Seminararbeit Mandelbrotmenge

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Gymnasium Fränkische Schweiz
Ebermannstadt
Abiturjahrgang 2011
SEMINARARBEIT
im W-Seminar Mathematik: Komplexe Zahlen
Thema
Die Mandelbrotmenge
Verfasser/in:
Michael Hübschmann
Seminarleiter/in:
Herr Hümmer
Abgabetermin:
9.11.2010
Ergebnis der vorgelegten
Seminararbeit
Punkte
Ergebnis der Präsentation
mit Prüfungsgespräch
Punkte
Gesamtergebnis in doppelter
Wertung: auf ganze Punktzahl
gerundetes Ergebnis von
(3x schr. + 1x mdl.):2
Punkte
Inhaltsverzeichnis
1 Faszination des Apfelmännchens..................................................................3
2 Mathematischer Hintergrund.........................................................................4
2.1 Das Verfahren der Iteration....................................................................4
2.2 Definition der Mandelbrotmenge...........................................................5
2.3 Eigenschaften der Mandelbrotmenge.....................................................5
2.4 Zusammenhang zwischen Juliamengen und Mandelbrotmenge............7
2.5 Verschiedene Ergebnisfolgen der Iteration in Bezug auf die
Mandelbrotmenge..................................................................................8
3 Grafische Darstellung..................................................................................12
3.1 Fraktal in der komplexen Ebene..........................................................12
3.2 Randphänomene..................................................................................12
3.2.1 Satelliten.......................................................................................12
3.2.2 Seepferdchental............................................................................14
3.2.3 Spiralen.........................................................................................14
3.3 Apfelmännchen in 3D..........................................................................14
4 Schlusswort.................................................................................................16
5 Literatur- und Quellenverzeichnis...............................................................16
5.1 Bücher..................................................................................................16
5.2 Webquellen..........................................................................................16
5.3 Bildernachweis....................................................................................17
6 Anhang........................................................................................................17
1 Faszination des Apfelmännchens
Die Mandelbrotmenge, wegen ihres optischen Erscheinungsbildes auch
„Apfelmännchen“ genannt (siehe Abb. 1), vermochte es seit ihrer Entdeckung die
Menschen zu faszinieren.
Bereits um das Jahr 1975 waren Fraktale und die Chaosforschung aktuelle und viel
beachtete Themen in der Mathematik.
Plötzlich kamen viele geometrische Muster der Natur nahe, da nicht mehr nur nach
der euklidischen Geometrie1 beschrieben wurde, sondern nach Fraktalen. Gegenüber
„glatten“ Dreiecken und Kreisen erscheinen Fraktale „rau“, denn ihre Ränder stellen
sich zerklüftet dar. Bezeichnend für Fraktale ist die Selbstähnlichkeit: Wenn man die
Form vergrößert, findet man sie unendlich oft verkleinert in sich selbst wieder.
Benoît Mandelbrot (1924-2010), ein promovierter Mathematiker, befasste sich schon
früh mit diesen Phänomenen, vor allem wie diese in der Natur auftreten. So
visualisierte er Mengen mit komplexen Strukturen, die sich aber immer auf eine
einfache Formel zurückführen lassen und erkannte, dass das Prinzip der
Selbstähnlichkeit einheitlich Systemen wie Wolken oder Bäumen zugrunde liegt.
1 Der griechische Mathematiker 'Euklid von Alexandria' vertrat die These, dass alle Formen in der
Natur sich durch einfache mathematische Elemente beschreiben lassen, wie z.B. Dreiecke oder
Kreise
Die Mandelbrotmenge
3
Michael Hübschmann
Seine berühmteste Entdeckung jedoch ist die nach ihm benannte „Mandelbrotmenge“. Doch nicht die mathematische Bedeutung, sondern die grafische
Darstellung machen die Menge einem breiten nichtwissenschaftlichen Publikum
bekannt.
Ende der 80er Jahre griffen viele Magazine die „Geschichte Apfelmännchen“ auf.
Die Ästhetik eines auf Mathematik beruhenden Gebildes war bis dahin unbekannt.
Computergeneriert und eingefärbt ähnelte die Mandelbrotmenge einem Kunstwerk
und schuf damit eine Verbindung zwischen Mathematik und Kunst.
