Präsentation Motivation Differenzialquotient Integral

Motivation der Dierenzial- und Integralrechnung
Fakultät Grundlagen
HS Esslingen
SS 2016
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
1 / 12
Übersicht
1
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Physikalische Gesetze
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Integral bei Bewegungsvorgängen
Integralbegri
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2 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y = f (x)
∆y
∆x
x
x0
x0 + ∆x
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y = f (x)
∆y
∆x
x
x0
x0 + ∆x
Sekantensteigung:
m(x0 , ∆x) =
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
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=
∆y
∆x
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y = f (x)
x
x0
Sekantensteigung:
m(x0 , ∆x) =
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
=
∆y
∆x
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3 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y = f (x)
x
x0
Sekantensteigung:
m(x0 , ∆x) =
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
=
∆y
∆x
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y = f (x)
x
x0
Sekantensteigung:
m(x0 , ∆x) =
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
=
∆y
∆x
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y = f (x)
Grenzprozess
∆x → 0
x
x0
Sekantensteigung:
m(x0 , ∆x) =
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
=
∆y
∆x
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y
y = f (x)
y = f (x)
Grenzprozess
∆x → 0
t
x
x
x0
x0
Tangentensteigung:
Sekantensteigung:
m(x0 , ∆x) =
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
=
∆y
∆x
(x0 )
m(x0 , 0) = lim f (x0 +∆x)−f
∆x
∆x→0
| {z }
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ableitungsbegri
Dierenzialquotient; geometrisch
y
y
y = f (x)
y = f (x)
Grenzprozess
∆x → 0
t
x
x
x0
x0
Tangentensteigung:
Sekantensteigung:
m(x0 , ∆x) =
f (x0 +∆x)−f (x0 )
∆x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
=
∆y
∆x
(x0 )
m(x0 , 0) = lim f (x0 +∆x)−f
∆x
∆x→0
| {z }
= f 0 (x0 )
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
s(t)
0
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
s(t)
s(t0 ); v (t0 )
0
Zum Zeitpunkt
t0 bendet
v (t0 );
sich der Massenpunkt bei
s(t0 )
und besitzt dort die
Geschwindigkeit
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
s(t)
0
s(t0 ); v (t0 )
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
0
s(t0 ); v (t0 )
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
[t0 , t0 + ∆t]
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
0
s(t0 ); v (t0 )
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
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[t0 , t0 + ∆t]
∆t→0
−→
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
0
s(t0 ); v (t0 )
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
[t0 , t0 + ∆t]
∆t→0
−→
ds
dt (t0 )
= ṡ(t0 ) = v (t0 )
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
0
s(t0 ); v (t0 )
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
∆t→0
−→
Mittlere Beschleunigung im Zeitintervall
ã(t0 , ∆t) =
[t0 , t0 + ∆t]
ds
dt (t0 )
= ṡ(t0 ) = v (t0 )
[t0 , t0 + ∆t]
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
∆t
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
0
s(t0 ); v (t0 )
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
∆t→0
−→
Mittlere Beschleunigung im Zeitintervall
ã(t0 , ∆t) =
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
∆t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
[t0 , t0 + ∆t]
ds
dt (t0 )
= ṡ(t0 ) = v (t0 )
[t0 , t0 + ∆t]
∆t→0
−→
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
0
s(t0 ); v (t0 )
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
∆t→0
−→
Mittlere Beschleunigung im Zeitintervall
ã(t0 , ∆t) =
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
∆t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
[t0 , t0 + ∆t]
ds
dt (t0 )
= ṡ(t0 ) = v (t0 )
[t0 , t0 + ∆t]
∆t→0
−→
dv
dt (t0 )
= v̇ (t0 ) = a(t0 )
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
s(t0 ); v (t0 )
0
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
∆t→0
−→
Mittlere Beschleunigung im Zeitintervall
ã(t0 , ∆t) =
Beispiel:
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
∆t
[t0 , t0 + ∆t]
ds
dt (t0 )
= ṡ(t0 ) = v (t0 )
[t0 , t0 + ∆t]
∆t→0
−→
dv
dt (t0 )
= v̇ (t0 ) = a(t0 )
s(t) = t 2 ;
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
s(t0 ); v (t0 )
0
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
∆t→0
−→
Mittlere Beschleunigung im Zeitintervall
ã(t0 , ∆t) =
Beispiel:
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
∆t
s(t) = t 2 ;
[t0 , t0 + ∆t]
ds
dt (t0 )
= ṡ(t0 ) = v (t0 )
[t0 , t0 + ∆t]
∆t→0
−→
dv
dt (t0 )
= v̇ (t0 ) = a(t0 )
ṡ(t) = v (t) = 2t;
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient; Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zeit-Funktion
s(t)
beschrieben.
