Kerncurriculum Berufliche Gymnasien Niedersachsen Stochastik

Jens Helling
Herausgeber: Klaus Schilling
Kerncurriculum
Berufliche Gymnasien
Niedersachsen
Stochastik
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2. Auflage
Bestellnummer 03330
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www.bildungsverlag1.de
Bildungsverlag EINS GmbH
Hansestraße 115, 51149 Köln
ISBN 978-3-427-03330-1
© Copyright 2013: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln
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Vorwort
Vorwort
Bei der Erstellung dieses Schulbuches wurde besonderer Wert auf eine für Schülerinnen und Schüler anschauliche und verständliche Darstellung der mathematischen Inhalte und Verfahren gelegt, damit sie mit diesem Buch eigenständig
im Unterricht und zu Hause arbeiten können.
Berechnen Sie für die Menge A ⫽ {7,9; 10,8; 12,9; 15,9} das arithmetische Mitn
tel x, wenn für das arithmetische Mittel die Formel x ⫽
兺
1
xi gilt.
n i⫽1
„Das brauche ich in meinem Leben nie wieder!“ So ganz Unrecht haben Schülerinnen und Schüler mit dieser Aussage nicht. Diese Art von Aufgaben ist wenig
motivierend und vermittelt ihnen ein falsches Bild von Mathematik.
Mathematik ist mehr als Formeln und Definitionen. Mathematik ist eine Wissenschaft, die uns täglich begleitet und die wir täglich anwenden. Wenn wir mit
unseren Freunden ins Lokal um die Ecke gehen und wir dort vier Gerichte für
7,90 EUR, 10,80 EUR, 12,90 EUR und 15,90 EUR bestellen, kann man mit der
Formel berechnen, wie viel jeder von uns durchschnittlich bezahlt hat.
Der vorliegende Band ist einer von vier Bänden aus der Reihe „Kerncurriculum
Mathematik“ und ist exakt auf das Kerncurriculum 2010 in Niedersachsen
abgestimmt. Er dient dem Erwerb der für die Qualifikationsphase beschriebenen Kompetenzen und strebt dabei sowohl die Förderung der inhaltsbezogenen
als auch der prozessbezogenen Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler an.
Eine zu allen vier Bänden passende Formelsammlung ist ebenfalls erhältlich.
Eine große Zahl von Lernsituationen mit ausführlich dargestellten, algebraischen und rechnergestützten Lösungen ermöglicht den Schülerinnen und Schülern einen selbstständigen Erwerb der inhaltsbezogenen Kompetenzen. Sämtliche
Situationen mit Lösungsweg sind mit dem nebenstehenden „Puzzle-Symbol“ und
einem blauen Balken gekennzeichnet.
Wichtige Informationen für die Lernsituationen und die dazugehörigen Lösungen
sind mit einem „Informationssymbol“ und einem gelben Balken markiert.
Der Großteil der Aufgaben kann auch mit einem grafikfähigen Taschenrechner
(GTR) oder einem Computer-Algebra-System (CAS) gelöst werden. Ein
„Taschenrechnersymbol“ kennzeichnet Lösungen, die mit einem TI-84 Plus
berechnet wurden. Darüber hinaus befindet sich im Anhang eine Übersicht mit
allen wichtigen Funktionen des Taschenrechners für das Sachgebiet Stochastik.
GTR
Übungsaufgaben werden durch das „Verzahnungssymbol“ und einen grünen
Balken gekennzeichnet.
3
Vorwort
Am Ende zahlreicher Kapitel finden sich weitere offene Lernsituationen zum
jeweils vorangegangenen Kapitel. Diese eignen sich besonders zur Verknüpfung
der inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen und können auch zum Einstieg in ein neues Themengebiet verwendet werden.
Ich hoffe, mit diesem Buch vielen Lesern die Angst vor dem Zufall zu nehmen,
und wünsche allen Schülerinnen und Schülern sowie allen Kolleginnen und Kollegen viel Erfolg im Unterricht.
Jens Helling
4
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mathematische Zeichen und Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
Daten darstellen und auswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
Erfassung und Darstellung von Daten . . . . . . .
Aufgaben der beschreibenden Statistik . . . . . . . . . . .
Grundbegriffe der beschreibenden Statistik . . . . . . . .
Systematische Erfassung und Aufbereitung von Daten
Grafische Darstellung des Zahlenmaterials . . . . . . . .
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.2.1
1.2.2.2
1.2.2.3
1.2.3
1.2.4
Kenngrößen einer Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Häufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lageparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetisches Mittel (Durchschnittswert, Mittelwert) . . . . .
Gewichtetes arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Offene Lernsituationen zu den Kenngrößen einer Stichprobe
.
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1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
Klassierung großer Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . .
Klassenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetisches Mittel klassierter Daten . . . . . . . . . . . . . . .
Varianz und Standardabweichung klassierter Daten . . . . . .
Offene Lernsituationen zur Klassierung großer Stichproben
.
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.
2
Mit dem Zufall rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1
2.1.1
2.1.2
Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2
2.2.1
2.2.2
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Laplace-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
Grundlegende Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . .
Mehrstufige Zufallsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Baumdiagramme und Pfadregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unabhängigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........... 9
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. 9
10
11
14
. . . . . 23
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23
26
26
28
31
47
57
. . . . . . 60
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60
61
63
65
78
78
79
85
91
97
5
Inhaltsverzeichnis
2.3.6
2.3.7
Bernoulli-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Offene Lernsituationen zur grundlegenden
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.4
Allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . 116
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswert der Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardabweichung und Streuungsintervall der Zufallsgröße . . .
Offene Lernsituationen zu allgemeinen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
117
121
126
132
2.5
Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.5.5
2.5.6
Einzelne und kumulierte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . .
Verhältniszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . .
Varianz und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen
Sigma-Regeln (Intervalle um den Erwartungswert) . . . . . . . . . . .
Offene Lernsituationen zur Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Normalverteilung
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
Dichte- und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation der Binomialverteilung
durch die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Offene Lernsituationen zur Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . .
3
Daten beurteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.1
Grundbegriffe der beurteilenden Statistik . . . . . . . . . . . . . 186
3.2
Idee der Vertrauensintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.3
Vertrauensintervalle zu konkreten
Vertrauenswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.4
Vertrauensintervalle zu beliebigen
Vertrauenswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.5
Offene Lernsituationen zu Vertrauensintervallen . . . . . . . 208
135
144
149
151
155
161
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
163
170
175
184
Anhang
앫
앫
앫
앫
Tabellen zur Binomialverteilung
Tabelle zur Normalverteilung . .
Formelsammlung . . . . . . . . . . .
GTR-Befehle . . . . . . . . . . . . . .
...
....
....
....
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210
217
219
223
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6
Mathematische Zeichen und Symbole
Mathematische Zeichen und Symbole
Zeichen,
Symbol
Sprechweise/Bedeutung
Beispiel
⫽
⬆
艐
gleich
ungleich
4⫽4
3⬆4
ist ungefähr gleich
⬍
⬎
ⱕ
ⱖ
ⱍⱍ
⬁
⇒
⇔
kleiner als
größer als
kleiner gleich
größer gleich
Betrag von
unendlich
daraus folgt
gilt genau dann, wenn ; ist äquivalent
mit
und
oder
冪2 艐 1,41
3⬍4
5⬎4
xⱕ3
xⱖ4
ⱍ ⫺3 ⱍ ⫽ 3
∧
∨
{1 ; 2 ; 3}
傼
傽
[a ; b ]
(a ; b )
[a ; b )
(a ; b ]
哫
n
p
q
xi
x
x̃
m
s
n ⫽ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} ⇒ 1僆n
2x ⫽ 4 ⇔ x ⫽ 2
Menge mit den Elementen 1, 2, 3
vereinigt, Vereinigungsmenge
geschnitten, Schnittmenge
geschlossenes Intervall (von einschließlich a bis einschließlich b )
offenes Intervall (von ausschließlich
a bis ausschließlich b )
halb offenes Intervall (von einschließlich a bis ausschließlich b )
A ⫽ {1 ; 2 ; 3}
{1; 2} 傼 {3; 4} ⫽ {1; 2; 3; 4}
{1; 2; 3} 傽 {2; 3; 4} ⫽ {2; 3}
halb offenes Intervall (von ausschließlich a bis einschließlich b )
wird zugeordnet
Stichprobenumfang
Wahrscheinlichkeit
Gegenwahrscheinlichkeit q ⫽ 1 ⫺ p
Merkmal xi
Arithmetisches Mittel, Mittelwert,
Durchschnittswert einer Zahlenreihe
Median, Zentralwert einer Zahlenreihe
Erwartungswert mü
Standardabweichung sigma
{x ⱍa ⬍ x ⱕ b }
{x ⱍa ⱕ x ⱕ b }
{x ⱍa ⬍ x ⬍ b }
{x ⱍa ⱕ x ⬍ b }
si 哫 x
n ⫽ 100
7
Mathematische Zeichen und Symbole
Zeichen,
Symbol
Sprechweise/Bedeutung
S
Summe
3
n
兺 xi
Summe aller xi von i ⫽ 1 bis i ⫽ n
i⫽1
冢k冣 ⫽ k! ⋅ (n ⫺ k)!
n!
