Seltsame Attraktoren
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3. Fraktale Dimension und seltsame Attraktoren System: Kontinuierliche Veränderung unter dem Einfluss kontinuierlich wirkender Kräfte Determinismus: Kette von Ursache und Wirkung Katastrophentheorie: Plötzlicher diskontinuierlicher Wechsel im System a Umriss eines Steins mit unregelmäßiger Gestalt b Kullernder Stein im rotierenden Zylinder „Katastrophisches Kullern“ a Ein kugelförmiger Stein mit etwas Reibung schwingt in dem rollenden Zylinder b Schwingungsamplitude als Funktion der Zeit c Diskrete Zeitabbildung für einfachen Oszillator Attraktor im Phasenraum Diskrete Zeitabbildungen zur Beschreibung komplexer Oszillatoren a Zeitfolgen Tn+1 und Tn für n=10 aufeinander folgende Kullervorgänge des Steins b Die ersten zwei Datenpunkte der diskreten Zeitabbildung c Alle n=10 bilden den Anfang eines Seltsamen Attraktors d Beispiele für den Zentroiden (Flächenschwerpunkt) und die ersten zwei statistischen Momente der Datenverteilung Zentroid: Periode eines äquivalenten Oszillators (repräsentiert das gemittelte Verhalten des kullernden Steins) Statistische Momente R sind ein Maß für die Variation des Kullerns Zentroid und statistische Momente beschreiben die Gestalt des Steins! Abglätten der Rauhigkeit des Steins durch eine Kugelmühle Der Seltsame Attraktor wird immer kleiner, je mehr sich die Gestalt der Form einer Kugel nähert Quantitative Beschreibung der Gestalt des Steins durch fraktale Dimension. Fraktale Dimension des Steins Topologie: Erhaltung der Struktur bei Verformung des Raums Fraktale Dimension: Maß für die Raumfüllung der Struktur FD: Feret - Durchmesser λ: Schrittlänge Richardson Plot: Die nichtlineare Dynamik des Herzens Messung der Pulsdauer aus dem EKG (Genauigkeit 1ms) Auswahl von Gruppen mit drei Herzschlägen Auftragen der Zeitintervalle im Phasenraum Exakte Gleichmäßigkeit des Herzschlags: → Punkt Attraktor im Phasenraum Unregelmäßigkeit des Herzschlags: → Seltsamer Attraktor im Phasenraum Gestalt - Fraktale Dimension - Seltsamer Attraktor - Zentroid Steigung des Zentroids gegen fraktale Dimension Zentroid Fraktale Dimension Umdrehungsrate [U/min] Bei 6 U/min wird die Geschwindigkeit, mit der die Steine kullern, unabhängig von ihrer Gestalt!!!
