Ferienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik Magnetostatik

Ferienkurs Experimentalphysik II
Elektrodynamik
Magnetostatik
12. September 2011
Michael Mittermair
Inhaltsverzeichnis
1 Permanentmagnete und Polstärke
2
2 Magnetfelder stationärer Ströme
2.1 Magnetfeldstärke und magnetische Erregung
2.2 Magnetischer Fluss und Quellenfreiheit . . .
2.3 Das Ampéresche Gesetz . . . . . . . . . . .
2.4 Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Das Gesetz von Biot-Savart . . . . . . . . .
2.6 Spezielle Leiter-Geometrien . . . . . . . . .
2.6.1 Die unendlich lange Spule . . . . . .
2.6.2 Die endlich lange Spule . . . . . . . .
2.6.3 Kreisförmige Leiterschleife . . . . . .
3
3
3
4
6
6
7
7
8
9
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3 Bewegte Ladungen im Magnetfeld
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3.1 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Magnetische Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Materie im Magnetfeld
13
1
Kapitel 1
Permanentmagnete und
Polstärke
• Magneten haben immer Nord und Südpol, es gibt also keine
magnetischen Monopole
• Nord und Südpol ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab
• magnetische Feldlinien sind immer geschlossen
• Nordpol des Erdmagnetfeldes ist eigentlich ein magnetischer Südpol
• Feldlinien zeigen nach ihrer Definition immer von einem Nordpol zu
einem Südpol
2
Kapitel 2
Magnetfelder stationärer
Ströme
2.1
Magnetfeldstärke und magnetische
Erregung
~ stellt bei Magneten die
Das Analogon zur elektrischen Feldstärke E
~ dar. Sie hat die Einheit
magnetische Flussdichte oder Magnetfeldstärke B
~ = T = N . Außerdem gibt es analog zur dielektrischen Verschiebung
[B]
Am
~
~ mit der Einheit [H]
~ = A Die
D die magnetische Erregung/Feldstärke H
m
beiden Größen sind durch durch die magnetische Feldkonstante µ0
miteinander verknüpft, sie beträgt 12, 566 ∗ 10−7 H/m .
~ = µ0 · H
~
B
2.2
Magnetischer Fluss und Quellenfreiheit
Jeder elektrische Strom erzeugt ein Magnetfeld. Dieses hängt stark von der
Geometrie des Leiters ab.
Wie beim elektrischen Kraftfluss wird nun der magnetische Fluss
eingeführt. Er ist als das Integral der magnetischen Flussdichte/B-Feld über
3
die durchflossene Fläche definiert.
Φm =
R
~
~ · dA
B
A
Der Fluss gibt also sozusagen die Anzahl der Feldlinien an, die die Fläche
durchdringen. Da magnetische Feldlinien immer geschlossen sind (Keine
magnetischen Monopole) muss bei einer geschlossenen Oberfläche das
Integral Null ergeben. Da genau so viele Linien rausgehen wie reingehen.
H
~ ≡0
~ · dA
B
A
Nach dem Satz von Gauß kann man das Integral der Flussdichte über den
Rand eines Volumens(= Oberf läche) durch das Integral der Divergenz der
Flussdichte über das Volumen ersetzen.
H
R
~ = div B
~ · dA
~ · dV ≡ 0
B
A
V
~ =0
⇒ div B
”Quellenfreiheit von Magnetfeldern”
2.3
Das Ampéresche Gesetz
Als einfachste zu beschreibende Leitergeometrie wählen wir nun einen
unendlich langen dünnen Draht. Der Strom I erzeugt dabei ein
I
radial-symmetrisches Magnetfeld mit der Stärke H =
2πr
4
Durch Integration beider Seiten entlang der Kreisbahn mit Radius r ergibt
sich dann.
H
~ · d~r = I · 2πr = I
H
2πr
c
Für einen anderen Integrationsweg, der den Draht nicht einschließt ergibt
sich immer als Wert des Integrals die Null. Allgemein lässt sich dann
finden, dass der Wert des Integrals von der Form des Weges unabhängig ist
und nur die eingeschlossenen Ströme zählen.
H
~ folgt
mit I = ~j · dA
A
H
R
~ · d~r = ~j · dA
~
H
A
C=∂A
Das Ampéresche Gesetz in Integralform
Mit dem Satz von Stokes aus der Vektoranalysis lässt sich die linke Seite
der Gleichung umformen.