∆s
s(t)
s(t0 ); v (t0 )
0
s(t0 + ∆t); v (t0 + ∆t)
t0 bendet sich der Massenpunkt bei s(t0 ) und besitzt dort die
v (t0 ); etwas später, zum Zeitpunkt t0 + ∆t , ist der Massenpunkt
s(t0 + ∆t) und besitzt die Geschwindigkeit v (t0 + ∆t).
Zum Zeitpunkt
Geschwindigkeit
in
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
ṽ (t0 , ∆t) =
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t
∆t→0
Beispiel:
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
∆t
s(t) = t 2 ;
ṡ(t) = v (t) = 2t;
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
ds
dt (t0 )
−→
Mittlere Beschleunigung im Zeitintervall
ã(t0 , ∆t) =
[t0 , t0 + ∆t]
= ṡ(t0 ) = v (t0 )
[t0 , t0 + ∆t]
∆t→0
−→
dv
dt (t0 )
= v̇ (t0 ) = a(t0 )
s̈(t) = v̇ (t) = a(t) = 2
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
I: I =
transportierte Ladung
benötigte Zeit
=
Q
t
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
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Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
=
SS 2016
:
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
=
:
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
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Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
=
:
∆t→0
−→
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
=
:
∆t→0
−→
dQ
dt (t0 )
= Q̇(t0 ) = I (t0 )
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
Analogie: Rohrleitungsnetz
Stromstärke
Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
=
:
∆t→0
−→
I (t) ⇐⇒
dQ
dt (t0 )
= Q̇(t0 ) = I (t0 )
Strömungsgeschwindigkeit
v (t)
Vol(t + ∆t) − Vol(t) ≈ q · ṽ (t0 , ∆t) · ∆t ; q = 1
Vol(t)
v
v · ∆t
q : Querschnitt
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
Analogie: Rohrleitungsnetz
Stromstärke
Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
=
:
∆t→0
−→
I (t) ⇐⇒
dQ
dt (t0 )
= Q̇(t0 ) = I (t0 )
Strömungsgeschwindigkeit
v (t)
Vol(t + ∆t) − Vol(t) ≈ q · ṽ (t0 , ∆t) · ∆t ; q = 1
Vol(t)
ṽ (t0 , ∆t) =
Vol(t0 +∆t)−Vol(t0 )
∆t
v
v · ∆t
q : Querschnitt
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
Analogie: Rohrleitungsnetz
Stromstärke
Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
=
:
∆t→0
−→
I (t) ⇐⇒
dQ
dt (t0 )
= Q̇(t0 ) = I (t0 )
Strömungsgeschwindigkeit
v (t)
Vol(t + ∆t) − Vol(t) ≈ q · ṽ (t0 , ∆t) · ∆t ; q = 1
Vol(t)
ṽ (t0 , ∆t) =
Vol(t0 +∆t)−Vol(t0 )
∆t
∆t→0
−→
v
v · ∆t
q : Querschnitt
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Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
Analogie: Rohrleitungsnetz
Stromstärke
Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
=
:
∆t→0
−→
I (t) ⇐⇒
dQ
dt (t0 )
= Q̇(t0 ) = I (t0 )
Strömungsgeschwindigkeit
v (t)
Vol(t + ∆t) − Vol(t) ≈ q · ṽ (t0 , ∆t) · ∆t ; q = 1
Vol(t)
ṽ (t0 , ∆t) =
Vol(t0 +∆t)−Vol(t0 )
∆t
∆t→0
−→
dVol
dt (t0 )
= v (t0 )
v
v · ∆t
q : Querschnitt
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Physikalische Gesetze
Dierenzialquotient am Beispiel Ladung Stromstärke
Ladung
speziell:
Q : Elektrizitätsmenge; häug Elektronen Ladungen
Q(t): im Zeitbereich [0, t] geossene Ladungsmenge
Spannung
U:
erzeugen Kraftfeld
zwischen zwei Punkten: benötigte Energie um eine Ladungseinheit
von einem zum anderen Punkt zu bringen.
