreibung
(a) Objektstruktur in der
(b) Quasibinäre Maske für
Bildebene: Sonnengranulation horizontale Richtung
(1000 ×1000 )
(d) ∆x = −7,
I = 0.88
(e) ∆x = −3,
I = 0.90
(c) Produkt aus Bild (a) und
Maske (b). (Ausschnitt:
800 ×800 ) ∆x = 0, I = 1
(f) ∆x = 3, I = 1.10
(g) ∆x = 7, I = 1.12
Abbildung 4.2.: Eine horizontale Bewegung des Bildes (a) führt in der Überlagerung,
d. h. Multiplikation, mit der entsprechenden Maske (b) zu einer Variation der Gesamthelligkeit in der
Bildebene (c)-(g). Die Verschiebung ∆x in Pixeln und die Gesamthelligkeit I ist jeweils angeben. Ist die
Verschiebung nicht zu groß, spiegelt die Gesamthelligkeit sowohl ihre Richtung als auch ihren Betrag
wider.
Es gilt:
y
x
0 0
0 0 0 0
u−
(x,
y;
ξ
,
η
)
∝
F{u
(x,
y;
ξ
,
η
)}
=
U
,
;
ξ
,
η
ξ = x/(λf )
2
2
3
1
λ f1 λ f1
η = y/(λf1 )
(4.1)
In der Brennebene z3 wird U2 (ξ, η) mit der komplexen Transmission m(ξ, η) der Maske moduliert, so dass
x
y
x
y
0 0
0 0
u+
(x,
y;
ξ
,
η
)
∝
U
,
;
ξ
,
η
·
m
,
(4.2)
2
3
λ f1 λ f1
λ f1 λ f1
ist. Die zweite Linse führt wiederum eine Fourier-Transformation durch, sodass die komplexe
Amplitude in der Austrittspupille durch
y
x
y
x
0 0
0 0
,
;ξ ,η · m
,
(4.3)
u5 (x, y; ξ , η ) ∝ F U2
ξ = x/(λf )
2
λ f1 λ f1
λ f1 λ f1
η = y/(λf2 )
41
4. Wellenfrontmessung mittels optischer Differentiation
(a) Referenzbild
I(ξ, η):
Sonnengranulation.
Ausschnitt von
1000 ×1000
(b) Horizontale
Maske für
x-Richtung.
Entspricht der
horizontalen
Ableitung des
Referenzbildes von
rechts nach links.
(c) Vertikale Maske (d) Quasibinäre
für y-Richtung.
horizontale Maske
Entspricht der
vertikalen Ableitung
des Referenzbildes
von oben nach unten.
(e) Quasibinäre
vertikale Maske
Abbildung 4.3.: Die Masken (b) u. (c) werden nach Gl. (4.7) u. (4.8) mit ∆ = 0.1600 aus dem Referenzbild (a) erzeugt. Die Erstellung der quasibinären Masken (d) u. (e) aus den normalen Masken (b) u.
(c) wird in Abschnitt 4.3.2 erläutert.
gegeben ist. Unter Zuhilfenahme des Faltungstheorems aus Gleichung (0.7) ergibt sich
f2
f2
f1
f1
0 0
0 0
u5 (x, y; ξ , η ) = u2 − x, − y; ξ , η ∗ M − x, − y .
(4.4)
f1
f1
f2
f2
Die gesamte Intensitätsverteilung I5 (x, y) in der Austrittspupille, die durch Betrachtung
des inkohärenten Objekts hervorgerufen wird, ist durch die Summe der Betragsquadrate der
komplexen Amplitude u5 (x, y; ξ 0 , η 0 ) über alle Punkte (ξ 0 , η 0 ) des Objektes gegeben:
ZZ
2
I5 (x, y) =
|u5 (x, y; ξ 0 , η 0 )| dξ 0 dη 0
(4.5)
2
ZZ u2 f2 x, f2 y; ξ 0 , η 0 ∗ M f2 x, f2 y dξ 0 dη 0
=
(4.6)
f1 f1
f1 f1 Die Intensitätsverteilung I5 (x, y) hängt also sowohl von den einzelnen Amplituden in der
Pupille, die den Wellenfrontfehler enthalten als auch von der Maske ab. Die Ausdehnung der
Intensitätsverteilung wird von dem Skalierungsfaktor f2 /f1 bestimmt.
4.3. Die Maske
Wie müssen nun die Transmissionsverteilungen der Masken aussehen, damit die lokale Wellenfrontverkippung entlang der x- bzw. y-Richtung in der Austrittspupille sichtbar wird? Von
der Lühe schlägt für die horizontale Maske
∆
∆
mx (ξ, η) = B + C I ξ + , η − I ξ − , η
(4.7)
2
2
42
4.3. Die Maske
und analog für die vertikale Maske
∆
∆
my (ξ, η) = B + C I ξ, η +
− I ξ, η −
2
2
(4.8)
vor, wobei I(ξ, η) die Intensität in der Bildebene des Objektpunktes mit den Koordinaten
(ξ, η) ist, sowie B und C Konstanten, die dafür sorgen, dass 0 ≤ m(ξ, η) ≤ 1 erfüllt ist.
Wie von der Lühe gezeigt hat, darf die Schrittweite ∆ nicht wesentlich größer als die Korrelationslänge lc der Bildstruktur I(ξ, η) sein. Die beiden eckigen Klammern kann man jeweils
als skalierten Differenzenquotienten der Helligkeit der Bildebene in die jeweilige Richtung
interpretieren. In Abbildung 4.3 (a)-(c) sind ein Referenzbild und die daraus konstruierte horizontale bzw. vertikale Maske beispielhaft aufgezeigt.
4.3.1. Intensitäten
Für die Intensitäten I5 (x, y) in der Austrittspupille erhält von der Lühe mit dem Ansatz
p
(4.9)
u2 (x, y) = t2 (x, y) I(ξ, η) e −i[xξ+yη] e| iφ(x,y)
{z }
| {z } |
{z
}
Apertur
ebene Welle
Abweichung von
ebener Welle
für die aberrierte komplexe Amplitude in der Eintrittspupille nach Gleichung (4.6) mit den
Maskentransmissionen aus den Gleichungen (4.7) und (4.8):
2
δ0
δ0 2
I5x (x, y) ≈ B F (0, 0) + 4 B C F̄x
sin φ(x, y) − φ x − , y
(4.10)
2 2
2
δ0
δ0 I5y (x, y) ≈ B 2 F (0, 0) + 4 B C F̄y
sin φ(x, y) − φ x, y −
(4.11)
2
2
Dabei sind
ZZ
F (x, y) = F{I(ξ, η)} =
I(ξ, η)e −i2π[xξ+yη] dξ dη
die Fourier-transformierte Struktur und
2
Z∞ Z∞
F̄x δ0 :=
|F (x, y)|2 sin(π ∆ x) dx dy
2 (4.12)
(4.13)
−∞ 0
2
Z∞ Z∞
F̄y δ0 :=
|F (x, y)|2 sin(π ∆ y) dx dy
2 (4.14)
0 −∞
Skalierungsfaktoren. Die Differenz im Sinus der Gleichungen (4.10) und (4.11) ist der gesuchte Phasenunterschied zweier Punkte, die im Abstand δ0 /2 in der jeweiligen Richtung
voneinander entfernt liegen. Dieser Abstand ergibt sich aus der Breite des Powerspektrums
|F (x, y)|2 , der Schrittweite ∆ und der Korrelationslänge lc . Es gilt
δ0 =
∆
|∆|2
, wenn ∆ ≡ lc
.
(4.15)
43
4. Wellenfrontmessung mittels optischer Differentiation
Ist der Phasenunterschied deutlich kleiner als π/2, so sind die Gleichungen (4.10) und
(4.11) linear in den lokalen Wellenfrontverkippungen, so dass
2 δ0 δ0
φ(x, y) − φ x − , y
I5x (x, y) ≈ B F (0, 0) + 4 B C F̄x
2 2
2 δ0
δ0 φ(x,
y)
−
φ
x,
y
−
I5y (x, y) ≈ B 2 F (0, 0) + 4 B C F̄y
2 2
2
(4.16)
(4.17)
gilt. Der konstante, additive Term F (0, 0) in den Gleichungen (4.10) und (4.11) spiegelt die
Gesamtintensität des Objekts wider. Variiert diese mit der Zeit, so führt dies zu einer veränderten Intensität I5 (x, y). Der Einfluss der Gesamtintensität auf das Messsignal kann kompensiert werden, indem die Transmission der Masken in kurzen Abständen invertiert wird,
d. h. m−1 (ξ, η) := 1 − m(ξ, η) und die Differenzen der so erhaltenen Intensitäten gebildet
werden. Das Ergebnis ist dann direkt proportional zur lokalen Wellenfrontverkippung, z. B.
2 δ0
δ0 φ(x,
y)
−
φ
x
−
,
y
∆I5x (x, y) ≈ 8 B C F̄x
2 2
.
(4.18)
4.3.2. Binäre Masken
Von der Lühe hat gezeigt, dass bereits quasibinäre Masken mit im Wesentlichen zwei Transmissionsstufen – durchlässig und nicht durchlässig – entsprechend den Gleichungen (4.7) und
(4.8), wie in Abbildung 4.3 (d) u. (e) dargestellt, für die Anwendung ausreichen. Die quasibinären Masken werden aus den normalen Masken 4.3 (b) bzw. (c) erstellt: Die weißen
(transparenten) Bildpunkte der quasibinären Maske sind Bildpunkte, deren Transmission über
dem Median der normalen Maske liegt, und die schwarzen (intransparenten) Bildpunkte sind
diejenigen mit einer geringeren Transmission als dem Median. Die wenigen grauen (halbtransparenten) Bildpunkte der quasibinären Maske markieren den Median der normalen Maske.
Die vorgeschlagene Reduzierung der Transmissionsstufen über den Median impliziert, dass
eine quasibinäre Maske und ihre Invertierte die gleiche Gesamtdurchlässigkeit haben, da die
Anzahl der weißen Bildpunkte gleich der Anzahl der schwarzen Bildpunkte ist. Dadurch ist
die Intensität in der Bildebene z3 beim Invertieren der Maske erhalten, was fundamental für
die Funktionsweise des Wellenfrontsensors ist.
Die Möglichkeit, die Anzahl der Transmissionsstufen auf quasi zwei (maximal durchlässig und undurchlässig) zu reduzieren ist von großer Wichtigkeit, da die optische Weglänge
in einer Flüssigkristallzelle von ihrem Transparenzgrad abhängt, um zusätzliche Wellenfrontstörungen durch die Flüssigkristallanzeige zu verhindern. Im Folgenden ist mit Maske immer
eine quasibinäre Maske gemeint.
4.4. Wellenfrontrekonstruktion
Aus den lokalen Wellenfrontverkippungen nach Gleichung (4.18) kann die Wellenfront modal
rekonstruiert werden. Eine beliebige Wellenfront φ(x, y) kann nach Gleichung (3.5) als eine
44
4.5. Einbau im Teleskop
Reihe
φ(x, y) =
∞
X
aj Zj (x, y)
(4.19)
j=1
aus Zernike-Polynomen Zj (x, y) dargestellt werden.1 Der Gradient dieser Wellenfront kann
dann durch
∞
X
~
~ j (x, y)
∇φ(x,
y) =
aj ∇Z
(4.20)
j=1
~k der lokalen Wellenfrontbeschrieben werden. Aus einem gegeben Satz von N Messwerten β
kippung in Form von Helligkeitswerten auf einem CCD-Chip können die Koeffizienten aj
in Gleichung (4.19) über die Minimierung der quadratischen Abweichung (siehe Abschnitt
6.5.2)