H
R
~ · d~r = ∇
~ ×H
~ · dA
~
H
C=∂A
A
Damit ergibt sich:
R
~ ×H
~ · dA
~=
∇
A
R
A
5
~
~j · dA
Durch Weglassen der Integrationszeichen ergibt sich dann die differentielle
Darstellung des Ampéreschen Gesetzes
~ H
~ = ~j
∇x
Man kann beide Formen auch mit dem B-Feld ausdrücken
H
R
~ · d~r = µ0 ~j · dA
~
B
A
C=∂A
~ ×B
~ = µ0 · ~j
∇
2.4
Das Vektorpotential
~ konnte ein skalares Potential definiert werden, so
Für das elektrische Feld E
dass das E-Feld als Gradientenfeld daraus hervorgeht. Eine solche
Definition lässt sich für das Magnetfeld leider nicht einführen, da ein
Kreisintegral hier nicht zwingend 0 ergibt und dies aber für ein
~
Gradientenfeld erfüllt sein muss. Stattdessen wird ein Vektorpotential A
eingeführt, das wie folgt definiert ist:
~ = rotA
~
B
Dieses Vektorpotential erfüllt automatisch die Bedingung, da die Divergenz
angewendet auf die Rotation eines Vektorfeldes immer 0 ergibt.
~ ist nicht eindeutig bestimmt. Es können beliebige Gradientenfelder dazu
A
addiert werden, da gilt:
~0 = A
~ + ∇f
~
für A
~
~
~
~
~
~ ×A
~
B = ∇ × A + ∇ × ∇f = ∇
Diese Eichfreiheit wird meist genutzt, um das Vektorpotential so zu
definieren, dass die Coulomb-Eichung erfüllt ist.
~ ·A
~=0
∇
2.5
Das Gesetz von Biot-Savart
In der Elektrostatik gibt es eine Gleichung, die einen direkten
Zusammenhang zwischen Potential und Ladungsverteilung beschreibt.
φ(~r) =
1 R ρ(r~0 )
dV
4πε0 dV 0 |~r − r~0 |
6
Analog dazu gibt es in der Magnetostatik:
R ~j(r~0 )
~ r ) = µ0
dV
A(~
4π dV 0 |~r − r~0 |
Diese Gleichung beschreibt das Vektorpotential, das von einer Stromdichte
~j(r~0 ) am Ort ~r erzeugt wird.
Das B-Feld lässt sich dann über die Rotation berechnen.
~ r) = ∇
~ ×A
~=
B(~
~j(r~0 )
µ0 R ~
=
∇r ×
d3 r~0 =
0
~
4π dV 0
|~r − r |
(~r − r~0 ) 3 ~0
µ0 R ~ ~0
j(r ) ×
=
dr
4π dV 0
|~r − r~0 |3
Mit dieser Formel kann man das Magnetfeld einer beliebigen
Stromverteilung bestimmen. Problem: Volumenintegral kann sehr
kompliziert werden!
Für einen extrem dünnen Leiter mit dem infinitesimalen Leiterquerschnitt
~ gilt allerdings:
A
~ · d~s = I · d~s
~j · dV = ~j · dA
Da ~j über A als konstant angenommen werden kann. Die Gleichung
vereinfacht sich zu einem Linienintegral.
~0
R
~ r) = − I · µ0 (~r − r ) × d~s
B(~
4π
|~r − r~0 |3
Das Biot-Savart’sche Gesetz.
In differentieller Form lautet es:
~ r) =
dB(~
2.6
2.6.1
I · µ0
(~r − r~0 )
· d~s ×
4π
|~r − r~0 |3
Spezielle Leiter-Geometrien
Die unendlich lange Spule
Um das Magnetfeld einer unendlich langen Spule zu bestimmen, verwendet
man wiederum das Ampéresche Gesetz. Als geschlossenen Integrationsweg
wählt man dabei ein Rechteck, dessen eine Seite entlang der Achse der
Spule verläuft. Es schließt also eine Spulenhälfte ein.
7
Man kann es in vier Teilintegrale zerlegen. Es gilt:
µ0 IN =
H
~ s=
Bd~
RB
Bds +
A
RC
Bds +
B
RD
Bds +
C
RA
Bds
D
Dabei ist zu beachten, dass sich die Integralteile von B nach C und von D
nach A gegenseitig aufheben.