Bei konstantem Gleichstrom: Stromstärke
I: I =
benötigte Zeit
Bei zeitabhängigen Strömen gilt für die mittlere Stromstärke in
Q(t0 + ∆t) − Q(t0 )
I˜(t0 , ∆t) =
∆t
Analogie: Rohrleitungsnetz
Stromstärke
=
:
∆t→0
dQ
dt (t0 )
−→
I (t) ⇐⇒
= Q̇(t0 ) = I (t0 )
Strömungsgeschwindigkeit
v (t)
Vol(t + ∆t) − Vol(t) ≈ q · ṽ (t0 , ∆t) · ∆t ; q = 1
Vol(t)
ṽ (t0 , ∆t) =
Vol(t0 +∆t)−Vol(t0 )
∆t
v
q:
Q
t
[t0 , t0 + ∆t]
transportierte Ladung
v · ∆t
Querschnitt
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Spannungsdierenz
∆t→0
−→
∆U(t) ⇐⇒
dVol
dt (t0 )
= v (t0 )
Druckdierenz
∆p(t)
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
UC
Kapazität C
UR
RΩ
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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergibt Null!
UC
Kapazität C
UR
RΩ
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
6 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
UC
Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergibt Null!
Q(t)
UΩ (t) + UC (t) = 0 bzw. R · I (t) +
=0
C
Kapazität C
UR
RΩ
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
6 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
UC
Kapazität C
Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergibt Null!
Q(t)
UΩ (t) + UC (t) = 0 bzw. R · I (t) +
=0
C
1
I (t) = Q̇(t) = −
· Q(t)
RC
UR
RΩ
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
6 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
UC
Kapazität C
UR
Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergibt Null!
Q(t)
UΩ (t) + UC (t) = 0 bzw. R · I (t) +
=0
C
1
I (t) = Q̇(t) = −
· Q(t)
RC
Der Kondensator sei für t = 0 mit Q0 aufgeladen. Im weiteren Verlauf entlädt er sich über den Ohmschen Widerstand.
Q0
Q(t)
RΩ
t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
6 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
UC
Kapazität C
UR
Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergibt Null!
Q(t)
UΩ (t) + UC (t) = 0 bzw. R · I (t) +
=0
C
1
I (t) = Q̇(t) = −
· Q(t)
RC
Der Kondensator sei für t = 0 mit Q0 aufgeladen. Im weiteren Verlauf entlädt er sich über den Ohmschen Widerstand.
Q0
Q(t)
RΩ
t
Die Steigung ist stets negativ; sie wird betragsmäÿig immer
1
kleiner. Steigung bei t = 0: m = − RC
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
6 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
UC
Kapazität C
Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergibt Null!
Q(t)
UΩ (t) + UC (t) = 0 bzw. R · I (t) +
=0
C
1
I (t) = Q̇(t) = −
· Q(t)
RC
Der Kondensator sei für t = 0 mit Q0 aufgeladen. Im weiteren Verlauf entlädt er sich über den Ohmschen Widerstand.
