Räumliche Statistik

ITÄT
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L
IV
DO
CENDO
·
Räumliche Statistik
für Punktprozesse und weitere Modelle der stochastischen Geometrie
Universität Ulm
Institut für Stochastik
Vorlesungsskript
Prof. Dr. Volker Schmidt
Stand: Sommersemester 2011
Ulm, im April 2011
Dieses Exemplar wurde aus Studiengebühren finanziert.
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
9
2 Poissonsche Zählmaße
2.1
2.2
2.3
11
Definitionen und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1
Existenz und Eindeutigkeit von zufälligen Zählmaßen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2
Poisson–Prozesse als zufällige Zählmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3
Messbare Indizierung der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4
Simulationsalgorithmus; Akzeptanz– und Verwerfungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5
Transformationssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Homogene Poisson–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1
Radiale Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2
Schätzung der Intensität; Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Poisson–Prozesse mit absolutstetigem Intensitätsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1
Ortsabhängige Verdünnung von Poisson–Prozessen; Simulationsalgorithmus . . . . . . . . . 25
2.3.2
Nichtparametrische Schätzung der Intensitätsfunktion; Randkorrektur . . . . . . . . . . . . 27
3 Zufällige Punktprozesse
3.1
3.2
3.3
3.4
30
Definitionen und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1
Intensitätsmaß und Campbellsches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2
Erzeugendes Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3
Laplace–Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.4
Stationarität und Isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Cox–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1
Simulationsalgorithmus und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2
Absolutstetiges zufälliges Intensitätsmaß; Schätzung der Intensität . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3
Gemischte Poisson–Prozesse, Neyman–Scott–Prozesse, modulierte Poisson–Prozesse . . . . 41
3.2.4
Varianz und asymptotische Normalverteiltheit des Intensitätsschätzers
. . . . . . . . . . . 45
Cluster–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1
Definition und erzeugendes Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2
Poissonsche Cluster–Prozesse; Eigenschaften des Intensitätsschätzers . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3
Beispiele: Gauß–Poisson–Prozesse, Neyman–Scott–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Ergodizität; starke Konsistenz des Intensitätsschätzers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1
Dynamische Systeme; individueller Ergodensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.2
Ergodizitätskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.3
Ergodizität von Cox–Prozessen; Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.4
Ergodische Cluster–Prozesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
INHALTSVERZEICHNIS
3.5
3.6
Gibbs–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.1
Endliche Gibbs–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.2
Bedingte Gibbs–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.3
Potenzialfunktionen höherer Ordnung; bedingte Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.4
Parametrische Familien von Gibbs–Prozessen; Pseudolikelihood–Funktion . . . . . . . . . . 82
3.5.5
Maximum–Pseudolikelihood–Schätzer; Exponentialfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Markov–Ketten von Gibbs–Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6.1
Definition und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6.2
Harris–Rekurrenz und Drift–Kriterien für Ergodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.3
MCMC–Simulation; Metropolis–Hastings–Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6.4
Monte–Carlo–Likelihood–Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 Palmsche Verteilung und weitere Kenngrößen von Punktprozessen
4.1
4.2
4.3
3
105
Palmsche Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.1
Definition durch Intensitätsquotienten; typischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.2
Lokale Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.3
Reduzierte Palmsche Verteilung; Satz von Slivnyak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.4
Typische Zelle von Poisson–Voronoi–Mosaiken; Simulationsalgorithmus . . . . . . . . . . . . 113
Campbellsche Maße; Beispiele von Palmschen Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.1
Produktdarstellung des reduzierten Campbellschen Maßes von Poisson–Prozessen . . . . . . 115
4.2.2
Palmsche Verteilung von zufälligen Maßen; Cox–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.3
Beispiele: modulierte Poisson–Prozesse, Cox–Prozesse auf Poissonschen Geradensystemen . 121
4.2.4
Typische Zelle von Cox–Voronoi–Mosaiken; Simulationsalgorithmen . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.5
Poissonsche Cluster–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.6
Gibbs–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Weitere Kenngrößen von Punktprozessen und ihre Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.1
Kontaktverteilungsfunktion; Minus–Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.2
Nächster–Nachbar–Abstandsverteilungsfunktion; randkorrigiertes Minus–Sampling . . . . . 132
4.3.3
Höhere Momentenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.4
Zweites reduziertes Momentenmaß; Ripleysche K–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.5
Produktdichte und Paarkorrelationsfunktion; randkorrigierte Kernschätzer . . . . . . . . . . 141
4.3.6
Beispiele: Poisson–, Cox– und Cluster–Prozesse; Matérn–Hardcore–Prozesse . . . . . . . . . 142
INHALTSVERZEICHNIS
4
5 Markierte Punktprozesse
5.1
5.2
5.3
5.4
Definitionen und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.1
Markenraum; unabhängige Markierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.2
Intensitätsmaß und Campbellsches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1.3
Stationarität und Ergodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Palmsche Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.1
Definition durch Intensitätsquotienten; typischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.2
Lokale Charakterisierung; Zwei–Punkt–Palm–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.3
Palmsche Markenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Weitere Kenngrößen von markierten Punktprozessen und ihre Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.1
Markenkovarianzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.2
Bedingte K–Funktionen und bedingte Paarkorrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3.3
Diversitätsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Eigenschaften von Palmschen Verteilungen bei allgemeinem Markenraum
6.2
6.3
6.4
. . . . . . . . . . . . . . 166
5.4.1
Umkehrformel; Mittelwertformel für Voronoi–Mosaike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4.2
Austausch–Formel von Neveu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6 Keim–Korn–Modelle
6.1
147
170
Mengensysteme des Rd und ihre topologischen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1.1
Offene und abgeschlossene Mengen; Kompaktheit und Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1.2
Schnitt–σ–Algebra; Fell–Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.1.3
Hausdorff–Metrik der kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.1.4
Messbarkeit und Halbstetigkeit von Abbildungen in allgemeinen topologischen Räumen . . 177
6.1.5
Konvergenzkriterien; Stetigkeitseigenschaften von Abbildungen in F . . . . . . . . . . . . . 179
Zufällige abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.1
Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.2
Verteilung und Kapazitätsfunktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2.3
Stationarität und Isotropie; Ergodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2.4
Kenngrößen von stationären ZAM und ihre Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Innere Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3.1
Additive Funktionale; Steiner–Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3.2
Intensitäten der inneren Volumina von stationären ZAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3.3
Kinematische Hauptformel; Schätzung der j–Intensitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Gewichtete Mittelwertschätzer für stationäre Zufallsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.4.1
Regularitätsbedingungen an Beobachtungsfenster und Gewichtsfunktion . . . . . . . . . . . 208
6.4.2
Erwartungstreue und Schätzvarianz; L2 –Konsistenz
6.4.3
Schätzung der asymptotischen Kovarianzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
INHALTSVERZEICHNIS
6.5
5
Boolesches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.5.1
Definitionen und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.5.2
Formeln für Kapazitätsfunktional, Volumenanteil und Kontaktverteilungsfunktion . . . . . 217
6.5.3
Boolesches Modell mit konvexen Körnern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.5.4
Minimum–Kontrast–Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
LITERATUR
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8
1 EINLEITUNG
1
9
Einleitung
Die Vorlesung gibt eine Einführung in einige grundlegende Ansätze der räumlichen Statistik, die auf Modellen der
stochastischen Geometrie beruhen. Dabei werden Eigenschaften dieser Modelle, Algorithmen zu ihrer Simulation
sowie hierauf aufbauende statistische Methoden diskutiert.
Schwerpunkte der Vorlesung sind die folgenden Modelle:
• Poissonsche Punktprozesse
• Stationäre zufällige Mengen, insbesondere
• Stationäre Punktprozesse und deren Palmsche Verteilung
• Zufällige Mosaike
• Keim–Korn–Modelle
Typische Realisierungen dieser Modelle sind in den Abbildungen 1 – 3 dargestellt.
Abbildung 1: Poissonscher Punktprozess
Abbildung 2: Poissonsches Geraden–Mosaik
Die Kapitel 1 – 4 des Skriptes betreffen vorwiegend denjenigen Teil der Vorlesung, der zum ersten Mal im Wintersemester 2006/07 für Studenten und Doktoranden der Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften
der Universität Ulm gehalten wurde.
1 EINLEITUNG
10
Abbildung 3: Boolesches (Keim–Korn–) Modell
Das Hauptanliegen dieser ersten 4 Kapitel ist es, eine Einführung in die Modellierung, Simulation und Statistik
von unregelmäßigen Punktmustern zu geben. Dabei werden verschiedene grundlegende Klassen von zufälligen
Punktprozessen zur Illustration der Ergebnisse diskutiert. Insbesondere wird dies für homogene und inhomogene
Poissonsche Punktprozesse getan. Darüber hinaus werden weitergehende Ergebnisse für einige ausgewählte Beispiele von Cox–Prozessen und von Poissonschen Cluster– bzw. Hardcore–Prozessen vorgestellt. Die Abschnitte 3.5
und 3.6 über Gibbssche Punktprozesse sind erst später (im Wintersemester 2007/08) hinzugekommen.
Für die Vorlesungen zur räumlichen Statistik, die zum erstem Mal im Sommersemester 2007 gehalten wurden, sind
das Kapitel 5 sowie die bisher vorliegenden Abschnitte 6.1 – 6.4 von Kapitel 6 des Skriptes erarbeitet worden. Sie
betreffen vor allem Fragestellungen zur Modellierung, Simulation und Statistik für markierte Punktprozesse bzw.
Keim–Korn–Modelle und zufällige Mosaike vom Poisson–Typ behandelt. Diese Modellklassen sind für praktische
Anwendungen besonders relevant, z.B. bei der statistischen Analyse der geometrischen Struktureigenschaften von
makroskopisch-geographischen Bilddaten bzw. von mikroskopischen Bilddaten in 2D oder 3D.
Verweise auf die Vorlesungsmanuskripte „Wahrscheinlichkeitsrechnung” bzw. „Wahrscheinlichkeitstheorie” werden
wir mit dem Zusatz „WR” bzw. „WT” vor der Nummer der zitierten Abschnitte, Lemmata, Theoreme, Korollare
bzw. Formeln kennzeichnen.
Gelegentlich werden wir auch auf Abschnitte, Lemmata, Theoreme, Korollare bzw. Formeln aus dem Skript zur
Vorlesung „Markov Chains and Monte–Carlo Simulation” verweisen, wobei diese Verweise dann mit dem Zusatz
„MC” gekennzeichnet werden.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
2
11
Poissonsche Zählmaße
2.1
2.1.1
Definitionen und grundlegende Eigenschaften
Existenz und Eindeutigkeit von zufälligen Zählmaßen
• Zur Erinnerung: Sei d ≥ 1 eine beliebige natürliche Zahl. Die σ–Algebra B(Rd ) der Borel–Mengen im
d–dimensionalen euklidischen Raum Rd ist die kleinste Familie G von Teilmengen des Rd , die
– alle Quader der Form B = (a1 , b1 ] × . . . × (ad , bd ] für beliebige ai , bi ∈ R mit ai ≤ bi für i = 1, . . . , d
enthält und
– die abgeschlossen ist bezüglich der Bildung des Komplementes sowie der Vereinigung
von abzählbar
S
vielen Mengen aus G, d.h., für beliebige A, A1 , A2 , . . . ∈ G gilt Rd \ A ∈ G und n≥1 Ai ∈ G.
• Das d–dimensionale Lebesgue–Maß νd : B(Rd ) → [0, ∞] wird eindeutig bestimmt durch seine Werte νd (B) =
Qd
d
d
i=1 (bi − ai ) für alle Borel–Mengen der Form B = (a1 , b1 ] × . . . × (ad , bd ] ∈ Q , wobei Q die Familie der
d
(beschränkten) halboffenen d–dimensionalen Quader in R ist, d.h.,
Qd = B ⊂ Rd : B = (a1 , b1 ] × . . . × (ad , bd ], ai , bi ∈ R, ai ≤ bi ∀ i = 1, . . . , d .
(1)
Definition
• Sei N die Familie aller lokal
ϕ : B(Rd ) → {0, 1, . . .} ∪ {∞}, d.h., es gilt ϕ(B) < ∞
Zählmaße
S endlichen
P∞
∞
d
für jedes B ∈ Q und ϕ n=1 Bn = n=1 ϕ(Bn ) für paarweise disjunkte B1 , B2 , . . . ∈ B(Rd ).
• Außerdem sei N die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von N, so dass ϕ 7→ ϕ(B) für jedes beschränkte
B ∈ B(Rd ) eine (N , B(R))–messbare Abbildung ist.
• Ein zufälliges Zählmaß N : Ω → N ist eine Zufallsvariable über einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) mit Werten in dem messbaren Raum (N, N ), d.h., N ist ein (mengen–indizierter) stochastischer Prozess {NB , B ∈ B(Rd )} über (Ω, A, P ), so dass {NB (ω), B ∈ B(Rd )} für jedes ω ∈ Ω ein
lokal endliches Zählmaß aus N ist.
Theorem 2.1 Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein zufälliges Zählmaß. Dann ist die Verteilung von {NB } ein Wahrscheinlichkeitsmaß über (N, N ), das eindeutig bestimmt ist durch die Familie der „endlich–dimensionalen” Wahrscheinlichkeiten {PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) : n ≥ 1, k1 , . . . , kn ≥ 0, B1 , . . . , Bn ∈ Qd }, wobei
PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) = P (NB1 = k1 , . . . , NBn = kn ) .
Der Beweis von Theorem 2.1 kann mit Hilfe des Satzes über monotone Klassen (vgl. Lemma 3.5) geführt werden.
Dabei genügt es, die Wahrscheinlichkeiten PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) für paarweise disjunkte Quader B1 , . . . , Bn zu
betrachten. Außerdem gilt der folgende (Existenz–) Satz von Kolmogorov für zufällige Zählmaße, wenn die Familie
der Wahrscheinlichkeiten PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) den Symmetrie–, Verträglichkeits–, Additivitäts- bzw. Stetigkeitsbedingungen (2) – (5) genügt.
Theorem 2.2
• Sei {PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) : n ≥ 1, k1 , . . . , kn ≥ 0, B1 , . . . , Bn ∈ Qd } eine Familie von Wahrscheinlichkeiten,
so dass für jedes n ≥ 1
PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) = PBπ(1) ,...,Bπ(n) (kπ(1) , . . . , kπ(n) )
und
∞
X
PB1 ,...,Bn ,Bn+1 (k1 , . . . , kn , k) = PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn )
(2)
(3)
k=0
für jede Permutation π von {1, . . . , n}, für jedes n–Tupel k1 , . . . , kn ≥ 0 von nivhtnegativen ganzen Zahlen
und für beliebige halboffene d–dimensionale Quader B1 , . . . , Bn , Bn+1 ∈ Qd .
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
• Außerdem gelte
12
X
PB1 ,...,Bj−1 ,Bj ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) = P
kj +...+kn =k, kj ,...,kn ≥0
B1 ,...,Bj−1 ,
n
S
Bi
(k1 , . . . , kj−1 , k)
(4)
i=j
für beliebige j, n ≥ 1 mit j ≤ n, für beliebige k1 , . . . , kj−1 ≥ 0 und paarweise disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ Qd ,
und es gelte
lim P[x1 − n1 ,x1 )×...×[xd − n1 ,xd ) (0) = 1
(5)
n→∞
für jedes x = (x1 , . . . , xd ) ∈ R .
d
• Dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und ein zufälliges Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} über
diesem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass {PB1 ,...,Bn (k1 , . . . , kn ) : n ≥ 1, k1 , . . . , kn ≥ 0, B1 , . . . , Bn ∈ Qd }
die endlich–dimensionalen Wahrscheinlichkeiten von {NB , B ∈ B(Rd )} sind.
Der Beweis von Theorem 2.2 beruht ebenfalls auf Standardtechniken der Maßtheorie, vgl. z.B. Kallenberg (2001),
S. 115–116.
2.1.2
Poisson–Prozesse als zufällige Zählmaße
Wir führen nun den Begriff des Poissonschen Zählmaßes im d–dimensionalen euklidischen Raum Rd ein.
Definition Sei B0 (Rd ) die Familie aller beschränkten Borel–Mengen in Rd und sei µ : B(Rd ) → [0, ∞] ein
beliebiges lokal–endliches Maß, d.h., µ(B) < ∞ für jedes B ∈ B0 (Rd ).
• Man sagt, dass {NB , B ∈ B(R)} ein Poissonsches Zählmaß mit dem Intensitätsmaß µ ist, wenn
1. NB1 , NB2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen sind für paarweise disjunkte B1 , B2 , . . . ∈ B0 (Rd ) und
2. NB ∼ Poi(µ(B)) für jedes B ∈ B0 (Rd ).
• Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass das Intensitätsmaß µ proportional zum d–dimensionalen
Lebesgue–Maß νd ist, d.h., für eine Konstante λ ∈ (0, ∞) gilt
µ(B) = λνd (B)
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(6)
dann sagt man, dass {NB } ein homogenes Poissonsches Zählmaß mit der Intensität λ (bzw. kurz ein
homogener Poisson–Prozess) im Rd ist.
Abbildung 4: Inhomogener Poisson–Prozess
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
13
Beachte
• Aus Theorem 2.1 ergibt sich, dass die Bedingungen 1 und 2 in der Definition des Poisson–Prozesses
durch die folgenden (scheinbar schwächeren) Bedingungen ersetzt werden können:
1∗ . Die Zufallsvariablen NB1 , NB2 , . . . sind unabhängig für paarweise disjunkte B1 , B2 , . . . ∈ Qd und
2∗ . NB ∼ Poi(µ(B)) gilt für jedes B ∈ Qd .
• Wenn das Intensitätsmaß µ absolutstetig bezüglich des d–dimensionalen Lebesgue–Maßes ist, d.h.,
wenn es eine Borel–messbare Funktion λ : Rd → [0, ∞) gibt, so dass
Z
µ(B) =
λ(x) dx
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(7)
B
dann wird λ : Rd → [0, ∞) die Intensitätsfunktion des Poisson–Prozesses {NB } genannt. Die Intensitätsfunktion des Poisson–Prozesses in Abbildung 4 ist gegeben durch
λ(x1 , x2 ) = 0.001 · x1
∀ x1 > 0 .
Wir diskutieren zunächst einige elementare Eigenschaften von Poisson–Prozessen im Rd .
Theorem 2.3
Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ.
• Dann gilt
n
P (NB1 = k1 , . . . , NBn = kn ) =
X
µk1 (B1 ) . . . µkn (Bn )
µ(Bi )
exp −
k1 ! . . . kn !
i=1
(8)
für beliebige n ≥ 1, k1 , . . . , kn ≥ 0 und paarweise disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ).
= k) für jedes
• Außerdem genügen die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (NB1 = k1 , . . . , NBn = kn | N
SB
n
B ∈ B0 (Rd ) mit 0 < µ(B) < ∞ und für paarweise disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ) mit i=1 Bi = B einer
Multinomialverteilung, d.h., es gilt
P (NB1 = k1 , . . . , NBn = kn | NB = k) =
k!
µk1 (B1 ) . . . µkn (Bn )
k1 ! . . . kn !
µk (B)
(9)
für beliebige k, k1 , . . . , kn ≥ 0 mit k = k1 + . . . + kn .
Der Beweis von Theorem 2.3 ergibt sich unmittelbar aus den Bedingungen 1 und 2 in der Definition des Poisson–
Prozesses.
Mit Hilfe der Theoreme 2.1 und 2.3 lässt sich eine einfache Methode zur Konstruktion von Poisson–Prozessen mit
endlichem Intensitätsmaß herleiten.
Korollar 2.1 Sei µ : B(Rd ) → [0, ∞) ein beliebiges Maß mit 0 < µ(Rd ) < ∞, und N : Ω → [0, ∞) bzw.
S1 , S2 , . . . : Ω → Rd seien unabhängige Zufallsvariablen mit
N ∼ Poi(µ(Rd )) ,
Si ∼
µ(·)
µ(Rd )
∀i ≥ 1.
(10)
∀ B ∈ B(Rd )
(11)
Dann ist das zufällige Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} mit
NB = #{i : 1 ≤ i ≤ N, Si ∈ B}
ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
14
Beweis
• Mit der Schreibweise
p(B) =
µ(B)
µ(Rd )
∀ B ∈ B(Rd )
(12)
ergibt sich aus (10) und (11), dass
P (NB1 = k1 , . . . , NBn = kn | N = k) =
k!
pk0 (B0 ) pk1 (B1 ) . . . pkn (Bn )
k0 !k1 ! . . . kn !
für jedes n ≥ 1, für beliebige, paarweise S
disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ B(Rd ) und für k0 , k1 , . . . , kn ≥ 0 mit
n
d
k = k0 + k1 + . . . + kn , wobei B0 = R \ i=1 Bi .
• Hieraus folgt, dass
P (NB1 = k1 , . . . , NBn = kn ) =
∞
X
k=k1 +...+kn
=
=
∞
X
k=k1 +...+kn
∞
X
k=k1 +...+kn
=
d
P (N = k) P (NB1 = k1 , . . . , NBn = kn | N = k)
e−µ(R ) µk (Rd )
k!
pk−k1 −...−kn (B0 ) pk1 (B1 ) . . . pkn (Bn )
k!
(k − k1 − . . . − kn )!k1 ! . . . kn !
d
e−µ(B0 ) µk−k1 −...−kn (B0 ) e−µ(R \B0 ) k1
µ (B1 ) . . . µkn (Bn )
(k − k1 − . . . − kn )!
k1 ! . . . kn !
d
n
Y
e−µ(R \B0 ) k1
e−µ(Bi ) µki (Bi )
µ (B1 ) . . . µkn (Bn ) =
.
k1 ! . . . kn !
ki !
i=1
• Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Formel (8) in Theorem 2.3, dann erkennt man, dass das in
(11) gegebene zufällige Zählmaß die gleichen endlich-dimensionalen Verteilungen hat wie ein Poisson–
Prozess mit dem Intensitätsmaß µ.
• Hieraus und aus Theorem 2.1 ergibt sich sich nun die Behauptung.
Beachte
• Wenn das Intensitätsmaß µ in Korollar 2.1 die Form µ(B) = λνd (B ∩ C) hat für ein λ < ∞ und
eine beschränkte Borel–Menge C ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (C) < ∞, dann sind die in (10) betrachteten
(unabhängigen) Zufallsvektoren S1 , S2 , . . . gleichverteilt in C.
• Wenn zusätzlich angenommen wird, dass die Menge C ein d–dimensionaler Quader der Form
C = (a1 , b1 ] × . . . × (ad , bd ]
(13)
ist, dann hat der Zufallsvektor Si = (Si1 , . . . , Sid ) für jedes i = 1, . . . , n unabhängige Komponenten
Si1 , . . . , Sid , wobei Sij ∼ U(aj , bj ) für jedes j = 1, . . . , d.
• Die Aussage von Korollar 2.1 wird deshalb manchmal die bedingte Gleichverteilungseigenschaft von
homogenen Poisson–Prozessen in beschränkten Borel–Mengen genannt.
Das folgende Resultat über die Summation von unabhängigen Poisson–Prozessen ist ein Analogon der Faltungsstabilität von Poisson–Verteilungen.
(1)
(2)
Theorem 2.4 Sei {NB }, {NB },P
. . . eine Folge unabhängiger Poisson–Prozesse in Rd mit den Intensitätsmaßen
∞
µ1 , µ2 , . . ., so dass das Maß µ =
i=1 µi lokal endlich ist. Dann ist das zufällige Zählmaß {NB } mit NB =
P∞
(i)
i=1 NB ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
15
Beweis
• Wir zeigen zunächst, dass
(1)
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
NB ∼ Poi(µ(B))
(2)
(14)
(1)
(2)
– Weil {NB }, {NB }, . . . unabhängige Zählmaße sind, sind die Zufallsvariablen NB , NB , . . . un(i)
abhängig, wobei NB ∼ Poi(µi (B)) für jedes i ≥ 1 und für jedes B ∈ B0 (Rd ).
– Aus der Faltungsstabilität von Poisson–Verteilungen ergibt sich somit, dass für jedes n ≥ 1 und
für jedes B ∈ B0 (Rd )
n
n
X
X
(i)
µi (B)) .
NB ∼ Poi(
i=1
i=1
– Hieraus und aus der Monotonie von Wahrscheinlicheitsmaßen ergibt sich, dass für beliebige k ≥ 0
und B ∈ B0 (Rd )
P (NB ≤ k)
= P
∞
X
i=1
=
lim
n→∞
n
X
(i)
(i)
NB ≤ k = lim P
NB ≤ k
k
X
n→∞
exp −
j=0
Pn
i=1
i=1
µi (B)
j!
Pn
i=1
µi (B)
j
k
X
exp −µ(B)
=
j!
j=0
µ(B)
j
.
– Damit ist (14) bewiesen.
• Um den Beweis zu beenden, ist noch zu zeigen, dass die Zufallsvariablen NB1 , NB2 , . . . , NBn für jedes
n ≥ 2 und paarweise disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ) unabhängig sind.
(i)
– Weil die Zufallsvariablen {NBj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n} für beliebige m, n ≥ 1 unabhängig
sind, ergibt sich aus dem Satz über die Unabhängigkeit zusammengesetzter Abbildungen (vgl.
Pm
(i)
Theorem WR-3.18), dass auch die Zufallsvariablen { i=1 NBj , j = 1, . . . , n} unabhängig sind.
– Wegen der Monotonie von Wahrscheinlicheitsmaßen kann man nun leicht zeigen, dass die Zufallsvariablen
∞
X
(i)
NBj , j = 1, . . . , n =
NBj , j = 1, . . . , n
i=1
ebenfalls unabhängig sind.
Wir zeigen nun noch, dass die Einschränkung von Poisson–Prozessen auf Borelsche Teilmengen des Rd erneut zu
Poisson–Prozessen führt.
Theorem 2.5 Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ, und sei B0 ∈ B(Rd ) eine
eB , B ∈ B(Rd )} mit N
eB = NB∩B ein Poisson–Prozess
beliebige Borel–Menge. Dann ist das zufällige Zählmaß {N
0
mit dem Intensitätsmaß µ
e, wobei µ
e(B) = µ(B ∩ B0 ) für jedes B ∈ B(Rd ).
Beweis
• Weil {NB } ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ ist, gilt
eB = NB∩B ∼ Poi µ(B ∩ B0 ) = Poi(e
µ(B))
N
0
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
• Weil für beliebige paarweise disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ) auch die Mengen B1 ∩ B0 , . . . , Bn ∩ B0
eB = NB ∩B unabhängig. eB = NB ∩B , . . . , N
paarweise disjunkt sind, sind die Zufallsvariablen N
n
0
n
1
0
1
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
2.1.3
16
Messbare Indizierung der Atome
In diesem Abschnitt betrachten wir den Begriff der messbaren Indizierung der (zufälligen) Atome von Poisson–
Prozessen, der einen konstruktiven Zugang zu Poisson–Prozessen im Rd und somit die mathematische Grundlage
von Simulationsalgorithmen bildet, vgl. auch die Abschnitte 2.1.4 und 2.1.5.
Beachte
Man sagt, dass die Folge {Sei } von Zufallsvektoren Se1 , Se2 , . . . : Ω → Rd ∪ {∞} mit

