¨Ubung zur Stochastischen Analysis mit Finanzmathematik Blatt 4

Klebert Kentia
Prof. Dr. Christoph Kühn
WS 2015/16
Übung zur Stochastischen Analysis mit
Finanzmathematik
Blatt 4
Abgabe Dienstag, 17.11.2015 vor der Vorlesung
Aufgabe 10 (6 Punkte) Sei B eine Brownsche Bewegung auf (Ω, F, (Ft )t≤T , P ).
1.
Zeigen Sie mit Hilfe der Itô-Formel, dass für eine deterministische
Funktion
RT
1
•
h ∈ C ([0, T ]) das stochastische Integral h BT = 0 hs dBs pfadweise
definiert werden kann (d.h. über das Integral von B nach h).
2.
Zeigen Sie, dass h • BT eine
Zufallsvariable ist mit ErwarR T normalverteilte
2
1
tungswert 0 und Varianz 0 hs ds .
3.
Beweisen Sie damit, dass die Abbildung
JB (·)T : C 1 ([0, T ]) ⊂ L2 ([0, T ], dt) → L2 (Ω, P )
mit h 7→ JB (h)T = h • BT sich in eindeutigerweise stetig auf L2 ([0, T ], dt)
RT
fortsetzen lässt, so dass E(JB (h)2T ) = 0 h2s ds für h ∈ L2 ([0, T ], dt) gilt
und uns eine Isometrie (welche?) liefert, wobei wir mit JB (h)T auch die
Fortsetzung bezeichnen2 . Wir können so h • BT := JB (h)T definieren für
h ∈ L2 ([0, T ], dt).
1
Aufgabe 11 (6 Punkte) Seien B
und B 2 zwei Brownsche Bewegungen auf
R
t
(Ω, F, (Ft )t≤T , P ) mit [B 1 , B 2 ]t = 0 ρs ds für einen vorhersehbaren Prozess ρ mit
Werten in [−1, 1]. Man sagt dann, dass B 1 und B 2 zwei korrelierte Brownsche
Bewegungen mit Korrelationsprozess ρ sind. Zeigen Sie:
RT 1
1.
Ist ρ deterministisch und gilt 0 1−ρ
2 ds < ∞, dann sind durch
s
1
W =B
1
2
Z
und W =
0
·
1
p
dBs2 −
2
1 − ρs
Z
0
·
ρ
p s
dBs1
2
1 − ρs
zwei unabhängige Brownsche Bewegungen W 1 und W 2 gegeben3 .
1. Sie können benutzen, dass für Zufallsvariablen (Zn )n∈N , Z mit limn→∞
Zn = Z in Verteilung
gilt limn→∞ ϕZn (λ) = ϕZ (λ) für alle λ ∈ R, wobei ϕX : λ 7→ E eiλX die charakteristische
Funktion der Zufallsvariable X bezeichnet.
2. Benutzen Sie dafür das klassische Resultat, dass C 1 ([0, T ]) dicht in L2 ([0, T ], dt) ist.
3. Benutzen Sie die mehrdimensionale Lévy-Charakterisierung.
1
2.
Sind umgekehrt zwei unabhängige Brownsche Bewegungen W 1 , W 2 auf
(Ω, F, (Ft )t≤T , P ) gegeben, dann definieren
Z ·p
Z ·
1
1
1
2
ρs dWs +
B =W
und B =
1 − ρ2s dWs2
0
0
zwei korrelierte Brownsche Bewegungen mit Korrelationsprozess ρ.
2