2
N
∞
X
X
~k −
~ j (x, y)
β
χ2 =
aj ∇Z
(4.21)
k=1
j=1
bestimmt werden.
Prinzipiell kann die Wellenfront auch durch eine künstliche Zerlegung in Subaperturen auf
zonale Art und Weise aus den durchnschnittlichen Gradienten innerhalb dieser Subaperturen
wie bei einem Hartmann-Shack Sensor rekonstruiert werden (siehe dazu z. B. [6, Kapitel 8]).
Die Größe der Subaperturen kann dabei optimal auf das Seeing eingestellt werden.
4.5. Einbau im Teleskop
Ein Vorschlag von der Lühes, wie das beschriebene Wellenfrontsensorkonzept realisiert werden kann, um gleichzeitig alle Daten mit einer einzelnen photometrischen Aufnahme zu gewinnen, die für eine Wellenfrontrekonstruktion erforderlich sind, nutzt die polarisationsdrehende Eigenschaft von Flüssigkristallzellen mit Hilfe zweier Wollastonprismen2 aus. Dieser
Vorschlag ist in Abbildung 4.4 schematisch skizziert. In einer Bildebene begrenzt eine Feldblende das Gesichtsfeld auf ca. 10 Bogensekunden. Mit einer Kollimatorlinse und einem Wollastonprisma werden zwei divergierende Strahlen unterschiedlicher Polarisation erzeugt. Mit
einer weiteren Linse werden in diesen Strahlen auf dem Flüssigkristallbildschirm zwei getrennte Bilder der Bildebene erzeugt. Der nackte Flüssigkristallbildschirm ohne irgendwelche
Polarisatoren trägt zwei Masken für die Bestimmung der lokalen Wellenfrontverkippung entlang zweier Richtungen. Die Masken sind ohne diese Polarisatoren hier noch nicht als Transparenzgrad sondern als Polarisationsdrehwinkel kodiert. Im spannungslosen Zustand dreht
eine Flüssigkristallzelle die Polarisationsrichtung um 90°, während sie bei angelegter (maximaler) Spannung unverändert bleibt. Auf diese Weise sind auf dem Flüssigkristallbildschirm
gleichzeitig und an dem selben Ort die quasibinäre Maske und ihre Inverse geschaltet. Mit
einem weiteren Wollastonprisma kann nun der quasibinäre Transparenzgrad der Masken auf
1 Selbstverständlich
können auch andere Basisfunktion zur Darstellung benutzt werden.
Wollastonprisma ist ein polarisierender Strahlteiler, das einen einfallenden unpolarisierten Lichtstrahl in zwei
unter einem Winkel von 15-45° divergierende Strahlen aufteilt, die senkrecht zueinander polarisiert sind.
2 Ein
45
4. Wellenfrontmessung mittels optischer Differentiation
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
Detektor
Linse 3
Wollaston 2
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
LCD
Linse 2
Wollaston 1
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
Linse 1
Feldblende
Abbildung 4.4.: Schematische Darstellung einer Anordung zur vollständigen Bestimmung des Wellenfrontgradienten mit einer einzigen photometrischen Aufnahme. Die Kamera, anhand deren Livebildes
die Masken erzeugt werden, ist nicht eingezeichnet. Grafik und Idee: O. von der Lühe.
zwei weiteren getrennten Strahlen realisiert werden, so dass über eine abbildende Linse letztlich vier Pupillenbilder auf einem Photodetektor entstehen, die die vollständige Information
über den Wellenfrontgradienten beinhalten. Es müssen nur noch jeweils die zwei Bilder einer
Richtung subtrahiert und aus diesen Differenzen die Wellenfront nach Abschnitt 4.4 rekonstruiert werden.
46
5. Flüssigkristallanzeigen
Flüssigkristalle haben sich in den letzten zwei Jahrzehnten zu einem wichtigen Medium zur
Visualisierung zeitlich veränderlicher Information entwickelt. Anzeigen auf Basis flüssiger
Kristalle sind Teil unseres (all-)täglichen Lebens geworden. Sie bilden einen Grundstock für
die moderne, digitale Welt, für die kompakte und energieeffiziente Anzeigeelemente ebenso
wichtig sind wie hochintegrierte Schaltkreise.
Breite Anwendung fanden die Flüssigkristallanzeigen oder Liquid Crystal Displays (LCD)
erstmals zu Beginn der 1980er Jahre in Armbanduhren und Taschenrechnern. Heute befinden
sich LCDs in nahezu jedem elektronischen Gerät, das seinem Benutzer Informationen mitteilen soll, die über seinen Betriebsstatus hinausgehen. Komplexe interaktive Funktionen von
vielen Geräten, wie z. B. Telekommunikationsgeräten oder Kopierern, werden überhaupt erst
durch die Verwendung kompakter Anzeigeelemente möglich.
Große Fortschritte auf dem Gebiet der Halbleitertechnik haben dazu geführt, dass die über
100 Jahre alte, sperrige Elektronenstrahlröhre aktuell zunehmend von Flüssigkristallbildschirmen aus Fernsehgeräten und Computermonitoren verdrängt wird. In der Videoprojektion spielt
die Elektronenstrahlröhre heute überhaupt keine Rolle mehr. Dies ist die Domäne hochmoderner Flüssigkristalltechnologie und der mikromechanischen DLP-Technologie1 von Texas
Instruments.
Im folgenden Abschnitt werden die prinzipiellen, für unsere Anwendung relevanten, Eigenschaften von Flüssigkristallen dargelegt. Darauf folgt ein Abschnitt, der ihre Anwendung in
Anzeigeelementen erklärt.
5.1. Flüssige Kristalle
Flüssige Kristalle? Dieser Begriff, der von Otto Lehmann2 eingeführt wurde, scheint zunächst
widersprüchlich. Versteht man doch unter einer Flüssigkeit eine Substanz, deren Moleküle
frei beweglich sind. Flüssigkeiten sind isotrop und weisen keinerlei Fernordnung auf. Im Gegensatz dazu sind die Moleküle von festen Körpern mit ihren Schwerpunkten an feste Orte
gebunden und können höchstens elastische bzw. vibratorische Bewegungen ausführen. Die
Moleküle von Kristallen sind in einem periodischen, dreidimensionalen Gitter anisotrop angeordnet.
Manche Stoffe mit länglichen Molekülen zeigen in begrenzten Temperaturbereichen (bei
Normaldruck) Eigenschaften, die sowohl typisch für Kristalle als auch für Flüssigkeiten sind.
In dieser flüssigkristallinen Phase sind die Moleküle immernoch leicht verschiebbar, es bilden
sich jedoch spontan makroskopische, anisotropische Bereiche mit innerer Ordnung aus.
1 Digital
Light Processing, http://www.dlp.com
Physiker, 1855-1922
2 Deutscher
47
5. Flüssigkristallanzeigen
Abbildung 5.1.: Die Ordnungsphasen flüssiger Kristalle. Die nematische Phase (links), die cholesterinische Phase (mitte) und die smektische Phase (rechts).
Es gibt verschiedene Ordnungstypen von Flüssigkristallen, die in Abbildung 5.1 skizziert
sind. Für die Anzeigentechnik ist fast ausschließlich die nematische Phase interessant, in der
die länglichen Moleküle bevorzugt in eine gemeinsame Richtung zeigen, aber ansonsten keinerlei räumliche Ordnung aufweisen, wie dies auch bei normalen, isotropen Flüssigkeiten der
Fall ist.
5.2. TFT-LC-Displays
Der schematische Aufbau einer einfachen Zelle (Segment oder Pixel) eines Flüssigkristallbildschirms ist in Abbildung 5.2 gezeigt. In einer Zelle eines LCDs sind nematische Flüssigkristalle zwischen zwei Glasplatten eingeschlossen. Auf der Innenseite der Glasplatten befindet
sich eine transparente Elektrode aus Indiumzinnoxid (ITO). Die Elektroden sind mit Polyimid
beschichtet, das eine Rauigkeit mit einer Vorzugsrichtung aufweist. Die länglichen Flüssigkristallmoleküle richten sich nach dieser Richtung aus. Die Vorzugsrichtungen der Elektrodenrauigkeit sind um 90º gegeneinander verdreht, so dass sich die Flüssigkristalle spiralförmig zwischen den beiden Glasplatten ausrichten. Dies ist die sog. gedreht-nematische Phase
(twisted nematic phase). Die in dieser Weise angeordneten Flüssigkristalle drehen nun die Polarisationsrichtung von Licht, das parallel zur Spiralachse durch die Displayzelle ausbreitet.
Mit steigender Spannung zwischen den Elektroden richten sich die Flüssigkristallmoleküle
wegen ihres großen Dipolmoments immer stärker in Richtung des elektrischen Feldes aus und
die polarisationsdrehende Eigenschaft geht immer mehr verloren. Mit zwei Polarisationsfiltern
auf der Außenseite der Glasplatten wird so ein Lichtventil realisiert. Sind diese beiden Polarisatoren parallel zu einander ausgerichtet, so ist das LCD im spannungslosen Zustand opak und
werden mit wachsender Spannung durchsichtig. Sind die Polarisatoren um 90º gegeneinander
verdreht, verhält es sich genau anders herum und das Display ist im spannungslosen Zustand
durchsichtig.
In modernen Thinfilmtransistor-LC-Displays (TFT-LCD) sind die Pixel in einer aktiven
Matrixstruktur angeordnet, in der jedes Pixel jeweils über einen eigenen Dünnschichttransistor
und einen Kondensator verfügt (nicht in Abb 5.2 dargestellt). Über den Transistor wird der
Kondensator ge- oder entladen, der die gewünschte Spannung zwischen den Pixelelektroden
hält.
48
5.2. TFT-LC-Displays
Polarisator
Glas
ITO−Elektrode
Flüssigkristall
ITO−Elektrode
Glas
Analysator
Abbildung 5.2.: Schematische Darstellung der Funktionsweise einer LCD-Zelle. Die parallel zu den
ITO-Elektroden ausgerichteten, gedreht-nematisch angeordneten Flüssigkristallmoleküle (links) richten
sich beim Anlegen einer Spannung auf (rechts). Bei gekreuztem Polarisator und Analysator erscheint die
Zelle im spannunglosen Zustand durchsichtig und bei angelegter Maximalspannung opak.
49
6. Versuchsaufbau
Die Neugier steht immer an
erster Stelle eines Problems,
das gelöst werden will.
(Galileo Galilei)
In diesem Kapitel wird detailliert beschrieben, wie der optisch differenzierende Wellenfrontsensor aus einem Videoprojektor realisiert wurde. Zum Test des Sensors wurde mit einem
Kollimator ein künstliches Zielobjekt erzeugt und mit einem deformierbaren Spiegel eine steuerbare, bekannte Wellenfrontaberration erzeugt, die der Sensor erkennen sollte.
6.1. Skizze und Beschreibung
Für den Testaufbau, der in Abbildung 6.1 skizziert ist, wurden folgende Komponenten verwendet:
• ein LCD-Videoprojektor (Hitachi Illumina PJ-TX100)
• ein deformierbarer Spiegel (OKO MMDM 37 Ch, 15 mm)
– ein Hochspannungsverstärker (OKO 20 Channel Amplifier, 1997)
– Digital-analog-Wandler (OKO DAC-40 USB)
• ein PC mit Linux (Debian Sarge mit SuSE Kernel 2.6.8-24.14 wegen Kamera-Kernelmodul)
– eine Grafikkarte für Mehrbildschirmbetrieb mit DVI-Ausgang (NVIDIA GeForce
FX 5200 Chip)
– eine USB 2.0 Karte (NEC Controllerchip)
• ein Twyman-Green Interferometer (Fisba µPhase)
– ein PC mit Windows 95
• eine CMOS-USB-Kamera (VRmagic VRmC-4pro/BW)
• drei achromatische Bikonvexlinsen: 2 × Edmund L45-268 (f = 500 mm), 1 × Edmund
L32-327 (f = 100 mm)
• drei lineare Polarisationsfilter
• zwei Planspiegel
51
6. Versuchsaufbau
• ein Kaltglas KG3
• ein UV-Filter
• vier Zeiss-Schienen und weitere mechanische Komponenten
Aus dem Videoprojektor habe ich zwei LCD-Panels und die Quecksilberhochdruckdampflampe samt ihrer Linsenoptik ausgebaut (siehe Abschnitt 6.1.1). Das Panel LCD1 wird mit
der Lampe und ihrer Linsenoptik, bestehend aus dem Kondensor K und den Integratorlinsenarrays, gleichmäßig ausgeleuchtet. Um das Panel und den Polarisationsfilter P1 vor thermischen Schäden aufgrund der Lampenintensität zu schützen, wird das Licht der Lampe an einer
Glasscheibe in Richtung des Panels LCD1 reflektiert. Der Einfallswinkel des Lampenlichts
zur Glasscheibe beträgt ca. 56º. Bei diesem Winkel wird ca. 16 % der einfallenden Intensität
reflektiert [2, S. 456, Abb. IV.15]. Das übrige Licht wird durch das Glas transmittiert und auf
einer schwarzen Fläche (nicht dargestellt) absorbiert. Da bei ca. 56º auch der Brewster- bzw.
Polarisationswinkel von Glas liegt, ist das reflektierte Licht bereits stark linear polarisiert [2,
S. 448, Abb. IV.7, Tab. IV.1, S. 456, Abb. IV.15]. Der entsprechend ausgerichtete Polarisator
P1 muss so nur noch wenig Energie dissipieren. (Das Kaltglas vor dem Polarisator P1 sollte
ursprünglich als Wärmeschutz für das LCD1 bei geradem Strahlengang wirken. Seine Absorptionsleistung war jedoch nicht ausreichend, so dass ich letztlich die beschriebene Reflexion
an einer Glasscheibe verwendet habe. Das Kaltglas verblieb jedoch weiter im Strahlengang.)
Zum Schutz der LCD-Panels und der Personen im Raum vor der UV-Strahlung der Quecksilberlampe habe ich einen UV-Filter zwischen dem zweiten Linsenarray des Intregrators und
dem Kondensor platziert.
Das Panel LCD1 befindet sich in der Brennebene der Linse L1 , die somit das Muster auf
dem LCD in das Unendliche projiziert. Der Lichtstrahl wird dann unter einem Winkel von 96º
über Planspiegel M1 auf den deformierbaren Spiegel DM gelenkt, der eine künstliche, veränderbare Aberration in die bis dahin ebene Wellenfront einführt. Der Polarisator P2 zwischen
LCD1 und L1 ist gegenüber P1 um 90º gedreht. Über Planspiegel M2 wird der Lichtstrahl wieder in die ursprüngliche Richtung gelenkt und trifft auf Linse L2 . Diese bildet in ihrer Brennebene das Muster von LCD1 im Maßstab 1 ab. Wegen der ungeraden Anzahl an Spiegeln ist
das Bild – anders als bei einem herkömmlichen 4f-Aufbau – nur um die horizontale Mittelachse gespiegelt. In der Bildebene der Linse L2 befindet sich außerdem das zweite LCD-Panel
LCD2 . Die Linse L3 bildet diese Ebene in das Unendliche ab. Die Kamera C ist in der Ebene
platziert, die konjugiert zur Position des deformierbaren Spiegels ist. Der Polarisator P3 zwischen L3 und der Kamera ist gegenüber P2 um 90º gedreht. Das Interferometer ist senkrecht
vor dem deformierbaren Spiegel hinter den beiden Umlenkspiegeln M1 und M2 positioniert.
Zur Demonstration des Wellenfrontsensorprinzips wird auf Panel LCD1 ein Ausschnitt solarer Granulation von ca. 1000 × 1000 (128 × 128 Pixel) geschaltet. Somit simuliert die Anordnung aus L1 und LCD1 die unendlich weit entfernte Sonne. Der deformierbare Spiegel
simuliert die Auswirkungen der Erdatmosphäre auf die Ausbreitung des Lichts (Seeing). Die
Linse L2 kann konzeptionell als Hauptspiegel eines Teleskops betrachtet werden.
Auf Panel LCD2 wird eine nach Gleichung (4.7) bzw. (4.8) erstellte Maske mit drei Transmissionsstufen geschaltet. Damit die Orientierungen der Maske und der abgebildeten Granulation übereinstimmen, muss die Maske um die Horizontale gespiegelt werden.
52
P3 L 3
LCD 2
L 2 M2
DM
I
M1 L 1
P1
P2 LCD1 KG
Glas
UV−Filter
Integrator
Lampe
K
Abbildung 6.1.: Skizze des Testaufbaus: Der Lichtweg verläuft von rechts nach links. Linse L1 projiziert die auf LCD1 geschaltete Sonnengranulation ins Unendliche (Sonnensimulator). Über die Planspiegel M1 und M2 wird der Strahl auf den deformierbaren Spiegel DM gelenkt, der eine definierte
Wellenfrontaberration erzeugt (Seeingsimulator). Linse L2 , LCD2 , Linse L3 und die Kamera C bilden den Wellenfrontsensor. Das Interferometer I
vermisst die Form des deformierbaren Spiegels zur Referenz.
C
6.1. Skizze und Beschreibung
53
54
L3
LCD2
OKO−Spiegel
L2
L1
Interferometer
Projektor
LCD1
Lampe
D/A−Wandler
Abbildung 6.2.: Fotografische Aufnahme des Testaufbaus. Während der Messungen war die Kamera auf einem 3-achsigen Kreuztisch montiert.
Kamera
Verstärker
6. Versuchsaufbau
6.1. Skizze und Beschreibung
Auflösung
Kontrast
Helligkeit
Lampenart
Lampenleistung
Eingang (RGB)
1280 Spalten × 720 Zeilen (HDTV 720p, 16:9)
1200:1
1200 Ansi-Lumen
Quecksilberhochdruckdampflampe (200 Bar)
150 W
VGA, SVGA, UXGA
Tabelle 6.1.: Wichtige technische Daten des Hitachi Illumina PJ-TX100 Videoprojektors
Die Anordnung aus L2 , LCD2 , L3 und C stellt eine Realisation des von von der Lühe vorgeschlagenen Wellenfrontsensorprinzips dar. Das Interferometer vermisst die Form des deformierbaren Spiegels als Referenz. Die Wellenfrontsensormessungen müssen mit dem Gradienten der interferometrisch gemessenen Spiegelform übereinstimmen.
6.1.1. Der Videoprojektor
Der verwendete Videoprojektor mit der Marken- und Modellbezeichnung Hitachi Illumina
PJ-TX100 ist ein handelsüblicher HDTV-Heimkinoprojektor basierend auf der 3LCD Technologie von Epson1 . Der Projektor verfügt über drei identische monochrome LCD-Panels mit
denen mittels additiver Farbmischung der Grundfarben Rot, Grün und Blau ein farbiges Bild
erzeugt werden kann. Die optische Funktionsweise des Projektors ist in Abbildung 6.3 gezeichnet. Der Projektor wird von dem Linux PC über den DVI-Ausgang der NVidia TwinView
Grafikkarte angesteuert. Die technischen Daten sind in Tabelle 6.1 notiert.
Projektionslinse
dichroitisches Prisma
S
K
K
S
LCD
P
K
K
S
Lampe
dichroitische Spiegel
Abbildung 6.3.: Schematischer Aufbau eines 3LCD Videoprojektors: Das weiße Licht der Lampe wird
mit dichroitischen Spiegeln in je einen roten, grünen und blauen Strahl aufgeteilt und über Planspiegel
(S) zu dem LCD des jeweiligen Farbkanals geleitet. Über ein dichroitisches Prisma werden die Strahlen
wieder vereint. Die Kondensorlinsen (K) lenken das Licht der Lampe in die Projektionslinse, die ein
reelles Bild der LC-Displays erzeugt.
1 http://www.3lcd.com
55
6. Versuchsaufbau
Typ
Bildschirmdiagonale
Bildschirmmaße
(Breite × Höhe)
Pixelanzahl
(Spalten × Zeilen)
Pixelabstand
(Breite × Höhe)
Pixelwandstärke
Füllfaktor
Gehäusemaße
(Breite × Höhe × Tiefe)
Seitenverhältnis
Displayfarbe
Mikrolinsen
Anschluß
High Temperature Poly-Silicon Thin-Film Transisor
HTPS-TFT (aktive Matrix)
1,8 cm (0,7 Zoll)
15,4 mm × 8,7 mm
1284 × 724
12 µm × 12 µm
2,5 µm
ca. 60 %
23,2 mm × 24,6 mm × 5,8 mm
16:9
monochrom
unbekannt
Flexible Printed Circuit (FPC) mit 36 Adern
Drahtabstand 0,50 mm (0,020")
Dicke 0,30 mm (0,012")
Tabelle 6.2.: Technische Daten der LCD-Panels des Typs Epson L3D07H aus dem PJ-TX100
Projektor. Quelle: http://www.epsondevice.com/htps_e/products/list_size_07.
html (31.03.2005). Anmerkung: In HDTV-Systemen wie dem PJ-TX100 werden üblicherweise nur
1280 × 720 Pixel adressiert. Die übrigen 4 Pixel dienen dem Projektorhersteller als Einbautoleranz.
Die Lampe
Die Lampe des Projektors ist eine Quecksilberhochdruckdampflampe mit einem Arbeitsdruck
von 200 Bar. Durch diesen hohen Druck werden die fünf sichtbaren Quecksilberlinien zu
einem kontinuierlichen Spektrum verbreitert, das für das menschliche Auge bläulich-weiß
erscheint. Außerdem wird die radiale Ausdehnung der Lichtquelle praktisch auf einen Punkt
beschränkt2 .
Die Lampe und ihren Axiallüfter habe ich ausgebaut und in ein Aluminiumgehäuse montiert, das von der mechanischen Werkstatt herstellt wurde. Die 2- bzw. 3-adrigen Kabel der
Lampe und des Lüfters habe ich um ca. 1 Meter verlängert. Um Resonanzschwingungen
bei laufendem Lüfter zu vermindern, legte ich Gewichte auf das Gehäuse, die die Eigenfrequenz der Gehäusemontierung verschieben. Um eine möglichst gleichmäßige Ausleuchtung
des Bildfeldes zu erreichen, befinden sich im Projektor zwei Linsenarrays, die von Epson Integrator genannt werden. Diese habe ich zusammen mit der Kondensorlinse ebenfalls ausgebaut
und im originalen Abstand auf der optischen Bank montiert.
56
6.1. Skizze und Beschreibung
Abbildung 6.4.: Links: Leiterplatte zur Verbindung eines 36-poligen ZIF-FPC-Sockels (Typ Molex
54104-3692) mit einer 40-poligen Stiftleiste (abgewinkelt). Die 40-poligen Stiftleiten zweier identischer Leiterplatten werden 1:1 miteinander verbunden. An eine der beiden Leiterplatten wird ein LCDPanel angeschlossen. Die andere Leiterplatte wird über ein FFC-Kabel (Typ Molex 98266-0386) an die
Hauptplatine des Videoprojektors angeschlossen. Layout: Peter Markus (KIS), Herstellung: Fa. BauerElektronik (St. Wendel), Bestückung: Physikalisches Institut und KIS. Rechts: Fotografische Aufnahme
eines Halterungsblechs mit montiertem LCD-Panels und Leiterplatte.
Die LCD-Panels
Die technischen Daten der LCD-Panels des Typs Espon sind in Tabelle 6.2 notiert. Das LCDPanel des roten und das Panel des grünen Kanals habe ich aus dem Projektor ausgebaut und
auf ein Halterungsblech an einer Zeiss-Stange montiert, das von der mechanischen Werkstatt
hergestellt wurde. Dabei war zu beachten, dass die beiden LCDs wegen der Eigenschaften des
dichroitischen Prismas spiegelverkehrte Videosignale erhalten. Das Panel des grünen Kanals
übernimmt die Rolle von LCD1 und das Panel des roten Kanals die Rolle von LCD2 .
An den LCD-Panels ist ein 36-poliges FPC3 -Flachbandkabel fest montiert, das über einen
ZIF4 -Sockel mit der Hauptplatine des Projektors verbunden ist. Um die auf der optischen
Bank aufgebauten LCD-Panels ansteuern zu können, ist eine Verlängerung der Signalleitung
um ca. 1 Meter erforderlich. Hierzu habe ich ein 40-poliges Flachbandkabel mit Pfostensteckverbindern (ähnlich einem IDE-Kabel von PCs) konfektioniert. Eine Leiterplatte mit einer
40-poligen Stiftleiste und mit einem 36-poligen ZIF-FPC-Sockel (siehe Abb. 6.4) verbindet
ein FPC-Kabel mit dem Flachbandkabel. Mit zwei solcher Leiterplatten und einem weiteren
36-poligen FFC5 -Kabel habe ich unter Berücksichtigung der Polung je ein Verlängerungskabel für die beiden LCD-Panels realisiert.
2 http://www.3lcd.com/eg/ftr_ps_2_e.html
(04.04.2005)
3 Flexible
Printed Circuit
4 Zero Insertion Force
5 Flexible Flat Cable
57
6. Versuchsaufbau
6.2. Beugung am LCD-Panel
Die Pixelgröße der verwendeten LCD-Panels ist 12 µm (Tabelle 6.2). Bei diesen Abmessungen ist es erforderlich, Erscheinungen, die durch Beugung am LCD-Panel auftreten, zu kennen. Nachfolgend wird gezeigt, dass die Beugung zu einer Vervielfachung der Pupillenbilder
führt. Bei der Auswahl der Linse L2 wurde dafür Sorge getragen, dass die Pupillenbilder nicht
überlappen.
6.2.1. Die Amplitudentransmission eines LCD-Panels
Ein LCD-Panel mit matrixartiger Pixelanordnung verhält sich im Wesentlichen wie ein einfaches Kreuzgitter. Die Amplitudentransmission l(x, y) eines solchen LCD-Panels ist
l(x, y) = b(x, y) ∗
M
N
2
X
2
X
δ(x − np) · δ(y − mp)
(6.1)
N
m=− M
2 n=− 2
b(x, y)
M
N
p
Aperturfunktion eines Pixels
Anzahl der Zeilen (gerade)
Anzahl der Spalten (gerade)
Abstand der Pixel
z. B. M = 724
z. B. N = 1284
z. B. p = 12 µm
Für quadratische Pixel mit der Seitenlänge d < p ist die Aperturfunktion unter Vernachlässigung des Dünnschichttransistors (TFT) gegeben durch
x y
,
.
(6.2)
b(x, y) = rect