 S , falls N ≥ i,
i
Sei =
 ∞ , sonst
(15)
eine messbare Indizierung der (zufälligen) Atome des in (11) gegebenen zufälligen Zählmaßes {NB } ist.
Von nun an werden wir stets voraussetzen, dass das Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞] diffus ist, d.h., es gelte
∀ x ∈ Rd .
µ({x}) = 0
(16)
Der folgende Hilfssatz wird manchmal Disjunktheitstheorem genannt. Wir nutzen dieses Ergebnis, um zu zeigen,
dass man auch für Poissonsche Zählmaße mit einem beliebigen (diffusen und lokal endlichen) Intensitätsmaß eine
messbare Indizierung der Atome konstruieren kann.
Lemma 2.1
(1)
(2)
• Seien {NB , B ∈ B(Rd )} und {NB , B ∈ B(Rd )} zwei unabhängige Poisson–Prozesse mit den Intensitätsmaßen µ1 bzw. µ2 , so dass 0 < µ1 (Rd ), µ2 (Rd ) < ∞.
(1)
(2)
(1)
(2)
• Außerdem seien {Sei } und {Sei } unabhängige messbare Indizierungen der Atome von {NB } bzw. {NB },
die gemäß (15) gegeben sind.
• Dann gilt für beliebige i, j ≥ 1
(1)
P {Sei
(2)
(1)
(2)
6= Sej } ∪ {Sei = Sej = ∞} = 1 .
(17)
Beweis
• Es genügt zu zeigen, dass für beliebige i, j ≥ 1 mit i 6= j
(1)
P {Sei
(2)
(2)
= Sej } ∩ {Sej
6= ∞} = 0 .
• Mit der Schreibweise p(k) (B) = µk (B)/µk (Rd ) für k = 1, 2 und B ∈ B(Rd ) ergibt sich aus der Unab(1)
(2)
hängigkeit der Zufallsvektoren Sei und Sej , dass
(2)
(2)
(1)
(2)
= Sej } ∩ {Sej 6= ∞} = P {Si = Sj } ∩ {N (2) ≥ j}
Z
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
(2)
P (N (2) ≥ j)P (Si = Sj ) = P (N (2) ≥ j)
P Si = Sj | Sj = s P (Sj ∈ ds)
d
R
Z
Z
(1)
(2)
(2)
P (N ≥ j)
P (Si = s) p (ds) = P (N (2) ≥ j)
p(1) ({s}) p(2) (ds) = 0 ,
(1)
P {Sei
=
=
Rd
Rd
wobei in der letzten Gleichheit die Tatsache genutzt wurde, dass das Intensitätsmaß µ1 diffus ist und
dass somit p(1) ({s}) = 0 für jedes s ∈ Rd .
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
Beachte
17
Aus Lemma 2.1 ergibt sich insbesondere,


 Si(1) ,





(2)
Sei =
S
(1) ,

i−N

Rd




 ∞
dass durch {Sei } mit
(1)
falls NRd ≥ i,
(1)
(2)
(1)
(18)
falls NRd + NRd ≥ i > NRd ,
sonst
(1)
(2)
eine messbare Indizierung der Atome des zufälligen Maßes {NB } mit NB = NB + NB gegeben ist.
Wir übertragen nun den in (18) gegebenen Ansatz auf den Fall von beliebigen (endlichen bzw. abzählbar unendlichen) Summen unabhängiger Poisson–Prozesse.
Theorem 2.6 Sei µ : B(Rd ) → [0, ∞] ein beliebiges diffuses und lokal endliches Maß. Dann gibt es eine Folge
S1 , S2 , . . . : Ω → Rd ∪ {∞} von Zufallsvektoren, so dass das zufällige Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} mit
NB = #{i : Si ∈ B}
ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ ist.
∀ B ∈ B(Rd )
(19)
Beweis
• Man kann sich leicht überlegen, dass sich µ als (abzählbar unendliche) Summe von endlichen Maßen
µ1 , µ2 , . . . : B(Rd ) → [0, ∞) darstellen lässt, so dass
µ(B) =
∞
X
∀ B ∈ B(Rd ) .
µj (B)
j=1
• Dabei können wir o.B.d.A. annehmen, dass µj (Rd ) > 0 für jedes j ≥ 1.
(20)
(j)
(j)
• Gemäß Korollar 2.1 gibt es dann für jedes j ≥ 1 unabhängige Zufallsvariablen N (j) , S1 , S2 , . . . mit
N (j) ∼ Poi(µj (Rd )) ,
(j)
Si
∼
µj (·)
µj (Rd )
∀i ≥ 1,
– so dass durch den Ansatz
(j)
(j)
NB = #{i : 1 ≤ i ≤ N (j) , Si
∈ B}
∀ B ∈ B(Rd )
(j)
ein Poisson–Prozess {NB , B ∈ B(Rd )} mit dem Intensitätsmaß µj gegeben ist.
(1)
(1)
(2)
(2)
– Dabei können die Folgen {N (1) , S1 , S2 , . . .}, {N (2) , S1 , S2 , . . .}, . . . so gewählt werden, dass
sie ihrerseits unabhängig sind.
(1)
(2)
– Damit sind auch die Poisson–Prozesse {NB }, {NB }, . . . unabhängig.
P∞
(i)
• Aus Theorem 2.4 ergibt sich nun, dass das zufällige Zählmaß {NB } mit NB = i=1 NB ein Poisson–
Prozess mit dem Intensitätsmaß µ ist.
• Darüber hinaus ergibt sich aus Lemma 2.1, dass durch die Folge {Si } von Zufallsvektoren mit

(1)

falls N (1) ≥ i,

 Si ,



 S (2) (1) ,
falls N (1) + N (2) ≥ i > N (1) ,


 i−N
..
Si =
.



(j)


Si−N (1) −...−N (j−1) , falls N (1) + . . . + N (j) ≥ i > N (1) + . . . + N (j−1) für ein j > 2,




 ∞
sonst
eine messbare Indizierung der Atome von {NB } gegeben ist, so dass (19) gilt.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
2.1.4
18
Simulationsalgorithmus; Akzeptanz– und Verwerfungsmethode
Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein Poisson–Prozess mit dem (diffusen und lokal endlichen) Intensitätsmaß µ, und seien
B1 , . . . , Bn ∈ Qd paarweise disjunkte Quader mit der in (1) gegebenen Form, so dass µ(Bi ) > 0 für jedes
i = 1, . . . , n.
Sn
Um den Poisson–Prozess {NB } in der beschränkten Borel–Menge C = i=1 Bi zu simulieren, genügt es zu
beachten,
eB } mit N
eB = NB∩C gemäß Theorem 2.5 ein Poisson–Prozess mit dem
• dass das zufällige Zählmaß {N
endlichen Zählmaß µ
e ist wobei µ
e(B) = µ(B ∩ C),
• und dass man deshalb gemäß Theorem 2.3 bzw. Korollar 2.1 wie folgt vorgehen kann:
Schritt 0 Generiere eine Realisierung von NC ∼ Poi(µ(C)).
Schritt 1 Falls NC = k, dann generiere eine Realisierung des multinomial verteilten Zufallsvektors
(N1 , . . . , Nn ) ∼ Mult(k; p1 , . . . , pn ) ,
wobei pi = µ(Bi )/µ(C) für jedes i = 1, . . . , n.
Schritt 2 Falls (N1 , . . . , Nn ) = (k1 , . . . , kn ), dann generiere
(1)
(1)
(n)
(n)
k1 unabhängige Zufallsvektoren S1 , . . . , Sk1 ∼ µ(· ∩ B1 )/µ(B1 ),
..
.
kn unabhängige Zufallsvektoren S1 , . . . , Skn ∼ µ(· ∩ Bn )/µ(Bn ),
(1)
(n)
(1)
(n)
wobei die Zufallsvektoren (S1 , . . . , Sk1 ), . . . , (S1 , . . . , Skn ) ebenfalls unabhängig sind.
Beachte
(1)
(1)
(n)
(1)
(n)
(1)
(n)
(n)
• Seien (s1 , . . . , sk1 ), . . . , (s1 , . . . , skn ) Realisierungen von (S1 , . . . , Sk1 ), . . . , (S1 , . . . , Skn ).
(1)
(1)
(n)
(n)
• Dann ist die (nichtgeordnete) Menge {s1 , . . . , sk1 , . . . , s1 , . . . , skn } von Punkten im Rd eine RealiSn
sierung der Atome des Poisson–Prozesses {NB } in der Menge C = i=1 Bi .
Sn
Wenn die Anzahl n der Quader B1 , . . . , Bn ∈ Qd groß ist, aus denen die Menge C = i=1 Bi besteht, dann kann
die praktische Umsetzung der Simulationsschritte 1 und 2 mit einem großen Rechenaufwand verbunden sein.
• In diesem Fall kann es effizienter sein, den Poisson–Prozess {NB } mit der folgenden Akzeptanz– und Verwerfungsmethode in C zu simulieren.
• Diese Methode hat darüber hinaus den Vorteil, dass das Gebiet C ⊂ Rd , in dem Poisson–Prozess {NB }
simuliert wird, eine beliebige beschränkte Borel–Menge sein kann.
– Sei also µ : B(Rd ) → [0, ∞] eine beliebiges (diffuses und lokal endliches) Maß, sei C ∈ B0 (Rd ) eine
beliebige beschränkte Borel–Menge mit 0 < µ(C) < ∞, und sei
e = (a1 , b1 ] × . . . × (ad , bd ]
C
e
ein (beschränkter) d–dimensionaler Quader mit C ⊂ C.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
19
– Um den Poisson–Prozess {NB } in der Menge C zu simulieren, kann man nun gemäß Theorem 2.5 wie
folgt vorgehen:
Schritt 0 Generiere eine Realisierung von NC ∼ Poi(µ(C)).
Schritt 1 Falls NC = k, dann generiere so lange Realisierungen s1 , s2 , . . . der unabhängigen Zufallsvektoren
e
e bis k der Pseudozufallszahlen s1 , . . . , sn in der Menge C liegen, wobei
S1 , S2 , . . . ∼ µ(· ∩ C)/µ(
C),
n = min #{i : si ∈ C, 1 ≤ i ≤ j} ≥ k .
j≥1
Schritt 2 Dann ist die (nichtgeordnete) Menge {si : si ∈ C, 1 ≤ i ≤ n} von Punkten im Rd eine
Realisierung der Atome des Poisson–Prozesses {NB } in der Menge C.
2.1.5
Transformationssätze
In diesem Abschnitt betrachten wir zwei verschiedene Arten von Transformationen von Poisson–Prozessen im Rd .
′
Für beliebige d, d′ ≥ 1 seien die Borel–Mengen E ∈ B(Rd ) und E ′ ∈ B(Rd ) gegeben.
• Außerdem sei T : E → E ′ eine Borel–messbare Abbildung, d.h., es gelte
T−1 (B ′ ) = {x ∈ E : T(x) ∈ B ′ } ∈ B(E)
∀ B ′ ∈ B(E ′ ) ,
• wobei die Urbilder von beschränkten Borel–Mengen beschränkt seien, d.h., es gelte
T−1 (B ′ ) ∈ B0 (E)
∀ B ′ ∈ B0 (E ′ ) .
Beachte Sei {NB , B ∈ B(E)} ein beliebiges Zählmaß in E mit dem Intensitätsmß µ : B(E) → [0, ∞]. Man
kann sich leicht überlegen, dass dann durch den Ansatz
NB′ ′ = NT−1 (B ′ )
∀ B ′ ∈ B(E ′ )
(21)
ein zufälliges Zählmaß {NB′ ′ , B ′ ∈ B(E ′ )} in E ′ gegeben ist, wobei das Intensitätsmaß µ′ : B(E ′ ) → [0, ∞]
von {NB′ ′ } gegeben ist durch
(21)
µ′ (B ′ ) = E NB′ ′ = E NT−1 (B ′ ) = µ(T−1 (B ′ ))
∀ B ′ ∈ B(E ′ ) .
(22)
Theorem 2.7 Sei {NB , B ∈ B(E)} ein Poisson–Prozess in E mit dem (diffusen und lokal endlichem) Intensitätsmaß µ.
• Dann ist das in (21) gegebene zufällige Zählmaß {NB′ ′ , B ′ ∈ B(E ′ )} ein Poisson–Prozess in E ′ , dessen
Intensitätsmaß µ′ durch (22) gegeben ist.
• Wenn {Si } eine messbare Indizierung der Atome von {NB } ist und wenn die Abbildung T : E → E ′
eineindeutig ist, dann ist durch
Si′ = T′ (Si )
(23)
eine messbare Indizierung {Si′ } der Atome von {NB′ ′ } gegeben, wobei die Abbildung T′ : E∪{∞} → E ′ ∪{∞}
gegeben ist durch

 T(x) , falls x ∈ E,
T′ (x) =
 ∞,
falls x = ∞.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
20
Beweis
• Offenbar gilt NB′ ′ = NT−1 (B ′ ) ∼ Poi(µ(T−1 (B ′ )).
• Wenn B1′ , . . . , Bn′ ∈ B0 (E ′ ) paarweise disjunkte Borel–Mengen sind, dann sind auch die Urbilder
T−1 (B1′ ), . . . , T−1 (Bn′ ) paarweise disjunkt und die Zufallsvariablen
NB′ 1′ = NT−1 (B1′ ) , . . . , NB′ n′ = NT−1 (Bn′ )
sind somit unabhängig.
• Außerdem ist die Abbildung Si′ = T′ (Si ) : Ω → E ′ ∪{∞} für jedes i ≥ 1 messbar, weil die Abbildungen
Si : Ω → E ∪ {∞} und T′ : E ∪ {∞} → E ′ ∪ {∞} messbar sind, und es gilt für jedes B ′ ∈ B(E ′ )
NB′ ′ = NT−1 (B ′ ) = #{i : Si ∈ T−1 (B ′ )} = #{i : T′ (Si ) ∈ B ′ } .
• Also ist {T′ (Si )} eine messbare Indizierung der Atome von {NB′ ′ }.
Beispiele
Sei {NB , B ∈ B(E)} ein homogener Poisson–Prozess in E = (0, ∞) mit der Intensität λ = 1.
1. Sei E ′ = E = (0, ∞) und T(x) = x2 .
• Dann ist {NB′ ′ } ein Poisson–Prozess in (0, ∞).
• Das Intensitätsmaß µ′ von {NB′ ′ } ist absolutstetig bezüglich dem (1–dimensionalen) Lebesgue–Maß
ν1 (· ∩ (0, ∞)), wobei die Dichte gegeben ist durch
dµ′
1
(x) = √
dx
2 x
∀x > 0.
2. Sei E ′ = E × E und die Abbildung T : E → E × E sei gegeben durch T(x) = (x, x2 ).
• Dann ist die Folge {Si } der Sprungzeitpunkte des (Poissonschen) Zählprozesses {Nt , t > 0} mit
Nt = N(0,t] eine messbare Indizierung der Atome von {NB }.
• Außerdem ist {Si′ } = {(Si , Si2 )} eine messbare Indizierung der Atome eines Poisson–Prozesses
{NB′ ′ } in (0, ∞)2 ,
• dessen Intensitätsmaß µ′ auf dem Funktionsgraphen {(x, x2 ) : x > 0} konzentriert ist.
• Beachte: Das heißt insbesondere, dass die Atome von {NB′ ′ } mit Wahrscheinlichkeit 1 in einer
1–dimensionalen Teilmenge von (0, ∞)2 liegen; vgl. Abbildung 5.
Wir betrachten nun noch eine andere Art der Transformation von Poisson–Prozessen im Rd , mit deren Hilfe man
′
Poisson–Prozesse {NB′ ′ } in höherdimensionalen Räumen E ′ ⊂ Rd mit d′ > d konstruieren kann, so dass der
′
′
′
Träger des Intensitätsmaßes µ von {NB ′ } eine d –dimensionale Menge ist.
Theorem 2.8
• Sei {NB , B ∈ B(E)} ein Poisson–Prozess in E ∈ B(Rd ) mit dem Intensitätsmaß µ, so dass µ(E) > 0, und
sei {Si } eine messbare Indizierung der Atome von {NB }.
• Außerdem sei m ≥ 1 eine beliebige natürliche Zahl und U1 , U2 , . . . : Ω → Rm sei eine Folge von unabhängigen
und identisch verteilten Zufallsvektroren mit der Verteilung PU , die von {Si } unabhängig sind.
• Dann ist durch
ein Poisson–Prozess
′
NB×C
= #{i : (Si , Ui ) ∈ B × C}
{NB′ ′ }
′
in E = E × R
m
∀ B ∈ B(E), C ∈ B(Rm )
′
mit dem Intensitätsmaß µ = µ × PU gegeben.
(24)
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
21
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Abbildung 5: Poisson–Prozess auf der Parabel T(x) = (x, x2 )
Beweis
• Wir betrachten zunächst den Fall, dass µ ein endliches Maß ist.
– Dann können wir o.B.d.A. annehmen, dass die messbare Indizierung {Si } der Atome von {NB }
durch (10) und (15) gegeben ist.
– Dann sind die Zufallsvektoren S1′ , S2′ , . . . mit Si′ = (Si , Ui ) unabhängig, und es gilt
Si′ ∼
µ(·)
× PU
µ(E)
∀i ≥ 1.
– Aus Korollar 2.1 ergibt sich nun, dass durch den Ansatz
NB′ ′ = #{i : 1 ≤ i ≤ N, Si′ ∈ B ′ }
∀ B ′ ∈ B(E × Rm )
ein Poisson–Prozess NB′ ′ in E ′ = E × Rm mit dem Intensitätsmaß µ′ gegeben ist, wobei
µ′ (B × C) = µ(E)
µ(B)
× PU (C) = µ(B) × PU (C)
µ(E)
∀ B ∈ B(E), C ∈ B(Rm ) .
– Damit ist die Behauptung unter der zusätzlichen Annahme bewiesen, dass µ endlich ist.
• Wenn µ ein beliebiges (diffuses und lokal endliches) Maß ist,
– dann können wir µ′ = µ × PU als (abzählbar unendliche) Summe von endlichen Maßen µ′1 , µ′2 , . . .
darstellen
– und anschließend so wie im Beweis von Theorem 2.6 vorgehen.
Beachte
• Ähnlich wie bei zusammengesetzten Poisson–Prozessen in [0, ∞), die in Abschnitt WT–2.2.2 eingeführt
worden sind, können die in Theorem 2.8 betrachteten Zufallsvariablen Ui als „Marken” der Atome Si
aufgefasst werden.
• Dabei sagt man, dass die Folge {(Si , Ui )} der markierten Atome eine messbare Indizierung eines unabhängig markierten Poisson–Prozesses ist.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
2.2
2.2.1
22
Homogene Poisson–Prozesse
Radiale Simulation
Mit Hilfe der Theoreme 2.7 und 2.8 konstruieren wir einen Algorithmus zur radialen Simulation von homogenen
Poisson–Prozessen im R2 .
• Sei T1 , T2 , . . . : Ω → [0, ∞) eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit
Ti ∼ Exp(1) für jedes i ≥ 1.
• Für jedes λ > 0 ergibt sich dann aus Theorem 2.7, dass durch
( v
)
u i
u X Tk
NB = # i : t
∈B
∀ B ∈ B([0, ∞))
πλ
k=1
ein Poisson–Prozess {NB , B ∈ B([0, ∞))} in [0, ∞) gegeben ist, dessen Intensitätsmaß µ absolutstetig ist
mit der Dichte
dµ
(x) = 2πλx
∀x ≥ 0.
dx
• Dabei ist durch
v
u i
u X Tk
Si = t
πλ
∀i ≥ 1
k=1
eine messbare Indizierung {Si } der Atome von {NB } gegeben.
• Außerdem sei U1 , U2 , . . . : Ω → [0, 2π) eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen
mit Ui ∼ U([0, 2π)), die unabhängig von {Ti } ist.
• Dann ergibt sich aus Theorem 2.8, dass {(Si , Ui )} eine messbare Indizierung der Atome eines Poisson–
Prozesses in [0, ∞) × [0, 2π) ist, dessen Intensitätsmaß durch µ × U(0, 2π) gegeben ist.
• Die erneute Anwendung von Theorem 2.7 auf die Abbildung T : [0, ∞) × [0, 2π) → R2 mit
∀ s ≥ 0, u ∈ [0, 2π)
T(s, u) = (s cos u, s sin u)
(25)
ergibt schließlich, dass {T(Si , Ui )} eine messbare Indizierung der Atome eines homogenen Poisson–Prozessen
im R2 mit der Intensität λ ist.
Um einen homogenen Poisson–Prozess mit der Intensität λ im Kreis B(o, r) = {x ∈ R2 : |x| ≤ r} mit Radius
r > 0 zu simulieren, kann man also wie folgt vorgehen:
Schritt 0 Generiere die Pseudozufallszahlen t1 , t2 , . . . , tn(r) gemäß der Verteilung Exp(1), wobei
( v
)
u i
u X tk
t
≤r .
n(r) = max i :
πλ
k=1
Schritt 1 Generiere die Pseudozufallszahlen u1 , u2 , . . . , un(r) gemäß der Verteilung U(0, 2π).
Schritt 2 Berechne die Vektoren (s1 , u1 ), . . . , (sn(r) , un(r) ), wobei
v
u i
u X tk
∀i ≥ 1.
si = t
πλ
k=1
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
23
S3
0,8
S2
0,4
0
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
-0,4
S1
-0,8
S4
Abbildung 6: Radiale Simulation von homogenen Poisson–Prozessen
Schritt 3 Transformiere die Vektoren (s1 , u1 ), . . . , (sn(r) , un(r) ) mit Hilfe der in (25) gegebenen Abbildung
T : [0, ∞) × [0, 2π) → R2 .
Schritt 4 Generiere so die Realisierung T(s1 , u1 ), . . . , T(sn(r) , un(r) ) eines (2–dimensionalen) homogenen
Poisson–Prozesses im Kreis B(o, r) = {x ∈ R2 : |x| ≤ r}; vgl. Abbildung 6.
2.2.2
Schätzung der Intensität; Signifikanztests
Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ ∈ (0, ∞). Aus der Definitionsgleichung
(6) von λ ergibt sich dann unmittelbar, dass
b W = NW
(26)
λ
νd (W )
für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ein erwartungstreuer Schätzer für λ ist. Außerdem hat der Schätzer
bW die folgenden Güteeigenschaften.
λ
Theorem 2.9
• Sei W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞ für n → ∞. Dann ist
bW
der erwartungstreue Schätzer λ
n
1. schwach konsistent, d.h., für jedes ε > 0 gilt
bW − λ| > ε) = 0 ,
lim P (|λ
n
n→∞
2. asymptotisch normalverteilt, d.h., für jedes x ∈ R gilt
!
r
νd (Wn ) b
λWn − λ ≤ x = Φ(x) ,
lim P
n→∞
λ
wobei Φ : R → [0, 1] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
(27)
(28)
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
24
• Wenn W1 ⊂ W2 ⊂ . . . eine monotone Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞ für
bW stark konsistent, d.h., es gilt
n → ∞ ist, dann ist der Schätzer λ
n
bW = λ = 1 .
(29)
P lim λ
n
n→∞
Beweis
• Die Gültigkeit von (27) ergibt sich aus der Tschebyschew–Ungleichung (vgl. Theorem WR-4.18), denn
es gilt für n → ∞
b
λ
bW − λ| > ε) ≤ Var λWn =
P (|λ
−→ 0 .
n
2
2
ε
ε · νd (Wn )
• Beim Beweis von (28) kann man die Charakterierung der Verteilungskonvergenz durch charakteristische
Funktionen
WR–5.7). Es genügt also zu zeigen, dass die charakteristische Funkp nutzen (vgl. Theorem
bW − λ punktweise gegen die charakteristische Funktion der N(0, 1)–Verteilung
tion von |Wn |/λ λ
n
strebt.
• Wenn W1 ⊂ W2 ⊂ . . . eine monotone Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞
für n → ∞ ist, dann gibt es
– eine Folge von paarweise disjunkten Borel–Mengen U1 , U2 , . . . ∈ B0 (Rd ) mit νd (Un ) = 1 für n ≥ 1
– und eine monotone Folge k1 , k2 , . . . natürlicher Zahlen mit kn → ∞ für n → ∞, so dass
kn
[
i=1
kn
[
Ui ≤ 1
ν d Wn \
und
U i ⊂ Wn
i=1
∀n ≥ 1.
• Darüber hinaus gibt es
– eine Folge von paarweise disjunkten Borel–Mengen V1 , V2 , . . . ∈ B0 (Rd ) mit νd (Vn ) = 1 für jedes
n≥1
– und eine monotone Folge ℓ1 , ℓ2 , . . . natürlicher Zahlen mit ℓn → ∞ für n → ∞, so dass
ℓn
[
i=1
und
V i ⊃ Wn
• Somit gilt
kn
νd (Wn )
kn
P
νd
ℓn
[
i=1
NU i
i=1
kn
≤
V i \ Wn ≤ 1
NW n
ℓn
≤
νd (Wn )
νd (Wn )
ℓn
P
∀n ≥ 1.
NV i
i=1
ℓn
∀n ≥ 1.
(30)
• Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen für Summen unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen (vgl. Theorem WR–5.15) ergibt sich nun, dass mit Wahrscheinlichkeit 1
lim
n→∞
• Weil
lim
n→∞
kn
P
NU i
i=1
kn
= lim
n→∞
ℓn
P
NV i
i=1
ℓn
= λ.
kn
ℓn
= lim
= 1,
νd (Wn ) n→∞ νd (Wn )
ergibt sich hieraus und aus (30), dass mit Wahrscheinlichkeit 1
lim
n→∞
NW n
= λ.
νd (Wn )
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
25
Beachte
• Aus Theorem 2.9 ergibt sich der folgende asymptotische Signifikanztest zur Verifizierung des Hypothesenpaars H0 : λ = λ0 vs. H1 : λ 6= λ0 .
– Mit Hilfe des Satzes von Slutsky (vgl. Theorem WR–5.11) ergibt sich aus (28) und (29), dass die
Testgröße
s
|W | b
λW − λ0
(31)
T =
bW
λ
näherungsweise standardnormalverteilt ist, wenn das Beobachtungsfenster W hinreichend groß ist.
– Somit wird H0 abgelehnt, wenn |T | > z1−α/2 , wobei zα das α–Quantil der Standardnormalverteilung bezeichnet.
• Wenn W nicht groß genug ist, so dass die Verteilung der in (31) betrachteten Testgröße T zu stark von
der Standardnormalverteilung abweicht, dann kann der folgende Monte–Carlo–Test betrachtet werden,
um das Hypothesenpaar H0 : λ = λ0 vs. H1 : λ 6= λ0 zu verifizieren.
– Für α = 0.05 werden 99 Realisierungen eines homogenen Poisson–Prozesses mit der (hypothetischen) Intensität λ0 in W generiert und die zugehörigen Realisierungen t1 , . . . , t99 der Testgröße
|T | berechnet.
– Sei t0 diejenige Realisierung von |T |, die sich für die (eigentlichen) Daten ergibt, und sei ρ0 der
Rang von t0 in der (geordneten) Stichprobe t0 , t1 , . . . , t99 .
– Wenn ρ0 > 95, dann wird H0 abgelehnt.
– Für α = 0.01 werden 999 Realisierungen t1 , . . . , t999 der Testgröße |T | generiert, wobei dann H0
abgelehnt wird, wenn ρ0 > 990.
2.3
Poisson–Prozesse mit absolutstetigem Intensitätsmaß
In diesem Abschnitt setzen wir voraus, dass das Intensitätsmaß µ des Poisson–Prozesses {NB } absolutstetig
bezüglich des d–dimensionalen Lebesgue–Maßes ist, d.h., es gibt eine Borel–messbare Funktion λ : Rd → [0, ∞),
so dass
Z
λ(x) dx
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(32)
µ(B) =
B
wobei λ : Rd → [0, ∞) die Intensitätsfunktion von {NB } genannt wird.
2.3.1
Ortsabhängige Verdünnung von Poisson–Prozessen; Simulationsalgorithmus
Aus den Transformationssätzen, die in Abschnitt 2.1.5 hergeleitet worden sind, ergibt sich die folgende Invarianzeigenschaft von Poisson–Prozessen bezüglich ortsabhängiger Verdünnung, vgl. Abbildung 7.
Theorem 2.10
• Seien λ1 , λ2 : Rd → [0, ∞) zwei Borel–messbare und lokal–integrierbare Funktionen, so dass
λ1 (x) ≥ λ2 (x)
∀ x ∈ Rd .
(33)
– Sei {Sn } eine messbare Indizierung der Atome eines Poisson–Prozesses mit der Intensitätsfunktion λ1 .
– Außerdem sei U1 , U2 , . . . : Ω → [0, 1] eine Folge von unabhängigen und im Intervall [0, 1] gleichverteilten
Zufallsvariablen, die von {Sn } unabhängig ist.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
26
eB , B ∈ B(Rd )} mit
• Dann ist das zufällige Zählmaß {N
eB = #{n : Sn ∈ B, Un ≤ λ2 (Sn )/λ1 (Sn )}
N
∀ B ∈ B(Rd )
(34)
ein Poisson–Prozess mit der Intensitätsfunktion λ2 .
Beweis
• Aus Theorem 2.8 ergibt sich, dass {(Sn , Un )} eine messbare Indizierung der Atome eines Poisson–
Prozesses in Rd × [0, 1] mit der Intensitätsfunktion λ(x, u) = λ1 (x) · 1I[0,1] (u) ist.
• Aus Theorem 2.7 ergibt sich nun, dass {(Sn , Un′ )} mit
Un′ =