Q0
UR
Q(t)
RΩ
Theorie der DGL:
1
Q(t) = Q0 · e− RC ·t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t
Die Steigung ist stets negativ; sie wird betragsmäÿig immer
1
kleiner. Steigung bei t = 0: m = − RC
SS 2016
6 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Ausblick:
RC -Glied
Physikalische Gesetze
oder die erste Dierenzialgleichung an der Hochschule
Kapazität: Ladung proportional Spannung
Q(t) = C · UC (t)
Ohmscher Widerstand: Ladungstransport proportional Spannung
UΩ (t) = R · I (t)
RC -Glied
UC
Kapazität C
Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergibt Null!
Q(t)
UΩ (t) + UC (t) = 0 bzw. R · I (t) +
=0
C
1
I (t) = Q̇(t) = −
· Q(t)
RC
Der Kondensator sei für t = 0 mit Q0 aufgeladen. Im weiteren Verlauf entlädt er sich über den Ohmschen Widerstand.
Q0
UR
Q(t)
RΩ
Theorie der DGL:
1
Q(t) = Q0 · e− RC ·t
Nachrechnen!!
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t
Die Steigung ist stets negativ; sie wird betragsmäÿig immer
1
kleiner. Steigung bei t = 0: m = − RC
SS 2016
6 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
x 3 − 2x 2 + 10
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
x 3 − 2x 2 + 10
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
f 0 (x)
=
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
3x 3 − 4x
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
s(t)
=
x 3 − 2x 2 + 10
f 0 (x)
=
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
3x 3 − 4x
t · sin(2t)
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
s(t)
=
x 3 − 2x 2 + 10
t · sin(2t)
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
f 0 (x)
=
3x 3 − 4x
ṡ(t)
=
1 · sin(2t) + t · cos(2t) · 2
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
x 3 − 2x 2 + 10
s(t)
=
t · sin(2t)
f (x)
=
sin x
cos x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
f 0 (x)
=
3x 3 − 4x
ṡ(t)
=
1 · sin(2t) + t · cos(2t) · 2
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
x 3 − 2x 2 + 10
s(t)
=
t · sin(2t)
f (x)
=
sin x
cos x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
f 0 (x)
=
3x 3 − 4x
ṡ(t)
=
1 · sin(2t) + t · cos(2t) · 2
f 0 (x)
=
cos x · cos x − sin x · (− sin x)
1
=
cos2 x
cos2 x
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
x 3 − 2x 2 + 10
s(t)
=
t · sin(2t)
f (x)
=
sin x
cos x
f (x)
=
cos x 2
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
f 0 (x)
=
3x 3 − 4x
ṡ(t)
=
1 · sin(2t) + t · cos(2t) · 2
f 0 (x)
=
cos x · cos x − sin x · (− sin x)
1
=
cos2 x
cos2 x
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
x 3 − 2x 2 + 10
s(t)
=
t · sin(2t)
f (x)
=
sin x
cos x
f (x)
=
cos x 2
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
f 0 (x)
=
3x 3 − 4x
ṡ(t)
=
1 · sin(2t) + t · cos(2t) · 2
f 0 (x)
=
f 0 (x)
=
cos x · cos x − sin x · (− sin x)
1
=
cos2 x
cos2 x
− sin x 2 · 2x
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Rechenregeln fürs Dierenzieren
Formales Dierenzieren
Regeln:
0
=
αf 0 (x) + βg 0 (x)
0
f (x) · g (x)
0
f (x)
g (x)
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
2
g (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
αf (x) + βg (x)
0
f (g (x))
Beispiele:
f (x) =
x 3 − 2x 2 + 10
s(t)
=
t · sin(2t)
f (x)
=
sin x
cos x
f (x)
=
..
