Exponentialfunktionen (1)

Exponentialfunktionen (2)
(1) Eine Bakterienkultur wächst ungefähr um 15% pro Stunde. Wenn am Anfang 200000
Bakterien vorhanden sind, nach wie vielen Stunden sind es 500000?
(2) Die Anzahl der Bakterien auf einer Nährlösung wächst annähernd exponentiell. Zwei Stunden
nach Beginn zählt man 800 Bakterien, nach weiteren zwei Stunden 2200 Bakterien.
Wie viele Bakterien waren am Anfang vorhanden und wie viele sind es nach 12h?
N(t) = N0 ∙ at
N0... Anzahl der Bakterien zu Beginn, N(t)... Anzahl der Bakterien nach t Stunden
(3) Ein Gewässer wurde mit einem Umweltgift verseucht, das durch chemische Zersetzung
annähernd exponentiell abgebaut wird. In einem Liter Wasser sind zwei Jahre nach der
Vergiftung noch 2mg des Giftes, drei Jahre später noch 1mg vorhanden. Es sei N(t) die
Giftmenge (in mg pro Liter Wasser) t Jahre nach der Verseuchung.
(a) Stelle eine Formel für N(t) auf!
(b) Welche Giftmenge ist nach 4 Jahren bzw. nach 6 Jahren noch vorhanden?
(4) Die Bevölkerung einer Region ist von 1995 bis 2010 annähernd exponentiell gewachsen. Im
Jahr 1995 hatte die Region 82000 Einwohner, im Jahr 2010 hatte sie 105000 Einwohner.
Wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird.
(a) Wie viele Einwohner wird die Region im Jahr 2015 haben?
(b) Wann wir die Region 150000 Einwohner erreicht haben?
(1995....t=0)
(5) Wegen steigender Arbeitslosigkeit beginnen die Leute eine ländliche Gegend zu verlassen.
Nach zwei Jahren leben in dieser Gegend noch 5500 Menschen, nach fünf Jahren nur mehr
4600 Menschen. Wir nehmen exponentielle Bevölkerungsabnahme an.
(a) Wie viele Menschen lebten ursprünglich in dieser Gegend?
(b) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben?
Wie groß ist die jährliche prozentuelle Abnahme?
(c) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben, wenn
man lineare Abnahme annimmt? Wie groß ist die jährliche Abnahme?
Exponentialfunktionen (3)
Verdopplungszeit und Halbwertszeit
(1) Eine Bakterienkultur wächst um ungefähr 18% in der Stunde. Nach welcher Zeit verdoppelt
sich die Bakterienanzahl jeweils?
(2) Das radioaktive Element Polonium 218 zerfällt nach dem Gesetz N(t) = N0∙0,79671t
(t in Minuten)
Nach welcher Zeit ist nur mehr die Hälfte der unzerfallenen Atome vorhanden?
(3) Von einer Probe des radioaktiven Isotops Strontium 90 sind nach einem Jahr ca. 2,39%
zerfallen. Stelle das Zerfallsgesetz auf und berechne die Halbwertszeit von Strontium 90!
(4) Das radioaktive Element Thallium 210 besitzt die Halbwertszeit 1.32 Minuten.
Stelle das Zerfallsgesetz auf!
Wachstums- und Abnahmevorgänge mit Hilfe der Euler′schen Zahl
Exponentieller Wachstumsprozess
Exponentieller Abnahmeprozess
N(t) = N0∙at mit a > 1
N(t) = N0∙eλt mit λ > 0
N(t) = N0∙at mit 0 < a < 1
N(t) = N0∙e-λt mit λ > 0
(1) Ein radioaktiver Zerfallsprozess verlaufe nach dem Zerfallsgesetz N(t) = 1500∙0,97t.
Gib das Zerfallsgesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Zerfallskonstante λ?
(2) Ein Wachstumsprozess verlaufe nach dem folgenden Wachstumsgesetz: N(t) = 450∙1,36t
Gib das Wachstumsgesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Wachstumskonstante λ?
(3) Vom folgenden Element ist das Zerfallsgesetz gegeben. Berechne die Halbwertszeit!
Radium: N(t) = N0∙e-0,000433∙t
(t in Jahren)