Die üblichen Zahlen - Karl-Franzens

Die üblichen Zahlen
Die Zahlenmengen N, Z, Q, R, C und das Rechnen damit
Andreas Kucher
[email protected]
Institute for Mathematics and Scientific Computing
Karl-Franzens-Universität Graz
Graz, September 5, 2015
Die üblichen Zahlen
Andreas Kucher
Hinweis zu den Folien
Diese Folien sind derart konzipiert, dass sie ohne weitere
Erklärungen eher schwer nachzuvollziehen sind. Sie sollen uns als
roter Faden für die VU dienen. Weiters ist zu beachten, dass
Genauigkeit und Wissenschaftlichkeit unter dem propädeutischen
Charakter des Brückenkurses leiden müssen. An einigen Stellen
sollen vordringlich Ideen und Denkweisen vermittelt werden!
Die üblichen Zahlen
Andreas Kucher
Die natürlichen Zahlen N
“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk“ – Leopold Kronecker
I Woher kommen die natürlichen Zahlen?
I
I
Peano–Axiome (Guiseppe Peano): Die Existenz wird gefordert.
John von Neumann: Die Zahlen werden mit Hilfe von Mengen
konstruiert.
→ Die Peano–Axiome folgen dann daraus.
Idee: 0 := ∅ und s(a) = a ∪ {a}
0 :=∅
1 :=s(0) = s(∅) = ∅ ∪ {∅} = {∅}
2 :=s(1) = s({∅}) = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}}
3 :=s(2) = s({∅, {∅}}) = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 :=s(3) = ....
Grundsätzliche Idee für + und · : a, b ∈ N:
I Induktiv definiert!
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Andreas Kucher
Rechenregeln und Ordnung für N
Seien x, y , z ∈ N. Dann gilt:
1. (x + y ) + z = x + (y + z) (Assoziativität der Addition).
2. x + y = y + x (Kommutativität der Addition).
3. (xy )z = x(yz) (Assoziativität der Multiplikation).
4. x(y + z) = (xy ) + (xz) (Distributivgesetz).
Wir können die natürlichen Zahlen mit Hilfe von + ordnen.
Für alle x, y ∈ N definiert man: x < y wenn es ein z ∈ N gibt,
sodass x + z = y .
Hinweis: Für eine saubere Definition bräuchten wir Relationen
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Andreas Kucher
Die ganzen Zahlen Z
I
Problem bei N:
Für a ∈ N möchten wir a + x = 0 (eindeutig) lösen können!
I
Lösung dafür: Konstruiere aus N eine neue Zahlenmenge,
sodass a + x = 0 eindeutig lösbar ist für alle a ∈ N.
I
Frage: Warum gilt (−3) · (−5) = 15?
I
Antwort: Man möchte, dass a(b + c) = ab + ac gilt. Daraus
folgt ”Minus mal Minus = Plus“.
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Andreas Kucher
Teilbarkeit, ggT
Definition (Teiler)
Seien a, b ∈ Z. Dann heißt a Teiler von b , falls gilt:
a 6= 0 und ∃d ∈ Z
ad = b .
Wir schreiben dann a | b.
Definition (gT)
Seien a, b ∈ Z. Dann heißt d gemeinsamer Teiler von a und b, falls
gilt: d | a und d | b.
Definition (ggT)
Seien a, b ∈ Z, a 6= 0, b 6= 0. Dann heißt die Zahl g gegeben durch
g := max{d ∈ N | d | a ∧ d | b}
der größte gemeinsame Teiler (ggT) von a und b.
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Andreas Kucher
Die Division mit Rest
Theorem
Zu jedem Paar a, b ∈ Z, b > 0 existiert genau ein paar q, r ∈ Z mit
a = qb + r
mit
0≤r <b.
Beweis.
Ohne Beweis
Hinweis: Der Beweis selbst ist konstruktiv. Er liefert einen
Algorithmus dafür, wie man q und r berechnen kann.
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Die rationalen Zahlen Q
I
Problem bei Z: Lösung von zx = 1 für z 6= 0?
I
Lösung dafür: Konstruiere aus Z eine neue Zahlenmenge,
sodass zx = 1 eindeutig lösbar ist für alle z ∈ Z\{0}.
I
Q ist abzählbar:
Q ist ein Körper!
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Ein kurzer Exkurs zu Körpern
Abbildung : (c) Martin Glatz
” Wenn man einen beliebigen Körper hat, und mit Körperaxiomen
Sätze beweist, gelten diese Sätze für jeden beliebigen Körper! “
Die üblichen Zahlen
Andreas Kucher
Der F2 als Beispiel
Sei F2 := {0, 1}. Dann definieren wir zwei Operationen auf F2 :
und nennen +2 die Addition auf F und ·2 die Multiplikation auf F.
Dann ist (F, +2 , ·2 ) ein Körper (nachrechnen oder mehr
Mathematik)!
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Die rellen Zahlen R
I
Problem bei Q: Q hat Lücken.
I
Lösung dafür: Konstruiere aus Q eine neue Zahlenmenge R,
sodass R keine ”Lücken“ mehr hat.
Abbildung : Schnitt ohne Schnittzahl
I
R ist nicht abzählbar.
Und nun rechnen wir fleißig!
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Die komplexen Zahlen C
I
Problem bei R: Nicht jede Gleichung der Form
an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 = 0
hat eine Lösung in R.
Theorem
Es gibt einen Oberkörper C von R und ein Element i ∈ C mit
folgenden Eigenschaften:
i) Jedes z ∈ C hat eine eindeutige Darstellung z = a + ib mit
a, b ∈ R.
ii) i 2 = −1.
iii) Für z = a + ib ∈ C× ist dann
1
a − bi
= 2
.
z
a + b2
Ohne Beweis.
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Rechenregeln für C
Seien x, y , z ∈ C mit
x = x1 + ix2 , y = y1 + iy2 , z = z1 + iz2 mit x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z2 ∈ R.
Dann gilt oder es wird definiert:
i) x + y := (x1 + y1 ) + i(x2 + y2 ).
ii) xy := (x1 y1 − x2 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).
iii) z̄ := z1 − iz2 .
q
√
iv) |z| := zz̄ = z12 + z22 .
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Andreas Kucher
Die ”komplexe Zahlenebene“ aus der Schule
Sei z ∈ C mit z = a + ib, a, b ∈ R.
Dann ist a = |z| cos ϕ und b = |z| sin ϕ.
Also ist z = |z|(cos(ϕ) + i sin ϕ) = |z|e iϕ .
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Andreas Kucher
Warum komplexe Zahlen?
I
Wichtig für die mathematische Theorie!
I
Vorteilhafte Eigenschaften für Ingenieurmathematik (z.B.
Elektrotechnik).
I
Anwendungen der Funktionentheorie (z.B. Berechnung von
komplizierten Integralen).
I
Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und
Exponentialfunktion.
I
Fourieranalysis.
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Andreas Kucher
Fouriertransformation
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