Chaostheorie - Ernst-Reuter

Chaostheorie
Eine Einführung in die
schwierige Welt des
Chaos
Ursprung des Chaos
Die Chaostheorie ist eine mathematische Theorie, die sich mit Systemen befasst, deren Verhalten
unvorhersagbar und scheinbar regellos ist, obwohl ihre Komponenten durch eindeutige Gesetze
beherrscht werden. Die Wurzeln gehen weit zurück. Isaac Newton versuchte die Bewegung von
mehr als zwei Himmelskörpern zu beschreiben. Zur Berechnung reichte die herkömmliche
einfache Schulmathematik nicht mehr aus, es mussten spezielle Rechensysteme, sogenannte
Differentialgleichungen, benutzt werden. Dieses Problem wurde später als n-Körper-Problem
bezeichnet. Der Sachverhalt wurde von Henrie Poincaré später noch genauer untersucht. Er kam
zu der Erkenntnis, dass es nicht möglich sei, diese Bewegung der Himmelskörper zu beweisen.
Damit hatte er das Chaos entdeckt, nur bezeichnete er es nicht als solches. Pierre Fatou und
Gaston Julia beschäftigten sich 1920-1930 mit der Lösung der heute als Juliamengen bekannten
komplexen analytischen Abbildung (eine zeichnerische Aufzeichnung der verschiedenen, einzelnen,
möglichen Ergebnisse). G. D. Birkhoff übertrug zur gleichen Zeit Poincarés Erkenntnisse auf einen
iterativen Prozess und vereinfachte damit das Problem (iterativ = sich schrittweise in wiederholten
Rechengängen der exakten Lösung annähernd). Stephen Smale überdachte in den 60er Jahren
des 20. Jahrhunderts Poincarés Arbeit unter dem Gesichtspunkt der Iteration (Iteration = Hauptwort
zu iterativ) und zeigte, dass es möglich ist, das n-Körper-Problem zu analysieren und zu verstehen.
Erkenntnis von Lorenz
Schon winzige Einflüsse können das Wetter radikal verändern. Mit dieser Erkenntnis legte Lorenz
nun den Grundstein für ein neues Forschungsgebiet. In der Folgezeit erkannten Wissenschaftler,
dass die verschiedensten Gebiete ebenso empfindlich von ihren Anfangsbedingungen abhängen,
wie das Wetter. Um dieses unkalkulierbare Verhalten bestimmter Systeme auszudrücken, nannten
die Forscher sie "chaotisch".
Und so kam es zu dieser Erkenntnis:
Im Jahre 1963 machte der Meteorologe Edward Lorenz eine folgenschwere Entdeckung. Er gab in
seinen Computer mehrere Wetterdaten ein, um daraus eine Vorhersage zu erstellen. Weil die
Computer zu dieser Zeit noch sehr leistungsschwach waren, vereinfachte Lorenz die Daten und
rundete die Zahlen auf drei Stellen hinter dem Komma ab. Da sie auch ab und zu Fehler bei der
Berechnung machten, wiederholte er den Vorgang erneut um sicher zu gehen, dass alles stimmt.
Er startete ihn deshalb nicht mit den Endergebnissen des Vortags, sondern mit Zwischenwerten. Er
rechnete also die Wetterdaten für einen gewissen Zeitraum zweifach aus. Wenn die Ergebnisse
voneinander abwichen, müssten sie falsch sein, sagte sich Lorenz. Tatsächlich waren die beiden
Kurven sehr unterschiedlich. Wundersamerweise war der Computer vollkommen in Takt, denn
jedes mal wenn er die Rechenvorgänge wiederholte, errechnete er die gleichen Ergebnisse. Lorenz
hatte den Fehler bald herausgefunden. Der Computer rechnete mit mehr Stellen hinter dem
Komma als Lorenz eingegeben hatte. Der Unterschied von einem Hundertstel Prozent, das
entsprach etwa einem leichten zusätzlichen Windhauch, hatte die gesamte Vorhersage
durcheinandergebracht. Das Phänomen ist als "Schmetterlingseffekt" in die
Wissenschaftsgeschichte eingegangen.