 Un ,


2,
falls Un ≤ λ2 (Sn )/λ1 (Sn ),
falls Un > λ2 (Sn )/λ1 (Sn )
eine messbare Indizierung der Atome eines Poisson–Prozesses in Rd × ([0, 1] ∪ {2}) ist, dessen Intensitätsmaß µ′ gegeben ist durch
Z Z
′
µ (B × [0, 1]) =
1I[0,λ2 (x)/λ1 (x)] (u) du λ1 (x) dx
∀ B ∈ B(Rd ) .
B
• Hieraus folgt, dass
µ′ (B × [0, 1]) =
Z
[0,1]
B
λ2 (x)
λ1 (x) dx =
λ1 (x)
Z
λ2 (x) dx
B
∀ B ∈ B(Rd ) .
eB } ein Poisson–Prozess mit der Intensitätsfunktion λ2 ist.
• Damit ist gezeigt, dass {N
Abbildung 7: Ortsabhängige Verdünnung der Punkte; p(x) = 1 bzw. p(x) = 0.5
Mit Hilfe von Theorem 2.10 lässt sich ein Algorithmus zur Simulation von Poisson–Prozessen angeben, deren
Intensitätsfunktion eine beschränkte Funktion ist. Hierfür ist das folgende Korollar nützlich, dass sich unmittelbar
aus Theorem 2.10 ergibt.
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
27
Korollar 2.2
• Sei {Sn } eine messbare Indizierung der Atome eines homogenen Poisson–Prozesses mit der Intensität λ.
• Sei U1 , U2 , . . . : Ω → [0, 1] eine Folge von unabhängigen und in [0, 1] gleichverteilten Zufallsvariablen, die
von {Sn } unabhängig ist, und sei p : Rd → [0, 1] eine Borel–messbare Funktion.
eB , B ∈ B(Rd )} mit
• Dann ist das zufällige Zählmaß {N
eB = #{n : Sn ∈ B, Un ≤ p(Sn )}
N
∀ B ∈ B(Rd )
e : Rd → [0, ∞) gegeben ist durch
ein Poisson–Prozess, dessen Intensitätsfunktion λ
e
λ(x)
= λ p(x)
∀ x ∈ Rd .
(35)
(36)
Um einen Poisson–Prozess mit einer vorgegebenen beschränkten Intensitätsfunktion λ : C → [0, ∞) in einer
beschränkten Borel–Menge C ∈ B0 (Rd ) zu simulieren, kann man also wie folgt vorgehen, vgl. auch Abbildung 7:
Schritt 0 Generiere die Realisierungen s1 , s2 , . . . , sk ∈ C der Atome eines homogenen Poisson–Prozesses
{Sn } in C, dessen Intensität λmax gegeben ist durch
λmax = sup λ(x) < ∞ .
x∈C
Schritt 1 Generiere die Realisierungen u1 , u2 , . . . , uk ∈ [0, 1] der unabhängigen und in [0, 1] gleichverteilten
Zufallsvariablen U1 , U2 , . . . , Uk .
Schritt 2 Eliminiere diejenigen Punkte sn , für die un > λ(sn )/λmax gilt.
Schritt 3 Die verbleibenden Punkte {si1 , . . . , sim } ⊂ {s1 , s2 , . . . , sk } bilden dann eine Realisierung eines
Poisson–Prozesses mit der Intensitätsfunktion λ : C → [0, ∞) in der Menge C.
2.3.2
Nichtparametrische Schätzung der Intensitätsfunktion; Randkorrektur
• Sei W ∈ B0 (Rd ) eine offene Menge mit 0 < νd (W ) < ∞, und sei S1 , S2 . . . eine messbare Indizierung der
Atome eines Poisson–Prozesses {NB , B ∈ B(Rd )} im Beobachtungsfenster W mit der Intensitätsfunktion
λ : W → [0, ∞).
• Ein erster (nicht randkorrigierter) Ansatz zur Schätzung des Intensitätswertes λ(x) für x ∈ W ist gegeben
durch
eh (x) = NB(x,h)∩W
∀x ∈ W ,
(37)
λ
κd hd
wobei B(x, h) = {y ∈ Rd : |y − x| ≤ h} die Kugel mit Mittelpunkt ∈ Rd und Radius h > 0 ist und
κd = νd (B(o, 1)) das Volumen der d–dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Beachte
eh (x) für λ(x) ist im allgemeinen nicht erwartungstreu.
• Der in (37) gegebene Schätzer λ
– Wenn λ : W → [0, ∞) eine stetige Funktion ist, dann gilt jedoch für jedes x ∈ W
R
λ(y) dy
E NB(x,h)∩W
B(x,h)∩W
e
= lim
= λ(x) ,
lim E λh (x) = lim
d
d
h↓0
h↓0
h↓0
κd h
κd h
eh (x) ist asymptotisch erwartungstreu.
d.h., λ
(38)
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
28
– Andererseits gilt aber
eh (x) = lim Var NB(x,h)∩W = lim
lim Var λ
h↓0
h↓0
h↓0
κ2d h2d
R
λ(y) dy
B(x,h)∩W
κ2d h2d
=∞
∀x ∈ W .
(39)
• Der Radius h > 0 sollte deshalb so gewählt werden, dass der mittlere quadratische Fehler eh (x) des
eh (x) möglichst klein ist, wobei
Schätzers λ
eh (x) − λ(x) 2 .
eh (x) = E λ
(40)
eh (x) besteht darin, dass er Randeffekte aufweist,
• Ein weiteres Problem des in (37) gegebenen Schätzers λ
– weil im allgemeinen νd (B(x, h) ∩ W ) < κd hd für Lokationen x ∈ W gilt, die nahe am Rand ∂W
des Beobachungsfensters W liegen,
– und dass dann die Normierung κd hd in (37) zu groß ist.
eh (x) ein randkorrigierter Schätzer λ
bh (x) für λ(x) betrachtet, wobei
• Deshalb wird anstelle von λ
bh (x) =
λ
NB(x,h)∩W
νd (B(x, h) ∩ W )
(41)
∀x ∈ W .
eh (x) und λ
bh (x) können als spezielle Kernschätzer für λ(x) aufgefasst
Die in (37) bzw. (41) betrachteten Schätzer λ
werden.
Definition
Unter einer Kernfunktion k : Rd → [0, ∞) versteht man eine radial–symmetrische Funktion mit
Z
k(x) dx = 1 .
Rd
Beispiele
1. Dichte der multivariaten Standardnormalverteilung (vgl. Abbildung 8)
s
1
1
k(x) =
exp − x⊤ x
∀ x ∈ Rd .
d
(2π)
2
2. Epanechnikov–Kern (vgl. Abbildung 9)
 d+2