d d
Anstelle von Gleichung (6.1) können wir äquivalent
l(x, y) =
M
N
2
X
2
X
b(x − np, y − mp)
(6.3)
N
m=− M
2 n=− 2
oder
∞
X
l(x, y) = [b(x, y) ∗
∞
X
δ(x − np) · δ(y − mp)] · rect
m=−∞ n=−∞
|
{z
y
=p−2 comb( x
p,p)
x
y
,
Np Mp
(6.4)
}
schreiben und die jeweils besser handhabbare Form verwenden.
6.2.2. Das Beugungsmuster des LCD-Panels
Die komplexe Amplitude des Fraunhofer-Beugungsmusters ist nach Abschnitt 2.2.3 proportional zur Fourier-transformierten Transmissionsfunktion. Die Intensitätsverteilung des Beugungsmusters entspricht nach Gleichung (2.5) dem Betragsquadrat der komplexen Amplitude.
58
6.2. Beugung am LCD-Panel
sinc(dx/(λf))
1
sinc(Npx/(λf),Mpy/(λf))
1
kompl. Amplitude [a.u.]
-0,02
y [mm]
-0,01
0
-20
-15
-10
-5
0
0
0
0,01
λf/p
-25
0,5
5
10
15
20
25
0,02
-0,02
-0,5
-1
-0,01
0
x [mm]
0,01
0,02
x [mm]
(a) Die Beugungsordnungen sind durch den Ausdruck
[sinc(d ξ, d η) · comb(p ξ, p η)] festgelegt. Sie sind auf
der x-Achse an den Stellen ± l · λf /p lokalisiert. Ihre
Amplitude wird von sinc(d ξ, d η) bestimmt.
(b) Die Form einer einzelnen Beugungsordnung wird
durch sinc(N p x/(λf ), M p y/(λf )) beschrieben.
Die Breite der Beugungsordnungen ist proportional zum
Kehrwert der Panelgröße.
Abbildung 6.5.: Grafische Darstellungen des Beugungsmuster der LCD-Panels bei der Wellenlänge
λ = 632, 8 nm in der Brennebene einer Linse mit der Brennweite f = 100 mm, so dass ξ = x/(λf )
ist.
Im Folgenden wird angenommen, dass das LCD-Panel vollständig beleuchtet wird. Das heißt,
die Beugung findet an allen Pixeln statt. Unter Verwendung des Faltungstheorems berechnen
wir nach Gleichung (6.4)
L(ξ, η) := F {l(x, y)}
1
x y
x
y
= F {b(x, y)} · F
comb
,
∗
F
rect
,
p2
p p
Np Mp
1
= F {b(x, y)} · 2 p2 comb (p ξ, p η) ∗ N M p2 sinc (N p ξ, M p η) .
p
Für das quadratische Pixel aus Gleichung (6.2) gilt
n
x y o
,
F {b(x, y)} = F rect
= d2 sinc(d ξ, d η) .
d d
(6.5)
(6.6)
Das Beugungsmuster des vollständig beleuchteten LCD-Panels ist somit proportional zur Faltung
L(ξ, η) = d2 N p M p [sinc(d ξ, d η) · comb(p ξ, p η)] ∗ sinc(N p ξ, M p η)
|
{z
} |
{z
}
periodische (Pixel-)Struktur des Gitters
(6.7)
endl. Ausdehnung des Gitters
Der Ausdruck sinc(d ξ, d η) · comb(p ξ, p η) ist eine Kammfunktion mit individuell gewichteten δ-Impulsen, die die Beugungsordnungen repräsentieren (siehe Abb. 6.5 (a)). Ihre Lage wird einzig vom Pixelabstand p bestimmt. Die Helligkeit der Beugungsordnungen wird
dagegen nur von der Form und Ausdehnung der Pixelapertur beeinflusst. In dem Ausdruck
59
6. Versuchsaufbau
Abbildung 6.6.: Fotografische Aufnahme des Beugungsmusters des LCD-Panels in der Brennebene
einer Linse mit der Brennweite f = 100 mm bei einer Wellenlänge λ = 632, 8 nm: Der rote Kreis
markiert die nullte Beugungsordnung. Es ist zu erkennen, dass die Maxima nach außen hin dunkler
werden. Die scheinbar asymmetrische Helligkeitsverteilung der Maxima wurde durch eine ungleichmäßige Beleuchtung des Schirms während der Aufnahme verursacht. Der Abstand der Maxima beträgt
(5, 26 ± 0.02) mm.
sinc(N p ξ, M p η), der durch die Faltung die eigentlich scharfen Beugungsordnungen verschmiert und so ihre Struktur bestimmt, spiegelt sich die endliche Ausdehnung des LCDPanels wider (siehe Abb. 6.5 (b)).
Wir fassen diese Erkenntnisse zusammen:
Periodizität des LCD-Panels
Pixelform und Pixelgröße
räumliche Ausdehnung des LCD-Panels
↔
↔
↔
Lage der Beugungsordnungen
Helligkeit der Beugungsordnungen
Form der Beugungsordnungen
Beobachtung des Beugungsmusters
Beobachtet man das Beugungsmuster in der Brennebene einer Linse mit der Brennweite f , so
ist ξ = x/(λf ) und η = y/(λf ), und man erhält
∞
∞
X
X
x
n
y
m
comb(pξ, pη) ξ = x/(λf ) =
δ
−
δ
−
λf
p
λf
p
n=−∞ n=−∞
η = y/(λf )
∞
∞
X
X
λf
λf
= (λf )2
δ x−n
δ y−m
.
p
p
n=−∞ n=−∞
(6.8)
Der Abstand zweier benachbarter Beugungsordnungen entspricht demnach λf /p. In Abbildung 6.6 ist die Intensitätsverteilung des Beugungsmusters der im Testaufbau verwendeten
LCD-Panels fotografisch festgehalten. Das Panel wurde hierfür mit einem kollimierten LaserStrahl der Wellenlänge λ = 632, 8 nm beleuchtet. Der Schirm befindet sich in der Brennebene
der Linse L3 mit der Brennweite f3 = 100 mm. Ein Vergleich mit dem berechneten Abstand
60
6.3. Der deformierbare Spiegel
der Beugungsmuster
λf3
632, 8 nm 100 mm
=
≈ 5, 27 mm
p
12 µm
mit dem gemessenen Abstand von (5, 26 ± 0, 02) mm bestätigt den im Datenblatt des LCDPanels angegebenen Pixelabstand p = 12 µm.
Auswirkungen der Beugung auf den Testaufbau
Die beschriebene Beugung am LCD-Panel hat zur Folge, dass die Pupille mit dem Durchmesser D mehrere Bilder in der Brennebene der Linse L3 erzeugt. Der Durchmesser D0 = f3 /f2 D
dieser Pupillenbilder wird durch die Vergrößerung f3 /f2 des afokalen Linsensystems L2 L3
bestimmt. Damit sich die Pupillenbilder nicht überlappen, muss ihr Abstand größer als ihr
Durchmesser sein, d. h. es muss
f3
λf3
> D
p
f2
⇔
D<
λf2
p
(6.9)
gelten. Das Airy-Scheibchen der Pupille misst in der Brennebene der Linse L2 im Durchmesser d = 2 · 1, 22λf2 /D. In der Brennebene der Linse L2 befindet sich auch das LCD-Panel.
Zusammen mit der Bedingung D < λf2 /p aus Gleichung (6.9) können wir
d > 2 · 1, 22p
(6.10)
für den Durchmesser des Airy-Scheibchens fordern, wenn sich die gebeugten Pupillenbilder
nicht überlappen sollen.
Die Pupille und die Objektivlinse L2 sind so zu wählen, dass der Durchmesser des Beugungsscheibchens den doppelten Pixelabstand übersteigt.
6.3. Der deformierbare Spiegel
Der Membranspiegel (MMDM6 ) des Herstellers OKO Technologies besteht aus einer mit Aluminium beschichteten Siliziumnitrid-Membran mit 15 Millimeter Durchmesser, die über einem Silizium-Chip aufgehängt ist (siehe Abb. 6.7). Auf diesem Chip ist eine hexagonale Elektrodenstruktur aufgedruckt, die die 37 Aktuatoren bildet. Die Form der Membran kann durch
Anlegen einer elektrischen Spannung zwischen der Membran und den Aktuatorelektroden beeinflusst werden.
6.3.1. Die Form der Membran
Die vertikale Auslenkung h(x, y) der Siliziumnitrid-Membran, die von einer Zugverteilung
ρ(x, y) hervorgerufen wird, kann mit der Poisson-Gleichung
2
∂
∂2
ρ(x, y)
+ 2 h(x, y) =
(6.11)
T
∂x2
∂y
6 Micromachined
Membrane Deformable Mirror
61
6. Versuchsaufbau
Membran
+
−
+
−
+
−
+
−
Aktuatorspannung
+
−
Aktuatorelektrode
Abbildung 6.7.: Schematischer Aufbau eines Membranspiegels mit einseitiger Elektrodenstruktur
(links) und eine fotografische Aufnahme des 37-kanaligen OKO-Spiegels. Die gestrichelte Linie ist die
entspannte Membran.
mit Dirichletscher Randbedingung h(x, y) = 0 entlang der Membranaufhängung beschrieben
werden [14]. T ist die Vorspannung, mit der die Membran aufgehängt ist. Der Zug auf die
Membran, die von der elektrischen Spannung V (x, y) verursacht wird, ist gegeben durch
2
V (x, y)
,
(6.12)
d
wobei d der Abstand zwischen der entspannten Membran und der Aktuatorelektrodenstruktur
ist.
Wie muss nun die Zugverteilung ρ(x, y) aussehen, um die Membran definiert auszulenken? Sei hi (x, y) die Auslenkung, die von einem Einheitszug zwischen der i-ten Elektrode
und der Membran hervorgerufen wird. Diese sog. Einfluss- oder Antwortfunktion kann durch
Lösen der Poisson-Gleichung (6.11) oder durch Messung bekannt sein. Nimmt man an, dass
sich die Einflussfunktionen aller Aktuatorelektroden linear zu der Gesamtauslenkung h(x, y)
überlagern [13], so erhält man
ρ(x, y) ≈ 0
h(x, y) =
n
X
ai hi (x, y).
(6.13)
i=1
Dabei ist ai der Steuerwert des i-ten Aktuators und n die Anzahl der Aktuatoren. Entwickelt
man die Gesamtauslenkung nach Zernike-Polynomen, so lauten die Koeffizienten:
ZZ
ZZ X
n
bj =
h(x, y) Zj (x, y) dx dy =
ai hi (x, y) Zj (x, y) dx dy
i=1
=
n
X
(6.14)
ZZ
ai
hi (x, y) Zj (x, y) dx dy
i=1
Das Integral
ZZ
hi (x, y) Zj (x, y) dx dy =: cji
62
(6.15)
6.3. Der deformierbare Spiegel
ist der Koeffizient der j-ten Mode in der Zernike-Zerlegung der Einflussfunktion des i-ten Aktuators. Somit kann die Zernike-Zerlegung der Membranform bei gegebenen Aktuatorwerten
aus Gleichung (6.14) in Matrixschreibweise dargestellt werden:
bj =
n
X
cji ai
(6.16)
i=1
⇔ ~b = C ~a
(6.17)
mit ~b ∈ Rm , C ∈ Rm×n und ~a ∈ Rn . Die Zernike-Zerlegung ~b der Membranauslenkung
ergibt sich also aus der Multiplikation der Einflussmatrix C mit den Aktuatorwerten ~a.
Durch (pseudo)invertieren erhält man die Rekonstruktionsmatrix C−1 , aus der man für eine
gewünschte Membranform ~b die erforderlichen Aktuatorwerte ~a aus
~a = C−1 ~b
(6.18)
bestimmen kann.
6.3.2. Ansteuerung des OKO-Spiegels
Hardwareseitig Der Silizium-Chip mit der Aktuatorstruktur und der Spiegelmembran ist
über einen 40-poligen PGA7 -Sockel mit einer Leiterplatte verbunden, die die Anschlüsse der
Aktuatorelektroden und der elektrisch leitenden Aluminiumbeschichtung der Membran auf
zwei 20-polige Stiftleisten verteilt (siehe Abbildung 6.8). Über ein 20-adriges Flachbandkabel wird jeweils eine Stiftleiste mit dem 20-poligen Ausgang eines nicht-invertierenden 20kanaligen Hochspannungsverstärker (20 Ch Amp OKO 1997) verbunden. Die beiden Verstärkerkarten sind zusammen mit einem regelbaren Netzteil zur Spannungsversorgung in ein 19Zoll-Rackgehäuse eingebaut. Die beiden Verstärker sind eingangsseitig über 20-adrige Flachbandkabel mit dem 40-kanaligen 12-bit OKO DAC 40 USB Digital-analog-Wandler verbunden, der seinerseits über USB an einen PC angeschlossen ist.
Da die Pinbelegung des neuangeschaften USB-D/A-Wandlers nicht mit der Belegung der
früher am KIS verwendeten ISA-Steckkarten-D/A-Wandler identisch war und die vorhandenen Bezeichnungen verwirrend waren, habe ich die Verdrahtung von den D/A-Wandlerpins
bis zu den Spiegelelektroden nachgemessen und neue konsistente Bezeichnungen eingeführt.
Bei dieser Gelegenheit habe ich alle Flachbandkabel mit verpolungssicheren Steckverbindern
ausgerüstet und die Stiftleisten auf der Spiegelleiterplatte von der Elektronikwerkstatt gegen
Stiftwannen mit Verpolungsschutz austauschen lassen. Ein falsches Anschließen, das zur Zerstörung des Spiegels führen würde, ist fortan nicht mehr möglich. Das neue Verdrahtungsschema ist dem Verstärkergehäuse beigelegt und in Tabelle B.1 festgehalten.
Die Versorgungsspannung der Verstärkerkarten und der Arbeitsbereich des Digital-analogWandlers sind so zu einstellen, dass die Aktuatorspannung die auf dem Spiegel notierten 175
Volt nicht überschreitet.
7 Pin
Grid Array
63
6. Versuchsaufbau
31
1
19
1
20
2
(b) 20-polige Stiftleiste (male).
21
11
1
19
2
20
(c) 20-poliger Steckverbinder
(female).
(a) Die Aktuatorstruktur und die PGA-Pins des
Oko-Spiegels. Quelle: OKO Technologies.
Abbildung 6.8.: Die in Tabelle B.1 verwendeten Pinbezeichnungen des PGA-Sockels (a) und der
Flachbandkabelverbindungen (b) und (c). Jeweils in Frontansicht.
Softwareseitig
Die Datenübertragung zwischen dem Digital-analog-Wandlerchip und dem PC über den USB
übernimmt ein USB-FIFO des Typs FT245BM. Dieser IC kann unter Linux mit der Programmbibliothek libftd2xx angesprochen werden. Basierend auf der plattformunabhängigen
Programmbibliothek Qt habe ich ein GUI-Programm Mirror Control (mcontrol) geschrieben
(siehe Abb. 6.9), das unter Verwendung von libftd2xx Steuerbits zum DA-Wandler sendet und
so die Spiegelaktuatoren steuert. Mirror Control ermöglicht es, durch Anklicken den Wert eines jeden Aktuators manuell zu wählen. Desweiteren ist es möglich, die gewünschten Anteile
der ersten 21 Zernike-Moden an der Membranform über Eingabefelder zu wählen. Hierzu
muss das Programm eine Rekonstruktionsmatrix nach Gleichung (6.15) einlesen. Die Steuerbits werden dann aus Gleichung (6.18) bestimmt.
Die Rekonstruktionsmatrix des Spiegels wird numerisch mit dem GUI-Programm Response berechnet, das von der Lühe in Tcl/TK und C geschrieben hat. Ausgehend von einem linearen Zusammenhang zwischen Zug ρi (x, y) und angelegter Elektrodenspannung Vi (x, y)
bestimmt Response aus der Poisson-Gleichung (6.11) numerisch die Einflussfunktionen aller 37 Aktuatoren. Aus den Einflussfunktionen berechnet Response nach Gleichung (6.15) die
Einflussmatrixelemente cji . Diese Matrix invertiert Response mit einer Singulärwertzerlegung
(siehe Abschnitt 6.5.2 und [10, Kapitel 2.6]). Als Eingabeinformation benötigt Response zur
Berechnung der Einflussfunktionen Angaben zur Aktuatorstruktur und den Durchmesser der
Membranaufhängung. Für die Aufstellung der Interaktionsmatrix sind noch der Durchmesser
der Pupille, innerhalb derer nach Zernike-Polynomen entwickelt werden soll, und die maximale radiale Ordnung der Entwicklung einzugeben.
Mirror Control verwendet die Aktuatornummerierung wie sie im Datenblatt des Spiegels
64
6.3. Der deformierbare Spiegel
Abbildung 6.9.: Bildschirmfoto des Programms Mirror Control zur Steuerung des deformierbaren
OKO Spiegels.
65
6. Versuchsaufbau
dargestellt ist und die Nollsche Indizierung der Zernike-Moden. Beim Einlesen der Kontrollmatrix wird berücksichtigt, dass Response abweichende Bezeichnungen verwendet.
Anmerkungen
1. Die Spiegelmembran wird beim Anlegen einer Aktuatorspannung immer nur in Richtung der Elektroden gezogen. Um eine beidseitige Auslenkung zu ermöglichen bedarf
es einer transparenten Elektrodenstruktur über der Vorderseite der Spiegelmembran.
2. Es ist daher erforderlich die Membran mit einer für alle Elektroden konstanten Biasspannung vor zu deformieren. Die resultierende Form entspricht im Wesentlichen einem
Defokus. Die Biasspannung sollte so gewählt √
sein, dass die Membran mit ihrem halben
Maximalhub durchhängt, d.h. VBias = Vmax / 2.
3. Die nach der Gleichung (6.18) konstruierten Auslenkungen beziehen sich somit nicht
auf die entspannte Membran sondern auf die Biasform. Um den zusätzlichen Defokus
im beschriebenen Aufbau zu eliminieren, wird die Linse L2 entsprechend verschoben.
4. Die Dirichletsche Randbedingung verbietet der Spiegelmembran, auf ihrer ganzen Fläche Zernike-Moden nachzubilden. Dies ist nur innerhalb eines bestimmten Radius’
möglich. Von der mechanischen Werkstatt wurde ein Rahmen mit einem austausch- und
justierbaren Blendenblech gefertigt, der auf den Spiegelchip geschoben werden kann.
Die Blende befindet sich so nächstmöglich an der Spiegelmembran im Abstand von
etwa 5 Millimetern.
6.4. Das Twyman-Green Interferometer
Das Fisba µPhase Interferometer dient der Vermessung der Spiegelauslenkung h(x, y). Ihr
Gradient soll später mit den Ergebnissen des Wellenfrontsensors verglichen werden. Die nach
Abschnitt 6.3.2 berechneten Steuerspannungen für die Aktuatoren des deformierbaren Spiegels sind lediglich eine Richtschnur. Es kann nicht erwartet, dass auf diese Weise ZernikeModen mit hoher Präzision synthetisiert werden können. Zhu et al [15] haben einen geschlossenen adaptiven Regelalgorithmus entwickelt, der die Aktuatorspannungen iterativ einstellt,
bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Da die Software des Fisba Interferometers keine
Programmierschnittstelle (API) zur Verfügung stellt, konnte ich den Regelalgorithmus nicht
verwenden. Für den Testaufbau ist eine möglichst präzise Zernike-förmige Spiegelform ohnehin nicht erforderlich. Es ist nur wichtig, die Spiegelform bzw. ihren Gradienten möglichst
gut zu kennen. Das Fisba µPhase Interferometer ist ein Twyman-Green Interferometer. Interferometer dieses Typs werden häufig - so auch am KIS - dazu benutzt, die Qualität von Linsen
und Spiegel zu bestimmten.
6.4.1. Funktionsweise
In einem Twyman-Green Interferometer wird ein kollimierter Laserstrahl an einem Strahlteiler
in zwei zueinander senkrechte Strahlen gleicher Intensität aufgeteilt (siehe Abb. 6.10). Einer
66
6.4. Das Twyman-Green Interferometer
Referenzfläche
Testfläche
Kollimator
Strahlteiler
Laser
Strahlaufweiter
Photosensoren
Abbildung 6.10.: Schematischer Aufbau eines Twyman-Green Interferometers.
der beiden Strahlen trifft senkrecht auf eine plane Referenzfläche und wird zurückreflektiert.
Der andere Strahl trifft senkrecht auf die Testfläche und wird ebenfalls reflektiert. Mit einem
Strahlaufweiter wir der Durchmesser des Teststrahls an die Größe der Testfläche angepasst.
Die beiden reflektierten Strahlen werden von dem Strahlteiler wieder vereint und interferieren
miteinander. Mit einem CCD-Sensor wird das Interferenzmuster aufgenommen.
Ist die Testfläche eben, so ist die Intensitätsverteilung auf dem CCD-Sensor homogen. Wird
die Testfläche geneigt, besteht das Interferogramm aus äquidistanten hellen und dunklen Streifen, die senkrecht zum Gradienten der geneigten Testfläche verlaufen. Diese Interferenzstreifen (Fringes) können i. Allg. als Höhenlinien der Testfläche angesehen werden. Der Abstand
zwischen zwei benachbarten hellen und dunklen Streifen beträgt eine halbe Wellenlänge.
Das Fisba µPhase Interferometer verschiebt während des Messvorgangs zudem die Referenzfläche um insgesamt eine halbe Wellenlänge in fünf Schritten (Phase-Shifting). Ohne
hierauf näher einzugehen, sei erwähnt, dass diese Methode eine höhere Präzision zulässt als
die statische Methode mit feststehender Referenzfläche.
6.4.2. Bemerkungen zur Verwendung des Interferometers
• Bisher wurde bei der Verwendung des Interferometers am KIS die Testfläche senkrecht
zum feststehenden Interferometer justiert. Da im vorliegenden Fall die Ausrichtung des
zu vermessenden deformierbaren Spiegels bereits durch den Strahlengang des Testaufbaus vorgegeben ist, war es notwendig, zwei Schrauben der Interferometerhalterung
gegen Schrauben mit Feingewinde zu ersetzen, die eine genauere Justage des Interferometers senkrecht zum deformierbaren Spiegel erlaubten. Dies wurde von der mechanischen Werkstatt erledigt.
• Der Teststrahl des Interferometers hat in der vorhandenen Konfiguration einen Durchmesser von 50 Millimetern. Die Testfläche hat einen Durchmesser von 7 Millimetern.
Damit wird nicht die volle Fläche der CCD-Kamera mit 165 × 165 Pixeln des Interferometers genutzt. Ein Strahlweiter mit einem kleineren Durchmesser war von der Firma
Fisba nicht mehr erhältlich. Die Testfläche wird in der Folge nur an ca. 500 Punkten
67
6. Versuchsaufbau
vermessen. Die Fisba µShape Software des Interferometers kann die Oberfläche erst
ab 1 000 Datenpunkten analytisch – z. B. in Zernike-Polynome – zerlegen. Deshalb habe
ich das Programm fisbafit (siehe Abschnit 6.5.3) geschrieben, das die Messwerte aus
den Fisba Dateien einlesen und Zernike-Moden an sie fitten kann.
6.5. Software
6.5.1. Programm zur Steuerung des Wellenfrontsensors
Um die Objektstruktur und die Masken auf die LCD-Panels zu schalten und die Wellenfrontsensorkamera auszulesen, habe ich das Programm wavefrontsensor geschrieben. Dieses Programm ist weitgehend plattformunabhängig gestaltet. Für das Zeichnen der Masken und das
Einlesen der Grafikdatei wird die Programmbibliothek Simple DirectMedia Layer (SDL)8 verwendet, die für alle wichtigen Hard- und Softwareplattformen existiert. Für das Auslesen der
VRmagic USB Kamera stellt der Hersteller sowohl für Windows als auch für Linux Treiberbibliotheken zur Verfügung.9
In einem Programmdurchlauf werden die vollständigen Daten, die für die Wellenfrontrekonstruktion erforderlich sind, ohne Interaktion mit dem Benutzer aufgezeichnet. Das Programm liest zu Beginn eine monochrome Pixelgrafikdatei mit der Objektstruktur ein. Aus der
Objektstruktur werden nach den Gleichungen (4.7) bzw. (4.8) die horizontale und die vertikale Maske berechnet und, wie in Abschnitt 4.3.2 beschrieben, in drei Grauwerte kodiert.
Zu diesen beiden quasibinären Masken werden die inversen Masken durch Vertauschen von
Schwarz und Weiß erstellt. Um die Objektstruktur nur auf das LCD-Panel des grünen Kanals
zu schalten, werden die Rot- und Blau-Werte aller ihrer Pixel auf Null gesetzt. Analog werden
die Masken nur auf das Panel des roten Kanals geschaltet, indem die Grün- und Blau-Werte
ihrer Pixel auf Null gesetzt werden. Das Programm erzeugt dann ein schwarzes rahmenloses Fenster. In dieses Fenster werden im ersten Schritt nun mittig die grüngefärbte Objektstruktur und die rotgefärbte horizontale Maske gezeichnet (siehe Abb. 6.11). Mit der Kamera
wird anschließend eine Sequenz von Bildern aufgenommen, die fortlaufend in eine Datei aus
vorzeichenlosen 8-Bit Ganzzahlen geschrieben wird. Im nächsten Schritt wird die rotgefärbte
Maske durch ihre ebenfalls rotgefärbte Inverse ausgetauscht und wieder eine Sequenz von Bildern aufgenommen. Diese beiden Schritte werden ebenso für die vertikale Masken wiederholt.
In der Ausgabedatei befinden sich somit nach dem Programmdurchlauf vier Sequenzen von
Messungen, aus denen der Gradient der Wellenfront bestimmt werden kann (siehe Abschnitt
6.5.2).
Hinweise zur Verwendung von wavefrontsensor
Das Programm wavefrontsensor benötigt neben dem Dateinamen der Pixelgrafikdatei noch
die Belichtungszeit der Kamera. Optional können u. a. das ∆ aus den Gleichungen (4.7) und
8 http://www.libsdl.org
9 Das
benötigte Linux-Kernelmodul ist jedoch nur kompiliert erhältlich, daher muss ein von VRmagic unterstüzter
Kernel verwendet werden.
68
6.5. Software
Abbildung 6.11.: Ein typischer Bildschirminhalt während einer Wellenfrontmessung. Die schwarze
Fläche ist das Fenster des Programms wavefrontsensor mit der grüngefärbeten Objektstruktur und einer rotgefärbeten Maske. Es deckt den Anzeigebereichs des Projektors am DVI-Ausgang vollständig
ab. Auf dem Bildausschnitt rechts neben diesem Fenster ist das Fenster des Programms Mirror Control
zur Steuerung des deformierbaren Spiegels und ein Terminal zum Ausführen von wavefrontsensor positioniert. Dieser Bereich wird auf dem Monitor am VGA-Ausgang angezeigt. Der rechteckige Bereich