Folgen der Erkenntnis von
Lorenz
Die Erkenntnis von Lorenz löste in den 70er Jahren des gleichen
Jahrhunderts eine Welle neuer Forschungsarbeiten in verschiedenen
Wissenschaften aus. Einige der Wissenschaftler waren Robert May,
Harry Swinney, Jerry Gollub, John Guckenheimer ,Robert F. Williams
und der bedeutende Mitchell Feigenbaum (er erkannte bestimmte
übereinstimmende Muster in Systemen, die zum Chaos tendieren. Er
leitete daraus Kenngrößen ab, die man heute Feigenbaum-Konstanten
nennt). 1980 gelang es Mandelbrot schließlich mit Hilfe eines für
damalige Verhältnisse schnellen Computers und der in der Entstehung
begriffenen Computergrafik, die heute nach ihm benannte
Mandelbrotmenge darzustellen (später mehr dazu).
Berechnung eines chaotischen
Systems
Der konkrete Zustand eines chaotische Systems lässt sich nicht in dem Sinne
berechnen, dass man Zahlen einfach in eine Formel einsetzt und dann sogleich
ein Ergebnis bekommt. Will man wissen, wie sich ein chaotisches System
verhält, bleibt einem meist nichts anderes übrig, als sich Schritt für Schritt
vorzutasten. Das Ergebnis eines Rechenschritts ist die Eingabe für den jeweils
nächsten. So wird ein Systemzustand nach dem anderen berechnet, bis man
an dem gewünschten Punkt angelangt ist. Die Mathematiker sprechen auch
von "iterieren". Weil es sehr aufwendig sein kann, den Systemzustand zu
berechnen, ist man in der Regel auf Computer angewiesen. Dies ist mit ein
Grund dafür, dass sich die Chaosforschung erst nach der Verbesserung der
Computern ausgeweitet hat.
Heutige Wettervorhersagen
Vor der Entdeckung des Chaos ,,nahm man an, es sei nur nötig, genügend
Informationen über das System anzuhäufen und zu verarbeiten``, um ,,exakte
Vorhersagen`` über Systeme, wie zum Beispiel das Wettergeschehen, machen zu
können. Aber dieses ,,Zufallsverhalten ist grundsätzlicher Natur; es verschwindet nicht,
wenn man mehr Informationen sammelt``. Dies löste in den Naturwissenschaften die
Erkenntnis aus, dass es ,,Schranken für die Vorhersagbarkeit`` gibt. Andererseits lassen
sich ,,zufällig erscheinende Daten jetzt mit einfachen Gesetzen klären``.
Nicht wie bei Lorenz, können heutzutage genauere Wettervorhersagen gemacht werde,
denn mittlerweile sind die Modelle zur Wettervorhersage ausgereifter und zuverlässiger
geworden. Trotzdem können auch die besten Meteorologen nur Wettervorhersagen mit
ca. 60%-iger Sicherheit machen. Ein perfektes Wettermodell müsste alle Faktoren
einbeziehen, die die Atmosphäre beeinflussen, doch dafür ist das Wetter schlicht und
einfach viel zu kompliziert. Doch selbst wenn dies möglich wäre, gäbe es keine absolut
zuverlässige Vorhersage. Denn die Gleichungen, mit denen die Meteorologen rechnen,
sind alle nicht linear (linear = Gleichung bei der die Unbekannte oder Variable nur in der
ersten Potenz vorkommt). Vorhersagen können immer nur in Wahrscheinlichkeiten
angegeben werden.
Abschließende Definition der
Chaostheorie
Chaostheorie ist wesentlich eine
Disziplin, die sich damit beschäftigt,
die verborgene Ordnung hinter dem
chaotischen System zu finden.
Beispiele für einfache Systeme
die der Chaostheorie folgen
1.Der tropfende Wasserhahn
2.Poolbillard
3.Das chaotische Herz
Der tropfende Wasserhahn
Ein einfaches Beispiel für ein chaotisches System ist
der tropfende Wasserhahn. Erhöht man den
Durchfluss des Wasserhahns, dann erhöht sich zunächst - ganz regelmäßig die Frequenz der Tropfen
- Bis zu einer gewissen Stelle, an der das System
unkontrolliert tropft.
Vorher passierten die Tropfen, einer nach dem
anderen, den Wasserhahn. In der chaotischen
Situation durchdringen sie sich, fallen ineinander,
behindern sich gegenseitig. Um solche dynamischen
Systeme besser beschreiben zu können, führte, der
schon erwähnte, Henri Poincare eine bestimmte Art
von Diagrammen ein: die so genannten
Phasenräume, eine abstrakte Darstellung des Raums
aller Möglichkeiten. Hier im Beispiel der Tropfen trägt
man zum Beispiel die Zeitdifferenzen von jeweils drei
aufeinander folgenden Tropfen ab, was sich zeigt, ist
keineswegs ein "Chaos" ,sondern ein ganz
charakteristisches Muster.