Ereignis
nicht E
Wahrscheinlichkeit für Ereignis E
Ergebnis
Ergebnismenge
Fakultät
n über k (Binomialkoeffizient) n
Fakultät geteilt durch das Produkt
aus (n ⫺ k) Fakultät und k Fakultät
b
兰
a
8
兺x ⫽1⫹2⫹3⫽6
i
i⫽1
E
E
P (E)
ei
S
!
n
Beispiel
S ⫽ {e1 ; e2 ; e3 ; …; en}
3! ⫽ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⫽ 6
冢3冣 ⫽ 3! ⋅ (5 ⫺ 3)! ⫽ 10
5!
5
1
f (x) d x
Integral f von x d x von a bis b
兰x dx
2
0
1
Daten darstellen und
auswerten
1.1 Erfassung und Darstellung von Daten
1.1.1 Aufgaben der beschreibenden Statistik
Die beschreibende Statistik ist ein Teilgebiet der Stochastik. Mit den Methoden
der beschreibenden Statistik werden Daten erfasst, zusammengestellt, sortiert und
grafisch veranschaulicht. Da häufig große Datenmengen vorhanden sind, müssen
diese vor einer Auswertung aufbereitet werden. Die aufbereiteten Daten können
als Entscheidungshilfe dienen.
Als Daten werden in der Statistik alle Fakten bezeichnet, die durch Umfragen,
Erhebungen, Kontrollen, Auszählungen, Messungen oder Ähnliches zusammengestellt wurden. Dies können z. B.
앫 die Absatzzahlen eines Automobilkonzerns in einem bestimmten Zeitraum,
앫 die Arbeitslosenquoten in den verschiedenen Bundesländern,
앫 die Benzinpreise an jedem Tag des Jahres,
9
3
Daten beurteilen
3.1 Grundbegriffe der beurteilenden Statistik
Die wichtigsten Grundbegriffe der beurteilenden Statistik werden anhand eines
einfachen Beispiels erläutert. Die einzelnen Begriffe werden im Rahmen von
Beispielaufgaben aufgegriffen.
Beispiel
Eine Fast-Food-Kette möchte eine für die Produktionsmenge verwertbare Aussage darüber
treffen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
die Kunden in Hamburg einen neuen Burger
kaufen würden. An einem Konsumententest in
Hamburg nehmen daher zufällig ausgewählte
Kunden teil und werden nach einer Verkostung
zu ihrer Kaufbereitschaft befragt.
Die Gesamtheit aller Kunden in Hamburg wird als Grundgesamtheit bezeichnet.
Um ein absolut exaktes Ergebnis zu erhalten, müsste der Konzem alle Kunden
186
3.2 Idee der Vertrauensintervalle
befragen. Dies wäre eine Vollerhebung. Es wird allerdings nur ein Teil der Kunden befagt, daher spricht man von einer Teilerhebung. Da die Kunden zufällig
ausgewählt wurden, handelt es sich um eine Stichprobe. Die Anzahl der befragten Personen bezeichnet man als Stichprobenumfang. Wenn die Stichprobe die
gleichen Eigenschaften hat wie die Grundgesamtheit, also Essgewohnheiten, Einkommen etc., dann spricht man von einer repräsentativen Stichprobe.
3.2 Idee der Vertrauensintervalle
In der Realität werden Daten sehr häufig als (repräsentative) Stichproben erhoben,
die dann als Grundlage für Aussagen über die Grundgesamtheit herangezogen
werden. Das eigentliche Problem ist die sehr geringe Wahrscheinlichkeit, dass die
Ergebnisse von einer Stichprobe und der Grundgesamtheit exakt übereinstimmen.
Nehmen wir an, die Fast-Food-Kette würde jeden ihrer 50 000 Hamburger Kunden befragen. Es wäre nun möglich, dass genau 4 950 Kunden den neuen Burger
kaufen würden. Dies entspricht einer relativen Häufigkeit von
4 950
ni
⫽ 0,099 ⫽ 9,9 %.
h (xi) ⫽ ⫽
n 50 000
Nähme man stattdessen 10 repräsentative Stichproben mit einem Umfang von
jeweils 5 000 Personen, so könnten sich folgende relative Wahrscheinlichkeiten
ergeben.
Stichprobe
h (xi)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9,5 % 10,1 % 10 % 9,9 % 10,3 % 10,2 % 9,7 % 10,3 % 9,4 % 10,6 %
Die Tabelle zeigt, dass möglicherweise nur eine Stichprobe das identische Ergebnis liefert. Daher ist es nicht möglich, anhand einer Stichprobe eine genaue Aussage über die Grundgesamtheit zu treffen.
Mithilfe statistischer Überlegungen und Berechnungen ist es aber möglich,
anhand von Stichproben eine Bandbreite oder ein Intervall beliebiger Genauigkeit
festzulegen, in dem sich der Wert der Grundgesamtheit wahrscheinlich befindet.
Dieses Intervall wird als Vertrauens- oder Konfidenzintervall1) bezeichnet.
Nehmen wir an, der Fast-Food-Konzern hätte lediglich 5 000 Kunden befragt und
die Befragung hätte ergeben, dass 10 % den neuen Burger kaufen würden. Nun
könnten z. B. drei unterschiedliche Aussagen aufgestellt werden.
1. Der Anteil der Grundgesamtheit beträgt ebenfalls genau 10 %.
2. Der Anteil der Grundgesamtheit liegt zwischen 0 % und 100 %.
3. Der Anteil der Grundgesamtheit liegt zwischen 9 % und 11 %.
1)
von lateinisch confidere: vertrauen
187
3 Daten beurteilen
Die erste Aussage ist sehr unwahrscheinlich. Die zweite Aussage ist auf jeden
Fall richtig, aber wenig sinnvoll, da anhand dieser Zahlen nicht geplant werden
kann. Die dritte Aussage scheint brauchbar zu sein. Es fehlt jedoch eine Angabe
darüber, wie wahrscheinlich es ist, dass der Anteilswert der Grundgesamtheit
in diesem Intervall liegt. Diese Wahrscheinlichkeit wird als Sicherheits- oder
Vertrauenswahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass der
Anteilswert der Grundgesamtheit nicht in diesem Intervall liegt, heißt Irrtumswahrscheinlichkeit. Irrtumswahrscheinlichkeit und Vertrauenswahrscheinlichkeit ergeben zusammen immer 100 %.
Bei der ersten Aussage muss wegen des sehr kleinen Intervalls die Vertrauenswahrscheinlichkeit sehr gering und die Irrtumswahrscheinlichkeit im Gegenzug
sehr hoch sein, wie zur Tabelle überlegt wurde. Bei der zweiten Aussage hingegen ist es genau umgekehrt. Aus den vorangegangenen Überlegungen ergibt sich,
dass die Vertrauenswahrscheinlichkeit und Intervallbreite zusammenhängen.
Je breiter das Intervall, desto größer ist die Vertrauenswahrscheinlichkeit und
desto kleiner ist die Irrtumswahrscheinlichkeit.