unterhalb des schwarzen Fensters wird auf keinem Anzeigegerät dargestellt.
(4.8) zur Maskenberechnung und ein Zoomfaktor zum Vergrößern der Objektstruktur und der
Maske auf den LCD-Panels angeben werden.
1. Während eines Programmdurchlaufs dürfen die Aktuatorwerte des deformierbaren Spiegels nicht verändert werden, da sonst die einzelnen Kameraaufnahmen nicht zu der selben Wellenfrontaberration gehören!
2. Der Linux PC verfügt über eine NVIDIA Grafikkarte, die einen Mehrbildschirmbetrieb
ermöglicht. Der Videoprojektor ist an den DVI-Ausgang der Karte und der Kontrollmonitor an den VGA-Ausgang angeschlossen. Mit der NVIDIA Treibersoftware können
beide Ausgänge zu einem virtuellen Bildschirm zusammengefasst werden. Dies ist außerordentlich praktisch, da auf diese Weise mit dem PC normal gearbeitet und z. B. das
Kamerabild live beobachtet werden kann. Das Fenster mit der Objektstruktur und der
Maske wird dann einfach in dem Anzeigebereich des virtuellen Bildschirms platziert,
der auf dem DVI-Ausgang ausgeben wird. Der typische Bildschirminhalt während einer
Wellenfrontmessung ist in Abbildung 6.11 gezeigt.
3. Obwohl die Kameradaten direkt in die Ausgabedatei geschrieben werden, spielt die
Bytereihenfolge keine Rolle, da die Abtastung nur mit einer Tiefe von 8-Bit erfolgt. Somit können die Daten ohne Konvertierung auch auf Big-Endian-Systemen ausgewertet
werden.
69
6. Versuchsaufbau
6.5.2. Programm zur Auswertung der Sensordaten
Die Aufnahmesequenzen in der von wavefrontsensor geschriebenen Datei werden mit kleinen Hilfsprogrammen, auf die hier nicht eingegangen werden soll, gemittelt und anschließend
die Intensitätsdifferenzen der jeweiligen Maskenrichtungen gebildet. Zur Auswertung dieser
Differenzdaten habe ich das Programm reconstructor geschrieben. Dieses liest eine Datei aus
8 oder 32 Bit langen Ganzzahlen ein und führt innerhalb einer frei wählbaren Analysemaske eine Zerlegung der Helligkeitswerte in Zernike-Polynome durch. Das Programm kann auf
Wunsch mehrere Pixel zu einem zusammenfassen (pixel binning). Damit kann die Auflösung
des Wellenfrontsensors künstlich verringert werden, da so die Anzahl der Subaperturen reduziert wird.
Für die Datenanalyse stehen zwei Methoden zur Reihenentwicklung nach Zernike-Polynomen nach Gleichung (3.5) zur Verfügung. Zum einen die einfache Zerlegung nach Gleichung
(3.15), die einer Multiplikation der Daten mit den Zernike-Polynomen und einer anschließenden Aufsummierung entspricht. Zum anderen die Methode der linearen Annäherung, die nachfolgend erklärt wird. Beide Methoden sind zwar im Falle der linear unabhängigen ZernikePolynome prinzipiell identisch, jedoch stellte sich bei Tests während der Programmierung
heraus, dass die zweite Methode bei verrauschten Daten zu stabileren Ergebnissen führt. Desweiteren werden bei der zweiten Methode gleichzeitig und ohne weiteres Zutun die Fehler der
Koeffizienten aufgrund der endlichen Zerlegung und ein Güteparameter (χ2 ) von der verwendeten Programmbibliothek mitbestimmt.
Lineare Anpassung
Die Methode der linearen Anpassung (linear least squares fit) eignet sich für Datensätze, bestehend aus den Messwerten yi (i = 1; . . . ; N ), die in eine Linearkombination von M Basisfunktionen Zk (~x) zerlegt werden sollen [10]. Die Modellfunktion hat dann die Form
y(~x) =
M
X
ak Zk (~x) .
(6.19)
k=1
Gesucht werden nun die Fitparameter bzw. Koeffizienten ak . Als Gütefunktion, die Aussagen
über die Qualität der endlichen Zerlegung erlaubt, wird
2
χ :=
2
N X
yi − y(~xi )
i=1
σi
(6.20)
gewählt. Dabei ist yi der i-te Messwert, ~xi seine Koordinate und σi seine Standardabweichung. Der beste Satz von Parametern ak (k = 1; · · · ; M ) ist nun derjenige, der χ2 minimiert.
Mit den Definitionen
bi :=
yi
;
σi
Ai j :=
Zj (~xi )
σi
mit i = 1; . . . ; N und j = 1; . . . ; M
kann Gleichung (6.19) als lineares Gleichungssystem der Form
2
χ2 = A ~a − ~b
70
(6.21)
(6.22)
6.5. Software
geschrieben werden.
Die N × M -Matrix A mit N > M kann allgemein als Produkt dreier Matrizen dargestellt
werden:
A = U W VT
(6.23)
Dabei ist U eine N × M -Matrix, W eine M × M -Diagonalmatrix und VT die Transponierte
einer M × M -Matrix V. Die Matrizen U und V sind in ihren Spalten orthogonal. Dies ist die
sogenannte Singulärwertzerlung (Singular Value Decomposition, kurz SVD).
Die Lösung zur Minimierung von Gleichung (6.22) ist nun durch
!
M
X
U(i) ~b
V(i)
(6.24)
~a =
wi
i=1
gegeben [10, Kapitel 15.4]. U(i) bzw. V(i) ist der dabei der i-te Zeilenvektor der Matrix U
bzw. V und wi das i-te Diagonalelement der Matrix W, der sog. i-te Singularwert der Matrix
A. Die Varianz des Parameter aj ist
σa2j =
2
M X
Vj i
i=1
wi
.
(6.25)
Das Programm reconstructor benutzt die Funktion gsl_multifit_linear aus der Programmbibliothek GNU Scientific Library (GSL)10 , die die beschriebene Methode inklusive der Singulärwertzerlung der Matrix A in U W VT implementiert. Die Implementierung von GSL
wurde vorgezogen, da sie im Gegensatz zur entsprechenden Funktion von Numerical Recipes
auch mit mehrdimensionalen skalaren Datensätzen ohne Modifikation umgehen kann. Der
Funktion aus der GSL werden lediglich der Datensatz (yi u. ~xi ) und die ausgewertete Designmatrix A übergeben.
Hinweise zur Verwendung von reconstructor
Neben dem Namen der einzulesenden Datei muss reconstrutor noch die Geometrie der Analysemaske übergeben werden. Es kann zwischen der langsameren aber stabileren linearen Anpassung und der schnelleren, einfachen Zerlegung gewählt werden. Neben dem Pixel-Binning
kann u. a. noch die maximale Ordnung der Zernike-Zerlegung angegeben werden. Das Programm gibt die Eingabeparameter sowie Statistiken der Daten und die Koeffizienten der Zerlegung auf die Standardausgabe aus. Zur Kontrolle der Lage und des Radius’ der Analysemaske
wird außerdem eine PGM-Datei mit der eingezeichneten Maske gespeichert.
6.5.3. Programm zur Auswertung der Spiegelform
Da die Fisba µShape Software, wie in Abschnitt 6.4.2 erwähnt, nicht für die Datenanalyse
verwendet werden kann, habe ich auf Basis von reconstructor das Programm fisbafit geschrieben, das die Fisba-Dateien einlesen kann. In Erweiterung zu reconstructor ignoriert fisbafit
10 http://www.gnu.org/software/gsl/
71
6. Versuchsaufbau
ungültige Datenpunkte, die bei der Interferometermessung auftreten können. Da im eigentlichen Sinne nicht die Auslenkung der Spiegelmembran interessiert sondern ihre Ableitung,
berechnet fisbafit aus den Zernike-Koeffizienten der Auslenkung nach Gleichung (3.12) zu(x)
(x)
sätzlich die Koeffizienten cj bzw. cj der Ableitungen in x und in y-Richtung. Der Fehler
sc(x) der Koeffzienten der Ableitunngen entlang der x-Richtung wird gemäß der Gaußschen
j
(x)
Fehlerfortpflanzung aus den Fehlern scj der Koeffizienten cj und der Nollschen Matrix γi j
brechnet:
v
u n uX (x) 2
sc(x) = t
γi j scj
(6.26)
j
i=1
Analoges gilt für die Ableitung entlang der y-Achse.
Hinweise zur Verwendung von fisbafit
Fisbafit können neben dem Dateinamen und Angaben zur Analysemaske u. a. noch Parameter
über die Standardabweichung der Datenpunkte, die Wellenlänge des Interferometers und die
größte Ordnung der Zernike-Zerlegung übergeben werden. Fisbafit gibt neben den Koeffizienten der Spiegelform, ihrer Ableitungen und sämtlicher Fehler auch Angaben zur Statistik der
Spiegelform aus.
6.5.4. Programm zur grafischen Darstellung der Daten
Zur grafischen Darstellung der Daten verwende ich das frei verfügbare Programm gnuplot11
in einer Vorabversion von 4.1, die binäre zweidimensionale Datensätze einlesen kann.
11 http://www.gnuplot.info
72
7. Durchführung
In diesem Kapitel werden die Art und Weise beschrieben, wie ich bei den Messungen vorging
und wie die Daten gewonnen wurden, deren Auswertung im nächsten Kapitel folgt.
7.1. Interferometrische Bestimmung der Spiegelform
als Referenz
Um die Wellenfrontsensordaten beurteilen zu können, ist es erforderlich, die zu messende
Wellenfront auf eine andere, erprobte Art und Weise zu bestimmen. Unter der Annahme aberrationsfreier Linsen und Planspiegel ist die Wellenfront durch die um den Faktor 2 gestreckte
Form des deformierbaren Spiegels gegeben. Für die Referenzmessung der Spiegelform verwendete ich das Fisba µPhase Interferometer.
7.1.1. Kalibrierung des Interferometers
Das Fisba µPhase Interferometer muss einmal nach jeder Justierung der inneren Referenzfläche mit einer äußeren Referenzfläche kalibriert werden, um die Ausrichtung dieser inneren
Referenzfläche und den Einfluss des Strahlaufweiters zu kompensieren. Die Kalibrationsmessung wird anschließend von den eigentlichen Oberflächenmessungen abgezogen. Für die vorliegende Anwendung bieten sich zwei Kalibrierungsansätze an: zum einen die Kalibrierung
mit einem planen Referenzspiegel und zum anderen die Kalibrierung mit der Biasform1 des
Membranspiegels. Beide Ansätze haben ihre Vor- und Nachteile. Während die Kalibrierung
mit der planen Referenzfläche die Bestimmung der tatsächlichen Membranform erlaubt, sieht
der Wellenfrontsensor nur die tatsächliche Form abzüglich des konstanten aber unbekannten
Defokus’, der aus der Verschiebung der Linse L2 (siehe Abschnitt 6.3.2) folgt.2 Die Fisba
µShape Software ist zwar in der Lage, neben linearen Aberrationen auch Defokusanteile aus
einer Messung automatisch herauszurechnen, jedoch gibt sie keinerlei Informationen über die
Amplitude des abgezogenen Defokus’ aus. Schwerer wiegt hingegen die Beobachtung, dass
der abgezogene Defokus bei wiederholten Messungen trotz unveränderter Spiegelform unterschiedlich war. Dies ist sicher eine Folge der im Prinzip zu wenigen Datenpunkte innerhalb
der Pupille, so dass einzelne Ausreißer, insbesondere am Rand, trotz Glättung und Interpolierung deutlichen Einfluss auf den herausgerechneten Defokus haben. Dieses Problem tritt bei
Messungen, die mit der Biasform des Spiegels kalibriert sind, nicht auf. Jedoch stellen diese
Messungen nicht die tatsächliche Spiegelform dar, sondern eben nur die Abweichung von der
1 Mit
Biasform bezeichne ich diejenige Form, die die Spiegelmembran beim Anlegen der Biasspannung annimmt.
strengen Sinn sieht der Wellenfrontsensor natürlich nur die Ableitung, der von der Spiegelmembran deformierten Wellenfront (abzüglich des Defokus’) und nicht die Form der Membran bzw. der Wellenfront.
2 Im
73
7. Durchführung
Biasform. In erster Näherung entspricht die Biasform einem Defokus. In diesem Fall ergeben
die Interferometermessungen prinzipiell das gleiche wie der Wellenfrontsensor mit passend
defokussierter Linse L2 . Der Wellenfrontsensor sieht nämlich immer die tatsächliche Form
abzüglich des konstanten Defokus’ der Linse L2 . Weicht die Biasform von der Parabelform
des Defokus’ ab, so geht bei den interferometrischen Messungen Information über die tatsächliche Membranform verloren. Alle interferometrischen Messungen der Spiegelform habe ich
mit beiden beschriebenen Kalibrierungen durchgeführt.
7.1.2. Schwierigkeiten bei der interferometrischen Messung
Schon beim ersten Kontakt mit dem Interferometer wurde mir klar, dass sich die Messungen
damit nicht so einfach gestalten, wie ich es mir vorgestellt hatte. Ein prinzipielles Problem
der Interferometrie ist ihre hohe Sensibilität für vibratorische Ereignisse. So war auf dem
Live-Interferogramm jeder einzelne Takt einer benachbarten Abwasserpumpe zu erkennen.
Stühlerücken und im Flur laufende Personen machten sich ebenso bemerkbar wie zufallende Türen. Auch der rotierende Lüfter der Projektorlampe verhinderte jegliche erfolgreiche
Messung mit dem Interferometer. Doch auch unter völlig ruhigen Bedingungen bedurfte es
i. d. R. mehrerer Messungen, um die Spiegelapertur möglichst lückenlos zu erfassen. Diese
Problematik lies sich aber mit Geduld bekämpfen. Jedoch zeigte sich eine weitere Schwierigkeit bei der Bestimmung der Spiegelform mit dem vorhandenden Fisba Interferometer: Die
Auflösung der CCD-Kamera beträgt 165 × 165 Pixel. Der aufgeweitete Messstrahl hat einen
Durchmesser von 50 Millimetern.3 Für die Abtastung der Spiegelapertur mit dem Durchmesser 7 mm stehen somit nur ca. 500 der 27 225 Pixel zur Verfügung. Die Fisba µShape Software
der verwendeten Version stürzt bei der Zernike-Analyse der gemessenen Oberfläche ab, wenn
weniger als 1 000 Datenpunkte zur Verfügung stehen. Dieses Problem konnte mit dem selbstgeschriebenen Programm fisbafit zur Auswertung der Daten umgangen werden.
Eine echte Schwierigkeit stellte allerdings das Festlegen des Radius’ und insbesondere der
Position der Analysemaske bei so wenigen Datenpunkten dar (siehe Abbildung 8.1). Die Apertur des deformierbaren Spiegels ist auf dem von Fisba µShape berechneten Höhenprofil nicht
erkennbar. Einzig anhand der Interferogramme konnte die Apertur abgeschätzt werden. Jedoch
zeigen sich in einem Interferogramm praktisch immer – also auch bei spannungsloser Spiegelmembran – dunkle Interferenzstreifen (Fringes). Außerdem war der Übergang zwischen Öffnung und Blende auf dem Bild der CCD-Kamera nicht als Sprung erkennbar, sondern war
leicht mit dem Hintergrundmuster verwaschen (Abb. 8.1). Die hieraus folgenden Schwierigkeiten bei der Datenauswertung und meine Lösung werden im nächsten Kapitel erklärt.
7.2. Einrichtung und Vermessung des OKO-Spiegels
Auf dem verwendeten OKO-Spiegel war eine Maximalspannung von 175 Volt notiert. Den
Ausgangsbereich des Digital-analog-Wandlers und die Versorgungsspannung der beiden 20kanaligen Hochspannungsverstärker habe so eingestellt, dass dieser Wert nicht überschrit3 Es
war nicht möglich von der Firma Fisba einen Strahlaufweiter mit kleinerem Durchmesser zu beziehen. Auf eine
Eigenkonstruktion ähnlich einem Galilei-Teleskop wurde verzichtet, da eine Ausrichtung zweier Linsen mit der
erforderlichen Präzision mit vorhandenen Komponenten nicht realistisch war.
74
7.3. Justierung des Aufbaus
ten werden konnte. Die maximale Ausgangsspannung des Digital-analog-Wandlers, also diejenige Spannung, die dem Steuerwert 4095 entspricht, betrug dann 3,027(5) Volt und die
Versorgungsspannung 203,0(5) Volt. Dies führte zu einer maximalen Aktuatorspannung von
176,0(5) Volt.
Der Biassteuerwert
des deformierbaren Spiegels betrug während sämtlicher Experimente
√
2896 ≈ 4095/ 2, da die Spiegelmembran bei diesem Wert wegen der quadratischen Abhängigkeit der Kraft von der Aktuatorspannung etwa zur Hälfte ausgelenkt sein sollte (siehe Abschnitt 6.3). Die Versorgungsspannung der Hochspannungsverstärker habe ich in losen
zeitlichen Abständen überprüft. Auf der eingebauten Skala ablesbare Abweichungen dieser
Spannung konnte ich dank des stabilisierten Netzgeräts nicht beobachten.
Zu Beginn der experimentellen Durchführung habe ich einmalig die ersten 21 ZernikeModen mit verschiedenen Amplituden in einer Apertur mit 7 Millimeter Durchmesser auf dem
Spiegel angesteuert und diesen interferometrisch vermessen. Diejenigen Moden, die der Spiegel augenscheinlich am schönsten erzeugt hat, habe ich für die Wellenfrontsensormessungen
ausgewählt. Neben den beiden Verkippungen waren das Defokus, Astigmatismus, 3-strahliger
Astigmatismus und sphärische Aberration.
Um die Anzahl der Datenpunkte bei den Interferometermessungen zu erhöhen, habe ich
auch eine Blende mit 9 Millimeter Durchmesser (und der passenden Rekonstruktormatrix)
probiert. Leider waren die so erhaltenen Membranformen nicht mehr so schön wie die mit der
kleineren Apertur. Deswegen habe ich im Folgenden stets die Blende mit 7 Millimeter Durchmesser gewählt. Dieser Durchmesser erfüllt die Forderung aus Gleichung (6.9): Bei einer
Wellenlänge λ = 500 nm und der Brennweite f2 = 500 mm könnte der Blendendurchmesser
bei der Pixelgröße p = 12 µm bis zu 20 Millimeter betragen. Ein kleinerer Durchmesser ist
stets unkritisch.
Die Blenden habe ich per Augenmaß anhand des Live-Interferogramms bei maximaler
Spannung an der Zentralelektrode des Spiegels bzw. bei angelegter Biasspannung möglichst
genau über der Spiegelmembran zentriert. Eine nicht exakt zentrische Positionierung führt bei
der Zernike-Analyse der Apertur jedoch lediglich zu Beiträgen in den ersten drei Moden.
Während der ersten Wellenfrontsensormessungen habe ich die Spiegelform jeweils vor und
nach der Messung interferometrisch festgehalten. (Eine simultane Messung ist wegen des
Lampenlüfters nicht möglich.) Ein Drift konnte nicht festgestellt werden. Es hat sich sogar
gezeigt, dass sich die Membran und die Steuerelektronik im Rahmen der Bestimmungsgenauigkeit reproduzierbar verhält (siehe Abschnitt 8.1.2). Aufgrund dieser Erkenntnis habe ich bei
den nachfolgend beschriebenen Wellenfrontsensortestmessungen nicht jede wiederangesteuerte Spiegelform interferometrisch vermessen.
7.3. Justierung des Aufbaus
Vor Beginn der einzelnen Messreihen habe ich mit einem Testmuster auf dem LCD1 und auf
dem LCD2 überprüft, ob LCD1 exakt auf LCD2 abgebildet wurde. Dazu habe ich eine weitere
Linse mit der Brennweite 400 Millimeter hinter die Linse L3 gebracht, die auf einem Schirm
ein vierfach vergrößertes, reales Bild von der LCD2 -Ebene erzeugt. Bei einer Abweichung
konnte entweder LCD2 in der Höhe oder seitlich verfahren werden oder der deformierbare
75
7. Durchführung
Spiegel mittels einer kippbaren Montierung in der Neigung (Deklination) oder durch feinfühliges Drehen des Zeiss-Stifts azimutal justiert werden.
Es stellte sich schnell heraus, dass die Neigung wenigstens einmal am Tag vor Beginn einer
Messreihe justiert werden muss. Dabei ist nicht abschließend klar, ob die hölzerne Arbeitsplatte, auf der der Testaufbau befestigt war, arbeitet oder ob die Montierung des Spiegels
langsam driftet. Ein zu Testzwecken zusätzlich auf die Arbeitsplatte gestelltes Gewicht von
einigen Kilogramm verursachte ungefähr die gleiche Verschiebung des Bildes von LCD1 in
der LCD2 -Ebene, wie sie innerhalb eines Tages auftritt. Da diese Verschiebung allerdings
auffallend oft nur in eine Richtung weist, ist nicht klar, ob sie einzig von der Arbeitsplatte
herrührt, die sich aufgrund raumklimatischer Variationen verformt. Die tägliche Verschiebung
habe ich immer über die Neigung der Spiegelmontierung ausgeglichen. Da an dieser keine
Skala oder ein sonstiger Indikator angebracht war, konnte ich nicht beobachten, inwiefern die
Montierung driftet.
Die VRmagic Kamera war auf einem dreiachsigen Kreuztisch montiert, der es ermöglichte,
die Austrittspupille4 des Wellenfrontsensors präzise auf dem CMOS-Sensor zu zentrieren. Da
die Kamera zur zuvor beschriebenen Überprüfung der Spiegelneigung aus dem Strahlengang
entfernt werden musste, stellte der Kreuztisch eine große Erleichterung dar.5 Die Integrationszeit wurde so festgelegt, dass die Pixelwerte des Livebildes innerhalb der Pupille visuell etwas
über dem mittleren Grauwert lagen.
7.4. Wellenfrontsensortestmessungen
7.4.1. Messreihen
Die ersten 6 Messreihen (21_12, 22_12_1, 22_12_2, 23_12_1, 23_12_2 und 23_12_3)6 dienten
dem Kennenlernen des Wellenfrontsensors. Ich habe sie an drei aufeinander folgenden Tagen aufgenommen. Auf die einzelnen Szenarien soll genauso wenig eingegangen werden wie
auf die gewonnenen Wellenfrontsensordaten. Vor und nach jeder Einzelmessung habe ich –
wie bereits erwähnt – den deformierbaren Spiegel interferometrisch vermessen. Es war jedoch
wünschenswert, die Spiegelform nicht nach jeder Veränderung der Aktuatorspannungen erneut zu messen. Zum einen impliziert dieses Vorgehen dauerndes Ein- und Ausschalten des
Videoprojektors, was eine starke Belastung für die Quecksilberhochdruckdampflampe darstellt und ihre Lebensdauer drastisch verkürzt. Zum anderen nehmen allein die Warmlaufphase der Lampe und die Nachlaufzeit ihres Lüfters weit mehr Zeit in Anspruch als eine
einzelne Messung selbst. Aus diesen sechs ersten Messreihen war allerdings ersichtlich, dass
die Spiegelform im Rahmen der Bestimmungsgenauigkeit reproduzierbar ist. Somit war es
nicht nötig, zu jeder Wellenfrontsensortestmessung die Spiegelform erneut interferometrisch
zu bestimmen.
Die verwendeten Objektstrukturen sind in Abbildung 7.1 dargestellt. Die zugehörigen quasibinären Masken wurden mit der Schrittweite ∆ = 0,1600 erstellt. Als Belichtungszeit habe
4 genauer
gesagt: die Austrittspupille in der nullten Beugungsordnung (vgl. Abschnitt 6.2.2).
Programm reconstructor ermöglicht zwar die Analysemaske beliebig zu platzieren, jedoch konnte ich diese
dank des Kreuztisches immer einfach in die Mitte des Gesichtsfeldes legen.
6 Hinweis: der Name einer Messreihe setzt sich zusammen aus dem Tag der Messreihe und ihrer chronologischen
Position. So ist z. B. 23_12_2 die zweite Messreihe am 23. Dezember.
5 Das
76
7.4. Wellenfrontsensortestmessungen
(a) Fleck
(b) Granulation
(c) Grsmall
(d) Grsmall_rot
(e) Grsmall_norm
(f) Grsmall_blurred
(g) Grsmall_blurred_10
(h) Gran_2
Abbildung 7.1.: Drei verschiedene Objektstrukturen und Variationen. Die mit Fleck bzw. Granulation bezeichneten Bilder zeigen einen Ausschnitt der Sonnenoberfläche von 700 ×700 , Grsmall zeigt einen
Ausschnitt von 1000 ×1000 . Alle drei Bilder sind 128×128 Pixel groß. Der mit Gran_2 bezeichnete Bilde zeigt einen Ausschnitt von 1400 ×1400 (256×256 Pixel). Fleck und Grsmall wurden von O. von der
Lühe (KIS) und Granulation von Friedrich Wöger (KIS) jeweils mit adaptiver Optik aufgenommen und
Speckle-rekonstruiert. Gran_2 entstammt der selben Aufnahme wie der Ausschnitt Fleck. Grsmall_rot
ist eine um 90° gedrehte Version von Grsmall. Grsmall_norm wurde so bearbeitet, dass der Kontrast
genau 15% entspricht. Grsmall_blurred und Grsmall_blurred_10 sind weichgezeichnete Versionen von