Ein weiteres banales Beispiel:
Poolbillard
Ein weiteres banales Beispiel aus dem Alltag
ist Poolbillard.
Trotz einfachster Gesetze (in diesem Beispiel
die Stoßgesetze) gibt es also
Systeme, die ungeheuer sensibel auf winzig
geänderte Anfangsbedingungen reagieren.
Solche Systeme unterliegen - wie man sagt –
dem "deterministischen" Chaos.
Deterministisch bedeutet, dass hinter dem
scheinbaren Chaos, nach wie vor die
Ordnungen der Physik bestehen, wenn auch
verborgen. In einem Versuch baute man
die 15 Kugeln immer möglichst gleich exakt
auf. Ziel war es die Stöße exakt gleich
aussehen zu lassen. Beim Klick auf den Pfeil
seht ihr wie das Ergebnis aussah, nämlich,
dass auch bei vielen Versuchen kein Stoß
dem anderen glich.
Das chaotische Herz
Die Aussage, dass das Herz nicht gleichmäßig schlägt, leuchtet wohl jedem
ein. Im Ruhezustand schlägt es 60 bis 80 mal pro Minute, wenn wir uns
psychisch oder physisch stark anstrengen sogar bis zu 180 mal. Im Schlaf
schlägt das Herz weniger als 60 mal pro Minute. Aber selbst bei gleichen
Bedingungen über einen längeren Zeitraum, schlägt das Herz nicht immer
mit der gleichen Frequenz. Der Grund dafür sind die verschiedenen
Einflüsse die den Herzschlag regeln. Dazu gehören zum Beispiel die
Atmung, Hormone, äußere Einflüsse und noch viele mehr. Über den ganzen
Tag verteilt schlägt das Herz also nicht regelmäßig und es scheint so als ob
man kein Muster erkennen könne. Doch Mediziner arbeiten mit einer
Methode die aus diesem Durcheinander ein Muster prägt. Sie zeichnen die
Herzschläge in einem dreidimensionalen Würfel auf. Die Länge dreier
Schläge hintereinander ergibt einen Punkt. So bildet sich in dem
scheinbaren Chaos eine Ordnung. Die Links zeigen einmal ein gesundes
Herz, einmal ein krankes Herz.
Gesund
Krank
Erklärungen zu wichtigen
Begriffen (für Fortgeschrittene)
Attraktor
Aus dem Alltag ist bekannt, dass sich eine Bewegung auf eine bestimmte Form
einschwingen kann, auch dann, wenn man sie verschieden startet. Ein einfaches Beispiel ist
eine Pendeluhr. Wenn sie richtig justiert und aufgezogen ist, dann wird das Pendel nach
einiger Zeit in einer Weise schwingen, die in ihren Grundzügen nicht von den
Anfangsbedingungen abhängt.
Nicht nur regelmäßige Bewegungen, sondern auch unregelmäßige Bewegungen können
solches Verhalten zeigen. Oft hängt, nach einiger Zeit, die Art der Bewegung praktisch nicht
mehr davon ab, wie die Bewegung gestartet wurde. Es gibt also Bewegungsformen, die den
Bewegungszustand des Systems anzuziehen scheinen, die attraktiv sind. Daher nennt man
sie Attraktor.
Es gibt verschiedene mathematische Definitionen des Begriffes "Attraktor", die sich in
Details unterscheiden. Im wesentlichen besagen bzw. fordern sie:
•Ein Attraktor ist eine Zusammenfassung von speziellen Bewegungen.
•Startet man irgendwo mit einer dieser Bewegungen, so kommt man im Laufe der Zeit
jedem der zum Attraktor gehörenden Bewegungszustände beliebig nahe.
•Auch wenn man nicht mit einer Bewegung startet, die selbst zum Attraktor gehört, so
bildet sich eine Bewegung die in den Punkten dem Attraktor sehr nahe kommt.
Dies ist sogar häufig der Fall.