(1 − x⊤ x) ,

2κ
d
k(x) =


0
falls x⊤ x < 1,
sonst.
Beachte
eh (x) und λ
bh (x) können in der Form
• Die in (37) bzw. (41) betrachteten Schätzer λ
NW
X
k (x − Si )/h
eh (x) = Zi=1
λ
k (x − y)/h dy
Rd
geschrieben werden,
bzw.
NW
X
k (x − Si )/h
bh (x) = Zi=1
λ
k (x − y)/h dy
W
(42)
2 POISSONSCHE ZÄHLMAßE
29
0,4
0,3
k(x)0,2
0,1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Abbildung 8: Dichte der Standardnormalverteilung; d = 1
0,7
0,6
0,5
0,4
k(x)
0,3
0,2
0,1
0
-1
-0,5
0
0,5
1
x
Abbildung 9: Epanechnikov–Kern; d = 1
– wobei die Kernfunktion k : Rd → [0, ∞) gegeben ist durch
k(x) = κ−1
d 1IB(o,1) (x)
∀ x ∈ Rd .
– Der Parameter h > 0 in (42) heißt Bandbreite des Kernschätzers.
• In den meisten Fällen ist die optimale Wahl der Bandbreite (z.B. im Sinne der Minimierung des
mittleren quadratischen Fehlers, vgl. (40)) wesentlich wichtiger hinsichtlich der Güteeigenschaften von
Kernschätzern, als die Wahl der einen oder anderen spezifischen Kernfunktion k : Rd → [0, ∞).
• Ein populäres Verfahren zur Bestimmung einer optimalen Bandbreite h > 0 ist die Methode der
Likelihood–Cross–Validation. Dabei wird ein (von der Lage der Punkte S1 , . . . , SNW abhängender)
Schätzer b
h für h bestimmt, der Lösung des folgenden Maximierungsproblems ist.
– Für jedes i = 1, . . . , NW wird die Teilstichprobe S1 , . . . , Si−1 , Si+1 , . . . , SNW betrachtet und der
b(i) (Si ) von λ
bh (x) an der Stelle x = Si auf der Basis dieser Teilstichprobe berechnet.
Wert λ
h
– Wenn die Loglikelihood–Funktion
L(h) =
NW
X
i=1
b(i) (Si )
log λ
h
mit Wahrscheinlichkeit 1 ein eindeutig bestimmtes Maximum im Intervall (0, ∞) hat,
– dann ist der Schätzer b
h derjenige Wert h > 0, für den die Funktion L(h) dieses Maximum annimmt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
3
30
Zufällige Punktprozesse
3.1
Definitionen und grundlegende Eigenschaften
• Sei S1 , S2 , . . . Ω → Rd ∪ {∞} eine beliebige Folge von Zufallsvektoren über einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ), so dass
#{n : Sn ∈ B} < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(1)
• Dann sagt man, dass {Sn } ein zufälliger Punktprozess in Rd ist, wobei durch den Ansatz
∀ B ∈ B(Rd )
NB = #{n : Sn ∈ B}
d
(2)
ein (lokal endliches) zufälliges Zählmaß {NB , B ∈ B(R )} gegeben ist.
• Wenn zusätzlich zu der lokalen Endlichkeitsbedingung (1) gilt, dass mit Wahrscheinlichkeit 1
Si 6= Sj
∀ i, j ≥ 1 mit i 6= j ,
(3)
dann wird {Sn } ein einfacher zufälliger Punktprozess genannt.
• Beachte. Für einfache Punktprozesse kann die Folge {Sn } als eine messbare Indizierung der Atome von
{NB } aufgefasst werden.
3.1.1
Intensitätsmaß und Campbellsches Theorem
• Ähnlich wie bei Poisson–Prozessen (vgl. Abschnitt 2.1) kann man auch für beliebige Punktprozesse {Sn }
bzw. für die zugehörigen Zählmaße {NB } den Begriff des Intensitätsmaßes µ : B(Rd ) → [0, ∞] einführen,
wobei
µ(B) = E NB
∀ B ∈ B(Rd ) .
(4)
• Dabei wird stets vorausgesetzt, dass das Intensitätsmaß µ lokal endlich ist.
Das folgende Resultat wird in der Literatur das Campbellsche Theorem genannt. Es ist eine spezielle Version des
Satzes von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge.
Theorem 3.1
• Sei {Sn } ein Punktprozess mit dem Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞], und sei f : Rd ∪ {∞} → [0, ∞) eine
nichtnegative Borel-messbare Funktion mit f (∞) = 0.
• Dann gilt
E
d.h.,
P∞
n=1
∞
X
n=1
f (Sn )
!
=
Z
f (x) µ(dx) ,
Rd
f (Sn ) ist ein erwartungstreuer Schätzer des Integrals
R
Rd
(5)
f (x) µ(dx).
Beweis
• Die Gültigkeit von (5) lässt sich mit algebraischer Induktion zeigen.
• Wenn f eine Indikatorfunktion ist, dann ergibt sich (5) unmittelbar aus der Definitionsgleichung (4)
des Intensitätsmaßes µ.
• Somit gilt (5) auch für Linearkombinationen von Indikatorfunktionen.
• Weil sich jede nichtnegative Borel-messbare Funktion durch eine monoton wachsende Folge solcher
Linearkombinationen von Indikatorfunktionen approximieren lässt, ergibt sich die Behauptung nun
aus dem Satz von B. Levi über die monotone Konvergenz.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
3.1.2
31
Erzeugendes Funktional
Ein wichtiges analytisches Tool bei der Untersuchung von Punktprozessen ist das erzeugende Funktional, das eine
Verallgemeinerung der erzeugenden Funktion von nichtnegativen ganzzahligen Zufallsvariablen ist.
Definition
• Sei H die Familie aller Borel–messbaren Funktionen f : Rd ∪ {∞} → [0, 1] mit f (x) = 1, wenn x
außerhalb einer beschränkten (i.a. von f abhängigen) Borel–Menge Bf ∈ B(Rd ) liegt.
• Die Abbildung G : H → [0, 1] mit
G(f ) = E
∞
Y
f (Sn )
n=1
!
∀f ∈ H
(6)
wird erzeugendes Funktional des Punktprozesses {Si } genannt.
Beachte
• Das Produkt in (6) hat mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich viele Faktoren, die von 1 verschieden sind,
denn es gilt
!
!
∞
Y
Y
f (Sn ) .
E
f (Sn ) = E
n=1
n:Sn ∈Bf
• Wenn die Funktion f ∈ H in (6) gegeben ist durch
f (x) = 1 + (z − 1)1IB (x) ,
0 ≤ z ≤ 1, B ∈ B0 (Rd ) ,
(7)
dann ergibt sich als Spezialfall die erzeugende Funktion G(f ) = E z NB der Zufallsvariablen NB .
Außerdem gilt der folgende Eindeutigkeitssatz für erzeugende Funktionale.
Theorem 3.2 Die Verteilung der Punktprozesses {Sn } ist eindeutig durch das erzeugende Funktional G von
{Sn } bestimmt.
Beweis
• In Verallgemeinerung von (7) betrachten wir die folgende Funktion f ∈ H mit
f (x) =
k Y
i=1
1 + (zi − 1)1IBi (x) ,
wobei k ≥ 1, 0 ≤ z1 , . . . , zk ≤ 1 und B1 , . . . , Bk ∈ B0 (Rd ) beliebige (beschränkte) Borel–Mengen sind.
• Dann kann man sich leicht überlegen, dass G(f ) die erzeugende Funktion
NB
N
G(f ) = E z1 B1 . . . zk k
(8)
des Zufallsvektors (NB1 , . . . , NBk ) ist.
• Aus (8) folgt wegen des Eindeutigkeitssatzes für erzeugende Funktionen (vgl. Korollar WR–5.5), dass
die Verteilung von (NB1 , . . . , NBk ) eindeutig durch das erzeugende Funktional G von {Sn } bestimmt
ist.
• Hieraus und aus Theorem 2.1 ergibt sich die Behauptung.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
32
Für das erzeugende Funktional von Poisson–Prozessen lässt sich die folgende einfache Formel herleiten.
Theorem 3.3
Sei {Sn } ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ. Dann gilt
!
Z
G(f ) = exp
f (x) − 1 µ(dx)
∀f ∈ H.
(9)
Rd
Beweis
• Die Gültigkeit von (9) lässt sich mit algebraischer Induktion zeigen, wobei wir zunächst zeigen, dass
(9) für Linearkombinationen von Indikatorfunktionen gilt.
• Für k ≥ 1, 0 ≤ z1 , . . . , zk ≤ 1 und B1 , . . . , Bk ∈ B0 (Rd ) sei
f (x) = 1 −
k
X
i=1
∀ x ∈ Rd ,
(1 − zi )1IBi (x)
(10)
wobei wir ohne Einschränkung der Allgmeinheit annehmen können, dass die beschränkten Borel–
Mengen B1 , . . . , Bk ∈ B0 (Rd ) paarweise disjunkt sind.
• Dann sind die Zufallsvariablen NB1 , . . . , NBk mit NB = #{n : Sn ∈ B} unabhängig, und es gilt somit
für die in (10) gegebene Funktion f ∈ H, dass
!
!
k
∞
k
Y
Y
Y
NB
N Bi
G(f ) = E
(11)
E zi i .
=
f (Sn ) = E
zi
n=1
N Bi
• Weil die erzeugende Funktion E zi
N Bi
E zi
der poissonverteilten Zufallsvariablen NBi gegeben ist durch
= exp µ(Bi )(zi − 1)
ergibt sich aus (10) und (11), dass
G(f ) =
k
Y
i=1
i=1
i=1
exp µ(Bi )(zi − 1) = exp
k
X
i=1
∀ zi ∈ (0, 1) ,
µ(Bi )(zi − 1)
!
= exp
Z
Rd
!
f (x) − 1 µ(dx) .
(12)
• Damit ist (9) für Linearkombinationen von Indikatorfunktionen bewiesen.
• Für beliebige f ∈ H ergibt sich (9) nun aus der Tatsache, dass sich jede Funktion f ∈ H durch eine
Folge {fn } von Funktionen der Gestalt (10) approximieren lässt, so dass
∀ x ∈ Rd
f (x) = lim fn (x)
n→∞
und
fn (x) = 1
∀ x ∈ Rd \ B, n ≥ 1 ,
wobei B ∈ Qd ein beschränkter Quader ist, der nicht von n abhängt.
• Aus (6) und (12) ergibt sich dann mit Hilfe des Satzes von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz,
dass
!
Z
G(f ) = lim G(fn ) = lim exp
fn (x) − 1 µ(dx)
n→∞
=
exp
n→∞
Z
Rd
lim fn (x) − 1 µ(dx)
Rd n→∞
!
= exp
Z
Rd
!
f (x) − 1 µ(dx) .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
33
Aus den Theoremen 2.8 und 3.3 ergibt sich die folgenden Invarianzeigenschaft von Poisson–Prozessen bezüglich
unabhängiger Verschiebung der Punkte, vgl. Abbildung 10.
Korollar 3.1
• Sei {Sn } ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ, und sei U1 , U2 , . . . : Ω → Rd sei eine Folge von
unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren mit der Verteilung PU , die von {Sn } unabhängig sind.
• Dann ist {Sn + Un } ein Poisson–Prozess, dessen Intensitätsmaß µ′ gegeben ist durch
Z
µ′ (B) =
PU (B − x) µ(dx)
∀ B ∈ B(Rd ) .
(13)
Rd
• Wenn {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ ist, dann ist auch {Sn +Un } ein homogener
Poisson–Prozess mit der Intensität λ.
Beweis
• Aus Theorem 2.8 folgt, dass {(Sn , Un )} ein Poisson–Prozess im R2d mit Intensitätsmaß µ × PU ist.
• Für f ∈ H und f ′ : R2d ∪ {∞} → [0, 1] mit
f ′ (x, u) = f (x + u)
ergibt sich somit aus Theorem 3.3, dass
!
∞
Y
E
f (Sn + Un )
=
exp
n=1
=
=
=
=
exp
exp
exp
exp
Z
Z
Z
Z
Z
R2d
Rd
Rd
Rd
Rd
Z
Z
Z
f (x + u) − 1 µ × PU (d(x, u))
Rd
Rd
Rd
!
f (x + u) − 1 µ(dx)PU (du)
f (x + u) − 1 PU (du)µ(dx)
f (u) − 1 PU (du − x) µ(dx)
!
′
f (u) − 1 µ (dx) ,
!
!
!
wobei sich die letzte Gleichheit durch algebraische Induktion bezüglich f − 1 ergibt.
• Hieraus folgt (durch die erneute Anwendung von Theorem 3.3), dass das erzeugende Funktional des
Punktprozesses {Sn + Un } mit dem erzeugenden Funktional eines Poisson–Prozess übereinstimmt,
dessen Intensitätsmaß durch (13) gegeben ist.
• Die erste Teilaussage von Korollar 3.1 ergibt sich nun aus dem Eindeutigkeitssatz für erzeugende
Funktionale (vgl. Theorem 3.2).
• Wenn {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ ist, d.h., µ(dx) = λ dx, dann ergibt
sich aus (13), dass für jedes B ∈ B(Rd )
Z Z
Z
1IB−x (y) PU (dy) µ(dx)
PU (B − x) µ(dx) =
µ′ (B) =
d
Rd Rd
ZR Z
Z Z
=
1IB (x + y) µ(dx) PU (dy) = λ
1IB (x + y) dx PU (dy)
Rd Rd
Rd Rd
Z Z
1IB (x) dx PU (dy) = λ νd (B) .
= λ
Rd
Rd
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
34
Abbildung 10: Unabhängige Verschiebung der Punkte
3.1.3
Laplace–Funktional
Analog zum Begriff des erzeugenden Funktionals für Punktprozesse bzw. zufällige Zählmaße lässt sich das Laplace–
Funktional für beliebige (nicht notwendig ganzzahlige) zufällige Maße einführen.
Definition
• Sei M die Familiealler lokal endlichen Maße η : B(Rd ) → [0, ∞], d.h., es gilt η(B) < ∞ für jedes
P∞
S∞
B ∈ B0 (Rd ) und η n=1 Bn = n=1 η(Bn ) für paarweise disjunkte B1 , B2 , . . . ∈ B(Rd ).
• Außerdem sei M die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von M, so dass η 7→ η(B) für jedes B ∈ B0 (Rd )
eine (M, B(R))–messbare Abbildung ist.
• Ein zufälliges Maß Λ : Ω → M ist eine Zufallsvariable über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P )
mit Werten in dem messbaren Raum (M, M), d.h., Λ ist ein (mengen–indizierter) stochastischer Prozess
{ΛB , B ∈ B(Rd )} über (Ω, A, P ), so dass {ΛB (ω), B ∈ B(Rd )} für jedes ω ∈ Ω ein lokal endliches Maß
aus M ist.
Definition
• Sei {ΛB , B ∈ B(Rd )} ein beliebiges zufälliges Maß. Außerdem sei H′ die Familie aller beschränkten
Borel–messbaren Funktionen f : Rd → [0, ∞) mit f (x) = 0, wenn x außerhalb einer beschränkten (i.a.
von f abhängigen) Borel–Menge Bf ∈ B(Rd ) liegt.
• Die Abbildung L : H′ → [0, 1] mit
L(f ) = E exp −
Z
f (x)Λdx
Rd
!
∀ f ∈ H′
(14)
wird Laplace–Funktional des zufälligen Maßes {ΛB } genannt.
Beachte
• Ähnlich wie für zufällige Zählmaße kann auch für zufällige Maße der Begriff der endlich–dimensionalen
Wahrscheinlichkeiten eingeführt und eine (den Theoremen 2.1 und 2.2 entsprechende) Existenz– und
Eindeutigkeitsaussage bewiesen werden; vgl. O. Kallenberg (1986), Random Measures, Academic Press,
London, Kapitel 3 und 5.
• Hieraus ergibt sich insbesondere,
– dass zwischen der Verteilung des zufälligen Maßes {ΛB } und seinem Laplace–Funktional L ein
eineindeutiger Zusammenhang besteht,
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
35
– denn für jedes k–Tupel von paarweise disjunkten Borel–Mengen B1 , . . . , Bk ∈ B0 (Rd ) ist die
Laplace–Stieltjes–Transformierte des Zufallsvektors (ΛB1 , . . . , ΛBk ) gegeben durch
!
k
X
∀ s1 , . . . , sk > 0 ,
si ΛBi = L(f )
E exp −
i=1
wobei f (x) =
Pk
i=1 si 1IBi (x)
für jedes x ∈ Rd .
Für Punktprozesse (d.h. für zufällige Zählmaße) kann sowohl das erzeugende Funktional als auch das Laplace–
Funktional betrachtet werden. Dabei sind diese beiden Charakteristiken wie folgt miteinander verknüpft.
Theorem 3.4 Sei {Sn } ein beliebiger Punktprozess mit dem erzeugenden Funktional G und dem Laplace–
Funktional L. Dann gilt
L(f ) = G exp(−f )
∀ f ∈ H′ .
(15)
Beweis
• Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus den Definitionsgleichungen (6) und (14) von G bzw. L.
• Denn für jedes f ∈ H′ gilt
L(f )
(14)
=
=
E exp −
E
∞
Y
n=1
3.1.4
Z
f (x) Ndx
Rd
exp −f (Sn )
!
!
= E exp −
∞
X
n=1
f (Sn )
!
= G exp(−f ) .
(6)
Stationarität und Isotropie
Unter der Stationarität bzw. Isotropie eines Punktprozesses versteht man die folgende Invarianzeigenschaften seiner endlich–dimensionalen Wahrscheinlichkeiten bezüglich beliebiger Verschiebungen des Nullpunktes bzw. Drehungen um den Nullpunkt.
Definition
• Für beliebige B ∈ B(Rd ) und x ∈ Rd bezeichne B + x = {y + x : y ∈ B} die Verschiebung der
Borel–Menge B um den Vektor x. Ein Punktprozess {Sn } in Rd bzw. das zugehörige Zählmaß {NB }
heißt stationär, wenn
D
NB1 , . . . , NBn = NB1 +x , . . . , NBn +x
(16)
für beliebige n ≥ 1, B1 , . . . , Bn ∈ B(Rd ) und x ∈ Rd .
• Ein Punktprozess {Sn } in Rd bzw. das zugehörige Zählmaß {NB } heißt isotrop, wenn
D
NB1 , . . . , NBn = Nδ(B1 ) , . . . , Nδ(Bn )
(17)
für beliebige n ≥ 1, B1 , . . . , Bn ∈ B(Rd ) und für jede Drehung δ : Rd → Rd um den Nullpunkt.
Beachte
• Man kann zeigen, dass stationäre Punktprozesse mit Wahrscheinlichkeit 1 entweder aus unendlich
vielen Punkten bestehen oder überhaupt keinen Punkt besitzen, d.h., es gilt dann
(18)
P {NRd = ∞} ∪ {NRd = 0} = 1 .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
36
• Dabei kann die Aussage (18) sogar noch wie folgt verschärft werden, indem wir für jeden Vektor
u ∈ Sd−1 = {x ∈ Rd : |x| = 1} der Einheitssphäre im Rd den Halbraum
Hu+ = {x ∈ Rd : [x, u] ≥ 0}
betrachten, wobei [x, u] = x1 u1 +p
. . . + xn un das Skalarprodukt der Vektoren x = (x1 , . . . , xn ) und
u = (u1 , . . . , un ) bezeichnet; |x| = [x, x].
Theorem 3.5
Beweis
Sei {NB } ein stationäres zufälliges Zählmaß. Dann gilt
P {NHu+ = ∞} ∪ {NRd = 0} = 1
∀ u ∈ Sd−1 .
(19)
• Für beliebige s, t ∈ R mit s < t und u ∈ Sd−1 sei Hu,s,t = {x ∈ Rd : s ≤ [x, u] ≤ t}.
• Dann kann man sich leicht überlegen, dass
Hu,t,t+h = Hu,0,h + tu
∀ t ∈ R, h > 0 .
• Hieraus und aus der Stationarität von {NB } ergibt sich, dass
P NHu,t,t+h > 0 = P NHu,0,h > 0
∀ t ∈ R, h > 0 .
• Somit gilt
P NHu,t,t+h > 0
=
=
≤
≤
≤
lim P NHu,n,n+h > 0
n→∞
lim E 1I NHu,n,n+h > 0
n→∞
E lim sup 1I NHu,n,n+h > 0
n→∞
E 1I NHu,n,n+h > 0 für unendlich viele n ≥ 1
P NHu+ = ∞ ,
wobei sich die erste Ungleichung aus dem Lemma von Fatou ergibt.
• Für h → ∞ ergibt sich hieraus, dass
und somit für t → −∞, dass
• Aus (20) folgt, dass
P N{x∈Rd : t≤[x,u]} > 0 ≤ P N Hu+ = ∞ ,
P (NRd > 0) ≤ P NHu+ = ∞ .
P NRd > 0, NHu+ < ∞
=
=
≤
P {NRd > 0} \ {NHu+ = ∞}
P NRd > 0 − P NHu+ = ∞
0.
• Somit gilt P NRd > 0, NHu+ < ∞ = 0 bzw. äquivalent hierzu
P {NRd = 0} ∪ {NHu+ = ∞} = 1 .
Theorem 3.6
(20)
Sei {NB } ein stationäres zufälliges Zählmaß. Dann gibt es eine Konstante λ < ∞, so dass
µ(B) = λνd (B)
∀ B ∈ B(Rd ) .
(21)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
37
Beweis
• Aus der Stationarität von {NB } ergibt sich, dass
∀ B ∈ B(Rd ), x ∈ Rd ,
µ(B) = E NB = E NB+x = µ(B + x)
d.h., das Intensitätsmaß µ ist translationsinvariant.
• Weil außerdem vorausgesetzt wird, dass µ lokal endlich ist, ergibt sich aus dem Lemma von Haar,
– dass µ ein Vielfaches des d–dimensionalen Lebesque–Maßes νd sein muss,
– d.h., es gibt eine Konstante λ ≥ 0, so dass
µ(B) = λνd (B)
∀ B ∈ B(Rd ) .
• Insbesondere gilt also, dass µ([0, 1]d ) = λ und somit dass λ < ∞.
Korollar 3.2
Für jedes stationäre zufällige Zählmaß {NB } gilt
P N{x} > 0 = 0
∀ x ∈ Rd .
Aus Theorem 3.6 folgt, dass µ({x}) = 0 für jedes x ∈ Rd . Hieraus ergibt sich, dass
P N{x} = 0 = 1
∀ x ∈ Rd ,
Beweis
(22)
Beachte
• Genauso wie bei homogenen Poisson–Prozessen wird die Konstante λ in Theorem 3.6 die Intensität
des stationären Punktprozesses {Sn } bzw. des stationären zufälligen Zählmaßes {NB } genannt.
• Aus (21) ergibt sich, dass
b W = NW
λ
νd (W )
(23)
für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ein erwartungstreuer Schätzer für λ ist.
• Wenn W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞ für n → ∞ ist
und wenn
Var NWn
lim
= 0,
(24)
n→∞ ν 2 (Wn )
d
dann ergibt sich aus der Tschebyschew–Ungleichung (vgl. Theorem WR-4.18), dass der erwartungstreue
bW schwach konsistent ist.
Schätzer λ
n
bW jedoch weder asymptotisch normalverteilt noch stark konsistent sein. Dabei
• Im allgemeinen muss λ
n
gibt es sogar Beispiele (vgl. Abschnitt 3.2.2), für die
bW 6= λ = 1 .
P lim λ
n
n→∞
3.2
3.2.1
Cox–Prozesse
Simulationsalgorithmus und grundlegende Eigenschaften
Außer den in Kapitel 2 betrachteten Poissonschen Zählmaßen gibt es noch weitere Klassen von zufälligen Punktprozessen.
Ein zufälliges Zählmaß {NB } wird Cox–Prozess genannt, wenn sich seine Verteilung als eine Mischung der Verteilungen von (nicht notwendig homogenen) Poisson–Prozessen darstellen lässt. Deshalb wird für diese Klasse von
Punktprozessen auch der Begriff doppelt–stochastischer Poisson–Prozess verwendet.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
38
Definition
• Sei {ΛB , B ∈ B(Rd )} ein beliebiges zufälliges Maß, das mit Wahrscheinlichkeit 1 lokal–endlich ist.
• Das zufällige Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} wird Cox–Prozess mit dem zufälligen Intensitätsmaß Λ genannt, wenn
n
n
Y
\
ΛkBii
exp −ΛBi
(25)
{NBi = ki } = E
P
ki !
i=1
i=1
für beliebige n ≥ 1, k1 , . . . , kn ≥ 0 und für paarweise disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ).
Beachte
• Aus den Theoremen 2.1 und 2.2 ergibt sich, dass die Verteilung des Cox–Prozesses {NB , B ∈ B(Rd )}
durch die in (25) gegebenen „endlich–dimensionalen” Wahrscheinlichkeiten wohldefiniert und eindeutig
bestimmt ist.
– Dabei lässt sich das zufällige Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} mit den in (25) gegebenen Wahrscheinlichkeiten als ein mengen–indizierter stochastischer Prozess über dem folgenden Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) definieren mit
Ω = N × M,
A=N ⊗M
und NB (ω) = ϕ(B) für beliebige ω = (ϕ, η) ∈ Ω und B ∈ B(Rd ).
– Das Wahrscheinlichkeitsmaß P : N ⊗ M → [0, 1] wird durch die Verteilung PΛ : M → [0, 1] des
zufälligen Intensitätsmaßes {ΛB } induziert, wobei
P
n
\
i=1
Z
{NBi = ki } =
n
Y
η ki (Bi )
M i=1
ki !
exp −η(Bi ) PΛ (dη)
(26)
für beliebige n ≥ 1, k1 , . . . , kn ≥ 0 und für paarweise disjunkte B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ).
• Eine zu (25) bzw. (26) äquivalente Schreibweise ist die folgende (kontinuierliche Version) der Formel
der totalen Wahrscheinlichkeit
n
n
\
\
Z
P
P
{NBi = ki } =
(27)
{NBi = ki } | Λ = η P (Λ ∈ dη) ,
M
i=1
wobei
P
i=1
n
\
n
Y
η ki (Bi )
exp −η(Bi ) .
{NBi = ki } | Λ = η =
k
!
i
i=1
i=1
• Die Verteilung des Cox–Prozesses {NB , B ∈ B(Rd )} lässt sich somit als eine Mischung von Verteilungen
(nicht notwendig homogener) Poisson–Prozesse darstellen.
• Hieraus ergibt sich ein Algorithmus zur Simulation von Cox–Prozessen in einer vorgegebenen Borel–
Menge C ∈ B0 (Rd ):
1. Generiere eine Realisierung η(·∩C) des zufälligen Maßes Λ in C. (Beispiele, für die das auf einfache
Weise möglich ist, werden in Abschnitt 3.2.3 diskutiert.)
2. Generiere eine Realisierung eines (i.a. inhomogenen) Poisson–Prozesses mit dem Intensitätsmaß
η(· ∩ C). (Algorithmen hierfür wurden in den Abschnitten 2.1.4 bzw. 2.2.1 bzw. 2.3.1 betrachtet.)
Wir leiten nun die folgenden grundlegenden Eigenschaften von Cox–Prozessen her.
Theorem 3.7
Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein Cox–Prozess mit dem zufälligen Intensitätsmaß {ΛB , B ∈ B(Rd )}.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
39
• Dann besteht ein eineindeutiger Zusammenhang zwischen den Verteilungen von {NB } und {ΛB }.
• Außerdem gilt
G(f ) = L(1 − f )
(28)
∀f ∈ H,
wobei G das erzeugende Funktional des Cox–Prozesses {NB } und L das Laplace–Funktional von {ΛB } ist.
• D.h., es gilt
G(f ) = E exp −
Z
Rd
1 − f (x) Λdx
!
∀f ∈ H.
(29)
Beweis
• Wir zeigen zunächst die Gültigkeit von (28).
– Aus (26) ergibt sich mit Hilfe von Theorem 3.3, dass
Z
(26)
G(f ) =
Gη (f ) P (Λ ∈ dη)
M
(9)
=
=
=
Z
exp
M
Z
E exp −
Rd
Z
Rd
!
f (x) − 1 η(dx) P (Λ ∈ dη)
1 − f (x) Λdx
L(1 − f ) ,
!
wobei Gη das erzeugende Funktional eines Poisson–Prozesses mit dem Intensitätsmaß η ist.
• Der eineindeutige Zusammenhang zwischen den Verteilungen von {NB } und {ΛB } lässt sich wie folgt
zeigen.
– Das Laplace–Funktional L des zufälligen Maßes {ΛB } ist eindeutig bestimmt durch seine Werte
L(f ) für Funktionen f ∈ H′ mit 0 ≤ f (x) ≤ 1 für jedes x ∈ Rd ,
– und es besteht ein eineindeutiger Zusammenhang zwischen dem Laplace–Funktional L und der
Verteilung von {ΛB }, vgl. Abschnitt 3.1.2.
– Außerdem ergibt sich aus (28), dass der Zusammenhang zwischen L und G eineindeutig ist.
– Schließlich ergibt sich aus Theorem 3.2, dass die Verteilung des Cox–Prozesses {NB } eindeutig
durch sein erzeugendes Funktional G bestimmt wird.
Theorem 3.8
• Das Intensitätsmaß µ eines Cox–Prozesses {NB } ist gegeben durch
µ(B) = E ΛB
∀ B ∈ B(Rd ) .
(30)
• Der Cox–Prozess {NB } ist genau dann stationär, wenn sein zufälliges Intensitätsmaß {ΛB } stationär ist,
d.h., wenn
D
ΛB1 , . . . , ΛBn = ΛB1 +x , . . . , ΛBn +x
(31)
für beliebige n ≥ 1, B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ) und x ∈ Rd .
• Die Intensität λ eines stationären Cox–Prozesses ist gegeben durch
λ = E Λ[0,1]d .
(32)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
40
Beweis
• Die Gültigkeit von (30) ergibt sich unmittelbar aus der Mischungsdarstellung (26) von Cox–Prozessen,
denn es gilt
Z
Z
µ(B) = E NB =
E (NB | Λ = η)P (Λ ∈ dη) =
η(B)P (Λ ∈ dη) = E Λ(B) .
M
M
• Wenn {ΛB } stationär ist, dann ergibt sich die Stationarität von {NB } unmittelbar aus der Definitionsgleichung (25) von Cox–Prozessen.
• Außerdem ist für jedes x ∈ Rd das (um x verschobene) zufällige Maß {ΛB+x , B ∈ B(Rd )} das zufällige
Intensitätsmaß des (entsprechend verschobenen) Cox–Prozesses {NB+x , B ∈ B(Rd )}.
• Wenn umgekehrt {NB } stationär ist, dann ergibt sich somit die Stationarität von {ΛB } aus dem
eineindeutigen Zusammenhang zwischen Cox–Prozessen und ihren zufälligen Intensitätsmaßen, der in
Theorem 3.7 gezeigt wurde.
• Die Darstellungsformel (32) für die Intensität λ von stationären Cox–Prozessen ergibt sich aus (30) für
B = [0, 1]d .
3.2.2
Absolutstetiges zufälliges Intensitätsmaß; Schätzung der Intensität
Ein wichtiger Spezialfall eines Cox–Prozesses liegt dann vor,
• wenn die Realisierungen des zufälligen Intensitätsmaßes {ΛB } mit Wahrscheinlichkeit 1 absolutstetig bezüglich des d–dimensionalen Lebesgue–Maßes sind, d.h.,
• wenn es ein zufälliges Feld {λx , x ∈ Rd } gibt, dessen Realisierungen Borel–messbare und lokal–integrierbare
nichtnegative Funktionen sind, so dass mit Wahrscheinlichkeit 1
Z
ΛB =
λx dx < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(33)
B
• Das zufällige Feld {λx , x ∈ Rd } wird dann das Intensitätsfeld von {NB } genannt.
Theorem 3.9 Das in (33) gegebene zufällige Maß {ΛB , B ∈ B(Rd )} ist stationär, wenn das zufällige Feld
{λx , x ∈ Rd } stationär ist. Wenn zusätzlich E λo < ∞, dann gilt
E ΛB = νd (B) E λo < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(34)
Beweis
• Wenn {λx , x ∈ Rd } stationär ist, d.h., wenn
D
{λx , x ∈ Rd } = {λx+y , x ∈ Rd }
∀ y ∈ Rd ,
(35)
dann ergibt sich aus (33), dass
D
ΛB1 , . . . , ΛBn = ΛB1 +y , . . . , ΛBn +y
∀ y ∈ Rd .
• Außerdem ergibt sich aus (33) und (35), dass
Z
Z
Z
Z
(33)
(35)
E ΛB = E
λx dx =
E λx dx =
E λo dx = E λo
B
B
B
dx = E λo νd (B) .
B
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
41
Beachte
• Wenn umgekehrt das zufällige Maß {ΛB , B ∈ B(Rd )} stationär ist und wenn
ΛB(x1 ,r)
ΛB(xn ,r) D
(λx1 , . . . , λxn ) = lim
,
.
.
.
,
lim
r→0 κd r d
r→0
κd r d
∀ x1 , . . . , xn ∈ Rd ,
(36)
dann ist das auch das zufällige Feld {λx , x ∈ Rd } stationär.
• Aus den Theoremen 3.8 und 3.9 ergibt sich, dass ein Cox–Prozess {NB } stationär ist, wenn sein
zufälliges Intensitätsmaß {ΛB } durch (33) gegeben ist und wenn das zugrundeliegende zufällige Feld
{λx } stationär ist.
– Für die Intensität λ des stationären Cox–Prozesses {NB } ergibt sich dann aus (32) und (34), dass
λ = E λo .
(37)
– Wenn das stationäre Intensitätsfeld {λx } von {NB } in dem Fenster W ∈ B0 (Rd ) beobachtbar ist,
dann ergibt sich aus (37), dass durch
Z
1
eW =
λ
λx dx
mit 0 < νd (W ) < ∞
(38)
νd (W ) W
ein erwartungstreuer Schätzer für die Intensität λ von {NB } gegeben ist.
3.2.3
Gemischte Poisson–Prozesse, Neyman–Scott–Prozesse, modulierte Poisson–Prozesse
In diesem Abschnitt führen wir einige Beispiele von Cox–Prozessen mit absolutstetigem zufälligen Intensitätsmaß
ein.
1. Gemischte Poisson–Prozesse
Eine elementare Klasse von Cox–Prozessen mit absolutstetigen Realisierungen des zufälligen Intensitätsmaßes {ΛB } sind die gemischten Poisson–Prozesse, deren Intensitätsfeld {λx } durch λx = Z gegeben ist,
wobei Z : Ω → [0, ∞) eine beliebige nichtnegative Zufallsvariable mit E Z < ∞ ist.
• Aus den Theoremen 3.8 bzw. 3.9 ergibt sich, dass jeder gemischte Poisson–Prozess ein stationärer
Punktprozess ist. Seine Intensität λ ist gegeben durch
λ = EZ .
(39)
– Außerdem gilt in diesem Fall
Var NB = νd (B) E Z + νd2 (B) Var Z ,
(40)
– denn aus der Definitionsgleichung (25) von Cox–Prozessen ergibt sich, dass
Var NB
=
=
2
E NB2 − E NB
Z ∞
zνd (B) + (zνd (B))2 P (Z ∈ dz) −
0
=
νd (B) E Z + νd2 (B) Var Z .
Z
∞
0
zνd (B) P (Z ∈ dz)
!2
• Wenn Var Z > 0, d.h., die Zufallsvariable Z nimmt nicht nur einen Wert an,
– dann folgt aus (40), dass
lim
n→∞
Var NWn
= Var Z > 0 ,
νd2 (Wn )
(41)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
42
– wenn W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) ist mit
lim νd (Wn ) = ∞ .
n→∞
(42)
– Es kann dann also nicht so wie in (24) auf die schwache Konsistenz des Intensitätsschätzers
b W = NW
λ
νd (W )
geschlossen werden.
bW im allgemeinen weder
• Wenn Var Z > 0, dann kann man sich darüber hinaus leicht überlegen, dass λ
asymptotisch normalverteilt noch konsistent ist.
– Denn aus Theorem 2.9 ergibt sich, dass mit Wahrscheinlichkeit 1
NW n
=Z,
n→∞ νd (Wn )
lim
– wenn W1 ⊂ W2 ⊂ . . . eine monotone Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) ist, für die
(42) gilt.
– Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass Z absolutstetig ist, dann gilt also sogar
NW n
6= λ = 1 .
P lim
n→∞ νd (Wn )
2. Neyman–Scott–Prozesse
Wir betrachten nun eine Klasse von Cox–Prozessen, die auch als Poissonsche Cluster–Prozesse aufgefasst
werden können; vgl. Abschnitt 3.3.
• Sei {Sn } ein Poisson–Prozess mit der (lokal integrierbaren) Intensitätsfunktion {λ0 (x), x ∈ Rd }, und
sei Z = #{n : Sn ∈ Rd } die (zufällige) Anzahl der Atome von {Sn } in Rd .
(1)
(2)
• Außerdem sei {NB }, {NB }, . . . eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Poissonschen Zählmaßen, die von {Sn } unabhängig sind und die integrierbare Intensitätsfunktion {λ(1) (x), x ∈ Rd }
besitzen, d.h., es gelte
Z
Rd
λ(1) (x) dx < ∞ .
(43)
• In einem allgemeineren Zusammenhang werden wir später zeigen (vgl. Theorem 3.14), dass das zufällige
Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )}, wobei
NB =
Z
X
(n)
NB−Sn
n=1
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(44)
mit Wahrscheinlichkeit 1 lokal endlich ist, wenn die folgende Integrierbarkeitsbedingung erfüllt ist:
Z Z
λ(1) (y − x) dy λ0 (x) dx < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(45)
Rd
B
Darüber hinaus kann man zeigen, dass das in (44) eingeführte zufällige Zählmaß {NB } die folgenden Eigenschaften hat.
Theorem 3.10
• Wenn (45) gilt, dann ist {NB } ein Cox–Prozess, dessen Intensitätsfeld {λx , x ∈ Rd } gegeben ist durch
λx =
Z
X
n=1
λ(1) (x − Sn )
∀ x ∈ Rd .
(46)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
43
• Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass der Poisson–Prozess {Sn } stationär ist, d.h., wenn es eine
Konstante λ0 > 0 gibt, so dass
λ(x) = λ0
∀ x ∈ Rd ,
– dann ist auch der Cox–Prozess {NB } stationär,
– und die Intensität λ = E N[0,1]d von {NB } ist gegeben durch
Z
λ = λ0
λ(1) (x) dx .
(47)
Rd
Abbildung 11: Matérn–Cluster–Prozess; λ0 = 0.002, λ(1) = 0.1, R = 10
Beweis
• Der erste Teil der Behauptung ergibt sich aus den allgemeinen Eigenschaften von Poissonschen
Cluster–Prozessen, die wir in Abschnitt 3.3 herleiten werden.
– Insbesondere zeigen wir in Abschnitt 3.3.3, dass das erzeugende Funktional G des in (44)
eingeführten Punktprozesses {NB } gegeben ist durch
!
Z
∀f ∈ H,
(48)
1 − f (x) Λdx
G(f ) = E exp −
Rd
– wobei {ΛB } ein zufälliges Maß ist mit
ΛB =
Z X
Z
B n=1
λ(1) (x − Sn ) dx
∀ B ∈ B(Rd ) .
(49)
– Mit Hilfe von Theorem 3.7 ergibt sich hieraus, dass {NB } ein Cox–Prozess ist, dessen zufälliges
Intensitätsmaß {ΛB } durch (49) gegeben ist.
• Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass {Sn } ein stationärer Poisson–Prozess mit der Intensität
λ0 ist,
– dann ergibt sich aus (49), dass das zufällige Maß {ΛB } stationär ist.
– Wegen Theorem 3.8 ist somit auch der Cox–Prozess {NB } stationär.
– Außerdem ergibt sich aus (46), dass
Z
Z
∞
X
Theorem 3.1
(1)
(1)
λ (−Sn )
=
λ0
E λo = E
λ (−x) dx = λ0
λ(1) (x) dx ,
n=1
Rd
Rd
wobei sich die vorletzte Gleichheit aus dem Campbellschen Theorem (vgl. Theorem 3.1) ergibt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
44
– Hieraus und aus (32) bzw. (34) ergibt sich der zweite Teil der Behauptung.
Beachte
• Der in (44) eingeführte Cox–Prozess {NB } wird in der Literatur Neyman–Scott–Prozess genannt.
• Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass

 λ(1) , falls x ∈ B(o, R),
(50)
λ(1) (x) =
 0,
falls x 6∈ B(o, R)
für gewisse Konstanten λ(1) , R > 0, dann sagt man, dass {NB } ein Matérn–Cluster–Prozess ist,
vgl. die Abbildungen 11 und 12.
Abbildung 12: Simulation von Matérn–Cluster–Prozessen
3. Modulierte Poisson–Prozesse
Eine weitere Klasse von Cox–Prozessen ergibt sich, wenn das Intensitätsfeld {λx } durch ein so genanntes
Keim–Korn–Modell induziert wird.
• Hierfür sei {Sn } eine messbare Indizierung der Atome eines homogenen Poisson–Prozesses mit der
Intensität λ0 ∈ (0, ∞), wobei Sn als Keim und die Kugel B(Sn , r) mit Mittelpunkt Sn und Radius
r > 0 als das zugehörige Korn aufgefasst werden.
• Sei F die Familie aller abgeschlossenen Teilmengen in Rd . Für eine Zahl r > 0 betrachten wir die
(zufällige) Menge Ξ : Ω → F, die Keim–Korn–Modell genannt wird und die gegeben ist durch
Ξ=
∞
[
B(Si , r) .
(51)
i=1
• Beachte: Man kann sich leicht überlegen, dass die Vereinigung auf der rechten Seite von (51) mit
Wahrscheinlichkeit 1 eine abgeschlossene Menge ist.
• Das Intensitätsfeld {λx , x ∈ Rd } ist dann gegeben durch den Ansatz

