Blatt 1

Werbung
Lineare Algebra und Analytische
Geometrie 1
Anne Henke
Julian Külshammer
Sam Thelin
WS 2015/2016
Gruppenübung 1
Schriftliche Aufgaben
Aufgabe 1 (8 Punkte)
Seien X, Y, Z Mengen. Zeigen Sie die folgenden Mengengleichheiten:
(a) X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y ) ∩ (X \ Z),
(b) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Aufgabe 2 (8 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:
(a)
n
X
j=0
j2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
(b) 2n > n2 für n ≥ 5.
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind für alle n ∈ N wahr? Begründen Sie Ihre Antwort.
(a) n2 − 3n − 4 = 0 genau dann, wenn n = 4.
(b) n = 4 genau dann, wenn n2 − 3n − 4 = 0.
(c) Gilt n2 + 5n + 4 = 0, dann ist n = 3.
(d) Gilt n2 − 5n + 4 = 0, dann ist n = 1.
Zusatzaufgabe (wird bei schriftlicher Abgabe korrigiert)
Aufgabe 4
Seien A und B Teilmengen einer Menge M mit A ⊆ B. Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge
X von M gilt:
X = (X ∩ (M \ A)) ∪ (X ∩ B)
1
Votieraufgaben
Aufgabe 5
Sei X die Menge {∅, {0, ∅}, {0}, {{1, 0}}, 0}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr,
welche falsch?
(a) ∅ ∈ X.
(b) {∅} ∈
/ X.
(c) {1, 0} ∈ X.
(d) {{0, ∅}} ⊆ X.
Aufgabe 6
Sei X eine Menge und seien A, B, C, D Teilmengen von X. Zeigen Sie die folgenden
Aussagen, falls möglich, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(a) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).
(b) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
Aufgabe 7
Sind die folgenden Beweise korrekt oder nicht? Falls ein Beweis falsch ist, erklären Sie
warum.
(a) Die natürliche Zahl 1 ist klein. Wenn n klein ist, dann ist auch n + 1 klein. Daher
folgt mittels vollständiger Induktion, dass alle natürlichen Zahlen klein sind.
(b) Betrachten Sie Gruppen von n Personen. Falls n = 0 oder n = 1 ist, dann tragen alle
Personen in dieser Gruppe Pullis in der gleichen Größe. Als Induktionsannahme P (n)
nehmen wir an, dass für jede Gruppe von n Personen, alle Personen in dieser Gruppe
Pullis gleicher Größe tragen. Betrachten Sie eine Gruppe M1 , M2 , . . . , Mn , Mn+1
von n + 1 Personen. Nach Induktionsannahme tragen alle Personen in der Gruppe
M1 , M2 , . . . , Mn Pullis gleicher Größe. Ebenfalls nach Induktionsannahme tragen alle
Personen in Gruppe M2 , M3 , . . . , Mn+1 Pullis gleicher Größe. Daher folgt, dass in
jeder Gruppe mit n + 1 Menschen, alle Menschen dieser Gruppe Pullis gleicher Größe
tragen. Mittels vollständiger Induktion tragen deshalb alle Menschen Pullis gleicher
Größe.
Aufgabe 8
(a) Beweisen Sie, nur unter Benutzung der Definitionen der Fakultätsfunktion und des
Binomialkoeffizienten, dass für natürliche Zahlen m, n mit 1 ≤ m ≤ n gilt:
n
n
n+1
+
=
.
m−1
m
m
(b) Zeigen Sie mittels vollständiger
Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen 0 ≤ m ≤ n
n
der Binomialkoeffizient
eine natürliche Zahl ist.
m
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/LAAG-Henke-WS1516/
Abgabe: 20./21. Oktober 2015 in den Übungen
2
Herunterladen
Explore flashcards