Dies löste einen regelrechten Hype aus, begründet in der subjektiven „Schönheit“
und dem Irrglauben, durch das Apfelmännchen einen Einblick in die
Chaosforschung2 und damit in die höhere Mathematik zu bekommen. Mit der
damaligen Hardware konnten mit wenig Aufwand sogar zuhause Apfelmännchen auf
die Bildschirme gezaubert werden. Es erschienen unzählige populärwissenschaftliche
Bücher und es waren sogar bedruckte T-Shirts und Tassen erhältlich.
Als Folge stieg das Ansehen der Mathematik in nicht vorhersehbarem Ausmaß, was
der als langweilig verschrieenen Wissenschaft nicht ungelegen kam. Auch heute noch
besitzen solche Darstellungen enorme Anziehungskraft. Inzwischen nehmen sie
allerdings durch den technischen Fortschritt andere Formen an3.
Letztlich dient die Mandelbrotmenge aber hauptsächlich der Klassifizierung von
Julia-Mengen4, und benötigt außer dem Themengebiet komplexer Zahlen keine
tiefergehenden mathematischen Kenntnisse, da sie auf einem einfachen iterierten
Gleichungssystem beruht. Ein Computer kann heute mithilfe fast jeder beliebigen
aktuellen Programmiersprache ein Abbild der Mandelbrotmenge zeichnen.
2 Mathematischer Hintergrund
2.1 Das Verfahren der Iteration
Für die Iteration setzt man eine Gleichung voraus. Man bestimmt einen Anfangswert,
und das Ergebnis, das man nach Einsetzen in die Rechenvorschrift bekommt, wird
2 Die Chaosforschung befasst sich mit dynamischen Systemen und beeinflusst als noch relativ neuer
Teilbereich der Mathematik unser heutiges Leben in Form der Wettervorhersage oder der
Beschreibung von Wirtschaftskreisläufen. Das Hauptziel besteht meist darin, chaotischen
Systemen eine Struktur zu geben.
3 Mehr dazu in Kapitel 3.3
4 Mehr dazu in Kapitel 2.4
Die Mandelbrotmenge
4
Michael Hübschmann
erneut verwendet, um das nächste Ergebnis zu bestimmen. Man setzt also quasi in
die Funktion immer wieder das Ergebnis des vorhergehenden Schrittes ein. Dabei
lassen sich 4 Typen für das Ergebnis unterscheiden:
• Bei der Konvergenz läuft die Folge gegen einen festen Grenzwert.
• Handelt es sich um Divergenz, so existiert kein solcher Grenzwert, die Folge
verläuft also z.B. gegen ∞ .
• Das periodische Verhalten beschreibt das Pendeln der Folge zwischen
verschiedenen Ergebnissen.
• Beim chaotischen Verhalten folgt der Verlauf keiner erkennbaren Regel.
Beispiele anhand der Mandelbrotmenge werden in Kapitel 2.5 berechnet.
2.2 Definition der Mandelbrotmenge
Die Mandelbrotmenge ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die der
Grenzwert der iterierten Gleichungen mit dem Bildungsgesetz z n1 =z 2nc c ∈ℂ
und dem Startwert z 0 =0 beschränkt bleibt.
M ist somit eine Teilmenge von ℂ . M wird in der komplexen Ebene dargestellt,
wobei alle zur Menge gehörenden Elemente schwarz gefärbt sind.
Wenn die Mandelbrotmenge am PC berechnet wird, muss man natürlich irgendwann
das Runden anfangen. Das bedeutet, dass zusätzlich noch festgelegt werden muss,
wie oft man die Gleichung iteriert. Da dadurch nicht gesagt werden kann, ob das
Ergebnis für die bestimmte komplexe Zahl c gegen ∞ verläuft, legt man noch einen
Wert fest, bis zu dem das Ergebnis für c in der Mandelbrotmenge liegt.
2.3 Eigenschaften der Mandelbrotmenge5
Die Mandelbrotmenge lässt sich auf einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius 2
eingrenzen und ist symmetrisch zur reellen Achse, was die Abbildung 2 bereits
vermuten lässt. Unabhängig davon, ob der Imaginärteil der Zahl c positiv oder
negativ ist, unterscheidet sich, mit Blick auf die Bildungsvorschrift, auch beim
Ergebnis nur der Imaginärteil durch das Vorzeichen.