Wie dicht der tatsächliche Wert der Grundgesamtheit an dem Stichprobenwert
liegt, hängt dabei ganz entscheidend vom Stichprobenumfang und dem Standardfehler, der Standardabweichung mehrerer Stichprobenergebnisse, ab. Es
gilt:
Je größer der Stichprobenumfang, desto unwahrscheinlicher ist es, dass der Stichprobenwert
weit vom Wert der Grundgesamtheit entfernt ist.
Je kleiner der Standardfehler ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass der Stichprobenwert
weit vom Wert der Grundgesamtheit entfernt ist.
Der Anteil der Grundgesamtheit wird häufig als „wahrer“ Anteil bezeichnet.
Ein angegebenes Vertrauensintervall lässt sich nur dann sinnvoll interpretieren,
wenn die dazugehörige Vertrauenswahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Grundgesamtheit in dem angegeben Intervall liegt, angegeben ist. Üblich sind Vertrauenswahrscheinlichkeiten von 90 %, 95 % und 99 %.
Es ist aber möglich, das Intervall für jede beliebige Vertrauenswahrscheinlichkeit
zu bestimmen.
3.3 Vertrauensintervalle zu konkreten
Vertrauenswahrscheinlichkeiten
Zu jedem Vertrauensintervall gehört eine Vertrauenswahrscheinlichkeit. Die nachfolgende Grafik ist bereits aus dem Kapitel 2.5.5 Sigma-Regeln bekannt. Sie
zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit
n ⫽ 100 und p ⫽ 0,5.
188
3.3 Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten
Es ist gut zu erkennen, dass in dem
Intervall [m ⫺ 3 s; m ⫹ 3 s] praktisch
alle für die Gesamtwahrscheinlichkeit
relevanten Einzelwahrscheinlichkeiten
enthalten sind. Die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Werte, die außerhalb des
Intervalls liegen, ist annähernd null.
Die Näherungen werden mit zunehmendem Stichprobenumfang n immer
besser. Neben den drei in der Grafik
gezeigten Sigma-Regeln werden häufig
die drei s-Umgebungen 1,64 s Ⳏ 90 %,
1,96 s Ⳏ 95 % und 2,58 s Ⳏ 99 % verwendet.
[μ−3σ; μ+3σ]
P(X=k)
[μ−2σ; μ+2σ]
[μ−σ; μ+σ]
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
25 30 35 40 45
50
μ
55 60 65 70 75 k
≈ 68%
≈ 95,5%
≈ 99,7%
Die Wahrscheinlichkeiten, die mit einer Sicherheit von 90 %, 95 % bzw. 99 % in
das dazugehörige Vertrauensintervall fallen, lassen sich mithilfe der nachfolgenden Formel berechnen.
ⱍp ⫺ hⱍ ⱕ c ⋅
冪
p ⫺ p2
X
mit h ⫽
n
n
Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines
Vertrauensintervall
Wobei c für die jeweilige Breite der Sigma-Umgebung steht:
90 % Ⳏ c ⫽ 1,64 oder 95 % Ⳏ c ⫽ 1,96 oder 99 % Ⳏ c ⫽ 2,58
Das Vertrauensintervall I lautet:
冤
冪
冪
冥
c2
c2
c2
h (1 ⫺ h) c2
h (1 ⫺ h)
⫹h⫺c⋅
⫹
⫹
h
⫹
c
⋅
⫹
2
2
2n
4n
n
2n
4n
n
I⫽
;
2
2
c
c
⫹1
⫹1
n
n
exakt bestimmtes Vertrauensintervall
Situation 1
In einem kunststoffverarbeitenden Betrieb werden rote und grüne Plastikeimer
produziert. Als Stichprobe werden der laufenden Produktion 100 Eimer entnommen. Genau die Hälfte dieser Eimer ist rot. Wie groß ist mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % der Anteil der roten Eimer in der Produktion?
189
3 Daten beurteilen
Algebraische Lösung
Zunächst wird die Zufallsgröße X: „Anzahl roter Eimer“ definiert. Die relative
Häufigkeit dafür, dass ein Eimer der Stichprobe rot ist, beträgt somit
X
50
h (xi) ⫽ h ⫽ ⫽
⫽ 0,5 ⫽ 50 %. Darüber hinaus werden der Erwartungswert
n 100
m und der Standardfehler, also die Standardabweichung der Stichprobe s, benötigt.
Für binomialverteilte Zufallsgrößen gilt m ⫽ n ⋅ p. Die Wahrscheinlichkeit p ist
in diesem Fall jedoch nicht bekannt. Nach dem empirischen Gesetz großer Zahlen1) nähert sich die relative Häufigkeit h mit steigendem Stichprobenumfang
jedoch immer weiter dem Wert von p an. Daher gilt für den Erwartungswert
m ⫽ n ⋅ h ⫽ 100 ⋅ 0,5 ⫽ 50. Für die Standardabweichung gilt dementsprechend
s ⫽ 冪n ⋅ h ⋅ (1 ⫺ h) ⫽ 冪100 ⋅ 0,5 ⋅ (1 ⫺ 0,5) ⫽ 5. Außerdem gehört zum 95 %Vertrauensintervall die 1,96 s-Umgebung.
Unterstellt man nun, dass der anhand der Stichprobe ermittelte Anteil von 50 %
dem wahren Anteil roter Eimer entspricht, so würde sich folgendes Histogramm
ergeben:
X
h= n
Ein Ergebnis von 50 roten Eimern ist
mit der Wahrscheinlichkeit von 50 %
vereinbar, da es im 1,96 s-Intervall
um den Erwartungswert liegt. Dies
bedeutet aber nicht, dass der Wert
der Stichprobe mit dem wahren Wert
der Grundgesamtheit übereinstimmen
muss.
[μ −1,96σ; μ +1,96σ]
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
25 30 35 40 45 5 0 55 60 65 70 75
X
μ = 50
X
h= n
[μ −1,96σ; μ +1,96σ]
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
25 30 35 40
45 50 55 60 65 70 75
μ = 41
1)
190
vgl. Seite 74
X
Gesucht sind nun alle Wahrscheinlichkeiten, bei denen der Erwartungswert
innerhalb des 1,96 s-Intervall liegt.
Verringert man die Wahrscheinlichkeit,
so verschiebt sich das Histogramm auf
der x-Achse nach links. Die geringste
Wahrscheinlichkeit, die mit der Stichprobe vereinbar ist, liegt bei 41 %, da
der ursprüngliche Erwartungswert
50 nun gerade noch „rechts im Intervall“ liegt.
3.3 Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten
Erhöht man die Wahrscheinlichkeit, so
verschiebt sich das Histogramm auf
der x-Achse nach rechts.
0,09
0,08
Die maximale Wahrscheinlichkeit, die
0,07
mit der Stichprobe vereinbar ist, liegt
0,06
0,05
bei 59 %, da der ursprüngliche
0,04
Erwartungswert 50 nun gerade noch
0,03
0,02
„links im Intervall“ liegt.
0,01
Das 95 %-Vertrauensintervall umfasst
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 X
μ = 59
somit alle Werte zwischen 41 % und
59 %. Der Anteil der roten Eimer in der Produktion beträgt daher mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zwischen 41 % und 59 %.
X
h= n
[μ −1,96σ; μ +1,96σ]
Das Problem lässt sich aber nicht nur grafisch, sondern auch algebraisch lösen.
Gesucht ist zunächst das Intervall [m ⫺ 1,96 s; m ⫹ 1,96 s] oder anders ausgedrückt m ⫺ 1,96 ⋅ s ⱕ X ⱕ m ⫹ 1,96 ⋅ s.
