FEM Übung 2 Anmerkungen - Prof. Dr. Johannes Wandinger

FEM Übung 2 Anmerkungen
Ablauf einer technischen Berechnung
Bauteil / Entwurf
Idealisierung
Mathematisches
Modell
Diskretisierung
Finite-ElementeModell
Rechnung
Ergebnisse
Bewertung
1. Bauteil / Entwurf
In der Regel liegt eine technische Zeichnung oder eine Skizze vor. Für Übung
1 könnte das Bauteil z.B. so aussehen:
z
2000
V
2000
A
W
C
1000
A
C
P
B
X
Y
1000
B
2000
Z
x
2000
Maße in mm
FEM
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2. Idealisierung
Um rechnen zu können, müssen vereinfachende Annahmen bezüglich der
Geometrie, des Materials, der Belastung, der Einspannungen usw. getroffen
werden. In Übung 1 wurde das abgebildete Bauteil als Fachwerk idealisiert:
1000
y
2000
2000
A1
A1
A2
A1
1000
A2
A2
A2
A2
A1
A1
2000
2000
P
x
Maße in mm
Welche vereinfachenden Annahmen wurden hier getroffen?
Genauere Idealisierungen:
1. Idealisierung der Gurte und Querstreben als Balken (Übung 2): Balkentheorie
2. Idealisierung der Gurte als Platten (Übung 3): Plattentheorie
3. Detailuntersuchung der Einspannung: Mathematisches Modell für einen
dreidimensionalen räumlichen Spannungszustand
3. Diskretisierung
Die Idealisierung als Fachwerk führt auf ein mathematisches Modell, für das
sich eine analytische Lösung angeben lässt. Im vorliegenden Fall könnte
diese Lösung sogar durch eine Handrechnung ermittelt werden. Durch die
Diskretisierung werden keine weiteren Näherungen eingeführt.
Auch die Idealisierung als Balkenstruktur führt auf ein mathematisches
Modell, das analytisch berechnet werden kann. Da das System mehrfach statisch unbestimmt ist, ist eine Handrechnung jetzt aber sehr aufwändig. Die
Diskretisierung mit Balkenelementen ist exakt, solange Lasten nur an den
Knoten des Finite-Elemente-Modells angreifen.
Werden die Gurte als Platten idealisiert, so führt die Idealisierung auf die
partiellen Differentialgleichungen der Plattentheorie, die in der Regel nicht
analytisch gelöst werden können. Mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente
können numerische Näherungslösungen ermittelt werden, deren Genauigkeit
von der Feinheit der Vernetzung abhängt.
FEM
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4. Rechnung
Die Diskretisierung führt auf ein Gleichungssystem für die Verschiebungen
der Knoten des Finite-Elemente-Netzes. Bei einem linearen statischen Problem ist das Gleichungssystem ein lineares Gleichungssystem, das im
Rahmen der Rechengenauigkeit exakt gelöst werden kann. Der Fehler infolge der Rechenungenauigkeit ist in der Regel klein gegenüber den Fehlern,
die durch die Diskretisierung und die Idealisierung eingeführt wurden. Wenn
sich das Gleichungssystem nicht lösen lässt, dann liegt in der Regel ein Fehler in der Modellbildung vor.
Welche Fehler in der Modellbildung können dazu führen, dass sich das
Gleichungssystem nicht lösen lässt?
5. Bewertung
Liegen die Ergebnisse vor, so ist zu überprüfen, ob Diskretisierung und
Idealisierung angemessen sind und ob das Bauteil den Anforderungen genügt.
Diskretisierung:
●
Hängen alle Elemente korrekt zusammen?
●
Treten Spannungskonzentrationen auf, die sich nicht erklären lassen?
●
Kann der Spannungsverlauf durch die Diskretisierung hinreichend genau wiedergegeben werden?
Idealisierung:
●
Welche Ergebnisse sind realistisch, und welche Ergebnisse sind durch
die Idealisierung bedingt?
Welche Ergebnisse lassen sich verwerten, wenn das Bauteil als Fachwerk, als Balkenstruktur oder als Plattenstruktur idealisiert wurde?
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