5 Behr, 1997, S.226ff
Die Mandelbrotmenge
5
Michael Hübschmann
Abbildung 2: Die Mandelbrotmenge in der komplexen Ebene
Die Fläche lässt sich nur schätzen: Da schon bekannt ist, dass die Mandelbrotmenge
höchstens die Fläche des Kreises mit Radius 2 haben kann, ist eine Eingrenzung
möglich.
Wegen des fraktalen Randbereichs - den immer kleiner werdenden Verästelungen lässt sich die Fläche aber nicht berechnen.
Ähnlich verhält es sich mit dem Umfang. Für jeden vergrößerten Ausschnitt des
Randbereichs ergibt sich erneut ein fraktaler Umriss, wodurch der Umfang unendlich
groß wird.
Interessanterweise kann man bei diesen Vergrößerungen des Randbereichs wieder
kleine „Apfelmännchen“ erkennen, die ungefähr dem großen Abbild gleichen,
weshalb man von (fraktaler)6 Selbstähnlichkeit spricht. Selbstähnlichkeit bedeutet
aber, dass jede Vergrößerung exakt die gleiche Struktur wie das Gesamtgebilde haben
müsste, was bei der Mandelbrotmenge nicht der Fall ist, deshalb ist sie nicht strikt
selbstähnlich.
Obwohl man auf Abbildungen der Mandelbrotmenge immer kleine Flächen sieht, die
isoliert zu stehen scheinen, zeigt die entsprechende Vergrößerung die Verbindungen
dieser Punkte zur Menge. Die Mandelbrotmenge ist somit zusammenhängend.
Die quadratische Funktion z n1 =z 2nc selbst ist holomorph. Nach der Definition ist
sie daher komplex differenzierbar. Dafür teilt man die Funktionen in Real- und
6 Neben der fraktalen Selbstähnlichkeit kann man noch die gewöhnliche Selbstähnlichkeit
unterscheiden. Diese beschränkt sich auf die, von der Schulgeometrie bekannten, Dimensionen,
während Mandelbrot für die fraktale Selbstähnlichkeit noch die nicht ganzzahlige fraktale oder
Hausdorff Dimension verwendet. (Mandelbrot, 1977, S.44)
Die Mandelbrotmenge
6
Michael Hübschmann
Imaginärteil und überprüft, ob die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
erfüllt sind. 7
Benoît Mandelbrot beschrieb eine Verallgemeinerung der Mandelbrotmenge, bei der
man ein anderes Bildungsgesetz verwendet. Jedoch erreichte keine andere Gleichung
den Bekanntheitsgrad des Originals.
2.4 Zusammenhang zwischen Juliamengen und Mandelbrotmenge
Die Juliamengen wurden von Gaston Maurice Julia beschrieben. Im Wesentlichen
gibt es für jeden Wert der komplexen Zahl c vieler komplexer, rekursiver Funktionen
eine Juliamenge, die alle komplexen Zahlen enthält, für die der Betrag nach beliebig
vielen Iterationen beschränkt bleibt. Das bedeutet, dass Juliamengen keinen
festgelegten Startwert z 0 haben und eine beliebige Gleichung haben können.
Betrachtet man die Mandelbrotmenge, so beschreibt sie, als Teilmenge der
Juliamenge, alle komplexen Zahlen für ihre definierte Funktion, die nicht
divergieren. Juliamengen zeigen für die Startwerte z 0 in der komplexen Ebene die
Konvergenz an. Wie bei der Mandelbrotmenge werden alle Punkte schwarz
gezeichnet, die nach einer bestimmeten Zahl von Iterationen betragsmäßig größer als
2 sind.
7 Siehe Seminararbeit „Holomorphe Funktionen“ von Kevin Volkert, Gymnasium Fr. Schweiz, 2010
Die Mandelbrotmenge
7
Michael Hübschmann
2.5 Verschiedene Ergebnisfolgen der Iteration in Bezug auf die
Mandelbrotmenge
Die vier verschiedenen Typen, die man als Ergebnis für die Iteration bekommen
kann, lassen sich an Punkten in und außerhalb der Mandelbrotmenge anschaulich
darstellen. Das nach dem amerikanischen Physiker Mitchell Jay Feigenbaum (*1944)
benannte Feigenbaum-Diagramm zeigt die Periodenanzahl für verschiedene
Parameterwerte an.