.
cos x 2
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
bzw.
df dg
d f (g (x)) =
·
dx
dg dx
f 0 (x)
=
3x 3 − 4x
ṡ(t)
=
1 · sin(2t) + t · cos(2t) · 2
f 0 (x)
=
f 0 (x)
=
..
.
cos x · cos x − sin x · (− sin x)
1
=
cos2 x
cos2 x
− sin x 2 · 2x
SS 2016
7 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
v0
t
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
v0
t
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
s(t0 )
v0
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t)
s = v0 · t
s0
t
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t
t0
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
s(t0 )
v0
t
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s = v0 · t
s0
t
t0
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s = v0 · t
s0
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
v (t)
v =c ·t
c·t0
2
t
t0
2
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s = v0 · t
s0
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
v (t)
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
v =c ·t
c·t0
2
t
t0
2
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s = v0 · t
s0
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
v (t)
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
Der zurückgelegte Weg
c·t 2
s(t0 ) = ṽ · t0 = 20
wächst quadratisch mit t !
v =c ·t
c·t0
2
t
t0
2
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
s(t)
s = v0 · t
s0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
Der zurückgelegte Weg
c·t 2
s(t0 ) = ṽ · t0 = 20
wächst quadratisch mit t !
v (t)
v =c ·t
s(t0 )
c·t0
2
s(t)
s0
s = 2c · t 2
t
t
t0
2
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t0
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
s(t)
s = v0 · t
s0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
Der zurückgelegte Weg
c·t 2
s(t0 ) = ṽ · t0 = 20
wächst quadratisch mit t !
v (t)
v =c ·t
s(t0 )
c·t0
2
t
t0
2
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s0
s = 2c · t 2
t
t0
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
s(t)
s = v0 · t
s0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
Der zurückgelegte Weg
c·t 2
s(t0 ) = ṽ · t0 = 20
wächst quadratisch mit t !
v (t)
v =c ·t
s(t0 )
c·t0
2
t
t0
2
t0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s0
s = 2c · t 2
t
t0
Phsyik: Wodurch ändert sich Geschwindigkeit?
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
s(t)
s = v0 · t
s0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
Der zurückgelegte Weg
c·t 2
s(t0 ) = ṽ · t0 = 20
wächst quadratisch mit t !
v (t)
v =c ·t
s(t0 )
c·t0
2
t
t0
2
t0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s0
s = 2c · t 2
t
t0
Phsyik: Wodurch ändert sich Geschwindigkeit? Kräfte F~ verändern Geschwindigkeit.
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
s(t)
s = v0 · t
s0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
Der zurückgelegte Weg
c·t 2
s(t0 ) = ṽ · t0 = 20
wächst quadratisch mit t !
v (t)
v =c ·t
s(t0 )
c·t0
2
t
t0
2
t0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s0
s = 2c · t 2
t
t0
Phsyik: Wodurch ändert sich Geschwindigkeit? Kräfte F~ verändern Geschwindigkeit.
Beschleunigung ~a: Veränderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit
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8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Geschwindigkeit Weg Zeit
konstante Geschwindigkeit
v (t)
Der zurückgelegte Weg
wächst linear (proportional) mit der Zeit!
s(t0 )
v0
t
t0
s(t)
s = v0 · t
s0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
t
t0
linear wachsende Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit in [0, t 0]: ṽ = c·t2 0
Der zurückgelegte Weg
c·t 2
s(t0 ) = ṽ · t0 = 20
wächst quadratisch mit t !
v (t)
v =c ·t
s(t0 )
c·t0
2
t
t0
2
t0
Weg s(t) ist deutbar als
grüne Fläche.
s(t)
s0
s = 2c · t 2
t
t0
Phsyik: Wodurch ändert sich Geschwindigkeit? Kräfte F~ verändern Geschwindigkeit.