 λ , falls x ∈ Ξ,
1
λx =
 λ , falls x ∈
6 Ξ,
2
wobei λ1 , λ2 ∈ (0, ∞) beliebige Zahlen mit max{λ1 , λ2 } > 0 sind.
(52)
• Ein Cox–Prozess {NB }, dessen Intensitätsfeld {λx } durch (52) gegeben ist, wird modulierter Poisson–
Prozess genannt, vgl. Abbildung 13.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
45
Abbildung 13: Modulierter Poisson–Prozess
– Im Spezialfall, wenn λ1 = 0 (und somit λ2 > 0), spricht man von einem Swiss–Cheese–Modell.
– Wenn umgekehrt λ2 = 0 (und λ1 > 0), dann sagt man, dass der Cox–Prozess {NB } ein Inner–
City–Modell ist.
Theorem 3.11 Sei κd = νd (B(o, 1)) das Volumen der d–dimensionalen Einheitskugel. Für die Intensität
λ eines modulierten Poisson–Prozesses {NB }, dessen Intensitätsfeld {λx } durch (52) gegeben ist, gilt dann
λ = λ1 1 − exp(−λ0 κd rd ) + λ2 exp(−λ0 κd rd ) .
(53)
Beweis
• Weil das in (52) eingeführte Intensitätsfeld stationär ist, ergibt sich aus Theorem 3.8, dass der
zugehörige Cox–Prozess {NB } stationär ist.
• Aus der allgemeinen Darstellungsformel (34), die in Theorem 3.9 für das Intensitätsmaß von stationären Cox–Prozessen hergeleitet wurde, ergibt sich unter Berücksichtigung von (52), dass
λ
=
=
=
3.2.4
E λo = λ1 P (o ∈ Ξ) + λ2 P (o 6∈ Ξ)
λ1 P (#{n : |Sn | ≤ r} > 0) + λ2 P (#{n : |Sn | ≤ r} = 0)
λ1 1 − exp(−λ0 κd rd ) + λ2 exp(−λ0 κd rd ) .
Varianz und asymptotische Normalverteiltheit des Intensitätsschätzers
1. Neyman–Scott–Prozesse
• Sei {NB } ein Neyman–Scott–Prozess, der durch (44) gegeben ist und den Integrierbarkeitsbedingungen (43) und (45) genügt.
• Wenn {Sn } ein homogener Poisson–Prozess ist, dann ergibt sich aus Theorem 3.10, dass {NB } ein
stationärer Cox–Prozess ist und dass
b W = NW
(54)
λ
νd (W )
für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ein erwartungstreuer Schätzer für die Intensität λ von
{NB } ist.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
46
bW ist nützlich.
Die folgende Darstellungsformel für die Varianz von λ
Lemma 3.1 Sei {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ0 . Dann gilt für jede
Borel–Menge W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞
!
Z
Z Z
ν
W
∩
(W
−
(x
−
x
))
λ
d
2
1
0
bW =
Var λ
λ(1) (x1 )λ(1) (x2 ) dx1 dx2 .
λ(1) (x) dx +
νd (W )
νd (W )
Rd
Rd Rd
(55)
Beweis
• Mit der Kurzschreibweise P (d{sn }) = P ({Sn } ∈ d{sn }) ergibt sich aus der Definitionsgleichung (44) von NW , dass
Z X
∞
2
2
(n)
=
E
E NW
NW −sn P (d{sn })
n=1
=
=
Z
∞ X
E
(n)
NW −sn
n=1
∞
X
Z
−
(n)
Var NW −sn
n=1
Z
λ
(1)
(x) dx +
W −sn
+
Z
λ
W −sn
∞ Z
X
n=1
λ(1) (x) dx
W −sn
2
(1)
!
(x) dx
!2
P (d{sn })
P (d{sn }) ,
(2)
(1)
– wobei in der letzten Gleichheit genutzt wurde, dass NW −s1 , NW −s2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen sind mit
Z
(n)
λ(1) (x) dx
NW −sn ∼ Poi
W −sn
– und dass somit insbesondere
(n)
E NW −sn
• Hieraus ergibt sich, dass
Z X
∞ Z
2
E NW
=
=
Z
+
(5)
=
n=1
∞ Z
X
λ
Z X Z
λ0
Z
n6=m
Rd
Z
Z
+ λ0
=
λ
(1)
(1)
(x) dx +
W −sn
W −sn
n=1
=
(n)
Var NW −sn
∞ Z
X
n=1
Z
λ(1) (x) dx dy + λ0
Rd
Z
λ(1) (x) dx dy
W −y
λ
2
(1)
(x) dx
W −sn
W −sm
Z Z
Rd
W −y
Z
λ(1) (x) dx .
W −sn
(x) dx P (d{sn }) +
λ(1) (x) dx
W −sn
=
Z
Z X
∞ Z
n=1
2
!
P (d{sn })
λ(1) (x) dx
W −sn
λ(1) (x) dx P (d{sn })
λ(1) (x) dx
W −y
2
P (d{sn })
dy
λ(1) (x) dx
λ0 νd (W )
Rd
Z Z
+λ0
νd W ∩ (W − (x2 − x1 )) λ(1) (x1 )λ(1) (x2 ) dx1 dx2
d
d
R
R
Z Z
2
+ λ0
λ(1) (x) dx dy ,
Rd
2
W −y
wobei sich die vorletzte Gleichheit aus dem Campbellschen Theorem (vgl. Theorem 3.1) ergibt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
• Weil
λ0
Z
47
Rd
Z
λ
(1)
(x) dx dy = λ0 νd (W )
W −y
ergibt sich somit, dass
Var NW
=
Z
(47)
λ(1) (x) dx = E NW ,
Rd
Z
λ0 νd (W )
λ(1) (x) dx
d
Z ZR
+λ0
νd W ∩ (W − (x2 − x1 )) λ(1) (x1 )λ(1) (x2 ) dx1 dx2 .
Rd
Rd
bW die folgenden asymptotischen (Güte–) Eigenschaften.
Außerdem hat der Schätzer λ
Theorem 3.12
1. Sei W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞ für n → ∞.
bW schwach konsistent, d.h., für jedes ε > 0 gilt
Dann ist der erwartungstreue Schätzer λ
n
bW − λ| > ε) = 0 .
lim P (|λ
n
(56)
n→∞
2. Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass
νd Wn ∩ (Wn − x)
=1
lim
n→∞
νd (Wn )
∀ x ∈ Rd ,
bW , wobei
dann existiert der Grenzwert σ 2 = limn→∞ νd (Wn ) Var λ
n
Z
Z
2 σ 2 = λ0
λ(1) (x) dx +
λ(1) (x) dx
,
Rd
(57)
(58)
Rd
bW ist asymptotisch normalverteilt, d.h., für jedes x ∈ R gilt
und der Schätzer λ
n
r
ν (W )
d
n
bW − λ ≤ x = Φ(x) ,
λ
lim P
n
n→∞
σ2
(59)
wobei Φ : R → [0, 1] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
Beweis
bW = 0, wenn νd (Wn ) → ∞.
• Aus Formel (55) in Lemma 3.1 ergibt sich, dass limn→∞ Var λ
n
– Hieraus und aus der Tschebyschew–Ungleichung (vgl. Theorem WR-4.18) ergibt sich, dass
b
bW − λ| > ε) ≤ lim Var λWn = 0 ,
lim P (|λ
n
n→∞
ε2
n→∞
– Damit ist die Gültigkeit von (56) bewiesen.
• Offenbar gilt
νd Wn ∩ (Wn − x)
≤1
νd (Wn )
∀n ≥ 1.
– Mit Hilfe des Satzes von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz ergibt sich deshalb aus
(55) und (57), dass
Z
Z
2 (1)
b
lim νd (Wn ) Var λWn = λ0
λ (x) dx +
λ(1) (x) dx
.
n→∞
– Damit ist (58) bewiesen.
Rd
Rd
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
48
• Um die Verteilungskonvergenz (59) zu beweisen, betrachten wir die entsprechenden charakteristischen Funktionen (ähnlich wie im Beweis von Theorem 2.9) und zeigen, dass
s2 σ 2 N
W − E NW n
= exp −
lim E exp is pn
n→∞
2
νd (Wn )
∀s ∈ R,
(60)
wobei die asymptotische Varianz σ 2 in (58) gegeben ist.
• Man kann sich leicht überlegen, dass der Erwartungswert
!
∞
Y
′
G(f ) = E
f (Sn ) ,
n=1
der in der Definitionsgleichung (6) des erzeugenden Funktionals G eines (beliebigen) Punktprozesses {Sn′ } betrachtet wurde, auch für Funktionen f : Rd → C mit
f (x) = 1 + eis − 1 1IB (x)
∀ x ∈ Rd
(61)
wohldefiniert ist, wobei s ∈ R und B ∈ B0 (Rd ).
• Dabei ist G(f ) für die in (61) betrachtete Funktion f : Rd → C, die charakteristische Funktion
der Zufallsvariablen NB′ = #{n : Sn′ ∈ B}, d.h., es gilt
′
G(f ) = E eisNB .
(62)
• Außerdem werden wir in Abschnitt 3.3.3 zeigen (vgl. auch (48) und (49)), dass
!
Z
∞
X
(1)
1 − f (x)
λ (x − Sk ) dx .
G(f ) = E exp −
Rd
k=1
• Hieraus und aus (61) bzw. (62) folgt, dass
p
bW
E exp is νd (Wn ) λ
n
∞
Z
√
X
λ(1) (x − Sk ) dx
= E exp
eis/ νd (Wn ) − 1
Wn
=
E
∞
Y
exp
k=1
=
exp λ0
Z
Z
k=1
eis/
Wn
exp
Rd
Z
√
νd (Wn )
eis/
√
− 1 λ(1) (x − Sk ) dx
νd (Wn )
Wn
− 1 λ(1) (x − y) dx − 1 dy ,
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Darstellungsformel (9) für das erzeugende Funktional
von Poisson–Prozessen ergibt.
• Somit ergibt sich durch Taylor–Reihenentwicklung der (mittleren) Exponentialfunktion des
letzten Ausdruckes, dass
p
bW
E exp is νd (Wn ) λ
n
Z Z
√
= exp λ0
eis/ νd (Wn ) − 1 λ(1) (x − y) dx dy
Rd
Wn
λ0
+
2
Z Z
Rd
e
Wn
is/
√
νd (Wn )
!
2
(1)
− 1 λ (x − y) dx dy + o(1) .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
49
• Durch Taylor–Reihenentwicklung der beiden inneren Exponentialfunktionen ergibt sich nun,
dass
p
bW
E exp is νd (Wn ) λ
n
Z
p
λ(1) (x) dx
= exp is νd (Wn ) λ0
Rd
s2 λ0
−
2
Z
λ
(1)
(x) dx +
Rd
Z
λ
(1)
(x) dx
Rd
2 !
+ o(1) .
• Hieraus und aus (47) folgt, dass
lim E exp is
n→∞
p
bW − λ)
νd (Wn ) (λ
n
s2 = exp −
λ0
2
Z
λ
Rd
(1)
(x) dx +
Z
λ
(1)
Rd
• Wegen (58) ist dies gleichbedeutend mit (60).
(x) dx
2 !
.
2. Modulierte Poisson–Prozesse
• Sei nun {NB } ein modulierter Poisson–Prozess, dessen Intensitätsfeld {λx } durch (52) gegeben ist.
• Dann ist klar, dass
b W = NW
(63)
λ
νd (W )
für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ein erwartungstreuer Schätzer für die Intensität λ von
{NB } ist.
bW , die sich auf ähnliche Weise
• Außerdem gilt die folgende Darstellungsformel für die Varianz von λ
herleiten lässt, wie die Varianzformel (55) für Neyman–Scott–Prozesse in Lemma 3.1.
Lemma 3.2 Sei {NB } ein modulierter Poisson–Prozess. Dann gilt für jede Borel–Menge W ∈ B0 (Rd )
mit 0 < νd (W ) < ∞
bW =
Var λ
(λ1 − λ2 )E νd (W ∩ Ξ) + λ2 νd (W ) + (λ1 − λ2 )2 Var νd (W ∩ Ξ)
.
νd2 (W )
(64)
Beweis
• Mit der Kurzschreibweise P (dξ) = P (Ξ = dξ) ergibt sich ähnlich wie im Beweis von Lemma 3.1,
dass
Z 2 Var NW =
λ1 νd (W ∩ ξ) + λ2 νd (W ∩ ξ c ) + λ1 νd (W ∩ ξ) + λ2 νd (W ∩ ξ c )
P (dξ)
F
Z
2
−
λ1 νd (W ∩ ξ) + λ2 νd (W ∩ ξ c ) P (dξ)
F
= E λ1 νd (W ∩ Ξ) + λ2 νd (W ∩ Ξc ) + Var λ1 νd (W ∩ Ξ) + λ2 νd (W ∩ Ξc )
= E (λ1 − λ2 )νd (W ∩ Ξ) + λ2 νd (W ) + Var (λ1 − λ2 )νd (W ∩ Ξ) + λ2 νd (W )
=
(λ1 − λ2 )E νd (W ∩ Ξ) + λ2 νd (W ) + (λ1 − λ2 )2 Var νd (W ∩ Ξ) .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
50
• Hieraus folgt, dass
bW
Var λ
=
=
NW
νd (W )
(λ1 − λ2 )E νd (W ∩ Ξ) + λ2 νd (W ) + (λ1 − λ2 )2 Var νd (W ∩ Ξ)
.
νd2 (W )
Var
Beachte
• Für das in (51) eingeführte Keim–Korn–Modell Ξ ergibt sich aus der Stationarität des zugrunde
liegenden Poisson–Prozesses {Sn }, dass
∀ x ∈ Rd
P (o ∈ Ξ) = P (x ∈ Ξ)
(65)
und
∀ x ∈ Rd , B ∈ B0 (Rd ) .
E νd (B ∩ Ξ) = E νd ((B + x) ∩ Ξ)
(66)
• Man kann sich leicht überlegen, dass der Volumenanteil E νd ([0, 1]d ∩ Ξ) mit der sogenannten
„Einpunkt–Überdeckungswahrscheinlichkeit” po = P (o ∈ Ξ) von Ξ übereinstimmt.
• Außerdem sind die folgenden Eigenschaften des Keim–Korn–Modells Ξ nützlich.
Lemma 3.3
1. Es gilt
E νd ([0, 1]d ∩ Ξ) = P (o ∈ Ξ) = 1 − exp(−λ0 κd rd ) .
(67)
2. Für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ist durch
pbW =
νd (W ∩ Ξ)
νd (W )
(68)
ein erwartungstreuer Schätzer für po = P (o ∈ Ξ) gegeben.
3. Sei W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit
νd Wn ∩ (Wn − x)
lim νd (Wn ) = ∞
und
lim
=1
n→∞
n→∞
νd (Wn )
Dann gilt
lim νd (Wn ) Var pbWn =
n→∞
wobei po,x = P ({o, x} ⊂ Ξ).
Z
Rd
∀ x ∈ Rd .
po,x − p2o dx ,
(69)
(70)
Beweis
• Aus (65) und aus dem Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge ergibt
sich, dass
Z
Z
Satz von Fubini
d
E 1IΞ (x) dx
1IΞ (x) dx
=
E νd ([0, 1] ∩ Ξ) = E
[0,1]d
[0,1]d
Z
Z
(65)
=
P (x ∈ Ξ) dx =
P (o ∈ Ξ) dx = P (o ∈ Ξ) .
[0,1]d
[0,1]d
• Außerdem ergibt sich so wie im Beweis von Theorem 3.11, dass
P (o ∈ Ξ) = P (#{n : |Sn | ≤ r} > 0) = 1 − exp(−λ0 κd rd ) .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
51
• Damit ist (67) bewiesen.
• Aus der Invarianzeigenschaft (66) ergibt sich mit Hilfe des Lemmas von Haar, dass
E νd (W ∩ Ξ) = νd (W ) E νd ([0, 1]d ∩ Ξ)
und somit
E pbW =
∀ W ∈ B0 (Rd )
E νd (W ∩ Ξ)
(67)
= E νd ([0, 1]d ∩ Ξ) = po .
νd (W )
• Um die Gültigkeit von (70) zu zeigen, überlegen wir uns zunächst, dass für jedes W ∈ B0 (Rd )
2 νd2 (W ) Var pbW = E νd (W ∩ Ξ) − νd (W )po
Z
Z
= E
(1IΞ (u) − po ) du
(1IΞ (v) − po ) dv
W
Z ZW
=
E (1IΞ (u) − po )(1IΞ (v) − po ) du dv
ZW ZW =
E 1IΞ (u)1IΞ (v) − p2o du dv
ZW ZW
=
po,u−v − p2o du dv
ZW ZW
=
po,x − p2o dx dv
ZW ZW −v
1IW −v (x) dv po,x − p2o dx
=
d
ZR W
=
νd W ∩ (W − x) po,x − p2o dx .
Rd
• Hieraus und aus (69) ergibt sich mit Hilfe des Satzes von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz, dass
Z
po,x − p2o dx ,
lim νd (Wn ) Var pbWn =
n→∞
weil
νd Wn ∩ (Wn − x)
νd (Wn )
Rd
po,x − p2o ≤ po 1IB(o,r) (x)
∀ x ∈ Rd
und weil somit die Funktion x 7→ po 1IB(o,r) (x) eine integrierbare Majorante ist.
• Damit ist (70) bewiesen.
Abbildung 14: Bestimmung der Zweipunkt–Überdeckungswahrscheinlichkeit po,x für |x| ≥ 2r
Beachte
• Die „Zweipunkt–Überdeckungswahrscheinlichkeit” po,x = P ({o, x} ∈ Ξ) in (70) ist gegeben durch

 2p − 1 + (1 − p )2 exp λ ν (B(o, r) ∩ B(x, r)) für |x| < 2r,
o
o
0 d
(71)
po,x =
 p2
für |x| ≥ 2r,
o
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
52
denn es gilt (vgl auch die Abbildungen 14 und 15)
po,x
=
=
=
=
=
=
P ({o, x} ⊂ Ξ) = 1 − P ({o 6∈ Ξ} ∪ {x 6∈ Ξ})
1 − P (o 6∈ Ξ) − P (x 6∈ Ξ) + P ({o, x}∩ ∈ Ξ = ∅)
1 − 2P (o 6∈ Ξ) + P #{n : Sn ∈ B(o, r) ∪ B(x, r)} = 0
1 − 2P (o 6∈ Ξ) + 1 − exp −λ0 νd (B(o, r) ∪ B(x, r))
1 − 2P (o 6∈ Ξ) + 1 − exp −λ0 νd (B(o, r) ∪ B(x, r))
2po − 1 + (1 − po )2 exp λ0 νd (B(o, r) ∩ B(x, r)) ,
wobei in der letzten Gleichheit genutzt wurde, dass
P (o 6∈ Ξ) = 1 − po = exp −λ0 νd (B(0, r))
und
νd (B(o, r) ∪ B(x, r)) = 2νd (B(o, r)) − νd (B(o, r) ∩ B(x, r)) .
• Wenn d = 2, dann ergibt sich für den Ausdruck νd (B(o, r) ∩ B(x, r)) in (71), dass

p
 2r2 arccos |x| − |x| 4r2 − |x|2
2r
2
νd (B(o, r) ∩ B(x, r)) =

0
• Für d = 3 gilt

3  4 π r3 1 − 3|x| + |x|
3
4r
16r3
νd (B(o, r) ∩ B(x, r)) =

0
für |x| < 2r,
für |x| ≥ 2r.
für |x| < 2r,
für |x| ≥ 2r.
Abbildung 15: Darstellung der Schnittfläche B(o, r) ∩ B(x, r)
Mit Hilfe von Lemma 3.2 und 3.3 lässt sich nun ähnlich wie in Theorem 3.12 zeigen, dass der IntensitätsbW die folgenden Eigenschaften hat.
schätzer λ
Theorem 3.13
1. Sei W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞ für n → ∞. Dann
bW schwach konsistent, d.h., für jedes ε > 0 gilt
ist der erwartungstreue Schätzer λ
n
bW − λ| > ε) = 0 .
lim P (|λ
n
n→∞
(72)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
53
2. Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass
νd Wn ∩ (Wn − x)
lim
=1
n→∞
νd (Wn )
∀ x ∈ Rd ,
bW , wobei
dann existiert der Grenzwert σ 2 = limn→∞ νd (Wn ) Var λ
n
Z
2
2
σ = λ1 po + λ2 (1 − po ) + (λ1 − λ2 )
po,x − p2o dx
(73)
(74)
Rd
und die Überdeckungswahrscheinlichkeiten po = P (o ∈ Ξ) und po,x = P ({o, x} ∈ Ξ) in (67) bzw. (71)
gegeben sind.
bW ist asymptotisch normalverteilt, d.h., für jedes x ∈ R gilt
3. Außerdem ist dann der Schätzer λ
n
r
ν (W )
d
n
bW − λ ≤ x = Φ(x) .
(75)
λ
lim P
n
2
n→∞
σ
Beweis
• Weil νd (Wn ∩ Ξ)/νd (Wn ) ≤ 1 für jedes n ≥ 1, ergibt sich aus Lemma 3.2, dass
bW = 0 .
lim Var λ
n
n→∞
• Hieraus ergibt sich die Gültigkeit von (72) mit Hilfe der Tschebyschew–Ungleichung.
• Außerdem ergibt sich aus Lemma 3.2, dass
bW
lim νd (Wn ) Var λ
n
n→∞
=
=
(λ1 − λ2 )E νd (Wn ∩ Ξ) + λ2 νd (Wn ) + (λ1 − λ2 )2 Var νd (Wn ∩ Ξ)
n→∞
νd (Wn )
Var νd (Wn ∩ Ξ)
(λ1 − λ2 )E νd ([0, 1]d ∩ Ξ) + λ2 + (λ1 − λ2 )2 lim
.
n→∞
νd (Wn )
lim
• Hieraus und aus Lemma 3.3 ergibt sich die Gültigkeit von (74).
• Um (75) zu zeigen, kann man ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.12 vorgehen, und zwar ergibt
sich die Gültigkeit von (75)
– mit Hilfe des Stetigkeitssatzes für charakteristische Funktionen reellwertiger Zufallsvariablen
(vgl. Theorem WR–5.7)
– und unter Verwendung der Darstellungsformel (29) des erzeugenden Funktionals von Cox–
Prozessen
– bzw. der Taylor–Reihenentwicklung der Exponentialfunktion.
3.3
Cluster–Prozesse
In diesem Abschnitt verallgemeinern wir den Modellansatz von „geclusterten” Punktprozessen, den wir in Abschnitt 3.2.3 zunächst nur für den Spezialfall der Neyman–Scott-Prozesse bzw. der Matérn–Cluster–Prozesse
betrachtet hatten.
3.3.1
Definition und erzeugendes Funktional
• Sei {Sn } ein beliebiger Punktprozess mit dem Intensitätsmaß {µ(0) (B), B ∈ B(Rd )}, das lokal endlich und
diffus sei, und sei Z = #{n : Sn ∈ Rd } die (zufällige) Anzahl der Atome von {Sn } in Rd .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
(1)
54
(2)
• Außerdem sei {NB }, {NB }, . . . eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Punktprozessen, die von
{Sn } unabhängig sind und deren Intensitätsmaß {µ(1) (B), B ∈ B(Rd )} endlich ist, d.h., µ(1) (Rd ) < ∞.
Theorem 3.14
Das zufällige Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} sei gegeben durch
NB =
Z
X
(n)
∀ B ∈ B(Rd ) .
NB−Sn
n=1
1. Wenn
Z
Rd
µ(1) (B − x) µ(0) (dx) < ∞
(76)
∀ B ∈ B0 (Rd ) ,
(77)
dann ist {NB } mit Wahrscheinlichkeit 1 lokal endlich, wobei das Intensitätsmaß {µ(B), B ∈ B(Rd )} von
{NB } gegeben ist durch
Z
µ(B) =
µ(1) (B − x) µ(0) (dx)
∀ B ∈ B(Rd ) .
(78)
Rd
2. Wenn der Punktprozess {Sn } stationär ist mit der Intensität λ0 , dann ist auch {NB } stationär, und die
Intensität λ = E N[0,1]d von {NB } ist gegeben durch
λ = λ0 µ(1) (Rd ) .
(79)
Beweis
• Aus der Definitionsgleichung (76) von {NB } ergibt sich, dass für jedes B ∈ B(Rd )
E NB = E
Z
X
(n)
NB−Sj
j=1
!
=
Z
Z({sn })
X
E
(j)
NB−sj
j=1
!
P (d{sn }) =
Z
Z({sn })
X
j=1
(j)
E NB−sj P (d{sn }) .
– Mit Hilfe des Campbellschen Theorems (vgl. Theorem 3.1) ergibt sich also, dass
Z
Z
(1)
E NB =
E NB−x µ(0) (dx) =
µ(1) (B − x) µ(0) (dx)
∀ B ∈ B(Rd ) .
Rd
Rd
– Damit ist (78) bewiesen.
• Aus (77) folgt nun, dass E NB < ∞ und somit auch P (NB < ∞) = 1 für jedes B ∈ B0 (Rd ).
• Sei {Sn } stationär. Dann ergibt sich aus der Definitionsgleichung (76) von {NB }, dass
!
Z
Z
X
X
(i)
(i)
N B 1 , . . . , NB n
=
NBn −Si
NB1 −Si , . . . ,
i=1
D
=
Z
X
i=1
(i)
NB1 −(Si −x) , . . . ,
i=1
=
NB1 +x , . . . , NBn +x
Z
X
(i)
NBn −(Si −x)
i=1
!
für beliebige n ≥ 1, B1 , . . . , Bn ∈ B(Rd ) und x ∈ Rd , d.h., {NB } ist stationär.
• Die Formel (79) für die Intensität λ von {NB } ergibt sich unmittelbar aus (78), denn es gilt
Z
(78)
λ = µ([0, 1]d ) = λ0
µ(1) ([0, 1]d − x) dx = λ0 µ(1) (Rd ) .
Rd
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
55
Beachte
• Wenn die Integrierbarbeitsbedingung (77) erfüllt ist, dann sagt man, dass das in (76) definierte zufällige
Zählmaß {NB } ein Cluster–Prozess ist.
(1)
(2)
• Der Punktprozess {Sn } heißt Primärprozess; die Punktprozesse {NB }, {NB }, . . . werden Sekundärprozesse genannt.
• Wenn {Sn } ein Poisson–Prozess ist, dann sagt man, dass {NB } ein Poissonscher Cluster–Prozess ist.
Das erzeugende Funktional eines Cluster–Prozesses lässt sich durch die erzeugenden Funktionale der Primär– und
Sekundärprozesse ausdrücken. Dabei setzen wir stets voraus, dass die Integrierbarkeitsbedingung (77) erfüllt ist.
Theorem 3.15
Für das erzeugende Funktional G : H → [0, 1] des Cluster–Prozesses {NB } gilt
!
Z
Y
[Sn ]
G(f ) = E
G (f )
∀f ∈ H,
(80)
n=1
wobei G[x] : H → [0, 1] das erzeugende Funktional des (um den Vektor x ∈ Rd verschobenen Sekundär–) Punkt(1)
prozesses {NB−x , B ∈ B(Rd )} ist.
Beweis
• Sei {Sn′ } eine messbare Indizierung der Atome von {NB }, und sei Z ′ = #{n : Sn′ ∈ Rd } die Gesamtanzahl der Punkte des Cluster–Prozesses {NB }.
• Dann ergibt sich aus den Definitionsgleichungen (6) und (76) des erzeugenden Funktionals bzw. des
Cluster–Prozesses {NB }, dass
′
(6)
G(f ) = E
Z
Y
f (Sn′ )
n=1
!
(j)
(76)
= E
Z Z
Y
Y
(j)
f (Si
j=1 i=1
− Sj )
!
∀f ∈ H,
(j)
(j)
wobei {Si , i ≥ 1} eine messbare Indizierung der Atome des Sekundärprozesses {NB } und Z (j) =
(j)
(j)
#{i : Si ∈ Rd } die Gesamtanzahl der Punkte von {NB } ist.
(1)
(2)
• Wegen der Unabhängigkeit der Punktprozesse {Sn }, {Si }, {Si }, . . . ergibt sich hieraus, dass
G(f ) =
Z
Z({sn }) Z (j)
E
Y
j=1
Y
(j)
f (Si
i=1
• Somit gilt
G(f ) =
wobei
[x]
Z
!
− sj ) P (d{sn }) =
Z
Z({sn })
Y
Z({sn })
Y
G
[sj ]
j=1
G (f ) = E
(1)
Z
Y
i=1
(f ) P (d{sn }) = E
(1)
f (Si
− x)
!
E
j=1
(j)
Z
Y
(j)
f (Si
i=1
Z
Y
G
[Sj ]
!
− sj ) P (d{sn }) .
!
(f ) ,
j=1
∀ x ∈ Rd .
Beachte
• Das Produkt in (80) kann aus unendlich vielen Faktoren bestehen; insbesondere dann, wenn der Primärprozess {Sn } stationär ist.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
56
• Das Produkt in (80) ist dennoch stets wohldefiniert, weil die Werte sämtlicher Faktoren zwischen 0
und 1 liegen.
Korollar 3.3 Wenn der Primärprozess {Sn } ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß {µ(0) (B)} ist, dann
gilt für das erzeugende Funktional G : H → [0, 1] des Poissonschen Cluster–Prozesses {NB }, dass
!
Z [x]
(0)
G(f ) = exp
G (f ) − 1 µ (dx)
∀f ∈ H.
(81)
Rd
Beweis
• Aus der Darstellungsformel (80) für das erzeugende Funktional des Cluster–Prozesses {NB }, die in
Theorem 3.15 hergeleitet wurde, ergibt sich, dass
G(f ) = lim G0 (fr′ )
(82)
∀f ∈ H,
r→∞
wobei G0 : H → [0, 1] das erzeugende Funktional des Poissonschen Primärprozesses {Sn } ist und die
Funktion fr′ ∈ H gegeben ist durch