Bei der Mandelbrotmenge ist der Parameter die komplexe Zahl c, die in die
Rechenvorschrift eingesetzt wird. Als Ergebnis können Folgen mit bestimmter
Periodizität auftreten.
Abbildung 4: Feigenbaum-Diagramm im Zusammenhang mit dem Apfelmännchen;
markierte Punkte a,b,c,d: siehe spätere Berechnung
Für das Feigenbaumdiagramm werden die ersten ca. 100 Iterationen ausgelassen, da
Die Mandelbrotmenge
8
Michael Hübschmann
die Periodizität erst nach einigen Iterationen deutlich eintritt. Nach
Koordinatentransformation kann man das Feigenbaum-Diagramm für die reelle
Funktion Qc  x =x 2c der Mandelbrotmenge gegenüberstellen (siehe Abb.4).
Während von der Y-Achse (also von rechts) ausgehend zuerst nur eine Linie im
Feigenbaum-Diagramm verläuft, die die Konvergenz gegen einen bestimmten Wert
im ganzen Hauptkörper beschreibt, tritt beim Einschnitt zwischen „Rumpf“ und
„Kopf“ die erste sogenannte Bifurkation auf. Eine Bifurkation stellt eine
Periodenverdopplung dar und hat eine gabelförmige Struktur. Folglich ergibt sich
nun periodisches Verhalten. Bei jeder neuen Scheibe des Apfelmännchens verdoppelt
sich die Anzahl der Werte, zwischen denen die Ergebnisfolge pendelt, bis zuletzt
keine Anzahl mehr erkennbar ist und damit chaotisches Verhalten auftritt.
Mithilfe dieser Darstellung lassen sich nun bequem Werte für die verschiedenen
Arten von Ergebnissen für die Iteration heraussuchen.
Wir betrachten also zur Vorschrift z n1 =z 2nc∈ℂ mit dem Startwert z 0 =0
zunächst nur einen Punkt außerhalb der Mandelbrotmenge (Punkt a in Abbildung 4),
z.B. c=1i . Durch Einsetzen in die Rechenvorschrift erhalten wir:
2
z 1=0 1i Nun setzen wir wiederholt immer das vorherige Ergebnis ein:
z 2 =1i2 3i=12 i−11i=13 i
2
z 3=13 i 1i=−77 i
z 4=−77i2 1i =1−97 i
2
z 5=1−97 i 1i =−9407−193 i
z 6=−9407−193 i21i=884544013631103i
z 7=884544013631103 i21i =7810996147272193642374081668607i
Der Betrag des Ergebnisses läuft extrem schnell gegen ∞ und es gibt keinen Grund
anzunehmen, warum sich das noch ändern sollte. Somit kann man hier mit hoher
Wahrscheinlichkeit von Divergenz sprechen.
Wir nehmen nun einen Punkt aus dem ersten Zyklus des Feigenbaumdiagramms
(Punkt b in Abbildung 4), also aus dem Hauptkörper des Apfelmännchens.
Die Mandelbrotmenge
9
Michael Hübschmann
Für c=−0,50,1 i ergibt sich8:
z 0 =00i ;
z 1=−0.50.1i ;
z 2 =−0.260.0 i ;
z 3=−0.43240.1i ;
z 4=−0.323030240.013520000000000004i ;
z 5=−0.39583425444554240.0912652623104i ;
z 6=−0.351644591112127760.02774816587317193i ;
z 7=−0.377116042250909560.08048501511483393i ;
Nach einigen Iterationen hat sich der Wert stabilisiert und man bekommt als Wert:
z 126 =−0.367939311680568370.05760771441863403i ;
Für den Parameter c=−0,50,1 i tritt Konvergenz auf, da die Gleichung einen
Grenzwert erreicht. Trotzdem ist das noch nicht der genaue Wert, da das Programm
auf diese Anzahl an Stellen rundet.
