Effektives reelles Lösen einer multivariaten polynomialen Gleichung

Effektives reelles Lösen
einer multivariaten polynomialen Gleichung
- Diplomarbeit Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Institut für Mathematik
eingereicht von: Lutz Lehmann,
Betreuer: Prof. Dr. B. Bank
1
Algebraische Problemstellung
C
s
definierende Gleichungen
V Cn
! CN
Eigenschaften
Gegeben sei
I := (F ; : : : ; Fn) Q [X ; : : : ; Xn];
deg Fi d, die Varietät
V = V (F ; : : : ; F n )
bestehe aus einfachen Punkten. Sei
g 2 Q [X ; : : : ; Xn]:
1. Verschwindet dieses Polynom irgendwo auf V ?
2. In welchen Punkten von V verschwindet es?
1
1
1
1
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Reduktion auf den univariaten Fall
g
Sei eine Gerade im C n . Jeder Punkt von
V hat einen Lotfußpunkt darauf. I sei radikal.
Für fast alle Richtungen sind die Lotfußpunkte paarweise verschieden.
Sei = ( ; : : : ; n) 2 Q n eine solche Richtung,
1
U = X + + nXn
1
1
heißt dann primitives Element.
q(U ) das die Fußpunkte beschreibende minimale Polynom vom Grad .
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Parametrisierung
Die Zuordnung
Nullstellen von
q ! Punkte von V
ist eineindeutig.
Die Koordinaten der Punkte von
V können interpoliert werden,
9v (U ); : : : ; vn(U ); deg(vi) < : v(U ) 2 V;
Symmetrie in den Punkten von V , daher
q; v ; : : : ; vn 2 Q [U ]
Diese Darstellung von V heißt geometrische Lösung.
1
wenn immer
q(U ) = 0:
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Lösung der Probleme
Setzen wir die Parametrisierung in
g ein.
1. Ist Res q (U ); g (v (U )) = 0, so gibt es Nullstellen auf V .
2. Die Nullstellen von gcd q (U ); g (v (U )) ergeben die Punkte von V , auf denen g verschwindet.
Neues Problem: Wie erzeugt man diese Darstellung von
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V?
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Gröbner-Basen
Bestimme monomiales Erzeugendensystem, die Standardbasis (s. [Buc85]), für einen Vektorraum, der das Ideal als linearen Teilraum enthält, und Multiplikation modulo dem Ideal
als Matrizen darstellt.
I
Mit Methoden der linearen Algebra und Kombinatorik wird dann eine optimale Darstellung von . Die obige Darstellung wurde von Rouiller untersucht, die auftretenden Abschät-
I
zungen für die notwendige Rechenzeit sind
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O(dnn ), diese Schranke wird angenommen.
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Schrittweise Elimination
1
1
Y
...
I
nachher ( s+1 )
p =0
1
Is := (F ; : : : ; Fs), Vs := V (Is), X = AY eine Koordi-
I
natentransformation
vorher ( s )
Yr
1
1
...
1
+1
1
Yr pr = 0
pr = 0
! Fs (X ; : : : ; Xn) = 0
Fs(X ; : : : ; Xn) = 0
1
F (X ; : : : ; X n ) = 0
Ist das erste Gleichungssystem regulär, so heißt
( )
1
P s = (p ; : : : ; p r ) 2 Q r
V
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Lifting–Punkt und die Lösungsmenge Lifting–Faser von s. Die Anzahl der Punkte in einer solchen Faser ist der Grad der geometrischen
Lösung.
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Grundlagen des Algorithmus
Die Varietät im Eliminationsschritt ist eindimensional.
Eigenschaft der Ideale
1.) Reguläre Folge
2.) Radikalität
3.) Lifting–Punkt
4.) ganze Ringerweiterung
Grundlage des Algorithmus
s äquidimensional mit Kodimension
Existenz einer geometrischen Lösung
Existenz einer Potenzreihenentwicklung
symmetrische Ausdrücke in den Potenzreihen sind Polynome.
V
s
1.) und 2.) sind vorauszusetzen, 3.) und 4.) können dann durch generische Parameterwahl
für und die (s) erreicht werden.
A
P
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Noether–Position
Y ; : : : ; Yn neue Variable, X = AY , A 2 Q nn regulär.
Definition 1. Die Variablen Y ; : : : ; Yr befindet sich in Noetherposition bzgl. der Varietät
V (Is), falls mit R = Q [Y ; : : : ; Yr], r + s = n gilt
1
1
1
die Y ; : : : ; Yr sind algebraisch unabhängig, I \ R = (0)
8r < i n9gi 2 I \ R[Yi] monisch in Yi, d.h. Yi ist algebraisch ganz über R
1
Die Transformation
A heißt auch Noether–Normalisierung.
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Geometrische Lösung
V
Definition 2. [[Kro82], [Mac16], [GLS99]] Eine (rationale) geometrische Lösung von s ist
gegeben durch
X
AY
R
Y ;:::;Y
eine Noether–Normalisierung
=
mit 1
:=
r als freien Variablen, sei
Q[ 1
r ],
eine Linearform
= r+1 r+1 + + n n, die ein primitives Element für das
Gleichungssystem ist,
das Minimalpolynom
[ ] vom Grad = deg und
Polynome 1
[ ] mit Graden kleiner ,
n
Y ;:::;Y
U
Y
Y
q2RU
v ;:::;v 2 R U
d
so daß für die lokalisierten Ideale gilt
q (U ); q 0 (U )X
r+1
wobei
vr
+1
: : : ; q 0 (U )X
2 R die Diskriminante von q bzgl. U ist.
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n
V
vn
=
F ; : : : ; Fs
1
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Der geometrische Grad
R := Q [Y ; : : : ; Yr], K := Q (Y ; : : : ; Yr) der Quotientenkörper.
