Brownsche Bewegung

Brownsche Bewegung
M. Gruber
19. März 2014
Zusammenfassung
Stochastische Prozesse, Pfade; Brownsche Bewegung; Eigenschaften der Brownschen Bewegung: Kovarianz, Stationarität, Selbstähnlichkeit, quadratische Variation.
M.Gruber, SS 2014
Stochastic Processes in Risk and Finance
Stochastische Prozesse
•
Stochastische Prozesse sind Familien von Zufallsvariablen
men Wahrscheinlichkeitsraum
X(t) auf einem gemeinsa-
(Ω, F, P), die von einem kontinuierlichen Parameter t
abhängen.
•
Typischerweise durchläuft der Parameter
z.B. das Intervall
bzw.
[0, T ] oder [0, ∞[. Man schreibt dann den Prozess als (X(t))0⩽t⩽T
(X(t))t⩾0
•
Man kann sich
•
Jedes
X(t)
t ein Intervall nichtnegativer reeller Zahlen,
t
als Zeit und
X(t)
als Ort oder Zustand vorstellen.
X(t) unterliegt einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der realisierte Wert eines
ist
X(t, ω).
1
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Stochastic Processes in Risk and Finance
Pfade
•
In erster Linie interessiert man sich für die Pfade stochastischer Prozesse.
•
Ein Pfad beschreibt die Orte oder Zustände, die eine Realisierung des Prozesses im
Laufe der Zeit aufsucht.
•
Mathematisch ist ein Pfad die Abbildung
t 7→ X(t, ω).
•
Ein stochastischer Prozess hat i.a. viele Pfade für jedes
•
Die Menge aller Pfade eines Prozesses bildet seinen Pfadraum. Der Pfadraum ist
ω∈Ω
einen.
ein Wahrscheinlichkeitsraum.
2
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Stochastic Processes in Risk and Finance
Brownsche Bewegung
Die Brownsche Bewegung ist fundamental für alles, was wir hier behandeln werden.
Denition 1. [Brownsche Bewegung]
Ein stochastischer Prozess
(B(t))t⩾0
ist eine Brownsche Bewegung (oder: Wienerprozess), wenn gilt:
1.
B(0) = 0,
2.
B(t) − B(s) ∼ N(0, t − s)
3.
{B(ti+1) − B(ti) | 0 ⩽ t1 ⩽ t2 ⩽ . . . ⩽ tk}
4.
t 7→ B(t, ω)
Anstatt
(B(t))t⩾0
für
0 ⩽ s < t,
sind unabhängige Zufallsvariablen,
ist fast sicher stetig, d.h. P({ω
ist auch die Notation
(W(t))t⩾0
| t 7→ B(t, ω)
ist stetig})
= 1.
(W für Wienerprozess, benannt nach Norbert
Wiener) für die Brownsche Bewegung gebräuchlich.
3
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Stochastic Processes in Risk and Finance
Simulation einer Brownschen Bewegung
1.5
1.0
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.5
Abbildung 1: Drei Pfade einer Brwownschen Bewegung
4
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Kovarianz der Brownschen Bewegung
Satz 1.
Beweis
Cov(B(s), B(t))
0 ⩽ s ⩽ t.
= min{s, t}.
Nach dem Verschiebungssatz für die Kovarianz ist Cov(B(s), B(t))
=
E B(t)B(s)− E B(t) E B(s). Da die Erwartungswerte E B(t) und E B(s) null sind, ist Cov(B(s), B(t))
=
Sei
E B(t)B(s).
E B(s)
2
Es
ist
E B(t)B(s)
=
E(B(s)
+ E(B(t) − B(s))(B(s) − B(0)).
+ B(t) − B(s))B(s) =
Die Zuwächse
B(t) − B(s)
und haben den Erwartungswert null. Folglich ist Cov(B(s), B(t))
E(B(s)
und
+ B(t) − B(s))B(s) =
B(s) − B(0)
= E B(s)2 = s.
sind unabhängig
□
5
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Stationarität der Brownschen Bewegung
Wenn man die Zuwächse einer Brownschen Bewegung ab einem beliebigen Zeitpunkt beobachtet,
sieht man wieder eine Brownsche Bewegung:
Satz 2.
Ist
(B(t))t⩾0
eine Brownsche Bewegung und
s > 0,
so ist auch
(B(s + t) − B(s))t⩾0
eine Brownsche Bewegung.
Beweis
Der neue Prozess erfüllt alle vier Punkte von Denition 1.
□
6
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Selbstähnlichkeit einer Brownschen Bewegung
Wenn man die Pfade einer Brownschen Bewegung in geeigneter Weise zoomt, sieht man wieder eine
Brownsche Bewegung:
Satz 3.
Ist
(B(t))t⩾0
eine Brownsche Bewegung und
c > 0,
so ist auch
( √1c B(ct))t⩾0
eine Brownsche Bewegung.
Beweis
□
Der neue Prozess erfüllt alle vier Punkte von Denition 1.
