Handout

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Institut für Analysis
Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Prof. Dr. Wolfgang Reichel
Nichtlineare Randwertprobleme – Wintersemester 2015/2016
Handout Funktionalanalysis
Definition 1 (Banach-Raum) Ein Paar (X, k · k) heisst normierter Raum, falls X ein
Vektorraum über dem Köper K (K = R oder K = C) ist und falls gilt
(i) kxk ≥ 0 für alle x ∈ X und kxk = 0 ⇔ x = 0,
(ii) kλxk = |λ|kxk für alle x ∈ X, λ ∈ K,
(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk für alle x, y ∈ X.
Für eine Folge (xk )k∈N in X und ein Element x ∈ X sagt man
x = lim xk
k→∞
falls limk→∞ kxk − xk = 0. x heisst dann Grenzwert der Folge (xk )k∈N .
Eine Folge (xk )k∈N heisst Cauchy-Folge, falls für jedes > 0 ein K0 = K0 () ∈ N existiert
mit der Eigenschaft: aus k, l ≥ K0 folgt kxk − xl k ≤ .
Ein normierter Raum (X, k · k) heisst Banach-Raum, falls jede Cauchy-Folge in X einen
Grenzwert in X besitzt.
Definition 2 (Dualraum) Sei (X, k · k) ein normierter Raum über dem Körper K. Ein
lineares Funktional φ : X → K heisst beschränkt, falls
kφk := sup
x6=0
|φ(x)|
< ∞.
kxk
Die Menge X ∗ = {φ : X → K linear, beschränkt} heisst Dualraum von X. Zusammen mit
der obigen Norm k · k ist X ∗ selbst ein Banach-Raum.
Satz 3 (Hahn-Banach) Sei (X, k · k) ein normierter Raum und V ⊂ X ein linearer
Unterraum. Ist φ ∈ V ∗ , dann gibt es ein Funktional ψ ∈ X ∗ mit ψ|V = φ und kψk = kφk.
Mit anderen Worten: φ kann zu einem beschränkten linearen Funktional ψ auf X unter
Erhaltung der Norm fortgesetzt werden.
Definition 4 (Bidualraum, reflexive Räume) Sei (X, k · k) ein normierter Raum und
X ∗∗ = (X ∗ )∗ sei der Bidualraum. Dann gibt es eine injektive Abbildung I : X → X ∗∗ mit
kI(x)k = kxk mit dem Namen kanonische Injektion, die definiert ist durch
(
X → X ∗∗
I:
wobei I(z) gegeben ist durch I(z)φ := φ(z)
z 7→ I(z),
Der Raum X heisst reflexiv, falls die Abbildung I bijektiv ist. In diesem Fall schreibt man
X = X ∗∗ .
Beispiele: Hilbert-Räume und Lp (Ω), W k,p (Ω) für 1 < p < ∞, k ∈ N sind reflexiv. L1 (Ω)
und L∞ (Ω) sind im allgemeinen nicht reflexiv.
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Definition 5 (Separable Räume) Ein normierter Raum (X, k · k) heisst separabel, falls
eine abzählbare dichte M ⊂ X existiert, d.h. M = X.
Beispiele: C(Ω), falls Ω ⊂ Rn beschränkt ist und Lp (Ω) falls 1 ≤ p < ∞ und Ω ⊂ Rn
messbar ist, sind separabel. L∞ (Ω) ist im allgemeinen nicht separabel.
Definition 6 (Kompakte Mengen) Sei (X, k · k) ein normierter Raum und A ⊂ X.
Die Menge A ⊂ X heisst (folgen-)kompakt, falls jede Folge in A eine konvergente Teilfolge
mit Grenzwert in A besitzt.
Bemerkung: In metrischen Räumen ist Folgenkompaktheit äquivalent zur folgenden
Definition der Kompaktheit: jede offene Überdeckung von A besitzt eine endliche Teilüberdeckung.
Satz 7 (Kompaktheit und Endlichdimensionalität) Sei (X, k · k) ein normierter
Raum. Dann ist B1 (0) = {x ∈ X : kxk ≤ 1} kompakt genau dann wenn X endlichdimensional ist.
Definition 8 (schwache, schwach∗ Konvergenz) Sei (X, k · k) ein normierter Raum
und X ∗ sein Dualraum.
(i) Eine Folge (xk )k∈N in X heisst schwach konvergent gegen x ∈ X, falls
φ(xk ) → φ(x) für k → ∞ für alle φ ∈ X ∗ . Notation: xk * x für k → ∞.
(ii) Eine Folge (φk )k∈N in X ∗ heisst schwach∗ konvergent gegen φ ∈ X ∗ , falls
φk (x) → φ(x) für k → ∞ für alle x ∈ X. Notation: φk *∗ φ für k → ∞.
Definition 9 (schwache/schwach∗ Folgenkompaktheit) Sei (X, k · k) ein normierter
Raum und X ∗ sein Dualraum.
(i) Eine Menge M ⊂ X heisst schwach folgenkompakt, falls jede Folge in M eine schwach
konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M besitzt.
(ii) Eine Menge M ⊂ X ∗ heisst schwach∗ folgenkompakt, falls jede Folge in M eine
schwach∗ konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M besitzt.
Satz 10 (Banach-Alaoglu)
(i) Sei X separabel. Dann ist B1 (0) ⊂ X ∗ schwach∗ folgenkompakt.
(ii) Sei X reflexiv. Dann ist B1 (0) ⊂ X schwach folgenkompakt.
Korollar 11
(i) Sei X separabel und (φk )k∈N eine beschränkte Folge von Funktionalen in X ∗ . Dann
besitzt (φk )k∈N eine schwach∗ konvergente Teilfolge.
(ii) Sei X reflexiv und (xk )k∈N eine beschränkte Folge in X. Dann besitzt (xk )k∈N eine
schwach konvergente Teilfolge.
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