Wenn man die Strecke von C nach D ins unendlich verlagert, verschwindet
dieser Teil ebenfalls, da das B-Feld im Unendlichen verschwindet. Es bleibt
also nur übrig:
µ0 · I · N =
RB
Bds = L · B
A
⇒B=
2.6.2
µ0 N
·I
L
Die endlich lange Spule
N
Bei der endlich langen Spule mit der Windungszahldichte n =
und dem
L
Windungsradius R gilt:
"
#
µ0 · I · n
z + L/2
z − L/2
p
Bz (z) =
−p
2
R2 + (z + L/2)2
R2 + (z + −L/2)2
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2.6.3
Kreisförmige Leiterschleife
Eine kreisförmige Leiterschleife mit Radius R, die in der x-y-Ebene liegt
und vom Strom I durchflossen wird, erzeugt, wegen ihrer Symmetrie, ein
Magnetfeld, das auf der z-Achse nur eine z-Komponente hat. Diese ist
gegeben durch:
µ0 IR2
B(z) =
2(R2 + z 2 )3/2
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Kapitel 3
Bewegte Ladungen im
Magnetfeld
Sobald sich eine Ladung in einem Magnetfeld bewegt, tritt die sogenannte
Lorentz-Kraft auf. Ihre Richtung kann durch die Drei-Finger-Regel
ermittelt werden. Sie ist definiert als:
~
F~ = q(~v × B)
Liegt des Weiteren ein E-Feld an, so überlagern sich die Coulombkraft und
die Lorentzkraft. Es gilt:
~ + (~v × B))
~
F~gesamt = q(E
Beispiel: Für einen geraden Draht der Länge L im homogenen Magnetfeld,
lässt sich die Lorentzkraft recht einfach bestimmen:
~
~ = I(L
~ × B)
~
~ = I · t(( L ) × B)
F~ = q(~v × B)
t
Mit der Vorstellung, dass jeder Leiter aus unendlich vielen infinitesimalen
geraden Leiterabschnitten besteht kann man dann folgern, dass für die
Kraft pro Längenelement gilt:
~ ×B
~
dF~ = I · dL
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3.1
Hall-Effekt
Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so werden
die Ladungen im inneren des Leiters getrennt. Im Gleichgewicht gilt dabei,
dass die Lorentzkraft genau so groß ist wie das durch die Aufspaltung
erzeugte E-Feld EH .
Dabei kann man die sogenannte Hall-Spannung messen.
UH = EH · b =
I
· B = RH · I
nqd
B
nqd
Für sehr flache Leiter(b → 0) ergibt sich der Quanten-Hall-Effekt. Hierbei
h
ist der Hall-Widerstand quantisiert. RH =
mit k = 1, 2, 3...
k · e2
Mit dem Hall-Widerstand RH =
3.2
Magnetische Dipole
Das magnetische Dipolmoment p~m ist definiert durch:
~
p~m = I · A
Es wird auch oft mit µ
~ bezeichnet.
Die Lorentzkraft auf eine eckige Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
lässt sich aus der allgemeinen Formel für die Lorentzkraft herleiten.
~ ×B
~
dF~L = I · dL
~
~
FL = I · a · ~ea × B
Hierbei wirken nur die Kräfte der beiden Seiten parallel zur Rotationsachse.
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Für das Drehmoment ergibt sich damit:
~ = 2 · b · ~eb × F~L
M
2
~ = I · a · b · (~eb × ~ea ) × B
~ =I ·A
~×B
~
M
~ =µ
~
M
~ ×B
Die Energie des Dipols beträgt
~
EP ot = −~µ · B
~
Sie ist demnach minimal für µ
~ ||B
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Kapitel 4
Materie im Magnetfeld
Analog zur Polarisierung P wird die Magnetisierung definiert:
~ = 1 P
M
V V
vecµ
~ ] = 1A
mit der Einheit [M
m
Sie entsteht durch die Ausrichtung der ätomaren magnetischen Momente”.
Dabei ändert sich das Magnetfeld im Inneren des Materials um den Faktor
µ, die sogenannte relative Permeabilität. Diese ist materialabhängig.
Das Magnetfeld in Materie ergibt sich dann zu:
~ = µB
~ 0 = µµ0 H
~0
B
Es wird wiederum eine Suszeptibilität eingeführt.
µ = 1 + χm
~
~ = µ0 · H
~ + µ0 · χ m · H
~
→ B = µ0 · (1 + χm ) · H
~ = χm · H
~
→M
Materialien werden nach ihren magnetischen Eigenschaften eingeteilt
Diamagnetische Stoffe
χ < 0 |χ| 1 zB. Kr, Xe
Paramagnetische Stoffe χ > 0 |χ| 1 zB. Na, O2
Ferromagnetische Stoffe χ > 0 |χ| 1 zB. Fe, Co
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