¨Ubungsblatt 8.
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Numerik der partiellen Differentialgleichungen Herbstsemester 2015 Prof. Dr. H. Harbrecht Übungsblatt 8. zu bearbeiten bis Dienstag, 11.11.2015, 10:15 Uhr. Aufgabe 1. (Hängende Knoten) Gegeben sei folgendes Finite-Elemente-Netz mit einem hängenden Knoten: 4 3 5 1 2 Auf dem Netz betrachten wir eine Diskretisierung der Bilinearform a(·, ·) und der rechten Seite ℓ(·) mit stetigen, stückweise linearen Finiten Elementen. Folglich ist der Funktionswert am Knoten 5 als Durchschnitt der Funktionswerte der Knoten 2 und 4 gegeben. Stellen Sie das lineare (5 × 5)-Gleichungssystem der Finite Elemente-Diskretisierung auf, und formen Sie es in ein äquivalentes (4 × 4)-Gleichungssystem um. (4 Punkte) Aufgabe 2. (Lemma von Strang) Sei Vh ⊂ H01 (Ω). Vorgelegt seinen die Variationsprobleme a(u, v) = ℓ(v) für alle v ∈ H01 (Ω) und ah (uh , vh ) = ℓh (vh ) für alle vh ∈ Vh . Dabei sei a(·, ·) : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R eine stetige und elliptische Bilinearform. Das zweite Variationsproblem kann als Diskretisierung des ersten aufgefasst werden, mit einer von h abhängigen Diskretisierung ah von a bzw. ℓh von ℓ. Dabei sei ah (·, ·) : Vh × Vh → R eine auf Vh unabhängig von h elliptische Bilinearform. Zeigen Sie die Abschätzung |a(vh , wh ) − ah (vh , wh )| ku − uh kH 1 (Ω) ≤ c inf ku − vh kH 1 (Ω) + sup vh ∈Vh kwh kH 1 (Ω) wh ∈Vh |ℓ(wh ) − ℓh (wh )| + sup kwh kH 1 (Ω) wh ∈Vh mit einer von h unabhängigen Konstante c > 0. (4 Punkte) Aufgabe 3. (Tridiagonalmatrizen) Gegeben sei eine Tridiagonalmatrix α β D= 0 D ∈ Rn×n mit γ 0 .. . α , .. .. . . γ β α βγ > 0. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte von D gegeben sind durch p kπ , für k = 1, . . . , n. λk = α + 2 βγ sign(β) cos n+1 Beweisen Sie ferner, dass für die zugehörigen Eigenvektoren v1 , . . . vn die Darstellung vk,i i−1 ikπ β 2 sin = , γ n+1 für i, k = 1, . . . , n gilt, wobei vk,i die i-te Komponente von vk bezeichnet. (4 Punkte) Aufgabe 4. (Eigenwerte des Laplace-Operators) Für zwei Matrizen A = [ai,j ], B = [bi,j ] ∈ Rn×n ist das Kronecker-Produkt A ⊗ B definiert durch a1,1 B · · · a1,n B .. . C = [ai,j · B]ni,j=1 = ... . an,1 B · · · an,n B a) Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem, das bei der Diskretisierung der PoissonGleichung −∆u = f in Ω = (0, 1)2 , u = 0 auf ∂Ω durch den 5-Punkte-Finite-Differenzen-Stern entsteht, sich schreiben lässt als (L ⊗ I + I ⊗ L)u = f . Dabei ist I ∈ R(n−1)×(n−1) die Einheitsmatrix und 2 −1 −1 2 −1 1 .. .. .. L= 2 ∈ R(n−1)×(n−1) , . . . h −1 2 −1 −1 2 die Diskretisierung des eindimensionalen Laplace-Operators zur Schrittweite h = 1/n. b) Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren des zweidimensionalen, diskretisierten Laplace-Operators. (4 Punkte)