Betrachten wir als Beispiel für den periodischen Verlauf einen Wert aus der dritten
Kardioide9 entlang der reellen Achse (Punkt c in Abbildung 4): c=−1,280,05 i
z 0 =00i ;
z 1=−1.280.05i ;
z 2 =0.3559000000000001−0.078 i ;
z 3=−1.15941919−0.005520400000000016 i ;
z 4=0.064222383324096020.06280091539295204 i ;
z 5=−1.27981944045436570.05806644892294058i ;
z 6=0.35456608767440523−0.09862914033945962 i ;
z 7=−1.164010596795367−0.019941096841704115i ;
Erst nach deutlich mehr Iterationsschritten stabilisiert sich auch hier der Wert:
z 2941 =−1.2892387242593490.0564136960285371 i ;
z 2942 =0.3789539830302737−0.09546144299717176 i ;
z 2943 =−1.1455067658445932−0.022350988099191338 i ;
z 2944 =0.0316861839267295050.10120641618187132 i ;
8 Für die Generierung der Werte wurde ein selbst erstelltes Java-Programm verwendet, das sich auf
der CD im Ordner „Programme“ befindet.
9 Eine Kardioide ist eine Herzkurve, also ein Kreis, der eine „Einbuchtung“ enthält
Die Mandelbrotmenge
10
Michael Hübschmann
z 2945 =−1.28923872442453960.05641369023540782 i ;
z 2946 =0.37895398410983727−0.09546142807835657 i ;
….
Wie im Diagramm zu sehen, wechselt die Folge periodisch zwischen 4 Werten, und
mit zunehmender Iterationszahl lässt sich auch die Genauigkeit noch verbessern.
Die Suche nach einem Punkt für das chaotische Verhalten gestaltet sich etwas
schwieriger, da man sich weiter vom Hauptkörper entfernen muss. Dort sind die
Strukturen allerdings schon sehr fein, doch Vergrößerungen helfen bei der Auswahl.
Der Punkt (Punkt d in Abbildung 4) liegt sehr nah an der reellen Achse:
c=−1,4011555508381,240099992922∗10
−10
z 0 =00i ;
z 1=−1.4011555508381.240099992922∗10
−10
i;
z 2 =0.5620813268061393−2.2350459844316497∗10
−10
−10
z 3=−1.08522013289385−1.2724552318821508∗10
z 4=−0.223452813999854624.001888064611245∗10
i;
i;
−10
i;
−11
z 5=−1.3512243907535464−5.483663057776293∗10
z 6=0.424651803329292532.7220318477903005∗10
z 7=−1.220826396767183.5519314586898347∗10
−10
−10
i;
i;
i;
Schon der Anfang lässt kein Muster, wie bei den vorhergehenden Folgen, erahnen.
Doch auch nach einigen hundert ...
−9
z 454=0.42485355423247406−1.0615365735488768∗10 i ;
−10
z 455=−1.2206550082940342−7.779851731478048∗10
i;
−9
z 456=0.088843098435308582.0233129952549386∗10 i ;
… oder tausend …
−9
z 48295=−1.21950160465916653.3431858592160897∗10 i ;
−9
z 48296=0.0860286129282819−8.030031040683512∗10 i ;
z 48297=−1.393754628595636−1.2576148651099009∗10−9 i ;
… Iterationen bleibt der Wert zwar beschränkt, es stellt sich jedoch keine
Regelmäßigkeit ein. Das „Chaos“ ist offensichtlich und verblüfft doch, da es aus
einer simplen Gleichung entsteht.
Die Mandelbrotmenge
11
Michael Hübschmann
3 Grafische Darstellung
3.1 Fraktal in der komplexen Ebene
Die Mandelbrotmenge als Teilmenge der Komplexen Zahlen wird in der komplexen
Ebene im Bereich von -2 bis 1 an der reellen Achse und von -1,5 bis 1,5 an der
imaginären Achse gezeichnet. Die grafische Darstellung erfolgt für den Parameter c.
Es wird also jede komplexe Zahl c, die nicht divergiert, schwarz abgedruckt.
Dadurch entsteht die charakteristische Form, die leicht die Fantasie anregen kann.
Interessante Interpretationen gibt es zuhauf:
„Sie erinnere an eine Schildkröte von oben […] Andere sehen in ihr eher
eine merkwürdige Kaktusknolle mit ihren Fruchtwarzen […] Sicher
haben sie alle Recht, auch der Bremer Lehrer, den die Figur an einen
'fetten Beamtenar...' erinnert“10
Bekannt wurde vor allem die farbige Darstellung. Dafür wird zusätzlich zur
Ursprungsform der Rand der Menge je nach Stärke der Konvergenz in bestimmten
Farben eingefärbt.
