Fraktale

Fraktale
Jasmin Kölndorfer
19. März 2015
1 Fraktale Dimension
D=
1.1 Euklidische Dimension
log 4
≈ 1, 26
log 3
Im euklidischen Raum haben Dimensionen ganzzahlige Exponenten:
Figure 2: Rechts: Koch Kurve, Mitte: Koch’sche Schneeflocke
D Begriff
f als Potenz
1 Strecke
2 2 = 21
verwendet, erhählt man Julia-Mengen, deren wohl
2 Quadrat 4 4 = 22
berühmtester Vertreter die Mandelbrotmenge – das Apfelmän8 8 = 23
3 Würfel
nchen ist.
D . . . Dimension, f . . . Vermehrungsfaktor
z → z 2 + c mit z, c ∈ C
Startpunkt z0 ist der Ursprung.
1.2 Fraktale Dimension
Benoît Mandelbrot (*1924 †2010) entdeckte, dass geometrische
Körper existieren, deren Dimensionen nicht durch ganze
Zahlen beschrieben werden können, bzw. nicht die ganze Dimension ausfüllen. Als Beispiel betrachte man ein gebogenes
Drahtstück. Aufgrund der Krümmung passt es nicht mehr in
die erste Dimension, füllt aber die zweite Dimension nicht aus.
Felix Hausdorff (*1868 †1942) führte zur Beschreibung von
Dimensionen rationale (Brüche) als auch irrationale Zahlen Figure 3: Rechts: Mandelbrot Menge, links:
Iterationsvorschrift
ein und definierte für die Dimension einen Selbsähnlichkeitsfaktor. Dabei werden Körper mit immer feineren Maßstäben
gemessen. Die Veränderung der Maße der Körper die sich durch
die immer feinere Messung ergibt, gibt die Dimension an.
erzeugende
3 Natürliche Fraktale
2 Künstliche Fraktale
Die Arbeiten an den künstlichen Fraktalen waren die Basis
für die Beschreibung von natürlichen fraktalähnlich Gebilden,
Für das Sierpinski Dreieck ergibt sich mit der von Hausdorff wobei die Ähnlichkeit auf endliche Iterationsstufen beschränkt
angegebenen Methode eine Dimension von
ist, meist 3 . . . 5 Stufen. Beispiele dafür sind Küstenlinien,
Wolkengebilde, der Blutkreislauf, Nervenbahnen, Verteilung
von Sternen, Pflanzenaufbau sowohl im Großen (Baumstamm
log 3
– Äste – Zweige) als auch im Detail (Gliederung der Blätter).
D=
≈ 1, 58
log 2
3.1 Die Länge der Küste Britanniens
Je nachdem wie fein die Küste Britanniens vermessen wird,
ergeben sich für die Gesamtlänge unterschiedliche Werte (siehe
Abb. 4).
Figure 1: Sierpinski Dreieck
Bei Objekten, die mittels der euklidischen Geometrie
beschrieben werden können, führt eine zunehmende
Für die Koch Kurve oder die Koch’sche Schneeflocke ergibt Verkürzung der Maßstäbe zu einem endlichen Grenzwert
sich mit dieser Methode eine Dimension von etwa 1, 26 (siehe des Umrisses. Bei fraktalen Gebilden wächst der Umriss gegen
Unendlich, wenn die Länge des Maßstabes gegen Null strebt.
Abb. 2).
Wird der Zahlenraum auf C erweitert, und eine Zuordnungsvorschrift
3.2 Die fraktale Geometrie der Lebewesen
Ein Großteil der eines „warmen“ Lebewesens zugeführten Energie wird durch Wärmeabgabe an die Umgebung abgegeben.
z −→ z 2 + c mit z, c ∈ C
i
Figure 4: Die Vermessung der Küste Britanniens mit immer
kürzer werdenden Maßstäben.
Figure 6: Auf der linken Ordinate ist die Herzfreqenz in Hertz
angegeben, auf der rechten Ordinate in fallender
Da diese Abgabe größtenteils über die Oberfläche stattfindet,
Richtung die Lebenserwartung in Jahren. Die Ordiwird die Stoffwechselrate (Metabolic Rate) proportional zur
nate beinhaltet die Körpermasse in kg.
Oberfläche der Haut angenommen. Das Volumen des Körpers
kann proportional zur Masse angenommen werden, da Dichteunterschiede relativ gering sind.
3.3 Die fraktale Geometrie des Menschen
Bei euklidischen Objekten gilt für das Volumen V und für
Fraktale haben in der Humanmedizin an Bedeutung gewondie Gesamtoberfläche O des Körpers:
1
nen. Das Wachstum von Tumoren, deren Fraktalähnlichkeit bei
3
V ∝ L =⇒ V 3 ∝ L Länge
1
2
entsprechender Präparation sichtbar werden, kann durch frakO ∝ L2 =⇒ O ∝ (V 3 ) 2 = V 3
tale Geometrie beschrieben werden. Mittels einer „Box-CountMan erwartet daher, dass bei größer werdenden Lebewesen
Methode“ wird die frakale Dimension eines Tumors vermessen,
2
die Zunahme des Stoffwechsels proportional zu m 3 (Masse) die wiederum Rückschlüsse auf das Maß der Stufe, in der sich
ist. Werden bekannte Messpunkte in ein Koordinatensystem der Krebs befindet, erlaubt.
mit doppellogarithmischer Skala eingetragen, kann eine Regressionsgerade eingezeichnet werden. Deren Steigung k gibt den
Exponenten in obiger Proportionalität an (Vgl. Abb. 5).
Figure 7: Links: ein „virtueller“ Tumor, rechts: ein Tumor im
Dickdarm
Dazu werden Raster mit unterschiedlichen Längen über das
zu untersuchende Objekt — beziehungsweise einem Bild davon
— gelegt, und die Anzahl von Kästchen, die die Umrisslinie des
Objekte berühren, gezählt. Die fraktale Dimension kann durch
die Zunahme der vom Umriss berührten Kästchen relativ zur
Rastergröße bestimmt werden.
4 Fraktale in der Schule
Figure 5: Auf der Ordinate ist die Stoffwechselrate, auf der Abszisse die Masse aufgetragen.
Es gibt zumindest ein paar Möglichkeiten, Fraktale im Unterricht einzubauen:
Bei den Messungen wurde für die Steigung k der Regressionsgeraden ein Wert von etwa 3/ 4 ermittelt, was eine Spur größer
ist als die erwarteten 2/3. Das lässt auf innere fraktale Strukturen
schließen. Speziell die Blutgefäße der Niere werden bei der
derzeitigen Wissenslage für die Fraktalisierung verantwortlich
gemacht.
Ähnliche Zusammenhänge lassen sich für die Herzfreqenz,
die sich umgekehrt proportional zur Körpergröße verhält, und
für die Lebenserwartung, die sich proportional zu Körpergröße
verhält, feststellen (Abb. 6).
Viskoses Verästeln (Hele-Shaw-Zelle)
Nachkonstruieren (Arbeitsblätter):
Die Schönheit von Fraktalen dient zur Motivation und
lädt zum Nachkonstruieren bei.
Fraktale Dimension abschätzen (Falten)
ii