Grsmall.
ich, wenn nicht anders angegeben, 400 Millisekunden gewählt. Ich habe für jede der vier Masken jeweils 10 Bilder mit der CMOS-Kamera aufgenommen und später gemittelt. Nach dem
Umschalten der Masken auf dem LCD-Panel habe ich 5 Sekunden mit dem Aufzeichnen der
nächsten Bildsequenz gewartet, um sicher zu gehen, dass die Messungen nicht von Memoryeffekten beeinflusst wurden.
Messreihe 06_01_1
Diese erste Messreihe nach dem Kennenlernen des Aufbaus bestand darin, die Auswirkungen
eines Vorzeichenwechsels der Aberration bei maximaler Steueramplitude zu untersuchen. Die
verwendeten Aberrationen und Steueramplituden sind in Tabelle 7.1 notiert. Diese Messreihe
sollte als Anhaltspunkt dienen, inwiefern der Wellenfrontsensor verschiedene Aberrationen erkennt. Dazu habe ich die Szenen Fleck, Granulation, Grsmall, Grsmall_norm und Grsmall_rot
aus Abbildung 7.1 benutzt. Die um 90° gedrehte Szene Grsmall_rot habe ich benutzt, um herauszufinden, ob die Wellenfrontmessung sowohl in horizontaler Richtung als auch in vertikaler
Richtung funktioniert. Beide Szenen müssen theoretisch zum selben Ergebnis führen. Außerdem ist das Drehen einer Szene um 90° im Prinzip gleichwertig zum Drehen der Aberration
um 90° durch Wechsel des Vorzeichens der azimutalen Frequenz m der Zernike-Polynome.
Am Ende der Messreihe habe ich den deformierbaren Spiegel in allen verwendeten Formen
mit dem Interferometer vermessen.
77
7. Durchführung
Zernike-Mode j
positive Amplitude
negative Amplitude
2
118700
-119100
3
97400
-93650
4
102500
-54000
5
42300
-42300
10
28100
-28000
11
12770
11750
Tabelle 7.1.: Die in dem Programm Mirror Control eingestellten Steueramplituden in den Messreihen
06_01_1, 09_01_1, 09_01_2 und 09_01_5 beim Biassteuerwert 2896. Der größte Aktuatorsteuerwert
bei diesen Amplituden beträgt jeweils 4095. Dies ist der größtmögliche Steuerwert des 12-Bit Digitalanalog-Wwandlers. (Anmerkung: Für j = 5 ist der maximale Steuerwert bei positiver Amplitude erst
bei 42500 erreicht.)
Messreihe 09_01_1
Diese zweite Messreihe habe ich drei Tage später aufgenommen. Sie entspricht der Messreihe 06_01_1. Allerdings habe ich hier auf eine erneute interferometrische Vermessung der
Spiegelform verzichtet.
Messreihe 09_01_2
Im Rahmen dieser Messreihe interessierte ich mich für den Einfluss der Pixelgröße der LCDPanels auf die Wellenfrontmessung. Dazu habe ich das jeweilige Bild auf LCD1 und die zugehörigen Masken auf LCD2 nach ihrer Erstellung um Faktor 3 (ohne Interpolierung) vergrößert.
Wegen des somit auch größeren Energieflusses in der Pupille habe ich die Belichtungszeit auf
100 Millisekunden verkürzt. Ansonsten ging ich wie in Messreihe 09_01_1 vor.
Messreihe 09_01_3
Ziel dieser Messreihe war, es die Sensibilität des Wellenfrontsensors auf die Amplitude der
Aberrationen zu beobachten. Aufgrund des geringen Hubs des verwendeten OKO-Spiegels
habe ich, um die Charakteristik der jeweiligen Aberration
√ zu behalten, die maximalen Steueramplituden aus Tabelle 7.1 um ungefähr den Faktor 1/ 2 skaliert. Bei der Defokusmessung
habe ich nur die positive Amplitude benutzt, weil der maximale negative Hub entgegen der
Biasvorspannung für j = 4 doch recht gering war und die Spiegelmembran bei einer weiteren
Reduzierung der negativen Amplitude praktisch ihre Biasform angenommen hätte. Die verwendeten Steueramplituden sind in Tabelle 7.2 notiert. Als Objektstruktur habe ich bei dieser
Messung nur noch das Bild Grsmall verwendet und die Belichtungszeit wieder auf 400 Millisekunden gesetzt. Zusammen mit der Messreihe 09_01_1 ergaben sich so vier7 Amplituden
pro Aberration, deren Wellenfront bei unveränderter Justierung des deformierbaren Spiegels
gemessen wurde. Die Spiegelform der hier verwendeten Amplituden habe ich am Ende der
Messreihe 09_01_5 interferometrisch festgehalten.
7 bzw.
78
drei beim Defokus
7.4. Wellenfrontsensortestmessungen
Zernike-Mode j
positive Amplitude
negative Amplitude
2
83933
-83933
3
68872
-66229
4
72478
—
5
29910
-29910
10
19798
-19798
Tabelle 7.2.: Die Amplituden der Spiegelsteuerung bei Messreihe 09_01_3.
Messreihe 09_01_4
Obwohl der OKO-Spiegel mit der verwendeten Berechnung der Aktuatorwerte höhere ZernikeModen nur schlecht erzeugen konnte, habe ich drei höhere Aberrationen bei maximaler Steueramplitude mit dem Wellenfrontsensor analog zur Messreihe 09_01_3 vermessen. Diese sind
in Tabelle 7.3 notiert. Auch bei dieser Messreihe habe ich nur das Bild Grsmall als Objektstruktur benutzt.
Zernike-Mode j
positive Amplitude
negative Amplitude
15
12410
-12200
20
6645
-6690
21
7480
-7430
Tabelle 7.3.: Die Amplituden der Spiegelsteuerung bei Messreihe 09_01_4.
Messreihe 09_01_5
Alle bis hierhin verwendeten Objektstrukturen waren bereits dank adaptiver Optik und Specklerekonstruktion beugungsbegrenzt aufgelöst, und die Masken wurden aus eben diesen Bildern
berechnet. Um den Einfluss des Seeings auf die Maskenerstellungen aus einer noch verwaschenen Objektstruktur beim Einschalten einen adaptiven Optik zu untersuchen, habe ich auf
das Bild Grsmall mit Hilfe des Bildbearbeitungsprogramms GIMP8 einen Gaußschen Weichzeichner mit dem Radius 6,2 Pixeln und 10 Pixeln angewendet. Dies entspricht bei der Pixelskala von 0,0800 /px einem Seeing von einer bzw. von 1,8 Bogensekunden. Zusammen mit
dem unverwaschenen Bild habe ich Wellenfrontsensordaten bei den selben Aberrationen und
Steueramplituden wie bei den Messreihen 06_01_1, 09_01_1 und 09_01_2 aufgenommen.
Messreihe 09_01_6
Diese einzelne Messung, die eigentlich im Rahmen der Reihe 09_01_5 entstand, sollte zeigen, ob sich eine Vergrößerung des Gesichtsfeldes auf das Verhalten des Wellenfrontsensors
auswirkt. Dazu habe ich das Bild Gran_2 aus Abbildung 7.1 als Objektstruktur verwendet.
Die Aberrationen und Steueramplituden waren die selben wie bei Messreihe 09_01_5. Da die
Aberration in diesem Testaufbau direkt in der Pupille erzeugt wurde, spielte hier Anisoplanatismus, der das benutzbare Gesichtsfeld noch oben begrenzt, keine Rolle.
8 GNU
Image Manipulation Program, http://www.gimp.org
79
8. Ergebnisse
8.1. Spiegelform
8.1.1. Auswertung der Interferometerdaten
Wegen der in Abschnitt 7.1.1 aufgeführten Probleme mit der Fisba Software habe ich mich
entschieden, für die Bestimmung der Spiegelform die Messungen mit der Kalibrierung mit
der Biasform auszuwerten – wohl wissend, dass der Wellenfrontsensor so prinzipiell mehr Informationen über die Spiegelform gewinnt als das Interferometer. Bei dem anderen Kalibrierungsansatz würden sich die Ableitungen des unbekannt schwankenden Defokus’ in unbekannter Weise auf die Ableitungen höherer Zernike-Moden auswirken.
Die Auswertung der Interferometerdaten habe ich mit dem in Abschnitt 6.5.3 beschriebenen
Programm fisbafit vorgenommen. Das Programm zerlegt das Höhenprofil der Spiegelform in
Zernike-Moden und berechnet daraus mittels der Nollschen Matrizen die Koeffizienten der
horizontalen Ableitung entlang der x-Achse und der vertikalen Ableitung entlang der y-Achse.
Die Spiegelform habe ich dabei in die ersten 21 Zernike-Moden zerlegt. Somit ist Z15 die
höchste Zernike-Mode in den Ableitungen.
Wie im vorigen Kapitel angedeutet, waren die Auswertungen der Interferometerdaten wegen des zu großen Strahlaufweiters mit Schwierigkeiten verbunden. In Abbildung 8.1 sind
beispielhaft ein Interferogramm und ein interferometrisch bestimmtes Höhenprofil der Spiegelmembran dargestellt. Die rot eingezeichnete Analysemaske, innerhalb derer die ZernikeZerlegung durchgeführt wird, hat einen Durchmesser von 21 Pixeln. Es ist zu erkennen, dass
es nicht möglich ist, die Analysemaske über dem Interferogramm eindeutig zu zentrieren und
dass der Rand des Höhenprofils ausgefranst ist und keine Aussage über die Apertur erlaubt.
Astigmatismus j=5, Amp=42300
118
2000
y [Zeile]
1000
500
98
0
−500
88
Auslenkung [Å]
1500
108
−1000
78
−1500
52
62
72
82
92
x [Spalte]
Abbildung 8.1.: Ein Interferogramm der Spiegelmembran bei angesteuertem Defokus und eine rot
eingezeichnete Analysemaske (links) und ein interferometrisch bestimmtes Höhenprofil der Spiegelmembran bei angesteuertem Astigmatismus (rechts).
81
8. Ergebnisse
Es stellte sich heraus, dass die Zernike-Zerlegung des Höhenprofils in einer Maske dieser geringen Größe empfindlich von der Lage der Analysemaske abhängt. Schon eine Verschiebung der Analysemaske um einen Pixel kann zu dramatisch unterschiedlichen ZernikeKoeffizienten führen. Daher habe ich jedes Höhenprofil innerhalb vier verschiedener Masken
gleichen Durchmessers analysiert. Die Zentren der Analysemasken habe ich dabei in einem
2×2 Pixel großen Gebiet um den geschätzten Mittelpunkt der Spiegelapertur verschoben. Als
(x)
Schätzer der Zernike-Zerlegung cj der Membranformableitungen innerhalb der Spiegelapertur entlang der x-Richtung verwendete ich dann die Mittelwerte der von fisbafit ausgegebenen
Zernike-Koeffizienten der Ableitung vierer solcher Analysemasken (I, . . . , IV), d. h.
(x)
(x)
cj
(x)
≡ cj
=
(x)
Als Schätzfehler sc(x) eines Koeffizienten cj
j
cjI ; . . . ; cjIV , d. h.
sc(x) =
j
(x)
(x)
(x)
cjI + cjII + cjIII + cjIV
4
(8.1)
verwende ich die Standardabweichung der
v
2 2 2 2
u
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
u (x)
+ cjII − cj
+ cjIII − cj
+ cjIV − cj
t cjI − cj
3
(8.2)
Die Gleichungen (8.1) und (8.2) gelten analog auch für die Ableitung entlang der y-Achse.
Es sei darauf hingewiesen, dass die cjI ; . . . ; cjIV keine statistischen Zufallsvariablen sind
und dass der angegebene Schätzfehler nicht der Fehler des Erwartungswerts statistischer Variablen ist. Vielmehr handelt es sich bei Gleichung (8.2) um eine Abschätzung der systematischen Unsicherheit der beschriebenen Bestimmung der Membranformableitungen.
8.1.2. Reproduzierbarkeit der Membranform
In Abbildung 8.2 sind die Zernike-Koeffizienten dreier Membranformen (nicht ihrer Ableitungen) aus fünf unabhängigen Messreihen gezeigt, die während der ersten Testphase des
Wellenfrontsensors entstanden. Es ist gut zu erkennen, dass die Membranform beim Anlegen definierter Aktuatorspannungen reproduzierbar war, da die Koeffizienten verschiedener
Messreihen in den meisten Fällen innerhalb des einfachen Fehlerbalkens konstant sind. Bei
wenigen Ausnahmen sind sie noch innerhalb des doppelten Fehlerbalkens konstant. In Abbildung 8.2(a) ist deutlich die sich zeitlich verändernde Neigung des Spiegels gegenüber dem
Interferometer und dem Wellenfrontsensor an den stark variierenden Koeffizienten c3 zu erkennen. Der Tisch und die Spiegelmontierung wurde zwischen den Messreihen 22_12_1 und
22_12_2 nicht berührt. Trotzdem zeigt sich hier bereits ein kleiner Drift der Spiegelneigung.
Über Nacht veränderte sich c3 von (1921±71) Å auf (6692±54) Å. Vor Beginn der Messreihe
23_12_2 wurde der Spiegel wieder bestmöglich ausgerichtet. Auch zwischen den Messungen
23_12_2 und 23_12_3 ist ein kleiner Drift in c3 zu erkennen. Bei der Membranformanalyse
bei angesteuerten, nichtlinearen Aberrationen (j ≥ 4) wurden die linearen Moden Z2 und
Z3 von der Fisba µShape Software herausgerechnet, so dass die Ausrichtung des Spiegels
ignoriert wird.
82
8.1. Spiegelform
horizontale Verkippung, j=2, Amp=118700
Defokus, j=4, Amp=102500
3000
2000
22_12_1
22_12_2
23_12_1
23_12_2
23_12_3
2000
1500
1000
cj [Å]
1000
cj [Å]
22_12_1
22_12_2
23_12_2
23_12_3
0
500
−1000
0
−2000
−500
−3000
−1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
j
j
(a) Horizontale Verkippung. An den unterschiedlichen
Werten von c3 lässt sich die veränderliche
Spiegelneigung ablesen. Bei Messreihe 23_12_1 ist
c3 = 6692 Å.
(b) Defokus. Die Daten der Messreihe 23_12_1 waren
wegen unphysikalischer Werte in Zentrumsnähe nicht
brauchbar.
Astigmatismus, j=5, Amp=42300
1400
22_12_1
22_12_2
23_12_1
23_12_2
23_12_3
1200
1000
800
cj [Å]
600
400
200
0
−200
−400
−600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
j
(c) Astigmatismus.
Abbildung 8.2.: Die Zernike-Zerlegung verschiedener Spiegelformen (horizontale Verkippung, Defokus, Astigmatismus) aus fünf getrennten Messreihen.
83
8. Ergebnisse
8.1.3. Membranformen und ihre Ableitungen
In diesem Abschnitt sind die Ergebnisse der interferometrischen Bestimmung der Spiegelmembranform nach den Wellenfrontsensormessungen 06_01_1 und 09_01_4 aufgeführt. Diese Ergebnisse dienen in Abschnitt 8.2 als Referenz für die Wellenfrontsensordaten. Um dem
Leser das Durchforsten unübersichtlicher Schaubilder weitestmöglich zu ersparen, führe ich
am Beispiel der horizontalen Verkippung die Ergebnisse samt Schaubilder in der nötigen Ausführlichkeit vor. Anschließend erläutere ich kurz die Ergebnisse der weiteren angesteuerten
Membranformen. Am Ende ist ein Schaubild mit allen gewonnen Daten gezeichnet, das die
Erkenntnisse noch einmal veranschaulicht. Zunächst sind in Abbildung 8.3 die Höhenprofile
der Membran bei den angesteuerten Aberrationen und Amplituden aus Tabelle 7.1 gezeigt.
j=4, Amp=−54000
4000
3000
2000
3000
−1000
−2000
2000
1000
0
−1000
2000
1000
0
−1000
−3000
−2000
−2000
−4000
−3000
−3000
j=2, Amp=118700
j=3, Amp=97400
j=4, Amp=102500
4000
4000
3000
2000
3000
1000
0
−1000
−2000
2000
1000
0
−1000
−3000
−2000
−4000
−3000
j=5, Amp=−42300
Auslenkung [Å]
5000
3000
Auslenkung [Å]
4000
2000
1000
0
−1000
−2000
−3000
j=10, Amp=−28000
j=11, Amp=−11750
2500
2000
2000
1000
1500
1500
0
−500
1000
500
0
−500
−1000
−1000
−1500
−1500
j=5, Amp=42300
Auslenkung [Å]
2500
1500
Auslenkung [Å]
2000
500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
j=10, Amp=28100
j=11, Amp=12770
2500
2000
2000
1000
1500
1500
0
−500
1000
500
0
−500
Auslenkung [Å]
2500
1500
Auslenkung [Å]
2000
500
Auslenkung [Å]
0
Auslenkung [Å]
1000
Auslenkung [Å]
4000
3000
Auslenkung [Å]
5000
Auslenkung [Å]
j=3, Amp=−93650
4000
1000
500
0
−500
−1000
−1000
−1000
−1500
−1500
−1500
Auslenkung [Å]
j=2, Amp=−119100
Abbildung 8.3.: Die interferometrisch bestimmten Höhenprofile der Spiegelmembran bei angesteuerten Aberrationen aus Tabelle 7.1. Die Aberration und die Amplitude ist über dem jeweiligen Profil
notiert. Die Daten entstammen der Messreihe 06_01_1.
84
8.1. Spiegelform
Auslenkung (j=2)
3000
−119100, 06_01_1
−83933, 09_01_1
83933, 09_01_1
118700, 06_01_1
2500
2000
1500
cj [Å]
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−2000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
j
Abbildung 8.4.: Zernike-Analyse der Membranform bei angesteuerter horizontaler Verkippung.
Horizontale Verkippung (j = 2)
In Abbildung 8.4 ist die Zernike-Analyse der Membranform bei angesteuerter horizontaler
Verkippung aufgetragen. Wie erwartet zeigt c2 den größten Beitrag. Bei dieser Aberration ist
der maximale Hub der Membran, d. h. max(c2 Z2 (x, y)) − min(c2 Z2 (x, y))
c2 (118 700) − c2 (−119 100)
≈ (4 366 ± 97) Å,
2
wobei z. B. c2 (118 700) für den Koeffizienten c2 bei der angesteuerten Amplitude 118 700
steht. Die Mittelung führe ich durch, um die Spiegelausrichtung gegenüber dem Interferometer
zu kompensieren. Der Faktor 2 vor dem Bruch ist der Zernike-Mode Z2 (x, y) geschuldet,
deren Hub bereits 2 beträgt. Der Peak-to-Valley-Wert der Membran beträgt
2·
[max(118 700) − min(118 700)] + [max(−119 100) − min(−119 100)]
= 5 315 Å.
2
Hier bedeutet z. B. max(118 700) die maximale Auslenkung der Membran bei der eingestellten Steueramplitude 118 700. Die Daten der großen und der kleinen Amplituden stammen aus
zwei getrennten Messreihen. Der Einfluss der Spiegelausrichtung ist an der Verschiebung der
beiden c2 (±83 933) nach oben deutlich zu erkennen. Das von der Ausrichtung unabhängige
Verhältnis der Amplituden- und Koeffizientenabstände ist nämlich
c2 (118 700) − c2 (−119 100)
118 700 + 119 100
≈
.
c2 (83 933) − c2 (−83 933)
83 933 + 83 933
und deutet hier auf eine lineare Abhängigkeit der Membranauslenkung von der Steueramplitude hin. Die deutlich variierenden Koeffizienten c3 gründen in der veränderlichen Spiegelneigung. Die höheren Ordnungen weisen fast alle von Null verschiedene, aber im Rahmen
85
8. Ergebnisse
horizontale Ableitung (j=2)
1000
750
750
500
500
250
250
0
0
−250
−250
−500
−500
−750
−119100, 06_01_1
−83933, 09_01_1
83933, 09_01_1
118700, 06_01_1
1000
cj(y) [Å/mm]
cj(x) [Å/mm]
vertikale Ableitung (j=2)
−119100, 06_01_1
−83933, 09_01_1
83933, 09_01_1
118700, 06_01_1
−750
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
j
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.5.: Ableitungen der Zernike-Analyse der Membranform bei angesteuerter horizontaler
Verkippung.
der Unsicherheit konstante Koeffizienten auf. Eine leichte Abhängigkeit von der eingestellten
Amplitude zeigen nur die beiden Astigmatismus-Koeffizienten c5 und c6 . In Abbildung 8.5
(x)
(y)
sind die Zernike-Koeffizienten der horizontalen (cj ) und der vertikalen (cj ) Ableitung der
Membranform dargestellt. Es stellt sich heraus, dass die auffallend von Null verschiedenen,
aber konstanten Koeffizienten c4 , c7 , c11 , c12 und c17 deutliche Auswirkungen auf die Koeffizienten der Ableitungen beinhalten. Es trägt nämlich z. B. c11 mit dem doppelten Gewicht
(x)
von c6 zu c2 bei. Die leicht schwankenden Astigmatismusbeiträge c5 und c6 gehen in den
Fehlerbalken der Ableitungen unter. Die zum Teil recht großen Fehlerbalken der Ableitungen
entstehen ebenfalls bei der Aufsummierung der Koeffizienten der Ableitungen höherer Ordnungen (siehe Gleichung (3.12)).
Vertikale Verkippung (j = 3)
Die Zernike-Analyse der Membranform bei angesteuerter vertikaler Verkippung zeigt sofort
die eben angesprochene unterschiedliche Spiegelausrichtung bei den Messreihen 06_01_1 und
09_01_1. Es ist nämlich |c3 (−66 229; 09_01_1)| > |c3 (−93 650; 06_01_1)|. Aber auch bei
dieser Aberration verhält sich die Membran praktisch linear:
c3 (97 400) − c3 (−93 650)
97 400 + 93 650
≈
.
c3 (68 872) − c3 (−68 872)
68 872 + 68 872
Der Membranhub bei j = 3 ist (3 733 ± 223) Å und der Peak-to-Valley-Wert ist 5 211 Å. Die
Koeffizienten cj mit j ≥ 4 zeigen den gleichen Verlauf wie bei der aufgeprägten horizontalen
Verkippung.
86
8.1. Spiegelform
Defokus (j = 4)
Die linearen Moden Z2 (x, y) und Z3 (x, y) waren von hier an stets von der Fisba µShape
Software herausgerechnet, so dass c2 und c3 im Rahmen der Bestimmungsgenauigkeit verschwinden. Auffallend groß sind hier die Fehlerbalken von mehreren Hundert Ångström. Die
Defokus-Koeffizienten c4 (102 500) = (1934 ± 94) Å und c4 (72 478) = (1366 ± 97) Å nehmen die größten Werte aller cj an und dominieren auch die Ableitungen. An dem Koeffizienten c4 (−54 000) = (−361 ± 92) Å und an den Peak-to-Valley-Werten PV(−54 000)=2 026 Å
und PV(102 500)=6 497 Å wird offensichtlich, dass die Spiegelmembran nur einen geringen
Defokus entgegen der Biasform erzeugen kann. Ein linearer Zusammenhang zwischen Steueramplitude und Membranauslenkung ist hier nicht erkennbar. Die zuvor schwankenden Astigmatismuskoeffizienten c5 und c6 sind jetzt auch im Rahmen ihres Fehlers konstant. Dafür
zeigen nun die Koma c8 und die sphärische Aberration c11 leichte Schwankungen der Größenordnung 150 Ångström bei der Veränderung der Steueramplitude. Die sphärische Aberration
(x)
(y)
schlägt sich auch deutlich in den Ableitungen (c8 bzw. c7 ) nieder. Im Übrigen Verhalten
sich die höheren Koeffizienten wie in den vorigen Fällen.
Astigmatismus (j = 5)
Beim Ansteuern eines Astigmatismus’ nimmt c4 ungefähr wieder den selben konstanten Wert
an wie bei den anderen aufgeprägten Aberrationen. Die Peak-to-Valley-Werte betragen
PV(−42 300)=3 194 Å und PV(42 300)=3 852 Å, und die c5 dominieren die Membranform
mit Beträgen der Größenordnung 750 - 1 200 Ångström. Auch sie verhalten sich linear zu den
Steueramplituden. Zusätzlich zeigen hier die Koeffizienten c9 und c13 eine kleine Schwankung
von unter 200 Ångström beim Ändern der Amplitude. Die übrigen Koeffizienten verhalten
sich ähnlich wie in den Fällen der linearen Membranauslenkung j = 2 und j = 3. Die
(x)
(y)
Ableitungen von Z5 (x, y) und Z13 (x, y) bestehen beide aus Beiträgen von c3 bzw. c2 . Die
(x)
(x)
Schwankungen von c13 führen darüber hinaus zu kleinen Schwankungen in c7 und c9 bzw.
(y)
(y)
in c8 und c10 .
3-strahliger Astigmatismus (j = 10)
Die vorigen Beobachtungen wiederholen sich auch bei dieser Aberration. So sind hier alle
Koeffizienten cj außer c14 , c18 und natürlich c10 beim Ändern der Steueramplitude konstant.
Die Beträge von c10 bewegen sich in der Größenordnung 600 - 900 Ångström und zeigen
ebenfalls lineares Verhalten. Die Schwankungen der c14 und c18 liegen unter 200 Ångström.
Die beiden Astigmatismen c5 und c6 weisen hier jedoch sehr große Unsicherheiten von mehreren Hundert Ångström auf. Sowohl c14 als auch c18 wirken sich neben c10 deutlich auf die
(x)
(y)
Ableitungen aus. Insbesondere wird c6 bzw. c5 gleichermaßen von c10 und c18 festgelegt.
So gibt es auch hier wieder eine Überschneidung in den Ableitungen der angesteuerten Membranform und der Membrangrundform. Die Peak-to-Valley-Werte sind PV(−28 000)=2 993 Å
und PV(28 100)=3 367 Å.
87
8. Ergebnisse
Sphärische Aberration (j = 11)
Ein sphärische Aberration konnte der OKO-Spiegel nicht so gut erzeugen. Zwar sind
c11 (12 770) = (377 ± 16) Å und c11 (−11 750) = (−12 ± 29) Å deutlich vom vorher konstanten Wert der Größenordnung 160 Ångström verschieden, jedoch weisen die anderen, wie
zuvor konstanten Koeffizienten teilweise ebenfalls Beiträge dieser Größe auf. Dies hat wieder
zur Folge, dass die Ableitungen stark von der Grundform beeinflusst wird. Die Peak-to-ValleyWerte sind hier PV(−11 750)=2 328 Å und PV(12 770)=3 101 Å.