Beschleunigung ~a: Veränderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit
F~ = m · ~
a
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
8 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
s(t)
v (t)
a(t)
:
:
:
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
s(t)
v (t)
a(t)
:
:
:
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s)
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
s(t)
v (t)
a(t)
:
:
:
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
s(t)
v (t)
a(t)
:
:
:
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
a(t)
v (t0 )
a0
t
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
s(t)
v (t)
a(t)
:
:
:
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
a(t)
v (t)
v (t0 )
v = a0 · t
s(t0 )
a0
t
t
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t0
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
s(t)
v (t)
a(t)
:
:
:
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
a(t)
v (t)
v (t0 )
s(t)
v = a0 · t
s(t0 )
a0
s = a20 · t 2
t
t
t0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t
t0
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
s(t)
v (t)
a(t)
:
:
:
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
a(t)
v (t)
v (t0 )
s(t)
v = a0 · t
s(t0 )
a0
s = a20 · t 2
t
t
t
t0
t0
Mathematischer Formalismus:
Rt
a0 2
ds
d a0 2
= dt
dt
2 t = a0 t ⇔ s(t) = a0 τ dτ = 2 t
0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
:
:
:
s(t)
v (t)
a(t)
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
a(t)
v (t)
v (t0 )
s(t)
v = a0 · t
s(t0 )
a0
s = a20 · t 2
t
t
t
t0
t0
Mathematischer Formalismus:
Rt
a0 2
ds
d a0 2
= dt
dt
2 t = a0 t ⇔ s(t) = a0 τ dτ = 2 t
0
dv
dt
=
d
dt
a0 t
= a0 ⇔ v (t) =
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Rt
0
a0 dτ
= a0 t
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
:
:
:
s(t)
v (t)
a(t)
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
a(t)
v (t)
v (t0 )
s(t)
v = a0 · t
s(t0 )
a0
s = a20 · t 2
t
t
Mathematischer Formalismus:

Rt
a0 2 
ds
d a0 2

= dt 2 t = a0 t ⇔ s(t) = a0 τ dτ = 2 t 

dt
0
dv
dt
=
d
dt
a0 t
= a0 ⇔ v (t) =
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t
t0
t0
Rt
0
a0 dτ
Rt2
t1
. . . dτ : Flächeninhaltsfunktion


= a0 t 

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Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
:
:
:
s(t)
v (t)
a(t)
Integral bei Bewegungsvorgängen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Weg in Abhängigkeit von t
Geschwindigkeit: Veränderung Weg bzgl. t
Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkeit bzgl. t
Newton: m · a(t) = F (t, s) speziell für a(t) = a0 , d. h. konstante Beschleunigung
a(t)
v (t)
v (t0 )
s(t)
v = a0 · t
s(t0 )
a0
s = a20 · t 2
t
t
Mathematischer Formalismus:

Rt
a0 2 
ds
d a0 2

= dt 2 t = a0 t ⇔ s(t) = a0 τ dτ = 2 t 

dt
0
dv
dt
=
d
dt
a0 t
= a0 ⇔ v (t) =
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t
t0
t0
Rt
0
a0 dτ


= a0 t 

Rt2
t1
Rt
t0
. . . dτ : Flächeninhaltsfunktion
. . . dτ : Umkehrung der
Dierenziation
SS 2016
9 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
s(t1 )
a(t2 )
1
t
t1 t2
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t1 t2
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
t1 t2
⇐
d
dt
t
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
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10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt bestimmt.
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
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10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt Rbestimmt.
Man lässt beide Integrationsgrenzen weg: . . . dt unbestimmtes Integral
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt Rbestimmt.
Man lässt beide Integrationsgrenzen weg: . . . dt unbestimmtes Integral
s(t) = 2t + 5t 2 − t 3
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SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt Rbestimmt.
Man lässt beide Integrationsgrenzen weg: . . . dt unbestimmtes Integral
s(t) = 2t + 5t 2 − t 3
v (t) = 2 + 10t − 3t 2
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt Rbestimmt.