 G[x] (f ) für |x| ≤ r,
fr′ (x) =
 1
für |x| > r.
– Denn es gilt für jedes f ∈ H
G(f )
(80)
=
E
Z
Y
G
[Sn ]
(f )
n=1
=
(6)
=
lim E
r→∞
!
Y
=E
lim
r→∞
G[Sn ] (f )
n: Sn ∈B(o,r)
Y
G
[Sn ]
n: Sn ∈B(o,r)
!
= lim E
r→∞
Z
Y
n=1
(f )
!
fr′ (Sn )
!
lim G0 (fr′ ) ,
r→∞
– wobei sich die letzte Gleichheit aus der Definitionsgleichung (6) des erzeugenden Funktionals von
Punktprozessen ergibt
– und die Vertauschbarkeit von Erwartungswert und Grenzwertbildung in der dritten Gleicheit mit
dem Satz über die monotone Konvergenz begründet werden kann.
• Mit Hilfe der Darstellungsformel (9) für das erzeugende Funktional des Poisson–Prozesses {Sn }, die in
Theorem 3.3 hergeleitet wurde, ergibt sich nun aus (82), dass für jedes f ∈ H
G(f )
(82)
=
(9)
=
=
=
lim G0 (fr′ )
Z
lim exp
r→∞
r→∞
Rd
lim exp
r→∞
exp
Z Rd
Z
fr′ (x)
B(o,r)
− 1 µ(0) (dx)
!
G (f ) − 1 µ(0) (dx)
[x]
!
(0)
G (f ) − 1 µ (dx) .
!
[x]
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
3.3.2
57
Poissonsche Cluster–Prozesse; Eigenschaften des Intensitätsschätzers
bW = NW /νd (W ) für stationäre
Wir diskutieren nun zwei asymptotische Eigenschaften des Intensitätsschätzers λ
Poissonsche Cluster–Prozesse und verallgemeinern dabei die Ergebnisse, die in Abschnitt 3.2.4 für Neyman–Scott–
Prozesse hergeleitet worden sind.
• Sei {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ0 . Dann ergibt sich aus Theorem 3.14,
– dass der Poissonsche Cluster–Prozess {NB } stationär ist und
– dass
b W = NW
λ
νd (W )
(83)
für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ein erwartungstreuer Schätzer für die Intensität λ von
{NB } ist.
bW .
• Außerdem gilt die folgende Darstellungsformel für die Varianz von λ
Lemma 3.4
Sei W ∈ B0 (Rd ) eine beliebige Borel–Menge mit 0 < νd (W ) < ∞. Wenn
Z
(1) 2
E NW −x dx < ∞ ,
(84)
Rd
dann gilt
bW =
Var λ
λ0
2
νd (W )
Z
(1)
Rd
E NW −x
2
(85)
dx .
Beweis
• Um die Gültigkeit von (85) zu zeigen, gehen wir ähnlich wie im Beweis von Lemma 3.1 vor.
• Mit der Kurzschreibweise P (d{sn }) = P ({Sn } = d{sn }) ergibt sich aus der Definitionsgleichung (76)
von NW , dass
E NW
2
Z
=
Z
=
• Hieraus ergibt sich, dass
2
=
Z
+
(5)
=
∞
X
j=1
E
λ0
∞ X
∞
X
2
(j)
NW −sj
P (d{sn })
−
(j)
Var NW −sj
j=1
(j)
E NW −sj
+
∞
X
+
(j)
E NW −sj
(j)
E NW −sj
j=1
2
!
!2
P (d{sn })
P (d{sn }) .
∞ 2
Z X
(j)
(j)
E NW −sj P (d{sn })
Var NW −sj +
(i)
E NW −si
i6=j
(1)
Rd
(j)
NW −sj
j=1
Z X
Z
∞
X
j=1
Z
=
E NW
E
j=1
(j)
E NW −sj P (d{sn })
Var NW −x dx + λ0
Z Rd
(1)
E NW −x
2
Z
dx + λ0
(1)
Rd
E NW −x dx
2
wobei sich die letzte Gleichheit aus dem Campbellschen Theorem (vgl. Theorem 3.1) ergibt.
,
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
• Somit ergibt sich, dass
58
Var NW = λ0
Z
(1)
Rd
E NW −x
2
dx .
bW .
Mit Hilfe von Lemma 3.4 ergeben sich die folgenden asymptotischen Eigenschaften des Schätzers λ
Theorem 3.16
1. Sei W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞ für n → ∞. Wenn es
Konstanten c < ∞ und δ ∈ (0, 1) gibt, so dass
Z
2
(1)
νdδ−2 (Wn )
E NWn −x dx ≤ c
∀n ≥ 1,
(86)
Rd
bW schwach konsistent, d.h., für jedes ε > 0 gilt
dann ist der erwartungstreue Schätzer λ
n
bW − λ| > ε) = 0 .
lim P (|λ
n
n→∞
(87)
2. Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass der Grenzwert
bW = lim
σ = lim νd (Wn ) Var λ
n
2
λ0
n→∞
n→∞
R
(1)
Rd
E NWn −x
νd (Wn )
2
dx
(88)
existiert, wobei 0 < σ 2 < ∞, und wenn die Lindeberg–Bedingung
Z
2
1
(1)
N (1)
dx = 0
E NWn −x 1I √
lim
Wn −x
ε νd (Wn ),∞
n→∞ νd (Wn )
Rd
bW asymptotisch normalverteilt, d.h.,
erfüllt ist, dann ist der Schätzer λ
n
r
ν (W )
d
n
bW − λ ≤ x = Φ(x)
lim P
λ
n
n→∞
σ2
∀ε > 0
∀x ∈ R.
(89)
(90)
Beweis
bW = 0. Die stochastische Konvergenz in (87) ergibt sich
• Aus (85) und (86) folgt, dass limn→∞ Var λ
n
somit auf die gleiche Weise wie im Beweis der Theoreme 3.12 bzw. 3.13.
• Um die Verteilungskonvergenz (90) zu beweisen, benutzen wir eine „Abschneidetechnik” und betrachten
zunächst die Zufallsvariablen
NWn ,ε =
∞
X
(n)
NWn −Sk ,ε ,
wobei
(n)
(n)
NWn −Sk ,ε = NWn −Sk 1I
k=1
[0,ε
√
νd (Wn )
N (n)
Wn −Sk .
• Dabei genügt es zu zeigen, dass es eine Nullfolge ε = ε(n) → 0 für n → ∞ gibt, so dass
sowie
lim E
n→∞
s2 N
W ,ε − E NWn ,ε
exp
=1
lim E exp is pn
n→∞
2
Var NWn ,ε
NWn − E NWn − NWn ,ε − E NWn ,ε
p
Var NWn
!2
=0
und
∀s ∈ R
lim
n→∞
Var NWn ,ε
= 1.
Var NWn
(91)
(92)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
59
– Denn (91) ist gleichbedeutend mit
– und wegen (92) gilt dann auch
NWn ,ε − E NWn ,ε D
p
−→ N(0, 1) ,
Var NWn ,ε
NW n − E N W n D
p
−→ N(0, 1) .
Var NWn
– Mit Hilfe von (85) und (88) ergibt sich hieraus die Gültigkeit von (90).
• Die Nullkonvergenz in (92) ergibt sich unmittelbar aus (88) und (89),
– denn es gilt
!2
NWn − E NWn − NWn ,ε − E NWn ,ε
p
lim E
n→∞
Var NWn
Z
2
1
νd (Wn )
(1)
N (1)
lim
dx
E NWn −x 1I √
=
lim
Wn −x
ε νd (Wn ),∞
n→∞ Var NWn n→∞ νd (Wn )
Rd
Z
2
1
(89)
(88)
(1)
N (1)
E NWn −x 1I √
dx = 0 .
= σ −2 lim
W
−x
n
ε νd (Wn ),∞
n→∞ νd (Wn )
d
R
– Hieraus folgt außerdem, dass
lim
n→∞
Var NWn ,ε − Var NWn
Var NWn ,ε
− 1 = lim
= 0.
n→∞
Var NWn
Var NWn
• Um die Gültigkeit von (91) zu zeigen, kann man wie folgt vorgehen.
– Mit Hilfe von Korollar 3.3 ergibt sich so wie im Beweis von Theorem 3.12 (vgl. (61) und (62)),
dass
!
Z
(1)
(1)
N
is NWn −x,ε is NWn −x,ε
Wn ,ε − E NWn ,ε
E exp is p
= exp λ0
dx .
−1− p
E exp p
Var NWn ,ε
Var NWn ,ε
Var NWn ,ε
Rd
– Wenn wir dabei die in Lemma 3.4 hergeleitete Varianzformel (85) berücksichtigen, dann erhalten
wir insgesamt, dass
s2 N
W ,ε − E NWn ,ε
exp
E exp is pn
2
Var NWn ,ε
!
Z
(1)
(1)
(1)
is NWn −x,ε
is NWn −x,ε
1 s NWn −x,ε 2 p
dx .
−1− p
+
E exp p
= exp λ0
2
Var NWn ,ε
Var NWn ,ε
Var NWn ,ε
Rd
– Aus der Ungleichung
x2 |x|3
exp( ix) − 1 − ix +
≤
2
6
∀x ∈ R,
ergibt sich nun die folgende Abschätzung
Z
(1)
(1)
(1)
is NWn −x,ε
is NWn −x,ε
1 s NWn −x,ε 2 p
−1− p
+
dx
E exp p
λ 0
2
Var NWn ,ε
Var NWn ,ε
Var NWn ,ε
Rd
p
R
R
2
3
(1)
(1)
λ0 |s|3 ε νd (Wn ) Rd E NWn −x,ε dx
λ0 |s|3 Rd E NWn −x,ε dx
≤
≤
6 Var NWn ,ε )3/2
6 Var NWn ,ε )3/2
s
νd (Wn )
|s|3 ε
=
.
6
Var NWn ,ε
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
60
– Damit ist (91) bewiesen, weil die Nullfolge ε = ε(n) so gewählt werden kann, dass der letzte
Ausdruck beliebig klein wird.
3.3.3
Beispiele: Gauß–Poisson–Prozesse, Neyman–Scott–Prozesse
In diesem Abschnitt betrachten wir zwei Klassen von Poissonschen Cluster–Prozessen, deren Sekundärprozesse
(1)
(2)
{NB }, {NB }, . . . jeweils eine spezielle Struktur besitzen. Der Primärprozess {Sn } sei in beiden Fällen ein
homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ0 .
1. Gauß–Poisson–Prozesse
• Sei S (1) , S (2) , . . . : Ω → Rd ∪ {∞} eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren, die den Wert „Unendlich” annehmen können und die von dem Poissonschen Primärprozess
{Sn } unabhängig sind. Dabei gelte P (S (1) = o) = 0.
(1)
(2)
• Die Sekundärprozesse {NB }, {NB }, . . . seien gegeben durch
(n)
NB = δo (B) + δS (n) (B)
• Der Poissonsche Cluster–Prozess {NB } mit NB =
genannt.
P∞
∀ n ≥ 1, B ∈ B(Rd ) .
n=1
(93)
(n)
NB−Sn wird dann Gauß–Poisson–Prozess
Abbildung 16: Gauss-Poisson–Prozess
Beachte
• Aus (93) ergibt sich, dass jeder Primärpunkt Sn auch ein Punkt des Cluster–Prozesses {NB } ist
und dass Sn mit der Wahrscheinlichkeit p = P (S (1) ∈ Rd ) einen weiteren Sekundärpunkt an der
Stelle Sn + S (n) erzeugt, vgl. Abbildung 16.
• Aus Korollar 3.3 folgt, dass das erzeugende Funktional G : H → [0, 1] eines Gauß–Poisson–
Prozesses gegeben ist durch
!
Z
Z (1 − p)f (x) + p
G(f ) = exp λ0
f (x)f (x + y) PS (dy) − 1 dx
∀ f ∈ H , (94)
Rd
Rd
wobei PS : B(Rd ) → [0, 1] mit PS (B) = p−1 P (S (1) ∈ B) die bedingte Verteilung der Abweichung
des zweiten Sekundärpunktes vom auslösenden Primärpunkt ist (unter der Bedingung, dass es
einen solchen zweiten Sekundärpunkt gibt).
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
61
2. Neyman–Scott–Prozesse
(n)
• Sei {Si , i, n ≥ 1} eine Doppel–Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren
(n)
Si : Ω → Rd , die von dem Poissonschen Primärprozess {Sn } unabhängig ist.
– Außerdem sei T (1) , T (2) , . . . : Ω → {0, 1, . . .} eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten
(n)
Zufallsvariablen (mit nichtnegativen ganzzahligen Werten), die von den Folgen {Si } und {Sn }
unabhängig ist.
– Für die Gesamtanzahlen T (1) , T (2) , . . . von Sekundärpunkten je Primärpunkt gelte E T (i) < ∞.
(2)
(1)
• Die Sekundärprozesse {NB }, {NB }, . . . seien gegeben durch
(n)
NB
=
(n)
T
X
i=1
∀ n ≥ 1, B ∈ B(Rd ) .
δS (n) (B)
i
• Der Poissonsche Cluster–Prozess {NB } mit NB =
genannt, vgl. Abbildung 17.
P∞
(95)
(n)
n=1
NB−Sn wird dann Neyman–Scott–Prozess
Abbildung 17: Neyman–Scott–Prozess
Beachte
1) Aus Korollar 3.3 folgt, dass das erzeugende Funktional G : H → [0, 1] eines Neyman–Scott–
Prozesses gegeben ist durch
!
Z Z
g
f (x + y) PS (dy) − 1 dx
∀f ∈ H,
(96)
G(f ) = exp λ0
Rd
Rd
(n)
wobei PS : Rd → [0, 1] die Verteilung von Si ist und g : [−1, 1] → [0, 1] die erzeugende Funktion
der Gesamtanzahl von Sekundärpunkten ist, die von einem Primärpunkt generiert werden, d.h.,
g(z) = E z T
(1)
∀ z ∈ [−1, 1] .
2) Wenn die Gesamtanzahl von Sekundärpunkten, die von einem Primärpunkt generiert werden,
poissonverteilt ist mit dem Parameter λ1 , d.h., wenn g(z) = eλ1 (z−1) für jedes z ∈ [−1, 1], dann
ergibt sich aus (96), dass
!
Z Z
G(f ) = exp λ0
exp λ1
f (x + y) PS (dy) − 1 − 1 dx
∀f ∈ H.
(97)
Rd
Rd
3) Wenn außerdem vorausgesetzt wird, dass die Verteilung PS des Vektors zwischen Sekundärpunkt
und zugehörigem Primärpunkt absolutstetig ist, dann lässt sich (97) wie folgt umformen.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
62
• Mit Hilfe der Darstellungsformel (9) für das erzeugende Funktional des Poisson–Prozesses
{Sn }, die in Theorem 3.3 hergeleitet wurde, ergibt sich aus (97), dass
!
∞
Z
Y
f (Sn + y) PS (dy) − 1
G(f ) = E
exp λ1
Rd
n=1
=
=
=
=
E
E
exp λ1
exp λ1
∞ Z
X
Rd
n=1
Z
∞
X
n=1 R
∞ Z
X
E
exp λ1
E
Z
exp −
Rd
n=1
Rd
d
f (Sn + y) PS (dy) − 1
f (Sn + y) − 1 PS (dy)
!
f (x) − 1 PS (dx − Sn )
1 − f (x)
∞
X
n=1
λ
(1)
!
!
(x − Sn ) dx
!
,
wobei λ(1) (x) = λ1 pS (x) und pS : Rd → [0, ∞) die Dichte von PS ist.
• Der letzte Ausdruck stimmt mit den Formeln (48) und (49) überein, d.h., in diesem Fall
kann der Neyman–Scott–Prozess {NB } nicht nur als Poissonscher Cluster–Prozess, sondern
gleichzeitig auch als Cox–Prozess aufgefasst werden.
3.4
Ergodizität; starke Konsistenz des Intensitätsschätzers
Für stationäre Cox– bzw. Cluster–Prozesse wurden in den Abschnitten 3.2 und 3.3 hinreichende Bedingungen für
bW diskutiert.
die schwache Konsistenz des Intensitätsschätzers λ
Wir geben nun einen Ergodensatz für allgemeine dynamische Systeme an und zeigen dann, wie dieser Ergodensatz
bW genutzt werden kann.
zum Nachweis der starken Konsistenz von λ
3.4.1
Dynamische Systeme; individueller Ergodensatz
Zunächst zeigen wir, dass stationäre Punktprozesse bzw. stationäre zufällige Maße als dynamische Systeme aufgefasst werden können.
d
• Zur Erinnerung: Mit N wird die Familie aller lokal endlichen Zählmaße
ϕ
) → {0, 1, . . .} ∪ {∞}
: B(R
S
P∞
∞
d
bezeichnet, d.h., es gilt ϕ(B) < ∞ für jedes B ∈ B0 (R ) und ϕ n=1 Bn = n=1 ϕ(Bn ) für paarweise
disjunkte B1 , B2 , . . . ∈ B(Rd ).
• Außerdem betrachten wir
– die σ–Algebra N ⊂ P(N), wobei N die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von N ist, so dass ϕ 7→ ϕ(B)
für jedes B ∈ B0 (Rd ) eine (N , B(R))–messbare Abbildung ist,
– und die Familie {Tx , x ∈ Rd } von (N , N )–messbaren Verschiebungsoperatoren Tx : N → N, so dass
Tx ϕ)(B) = ϕ(B + x)
∀ x ∈ Rd , B ∈ B(Rd ) ,
(98)
P
P
d.h., jedem Zählmaß ϕ = n an δsn aus N wird das Zählmaß Tx ϕ = n an δsn −x zugeordnet, wobei
sämtliche Atome von ϕ um den Vektor −x verschoben werden.
– Die „Gewichte” an ∈ R \ {0} der Atome sn bleiben dabei unverändert.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
63
• Man kann sich leicht überlegen, dass der Punktprozess {NB } genau dann stationär ist,
– wenn seine Verteilung PN invariant bezüglich {Tx } ist, wobei PN (A) = P (N ∈ A) für jedes A ∈ N ,
– d.h., die in Abschnitt 3.1 betrachtete Definitionsgleichung (16) für die Stationarität von Punktprozessen
gilt genau dann, wenn
PN (A) = PN (Tx A)
∀ x ∈ Rd , A ∈ N ,
(99)
wobei Tx A = {Tx ϕ : ϕ ∈ A}.
• Die Stationarität von beliebigen (nicht notwendig ganzzahligen) zufälligen Maßen {ΛB } lässt sich auf die
gleiche Weise charakterisieren.
– Hierfür betrachten wir die Menge
endlichen Maße η : B(Rd ) → [0, ∞], d.h., es gilt η(B) < ∞
S M der
lokal
P
∞
∞
für jedes B ∈ B0 (Rd ) und η n=1 Bn = n=1 η(Bn ) für paarweise disjunkte B1 , B2 , . . . ∈ B(Rd ).
– Außerdem sei M die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von M, so dass η 7→ η(B) für jedes B ∈ B0 (Rd )
eine (M, B(R))–messbare Abbildung ist.
– Genauso wie in (98) definieren wir die Familie {Tx , x ∈ Rd } von (M, M)–messbaren Verschiebungsoperatoren Tx : M → M, so dass
Tx η)(B) = η(B + x)
∀ x ∈ Rd , B ∈ B(Rd ) .
(100)
• Man kann sich leicht überlegen, dass das zufällige Maß {ΛB } genau dann stationär ist,
– wenn seine Verteilung PΛ invariant bezüglich {Tx } ist, wobei PΛ (A) = P (Λ ∈ A) für jedes A ∈ M,
– d.h., die in Abschnitt 3.2 betrachtete Definitionsgleichung (31) für die Stationarität von zufälligen
Maßen gilt genau dann, wenn
PΛ (A) = PΛ (Tx A)
∀ x ∈ Rd , A ∈ M .
(101)
wobei Tx A = {Tx η : η ∈ A} für beliebige x ∈ Rd und A ∈ M.
Beachte
• Wenn die Wahrscheinlichlichkeitsräume (N, N , PN ) bzw. (M, M, PΛ ) mit der in (98) bzw. (100) eingeführten Familie T = {Tx , x ∈ Rd } von (maßerhaltenden) Verschiebungsoperatoren ergänzt werden, für
die (99) bzw. (101) gilt, dann sagt man, dass (N, N , PN , T) und (M, M, PΛ , T) dynamische Systeme
sind.
• Die in (98) bzw. (100) eingeführten Familien {Tx , x ∈ Rd } von Verschiebungsoperatoren besitzen die
Eigenschaft einer (algebraischen) Gruppe, denn offenbar gilt
Tx+x′ = Tx Tx′
und
Tx T−x = I
∀ x, x′ ∈ Rd .
• In Abschnitt 4 werden wir den Begriff des dynamischen Systems auch für den Fall eines beliebigen,
nicht näher spezifizierten Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω, A, P ) benötigen.
– Dabei wird als Indexmenge G der Operatoren–Gruppe {Tx , x ∈ G} nicht nur der (kontinuierliche)
d–dimensionale euklidische Raum Rd betrachtet, sondern beispielsweise auch die (diskrete) Menge
Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .} der ganzen Zahlen.
– Im letzeren Fall wird anstelle des Lebesgue–Maßes über B(Rd ), das Zählmaß über P(Z) betrachtet.
– Deshalb führen wir nun den Begriff des dynamischen Systems noch in einem allgemeineren Kontext
ein, der beide Situationen als Spezialfälle erfasst.
Definition
• Sei (Ω, A, P ) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei G eine beliebige Abelsche lokalkompakte
Hausdorffsche Gruppe, die dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
64
• Die Verknüpfungsoperation in G bezeichnen wir weiterhin mit „+”. Außerdem sei B(G) die σ–Algebra
der Borel–Mengen in G, und sei ν : B(G) → [0, ∞] das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutig
bestimmte) Haarsche Maß, so dass
∀ x ∈ G, B ∈ B(G) .
ν(B) = ν(B + x)
• Sei {Tx , x ∈ G} eine Familie von eineindeutigen (A, A)–messbaren Abbildungen Tx : Ω → Ω. Man
sagt, dass {Tx } eine Strömung (bzw. ein Flow) in (Ω, A, P ) ist, wenn
∀ x ∈ G, A ∈ A ,
P (A) = P (Tx A)
und
Tx+x′ = Tx Tx′
Tx T−x = I
{(x, ω) : Tx ω ∈ A} ∈ B(G) ⊗ A
∀ x, x′ ∈ G ,
∀A ∈ A.
• Wenn T = {Tx } eine Strömung in (Ω, A, P ) ist, dann sagt man, dass das Quadrupel (Ω, A, P, T) ein
dynamisches System ist.
bW , die wir am Anfang von Abschnitt 3.4 erwähnt
Die Frage nach der starken Konstistenz des Intensitätsschätzer λ
hatten, hängt eng mit den beiden folgenden Fragestellungen zusammen.
Sei (Ω, A, P, T) ein beliebiges dynamisches System, und sei X : Ω → R eine beliebige Zufallsvariable, so dass
E |X| < ∞. Außerdem sei W1 , W2 , . . . ∈ B(G) eine Folge von Borelschen Teilmengen der Index–Menge G mit
0 < ν(Wn ) < ∞ für jedes n ≥ 1.
1) Unter welchen Bedingungen existiert der Grenzwert
X(ω) = lim
n→∞
1
ν(Wn )
Z
X(Tx ω) ν(dx)
(102)
Wn
für P –fast jedes ω ∈ Ω, wobei ν : B(G) → [0, ∞] das Haarsche Maß ist.
2) Wann gilt für die in (102) gegebene Zufallsvariable X : Ω → R, dass
X = E (X | I) ,
(103)
wobei E (X | I) die bedingte Erwartung von X bezüglich der σ–Algebra
I = {A ∈ A : A = Tx A ∀ x ∈ G} .
aller T–invarianten Mengen aus A ist.
Das folgende Resultat, dass in der Literatur individueller Ergodensatz genannt wird, gibt eine Antwort auf diese
beiden Fragen.
Theorem 3.17
Sei W1 , W2 , . . . ∈ B(G) eine Folge von Borelschen Teilmengen der Index–Menge G, so dass
Wn ⊂ Wn+1
und
und
0 < ν(Wn ) < ∞
∀n ≥ 1,
ν Wn ∩ (Wn − x)
=1
∀x ∈ G
lim
n→∞
ν(Wn )
sup
n≥1
ν(Wn − Wn )
< ∞,
ν(Wn )
(104)
(105)
(106)
wobei Wn − Wn = {x − y : x, y ∈ Wn }. Dann existiert der Grenzwert in (102) für P –fast jedes ω ∈ Ω, und es gilt
(103).
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
65
Einen Beweis von Theorem 3.17 findet man beispielsweise in dem Buch von A.A. Tempelman (1992), Ergodic
Theorems for Group Actions: Informational and Thermodynamical Aspects, Kluwer, Dordrecht.
Beachte Von besonderer Bedeutung ist der Fall, dass der Grenzwert X(ω) in (102) existiert und P –fast sicher
konstant ist. Dann ergibt sich aus (103), dass
X = E (X | I) = E X ,
(107)
d.h., das „Raummittel” X stimmt mit dem „Scharmittel” E X überein.
Definitionen
• Eine Folge W1 , W2 , . . . ∈ B(G) von Borelschen Teilmengen der Index–Menge G, die den Bedingungen
(104) – (106) genügt, wird mittelnde Folge genannt.
• Man sagt, dass das dynamische System (Ω, A, P, T) ergodisch ist, wenn für jede integrierbare Zufallsvariable X : Ω → R und für jede mittelnde Folge {Wn } gilt, dass die in (102) gegebene Zufallsvariable
X : Ω → R mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant ist.
• Ein stationärer Punktprozess {NB } heißt ergodisch, wenn das dynamische System (N, N , PN , T) ergodisch ist.
bW = NW /νd (W ) die folgende (starke) KonsistenzAus Theorem 3.17 ergibt sich, dass der Intensitätsschätzer λ
eigenschaft besitzt, wenn der Punktprozess {NB } ergodisch ist. Beispiele ergodischer Punktprozesse werden wir
später in Abschnitt 3.4.3 diskutieren.
Theorem 3.18
Sei {NB } ein ergodischer Punktprozess mit der Intensität λ. Dann gilt
b[−n,n]d = λ = 1 .
P lim λ
n→∞
Beweis
(108)
• Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass der Punktprozess {NB } über dem
„kanonischen” Wahrscheinlichkeitsraum (N, N , PN ) gegeben ist.
• Dann gilt für beliebige n ≥ 1 und ϕ ∈ N, dass
N[−n,n]d (ϕ)
=
=
=
=
• Hieraus ergibt sich, dass
Z
[−n,n−1]d
bzw.
Z
[−n,n−1]d
ϕ [−n, n]
Z
Z
Z
Z
[−n,n]d
Rd
Rd
Z
d
Rd
[−n,n]d
=
Z
ϕ(dx)
[−n,n]d
1I[x−1,x] (y) dy ϕ(dx)
1I[x−1,x] (y) ϕ(dx) dy
ϕ [−n, n]d ∩ [y, y + 1] dy .
ϕ [y, y + 1] dy ≤ N[−n,n]d (ϕ) ≤
Ty ϕ [0, 1]d dy ≤ N[−n,n]d (ϕ) ≤
Z
Z
[−n−1,n]d
[−n−1,n]d
ϕ [y, y + 1] dy
Ty ϕ [0, 1]d dy .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
66
• Weil {Wn } und {Wn′ } mit Wn = [−n, n − 1]d bzw. Wn′ = [−n − 1, n]d mittelnde Folgen sind und weil
lim
n→∞
νd [−n − 1, n]d )
νd [−n, n − 1]d )
=
lim
= 1,
n→∞
νd [−n, n]d )
νd [−n, n]d )
ergibt sich nun mit Hilfe von Theorem 3.17, dass der Grenzwert
b[−n,n]d (ϕ) = lim
lim λ
n→∞
n→∞
N[−n,n]d (ϕ)
1
= lim
n→∞ νd [−n, n]d
νd [−n, n]d
Z
[−n,n]d
mit Wahrscheinlichkeit 1 existiert und konstant ist.
• Somit ergibt sich mit Hilfe von (103) und (107), dass
Z
b[−n,n]d =
lim λ
ϕ [0, 1]d PN (dϕ) = λ .
n→∞
N
Ty ϕ [0, 1]d dy
Beachte
• Die Aussage von Theorem 3.18 gilt natürlich nicht nur für kubische Beobachtungsfenster der Form
Wn = [−n, n]d .
• Wenn {NB } ergodisch ist mit der Intensität λ, dann lässt sich auf ähnliche Weise wie im Beweis von
Theorem 3.18 zeigen, dass zum Beispiel auch
bB(o,n) = λ = 1 .
P lim λ
n→∞
• Die Gültigkeit von Theorem 3.18 kann darüber hinaus für Folgen von Beobachtungsfenstern gezeigt
werden, die nicht konvex sind und die oft bei geographischen Daten betrachtet werden.
– Beispielsweise gilt Theorem 3.18 auch dann, wenn {Wn } durch die Dilatation einer polykonvexen
Menge gebildet wird,
– d.h., wenn
j
[
Wn =
∀n ≥ 1,
Bi ⊕ B(o, n)
i=1
wobei die Mengen B1 , . . . , Bj ∈ B0 (Rd ) konvex sind mit o ∈ intBi0 für ein i0 ∈ {1, . . . , j} und die
Minkowski–Summe A ⊕ B gegeben ist durch A ⊕ B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}.
3.4.2
Ergodizitätskriterien
In der Literatur werden weitere (äquivalente) Definitionsmöglichkeiten für die Ergodizität von dynamischen Systemen betrachtet. Wir erwähnen hier zunächst zwei solcher Ergodizitätskriterien, ohne sie zu beweisen.
Theorem 3.19