4-strahliger Astigmatismus (j = 15) und j = 20
Bei noch höheren angesteuerten Aberrationen zeigt sich qualitativ das gleiche Ergebnis wie bei
der sphärischen Aberration: Die Membran kann hohe Aberrationen nicht mit großer Auslenkung erzeugen. Die Peak-to-Valley-Werte bewegen sich zwischen 2 500 und 3 000 Ångström.
Der jeweilige Koeffizient (c15 bzw. c20 ) reagiert zwar wie erwartet auf Veränderungen des Vorzeichens der Steueramplitude, er geht jedoch in den übrigen, konstanten Koeffizienten nahezu
unter.
Zusammenfassung
Die Membranform zeigt unabhängig der aufgeprägten Aberration und Steueramplitude eine
praktisch konstante Grundform, die im Wesentlichen von Astigmatismus und Koma bestimmt
wird. Aber auch die Moden der 11. und 17. Ordnung treten bei der Zernike-Analyse hervor.
Die Zernike-Analysen aller eingestellter Aberrationen und Amplituden (Tabellen 7.1 - 7.3)
sind in Abbildung 8.6 dargestellt. Die konstante Membrangrundform ist ebenso gut zu erkennen wie die jeweiligen Auswirkungen der farbkodierten Aberrationen. Die gewünschten
Aberrationen lassen sich bis einschließlich der 10. Ordnung gut auf den Spiegel aufprägen.
Erst bei höheren Ordnungen wird der Hub der Membran zu gering, und sie kann nicht mehr
die gewünschte Form annehmen. Die Ausrichtung des Spiegels hat nur Auswirkungen auf die
Ableitungen von Z2 (x, y) und Z3 (x, y). Da der Wellenfrontsensor und das Interferometer jedoch mit Sicherheit nicht exakt im gleichen Winkel (senkrecht) zum Spiegel stehen, ist ein
konstanter, von Null verschiedener Wert von c2 und c3 bedeutungslos.
88
8.1. Spiegelform
Auslenkung
3000
2
3
4
5
10
11
15
20
2000
cj [Å]
1000
0
−1000
−2000
−3000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
j
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
horizontale Ableitung
2500
2
3
4
5
10
11
15
20
2000
cj(x) [Å/mm]
1500
1000
500
0
−500
−1000
1
2
3
4
5
6
7
8
j
9
10
11
12
13
14
15
vertikale Ableitung
2500
2
3
4
5
10
11
15
20
2000
cj(y) [Å/mm]
1500
1000
500
0
−500
−1000
1
2
3
4
5
6
7
8
j
9
10
11
12
13
14
15
Abbildung 8.6.: Zernike-Analysen aller verwendeten Membranformen (oben) der Messreihen
06_01_1 und 09_01_1 und die zugehörigen Ableitungen (mitte und unten). Die angesteuerten Aberrationen sind farbkodiert. Auf eine Kennzeichnung der Amplitude wurde hier zur besseren Übersicht
verzichtet. Größere Koeffizienten korrespondieren i. d. R. mit größeren angelegten Amplituden. Die Koeffizienten zusammengehörigen Koeffizienten sind zur besseren Erkennbarkeit mit Linien verbunden.
89
8. Ergebnisse
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
Die Auswertung der Wellenfrontsensordaten wurde mit dem in Abschnitt 6.5.2 beschriebenen
Programm reconstructor durchgeführt. Die Austrittspupille hatte einen Radius von etwa 83
Pixeln, so dass hier eine leichte Unsicherheit bei der Positionierung der Analysemaske nicht
zu den Problemen führt, die bei den Interferometerdaten auftraten. Bei der Bestimmung der
Helligkeitsverteilung mit der CMOS-Kamera traten zwei statistische Fehlerquellen auf: zum
einen das Untergrundrauschen der Kamera und zum anderen die Unsicherheit des Zählvorgangs aufgrund der Photonenstatistik. Um das Signal-Rausch-Verhältnis zu erhöhen, habe ich
die pro Maske aufgenommenen zehn Bilder gemittelt. Die Standardabweichung σFrames eines
festen Pixels dieser Bilder ist dabei für alle Pixel kleiner als 3. Der Fehler σDiff eines einzelnen Datenpunkts der Differenz der Helligkeiten bei direkter und inverser Maske auf LCD2
berechnet sich dann nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzung zu
√
(8.3)
σDiff = 2σFrames < 4,2.
Die Standardabweichung der Zernike-Koeffizienten bei der Zerlegung eines solchen Differenzbildes nach Gleichung (6.25) ist mit σDiff stets kleiner als 0,05. Da die Koeffizienten
deutlich größer sind, enthalten ihre Schaubilder keine Fehlerbalken. Das bedeutet, dass die
Bestimmung der Helligkeitsverteilungen bzw. ihrer Differenz in der Austrittspupille und die
Zerlegung in die ersten 15 Zernike-Polynome keinem signifikanten Fehler unterliegen.
8.2.1. Verhalten beim Vorzeichenwechsel der Aberrationen
Zuerst soll dargestellt werden, wie der Wellenfrontsensor auf die Aberrationen mit wechselndem Amplitudenvorzeichen reagiert hat. In den Abbildungen 8.7-8.13 sind dazu beispielhaft
die Helligkeitsdifferenzen in der Austrittspupille und insbesondere ihrer Zernike-Zerlegungen
cxj bzw. cyj bei Verwendung der Objektstruktur Grsmall und der horizontalen bzw. der vertikalen Masken für Aberrationen mit wechselndem Vorzeichen bei maximaler Steueramplitude
gezeigt. Zum Vergleich sind ebenfalls die Zernike-Zerlegungen der Membranformableitungen
eingezeichnet. Die Daten entstammen der Messreihe 06_01_1. Hier soll zunächst nur beachtet
werden, wie sich die Vorzeichen der Koeffizienten cxj und cyj beim Umschalten des Vorzeichens der Steueramplitude verhalten. Eine etwas nähere Betrachtung der Koeffizientenbeträge
in Bezug auf die Steueramplitude findet in Abschnitt 8.2.7 statt. Die absoluten Beträge der cxj
und cyj lasse ich völlig jedoch außer Acht, da es durchaus denkbar ist, dass die Koeffizienten der Wellenfrontsensordaten nicht alle in gleicher Weise mit denen der interferometrischen
Daten korreliert sind.
90
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
−40
−60
−40
20
0
−20
−40
−60
0
−20
−40
20
0
−20
−40
−40
0
−20
−40
−60
−40
−60
40
20
0
−20
−40
−60
20
0
−20
−40
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−60
j=10, Amp=28100, vertikal
40
20
0
−20
−40
60
40
20
0
−20
−40
−60
j=11, Amp=−11750, vertikal
j=11, Amp=12770, vertikal
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−20
−40
40
−60
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
60
0
−20
60
60
j=11, Amp=12770, horizontal
20
0
−60
j=11, Amp=−11750, horizontal
40
20
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−20
Intensitätsdifferenz [a.u.]
0
−40
−60
j=10, Amp=−28000, vertikal
20
0
−20
j=5, Amp=42300, vertikal
40
60
40
20
−60
j=10, Amp=28100, horizontal
60
40
60
−60
j=10, Amp=−28000, horizontal
20
−40
j=5, Amp=−42300, vertikal
40
−60
40
−20
Intensitätsdifferenz [a.u.]
20
0
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
40
20
60
−60
j=5, Amp=42300, horizontal
60
j=4, Amp=102500, vertikal
40
−60
j=5, Amp=−42300, horizontal
−40
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−20
40
0
−20
−60
j=4, Amp=−54000, vertikal
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
60
0
−40
20
−60
j=4, Amp=102500, horizontal
20
−20
−60
j=4, Amp=−54000, horizontal
40
0
40
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−20
20
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−40
0
40
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−20
20
j=3, Amp=97400, vertikal
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
0
Intensitätsdifferenz [a.u.]
20
−60
j=3, Amp=−93650, vertikal
60
40
−40
−60
j=3, Amp=97400, horizontal
60
0
−20
Intensitätsdifferenz [a.u.]
j=3, Amp=−93650, horizontal
40
−40
−60
20
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−40
−60
−20
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−20
0
40
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−40
0
20
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
−20
20
40
Intensitätsdifferenz [a.u.]
0
40
j=2, Amp=118700, vertikal
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
20
Intensitätsdifferenz [a.u.]
40
j=2, Amp=−119100, vertikal
60
40
20
0
−20
−40
−60
60
40
20
0
−20
−40
Intensitätsdifferenz [a.u.]
j=2, Amp=118700, horizontal
60
Intensitätsdifferenz [a.u.]
j=2, Amp=−119100, horizontal
−60
Abbildung 8.7.: Die Intensitätsdifferenzen in der Austrittspupille bei den angesteuerten Aberrationen
aus Tabelle 7.1. Die Aberration und die Amplitude ist über dem jeweiligen Profil notiert. Die Daten
entstammen der Messreihe 06_01_1.
91
8. Ergebnisse
Horizontale Verkippung (j = 2)
In Abbildung 8.8 ist bei den Ordnungen j = 1; 2; 4; 11 der horizontalen Ableitung paralleles Verhalten der Koeffizienten des Spiegels und der des Wellenfrontsensors zu beobachten.
Bei j = 3 reagiert der Wellenfrontsensor antiparallel. Jedoch insbesondere bei j = 7, aber
auch bei j = 5, ist das Wellenfrontsensorergebnis nicht mit der interferometrisch bestimmten
(y)
Spiegelform erklärbar. Die vertikale Membranformableitung (cj ) bleibt beim Wechsel des
Amplitudenvorzeichens konstant. Auch die Koeffizienten cyj des Wellenfrontsensor zeigen
sich beim Vorzeichenwechsel im Wesentlichen unbeeinflusst. Lediglich cy1 zeigt hier größere
(y)
Abweichungen trotz konstantem c1 .
WFS @ 118700
WFS @ −119100
−60
−40
1000
−20
500
0
0
−500
20
−1000
horizontal
vertikal
−1500
40
j
Spiegel @ −119100
j
Spiegel @ 118700
1500
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
horizontale Verkippung (j=2)
2000
60
−2000
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.8.: Zernike-Zerlegung der Helligkeitsdifferenz und der Membranformableitungen in horizontale Richtung (links) und in vertikale Richtung (rechts) bei angesteuerter horizontaler Verkippung
bei den Steueramplituden −119 100 (blau) und 118 700 (rot).
Vertikale Verkippung (j = 3)
Das Ergebnis der vertikalen Ableitung bei angesteuerter horizontaler Verkippung wiederholt
sich hier, wie es zu erwarten ist, bei der horizontalen Ableitung in Abbildung 8.9. Bei der
vertikalen Ableitung reagiert der Wellenfrontsensor in den Ordnungen j = 1 und j = 2,
hier jedoch antiparallel, auf den Wechsel des Amplitudenvorzeichens. Wie zuvor hat dieser
Wechsel auch Auswirkungen auf Koeffizienten, die nicht mit der interferometrisch bestimmten
Membranform erklärt werden können. So zeigt hier vor allem cy4 eine starke Reaktion auf den
(y)
Wechsel des Amplitudenvorzeichens, obwohl c4 auch in Bezug auf Abbildung 8.8 praktisch
(y)
konstant ist. Im übrigen reagiert auch cy5 auf den Vorzeichenwechsel. Waren die beiden c5 in
Abb. 8.8 noch deutlich verschieden, so liegen sie nun praktisch übereinander. Die cy5 verhalten
sich aber genau anders herum: Sie waren in Abb. 8.8 nahe bei einander und sind nun deutlich
von einander unterscheidbar. Ein ähnliches Verhalten lässt sich auch bei cy11 der vertikalen
Wellenfrontsensordaten beobachten.
92
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
WFS @ 97400
WFS @ −93650
1500
−60
−40
1000
−20
500
0
0
−500
20
−1000
horizontal
vertikal
40
−1500
j
Spiegel @ −93650
j
Spiegel @ 97400
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
vertikale Verkippung (j=3)
2000
60
−2000
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.9.: Die Zernike-Zerlegungen bei angesteuerter vertikaler Verkippung analog zu Abb. 8.8.
Defokus (j = 4)
Der Vorzeichenwechsel des angesteuerten Defokus’ ist in Abbildung 8.10 deutlich in den Koeffizienten 2. und 8. bzw. 3. und 7. Ordnung sowohl in den Membranformableitungen als auch
in den Wellenfrontsensordaten zu erkennen. Es fällt jedoch auf, dass sich die Koeffizienten cx2
und cx8 der horizontalen Wellenfrontsensormessung nun antiparallel zu den Koeffizienten der
abgeleiteten Membranform verhält. Wie schon bei den vorangegangenen Aberrationen treten
auch hier wieder Effekte in den Wellenfrontsensordaten auf, die nicht mit der interferometrisch
bestimmten Membranform übereinstimmen.
WFS @ 102500
WFS @ −54000
−60
−40
1000
−20
500
0
0
−500
20
−1000
horizontal
vertikal
−1500
40
j
Spiegel @ −54000
j
Spiegel @ 102500
1500
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
Defokus (j=4)
2000
60
−2000
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.10.: Die Zernike-Zerlegungen bei angesteuertem Defokus analog zu Abb. 8.8.
Astigmatismus (j = 5)
Beim angesteuerten Astigmatismus reagiert der Wellenfrontsensor, wie in Abbildung 8.11
dargestellt ist, in der horizontalen Ableitung wieder parallel zur Membranformableitung in
(x)
(x)
dem dominierenden Koeffizienten c3 und in dem weniger ausgeprägten c7 . Auch in der
vertikalen Ableitung zeigt der Wellenfrontsensor paralleles Verhalten in den charakteristischen
93
8. Ergebnisse
Ordnungen j = 2 und j = 8. Hier ist jedoch insbesondere die Ursache der großen Diskrepanz
im Koeffizienten cy4 nicht aus den Interferometerdaten ersichtlich.
Spiegel @ −42300
WFS @ 42300
WFS @ −42300
−60
−40
1000
−20
500
0
0
−500
20
−1000
horizontal
vertikal
40
−1500
j
Spiegel @ 42300
1500
j
2000
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
Astigmatismus (j=5)
60
−2000
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.11.: Die Zernike-Zerlegungen bei angesteuertem Astigmatismus analog zu Abb. 8.8.
3-strahliger Astigmatismus (j = 10)
In Abbildung 8.12 ist zu sehen, dass der Wellenfrontsensor auch bei dieser Aberration auf die
charakteristischen Ordnungen j = 6 und j = 12 bzw. j = 5 und j = 13 der Membranformableitungen reagiert. Die im Vergleich zu Abbildung 8.10 heftige Reaktion des Sensors
(x)
auf c12 könnte bedeuten, dass er (wenigstens manche) Aberrationen erst beim Überschreiten
einer gewissen Schwelle erkennen kann.
WFS @ 28100
WFS @ −28000
−60
−40
1000
−20
500
0
0
−500
20
−1000
horizontal
vertikal
−1500
40
j
Spiegel @ −28000
j
Spiegel @ 28100
1500
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
3−strahl. Ast. (j=10)
2000
60
−2000
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.12.: Die Zernike-Zerlegungen bei angesteuertem Astigmatismus analog zu Abb. 8.8.
Sphärische Aberration (j = 11)
Eine sphärische Aberration konnte mit dem OKO-Spiegel, wie in Abschnitt 8.1.3 gezeigt,
nicht mehr gut erzeugt werden konnte. Dennoch sind auch hier in den Zernike-Zerlegungen
der Wellenfrontsensordaten (Abbildung 8.13) deutliche Reaktionen bei den charakteristischen
Ordnungen j = 8 bzw. j = 7 der Membranformableitungen zu erkennen.
94
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
WFS @ 12770
WFS @ −11750
1500
−60
−40
1000
−20
500
0
0
−500
20
−1000
horizontal
vertikal
−1500
40
j
Spiegel @ −11750
j
Spiegel @ 12770
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
Sphärische Aberration Klee (j=11)
2000
60
−2000
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.13.: Die Zernike-Zerlegungen bei angesteuerter sphärischer Aberration analog zu Abb.
8.8.
Höhere Ordnungen
Leider gingen die Wellenfrontsensordaten der Messreihe 09_01_4 bei den Aberrationen 15.
und 21. Ordnung verloren, bevor ich sie gesichert hatte, so dass nur noch die Daten für die
Aberration der 20. Ordnung vorhanden waren. Die Zernike-Zerlegungen dieser Daten sind
in Abbildung 8.14 dargestellt. Auch hier ist deutlich der Effekt des Vorzeichenwechsels der
Amplitude an den Ordnungen j = 14 bzw. j = 15 sowohl in den Membranformableitungen
als auch in den Wellenfrontsensordaten erkennbar. Der Wellenfrontsensor zeigt jedoch keine
(x)
(y)
Reaktion auf die ebenfalls veränderlichen Koeffizienten c10 bzw. c9 .
WFS @ 6645
WFS @ −6690
−60
−40
1000
−20
500
0
0
−500
20
−1000
horizontal
vertikal
−1500
40
j
Spiegel @ −6690
j
Spiegel @ 6645
1500
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
j=20
2000
60
−2000
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2 3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.14.: Die Zernike-Zerlegungen bei aufgeprägtem Aberration 20. Ordnung analog zu
Abb.8.8.
8.2.2. Vergleich zweier identischer Messreihen
Obwohl die beiden Messreihen 06_01_1 und 09_01_1 vom Ablauf identisch waren, weisen
die Wellenfrontsensordaten zum Teil deutliche Unterschiede auf. In den Abbildungen 8.15
und 8.16 sind beispielhaft die Zernike-Zerlegungen der Wellenfrontsensordaten mit der Objektstruktur Grsmall und angesteuertem Defokus bzw. 3-strahligem Astigmatismus aus den
95
8. Ergebnisse
Messreihen 06_01_1, 09_01_1 und 09_01_5 aufgetragen. Es fällt sofort auf, dass die Amplituden der Koeffizienten fast immer deutlich unterschiedlich sind. Während die Zerlegungen
in Bild 8.16 wenigstens im Verlauf der Koeffizienten übereinstimmten, ist dies in Abbildung
8.15 nicht gegeben. Bemerkenswert sind hier zudem die sehr großen Koeffizienten cx2 und
cx8 bzw. cy3 bzw. cy7 der Messreihe 09_01_5. Zwar wurde die Neigung des Spiegels zwischen den Messreihen 09_01_3 und 09_01_4 verstellt und die Kamera aus dem Strahlengang
entfernt, allerdings wurden beide wieder so positioniert wie zuvor. Die Projektorlampe war
während aller Messreihen am 9. Januar unterbrechungslos in Betrieb. Vielleicht kann die damit verbundene Erwärmung der LCD-Panels oder der Polarisatoren den Effekt in Messreihe 09_01_5 erklären. Nähere Untersuchungen habe dazu allerdings nicht angestellt, so dass
ich letztlich keine Aussage über die Ursache treffen kann. Ebenfalls – bei Annahme reproduzierbarer Membranformen – nicht ergründlich sind die Ursachen des teilweise verschiedenen
Verlaufs der Zernike-Zerlegung. Spekulativ könnte neben thermischer Effekte auch ein verändertes Raum-Seeing in Frage kommen. Auf und über dem Tisch des Versuchsaufbaus befinden
sich zwei Lüfter, die möglicherweise störende Luftströmungen hervorrufen. Denkbar ist auch,
dass der Rahmen der Bestimmungsgenauigkeit und Reproduzierbarkeit der Membranform zu
groß ist und der Wellenfrontsensor auf Abweichungen in diesem Bereich reagiert. Dass es
sich bei den unterschiedlichen Verläufen um Rauschen der Intensitätsbestimmungen handelt,
schließe ich aus, da die Standardabweichungen der Kamerabilder der Aufnahmesequenzen
wie erwähnt gering sind und sich auch das Livebild auf dem Monitor innerhalb ein bis zwei
Minuten nicht visuell wahrnehmbar entwickelt. Ohne Klärung dieses Effekts erschien es mir
nicht sinnvoll zu sein, eine genaue Korrelation der Koeffizienten der Membranformableitungen und der Intensitätsdifferenzen zu suchen. Somit konnte ich den Wellenfrontsensor auch
nicht eichen, um quantitative Aussagen über die aberrierte Wellenfront treffen.
Defokus (j=4), Amp=102500
06_01_1
80
09_01_1
09_01_5
60
j
40
20
j
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
100
−20
0
horizontal
vertikal
−40
−60
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.15.: Zernike-Zerlegungen von Wellenfrontsensordaten aus verschiedenen Messreihen
(06_01_1, 09_01_1 und 09_01_5) bei angesteuertem Defokus mit maximaler Amplitude.
96
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
3−strahl. Ast. (j=10), Amp=28100
60
06_01_1
j
09_01_1
09_01_5
40
30
20
10
j
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
50
0
horizontal
−10
vertikal
−20
−30
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.16.: Zernike-Zerlegungen von Wellenfrontsensordaten aus verschiedenen Messreihen
(06_01_1, 09_01_1 und 09_01_5) bei angesteuertem 3-strahligen Astigmatismus mit maximaler Amplitude.
8.2.3. Auswirkungen der Objektstruktur
Wie sich der Wellenfrontsensor bei den verschiedenen Objektstrukturen verhielt, ist beispielhaft in den Abbildungen 8.17 und 8.18 dargestellt. Für diese Abbildung wurden die Aberrationen ausgesucht, die am meisten (Abb. 8.17) und die am wenigsten (Abb. 8.18) sensibel auf
die Objektstruktur waren. Es ist ersichtlich, dass die leicht unterschiedliche Normierung der
Bilder Grsmall und Grsmall_norm überhaupt keine Auswirkungen mit sich brachte. Bemerkenswert sind die teilweise deutlichen Unterschiede der Koeffizienten bei Verwendung der
Bildes Grsmall und seiner gedrehten Version Grsmall_rot insbesondere in Abb. 8.17. In dieser
Abbildung zeigen sich ebenfalls deutliche Abweichungen zwischen den Daten, die mit granulationsartigen Objektstrukturen (Grsmall und Granulation) und denen die mit dem Bild zweier
umbraler Kerne entstanden sind. In Abb. 8.18 werden diese Abweichungen aber wesentlich
Defokus (j=4), Amp=102500
Fleck
Granulation
Grsmall
Grsmall_rot
Grsmall_norm
0,5
0
−0,5
horizontal
j
j
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
1
vertikal
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.17.: Zernike-Zerlegungen von Wellenfrontsensordaten mit verschiedenen Objektstrukturen bei angesteuertem Defokus mit maximaler Amplitude. Die Koeffizienten sind hier so normiert, dass
der jeweils größte Koeffizient 1 ist. Die Daten entstammen der Messreihe 06_01_1.
geringer, so dass sich die Objektstruktur hier praktisch nicht auf die Wellenfrontsensordaten
auswirkt.
97
8. Ergebnisse
3−strahl. Ast.(j=10), Amp=−28000
Fleck
Grsmall
Grsmall_rot
Grsmall_norm
0,5
0
j
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
1
Granualtion
−0,5
j
horizontal
vertikal
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.18.: Zernike-Zerlegungen von Wellenfrontsensordaten mit verschiedenen Objektstrukturen bei angesteuertem 3-strahligen Astigmatismus analog zu Abb. 8.17.
8.2.4. Unscharfe Objektstrukturen
Die Wellenfrontsensordaten aus der Messreihe 09_01_5, die die Auswirkungen weichgezeichneter Objektstrukturen zum Gegenstand hatte, sind in Abbildung 8.19 am Beispiel des 3strahligen Astigmatismus’ dargestellt. Die einzelnen Zerlegungen unterscheiden sich nur in
der Amplitude. Offensichtlich beeinflussten die verwendeten Unschärfen die Leistungsfähigkeit des Wellenfrontsensors nicht.
3−strahl. Ast. (j=10)
Grsmall, 28100
Grsmall_blurred, 28100
Grsmall_blurred_10, 28100
Grsmall, −28000
Grsmall_blurred, −28000
Grsmall_blurred_10, −28000
40
20
j
j
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
60
0
horizontal
−20
vertikal
−40
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.19.: Zernike-Zerlegung der Wellenfrontsensordaten mit der beugungsbegrenzten Objektstruktur Grsmall und den weichgezeichneten Versionen Grsmall_blurred und Grsmall_blurred_10 bei
maximalen positiver und negativer Amplituden.
8.2.5. Vergrößerung der Objektstruktur auf dem LCD
Das Vergrößern der Objektstruktur und der Maske auf den LCD-Panels um den Faktor 3 zeigte
