¨Ubung zur Analysis 2 Blatt 9 Aufgabe 1 Wir identifizieren wie üblich

Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Übung zur Analysis 2
Blatt 9
Abgabe bis Do, 18.06., 12 Uhr
Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der Übung
Aufgaben 2-5 zur selbständigen Bearbeitung
Aufgabe 1 Wir identifizieren wie üblich komplexe Zahlen z = x + iy ∈ C mit Punkten
(x, y) ∈ R2 . Es seien folgende offene Teilmengen von R2 beziehungsweise C gegeben:
S0 := (0, ∞) × (0, 2π); S1 := (−∞, ∞) × (0, 2π);
C− := R2 \ {(x, 0) : x ≥ 0}; H := {(x, y) ∈ R2 : y > 0}
(S0 und S1 heißen Streifen, C− geschlitzte Ebene und H obere Halbebene). Prüfen Sie,
dass
(a) die Polarkoordinaten-Transformation (r, φ) 7→ (r cos φ, r sin φ) ein Diffeomorphismus S0 → C− ist;
(b) die komplexe Exponentialfunktion z 7→ ez ein Diffeomorphismus S1 → C− ist;
(c) und dass die Abbildung z 7→ z 2 ein Diffeomorphismus H → C− ist.
(Hinweis: Verwenden Sie eine der Abbildungen aus (a) oder (b).)
Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass die Cayley-Transformation
φ : C \ {−i} → C \ {1},
z 7→
z−i
,
z+i
(a) ein Diffeomorphismus ist;
(b) φ(R) = S 1 \ {1} und φ(H) = D1 erfüllt, wobei
R ≡ {(t, 0) : t ∈ R},
S 1 = {z ∈ C : |z| = 1},
H = {x + iy : x ∈ R, y > 0},
D1 = {z ∈ C : |z| < 1}.
Aufgabe 3 Wir betrachten einen rechtwinkligen Quader mit den Seitenlängen x, y, z >
0. Bestimmen Sie Oberfläche und Volumen in Abhängigkeit der Seitenlängen und zeigen
Sie, dass bei konstantem Volumen die Oberfläche genau im Fall eines Würfels minimal
wird. (Hinweis: Schreiben Sie bei konstantem Volumen die Seitenlänge z und damit
auch die Oberfläche als Funktion der zwei Seitenlängen x, y.)
Aufgabe 4 Bezeichne Sn ⊆ Matn,n (R) und Pn ⊆ Matn,n (R) die Teilmengen aller
symmetrischen beziehungsweise positiv definiten Matrizen. Zeigen Sie:
(a) Für jedes A ∈ Sn sind folgende beiden Bedingungen äquivalent:
i) alle Eigenwerte von A sind strikt positiv;
ii) es gibt ein η > 0 mit hAx, xi ≥ ηkxk2 für alle x ∈ Rn .
(b) Die Teilmenge Pn ⊆ Matn (R) der positiv definiten Matrizen ist in Sn offen und
erfüllt
∀A, B ∈ Pn , t ∈ (0, 1) : tA + (1 − t)B ∈ Pn ,
d.h. Pn ist ein offener, konvexer Kegel in Matn (R).
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∀A ∈ Pn , t > 0 : tA ∈ Pn ,
Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Zusatzaufgabe 5 Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rn ein stetig differenzierbarer lokaler
Diffeomorphismus. Sei ferner K ⊆ U kompakt, g : U → Rn stetig differenzierbar und
g(x) = 0 für alle x 6∈ K. Zeigen Sie, dass dann ein > 0 existiert mit folgender
Eigenschaft: Für alle t ∈ (−, ) ist die gestörte Funktion
ft : U → Rn ,
x 7→ f (x) + tg(x),
ein lokaler Diffeomorphismus.
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