Wegen m ⫽ n ⋅ p und s ⫽ 冪n ⋅ p ⋅ (1 ⫺ p) gilt:
n ⋅ p ⫺ 1,96 ⋅ 冪n ⋅ p ⋅ q ⱕ X ⱕ n ⋅ p ⫹ 1,96 ⋅ 冪n ⋅ p ⋅ q
Durch einige Umformungen lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten, die in dem
Vertrauensintervall liegen, exakt bestimmen.
n ⋅ p ⫺ 1,96 ⋅ 冪n ⋅ p ⋅ q ⱕ X ⱕ n ⋅ p ⫹ 1,96 ⋅ 冪n ⋅ p ⋅ q
Der Anteil der StichX
probe ist , daher muss
n
durch n dividert werden.
p ⫺ 1,96 ⋅
冪n ⋅ p ⋅ (1 ⫺ p) X
冪n ⋅ p ⋅ (1 ⫺ p)
ⱕ ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅
n
n
n
X
entspricht der relativen
n
Häufigkeit h.
p ⫺ 1,96 ⋅
冪n ⋅ p ⋅ (1 ⫺ p)
冪n ⋅ p ⋅ (1 ⫺ p)
ⱕ h ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅
n
n
Im Zähler wird 冪n ausgeklammert.
冪n ⋅ 冪p ⋅ (1 ⫺ p)
冪n ⋅ 冪p ⋅ (1 ⫺ p)
ⱕ h ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅
n
n
n wird durch 冪n ⋅ 冪n
ersetzt, um kürzen zu können.
p ⫺ 1,96 ⋅
p ⫺ 1,96 ⋅
冪n ⋅ 冪p ⋅ (1 ⫺ p)
冪n ⋅ 冪n
p ⫺ 1,96 ⋅
冪p ⋅ (1 ⫺ p)
冪n
ⱕ h ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅
ⱕ h ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅
冪n ⋅ 冪n
冪p ⋅ (1 ⫺ p)
冪n
冪 n⫺
p p
p p
p ⫺ 1,96 ⋅
冪 ⫺n ⱕ h ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅ 冪 ⫺n
p ⫺ 1,96 ⋅
冪
冪n ⋅ 冪p ⋅ (1 ⫺ p)
p ⋅ (1 ⫺ p)
ⱕ h ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅
n
2
ⱍ p ⫺ h ⱍ ⱕ 1,96 ⋅
p ⋅ (1
2
冪
p ⫺ p2
n
p)
冪n kürzen.
Wurzelgesetz anwenden.
Die Klammer unter der
Wurzel ausmultiplizieren.
Als Ungleichung geschrieben ergibt sich:
Aus der Formel wird
ersichtlich, dass mit steigendem Stichprobenumfang n das Konfidenzintervall schmaler wird.
191
3 Daten beurteilen
50
X
⫽
⫽ 0,5 und n ⫽ 100 lassen sich nun die
n 100
Wahrscheinlichkeiten, die innerhalb des 95 %-Vertrauensintervall liegen, berechnen.
Durch einsetzen der Werte h ⫽
ⱍ p ⫺ 0,5 ⱍ ⱕ 1,96 ⋅
冪 100
p ⫺ p2
quadrieren
p ⫺ p2
100
100 (p ⫺ 0,5)2 ⱕ 1,962 ⋅ (p ⫺ p2)
100 (p2 ⫺ p ⫹ 0,25) ⱕ 3,8416 (p ⫺ p2)
100 p2 ⫺ 100 p ⫹ 25 ⱕ 3,8416 p ⫺ 3,8416 p2
103,8416 p2 ⫺ 103,8416 p ⫹ 25 ⱕ 0
p2 ⫺ p ⫹ 0,24075 ⱕ 0
(p ⫺ 0,5)2 ⱕ 1,962 ⋅
p
p1/2 ⫽ ⫺ ±
2
ⱍ ⋅ 100
Binomische Formel und quadrieren.
ausmultiplizieren
ⱍ ⫺ (3,8416 p ⫺ 3,8416 p2)
ⱍ ⬊ 103,8416
p-q-Formel
冪冢2冣 ⫺ q ⫽ ⫺ 2 ± 冪冢 2 冣 ⫺ 0,24075
p
⫺1
2
⫺1
2
p1 ⫽ 0,5 ⫺ 冪0,00925 艐 0,4038 ∧ p2 ⫽ 0,5 ⫹ 冪0,00925 艐 0,5962
p muss also Werte innerhalb des Intervalls [0,4038; 0,5962] annehmen, damit die
p ⫺ p2
Bedingung ⱍ p ⫺ 0,5 ⱍ ⱕ 1,96
erfüllt ist. Das Stichprobenergebnis
100
X
50
⫽
⫽ 0,5 ⫽ 50 % ist mit Anteilswerten der Grundgesamtheit zwischen
n 100
40,38 % und 59,62 % verträglich.
Der wahre Anteil roter Eimer liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zwischen 40,38 % und 59,62 %.
Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn das Vertrauensintervall direkt berechnet
wird.
冪
冤
冤
冪
冪
冥
c2
c2
c2
h (1 ⫺ h) c2
h (1 ⫺ h)
⫹
⫹
⫹h⫺c⋅
⫹h⫹c⋅
2
2n
4h
n
2n
4 n2
n
;
I⫽
c2
c2
⫹1
⫹1
n
n
冪
冪
1,962
1,962
1,962
0,5 ⋅ (1 ⫺ 0,5) 1,962
0,5 ⋅ (1 ⫺ 0,5)
⫹
⫹
⫹ 0,5 ⫺ 1,96 ⋅
⫹ 0,5 ⫹ 1,96 ⋅
2 ⋅ 100
4 ⋅ 1002
100
2 ⋅ 100
4 ⋅ 1002
100
;
I⫽
1,962
1,962
⫹1
⫹1
100
100
0,519208 ⫺ 1,96 ⋅ 冪0,00259604 0,519208 ⫹ 1,96 ⋅ 冪0,00259604
I⫽
;
1,038416
1,038416
I 艐 [0,4038; 0,5962]
冤
192
冥
冥
3.3 Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten
Rechnergestützte Lösung
Bestimmung exakter Vertrauensintervalle
Exakte Vertrauensintervalle lassen sich mit dem GTR mit zwei unterschiedlichen
grafischen Ansätzen lösen. Dem einen Ansatz liegt eine Parabel, dem anderen
eine Ellipse zu Grunde. Daher werden diese Ansätze häufig als Parabelansatz und
als Ellipsenansatz bezeichnet.
Zur Erläuterung der beiden Ansätze wird auf die Daten aus Situation 1 von
S. 189 zurückgegriffen.
Parabelansatz
Dafür wird die auf Seite 191 hergeleitete Formel in eine quadratische Ungleichung umgeformt.
p ⫺ p2
| quadrieren
ⱍ p ⫺ 0,5 ⱍ ⱕ 1,96 ⋅
100
p ⫺ p2
(p ⫺ 0,5)2 ⱕ 1,962 ⋅
| ⋅ 100
100
| ⫺ 1,962 ⋅ (p ⫺ p2)
100 (p ⫺ 0,5)2 ⱕ 1,962 ⋅ (p ⫺ p2)
冪
100 (p ⫺ 0,5)2 ⫺ 1,962 ⋅ (p ⫺ p2) ⱕ 0
Der Graph des Terms ist eine nach oben geöffnete Parabel. Es werden die Funktionswerte (Wahrscheinlichkeiten) gesucht, die kleiner oder gleich null sind. Zwischen den Nullstellen sind die Funktionswerte kleiner als null, da der Graph
unterhalb der Abszissenachse verläuft.
f (p)
1
VI = [p1; p2]
p
p1 ≈ 0,4
–1
p1 ≈ 0,6
f (p) = 100 (p – 0,5)2 – 1,962 (p – p2)
Daher bilden die beiden Nullstellen des Graphen die linke und rechte Grenze des
Vertrauensintervalls. Die Nullstellen lassen sich nun mithilfe des GTR bestimmen.
Zunächst wird der durch Umformung entstandene Term in den Y-Editor eingegeben.
GTR
193
3 Daten beurteilen
Anschließend lassen sich durch 2nd [CALC]
2:zero die beiden Nullstellen berechnen.
Cursor erst links der Nullstelle setzen, ENTER ,
dann rechts der Nullstelle, ENTER , ENTER .
Die zweite Nullstelle wird dementsprechend
bestimmt.
Allgemein gilt:
VI ⫽ [p1 ; p2] mit p1; 2 ⇔ f (p) ⫽ n (p ⫺ h)2 ⫺ c2 (p ⫺ p2) ⱕ 0 und h ⫽
X
n
Vertrauensintervall mit Parabelansatz
Wobei c für die jeweilige Breite der Sigma-Umgebung steht.