Q [Y ; : : : ; Yn ].
R ! R[Yr : : : ; Yn] ! B :=
F (AY ); : : : ; Fs(AY )
Sei
1
+1
1
1
1
ist eine ganze Algebrenerweiterung. Mit
B0 := K R B;
I 0 := K R I ;
(1)
ist B0 ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Seine Dimension ist der Grad der Erweiterung,
dieser ist die Anzahl der Punkte in einer Lifting–Faser von Vs.
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V
Diese Anzahl ist beschränkt durch die maximale Anzahl von Schnittpunkten von s mit
einer –dimensionalen affinen Ebene.
s
Definition 3. [[Hei79] ] Sei
V zunächst irreduzibel.
deg(V ) := maxf](V \ E ) : E affine Ebene mit dim(E ) = co dim(V );
](E \ V ) < 1g:
Ist
V aus mehreren irreduziblen Komponenten gleicher Dimension aufgebaut,
V = C [ [ Ck;
1
so ist der geometrische Grad als Summe
deg(V ) := deg(C ) + + deg(Ck ) definiert.
1
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1
Datenstrukturen
Wir benötigen nie die volle Monomdarstellung der Polynome
1
X ; : : : ; Xn
F ; : : : ; Fn, es genügt, diese Ausdrücke auswerten zu können.
Input:
1
F ; : : : ; Fn
Black–Box
Output:
nur Addition, Subtraktion, Skalierung, Multiplikation in der Box.
Charakteristische Größen:
L
`
T
S
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Für eine (idealisierte) parallele Berechnung:
– Anzahl der Multiplikationen,
– Längste Strecke vom Input zum Output, gemessen in Multiplikationen.
Für eine (idealisierte) sequentielle Abarbeitung
– Die Rechenzeit in Multiplikationen,
– Der maximal benötigte Speicherplatz in Objekten vom Inputtyp.
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Reelle Hyperfläche und Polare Varietäten
f 2 Q [X ; : : : ; Xn] quadratfrei und regulär auf V = V (f ).
1
a
Im Reellen ein Körper, eine Lichtquelle bei erzeugt Schatten, die Schattengrenze kann
algebraisch beschrieben werden, bei durch
!1
f (X ) = Df (X ) a = 0
Bei Lichtquellen in verschiedenen Richtungen sind die gemeinsamen Grenzpunkte die polaren
Varietäten
n
Ws = x 2 C : f (x) = Df (x) a = = Df as = 0
1
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Geometrische Invarianten der Hyperfläche
01 a
n 1
::: a
B
n C
0
1
a
:
:
:
a
C
B
B
n
.
.
...
...
..
.. C
A = a ;:::;a = B
C
B
@0 : : : 0 1 ann CA
(2)
1
(1)
( )
0 :::
( )
1
( )
2
(3)
2
( )
0
1
1
Mit Basen dieser Art sei
n
Ws = (A; x) 2 C
1 n(n 1)
2
mit geometrischen Grad
C : 0 = f (x) = Df (x) ar = = Df (x) an
n
+1
o
Ds definiert.
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Ergebnisse
n n
Satz 1. [s. [HMW99]] Werden die Parameter für
nd
n
nd
A
die Projektionsrichtungen in einer Menge mit 5
rationalen
Zahlen,
Lifting–Punkte in einer Menge mit 5 ( 2 +2
) rationalen
Zahlen und
2
primitiven Elemente in einer Menge mit 10
rationalen Zahlen
nD D
zufällig gewählt, außerdem die Parameter der Vektoren der Basis
in einer Menge mit 5
(3 + 2 + 1) rationalen Zahlen,
2
so befinden sich alle algebraischen Objekte in generischer Position mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von exp( 1 ) für ein vorher
N.
festgelegtes
2
4
2
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Satz 2. [s. [GLS99], [HMW99]] Mit den so gewählten Parametern
kann die geometrische Lösung der letzten polaren Varietät mit
4
O(n [(n + d )nL + n + d ])
Multiplikationen berechnet werden.
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Literatur
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[Buc85]
B. Buchberger. Gröbner bases: An algoritmic method
in polynomial ideal theory. In N. K. Bose et al, editor,
Multidimensional System Theory, pages 374–383. Reidel, Dordrecht, 1985.
[GLS99] M. Giusti, G. Lecerf, and B. Salvy. A gröbner free alternative for polynomial system solving. in preparation,
1999.
[Hei79]
J. Heintz. A new method to show lower bounds for polynomials which are hard to compute. In K. Weihrauch,
editor, Proceedings of the 4th GI Conference on Theoretical Computer Science (Aachen, FRG), volume 67 of
LNCS, pages 153–157. GI, Springer, 1979.
[HMW99] J. Heintz, G. Matera, and A. Waissbein. On the time–
space complexity of geometric elimination procedures.
in preparation, 1999.
[Kro82]
L. Kronecker. Grundzüge einer arithmetischen theorie
de algebraischen grössen. J. reine angew. Math., 92:1–
122, 1882.
[Mac16] F. S. Macauley. The Algebraic Theory of Modular Systems. Cambridge University Press, 1916.
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