Das dynamische System (Ω, A, P, T) ist genau dann ergodisch, wenn
max{P (A), P (Ac )} = 1
oder wenn jede Darstellung
P = p P ′ + (1 − p) P ′′
∀A ∈ I
(109)
mit p ∈ [0, 1]
(110)
des Wahrscheinlichkeitsmaßes P als Mischung zweier T–invarianter Wahrscheinlichkeitsmaße P ′ , P ′′ über A trivial ist, d.h., wenn max{p, 1 − p} = 1 oder P ′ = P ′′ .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
67
Beachte
• Die Bedingung (109) bedeutet, dass die T–invarianten Teilmengen A ∈ I eines ergodischen dynamischen Systems (Ω, A, P, T) nur die Wahrscheinlichkeiten 0 oder 1 besitzen können.
• Es ist klar, dass jede Linearkombination (110) von T–invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßen P ′ , P ′′
über A erneut ein T–invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß ergibt. In diesem Sinne bildet die Familie
aller T–invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße über A einen Simplex.
• Die Bedingung (110) bedeutet, dass die ergodischen T–invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße über A
die Eckpunkte dieses Simplex bilden.
Mit Hilfe von Theorem 3.19 lässt sich auf einfache Weise noch ein drittes Ergodizitätskriterium herleiten.
Theorem 3.20 Das dynamische System (Ω, A, P, T) ist genau dann ergodisch, wenn es eine mittelnde Folge
{Wn } gibt, so dass
Z
1
P A ∩ Tx A′ ν(dx) = P (A) P (A′ )
∀ A, A′ ∈ A .
(111)
lim
n→∞ ν(Wn )
Wn
Beweis
• Wir nehmen zunächst an, dass das dynamische System (Ω, A, P, T) ergodisch ist, und zeigen, dass
(111) für jede mittelnde Folge {Wn } gilt.
• Aus der T–Invarianz des Wahrscheinlichkeitsmaßes P ergibt sich, dass für beliebige A, A′ ∈ A
Z
Z
1
1
′
P A ∩ Tx A ν(dx) =
P T−x A ∩ A′ ν(dx)
ν(Wn ) Wn
ν(Wn ) Wn
Z
Z Z
Z
1
1
1IA (Tx ω) P (dω) ν(dx) =
1IA (Tx ω) ν(dx) P (dω)
=
ν(Wn ) Wn A′
A′ ν(Wn )
Wn
und somit
Z
1
P A ∩ Tx A′ ν(dx) − P (A) P (A′ )
ν(Wn ) Wn
Z
Z 1
= 1IA (Tx ω) ν(dx) − P (A) P (dω)
ν(W
)
′
n
A
W
Z n
Z 1
1IA (Tx ω) ν(dx) − P (A) P (dω) .
≤
ν(W
)
′
n
Wn
A
• Um die Gültigkeit von (111) zu beweisen, ist zu zeigen, dass der letzte Ausdruck gegen 0 strebt für
n → ∞.
– Dies ergibt sich aus dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz, denn es gilt
Z
1
1IA (Tx ω) ν(dx) − P (A) ≤ 1 ,
ν(Wn ) Wn
– und mit X(ω) = 1IA (ω) ergibt sich aus (102) und (107), dass
Z
1
1IA (Tx ω) ν(dx) = E 1IA = P (A) .
lim
n→∞ ν(Wn )
Wn
• Wir nehmen nun umgekehrt an, dass (111) für eine mittelnde Folge {Wn } gilt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
68
– Für A = A′ ∈ I gilt dann
P (A)
=
=
Z
Z
1
1
P (A) ν(dx) =
P A ∩ Tx A ν(dx)
ν(Wn ) Wn
ν(Wn ) Wn
Z
1
P A ∩ Tx A′ ν(dx) −→ P (A) P (A′ ) ,
ν(Wn ) Wn
2
d.h., es gilt P (A) = P (A) bzw. max{P (A), P (Ac )} = 1.
– Aus der Bedingung (109) in Theorem 3.19 ergibt sich somit, dass (Ω, A, P, T) ergodisch ist.
Beachte
• Bei Anwendungen von Theorem 3.20 kann es nützlich sein zu beachten, dass sich die Ergodizität von
(Ω, A, P, T) bereits aus der Gültigkeit von (111) für alle A, A′ ∈ R ergibt, wobei R ⊂ A ein Halbring
ist, der die σ–Algebra A erzeugt.
• Unter einem Halbring R versteht man dabei ein nichtleeres Mengensystem, das die folgenden Eigenschaften besitzt:
– Aus A, A′ ∈ R folgt, dass A ∩ A′ ∈ R.
– Für beliebige A, A′ ∈ R mit A ⊃ A′ gibt es eine endliche Folge von paarweise disjunkten Mengen
A1 , . . . , An ∈ R, so dass A \ A′ = A1 ∪ . . . ∪ An .
In diesem Zusammenhang benötigen wir ein grundlegendes Resultat der Mengen–Algebra, das in der Literatur
der Satz über monotone Klassen (bzw. Monotone Class Theorem) genannt wird.
Lemma 3.5
• Sei R ein Halbring von Teilmengen von Ω, der die Ereignis–σ–Algebra A erzeugt, d.h., A = σ(R).
• Sei G ein weiteres System von Teilmengen von Ω, so dass
1) R ⊂ G ⊂ A und Ω ∈ G,
Sn
2) i=1 Bi ∈ G für jede endliche Folge B1 , . . . , Bn ∈ G,
S∞
3) i=1 Bi ∈ G für jede monotone Folge B1 , B2 , . . . ∈ G mit B1 ⊂ B2 ⊂ . . ..
• Dann gilt G = A.
Mit Hilfe von Lemma 3.5 können wir nun zeigen, wie die Bedingung in Theorem 3.20 abgeschwächt werden kann.
Theorem 3.21 Sei R ein Halbring von Teilmengen von Ω mit A = σ(R). Dann ist das dynamische System
(Ω, A, P, T) ergodisch, wenn es eine mittelnde Folge {Wn } gibt, so dass (111) für beliebige A, A′ ∈ R gilt.
Beweis
• Sei {Wn } eine mittelnde Folge, so dass (111) für beliebige A, A′ ∈ R gilt. Wegen Theorem 3.20 genügt
es zu zeigen, dass dann (111) auch für beliebige A, A′ ∈ A gilt.
• Wir zeigen zunächst, dass (111) für beliebige A ∈ G, A′ ∈ R gilt, wobei G ein System von Teilmengen
von Ω ist, das den Bedingungen von Lemma 3.5 genügt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
69
– Aus der Additivität von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich, dass (111) für beliebige A, A′ mit
A = A1 ∪ A2 und A1 , A2 , A′ ∈ R gilt, denn es gilt
Z
1
lim
P A ∩ Tx A′ ν(dx)
n→∞ ν(Wn )
Wn
Z 1
P A1 ∩ Tx A′ + P A2 ∩ Tx A′ − P (A1 ∩ A2 ) ∩ Tx A′ ν(dx)
= lim
n→∞ ν(Wn )
Wn
= P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) P (A′ ) = P (A) P (A′ ) .
– Auf ähnliche Weise ergibt sich, dass (111) für Mengen A, A′ gilt, wobei A = A1 ∪ . . . ∪ An und
A1 , . . . , An , A′ ∈ R.
– Hieraus ergibt sich für beliebige A′ , A1 , A2 , . . . ∈ R, dass
Z
∞
∞
[
[
1
lim sup
P
Ai ∩ Tx A′ − P
Ai P (A′ ) ν(dx)
ν(Wn ) Wn
n→∞
i=1
i=1
Z [
j
∞
[
1
′
≤ lim sup
Ai ∩ Tx A − P
Ai ∩ Tx A′ ν(dx)
P
ν(W
)
n→∞
n
Wn
i=1
i=1
Z [
j
j
[
1
′
Ai ∩ Tx A − P
Ai P (A′ ) ν(dx)
+ lim sup
P
ν(Wn ) Wn
n→∞
i=1
i=1
Z [
j
∞
[ 1
+ lim sup
Ai P (A′ ) − P
Ai P (A′ ) ν(dx)
P
ν(Wn ) Wn
n→∞
i=1
i=1
≤
2P
∞
[
i=1
Ai \
j
[
i=1
Ai ,
wobei der letzte Ausdruck gegen 0 strebt für j → ∞, d.h., (111) gilt für beliebige Mengen A, A′
mit A = A1 ∪ A2 ∪ . . . und A′ , A1 , A2 , . . . ∈ R.
• Weil (111) offenbar auch für A, A′ mit A = Ω und A′ ∈ R gilt, ergibt sich aus Lemma 3.5, dass (111)
für beliebige A, A′ mit A ∈ A und A′ ∈ R gilt.
• Durch Vertauschung der Rollen von A und A′ ergibt nun auf die gleiche Weise, dass (111) für beliebige
A, A′ mit A, A′ ∈ A gilt.
3.4.3
Ergodizität von Cox–Prozessen; Beispiele
In diesem Abschnitt diskutieren wir Beispiele von ergodischen Cox–Prozessen, wobei wir zunächst zeigen, dass
homogene Poisson–Prozesse ergodisch sind. Danach leiten wir allgemeine Bedingungen für die Ergodizität von
Cox–Prozessen her. Schließlich zeigen wir, dass die in Abschnitt 3.2.3 eingeführten modulierten Poisson–Prozesse
ergodisch sind.
• Zur Erinnerung: Man sagt, dass ein stationärer Punktprozess {NB , B ∈ B(Rd )} ergodisch ist, wenn das
dynamische System (N, N , PN , T) ergodisch ist.
• Analog hierzu sagt man, dass ein stationäres zufälliges Maß {ΛB , B ∈ B(Rd )} ergodisch ist, wenn das
dynamische System (M, M, PΛ , T) ergodisch ist.
• Ein stationäres Intensitätsfeld {λx , x ∈ Rd } heißt ergodisch, wenn das dynamische System (D, D, P{λx } , T)
ergodisch ist.
– Dabei ist D die Familie aller νd –Äquivalenzklassen von Lebesgue–messbaren und lokal integrierbaren
nichtnegativen Funktionen f : Rd → [0, ∞), d.h., zwei solche Funktionen f, f ′ : Rd → [0, ∞) werden
als identisch erachtet, wenn f (x) = f ′ (x) für νd –fast jedes x ∈ Rd gilt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
70
– D ist die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von D, so dass sämtliche Abbildungen f 7→ η von D nach
M mit
Z
η(B) =
f (x) dx
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(112)
B
(D, M)–messbar sind.
– Die Verschiebungsoperatoren T = {Tx , x ∈ Rd } gegeben sind durch
∀ x, y ∈ Rd , f ∈ D .
(Tx f )(y) = f (x + y)
Theorem 3.22
Sei {NB } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ. Dann ist {NB } ergodisch.
Beweis
• Wir betrachten das dynamische System (N, N , PN , T) und zeigen, dass (111) für die mittelnde Folge
{Wn } mit Wn = [−n, n]d und für beliebige A, A′ ∈ R gilt, wobei das Mengensystem R ⊂ N gegeben
ist durch
n
o
R = {ϕ ∈ N : ki ≤ ϕ(Bi ) < ℓi , i = 1, . . . , m}, m ≥ 1, Bi ∈ Qd , ki , ℓi ∈ {0, 1, . . .} ∪ {∞} . (113)
• Für beliebige m, m′ ≥ 1, Bi , Bi′ ∈ Qd und ki , ki′ , ℓi , ℓ′i ∈ {0, 1, . . .} ∪ {∞} sei nun
A = {ϕ ∈ N : ki ≤ ϕ(Bi ) < ℓi , i = 1, . . . , m}
• Die Radius r > 0 sei so gewählt, dass
Sm
i=1
und
A′ = {ϕ ∈ N : ki′ ≤ ϕ(Bi′ ) < ℓ′i , i = 1, . . . , m′ } .
Sm′ ′ Bi ∪
i=1 Bi ⊂ B(o, r).
• Aus der Homogenität und den Unabhängigkeitseigenschaften des Poisson–Prozesses {NB } ergibt sich
dann, dass
PN A ∩ Tx A′ = PN (A) PN Tx A′ = PN (A) PN (A′ )
∀ x ∈ [−n, n]d \ B(o, 2r) . (114)
• Somit gilt
Z
1
lim
PN A ∩ Tx A′ νd (dx)
n→∞ νd ([−n, n]d )
d
[−n,n]
Z
1
=
lim
PN A ∩ Tx A′ νd (dx)
n→∞ (2n)d
[−n,n]d \B(o,2r)
Z
1
(114)
=
lim
PN (A) PN (A′ ) νd (dx) = PN (A) PN (A′ ) .
n→∞ (2n)d
[−n,n]d \B(o,2r)
• Weil das in (113) eingeführte Mengensystem R ein Halbring ist mit σ(R) = N , ergibt sich nun die
Behauptung mit Hilfe von Theorem 3.21.
Theorem 3.23 Ein stationärer Cox–Prozess {NB } ist genau dann ergodisch, wenn das zugehörige zufällige
Intensitätsmaß {ΛB } ergodisch ist.
Beweis
• Wir führen einen indirekten Beweis und nehmen zunächst an, dass das zufällige Intensitätsmaß {ΛB }
von {NB } nicht ergodisch ist.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
71
– Wegen der Darstellungsformel (110) in Theorem 3.19 hat die Verteilung PΛ von {ΛB } die Form
PΛ = p PΛ′ + (1 − p) PΛ′′ ,
(115)
0 < p < 1,
wobei PΛ′ , PΛ′′ zwei T–invariante Wahrscheinlichkeitsmaße über M sind mit PΛ′ 6= PΛ′′ .
– Hieraus ergibt sich mit Hilfe der Darstellungsformel (26) für die Verteilung von Cox–Prozessen,
dass auch die Verteilung PN von {NB } die Form
PN = p PN′ + (1 − p) PN′′
hat, wobei 0 < p < 1.
– Dabei ergibt sich aus Theorem 3.7, dass PN′ 6= PN′′ , und aus Theorem 3.8, dass PN′ , PN′′ zwei
T–invariante Wahrscheinlichkeitsmaße über N sind.
– Durch die erneute Anwendung von Theorem 3.19 ergibt sich somit, dass {NB } nicht ergodisch ist.
• Wir nehmen nun umgekehrt an, dass der Cox–Prozess {NB } nicht ergodisch ist, und zeigen, dass dann
auch das zugehörige zufällige Intensitätsmaß {ΛB } nicht ergodisch ist.
– Wegen Theorem 3.19 gibt es eine T–invariante Menge A ∈ N mit 0 < PN (A) < 1.
– Hieraus ergibt sich mit Hilfe der Darstellungsformel (26) für die Verteilung von Cox–Prozessen,
dass
0 < PΛ η ∈ M : PN (A | Λ = η) ≤ c < 1
(116)
für einen gewissen Schwellenwert c ∈ (0, 1).
– Weil A ∈ N eine T–invariante Menge ist, gilt
PN (A | Λ = η) = PN (Tx A | Λ = Tx η) = PN (A | Λ = Tx η)
∀ η ∈ M, x ∈ Rd .
– Dies bedeutet, dass die in (116) betrachtete Menge {η ∈ M : PN (A | Λ = η) ≤ c} ebenfalls
T–invariant ist.
– Hieraus und aus (116) ergibt sich durch die erneute Anwendung von Theorem 3.19, dass {ΛB }
nicht ergodisch ist.
Korollar 3.4 Sei {λx } ein stationäres Intensitätsfeld, und sei {NB } der zugehörige stationäre Cox–Prozess mit
dem zufälligen Intensitätsmaß {ΛB }, wobei
Z
ΛB =
λx dx
∀ B ∈ B(Rd ) .
(117)
B
Wenn das Intensitätsfeld {λx } ergodisch ist, dann ist auch der Cox–Prozess {NB } ergodisch.
Beweis
• Sei A ∈ M eine T–invariante Menge von absolutstetigen Maßen aus M, und sei AD ∈ D das Urbild
von A unter der in (112) betrachteten Abbildung f 7→ η von D nach M.
– Weil Tx η ∈ A für beliebige η ∈ A, x ∈ Rd und weil
Z
Z
Z
(Tx η)(B) = η(B − x) =
f (y) dy =
f (y − x) dy =
B−x
B
B
T−x f (y) dy
gilt somit auch T−x f ∈ AD bzw. Tx f ∈ AD für beliebige f ∈ AD und x ∈ Rd .
– D.h., das Urbild AD ∈ D ist ebenfalls eine T–invariante Menge.
• Das Intensitätsfeld {λx } sei nun ergodisch.
– Dann ergibt sich aus Theorem 3.19, dass max{P{λx } (AD ), P{λx } (AcD )} = 1.
∀ B ∈ B(Rd ) ,
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
72
– Hieraus folgt, dass max{PΛ (A), PΛ (Ac )} = 1 für jede eine T–invariante Menge A ∈ M von absolutstetigen Maßen aus M.
– Durch die erneute Anwendung von Theorem 3.19 ergibt sich nun, dass das zufällige Intensitätsmaß
{ΛB } ergodisch ist.
• Aus Theorem 3.23 ergibt sich somit, dass auch der zugehörige Cox–Prozess {NB } ergodisch ist.
Beachte
1) Mit Hilfe von Korollar 3.4 lässt sich sofort zeigen, dass {NB } ergodisch ist, wenn {NB } ein homogener
Poisson–Prozess mit der Intensität λ ist.
• Denn für das Intensitätsfeld {λx } von {NB } gilt dann, dass P (λx ≡ λ) = 1 und somit P (A) = 0
für alle anderen T–invarianten Mengen A ∈ D.
• Aus Theorem 3.19 ergibt sich nun, dass {λx } ergodisch ist.
• Wegen Korollar 3.4 ist also auch der Poisson–Prozess {NB } ergodisch.
2) Auf ähnliche Weise kann man sich überlegen, dass der in Abschnitt 3.2.3 eingeführte modulierte
Poisson–Prozess {NB } ergodisch ist.
• Denn das Intensitätsfeld {λx } von {NB } kann als zufälliges Feld über dem kanonischen Wahrscheinlichkeitsraum (N, N , P ) des zugrundeliegenden homogenen Poisson–Prozesses {Sn } aufgefasst werden,
– d.h., es gibt eine (N , D)–messbare Abbildung, die jeder Realisierung von {Sn } eine Realisierung
von {λx } zuordnet.
– Dabei besitzen die verschiebungsinvarianten Mengenvon Realisierungen des zufälligen
Feldes
{λx }, deren Wahrscheinlichkeit nicht 0 ist, die Form {λx (ϕ), x ∈ Rd } : ϕ ∈ A , wobei A ∈ N
eine T–invariante Teilmenge von N ist.
• Weil
P {λx (ϕ), x ∈ Rd } : ϕ ∈ A = PN (A)
(118)
und weil der Poisson–Prozess {Sn } ergodisch ist, können wegen Theorem 3.19 die in (118) betrachteten Wahrscheinlichkeiten nur die Werte 0 oder 1 annehmen.
• Wegen Theorem 3.19 bedeutet dies, dass {λx } ergodisch ist.
• Hieraus und aus Korollar 3.4 ergibt sich die Ergodizität des modulierten Poisson–Prozesses {NB }.
3.4.4
Ergodische Cluster–Prozesse
Bevor wir einige Beispiele ergodischer Cluster–Prozesse kurz diskutieren, geben wir zunächst ein allgemeines
Ergodizitätskriterium für stationäre Cluster–Prozesse an.
Theorem 3.24 Ein stationärer Cluster–Prozess {NB } ist genau dann ergodisch, wenn der zugrundeliegende
Primärprozess {Sn } ergodisch ist.
Der Beweis von Theorem 3.24 wird weggelassen, denn er verläuft völlig analog zum Beweis von Theorem 3.23.
Beachte
1) Aus den Theoremen 3.22 und 3.24 ergibt sich sofort, dass jeder stationäre Poissonsche Cluster–Prozess
ergodisch ist.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
73
• Hieraus folgt insbesondere, dass die in Abschnitt 3.3.3 betrachteten Gauß–Poisson–Prozesse und
Neyman–Scott–Prozesse ergodisch sind.
• Wegen der am Ende von Abschnitt 3.3.3 gemachten Anmerkungen ist außerdem klar, dass auch
der Matérn–Cluster–Prozess ergodisch ist, der in Abschnitt 3.2.3 eingeführt worden ist.
2) Mit Hilfe von Theorem 3.24 können jedoch auch ergodische Cluster–Prozesse gewonnen werden, deren
Primärprozesse keine Poisson–Prozesse sind.
• Beispielsweise ergibt sich aus Theorem 3.24, dass jeder stationäre Cluster–Prozess ergodisch ist,
dessen Primärprozess ein ergodischer Cox–Prozess ist.
• Dies gilt also insbesondere dann, wenn der Primärprozess ein modulierter Poisson–Prozess ist.
3.5
Gibbs–Prozesse
Ausgehend von Poisson–Prozessen lässt sich noch eine weitere Klasse von Punktprozessen konstruieren, und
zwar mit Hilfe von Radon–Nikodym–Dichten. Dies sind so genannte Gibbssche Punktprozesse bzw. kurz Gibbs–
Prozesse.
Gibbs–Prozesse bilden dabei eine Klasse von Punktprozessen, die im allgemeinen nicht stationär sind und deren
Verteilung absolutstetig bezüglich der Verteilung eines Poissonschen (Referenz–) Punktprozesses ist.
Für die mathematische Definition von Gibbs–Prozessen benötigen wir den Begriff des kanonischen Wahrscheinlichkeitsraumes von zufälligen Punktprozessen, der bereits in den Abschnitten 2.1.1 bzw. 3.4.1 betrachtet worden
ist.
• Zur Erinnerung: Sei N die Familie aller lokal endlichen Zählmaße ϕ : B(Rd ) → {0, 1, . . .} ∪ {∞}, d.h.,
– es gilt ϕ(B) < ∞ für jedes beschränkte B ∈ B(Rd )
P
S
∞
∞
– und ϕ n=1 Bn = n=1 ϕ(Bn ) für paarweise disjunkte B1 , B2 , . . . ∈ B(Rd ).
• Außerdem sei N die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von N, so dass ϕ 7→ ϕ(B) für jedes beschränkte
B ∈ B(Rd ) eine (N , B(R))–messbare Abbildung ist.
• Für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P : N → [0, 1] ist dann durch (N, N , P ) der kanonische Wahrscheinlichkeitsraum eines Punktprozesses gegeben, d.h., P kann als die Verteilung eines zufälligen Zählmaßes
N : N → N aufgefasst werden, das durch die Identität N (ϕ) = ϕ gegeben ist.
3.5.1
Endliche Gibbs–Prozesse
Bei Anwendungen wird oft vorausgesetzt, dass das Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞] des zugrundeliegenden
Poisson–Prozesses endlich ist. Außerdem setzen wir (so wie bisher) stets voraus, dass µ diffus ist.
• Das bedeutet insbesondere, dass die Realisierungen eines solchen Poisson–Prozesses mit Wahrscheinlichkeit 1
nur endlich viele Atome besitzen und dass diese Atome die Wertigkeit 1 besitzen, d.h., für die Verteilung P
eines Poisson–Prozesses mit einem solchen Intensitätsmaß µ gilt P (N(e) ) = 1, wobei
n
o
X
N(e) = ϕ =
(119)
δsn ∈ N : ϕ(Rd ) < ∞, si 6= sj für i 6= j .
n
• Dann besitzt auch der zugehörige (absolutstetige) Gibbs–Prozess mit Wahrscheinlichkeit 1 nur Realisierungen aus N(e) .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
74
Diese Situation soll nun genauer untersucht werden. Sie ist beispielsweise dann gegeben,
• wenn die Gibbs–Prozesse nur in einem beschränkten Beobachtungsfenster W ∈ B(Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞
betrachtet werden
• und wenn deshalb vorausgesetzt wird, dass der Poissonsche Referenzprozess mit Wahrscheinlichkeit 1 nur
Atome in W besitzt.
In diesem Fall wird oft angenommen, dass das Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞) des zugrunde liegenden Poisson–
Prozesses die Einschränkung des Lebesgue–Maßes auf W ist mit
∀ B ∈ B(Rd ) .
µ(B) = νd (B ∩ W )
(120)
Definition
• Sei Q : N → [0, 1] die Verteilung eines Poisson–Prozesses mit dem diffusen und endlichen Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞).
• Außerdem sei f : N → [0, ∞) eine Funktion, die den folgenden beiden Bedingungen genügt.
P
P
1. Für beliebige ϕ = n δsn und ϕ′ = n δs′n aus N(e) , so dass ϕ ≥ ϕ′ , gelte
f (ϕ) > 0
=⇒
f (ϕ′ ) > 0 .
(121)
2. Durch f : N → [0, ∞) sei eine Wahrscheinlichkeitsdichte bezüglich der Verteilung Q des Poissonschen Referenz–Punktrozesses gegeben, d.h., es gelte
Z
f (ϕ) Q(dϕ) = 1 .
(122)
N
• Dann kann man sich leicht überlegen, dass die Mengenfunktion P : N → [0, 1] mit
Z
P (A) =
f (ϕ) Q(dϕ)
∀A ∈ N
(123)
A
ein Wahrscheinlichkeitsmaß über (N, N ) ist und somit die Verteilung eines Punktprozesses ist.
• Ein Punktprozess, dessen Verteilung P die in (123) gegebene Form hat, wobei f : N → [0, ∞) den
Bedingungen (121) und (122) genügt, wird Gibbs–Prozess genannt.
Beachte
• Die Dichte f : N → [0, ∞) von Gibbs–Prozessen besitzt eine probabilistische Deutung.
– Diejenigen Realisierungen ϕ ∈ N(e) , für die f (ϕ) > 1 gilt, sind unter P „wahrscheinlicher” als unter
der Referenz–Verteilung Q.
– Und umgekehrt: Realisierungen ϕ ∈ N(e) , für die f (ϕ) < 1 gilt, treten unter P seltener als unter
Q auf.
• Bei Anwendungen wird die Dichte f : N → [0, ∞) oft auf die folgende Weise konstruiert.
– Zunächst wählt man eine explizit vorgegebene (integrierbare) Funktion g : N → [0, ∞), so dass
Z
0<
g(ϕ) Q(dϕ) < ∞ .
N
– Anschließend wird g so normiert, dass sich eine Wahrscheinlichkeitsdichte f : N → [0, ∞) bezüglich
Q ergibt, wobei
.Z
f (ϕ) = g(ϕ)
g(ϕ′ ) Q(dϕ′ )
∀ϕ ∈ N.
N
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
75
R
– Allerdings ist es in den meisten Fällen schwierig, die Normierungskonstante N g(ϕ) Qdϕ) explizit
zu berechnen.
– Deshalb wird bei der statistischen Bestimmung der Gibbs–Verteilung P anstelle der Likelihood–
Funktion f : N → [0, ∞) oft eine Pseudolikelihood–Funktion betrachtet, bei der diese Normierungskonstante wegfällt und die als Approximation der Likelihood–Funktion aufgefasst werden kann,
vgl. Abschnitt 3.5.4.
• Dabei setzen wir (der Einfachheit wegen) stets voraus, dass das Intensitätsmaß µ des Poissonschen
Referenz–Prozesses durch (120) gegeben ist.
Beispiele
1. Strauss–Prozess
• Seien a > 0, b ∈ [0, ∞] und R > 0 beliebige Zahlen.
• Ein Gibbs–Prozess heißt Strauss–Prozess in W , wenn die in (123) betrachtete Dichte die folgende
Form hat:
f (ϕ) = c aϕ(W ) exp −b tR (ϕ)
∀ϕ ∈ N.
(124)
– Dabei bezeichnet
tR (ϕ) =
X
n,m
1IW ×W (sn , sm )1I(0,R) (|sn − sm |)
P
die Anzahl aller Punktepaare (sn , sm ) von ϕ = n δsn in W , deren Abstand kleiner als R ist,
– und c ist eine Normierungskonstante, so dass (122) gilt, d.h.,
−1
Z
.
aϕ(W ) exp −b tR (ϕ) Q(dϕ)
c=
N
• Die drei Parameter a > 0, b ∈ [0, ∞] und R > 0 des Strauss–Prozesses werden Aktivität, Wechselwirkungsparameter bzw. Wechselwirkungsradius genannt.
• Der Wechselwirkungsparameter b ∈ [0, ∞] beschreibt die Stärke der gegenseitigen „Abstoßung”
zwischen den Punkten.
– Wenn b = ∞, dann ergibt sich aus (124) insbesondere, dass