Fraktale
Der Computerwissenschaftler Benoit Mandelbrot, prägte 1975 das Wort Fraktal: Er stieß bei seinen mathematischen
Betrachtungen auf einige Sachverhalte, die nach dem bisherigen wissenschaftlichen Verständnis nicht oder nur
schwer zu erklären, anscheinend aber auch zu alltäglich waren, um bislang einmal erwähnt und untersucht zu
werden: Mandelbrot fiel auf, daß sich die Angaben zur Küstenlänge Großbritanniens in verschiedenen
Nachschlagewerken stark unterschieden. Er fand heraus, daß die Abweichungen durch Messungen der Küstenlängen
in verschiedenen Maßstäben entstand. Je genauer die verwendete Karte war, desto länger war die Küste, da mehr
Meereseinschnitte berücksichtigt werden mussten, die sich zu einer größeren Länge summierten. Mandelbrots
Schlussfolgerung war: Wenn man die Karte mit der britischen Küste unendlich oft vergrößerte, würde der
Küstenverlauf schließlich unendlich lang werden.
Bei der Untersuchung der verschiedenen Karten mit verschieden großen Küstenabschnitten fiel Mandelbrot weiter
auf, dass, ganz gleich in welchem Maßstab betrachtet, sich die einzelnen Abschnitte ähnelten; ein Teil eines
Abschnitts sah immer dem ganzen Abschnitt ähnlich. Im Gegensatz zur Vergrößerung euklidscher Figuren
(beispielsweise ein Kreis, der unendlich vergrößert in einem Teilbereich eine Gerade darstellt) endet die Küste nie in
einer Geraden oder überhaupt einer euklidschen Form.
Mandelbrot behandelte darüber hinaus räumliche Strukturen, wie sie in der Natur vorkommen. Er musste einsehen,
dass Berge und Wolken nicht mathematisch zu beschreiben waren, was jedoch niemanden vorher gekümmert zu
haben schien. Wolken seien keine Kugeln und Berge keine Kegel, womit man sie mit bisherigen geometrischen
Figuren viel zu unpräzise hätte umschreiben müssen. Mandelbrot fasste zusammen, besagte Erscheinungen in der
Natur seien nicht glatt oder gleichmäßig (wie eben kugel- oder kegelförmige Körper), sondern zerklüftet und
(scheinbar) unregelmäßig.
Mandelbrot definierte die Eigenschaften der Fraktale so:
1.Egal wie oft man die Figur vergrößert, es muss immer eine Selbstähnlichkeit zum Ausgangsbild zu erkennen
sein.
2.Fraktale sind hochkomplex und meist reicht diese Komplexität bis ins Unendliche.
3.Sie müssen immer durch Iteration entstehen, das heißt, dass bei der Berechnung der Fraktale ein Ergebnis
eines Schrittes gleich der Anfangswert für den nächsten Schritt sein muss.
4.Trotzdem man sie durch Iteration errechnet, muss ein Fraktal immer von der Anfangsbedingung abhängen.
Mandelbrotmenge und
Apfelmännchen
Die Mandelbrotmenge entsteht durch das
Einsetzen verschiedener Zahlen in die Formel
an+1 = an2 + z. Alle an die nicht gegen Unendlich
streben werden in die Mandelbrotmenge
aufgenommen. Beim Zeichnen dieser Menge
entsteht ein sehr berühmtes Muster, das
Apfelmännchen. Dies wird zur Definition der
Selbstähnlichkeit benutzt, da es immer wieder die
gleiche Struktur beim Vergrößern aufweist. Beim
Klick auf den Link seht ihr so ein Apfelmännchen
und seine Selbstähnlichkeit bei Vergrößerungen.
Zusammenhang Fraktale,
Mandelbrotmenge und
Apfelmännchen
Da diese Begriffe sehr schwer zu verstehen sind und die
genaue Definition und Bedeutung dieser Begriffe, selbst
für Fortgeschrittene sehr aufwendig zu verstehen ist,
versuche ich euch mit einer Erklärung des
Zusammenhangs dieser Begriffe zu helfen, sie zu
verstehen.
Der Zusammenhang liegt darin, dass die
Mandelbrotmenge ein, von Mandelbrot, definiertes
Fraktal ist. Das Apfelmännchen ist die zeichnerische
Abbildung der Mandelbrotmenge.
Quellen/weiterführende Links
Quellen: Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © 1993-1998
Microsoft Corporation. ; www.schloesinger.de; www.Chaostheorie.de;
www.Chaos-theorie.de; www.quarks.de; www.fractal.ch/d_chaos.
Dies sind auch gleichzeitig Ergänzungsquellen, die noch viele weitere
Informationen anbieten und Sachverhalte bearbeiten.
Copyright by: Steffen Muschalle (2002)