Ellipsenansatz
Im Gegensatz zum Parabelansatz wird die auf Seite 191 hergeleitete Formel nicht
in eine quadratische Ungleichung umgeformt, sondern der vorangegangene
p ⫺ p2
p ⫺ p2
in zwei Teilgleichunⱕ h ⱕ p ⫹ 1,96 ⋅
Schritt p ⫺ 1,96 ⋅
100
100
gen zerlegt:
冢
冪
h ⫽ p ⫺ 1,96 ⋅
冪
冪
p ⫺ p2
100
冣
h ⫽ p ⫹ 1,96 ⋅
冪
p ⫺ p2
100
In Situation 1 auf Seite 189 lag der relative Anteil roter Eimer bei 50 %, daher
ist h ⫽ 50 %. Somit ergibt sich in diesem Fall:
0,5 ⫽ p ⫺ 1,96 ⋅
冪
p ⫺ p2
100
0,5 ⫽ p ⫹ 1,96 ⋅
冪
p ⫺ p2
100
Die Graphen des blauen und roten Terms bilden dann jeweils den oberen oder
unteren Teil einer Ellipse. Die in der Stichprobe ermittelte relative Häufigkeit
wird zusätzlich als waagerechte Gerade in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Die Schnittstellen dieser Geraden mit der Ellipse bilden die linke und die rechte
Grenze des Vertrauensintervalls.
194
3.3 Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten
h
h1 (p) = p + 196 ·
p – p2
100
VI = [p1; p2]
h = 0,5
p1 ≈ 0,4
p1 ≈ 0,6
h1 (p) = p – 196 ·
p – p2
100
p
1
Die Intervallgrenzen lassen sich nun mithilfe des GTR bestimmen.
Zunächst müssen die beiden Terme
p ⫺ p2
p ⫺ p2
p ⫹ 1,96 ⋅
und p ⫺ 1,96 ⋅
so100
100
wie 0,5 in den Y-Editor eingegeben werden.
冪
冪
GTR
Anschließend lassen sich durch 2nd [CALC] 5:
intersect die beiden Schnittstellen berechnen.
Mit dem Cursor die „obere Ellipsenhälfte“ auswählen, ENTER , dann die Gerade, ENTER ,
ENTER . Die zweite Schnittstelle wird dementsprechend bestimmt.
Allgemein gilt:
冪 und h ⫽ X
n
p⫺p
p ⇔h⫽p⫺c⋅
冪 n
p1 ⇔ h ⫽ p ⫹ c ⋅
VI ⫽ [p1 ; p2] mit
p ⫺ p2
n
2
2
Vertrauensintervall mit Ellipsenansatz
195
3 Daten beurteilen
Näherungsweise bestimmte Vertrauensintervalle
Sowohl die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, die innerhalb des Vertrauensintervalls liegen, als auch die direkte Berechnung des Vertrauensintervalls sind
relativ aufwendig. Daher bedient man sich bei großen Stichproben oder relativen
Häufigkeiten die nahe von 0,5 liegen einer Näherung. Das Vertrauensintervall
lässt sich dann direkt angeben.
冤
VI ⫽ h ⫺ c ⋅
冪
h ⫺ h2
;h⫹c⋅
n
冪
h ⫺ h2
n
冥
näherungsweise bestimmtes Vertrauensintervall
Die Näherung liefert für brauchbare Werte für n ⱖ 1 000. Bei kleineren Stichproben ist die Näherung nur geeignet, wenn 0,3 ⱕ h ⱕ 0,7 gilt.
Situation 2
Durch Marktanalysen ist bekannt, dass eine Fast-Food-Kette in Hamburg 50 000
Kunden hat. Mit einer groß angelegten Werbekampagne soll ein neuer Burger
eingeführt werden. Um die Produktionsmenge zu bestimmen, wurden daher im
Vorfeld 5 000 zufällig ausgewählte Kunden einem Konsumententest unterzogen.
500 von ihnen gaben an, den neuen Burger kaufen zu wollen. Anhand dieser
Stichprobe soll festgelegt werden, wie viele Burger für 50 000 Kunden produziert
werden müssen. Die Geschäftsführung möchte nur sehr ungern kaufwillige Kunden nicht bedienen können und plant mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit
von 99 %.
Berechnen Sie exakt und näherungsweise, wie viele Burger für 50 000 Kunden
produziert werden sollten.
Algebraische Lösung
Gesucht ist das 99 %-Vertrauensintervall. Die dazugehörige Breite der SigmaUmgebung ist 2,58. Der Stichprobenumfang beträgt 5 000 Personen. Das StichX
500
probenergebnis ist ⫽
⫽ 0,1.
n 5 000
Durch Einsetzen in die jeweiligen Formeln ergibt sich:
Exakte Lösung
冪 ⫺n
p p
ⱍ p ⫺ 0,1 ⱍ ⱕ 2,58 ⋅
冪 5⫺000
ⱍ p ⫺ h ⱍ ⱕ 2,58 ⋅
p
p2
2
5 000 ⋅ (p ⫺ 0,1)2 ⱕ 6,6564 (p ⫺ p2)
5 000 p2 ⫺ 1 000 p ⫹ 50 ⱕ 6,6564 p ⫺ 6,6564 p2
5 006,6564 p2 ⫺ 1 006,6564 p ⫹ 50 ⱕ 0
Näherungs-Lösung
冤
VI ⫽ h ⫺ c ⋅
冤
冪
h ⫺ h2
;h⫹c⋅
n
VI ⫽ 0,1 ⫺ 2,58 ⋅
冪
196
h ⫺ h2
n
冥
0,1 ⫺ 0,01
;
5 000
0,1 ⫹ 2,58 ⋅
冪
0,1 ⫺ 0,01
5 000
VI ⫽ [0,1 ⫺ 0,0109; 0,1 ⫹ 0,0109]
p1 艐 0,0896 und
p2 艐 0,1115
VI ⫽ [0,0896; 0,1115]
冪
VI ⫽ [0,0891; 0,1109]
冥
3.3 Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten
In beiden Fällen liegt der wahre Anteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 %
zwischen ca. 9 % und ca. 11 %. Da die Anzahl der Burger gesucht war, müssen
diese Werte noch mit der Anzahl der Kunden multipliziert werden.
p1 ⋅ n ⫽ 0,0896 ⋅ 50 000 ⫽ 4 480
p2 ⋅ n ⫽ 0,1115 ⋅ 50 000 ⫽ 5 575
Das Unternehmen sollte aufgrund
des Stichprobenergebnisses 5 575
Burger produzieren.
p1 ⋅ n ⫽ 0,0891 ⋅ 50 000 ⫽ 4 455
p2 ⋅ n ⫽ 0,1109 ⋅ 50 000 ⫽ 5 545
Das Unternehmen sollte aufgrund
des Stichprobenergebnisses 5 545
Burger produzieren.
Die Abweichung beträgt in diesem Fall lediglich 30 Burger oder ca. 0,5 %.
Rechnergestützte Lösung
Exakte Lösung
GTR
Zunächst wird der Term
(p ⫺ p2)
(p ⫺ 0,1)2 ⫺ 2,582 ⋅
benötigt und in den
5 000
Y-Editor eingegeben.
Anschließend lassen sich durch 2nd [CALC]
2:zero die beiden Nullstellen berechnen.
Cursor erst links der Nullstelle setzen, ENTER
dann rechts der Nullstelle, ENTER , ENTER .
Die zweite Nullstelle wird dementsprechend bestimmt.
Näherungsweise Lösung
Die Formel zur näherungsweisen Bestimmung
des Vertrauenintervalls ist bereits vorhanden.
Zunächst mit STAT [TESTS] A:1-PropZInt
ENTER das Vertrauensintervall auswählen.
197
3 Daten beurteilen
Anschließend die entsprechenden Werte mit
ENTER eingeben. Dabei steht x für das absolute
Ergebnis der Stichprobe, n für den Stichprobenumfang und C-Level für die Vertrauenswahrscheinlichkeit.