uneinheitliche Auswirkungen. In Abbildung 8.20 sind beispielhaft Zernike-Zerlegungen von
Wellenfrontsensordaten bei Verwendung der horizontalen Maske bei diesen Vergrößerungen
aufgetragen. Während sich die Daten bei der angesteuerten horizontalen Verkippung mit der
Amplitude 118 700 bei der Vergrößerung dramatisch ändern und sich auch der Verlauf der
98
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
Koeffizienten cxj für j ≥ 4 auseinander entwickelt, bleibt der Verlauf der Koeffizienten bei
angesteuertem 3-strahligen Astigmatismus trotz Vergrößerung ähnlich. Der Peak-to-ValleyWert der Spiegelmembran bei der horizontalen Verkippung ist ca. 1,5 Mal größer als beim
3-strahligen Astigmatismus, und die charakteristischen Koeffizienten c2 bzw. c5 der jeweiligen Membranform unterscheiden sich sogar um den Faktor 2. Dies legt die Vermutung nahe,
dass die Bildgröße auf den LCD-Panels entscheidenden Einfluss bei einer gegebenen Aberrationsamplitude auf das Messergebnis hat. Zwar findet der Wellenfrontsensor bei der vergrößerten Darstellung in Abb. 8.20(a) den charakteristischen Koeffizienten cx1 des Wellenfrontgradienten, jedoch weichen die Verläufe der Koeffizienten feinskaliger Aberrationen deutlich
voneinander ab.
horizontale Verkippung (j=2)
1
zoom=1, Amp=−119100
zoom=3, Amp=−119100
3−strahliger Astigmatismus (j=10)
zoom=1, Amp=118700
zoom=3, Amp=118700
1
0,5
zoom=1, Amp=28100
zoom=3, Amp=28100
cx (WFS)
0,5
0
0
j
j
cx (WFS)
zoom=1, Amp=−28000
zoom=3, Amp=−28000
−0,5
−0,5
horizontal
−1
horizontal
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
(a) Zerlegung der Daten bei angesteuerter horizontaler
Verkippung.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
(b) Zerlegung der Daten bei angesteuertem 3-strahligen
Astigmatismus.
Abbildung 8.20.: Zernike-Zerlegung der (horizontalen) Wellenfrontsensordaten bei einfacher und
dreifach vergrößertem Objektbild (Grsmall) und Maske bei zwei angesteuerten Aberrationen.
99
8. Ergebnisse
8.2.6. Vergrößerung des Gesichtsfelds
Um die Auswirkung der Gesichtsfeldverdoppelung aus Messreihe 09_01_6 beispielhaft zu
zeigen, sind in Abbildung 8.21 wieder die Ergebnisse mit dem geringsten und mit dem größten Effekt als Zernike-Zerlegung dargestellt. Der in Abbildung 8.21(a) deutlich zu erkennende
Unterschied zwischen den Koeffizienten cx2 und cx8 bzw cy3 und cy7 bei den beiden Gesichtsfeldern und der Steueramplitude 102 500 waren einzigartig. Bei den anderen verwendeten Aberrationen waren die Unterschiede wesentlich geringer. Ein eindeutiger Trend auf die Wellenfrontsensordaten bei der Verdoppelung des Gesichtsfeldes kann aber anhand dieser Messreihe
sonst nicht ausgemacht werden. Dies legt die Vermutung nahe, dass das verwendete einfache
Gesichtsfeld für eine Wellenfrontmessung mittels optischer Differentiation ausreicht. Die Einbrüche bei angesteuertem Defokus könnten bedeuten, dass der lineare Bereich bei dem größeren Gesichtsfeld kleiner ist, da der Peak-to-Valley-Wert der Spiegelmembran bei maximalen
Steueramplituden beim Defokus 1,5 Mal größer war als beim 3-strahligen Astigmatismus.
Defokus (j=4)
Grmsall, −54000
bild1, −54000
Grsmall, 102500
bild1, 102500
60
40
20
j
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
80
0
−20
j
horizontal
vertikal
−40
−60
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
(a)
3−strahl. Ast. (j=10)
Grsmall, −28000
bild1, −28000
Grsmall, 28100
bild1, 28100
60
40
20
j
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
80
0
−20
j
horizontal
vertikal
−40
−60
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
j
(b)
Abbildung 8.21.: Zernike-Zerlegung der Wellenfrontsensordaten bei einfachem Gesichtsfeld (Grsmall, 128×128 Pixel) und bei doppeltem Gesichtsfeld (Gran_2, 256×256 Pixel) bei den Aberrationen
4. (a) und 10. Ordnung (b) mit maximaler positiver und negativer Steueramplitude.
100
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
8.2.7. Variation der Amplitude
In diesem Unterabschnitt werden die Ergebnisse der Messungen 09_01_1 und 09_01_3 mit
variierenden Steueramplituden diskutiert. Dafür werden immer die Zernike-Koeffizienten der
Membranformableitungen gegen die Steueramplituden aufgetragen. Darunter sind jeweils die
dazugehörigen Koeffizienten der Wellenfrontsensordaten in gleicher Weise darstellt.
Horizontale Verkippung (j = 2)
In Abbildung 8.22 sind die Ergebnisse der Tests bei angesteuerter horizontaler Verkippung
(x)
dargestellt. Es ist zu erkennen, dass sich c1 und cx1 in gleicher Weise entwickeln. Die absoluten Werte dieser Koeffizienten dürfen jedoch nicht miteinander verglichen werden, da der
Wellenfrontsensor und das Interferometer nicht exakt im gleichen Winkel zum deformierbaren Spiegel ausgerichtet sind. Die übrigen Koeffizienten der horizontalen Ableitung zeigen
keine größere Variation bei den vier getesteten Amplituden. Lediglich cx4 zeigt den Trend,
(y)
mit wachsender Amplitude zu fallen. Die Ursache des Sprungs des Koeffizienten c1 der vertikalen Membranformableitung zwischen den Steueramplituden −83 933 und 83 933 liegt in
der veränderten Spiegelneigung, da die Membranform dieser Amplituden nach der Messreihe 09_01_6 interferometrisch aufgenommen wurde und nicht nach der Messreihe 06_01_1.
(y)
Ansonsten sind die Koeffizienten cj im Wesentlichen konstant, wenn auch sehr groß. Der
Wellenfrontsensor findet hier starke, veränderliche Beiträge in den Ordnungen j = 1; 3; 4; 7.
horizontale Verkippung (j=2)
horizontale Verkippung (j=2)
1000
1000
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
600
400
200
0
−200
−400
−600
3
4
1
2
800
cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
cj(x) [Å/mm] (Spiegel)
3
4
1
2
800
5
6
7
8
13
14
15
400
200
0
−200
−400
−800
−119100 −83933
83933 118700
83933 118700
Amplitude
Amplitude
horizontale Verkippung (j=2)
horizontale Verkippung (j=2)
−40
−40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−30
cy [a.u.] (WFS)
−20
−10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−20
−10
0
10
j
10
j
cx [a.u.] (WFS)
11
12
−600
−800
−119100 −83933
−30
9
10
600
20
30
20
30
40
−119100 −83933
83933
Amplitude
118700
40
−119100 −83933
83933
118700
Amplitude
Abbildung 8.22.: Zernike-Zerlegungen der Membranformableitungen (1. Zeile) und der Wellenfrontsensordaten (2. Zeile) bei veränderlicher horizontaler Verkippung. Die Zernike-Koeffizienten (farblich
kodiert) sind jeweils gegen die Steueramplitude des angesteuerten Defokus’ aufgetragen.
101
8. Ergebnisse
Vertikale Verkippung (j = 3)
In Abbildung 8.23 sind die Ergebnisse bei veränderlicher vertikaler Verkippung dargestellt.
(x)
(y)
Auch hier ist der Sprung der Koeffizienten c1 und c1 zwischen den Steueramplituden
−66 229 und 68 872 der unterschiedlichen Spiegelausrichtung bei den interferometrischen
Messungen geschuldet. Die übrigen Koeffizienten der horizontalen Membranformableitung
sind konstant. Der Wellenfrontsensor findet jedoch deutliche Beiträge erster und vierter Ord(y)
nung. Der Koeffizient cy1 fällt mit kleiner werdendem c1 , jedoch entwickelt er (wie auch die
anderen cyj ) sich zwischen den Amplituden 68 872 und 97 400 praktisch nicht.
vertikale Verkippung (j=3)
vertikale Verkippung (j=3)
1000
1000
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
600
400
200
0
−200
−400
−600
3
4
1
2
800
cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
cj(x) [Å/mm] (Spiegel)
3
4
1
2
800
5
6
7
8
13
14
15
400
200
0
−200
−400
68872
−800
−93650 −66229
97400
68872
Amplitude
97400
Amplitude
vertikale Verkippung (j=3)
vertikale Verkippung (j=3)
−40
−40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−30
cy [a.u.] (WFS)
−20
−10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−20
−10
0
10
j
10
j
cx [a.u.] (WFS)
11
12
−600
−800
−93650 −66229
−30
9
10
600
20
30
20
30
40
−93650 −66229
68872
Amplitude
97400
40
−93650 −66229
68872
97400
Amplitude
Abbildung 8.23.: Zernike-Zerlegungen in Analogie zu Abb. 8.22 bei veränderlicher vertikaler Verkippung.
Defokus (j = 4)
In Abbildung 8.24 sind die Ergebnisse bei veränderlichem Defokus dargestellt. Der wachsende
(x)
(y)
Defokus ist deutlich an den Koeffizienten c2 bzw. c3 zu erkennen. Der Wellenfrontsensor
zeigt sich in den Koeffizienten cx2 und cy3 sensibel auf den wachsenden Defokus. Die in Ab(x)
(y)
schnitt 8.1.3 angesprochene leichte Variation von c8 bzw. c7 ist bei der hier gedruckten
Skala von Abb. 8.24 nicht sichtbar, sie ist jedoch vorhanden. In den Wellenfrontsensordaten
treten diese Variationen in cx8 bzw. cy7 deutlich zum Vorschein. Die charakteristischen Ordnungen der Membranformableitungen und der Wellenfrontsensordaten bei j = 2 und j = 8
bzw. j = 3 und j = 7 entwickeln sich hier parallel, während sie sich in den nächsten beiden
Unterabschnitten antiparallel entwickeln. Weiterhin ist festzustellen, dass die Koeffizienten
cx2 und cy3 bei der Steueramplitude 102 500 vom Betrag her kleiner sind als bei der Steueramplitude 72 478. Der maximale erzeugte Defokus liegt also möglicherweise bereits außerhalb
des monotonen Bereichs des Wellenfrontsensors.
102
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
Defokus (j=4)
Defokus (j=4)
3000
3000
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2000
1500
1000
500
0
−500
3
4
1
2
2500
cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
2500
cj(x) [Å/mm] (Spiegel)
3
4
1
2
5
6
7
8
13
14
15
1500
1000
500
0
72478
−1000
−54000
102500
72478
Amplitude
102500
Amplitude
Defokus (j=4)
Defokus (j=4)
−40
−40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−30
cy [a.u.] (WFS)
−20
−10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−20
−10
0
10
j
10
j
cx [a.u.] (WFS)
11
12
−500
−1000
−54000
−30
9
10
2000
20
30
20
30
40
−54000
72478
102500
Amplitude
40
−54000
72478
102500
Amplitude
Abbildung 8.24.: Zernike-Zerlegungen in Analogie zu Abb. 8.22 bei veränderlichem Defokus.
Astigmatismus (j = 5)
In Abbildung 8.25 sind die Ergebnisse bei veränderlichem Astigmatismus dargestellt. Das in
Abschnitt 8.1.3 angesprochene lineare Verhalten der Spiegelmembran ist an den Koeffizien(x)
(y)
ten c3 und c2 nocheinmal erkennbar. Auch die Wellenfrontsensorkoeffizienten cx3 und cy4
verhalten sich bei den verwendeten Amplituden nahezu linear. Auch die in Abschnitt 8.25
(x)
(y)
angesprochene Auswirkung der Steueramplitude auf die Koeffizienten c7 und c8 kann bei
den Koeffizienten cx7 und cy8 erkannt werden. Insbesondere in der horizontalen Ableitung
findet der Wellenfrontsensor große, aber praktisch konstante Koeffizienten anderer Ordnungen, die anhand den Interferometerdaten nicht erklärt werden können. Jedoch waren bereits in
Abbildung 8.24 große, wenn auch veränderliche Beiträge von cx1 und cx4 vorhanden.
3-strahliger Astigmatismus (j = 10)
In Abbildung 8.26 sind die Ergebnisse bei veränderlichem 3-strahligen Astigmatismus dar(x)
gestellt. Auch hier ist das lineare Verhalten der Spiegelmembran an den Koeffizienten c6
(y)
und c5 zu erkennen. Wenigstens in der horizontalen Ableitung (cx12 ) erkennt auch hier der
Wellenfrontsensor die Ableitung des in Abschnitt 8.1.3 angesprochenen veränderlichen Koeffizienten der Membranform c18 . Zu bemerken ist auch, dass der Wellenfrontsensor erneut
die selben Beiträge von cx1 und cx4 in der horizontalen Ableitung anzeigt wie zuvor beim
Defokus.
103
8. Ergebnisse
Astigmatismus (j=5)
Astigmatismus (j=5)
1000
1000
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
600
400
200
0
−200
−400
−600
3
4
1
2
800
cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
cj(x) [Å/mm] (Spiegel)
3
4
1
2
800
5
6
7
8
11
12
13
14
15
400
200
0
−200
−400
−600
−800
−800
−42300 −29910
29910 42300
−42300 −29910
29910 42300
Amplitude
Amplitude
Astigmatismus (j=5)
Astigmatismus (j=5)
−40
−40
3
4
1
2
−30
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
cy [a.u.] (WFS)
−10
0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−20
−10
0
10
j
10
3
4
1
2
−30
−20
j
cx [a.u.] (WFS)
9
10
600
20
30
20
30
40
40
−42300 −29910
29910
42300
−42300 −29910
29910
Amplitude
42300
Amplitude
Abbildung 8.25.: Zernike-Zerlegungen in Analogie zu Abb. 8.22 bei veränderlichem Astigmatismus.
3−strahl. Ast. (j=10)
3−strahl. Ast. (j=10)
1000
1000
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
600
400
200
0
−200
−400
−600
3
4
1
2
800
cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
cj(x) [Å/mm] (Spiegel)
3
4
1
2
800
5
6
7
8
13
14
15
400
200
0
−200
−400
−800
−28000 −19798
19798 28100
−28000 −19798
19798 28100
Amplitude
Amplitude
3−strahl. Ast. (j=10)
3−strahl. Ast. (j=10)
−40
−40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−30
cy [a.u.] (WFS)
−20
−10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−20
−10
0
10
j
10
j
cx [a.u.] (WFS)
11
12
−600
−800
−30
9
10
600
20
30
20
30
40
40
−28000 −19798
19798 28100
Amplitude
−28000 −19798
19798 28100
Amplitude
Abbildung 8.26.: Zernike-Zerlegungen in Analogie zu Abb. 8.22 bei veränderlichem 3-strahligen
Astigmatismus.
104
8.2. Messungen mit dem Wellenfrontsensor
8.2.8. Vergleich mit numerischer Simulation
Mit der numerischen Simulation der optischen Wellenfrontdifferentiation, die ich im Rahmen
meines Hauptpraktikums geschrieben habe, habe ich abschließend die Reaktion des Wellenfrontsensors bei der Objektstruktur Grsmall auf die Aberrationen berechnet, die die Spiegelmembran bei angesteuertem Astigmatismus und 3-strahligem Astigmatismus bei den Steueramplituden aus Tabelle 7.1 erzeugt. Das Ergebnis ist in Form von Zernike-Zerlegungen in
Abbildung 8.27 dargestellt. Auch hier ist zu erkennen, dass sich die charakteristischen Koeffizienten der Membranformableitungen und die berechneten Daten parallel verhalten. Jedoch
besteht hier ebenfalls keine quantitativ einheitliche Korrelation. Auffallend sind auch hier wieder die großen Beiträge von cx1 und cy1 , wie sie auch in den realen Messdaten (Abb. 8.25 und
8.26) vorzufinden waren.
Astigmatismus (j=5)
150
WFS @ 42300
1000
WFS @ −42300
Spiegel @ 42300
Spiegel @ −42300
0
0
−50
−500
horizontal
j
50
j
500
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
100
vertikal
−100
−1000
−150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
j
3−strahl. Ast. (j=10)
150
WFS @ 28100
1000
WFS @ −28000
Spiegel @ 28100
Spiegel @ −28000
0
0
−50
−500
horizontal
j
50
j
500
cx bzw. cy [a.u.] (WFS)
cj(x) bzw. cj(y) [Å/mm] (Spiegel)
100
vertikal
−100
−1000
−150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
j
Abbildung 8.27.: Zernike-Zerlegungen der simulierten Wellenfrontsensordaten und der Membranformableitungen in Analogie zu Abb. 8.22 bei veränderlichem Astigmatismus (oben) und 3-strahligem
Astigmatismus (unten). Die Koeffizienten cx1 und cy1 nehmen jeweils Werte der Größenordnung −1 100
bzw. −800 an.
105
8. Ergebnisse
8.3. Zusammenfassung und Fazit
Mit dem vorgestellten Testaufbau wurde das Prinzip des optisch differenzierenden Wellenfrontsensors (Optical Differentiation Wavefront Sensor) experimentell realisiert. Bei diesem
Wellenfrontsensor wird die elektromagnetische Feldverteilung in der Bildebene durch einen
Flüssigkristallbildschirm moduliert. Dazu wird eine Maske mit drei Transmissionsstufen auf
diesen Bildschirm geschaltet. Die Maske wird aus einer Richtungsableitung der betrachteten
Objektstruktur berechnet. Die Helligkeitsverteilung in der Austrittspupille des Sensors sollte
nach theoretischen Überlegungen die Ableitung der einfallenden Wellenfront entlang dieser
Richtung repräsentieren. Mit zwei linear unabhängigen Masken dieser Art kann somit der
Wellenfrontgradient in der Eintrittsöffnung räumlich aufgelöst in der Austrittspupille photometrisch bestimmt werden.
In dem Testaufbau wurde die von einem simulierten Objekt ausgehende Wellenfront durch
einen deformierbaren Spiegel aberriert. Die Spiegelform wurde mit einem Interferometer als
Referenz bestimmt. Es konnte gezeigt werden, dass die Helligkeitsverteilung in der Austrittspupille des Testaufbaus bei Verwendung der quasibinären Masken von der einlaufenden Wellenfront mitbestimmt wird und dass der Wellenfrontsensor die charakteristischen Koeffizienten des erzeugten Wellenfrontgradienten zu erkennen vermag. Jedoch traten stets zusätzliche
Beiträge anderer Ordnungen auf, deren Ursache nicht geklärt werden konnte. Die Daten zweier prinzipiell identischer Messreihen von verschiedenen Tagen zeigten zudem deutliche Abweichungen, die weit über den statistischen Fehler der Helligkeitsbestimmung hinaus gingen.
Die Ursachen dieses Verhaltens könnten neben der instabilen Montierung auch in thermischen Effekten der optischen Komponenten liegen oder aber auch in störendem Raumseeing
aufgrund zahlreicher Wärmequellen und Lüfter. Möglicherweise war aber auch die Bestimmung der Form des deformierbaren Spiegels nicht präzise genug und die daraus folgende
Annahme reproduzierbarer Aberrationen zu optimistisch. Daher konnte keine Eichung des
Wellenfrontsensors vorgenommen werden, die eine quantitative Untersuchung erlaubt hätte.
Es stellte sich heraus, dass weder die verwendeten solaren Objektstrukturen noch das verdoppelte Gesichtsfeld in Anbetracht dieser Unregelmäßigkeiten wesentlichen Einfluss auf die
Leistungsfähigkeit des Wellenfrontsensors zeigen. Allerdings scheint die Pixelskala der Maske bzw. der Abbildungmaßstab des Objekts auf das LCD-Panel sehr wohl von Bedeutung zu
sein und sollte nicht zu groß gewählt werden. Die veränderlichen Ergebnisse beim Rotieren
der Objektstruktur um 90° lassen vermuten, dass der Sensor mit den verwendeten quasibinären
Masken nicht nur die Wellenfrontableitung sichtbar macht. Von einer leichten Unschärfe der
Objektstruktur zeigte sich der Wellenfrontsensor unbeeinflusst.
Die erste Realisierung der optisch differenzierenden Wellenfrontsensors ermutigt also, dieses Konzept weiter zu entwickeln. Bei einer weiteren Untersuchung mit dem Aufbau im Optiklabor muss jedoch erst seine mechanische Stabilität erhöht werden. Darüberhinaus muss
die Präzision der Referenzmessung der aberrierten Wellenfront erhöht werden. Dazu könnte
der Teststrahl des Interferometers entsprechend im Durchmesser verkleinert werden. Am besten geeignet wäre jedoch ein zweiter Wellenfrontsensor (bspw. ein Hartman-Shack Sensor),
der über einen geteilten Strahl die momentane Wellenfront simultan vermisst. Bei der weiteren
Evaluierung des Konzepts sollte unbedingt auch überlegt werden, ob es weitere, möglichweise
besser geeignete Funktionale zur Maskenerstellung aus der Objektstruktur gibt.
Für den Spätsommer dieses Jahres ist es geplant, einen Aufbau wie in Abschnitt 4.5 be-
106
8.3. Zusammenfassung und Fazit
schrieben am Vacuum Tower Telescope (VTT) des Observatorio del Teide auf Teneriffa einzubauen. Dort wird es möglich sein, präzise definierte Aberrationen mit dem deformierbaren
Spiegel der adaptiven Optik KAOS zu erzeugen und den Sensor unter realen Bedingungen an
der Sonne zu testen.
107
A. Zernike-Polynome
A.1. Explizite Form
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
n
0
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
m
0
+1
−1
0
−2
+2
−1
+1
−3
+3
0
+2
−2
+4
−4
+1
−1
+3
−3
+5
−5
Znm (r, φ)
1
r cos(φ)
r sin(φ)
2r2 − 1
2
r sin(2φ)
r2 cos(2φ)
[3r2 − 2r] sin(φ)
[3r2 − 2r] cos(φ)
r3 sin(3φ)
r3 cos(3φ)
[6r4 − 6r2 + 1]
[4r4 − 3r2 ] cos(2φ)
[4r4 − 3r2 ] sin(2φ)
r4 cos(4φ)
r4 sin(4φ)
5
[10r − 12r3 + 3r] cos(φ)
[10r5 − 12r3 + 3r] sin(φ)
[5r5 − 4r3 ] cos(3φ)
[5r5 − 4r3 ] sin(3φ)
r5 cos(5φ)
r5 sin(5φ)
Bedeutung
Kolben
Verkippung in x-Richtung
Verkippung in y-Richtung
Defokus
Astigmatismus 1. Ordnung, 0°
Astigmatismus 1. Ordnung, 45°
Koma 1. Ordnung
Koma 1. Ordnung
3-strahliger Astigmatismus, 0°
3-strahliger Astigmatismus, 30°
sphärische Aberration
Koma 2. Ordnung, 0°
Koma 2. Ordnung, 45°
4-strahliger Astigmatismus, 0°
4-strahliger Astigmatismus, 22,5°
Tabelle A.1.: Die ersten 21 Zernike-Polynome und ihre Bedeutungen.
109
A. Zernike-Polynome
A.2. Grafische Darstellung
Z1
Z2
Z3
1
1
1
1
0
0
-1
1
0
0
-1
-1
1
0
0
0
-1
-1
-1
1
-1
1
-1
0
y
0
1
-1
0
y
0
x
1
-1
1
Z4
-1
x
1
1
0
0
-1
0
0
-1
0
0
-1
-1
1
0
1
1
-1
-1
-1
1
-1
0
y
0
1
-1
0
y
0
1
-1
1
Z7
-1
x
1
1
0
-1
-1
0
0
-1
-1
1
0
1
1
0
0
-1
-1
-1
1
-1
0
y
0
1
-1
0
y
0
1
-1
x
0
1
-1
x
Abbildung A.1.: Die ersten 9 Zernike-Polynome.
110
-1
Z9
1
x
1
Z8
1
y
0
x
0
-1
Z6
1
x
1
Z5
1
y
0
x
1
-1
y
A.2. Grafische Darstellung
Z10
Z11
Z12
1
1
1
1
0
0
-1
0
0
-1
-1
1
0
-1
1
-1
0
y
0
1
-1
0
y
0
x
1
-1
1
-1
x
1
1
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
1
0
1
1
0
0
-1
-1
-1
1
-1
0
y
0
1
-1
0
y
0
1
-1
1
Z16
-1
x
1
1
0
-1
-1
0
0
-1
-1
1
0
1
1
0
0
-1
-1
-1
1
-1
0
y
0
1
-1
0
y
0
1
-1
1
-1
x
1
Z20
1
1
0
0
-1
0
0
-1
-1
-1
-1
1
0
1
1
0
0
-1
1
-1
0
y
0
1
-1
0
y
0
1
-1
-1
Z21
1
1
y
0
x
Z19
-1
-1
Z18
1
x
1
Z17
1
y
0
x
0
-1
Z15
1
x
1
Z14
1
y
0
x
Z13
x
0
0
-1
-1
-1
1
1
x
0
1
-1
x
1
-1
Abbildung A.2.: Die Zernike-Polynome der Ordnungen 10-21.
111
y
A. Zernike-Polynome
A.3. Ableitungen der Zernike-Polynome
A.3.1. Ableitungen in kartesichen Koordianten
j
n
m
d
dx Zj (x, y)
d
dy Zj (x, y)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
0
+1
−1
0
−2
+2
−1
+1
−3
+3
0
2
−2
4
−4
+1
−1
+3
−3
+5
−5
0
Z1
0
4 Z2
2 Z3
2 Z2
3 Z5
Z1 + 3 Z4 + 3 Z6
3 Z5
3 Z6
4 Z2 + 8 Z8
2 Z2 + 4 Z8 + 4 Z10
2 Z3 + 4 Z7 + 4 Z9
4 Z10
4 Z9
Z1 + 3 Z4 + 3 Z6 + 5 Z11 + 5 Z12
3 Z5 + 5 Z13
3 Z6 + 5 Z12
3 Z5 + 5 Z13 + 5 Z15
5 Z14
5 Z15
0
0
Z1
4 Z3
2 Z2
−2 Z3
Z1 + 2 Z4 − 3 Z6
3 Z5
3 Z6
−3 Z5
4 Z3 + 8 Z7
−2 Z3 − 4 Z7 + 4 Z9
2 Z2 + 4 Z8 − 4 Z10
−4 Z9
4 Z10
3 Z5
Z1 + 3 Z4 − 3 Z6 + 5 Z11 − 5 Z12
−3 Z5 − 5 Z13
3 Z6 + 5 Z12 − 5 Z14
−5Z15
5 Z14
Tabelle A.2.: Die Ableitungen der ersten 21 Zernike-Polynome.
112
A.3. Ableitungen der Zernike-Polynome
A.3.2. Die Nollschen Matrizen

