Rheinische Friedrich-Wilhelms

Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
Institut für Informatik I
Dr. Elmar Langetepe, Tom Kamphans
Bewegungsplanung für Roboter, SS 2003, Blatt 4
Montag, 26.5.2003, 1500 s. t., Raum N327
Aufgabe 1
In Algorithmus 2.7 wird ein Sweep zur Konstruktion des Zusammenhangsgraphen durchgeführt. Beschreibe diesen Sweep im Detail (Sweep–Status–Struktur, Ereignisstruktur,
Ereignisse, Ereignisbehandlung).
Aufgabe 2
Wir betrachten einen Verladeroboter: ein Turm bewegt sich auf einer Schiene mit theoretisch unendlicher Länge. Um den Turm dreht sich — wie bei einem Baukran — ein
Ausleger der Länge 1. Die Position der Winde an dem Ausleger interessiert uns für die
Kollisionsvermeidung nicht, da sich die Länge des Auslegers nicht ändert.
(i) Wie viele Freiheitsgrade hat dieser Verladeroboter?
(ii) Wie sieht sein Konfigurationsraum aus?
(iii) Welche Arten von Hinderniskontakten kann es geben, wenn wir davon ausgehen, daß
die Schiene nicht blockiert ist?
(iv) Welchen Grad haben die Konfliktbögen?
(v) In welcher Zeit kann das Bahnplanungsproblem für den Verladeroboter gelöst werden?
Aufgabe 3
Das Problem 3Sum ist wie folgt definiert: Gegeben sei eine Menge S ⊂ ZZ, gibt es drei Zahlen s1 , s2 , s3 in S mit s1 + s2 + s3 = 0. Der beste bekannte Algorithmus für 3Sum braucht
Zeit Θ(n2 ). Probleme, von denen man zeigen kann, daß sie mindestens so schwierig sind
wie 3Sum nennt man 3Sum–hart. Der Beweis wird dabei genauso geführt wie bei einem
NP–harten Problem: durch Reduktion von 3Sum oder eines anderen 3Sum–harten Problems auf unser Problem, wobei die Reduktion höchstens quadratischen Aufwand haben
darf.
Bei dem Problem 3Cut sind n Punkte (xi , yi ) mit xi ∈ ZZ und yi ∈ {0, 1, 2} gegeben (die
Punkte liegen also auf drei Parallelen zur X–Achse), gefragt ist, ob eine nicht–horizontale
Linie existiert, auf der drei Punkte liegen.
Bei dem Problem MotionPlanning ist eine Menge von Hindernissen in Form von
Liniensegmenten gegeben, die sich nicht schneiden, nicht berühren und achsenparallel
sind, ein Roboter R in Form eines Liniensegments sowie eine Startposition s und eine
Zielposition t. Kann sich R von s nach t bewegen?
(i) Reduziere (in linearer Zeit) 3Sum auf 3Cut.
(ii) Reduziere (in Zeit O(n log n)) 3Cut auf MotionPlanning.
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