ENTER liefert das Vertrauensintervall.
Situation 3
Ein Medikamentenhersteller hat zwei neue Schmerzmittel entwickelt, die unter
den Namen Abinol und Brasitin vermarktet werden sollen. Abinol ist bereits
zugelassen, für Brasitin steht die Zulassung noch aus. Im Rahmen einer Studie
soll die besonders schnelle Wirksamkeit beider Medikamente belegt werden.
Daher werden 1 550 Schmerzpatienten mit den Medikamenten therapiert.
Abinol
Zeit seit
der Einnahme
Brasitin
15 min 20 min
schmerzfrei
837
1 347
nicht schmerzfrei
663
153
Zeit seit
der Einnahme
15 min 20 min
schmerzfrei
240
470
nicht schmerzfrei
260
30
a) Bestimmen Sie mit dem GTR, wie viele von jährlich 100 000 Patienten nach
der Einnahme von Abinol mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % innerhalb
von 20 Minuten schmerzfrei sein werden.
b) Bestimmen Sie mit dem GTR, wie viel Prozent aller Patienten nach der Einnahme von Brasitin mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % innerhalb einer
Viertelstunde schmerzfrei sein werden.
GTR
198
Rechnergestützte Lösung
Bei dem Medikament Abinol beträgt der Stichprobenumfang 1500 Personen.
Daher kann mit der Näherung gerechnet werden. Bei Brasitin ist der Umfang mit
50 Personen zu gering und die relative Häufigkeit liegt nicht im Bereich
0,3 ⱕ h ⱕ 0,7.
3.3 Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten
a)
Abinol
冤
VI ⫽ h ⫺ c ⋅
h⫽
冪
h ⫺ h2
;h⫹c⋅
n
b)
冪
h ⫺ h2
n
冥
X 1 347
⫽
⫽ 0,898
n 1 500
Der GTR liefert:
Brasitin
Parabelansatz1) gewählt:
n (p ⫺ h)2 ⫺ c2 (p ⫺ p2) ⱕ 0
X 39
h ⫽ ⫽ ⫽ 0,78
n 50
95 % Ⳏ c ⫽ 1,96
Der GTR liefert:
VI ⫽ [0,885; 0,911]
Gesucht war die Anzahl der Personen. Daher müssen die Intervallgrenzen noch mit der Anzahl der Personen multipliziert werden.
0,885 ⋅ 100 000 ⫽ 88 500
0,911 ⋅ 100 000 ⫽ 91 100
Mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 % werden zwischen 88500 und
91 199 Personen nach der Einnahme
von Abinol innerhalb von 20 Minuten schmerzfrei sein.
1)
VI 艐 [0,648; 0,872]
Mit einer Wahrscheinlichkeit von
95 % werden zwischen 64,8 % und
87,2 % aller Personen nach der Einnahme von Brasitin innerhalb von
20 Minuten schmerzfrei sein.
Vgl. S. 193 f.
199
3 Daten beurteilen
Übungsaufgaben
1 Berechnen Sie das 90 %-Vertrauensintervall, wenn eine Stichprobe unter 250
Hochschulabsolventen ergeben hat, dass 25 von ihnen arbeitslos sind.
2 Während einer Kontrolle auf der Autobahn wird die Geschwindigkeit von 1 200
Fahrzeugen gemessen. Von ihnen überschritten 140 die erlaubte Höchstgeschwindigkeit. Wie hoch ist mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % der wahre
Anteil der Geschwindigkeitsübertretungen?
3 Wie breit ist das 99 %-Vertrauensintervall, wenn in einem Industriebetrieb der
Ausschussanteil einer 75 Stück umfassenden Stichprobe 7 % beträgt?
4 In einer Großbäckerei wird Mehl in Säcken mit einem Sollgewicht von 25 kg
angeliefert. Bei der Eingangskontrolle wurden im vergangenen Monat 1 500
Säcke gewogen. Jeder zwanzigste Sack entsprach nicht dem Sollgewicht. Wie
hoch ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % der wahre Anteil aller im Jahr
angelieferten Mehlsäcke, bei denen das Gewicht vom Sollgewicht abweicht?
5 Um festzustellen, wie hoch der Anteil an Schwarzfahrern auf einer bestimmten
Strecke ist, führt ein Bahnbetreiber eine Woche lang sehr genaue Kontrollen
durch. Der Zug hat pro Tag eine maximale Kapazität von 500 Personen.
Tag
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Sa
So
Auslastung
45 %
52 %
76 %
48 %
75 %
84 %
68 %
3
5
2
4
6
6
3
Schwarzfahrer
Wie hoch ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % der wahre Anteil der
Schwarzfahrer auf dieser Strecke?
6 Ein Lebensmittelkonzem stellt jeden Tag aus zwei Tonnen Obst Fruchtgrütze her.
Die Qualitätskontrolle prüft 5 % jeder Fruchtsorte. Um zu Grütze verarbeitet werden zu können, müssen diese mindestens der HK II entsprechen.
Fruchtanteile
25%
HK I HK II HK III
■ Erdbeeren
■ Himbeeren
50%
15%
■ Brombeeren
■ Birnen
Erdbeeren
60 %
30 %
10 %
Himbeeren
55 %
37 %
8%
Brombeeren
40 %
53 %
7%
Birnen
70 %
26 %
4%
10%
Berechnen Sie anhand der Daten, wie hoch der Ausschussanteil roter Früchte mit
einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 99 % ist.
200
3.4 Vertrauensintervalle zu beliebigen Vertrauenswahrscheinlichkeiten
3.4 Vertrauensintervalle zu beliebigen
Vertrauenswahrscheinlichkeiten
Bisher wurden Vertrauensintervalle nur zu den gegebenen Vertrauenswahrscheinlichkeiten 90 %, 95 % und 99 % berechnet, da die dazugehörigen Sigma-Umgebungen bekannt waren. Mit der Standardnormalverteilung ist es jedoch auch
möglich, ein Vertrauensintervall mit beliebiger Vertrauenswahrscheinlichkeit zu
berechnen.
ⱍp ⫺ hⱍ ⱕ c ⋅
冪
p ⫺ p2
X
mit h ⫽
n
n
Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines beliebigen
Vertrauensintervalls
1
2p
⋅e
1 2
z
2
dz
0,40
v (z)
1
1
v (z)
2p
⋅e
1 2
z
2
0,30
0,20
0,10
−3
1,96
1,96
−2
1
2p
⋅e
ⱍp ⫺ hⱍ ⱕ 3 ⋅
−1
1 2
z
2
dz
0,40
0
1
2
1
2p
0,30
1 2
z
2
⋅e
−1,96
冪
p ⫺ p2
erfüllen.
n
α
2
0,10
−1
Aus Abschnitt 3.1.3 ist bekannt, dass
in das 95 % Vertrauensintervall alle
Wahrscheinlichkeiten fallen, die die
Ungleichung
ⱍ p ⫺ h ⱍ ⱕ 1,96 ⋅
0,20
−3
冪
p ⫺ p2
erfüllen.
n
z
3
v (z)
0,95
v (z)
α
2
Die Fläche unter der Dichtefunktion
der
Standardnormalverteilung
beträgt 1. Im Intervall [⫺3; 3] liegen
bereits annähernd 100 % aller Werte.
Das 100 % Vertrauensintervall enthält
somit nahezu alle Wahrscheinlichkeiten, die die Ungleichung
0
1
1,96
3
z
Bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % beträgt die Irrtumswahrscheinlichkeit a 5 % und ist aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung in
zwei Hälften unterteilt.
201
3 Daten beurteilen
a 5 % 0,05
⫽
⫽
⫽ 0,025 ⫽ 2,5 %. Das dazugehörige Intervall ist eben2
2
2
falls symmetrisch.
