Blatt 12

Sommersemester 2015
TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. M. Voit
Dipl.-Wirt.Math. D. Kobe
Dipl. Math. S. Glaser
Stochastik I
Blatt 12
Abgabe der Hausaufgaben:
Mittwoch, 24.06.2015, um 10.15 Uhr, im zugehörigen Briefkasten Ihrer
Übungsgruppe.
Aufgabe 1
(5 Punkte)
a) Bei einem gezinkten Würfel wollen Sie die Wahrscheinlichkeit p ∈]0, 1[ für das
Auftreten einer Sechs“ ermitteln. Dazu wird der Würfel n-mal unabhängig
”
geworfen. Dazu sei
(
1, falls im i-ten eine Sechs geworfen wird,
Xi :=
(i ∈ N)
0, sonst.
Ermitteln Sie mit dem zentralen GrenzwertsatzPapproximativ die minimale
Anzahl n von Würfen, sodass p durch X n := n1 ni=1 Xi bis auf einen Fehler
von 0.01 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 9 geschätzt werden kann.
b) Ein nichtgezinkter Würfel werde 6000-mal unabhängig geworfen. Bestimmen
Sie
(i) mit der Tschebyscheff-Ungleichung eine untere Schranke
(ii) mit dem zentralen Grenzwertsatz eine Approximation
für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sechs zwischen 900- und 1100-mal geworfen wird.
Aufgabe 2
(5 Punkte)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen über Wahrscheinlichkeitsmaße
µn , µ ∈ M 1 (R), n ∈ N richtig sind. Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe eines
Beweises oder Gegenbeispiels.
a) Für xn , x ∈ R, n ∈ N gilt:
xn → x für n → ∞ ⇔ δxn → δx schwach.
b) Falls µn → µ schwach, dann gilt µn (A) → µ(A) für alle Borelmengen A ⊂ R;
c) Falls für alle Borelmengen A ⊂ R die Folge (µn (A))n∈N gegen µ(A) konvergiert, so gilt µn → µ schwach.
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Es seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie Xn , X : Ω → R Zufallsvariablen für n ∈ N. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen (i) und (ii):
(i) Es gilt Xn → X stochastisch für n → ∞.
(ii) Jede Teilfolge von (Xn )n∈N besitzt eine Teilfolge, die fast sicher gegen X
konvergiert.
Hinweis: Borel-Cantelli.
Aufgabe 4
(6 Punkte)
Für n ∈ N seien Xn und X R-wertige Zufallsvariablen sowie f : R → R eine stetige
Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig sind und begründen
Sie Ihre Antwort mit Hilfe eines Beweises oder Gegenbeispiels.
a) Konvergiert für n → ∞ die Folge (Xn )n∈N fast sicher gegen X, so gilt auch
f (Xn ) → f (X) fast sicher.
b) Die analoge Aussage aus Teilaufgabe a) gilt entsprechend auch für stochastische Konvergenz.
c) Die analoge Aussage aus Teilaufgabe a) gilt entsprechend auch für Konvergenz im L1 -Sinne.
d) Es seien µn , µ ∈ M 1 (R) Wahrscheinlichkeitsmaße, sodass (µn )n∈N schwach gegen µ konvergiere. Dann konvergieren auch die Bildmaße (f (µn ))n∈N schwach
gegen f (µ).
Aufgabe 5
(Bonusaufgabe)
Betrachten Sie das Polyasche Urnenmodell aus der Vorlesung (§2) mit anfangs
einer weißen und einer schwarzen Kugel sowie mit c = 1, d.h., nach jeder Ziehung
wird die Kugel zurückgelegt und eine weitere Kugel der gleichen Farbe zusätzlich
in die Urne gelegt.
a) Beweisen Sie mittels Induktion, dass nach der n-ten Ziehung (und Zurücklegen entsprechender Kugeln) in diesem Modell der Anteil an weißen Kugeln
in der Urne die Verteilung
Pn :=
1
δ1/(n+2) + δ2/(n+2) + . . . + δ(n+1)/(n+2)
n+1
besitzt.
b) Entscheiden Sie, ob die Verteilungen Pn schwach gegen die Gleichverteilung
P auf dem Intervall [0, 1] konvergieren.