Seltsame Attraktoren

3. Fraktale Dimension und seltsame Attraktoren
System: Kontinuierliche Veränderung unter dem
Einfluss kontinuierlich wirkender
Kräfte
Determinismus: Kette von Ursache und Wirkung
Katastrophentheorie: Plötzlicher diskontinuierlicher
Wechsel im System
a Umriss eines Steins mit
unregelmäßiger Gestalt
b Kullernder Stein im
rotierenden Zylinder
„Katastrophisches Kullern“
a Ein kugelförmiger Stein mit
etwas Reibung schwingt in
dem rollenden Zylinder
b Schwingungsamplitude als
Funktion der Zeit
c Diskrete Zeitabbildung für
einfachen Oszillator
Attraktor im Phasenraum
Diskrete Zeitabbildungen zur Beschreibung komplexer Oszillatoren
a Zeitfolgen Tn+1 und Tn für n=10
aufeinander folgende Kullervorgänge
des Steins
b Die ersten zwei Datenpunkte der
diskreten Zeitabbildung
c Alle n=10 bilden den Anfang eines
Seltsamen Attraktors
d Beispiele für den Zentroiden
(Flächenschwerpunkt) und die ersten
zwei statistischen Momente der
Datenverteilung
Zentroid: Periode eines äquivalenten Oszillators
(repräsentiert das gemittelte Verhalten des kullernden Steins)
Statistische Momente R sind ein Maß für die Variation des Kullerns
Zentroid und statistische Momente beschreiben die Gestalt des Steins!
Abglätten der Rauhigkeit des Steins durch eine Kugelmühle
Der Seltsame Attraktor wird immer
kleiner, je mehr sich die Gestalt
der Form einer Kugel nähert
Quantitative Beschreibung der Gestalt des
Steins durch fraktale Dimension.
Fraktale Dimension des Steins
Topologie: Erhaltung der Struktur bei Verformung des
Raums
Fraktale Dimension: Maß für die Raumfüllung der Struktur
FD: Feret - Durchmesser
λ: Schrittlänge
Richardson Plot:
Die nichtlineare Dynamik des Herzens
Messung der Pulsdauer aus dem
EKG (Genauigkeit 1ms)
Auswahl von Gruppen mit drei
Herzschlägen
Auftragen der Zeitintervalle im
Phasenraum
Exakte Gleichmäßigkeit des
Herzschlags:
→ Punkt Attraktor im
Phasenraum
Unregelmäßigkeit des Herzschlags:
→ Seltsamer Attraktor im
Phasenraum
Gestalt - Fraktale Dimension - Seltsamer Attraktor - Zentroid
Steigung des Zentroids
gegen fraktale Dimension
Zentroid
Fraktale Dimension
Umdrehungsrate [U/min]
Bei 6 U/min wird die Geschwindigkeit, mit der die
Steine kullern, unabhängig von ihrer Gestalt!!!