Somit ist
Die rote Fläche unterhalb des Graphen entspricht der Vertrauenswahrscheinlichkeit des Vertrauensintervalls P (VI) und lässt sich mithilfe der Formel
P (VI) ⫽
1,96
1
冪2 p
⋅
兰
e
1
⫺ z2
2 dz
berechnen. Es gilt:
⫺1,96
V (1,96) ⫺ V (⫺1,96) ⫽ V (1,96) ⫺ 冢1 ⫺ V (1,96)冣 ⫽ 0,975 ⫺ (1 ⫺ 0,975) ⫽ 0,95
oder allgemein
V (z) ⫺ V (⫺z) ⫽ V (z) ⫺ 冢1 ⫺ V(z)冣
Ist der Wert für z nicht bekannt, lässt er sich durch einige Umformungen für jede
beliebige Verrauenswahrscheinlichkeit berechnen.
Vertrauenswahrscheinlichkeit 95 %
Vertrauenswahrscheinlichkeit 93 %
V (z) ⫺ V (⫺z) ⫽ 0,96
V (z) ⫺ 冢1 ⫺ V (z)冣 ⫽ 0,95
ausmultiplizieren
V (z) ⫺ V (⫺z) ⫽ 0,93
V (z) ⫺ 冢1 ⫺ V (z)冣 ⫽ 0,93
V (z) ⫺ 1 ⫹ V (z) ⫽ 0,95
2 V (z) ⫺ 1 ⫽ 0,95
2 V (z) ⫽ 1,95
V (z) ⫽ 0,975
z 艐 1,96
zusammenfassen
1 addieren
durch 2 dividieren
Wert mit Tabelle oder
GTR bestimmen
V (z) ⫺ 1 ⫹ V (z) ⫽ 0,93
2 V (z) ⫺ 1 ⫽ 0,93
2 V (z) ⫽ 1,93
V (z) ⫽ 0,965
z 艐 1,81
Bestimmung von z mit der Tabelle
z
0,0
202
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359
0,1
5398
5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753
…
…
1,7
9554
9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633
1,8
9641
9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706
1,9
9713
9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767
2,0
9772
9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 9812 9817
…
…
3,8
9999
3,9
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3.4 Vertrauensintervalle zu beliebigen Vertrauenswahrscheinlichkeiten
Bestimmung von z mit dem GTR
Zunächst im Hauptbildschirm mit 2nd [DISTR]
3:invNorm( den entsprechenden Befehl auswählen.
Nun den Wert für V (z)
eingeben und mit ) die
Eingabe beenden.
ENTER liefert das gewünschte Ergebnis.
Situation 1
In einem Industriebetrieb werden Energiesparlampen produziert. Jede Energiesparlampe wird vor dem Verpacken auf Funktionstüchtigkeit überprüft. Ein Mitarbeiter schaut nach einer Produktionsmenge von 1 500 Stück auf den Kontrollmonitor und liest ab, dass 6 % aller bisher kontrollierten Lampen defekt sind.
Bestimmen Sie mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 98 % den wahren
Anteil defekter Energiesparlampen.
Algebraische Lösung
Zunächst muss die zur Vertrauenswahrscheinlichkeit von 98 % gehörige SigmaUmgebung bestimmt werden. Da es sich um ein symmetrisches Intervall handelt gilt:
2 V (z) ⫺ 1 ⫽ 0,98 ⇔ V (z) ⫽ 0,99 ⇒ z 艐 2,33
Da die Stichprobe ausreichend groß ist, kann das Vertrauensintervall näherungsweise bestimmt werden.
冤
VI ⫽ h ⫺ c ⋅
冤
冪
h ⫺ h2
;h⫹c⋅
n
VI ⫽ 0,06 ⫺ 2,33 ⋅
冪
VI 艐 [0,0457; 0,0743]
冪
h ⫺ h2
n
冥
0,06 ⫺ 0,062
; 0,06 ⫹ 2,33 ⋅
1 500
冪
冥
0,06 ⫺ 0,062
1 500
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % liegt der wahre Anteil defekter Energiesparlampen zwischen 4,57 % und 7,43 %.
Rechnergestützte Lösung
Das Vertrauensintervall kann ohne vorherige Bestimmung der Breite der SigmaUmgebung berechnet werden. Dabei kann die Berechnung der Anzahl defekter
Energiesparlampen direkt im Eingabefenster durchgeführt werden.
GTR
Anhang 23
203
3 Daten beurteilen
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % liegt der wahre Anteil defekter Energiesparlampen zwischen 4,57 % und 7,43 %.
Situation 2
Von insgesamt 20 000 Mitarbeitern eines Automobilkonzerns in Deutschland
wurden 10 % befragt, ob sie eine Risikolebensversicherung haben. Von den
befragten Personen waren 3 % Auszubildende. 860 Mitarbeiter, davon 12 Auszubilden, gaben an, solch eine Versicherung abgeschlossen zu haben.
a) Bestimmen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 15 %, wie viele aller
Mitarbeiter eine Risikolebensversicherung abgeschlossen haben.
b) Bestimmen Sie mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 97 % den wahren
Anteil der Auszubildenden mit einer Risikolebensversicherung.
Algebraische Lösung
Zunächst müssen die zu den Vertrauenswahrscheinlichkeiten gehörigen Breite der
Sigma-Umgebungen bestimmt werden.
a) alle Mitarbeiter
2 V (z) ⫺ 1 ⫽ 0,85
⇔ V (z) ⫽ 0,925 ⇒ z 艐 1,44
b) Auszubildende
2 V (z) ⫺ 1 ⫽ 0,97
⇔ V (z) ⫽ 0,985 ⇒ z 艐 2,17
Von den insgesamt 20 000 Mitarbeitern wurden 10 %, also 2 000 Mitarbeiter, gefragt, daher kann auf das
Vertrauensintervall näherungsweise
bestimmt werden.
Von den 2 000 befragten Mitarbeitem waren 3 %, also 60 Personen,
Auszubildende. Der Stichprobenumfang ist zu gering, um das Vertrauensintervall näherungsweise bestimmen zu können.
冤
VI ⫽ h ⫺ c ⋅
204
冪
h ⫺ h2
;h⫹c⋅
n
冪
h ⫺ h2
n
冥
ⱍp ⫺ hⱍ ⱕ c ⋅
冪
p ⫺ p2
100
3.4 Vertrauensintervalle zu beliebigen Vertrauenswahrscheinlichkeiten
a) alle Mitarbeiter
2 V (z) ⫺ 1 ⫽ 0,85
⇔ V (z) ⫽ 0,925 ⇒ z 艐 1,44
b) Auszubildende
2 V (z) ⫺ 1 ⫽ 0,97
⇔ V (z) ⫽ 0,985 ⇒ z 艐 2,17
860 der 2 000 Befragten gaben
an, eine Risikolebensversicherung abgeschlossen zu haben.
X
860
h⫽ ⫽
⫽ 0,43
n 2 000
linke Grenze:
0,43 ⫺ 0,432
0,43 ⫺ 1,44 ⋅
2 000
rechte Grenze:
0,43 ⫺ 0,432
0,43 ⫹ 1,44 ⋅
2 000
VI 艐 [0,4141; 0,4459]
12 der 60 Auszubildenden gaben an, eine
Risikolebensversicherung abgeschlossen
zu haben.
X 12
h⫽ ⫽
⫽ 0,2
n 60
冪
p ⫺ p2
100
p
p2
⫺
(p ⫺ 0,2)2 ⱕ 2,172 ⋅
100
冪
ⱍ p ⫺ 0,2 ⱍ ⱕ 2,17 ⋅
冪
100 ⋅ (p2 ⫺ 0,4 p ⫹ 0,04) ⱕ 4,7089 p ⫺ 4,7089 p2
Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 15 % haben zwischen 41,41 % und 44,59 % aller Mitarbeiter eine Risikolebensversicherung.
100 p2 ⫺ 40 p ⫹ 4 ⱕ 4,7089 p ⫺ 4,7089 p2
104,7089 p2 ⫺ 44,7089 p ⫹ 4 ⱕ 0
p2 ⫺ 0,427 p ⫹ 0,038 ⱕ 0
p-q-Formel liefert:
p1 艐 0,1264
p2 艐 0,3006
VI 艐 [0,1264; 0,3006]
Mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit
von 97 % haben zwischen 12,64 % und
30,06 % aller Auszubildenden eine Risikolebensversicherung.
