Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4 .III - Uni

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Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4 12 .III
Aufgabe: In einer Ausstellung sind zehn von zwölf Gemälden Originale. Ein
Besucher wählt ein Bild (zufällig aus). Entscheidet der Experte, dass das Bild
eine Fälschung ist, gibt der Besucher das Bild zurück und wählt ein anderes und
kauft dies (ohne den Experten ein zweites Mal zu fragen). Der Experte gibt im
Mittel bei neun von zehn Gemälden ein korrektes Urteil ab, ob das beurteilende
Bild ein Original oder eine Fälschung ist. Die Korrektheit der Auskunft hänge
nicht davon ab, ob das Bild tatss̈chlich ein Original oder eine Fälschung ist.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Besucher ein Original, legt es auf
Rat des Experten (fälschlicherweise) beiseite und wählt anschliessend (und
kauft) eine Fälschung?
b) Der Kunde kauft eine Fälschung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es nicht
das erste Bild, das er ausgesucht hat?
Lösungsvorschlag:
Wir definieren uns zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum:
Ω := {O, F }3 = {ω = (ω1 , ω2 , ω3 )|ωi ∈ {O, F }}
Hierbei bezeichnet ω1 den ersten Zug, also die erste Wahl eines Gemäldes (O =
b
Original, F =
b Fälschung), ω2 die Beurteilung des Experten und ω3 den zweiten
Zug, also die zweite Wahl eines Gemäldes.
In der Aufgabe sind folgende Wahrscheinlichkeiten ersichtlich:
5
P (ω1 = O) = 10
12 = 6
P (ω2 = O|ω1 = O) = 0, 9
P (ω2 = O|ω1 = F ) = 0, 1
P (ω3
P (ω3
P (ω3
P (ω3
= O|ω1
= O|ω1
= O|ω1
= O|ω1
= O, ω2 = O) = 1
= F, ω2 = O) = 0
9
= O, ω2 = F ) = 11
= F, ω2 = F ) = 10
11
Sommersemester 2013
Vertiefung NWI: Wahrscheinlichkeitstheorie
2
a)
P (ω = (O, F, F ))
= P (ω1 = O, ω2 = F, ω3 = F )
= P (ω1 = O) · P (ω2 = F |ω1 = O) · P (ω3 = F |ω1 = O, ω2 = F )
= P (ω1 = O) · (1 − P (ω2 = O|ω1 = O)) · (1 − P (ω3 = O|ω1 = O, ω2 = F ))
5
9
1
= · (1 − 0, 9) · (1 − ) =
6
11
66
b)
P (ω2 = F, |ω3 = F )
P ((ω = (O, F, F ), ω = (F, F, F ))
=
P (ω = (O, O, F ), ω = (F, O, F )ω = (O, F, F )ω = (F, F, F ))
2
2
1
10
12 · 0, 1 · 11 + 12 · 0, 9 · 11
= 10
2
10
2
2
1
12 · 0, 9 · 0 + 12 · 0, 1 · 1 + 12 · 0, 1 · 11 + 12 · 0, 9 · 11
19
=
30
Vertiefung NWI: Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2013