Man lässt beide Integrationsgrenzen weg: . . . dt unbestimmtes Integral
s(t) = 2t + 5t 2 − t 3
v (t) = 2 + 10t − 3t 2
a(t) = 10 − 6t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt Rbestimmt.
Man lässt beide Integrationsgrenzen weg: . . . dt unbestimmtes Integral
a(t) = 1 + 2t
s(t) = 2t + 5t 2 − t 3
v (t) = 2 + 10t − 3t 2
a(t) = 10 − 6t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt Rbestimmt.
Man lässt beide Integrationsgrenzen weg: . . . dt unbestimmtes Integral
a(t) = 1
s(t) = 2t + 5t 2 − t 3
R + 2t
v (t) = (1 + 2t)dt
= t + t 2 + v0
v (t) = 2 + 10t − 3t 2
a(t) = 10 − 6t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integral bei Bewegungsvorgängen
Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg
v (t)
a(t)
s(t)
s(t1 )
R
a(t2 )
⇒
R
⇒
1
t
t
⇐
d
dt
t1 t2
⇐
d
dt
t
Ist die Weg-Zeit-Funktion bekannt, so ergibt sich daraus durch Dierenzieren eindeutig
die Geschwindigkeit v (t) und Beschleunigung a(t).
Ist nur a(t) bekannt, so muss noch die Startgeschwindigkeit bekannt sein, d. h. die
Geschwindigkeit lässt sich aus a(t) nur bis auf eine additive Konstante bestimmen.
Analog ist bei bekannter Geschwindigkeit v (t) die Weg-Zeit-Funktion s(t) nur bis auf
eine additive Konstante - der Startpunkt Rbestimmt.
Man lässt beide Integrationsgrenzen weg: . . . dt unbestimmtes Integral
a(t) = 1
s(t) = 2t + 5t 2 − t 3
R + 2t
v (t) = (1 + 2t)dt
= t + t 2 + v0
v (t) = 2 + 10t − 3t 2
R
2
3
2
a(t) = (t + t + v0 )dt = t2 + t3 + v0 t + s0
a(t) = 10 − 6t
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
10 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
y = f (x)
Rb
a
f (x)dx
x
a
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
b
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
Rb
a
f (x)dx
x
a
b
Anzahl Unterteilungen
Art
6
12
24
1
2
3
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
6
P
k=1
f (xi )∆i
x
a
b
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
24
4,1250
2
3
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
12
P
k=1
f (xi )∆i
x
a
b
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
4,1250
4,0373
24
2
3
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
24
P
k=1
f (xi )∆i
x
a
b
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
24
4,1250
4,0373
3,9896
2
3
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
6
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
b
Anzahl Unterteilungen
Art
6
12
24
1
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
12
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
b
Anzahl Unterteilungen
Art
6
12
24
1
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
24
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
b
Anzahl Unterteilungen
Art
6
12
24
1
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
3
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
6
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
b
Anzahl Unterteilungen
Art
6
12
24
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
3
3,9496
1
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
12
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
b
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
24
4,1250
4,0373
3,9896
3,8865
2
3,7123
3,8310
3
3,9496
3,9419
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
24
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
b
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
24
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
6
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
b
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
4 Trapeze
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
24
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
3,9186
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
12
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
b
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
4 Trapeze
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
24
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
3,9186
3,9341
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
24
P
k=1
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (xi )∆i
x
a
b
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
4 Trapeze
Anzahl Unterteilungen
Art
1
6
12
24
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
3,9186
3,9341
3,9380
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
Rb
a
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (x)dx
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
x
a
4 Trapeze
b
Anzahl Unterteilungen
6
12
24
∞
1
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
...
...
3,9393. . .
3,9393. . .
Art
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
3,9186
3,9341
3,9380
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
3,9393
3,9393
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
Rb
a
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (x)dx
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
x
a
4 Trapeze
b
Anzahl Unterteilungen
6
12
24
∞
1
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
...
3,9393. . .
3,9393. . .
3,9393. . .