205
3 Daten beurteilen
GTR
Rechnergestützte Lösung
a) alle Mitarbeiter
Das Vertrauensintervall kann ohne
vorherige Bestimmung der SigmaUmgebung berechnet werden.
b) Auszubildende
Der Stichprobenumfang ist zu gering, um das Vertrauensintervall näherungsweise bestimmen zu können.
冪
p ⫺ p2
100
p
⫺ p2
(p ⫺ 0,2)2 ⱕ 2,172 ⋅
100
ⱍ p ⫺ 0,2 ⱍ ⱕ 2,17 ⋅
VI 艐 [0,4141; 0,4459]
Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit
von 15 % haben zwischen 41,41 %
und 44,59 % aller Mitarbeiter eine
Risikolebensversicherung.
VI 艐 [0,1276; 0,2994]
Mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 97 % haben zwischen
12,76 % und 29,94 % aller Auszubildenden eine Risikolebensversicherung.
Hinweis: Die Abweichungen zur algebraischen Lösung sind auf Rundungsdifferenzen zurückzuführen.
206
3.4 Vertrauensintervalle zu beliebigen Vertrauenswahrscheinlichkeiten
Übungsaufgaben
1 Der Betreiber eines Möbelgeschäftes überlegt, eine Raucherzone einzurichten.
Bei einer Befragung von 1 500 Kunden stimmten 250 für die Raucherzone.
Bestimmen Sie mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 98 %, wie hoch der
wahre Anteil der Kunden ist, die eine Rauchzone befürworten.
2 Der Betreiber eines Schnellrestaurants hat einen Vertrag mit einem Fußballverein
geschlossen. In dem Stadion soll eine kleine Filiale eröffnet werden, in der Bratwurst, Currywurst und Pommes frites angeboten werden. Aus den Aufzeichnungen des Restaurantbetreibers geht hervor, dass bei den letzten 2 000 Gästen der
Anteil der Gäste, die Currywurst bestellten, bei 35 % lag. 65 % aller Gäste, die
Currywurst aßen, bestellten dazu Pommes frites.
In welchem Rahmen wird sich die Anzahl der verkauften Currywürste mit Pommes frites mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 2,5 % bewegen, wenn zu dem
ersten Fußballspiel 45 000 Gäste erwartet werden und jeder Vierte zum Imbiss
geht?
3 Ein Hotel verfügt über 250 Betten, die im letzten Jahr zu 60 % ausgelastet waren.
Ein Meinungsforschungsinstitut führte im Auftrag eines Hotels in demselben Jahr
eine Kundenzufriedenheitsstudie mit 4 % aller Gäste durch und fand heraus, dass
es 438 Reklamationen gab. Das Meinungsforschungsinstitut behauptet nun, dass
der wahre Anteil der Reklamationen zwischen 18 % und 22 % liegt. Welche Vertrauenswahrscheinlichkeit liegt dieser Aussage zu Grunde?
4 Ein Pharmakonzern hat im Rahmen einer Langzeitstudie einen neuen Wirkstoff
an 1 200 Patienten getestet. Ein Fünfzehntel von ihnen klagte nach der Einnahme
über Kopfschmerzen. Der Pharmakonzern gibt deshalb in einer Produktinformation für Ärzte an, dass der Anteil der Patienten, die nach der Einnahme über
Kopfschmerzen klagen, zwischen 5,4825 % und 7,851 % liegt. Geben Sie die
dazugehörige Vertrauenswahrscheinlichkeit an.
5 Bei einem Versicherungsunternehmen werden pro Jahr 200 Risikolebensversicherungen mit einem Versicherungswert von durchschnittlich 150 000,00 EUR abgeschlossen. Eine Stichprobe ergab, dass bei 60 von 1 500 Versicherungen ausgezahlt wurde. Die Versicherung kalkuliert anhand dieser Werte mit einer jährlichen
Auszahlungssumme zwischen 900 000,00 EUR und 1 500 000,00 EUR. Bestimmen Sie die Vertrauenswahrscheinlichkeit, mit der diese Behauptung aufgestellt
wurde.
6 Ein Unternehmen veranstaltet ein Gewinnspiel. Darum werden an 90 000 Haushalte Werbebriefe mit Quizfragen verschickt. Erfahrungsgemäß beträgt die Rücklaufquote 18 %. Die Teilnehmer gewinnen einen Einkaufsgutschein in Höhe von
250,00 EUR, wenn sie alle Fragen richtig beantworten. Bisher wurden 5 187 Fragebögen eingereicht und insgesamt Gutscheine im Wert von 259 000,00 EUR
verschickt. Das Unternehmen kalkuliert für das gesamte Gewinnspiel mit Gutscheinen zwischen 769 500,00 EUR und 850 500,00 EUR. Bestimmen Sie die zu
Grunde liegende Vertrauenswahrscheinlichkeit.
207
3 Daten beurteilen
3.5 Offene Lernsituationen zu
Vertrauensintervallen
Die folgenden Situationen sollen Sie mit den Ihnen zur Verfügung stehenden
Rechnern bearbeiten. Besonders wichtig ist die Interpretation Ihrer Ergebnisse.
Situation 1
Kurz nach der Schließung der Wahllokale sind bereits 2 000 Stimmen ausgezählt.
121 der ausgezählten Stimmen wurden für eine kleine Außenseiterpartei abgegeben. Auf einer Pressekonferenz wird der Sprecher einer großen Volkspartei
gefragt, was er von der neuen Oppositionspartei hält. Der Pressesprecher antwortet: „Ich glaube nicht, dass wir im Bundestag noch eine Partei benötigen. Darüber
hinaus halte ich es für einen großen Zufall, dass die Partei bislang mehr als 5 %
der Stimmen erhalten hat. Sie wird ganz sicher an der 5 %-Hürde scheitern!“ Der
Pressesprecher der kleinen Partei ist anderer Meinung und behauptet: „Ich bin
mir zu 95 % sicher, dass wir den Einzug in den Bundestag schaffen werden!“
Welchem der beiden Parteisprecher ist mehr Vertrauen zu schenken?
Situation 2
In einem großen Industrieunternehmen wird ein Roboter zur Montage von Kettensägen eingesetzt. Nach der Montage wird jede der vollautomatisch montierten
Sägen manuell auf Funktionstüchtigkeit überprüft. In 1,5 % aller Fälle funktionieren die Sägen nicht. Als Leiter der Qualitätssicherung sind Sie aufgrund des
relativ hohen Ausschussanteils für die Anschaffung eines neuen Roboters. Ihr
Wunschmodell wird im Unternehmen bereits zur Montage von Stichsägen eingesetzt. Die Aufzeichnungen der letzten Monate ergaben, dass von 15 000 produzierten Stichsägen lediglich 120 nicht funktionstüchtig waren. Die Geschäftsleitung stimmt der Investition allerdings nur dann zu, wenn die Ausschussquote des
neuen Roboters mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % um 25 % geringer ist als
bei dem alten Roboter.
Überzeugen Sie die Geschäftsleitung von der Investition.
Situation 3
Ein Internetversandhändler ist auf der Suche nach einem neuen Paketdienst. Zur
Wahl stehen die Unternehmen OBS und LTH. Beide Unternehmen werben damit,
dass sie besonders zuverlässig sind. Nach Telefongesprächen mit den beiden
Anbietern ist bekannt, dass OBS in der vergangenen Woche 50 000 Pakete ausgeliefert hat, von denen lediglich 350 nicht in der vorgegebenen Zeit zugestellt
werden konnten. Der Anbieter behauptet daher, dass lediglich zwischen 0,657 %
und 0,743 % aller Pakete zu spät beim Kunden ankommen. Bei LTH kamen 420
von 60 000 Paketen zu spät beim Kunden an. Der Geschäftsführer von LTH räumt
ein, dass der Anteil der nicht rechtzeitig zugestellten Pakete zwischen 0,588 %
und 0,812 % liegen würde.
Die Geschäftsführung möchte sich aufgrund der Aussagen für OBS entscheiden,
da dort der Anteil nicht rechtzeitig zugestellter Pakete weniger stark schwankt
und man sich eher auf das Unternehmen verlassen könnte.
Überzeugen Sie die Geschäftsleitung vom Gegenteil.
208