¨Ubungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Prof. Dr. Martin Keller-Ressel
Dr. Paolo Di Tella
Technische Universität Dresden
Institut für mathematische Stochastik
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Aufgabenblatt 5
Übungstermin 12. Januar 2016
Aufgabe 1.
i) Sei (Ω, F, P) ein W-Raum mit Ω = [0, 1], F = B([0, 1]) und sei P das
Lebesgue-Maß. Sei
(
1, ω = t
, Yt (ω) ≡ 0, t ≥ 0
Xt (ω) :=
0, ω 6= t
Sind X = (Xt )t≥0 und Y = (Yt )t≥0 Modifikationen voneinander? Sind sie
ununterscheidbar?
ii) Seien X = (Xt )t≥0 und Y = (Yt )t≥0 ununterscheidbare Prozesse. Zeigen
Sie, dass X und Y Modifikationen voneinander sind.
iii) Zeigen Sie für zwei Prozesse (Xn )n∈N und (Yn )n∈N die Äquivalenz von
Ununterscheidbarkeit und Modifikation.
Aufgabe 2. Sei B eine Brownsche Bewegung. Welche der folgenden Prozesse
sind wieder Brownsche Bewegungen?
a) Xt := 2B 4t
b) Yt := B2t − Bt
√
c) Zt := tB1
Aufgabe 3. Sei B eine Brownsche Bewegung. Zeigen Sie, dass die folgenden
Prozesse ebenfalls Brownsche Bewegungen sind.
a) Tt := cB
t
c2
, c 6= 0;
b) Ut := −Bt ;
c) Vt := (Bt+s − Bs )t≥0 , s > 0;
(
tB 1t , t > 0
d) Wt :=
.
0,
t=0
(Hinweis: In Punkt d) ist insbesondere die Stetigkeit an t = 0 zu zeigen.)
Aufgabe 4.
i) Sei (Xn , Yn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen mit Xn unabhängig von
Yn , für jedes n ∈ N, und
d
(Xn , Yn ) −
→ (X, Y ),
n → +∞ .
Beweisen Sie, dass dann X und Y ebenfalls unabhängig sind.
ii) Sei (Yj )j∈N eine iid-Folge von Zufallsvariablen mit
P[Y1 = 1] = P[Y1 = −1] =
1
.
2
Des Weiteren definieren wir
S0 := 0,
Sn :=
n
X
j=1
Yj
1
und Xtn := √ Sbntc .
n
a) Bestimmen Sie die Verteilung von
S := d-lim
n→∞
1
√ Sn ,
σ n
wobei der letzte Ausdruck als Grenzwert in Verteilung zu verstehen
ist.
b) Zeigen Sie, dass Xtn in Verteilung gegen eine normalverteilte Zud
fallsvariable Gt konvergiert, d.h. Xtn −
→ Gt , n → +∞, für t > 0 mit
Gt ∼ N (µt , σt2 ), und bestimmen Sie die Parameter der Verteilung
von Gt .
Aufgabe 5.
Wiederholen Sie die gezeigte Lösung von Aufgabe 2 des 4. Übungsblattes.