Art
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
3,9186
3,9341
3,9380
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
3,9393

















n
P
k=1
Z
f (xi )∆i
b
f (x)dx
=⇒
a
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
Rb
a
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (x)dx
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
x
a
4 Trapeze
b
Anzahl Unterteilungen
6
12
24
∞
1
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
...
3,9393. . .
3,9393. . .
3,9393. . .
Art
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
3,9186
3,9341
3,9380
Bei
gutartigen
3,9393

















n
P
k=1
Z
f (xi )∆i
b
f (x)dx
=⇒
a
Funktionen führt dieser Grenzprozess unabhängig von der Art der Approximation
zum gleichen Grenzwert.
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Integral als Grenzprozess
y
Approximation durch Rechtecke, Trapeze, etc.
y = f (x)
1 Rechteckhöhe am rechten Intervallrand
Rb
a
2 Rechteckhöhe am linken Intervallrand
f (x)dx
3 Rechteckhöhe an Intervallmitte
x
a
4 Trapeze
b
Anzahl Unterteilungen
6
12
24
∞
1
4,1250
4,0373
3,9896
2
3,7123
3,8310
3,8865
...
3,9393. . .
3,9393. . .
3,9393. . .
Art
3
3,9496
3,9419
3,9400
4
3,9186
3,9341
3,9380
Bei
gutartigen
3,9393

















n
P
k=1
Z
f (xi )∆i
b
f (x)dx
=⇒
a
Funktionen führt dieser Grenzprozess unabhängig von der Art der Approximation
zum gleichen Grenzwert. Ist die Flächeninhaltsfunktion
F (x)
bekannt, so muss dieser
Grenzprozess nicht durchgeführt werden.
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
11 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
y
f (x)
F (x0 +h)
x0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
x0 + h
x
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
y
f (x)
x0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
∆F (x0 , h)
x0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
x0 + h
≥
f (x0 ) · h
x
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
x
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h
f (x0 ) ≤
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h
f (x0 ) ≤
⇓
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
⇓
⇓
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
⇓
⇓
⇓
dF
f (x0 ) =
(x0 )
= f (x0 )
dx
f (x0 ) ≤
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 + δ · h) · h
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
⇓
⇓
⇓
dF
f (x0 ) =
(x0 )
= f (x0 )
dx
f (x0 ) ≤
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 + δ · h) · h
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
⇓
⇓
⇓
dF
f (x0 ) =
(x0 )
= f (x0 )
dx
f (x0 ) ≤
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 + δ · h)
h
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 + δ · h) · h
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
⇓
⇓
⇓
dF
f (x0 ) =
(x0 )
= f (x0 )
dx
f (x0 ) ≤
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 + δ · h)
h
⇓
⇓
SS 2016
12 / 12
Vorbetrachtungen zur Dierenzial- und Integralrechnung
Integralbegri
echte Mathematik: Hauptsatz
Ableitung der Flächeninhaltsfunktion an einer Stelle mit positiver Steigung von f (x)
Die Dierenzäche kann durch ein Rechtecke angenähert und eingegrenzt werden.
y
f (x)
x0
Dierenzäche:
F (x0 +h)−F (x0 ) = ∆F (x0 , h)
x0 + h
x
∆F (x0 , h)
≥
f (x0 ) · h
∆F (x0 , h)
≤
f (x0 + h) · h
∆F (x0 , h)
=
f (x0 + δ · h) · h
0≤δ≤1
f (x0 ) · h ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ f (x0 + h) · h F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 + δ · h) · h
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
⇓
⇓
⇓
dF
f (x0 ) =
(x0 )
= f (x0 )
dx
f (x0 ) ≤
Fakultät Grundlagen (HS Esslingen)
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 + δ · h)
h
⇓
⇓
dF
(x0 ) = f (x0 )
dx
SS 2016
12 / 12