Es werden also Punkte, die außerhalb der Menge liegen, nach einer bestimmten
Anzahl von Iterationen ihrem entsprechenden Intervall zugewiesen, für das eine
Farbe vorbestimmt worden ist. Somit entstehen reizvolle Farbmuster. Diese haben in
der Mathematik keinen praktischen Wert, doch sie sind ästhetisch sehr ansprechend.
Es werden verschiedene Phänomene unterschieden.
3.2 Randphänomene
3.2.1 Satelliten
Als Satelliten bezeichnet man die verkleinerten Abbilder der Mandelbrotmenge an
ihrem Rand. Sie sind durch Antennen mit dem jeweils unter/übergeordneten
Satelliten verbunden (siehe Abb. 5). Bei einer direkten Verbindung heißen sie auch
Knospen. Man erkennt schon an der Spitze des Apfelmännchens auf der negativen
reellen Achse kleine Apfelmännchen.
Mit Abbildung 4 wird außerdem der Zusammenhang etwas klarer. Innerhalb der
Mandelbrotmenge läuft jeder Punkt gegen einen Grenzzyklus, der sich für kleinere
10 Becker und Dörfler, 1989, S.149
Die Mandelbrotmenge
12
Michael Hübschmann
Satelliten in diesem Fall jeweils verdoppelt. Die Satelliten besitzen deshalb jeweils
ihre eigene Periodizität des Grenzzyklus. Dadurch kommt es letztendlich zum Chaos,
das in einer Divergenz mündet, welche nicht mehr Teil der Mandelbrotmenge ist. Je
kleiner der Satellit ist, desto größer ist die Periodizität. Die Deutlichkeit dieses
Übergangs hängt von der Anzahl der Iterationen ab, die für absolute Genauigkeit
eigentlich unendlich groß sein müsste.
Abbildung 5: Antenne des Apfelmännchens mit Satelliten
Abbildung 6: Eine Seepferdchen im unteren Einschnitt zwischen "Kopf" und "Rumpf"
des Apfelmännchens
Die Mandelbrotmenge
13
Michael Hübschmann
3.2.2 Seepferdchental
Das Seepferdchental ist aufgrund der Ähnlichkeit zu den gemusterten und ebenso
zerklüfteten Meeresbewohnern so benannt worden. Das Muster kann an den meisten
Einschnitten zwischen „Kopf“ und „Rumpf“ des Apfelmännchens, die das „Tal“
bilden, bestaunt werden (Abb. 6).
3.2.3 Spiralen
Ein sehr häufig auftretendes Phänomen ist die Spirale: entweder in Form einer linksoder rechtsgedrehten Spirale (Abb. 7) oder sogar als Doppelspirale (Abb. 8). Es ist
fast immer möglich, so weit es das Programm zulässt, in die Mitte „hineinzuzoomen“
ohne je ein Ende zu erreichen. Dadurch bekommt man ein bestimmtes „Gefühl für
die Unendlichkeit“. Mathematisch ist auch dieses Gebilde selbstähnlich und basiert
auf der Multiplikation von zwei komplexen Zahlen, da der Winkel zwischen den
komplexen Zeigern als größer 0 betrachtet wird.11
Abbildung 7: einfache Spirale
Abbildung 8: doppelte Spirale
3.3 Apfelmännchen in 3D
Mit der steigenden Leistungsfähigkeit der Rechner entwickelt sich auch die
Mandelbrotmenge weiter, indem sie sich in die dritte Dimension ausdehnte. Während
einfachere Darstellungen die Mandelbrotmenge um die reelle Achse kreiseln lassen
11 Voß, 1998, S.191
Die Mandelbrotmenge
14
Michael Hübschmann
oder topographisch die Mandelbrotmenge als Hochplateau mit, je nach
Divergenzstärke, abfallenden Rändern interpretieren, ist das Ziel der meisten
Forscher ein genauso formenreiches Gebilde, wie die 2D Darstellung, in 3D aus der
Mandelbrotmenge zu erzeugen. Diese Körper sollten möglichst eine Art von
Selbstähnlichkeit aufweisen und in größeren Zoomstufen detailliert bleiben. Bei
einer dreidimensionalen Darstellung treten jedoch andere Aspekte wie die richtige
Beleuchtung und der Schattenwurf in den Vordergrund. Auch die Präsentation hat
sich gewandelt. Entwickler stellen ihre Werke in animierten, musikalisch hinterlegten
Fahrten durch ihre 3D Interpretation der Mandelbrotmenge dar.12 Wegen der nötigen
3 Koordinaten werden hyperkomplexe Zahlen mit 3 Komponenten verwendet. Diese