γ (x)
γ (y)
0
1

0

0

0

0

0

1

0

0

=
0
0

0

0

0

1

0

0

0

0
0

0
0

1

0

0

0

1

0

0

0

=
0
0

0

0

0

0

1

0

0

0
0
0
0
0
4
0
2
0
0
0
0
4
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 4
2 0
0 −2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 4
0 −2
2 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
3
0
0
0
0
0
0
0
3
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
3
0
0
0
0
0
3
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0

0
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5

0
5
(A.1)

0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0

3 0 −3 0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 3
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 0
3
0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 −3 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0

0 0
0
8 0 0
0 0 0
0
0
0
 (A.2)
0 0
0 −4 0 4
0 0 0
0
0
0

0 0
0
0 4 0 −4 0 0
0
0
0

0 0
0
0 0 −4 0 0 0
0
0
0

0 0
0
0 0 0
4 0 0
0
0
0

0 3
0
0 0 0
0 0 0
5
0
0

3 0 −3 0 0 0
0 5 −5 0
0
0

0 −3 0
0 0 0
0 0 0 −5 0
5

0 0
3
0 0 0
0 0 5
0 −5 0 

0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
0 −5
0 0
0
0 0 0
0 0 0
0
5
0
113
B. Verkabelung des OKO-Spiegels
Verdrahtung
(DAC-40, 2x20-Ch Amplifiers, 37-Ch OKO Spiegel, Messbox)
Aktuator
DAC Verstärker Spiegelhalter
Ch 20-37
Ch 1-19
IN
(Membran)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(Membran)
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
(nicht verb.)
1
11
19
14
10
6
7
15
20
18
13
12
2
4
3
5
8
9
16
17
21
35
37
38
39
36
24
26
22
23
25
27
28
29
30
31
32
33
34
40
25
16
8
13
17
21
20
12
7
9
14
15
26
23
24
22
19
18
11
10
25
12
10
9
8
11
23
21
26
24
22
20
19
18
17
16
15
14
13
7
PGA
OUT (siehe Markierung)
1
12
20
13
9
5
8
16
19
17
14
11
2
3
4
6
7
10
15
18
1
16
18
17
20
15
3
5
2
4
6
8
7
10
9
12
11
14
13
19
1
12
20
13
9
5
8
16
19
17
14
11
2
3
4
6
7
10
15
18
1
16
18
17
20
15
3
5
2
4
6
8
7
10
9
12
11
14
13
19
1
17
26
35
39
8
14
22
28
30
33
37
2
4
6
10
12
16
19
24
21
27
29
32
34
36
38
40
3
5
7
9
11
13
15
18
20
23
25
31
Messboxbuchse
(Box an DAC)
(Box an AMP)
2
17
12
16
11
18
10
15
α
13
6
4
8
9
19
7
3
1
5
14
23
29
28
25
27
26
22
24
β
21
20
36
37
34
35
32
33
30
31
γ
2
4
α
6
1
7
3
5
12
14
16
17
8
19
9
18
10
11
15
13
23
26
25
28
γ
29
21
20
β
22
24
37
36
35
34
33
32
31
30
27
Tabelle B.1.: Verdrahtungsschema des OKO-Spiegels. Die Pinnummerierung der Stifleisten und des
PGA-Sockels sind in Abbildung 6.3.2 erklärt.
115
Abbildungsverzeichnis
1.1. Zwei Aufnahmen eines Sonnenflecks mit und ohne adaptiver Optik. . . . . .
12
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
.
.
.
.
21
22
24
25
3.1. Schematischer Aufbau einer adaptiven Optik mit geschlossenem Regelkreis. .
3.2. Grafik zur Veranschaulichung des Anisoplanatismus’. . . . . . . . . . . . . .
3.3. Schematische Darstellung eines Hartmann-Shack Wellenfrontsensors. . . . .
34
35
36
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Schematischer Aufbau des optisch differenzierenden Wellenfrontsensors . . .
Wirkung der Maske beim optisch differenzierenden Sensor . . . . . . . . . .
Referenzbild und Masken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematische Darstellung einer Anordung zur vollständigen Bestimmung des
Wellenfrontgradienten mit einer einzigen photometrischen Aufnahme. . . . .
39
41
42
5.1. Die Ordnungsphasen flüssiger Kristalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Schematische Darstellung der Funktionsweise einer LCD-Zelle. . . . . . . .
48
49
6.1. Skizze des Testaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Fotografische Aufnahme des Testaufbaus. Während der Messungen war die
Kamera auf einem 3-achsigen Kreuztisch montiert. . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Schematischer Aufbau eines 3LCD Videoprojektors . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Leiterplatte zur Verbindung eines ZIF-FPC-Sockels mit einer Stiftleiste . . .
6.5. Grafische Darstellungen des Beugungsmuster der LCD-Panels . . . . . . . .
6.6. Fotografische Aufnahme des Beugungsmusters des LCD-Panels . . . . . . .
6.7. Schematischer Aufbau und Fotografie des OKO-Spiegels. . . . . . . . . . . .
6.8. Pinbezeichnungen bei der Verkabelung des OKO-Spiegels. . . . . . . . . . .
6.9. Bildschirmfoto des Programms Mirror Control. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10. Schematischer Aufbau eines Twyman-Green Interferometers. . . . . . . . . .
6.11. Ein typischer Bildschirminhalt während einer Wellenfrontmessung. . . . . .
53
7.1. Die verwendeten Objektstrukturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.1. Ein Interferogramm und ein Höhenprofil der Spiegelmembran. . . . . . . . .
81
Wirkung einer sphärischen Linse auf eine Kugelwelle . . . . . .
Beugung einer Kugelwelle mit einer sphärischen Linse. . . . . .
Beleuchtung einer Transparenz vor einer Linse mit ebener Welle.
Schematische Darstellung eines abbildenden Systems . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
54
55
57
59
60
62
64
65
67
69
117
Abbildungsverzeichnis
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
Zernike-Zerlegungen verschiedener Spiegelformen. . . . . . . . . . . . . . . 83
Höhenprofile der Spiegelmembran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Zernike-Analyse der Membranform bei angesteuerter horizontaler Verkippung. 85
Ableitungen der Zernike-Analyse der Membranform bei horiz. Verkippung. . 86
Zernike-Analysen aller verwendeten Membranformen und ihre Ableitungen. . 89
Intensitätsdifferenzen in der Austrittspupille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei horiz. Verkippung. . . . . 92
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei vertik. Verkippung. . . . . 93
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei Defokus. . . . . . . . . . 93
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei Astigmatismus. . . . . . . 94
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei 3-stahl. Astigmatismus. . 94
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei sphärischer Aberration. . . 95
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei Aberration 20. Ordnung. . 95
Zernike-Zerlegungen von Sensordaten aus verschiedenen Messreihen. . . . . 96
Zernike-Zerlegungen von Sensordaten aus verschiedenen Messreihen. . . . . 97
Zernike-Zerlegungen von Sensordaten mit verschiedenen Objektstrukturen. . 97
Zernike-Zerlegungen von Sensordaten mit verschiedenen Objektstrukturen. . 98
Zernike-Zerlegung der Sensordaten bei weichgezeichneter Objektstruktur. . . 98
Zernike-Zerlegung der Sensordaten bei vergrößertem Objektbild und Maske.
99
Zernike-Zerlegung der Sensordaten bei Verdoppelung des Gesichtsfelds. . . . 100
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei veränderl. horiz Verkippung.101
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei veränderl. vertik. Verkippung.102
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei veränderlichem Defokus. . 103
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei veränderl. Astigmatismus. 104
Vergleich der Sensordaten mit der Spiegelform bei veränderl. 3-strahl. Astig. 104
Vergleich simulierter Sensordaten mit der Spiegelform. . . . . . . . . . . . . 105
A.1. Die ersten 9 Zernike-Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.2. Die Zernike-Polynome der Ordnungen 10-21. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
118
Tabellenverzeichnis
6.1. Wichtige technische Daten des Hitachi Illumina PJ-TX100 Videoprojektors .
6.2. Technische Daten der LCD-Panels des Typs Epson L3D07H . . . . . . . . .
55
56
7.1. Die Amplituden der Spiegelsteuerung bei Messreihe 06_01_1, 09_01_1, 09_01_2
und 09_01_5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2. Die Amplituden der Spiegelsteuerung bei Messreihe 09_01_3. . . . . . . . . 79
7.3. Die Amplituden der Spiegelsteuerung bei Messreihe 09_01_4. . . . . . . . . 79
A.1. Die ersten 21 Zernike-Polynome und ihre Bedeutungen. . . . . . . . . . . . . 109
A.2. Die Ableitungen der ersten 21 Zernike-Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.1. Verdrahtungsschema des OKO-Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
119
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Compensation. Applied Optics, 38:168–176, Jan. 1999. 66
122
Danksagung
123
Hiermit erkläre ich, dass ich diese Arbeit selbständig und nur mit den angegebenen Hilfsmitteln angefertigt habe. Alle Stellen, die dem Wortlaut oder dem Sinne nach anderen Werken
entnommen wurden, sind durch Angabe der Quellen als Entlehnung kenntlich gemacht.
Dirk Schmidt, Freiburg im April 2006