Bemerkung.
Die Aussage gilt sowohl für sehr groÿe als auch sehr kleine
c.
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Existenz einer Brownschen Bewegung:
Lévy-Konstruktion
Die Lévy-Konstruktion
1
(benannt nach Paul Lévy) ist ein konstruktiver mathematischer Beweis für
die Existenz einer Brownsche Bewegung.
•
Schrittweise wird eine Folge von Prozessen erzeugt, von denen jeder die Punkte 1
bis 3 von Denition 1 auf einer endlichen Menge dyadischer Stützstellen erfüllt und
ausserdem stetige Pfade hat.
•
Bei jedem Schritt wächst die Stützstellenmenge und liegt dichter auf dem Zeitstrahl.
•
Die Folge der konstruierten Prozesse konvergiert pfadweise P-fast sicher gleichmäÿig
auf kompakten Zeitintervallen gegen einen Grenzprozess. Dieser erfüllt alle vier
Punkte von Denition 1.
1
Eine gut lesbare Beschreibung der Lévy-Konstruktion ndet man in [2].
8
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Grenzwert einer skalierten symmetrischen Irrfahrt
2
Die Brownsche Bewegung kann durch eine skalierte symmetrische Irrfahrten approximiert werden .
•
Seien
•
X1, X2, . . .
3 mit P(X
1
iid
Der diskrete Prozess
•
Für jedes
n
(Mk)k∈N
Die Verteilung der Zuwächse
(
lim P
n→∞
3
Mk =
(Bn(t))t⩾0,
d.h.
2
mit
bilden die Zufallsvariablen
kontinuierlichen Prozess
Satz 4.
= −1) = P(X1 = 1) =
∑
1⩽j⩽k Xj heisst symmetrische Irrfahrt.
Bn(t) =
√1
n
∑
1⩽j⩽nt Xj
=
√1 M⌊nt⌋ einen
n
eine skalierte symmetrische Irrfahrt.
Bn(t) − Bn(s)
Bn(t) − Bn(s)
√
⩽a
t−s
siehe hierzu [3], Abschnitt 3.2., und [1].
unabhängig und identisch verteilt (independent,
1
2.
konvergiert gegen
N(0, t − s),
)
= Φ(a).
identically distributed
)
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Pfade skalierter symmetrischer Irrfahrten
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
-0.5
- 0.5
-1.0
- 1.0
-1.5
- 1.5
-2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Abbildung 2: Einige Pfade von
1.0
B16(t)
- 2.0
0.0
(links) und
0.2
B256(t)
0.4
0.6
(rechts) für
0.8
1.0
0 ⩽ t ⩽ 1.
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Quadratische Variation (1)
Ein Maÿ für pfadweises Schwankungsverhalten stochastischer Prozesse ist die quadratische Variation.
Denition 2. [Quadratische Variation]
eines Prozesses
(X(t))t⩾0
Die quadratische Variation
ist, falls er existiert, der Limes nach Wahrscheinlichkeit
lim
n→∞
∑
(n)
(n)
(X(ti ) − X(ti−1))2,
1⩽i⩽kn
wobei der Limes über beliebige verfeinernde Folgen von Partitionen
(n)
t1
(n)
⩽ . . . ⩽ tkn = t}
[X, X]t
mit
∥Πn∥ =
max1⩽i⩽kn
(n)
|ti
(n)
− ti−1| → 0
für
(n)
Πn = {0 = t0 ⩽
n→∞
gebildet
wird.
Denition 3. [Quadratvariations-Prozess]
Der Prozess
([B, B]t)t⩾0
heiÿt
Quadratvariations-Prozess.
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Quadratische Variation (2)
Satz 5.
2.
1.
[M, M]k :=
∑
1⩽j⩽k (Mj
− Mj−1)2 = k
für
k ∈ N,
[M, M]k = Var Mk,
∑
j
j−1 2
(B
(
)
−
B
(
n
n
1⩽j⩽nt
n
n )) = t
3.
[Bn, Bn]t :=
4.
[Bn, Bn]t = Var Bn(t)
5.
[B, B]t = t
6.
[B, B]t = Var B(t).
für
t⩾0
mit
für
t⩾0
mit
nt ∈ N,
nt ∈ N,
P-fast sicher,
Praktisch alle Pfade einer Brownschen Bewegung weisen also das gleiche Schwankungsverhalten auf.
Wir werden auf dieses Resultat später zurückgreifen.
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Literatur
[1] David Gamarnik and Premal Shah. Brownian Motion; introduction.
http://ocw.mit.edu/NR/
rdonlyres/B93A685B-1781-406F-AD73-22040D2A4D0F/0/lec5.pdf.
[2] Hank Krieger.
Construction of Brownian Motion.
http://www.math.hmc.edu/~krieger/
brownianmotion.pdf.
[3] Steven E. Shreve.
Stochastic Calculus for Finance II.
Springer, 2004.
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