werden in die Gleichung z n 1=z rnc eingesetzt. Für r =2 entspricht die Rechnung
somit der Mandelbrotmenge. Der bekannteste sogenannte Mandelbulb ( ~ Mandelknolle, siehe Abb. 8) entsteht aber für r =8 , also Mächtigkeit 8. Es entstehen bizarre
Figuren mit partiellen Ähnlichkeiten zur 2D Version.13
Abbildung 8: Ein "Mandelbulb" der Mächtigkeit 8
12 Vgl. Anhang (CD), Ordner „Videos“
13 White, 2010, S. 2
Die Mandelbrotmenge
15
Michael Hübschmann
4 Schlusswort
Leider mussten bei dieser Seminararbeit, um den Rahmen nicht zu sprengen, einige
Themen ausgelassen werden. Die Schwierigkeit bestand darin, einen abgeschlossenen und in sich schlüssigen Komplex zu verfassen, der möglichst alle Aspekte der
Mandelbrotmenge beleuchtet. Doch die Vielzahl der wissenschaftlichen
Untersuchungen erzwingt eine beschränkte Auswahl. Überraschend verstarb während
des Verfassens der Seminararbeit (14.10.2010) der Namensgeber und Entdecker der
Mandelbrotmenge Benoît Mandelbrot an einem Krebsleiden14. Seine
unkonventionelle Herangehensweise prägte das Verständnis von der Mathematik.
Mathematik zum Beschreiben von Bäumen - vor einem Jahrhundert noch undenkbar.
Auch wenn das mathematische Gewicht der Mandelbrotmenge nicht so
beeindruckend ist, die Beachtung die daraufhin Fraktale und Chaosforschung
bekamen, sind es.
5 Literatur- und Quellenverzeichnis
5.1 Bücher
[1] Becker, Karl–Heinz und Michael Dörfler | 1989 | Dynamische Systeme und Fraktale |
Vieweg Verlag |
[2] Behr, Reinhart | 1993 | Algorithmen für Chaos und Fraktale | Klett Verlag |
[3] Herrmann, Dietmar | 1997 | Ein Weg zur fraktalen Geometrie | Addison Wesley Verlag |
[4] Mandelbrot, Benoît | 1977 | The Fractal Geometry of Nature | W. H. Freeman |
[5] Peak, David und Michael Frame | 1995 | Komplexität. Das gezähmte Chaos | Birkhäuser
Verlag AG |
[6] Voss, Herbert | 1998 | Chaos und Fraktale selbst programmieren | Franzis Verlag GmbH |
5.2 Webquellen
[1] White, Daniel | 2010 | The Unravelling of the Real 3D Mandelbulb |
http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html abgerufen am 5.11.2010
[2] http://www.physcip.uni-stuttgart.de/phy11733/math.html abgerufen am 5.11.2010
[3] http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge abgerufen am 1.11.2010
(Während in der Literatur immer nur kleine Ausschnitte des Gesamtthemas
14 New York Times: http://www.nytimes.com/2010/10/17/us/17mandelbrot.html
Die Mandelbrotmenge
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Michael Hübschmann
Mandelbrotmenge forciert werden, findet sich hier eine Komplettzusammenfassung aus
verschiedenen Büchern und Artikeln, die teilweise auch in dieser Seminararbeit verwendet
wurden)
5.3 Bildernachweis
Abb. 2: Die Mandelbrotmenge in der komplexen Ebene
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelset_hires.png
abgerufen am 1.11.2010
Abb.4: Feigenbaum-Diagramm im Zusammenhang mit dem Apfelmännchen; markierte
Punkte a,b,c,d: siehe spätere Berechnung
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg
abgerufen am 2.11.2010
Abb. 1, 3, 5,6,7: Erstellt mithilfe von Fractalizer (Freeware). By Robert Sontheimer
http://fractalizer.de/
Abb. 8: Erstellt mithilfe von Mandelbulber(Open Source). By Krzysztof Marczak
http://sourceforge.net/projects/mandelbulber/
6 Anhang
Die Mandelbrotmenge
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Michael Hübschmann
Erklärung:
Ich habe diese Seminararbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im
Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt.
Ort, Datum, Unterschrift
Die Mandelbrotmenge
18
Michael Hübschmann
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