 0,
wenn tR (ϕ) > 0,
(125)
f (ϕ) =
 c aϕ(W ) wenn t (ϕ) = 0,
R
wobei ∞ · 0 = 0 gesetzt wurde. In diesem Fall sagt man, dass P die Verteilung eines Hard–
Core–Prozesses mit dem Hard–Core–Radius R ist.
– Wenn b = 0, dann ergibt sich aus (124), dass
f (ϕ) = c aϕ(W )
∀ϕ ∈ N,
(126)
und man kann sich leicht überlegen, dass dann durch P die Verteilung eines homogenen
Poisson–Prozesses mit der Intensität a (eingeschränkt auf W ) gegeben ist.
2. Strauss–Hard–Core–Prozess
Das in (125) betrachtete Modell eines Gibbsschen Hard–Core–Prozesses lässt sich auf die folgende
Weise verallgemeinern.
• Seien a > 0, b ∈ (−∞, ∞] und R, R′ > 0 mit R < R′ beliebige Zahlen.
• Ein Gibbs–Prozess heißt Strauss–Hard–Core–Prozess in W , wenn die in (123) betrachtete Dichte
die folgende Form hat: Für jedes ϕ ∈ N gilt

 0,
wenn tR (ϕ) > 0,
(127)
f (ϕ) =
 c aϕ(W ) exp −b t ′ (ϕ) , wenn t (ϕ) = 0.
R
R
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
76
• Dabei sind R und R′ der Hard–Core–Radius bzw. der Wechselwirkungsradius. Der Wechselwirkungsparameter b ∈ (−∞, ∞] beschreibt die Stärke der gegenseitigen „Abstoßung” (wenn b > 0)
bzw. „Anziehung” (wenn b < 0) von Punktepaaren, deren Abstand zwischen R und R′ liegt.
3. Soft–Core–Prozess
Außerdem kann das in (125) betrachtete Modell eines Gibbsschen Hard–Core–Prozesses auf die folgende
Weise modifiziert werden.
• Seien a > 0, b ≥ 0 und κ ∈ (0, 1) beliebige Zahlen.
• Ein Gibbs–Prozess heißt Soft–Core–Prozess in W , wenn
f (ϕ) = c a
ϕ(W )
exp −
X
n,m: sn 6=sm
2/κ
b
1IW ×W (sn , sm )
|sn − sm |
!
∀ϕ ∈ N.
(128)
• Der Wechselwirkungsparameter b ∈ [0, ∞] in (128) beschreibt erneut die Stärke der gegenseitigen
„Abstoßung” zwischen den Punkten.
– Dabei wächst die Stärke der Wechselwirkung mit der Größe von b.
– Umgekehrt entsprechen größere Werte des Exponenten κ einer schwächeren Wechselwirkung.
– Für κ → 0 konvergiert die Dichte in (128) gegen die Dichte des Hard–Core–Prozesses in (125)
mit dem Hard–Core–Radius R = b.
4. Geyerscher Sättigungsprozess
In der Literatur wird noch eine weitere Modifikation des in (124) eingeführten Strauss–Prozesses betrachtet, die wie folgt definiert ist.
• Seien a > 0, b ∈ (−∞, ∞] und m, R > 0 beliebige Zahlen.
• Ein Gibbs–Prozess heißt Geyerscher Sättigungsprozess in W , wenn die in (123) betrachtete Dichte
die folgende Form hat:
!
X
ϕ(W )
f (ϕ) = c a
exp −b
1IW (sn ) min{m, tR (sn , ϕ)}
∀ϕ ∈ N,
(129)
n
P
wobei tR (x, ϕ) = ϕ B(x, R) \ {x} die Anzahl der Atome sn von ϕ = n δsn bezeichnet, deren
Abstand von x größer als 0, jedoch nicht größer als R ist.
• Der Wechselwirkungsparameter b ∈ (−∞, ∞] beschreibt die Stärke der gegenseitigen „Abstoßung”
(wenn b > 0) bzw. „Anziehung” (wenn b < 0) zwischen den Punkten, während m > 0 die Bedeutung
eines (Sättigungs–) Schwellenwertes hat.
• Für m ↑ ∞ konvergiert die in (129) betrachtete Dichte gegen die Dichte des Strauss–Prozesses,
wenn b ≥ 0. Für m ↓ 0 ergibt sich im Limes der Poisson–Fall.
3.5.2
Bedingte Gibbs–Prozesse
Manche Autoren betrachten die bedingte Verteilung von Gibbs–Prozessen unter der Bedingung, dass der GibbsProzess eine vorgegebene Anzahl n ≥ 1 von Punkten in W hat.
Definition
• Die Verteilung P : N → [0, 1] sei durch (123) gegeben, und das Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞] des
zugehörigen Poisson–Prozesses habe die in (120) betrachtete Form.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
77
• Für jedes n ≥ 1 mit P (An ) > 0, wobei An = {ϕ ∈ N : ϕ(W ) = n}, sei die (bedingte) Verteilung
Pn : N → [0, 1] gegeben durch
Pn (A) =
P (A ∩ An )
P (An )
∀A ∈ N .
(130)
• Dann sagt man, dass Pn die Verteilung eines bedingten Gibbs–Prozesses mit der vorgegebenen Anzahl n
von Punkten in W ist.
Theorem 3.25
• Für die in (130) eingeführte Verteilung Pn gilt die Darstellungsformel
Z
Pn (A) =
fn (x1 , . . . , xn ) d(x1 , . . . , xn )
∀A ∈ N .
(131)
[A]
• Dabei ist der Integrationsbereich [A] ⊂ Rnd in (131) gegeben durch
n
o
n
X
δxi ∈ A ,
[A] = (x1 , . . . , xn ) ∈ W n :
i=1
• und fn : W n → [0, ∞) ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte bezüglich des (nd)–dimensionalen Lebesgue–Maßes
in W n , deren Werte nicht von der Anordnung der Punkte x1 , . . . , xn abhängen und die gegeben ist durch
Pn
f
i=1 δxi
R
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n ,
(132)
fn (x1 , . . . , xn ) = n
νd (W ) N f (ϕ) Qn (dϕ)
– wobei f : N → [0, ∞) die in (123) betrachtete (unbedingte) Dichte des Gibbs–Prozesses ist
– und Qn : N → [0, 1] mit Qn (A) = Q(A ∩ An )/Q(An ) die bedingte Verteilung des zugrundeliegenden
Poisson–Prozesses unter der Bedingung bezeichnet, dass dieser Poisson–Prozess n Punkte in W hat.
Beweis
• Aus (123) und (130) ergibt sich, dass
R
R
R
f (ϕ) Q(dϕ)
Q−1 (An ) A∩An f (ϕ) Q(dϕ)
f (ϕ) Qn (dϕ)
P (A ∩ An )
A∩An
R
= R
Pn (A) =
= RA
=
.
−1
P (An )
Q (An ) An f (ϕ) Q(dϕ)
f (ϕ) Q(dϕ)
f (ϕ) Qn (dϕ)
An
N
• Hieraus und aus der bedingten Gleichverteilungseigenschaft von Poisson–Prozessen (vgl. Theorem 2.3
und Korollar 2.1) ergibt sich mit Hilfe von (120), das
R
Pn
R
f
δxi d(x1 , . . . , xn ) Z
f
(ϕ)
Q
(dϕ)
i=1
n
[A]
R
=
fn (x1 , . . . , xn ) d(x1 , . . . , xn ) . =
Pn (A) = RA
νdn (W ) N f (ϕ) Qn (dϕ)
f (ϕ) Qn (dϕ)
[A]
N
Beachte
• Mit der Konvention, dass exp(−∞) = 0, lässt sich die Dichte fn : W n → [0, ∞) in (131) durch eine so
genannte Energiefunktion U : W n → (−∞, , ∞] ausdrücken, so dass
fn (x1 , . . . , xn ) = c exp −U (x1 , . . . , xn )
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n ,
(133)
wobei die Normierungskonstante c gegeben ist durch
Z
−1
.
c=
exp −U (x1 , . . . , xn ) d(x1 , . . . , xn )
Wn
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
78
• Bei Anwendungen wird oft angenommen, dass die Energiefunktion U : W n → (−∞, , ∞] durch zwei
Funktionen φ1 : W → (−∞, ∞] und φ2 : W 2 → (−∞, ∞] gegeben ist, so dass
U (x1 , . . . , xn ) =
n X
n
X
φ1 (xi ) +
φ2 (xi , xj )
j=i+1
i=1
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n ,
(134)
– wobei φ1 : W → (−∞, ∞] die Intensitätsfunktion des Gibbs–Prozesses in W bestimmt
– und φ2 : W 2 → (−∞, ∞] ein so genanntes Paarpotenzial mit φ2 (x, y) = φ2 (y, x) für alle x, y ∈ W
ist.
• Für die ersten drei Beispiele von Gibbs–Prozessen, die in Abschnitt 3.5.1 betrachtet wurden, besitzt
die Energiefunktion U : W n → (−∞, , ∞] die Form (134).
– Dabei gilt φ1 (x) = − log a für jedes x ∈ W , d.h., es gilt
n
n
X
X
φ2 (xi , xj )
fn (x1 , . . . , xn ) = c an exp −
i=1 j=i+1
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n ,
(135)
wobei c ∈ (0, ∞) eine Normierungskonstante ist und (o.B.d.A.) a = 1 gesetzt werden kann.
– Manchmal wird anstelle der Konstanten a > 0 in (135) eine beliebige (integrierbare) Funktion
a : W → [0, ∞) betrachtet. Die Formel (135) geht dann über in
!
n
n X
X
fn (x1 , . . . , xn ) = c exp
φ2 (xi , xj )
log a(xi ) −
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n .
(136)
i=1
j=i+1
– Für die Beispiele 1 – 3 von Gibbs–Prozessen, die in Abschnitt 3.5.1 betrachtet wurden, hat das
Paarpotenzial φ2 : W 2 → (−∞, ∞] in (135) bzw. (136) die folgende Gestalt.
Beispiele
1. Strauss–Prozess
• Seien b ∈ [0, ∞] und R > 0 beliebige Zahlen.
• Für den (bedingten) Strauss–Prozesses in W ist das Paarpotenzial φ2 : W 2 → (−∞, ∞] gegeben
durch

 b , wenn |x − y| ≤ R,
(137)
φ2 (x, y) =
 0 , wenn |x − y| > R.
• Für b = ∞ ergibt sich aus (135) und (137) mit a = 1, dass

 0 , wenn min
i,j∈{1,...,n} |xi − xj | ≤ R,
fn (x1 , . . . , xn ) =
 c , wenn min
i,j∈{1,...,n} |xi − xj | > R.
(138)
– In diesem Fall sagt man, dass Pn die Verteilung eines bedingten Hard–Core–Prozesses mit dem
Hard–Core–Radius R ist.
– Dabei ist zu beachten, dass dann die Anzahl n der Punkte bei gegebenem Fenster W nicht
beliebig groß sein kann, weil in diesem Fall P (An ) = 0 bzw. fn (x) = 0 für jedes x ∈ W und
für jedes hinreichend große n ≥ n0 gilt.
• Wenn b = 0, dann ergibt sich aus (135) und (137), dass
fn (x1 , . . . , xn ) =
1
νdn (W )
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n ,
(139)
d.h., die n Punkte sind unabhängig und gleichverteilt in W (was der bedingten Gleichverteilungseigenschaft von homogenen Poisson–Prozessen entspricht).
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
79
2. Strauss–Hard–Core–Prozess
• Seien b ∈ (−∞, ∞] und R, R′ > 0 mit R < R′ beliebige Zahlen.
• Das Paarpotenzial φ2 : W 2 → (−∞, ∞] des (bedingten) Strauss–Hard–Core–Prozesses in W ist
gegeben durch



∞ , wenn |x − y| ≤ R,


φ2 (x, y) =
(140)
b,
wenn R < |x − y| ≤ R′ ,



′
 0,
wenn |x − y| > R .
3. Soft–Core–Prozess
• Seien b ≥ 0 und κ ∈ (0, 1) beliebige Zahlen.
• Das Paarpotenzial φ2 : W 2 → (−∞, ∞] des (bedingten) Soft–Core–Prozesses in W ist gegeben
durch
b 2/κ
∀ x, y ∈ W .
(141)
φ2 (x, y) =
|x − y|
Beachte
Die Energiefunktion des Geyerschen Sättigungsprozesses lässt sich nicht in der Form (134) darstellen. Hierfür
sind Potenzialfunktionen höherer Ordnung erforderlich, vgl. Abschnitt 3.5.3.
• Seien b ∈ (−∞, ∞] und m, R > 0 beliebige Zahlen.
• Die Energiefunktion U : W n → (−∞, , ∞] des (bedingten) Geyerschen Sättigungsprozesses in W ist
gegeben durch
U (x1 , . . . , xn ) = b
n
X
min{m, ti,R (x1 , . . . , xn )}
i=1
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n ,
(142)
wobei ti,R (x1 , . . . , xn ) = #{j : 1 ≤ j ≤ n, 0 < |xi − xj | ≤ R} die Anzahl derjenigen Punkte
x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn bezeichnet, deren Abstand von xi nicht größer als R ist.
• Die Dichte fn : W n → [0, ∞) dieses Prozesses ist somit gegeben durch
!
n
X
min{m, ti,R (x1 , . . . , xn )}
∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ W n .
fn (x1 , . . . , xn ) = c exp −b
(143)
i=1
3.5.3
Potenzialfunktionen höherer Ordnung; bedingte Intensität
• Das Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞) des Poissonschen Referenz–Prozesses sei durch (120) gegeben.
• Mit Hilfe der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der (unbedingten) Dichte f : N → [0, ∞) und den bedingten Dichten fn : Rnd → [0, ∞) von Gibbs–Prozessen in
W.
Pn
– Und zwar gilt für beliebige n ≥ 0 und ϕ = i=1 δxi ∈ N(e) , dass f (ϕ) = P (An ) fn (x1 , . . . , xn ), wobei
An = {ϕ ∈ N : ϕ(W ) = n}.
– Die Einschränkung der Dichte f : N → [0, ∞) auf die Menge N(e) endlicher Zählmaße lässt sich also
durch die (in Abschnitt 3.5.2 betrachteten) Funktionen φ1 : W → (−∞, ∞] und φ2 : W 2 → (−∞, ∞]
ausdrücken, wenn dies für die bedingten Dichten fn : Rnd → [0, ∞) gilt.
– Im allgemeinen lässt sich die Dichte f : N → [0, ∞) von Gibbs–Prozessen in W durch eine Siebformel
darstellen, die auch Potenzialfunktionen höherer Ordnung enthält, vgl. Theorem 3.26.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
80
Theorem 3.26 Sei f : N → [0, ∞) die Dichte eines Gibbs–Prozesses. Dann gibt es eine Konstante V0 ∈ R und
für jedes k ≥ 1 eine Funktion Vk : W k → [−∞, ∞), so dass für jedes n ≥ 0 und für beliebige
ϕ=
n
X
i=1
δxi ∈ N(e)
mit
ϕ(Rd \ W ) = 0
die folgende Darstellungsformel gilt:
f (ϕ) = exp V0 +
n
X
j=1
X
!
(144)
Vj (xi1 , . . . , xij ) ,
{xi1 ,...,xij }⊂{x1 ,...,xn }
wobei in (144) über alle nichtleeren Teilmengen {xi1 , . . . , xij } von {x1 , . . . , xn } summiert wird.
Beweis
• Wir zeigen, dass (144) gilt, wenn die Konstante V0 ∈ R und die Funktionen Vk : W k → [−∞, ∞) wie
folgt gewählt werden.
– Sei V0 = log f (ϕ0 ), wobei ϕ0 das Nullmaß mit ϕ0 (Rd ) = 0 bezeichnet.
– Aus den Bedingungen (121) und (122) an die Dichte von Gibbs–Prozessen ergibt sich dabei, dass
f (ϕ0 ) > 0 und somit V0 = log f (ϕ0 ) ∈ R.
– Die Funktionen Vk : W k → [−∞, ∞) seien für jedes k ≥ 1 gegeben durch
k
Vk (x1 , . . . , xk ) = (−1) V0 +
k
X
j=1
X
{xi1 ,...,xij }⊂{x1 ,...,xk }
(−1)k−j log f δxi1 + . . . + δxij ,
(145)
– wobei die Summation in (145) über alle nichtleeren Teilmengen {xi1, . . . , xij } von {x1 , . . . , xk }
erfolgt und Vk (x1 , . . . , xk ) = −∞ gesetzt wird, wenn f δx1 + . . . + δxk = 0.
• Für n = 0 ist die Gültigkeit von (144) klar, denn es gilt
f (ϕ0 ) = exp log f (ϕ0 ) = exp(V0 ) .
• Auf ähnliche Weise ergibt sich für n = 1 und für jedes ϕ = δx mit x ∈ W , dass
f (ϕ) = f (δx ) = exp log f (δx ) = exp log f (ϕ0 ) + log f (δx ) − log f (ϕ0 ) = exp V0 + V1 (x) .
• Um die Gültigkeit der Siebformel (144) für jedes n ≥ 1 zu zeigen, führen wir zunächst die folgende
Kurzschreibweise ein.
– Mit |x| bezeichnen wir die Anzahl der Elemente der (endlichen) Menge x = {x1 , . . . , xk }.
– Außerdem schreiben wir kurz f (x) für f (δx1 +. . .+δxk ) bzw. Vk (x) für Vk (x1 , . . . , xk ); insbesondere
ist dann V0 (∅) = V0 .
P
– Mit y⊂x bezeichnen wir die Summation über sämtliche Teilmengen y von x.
• Durch Einsetzen von (145) in die rechte Seite von (144) ergibt sich dann für beliebige n ≥ 1 und
x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W , dass
!
!
n
X
X
X
=
exp
Vj (xi1 , . . . , xij )
exp V0 +
V|y| (y)
j=1
y⊂x
{xi1 ,...,xij }⊂{x1 ,...,xn }
(145)
=
exp
X X
y⊂x
=
exp
X
z⊂x
=
exp
X
z⊂x
=
f (x) ,
(−1)
|y|−|z|
log f (z)
z⊂y
X
(−1)
|y|−|z|
!
log f (z)
y: z⊂y⊂x
log f (z)
X
y: z⊂y⊂x
(−1)
|y|−|z|
!
!
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
81
weil
X
y: z⊂y⊂x
(−1)|y|−|z|

 1,
=
 0,
wenn z = x,
wenn z ⊂ x und z 6= x.
Beachte
• Die Funktion Vk : W k → [−∞, ∞) in (144) bzw. (145) wird Potenzialfunktion k–ter Ordnung genannt.
Dabei kann der Faktor eV0 in (144) als Normierungskonstante aufgefasst werden.
• Bei den ersten drei Beispielen von Gibbs–Prozessen, die in den Abschnitten 3.5.1 bzw. 3.5.2 betrachtet
wurden, werden zunächst die Potenzialfunktionen Vk : W k → [−∞, ∞) vorgegeben.
– Dabei wird Vk ≡ 0 für jedes k ≥ 3 gesetzt.
– Anschließend wird die Dichte f : N → [0, ∞) des jeweils betrachteten Gibbs–Prozesses durch den
Exponential–Ansatz (144) definiert.
– Durch (145) ist dann eine so genannte Möbiussche Umkehrformel gegeben, mit deren Hilfe die
Potenzialfunktionen Vk durch die Dichte f ausgedrückt werden können.
Wir betrachten nun noch eine weitere Charakteristik von Gibbs–Prozessen, und zwar ihre bedingte Intensität.
Definition
• Sei f : N → [0, ∞) die Dichte eines Gibbs–Prozesses. Dann heißt die Funktion λ : W × N(e) → [0, ∞)
mit


 f (x ∪ {u}) , wenn u 6∈ x,
f (x)
(146)
λ(u, x) =

 0
sonst
die bedingte Intensität des Gibbs–Prozesses, wobei wir
0
0
= 0 setzen.
• Dabei verwenden wir in (146) die gleiche Kurzschreibweise wie im Beweis von Theorem 3.26 und
schreiben wir f (x) anstelle von f (δx1 + . . . + δxn ), wobei x = {x1 , . . . , xn }.
Beachte
• Für jedes x = {x1 , . . . , xn } kann die in (146) eingeführte Größe λ(u, x) als die bedingte Intensität
dafür interpretiert werden, dass an der Stelle u ein Punkt zu der (bereits vorhandenden) Konfiguration
x = {x1 , . . . , xn } von Punkten hinzugefügt wird.
• Die bedingte Intensität λ(u, x) hat den Vorteil, dass der Quotient f (x ∪ {u})/f (x) in der Definitionsgleichung (146) von λ(u, x) keine (unbekannte) Normierungskonstante enthält.
• Für den in (125) bzw. (138) betrachteten Hard–Core–Prozess gilt beispielsweise, dass

 1 , wenn t (x ∪ {u}) = 0,
R
λ(u, x) =
 0 , wenn t (x ∪ {u}) > 0,
(147)
R
wobei tR (x ∪ {u}) die Anzahl aller Punktepaare von x ∪ {u} ist, deren Abstand kleiner als R ist.
Theorem 3.27 Die Dichte f : N → [0, ∞) von Gibbs–Prozessen ist eindeutig durch die in (146) eingeführte
bedingte Intensität λ : W × N(e) → [0, ∞) bestimmt.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
82
Beweis
• Aus der Bedingung (121) an die Dichte von Gibbs–Prozessen ergibt sich, dass f (x ∪ {u}) = 0, wenn
f (x) = 0. In diesem Fall gilt also
f (x) = 0 = λ(u, x) .
• Sei nun x = {x1 , . . . , xn } eine (Punkt–) Menge mit f (x) > 0. Wegen (121) gilt dann auch f (y) > 0
für jedes y ⊂ x. Hieraus ergibt sich, dass
f ({x1 , . . . , xn })
=
=
f ({x1 }) f ({x1 , x2 })
f ({x1 , . . . , xn })
...
f (∅)
f ({x1 })
f ({x1 , . . . , xn−1 })
f (∅) λ(x1 , ∅) λ(x2 , {x1 }) . . . λ(xn , {x1 , . . . , xn−1 }) .
f (∅)
(148)
• Damit ist zunächst gezeigt, dass sich die Dichte f : N → [0, ∞) bis auf den konstanten Faktor f (∅)
durch die bedingte Intensität λ : W × N(e) → [0, ∞) ausdrücken lässt.
• Andererseits ergibt sich aus der Normierungsbedingung (122), dass
Z
∞
X
Q(An )
1
= Q(A0 ) +
λ(x1 , ∅) λ(x2 , {x1 }) . . . λ(xn , {x1 , . . . , xn−1 }) d(x1 , . . . , xn ) ,
f (∅)
ν n (W ) W n
n=1 d
wobei An = {ϕ ∈ N : ϕ(W ) = n} und Q die Verteilung des Poissonschen Referenz–Prozesses bezeichnet.
• Somit ist gezeigt, dass auch f (∅) eindeutig durch die bedingte Intensität λ : W × N(e) → [0, ∞)
bestimmt ist.
3.5.4
Parametrische Familien von Gibbs–Prozessen; Pseudolikelihood–Funktion
• In diesem Abschnitt nehmen wir an, dass die Dichte f : N → [0, ∞) des betrachteten Gibbs–Prozesses zu
einer parametrischen Familie {fθ , θ ∈ Θ} von Dichten gehört, wobei Θ ⊂ Rm für ein m ≥ 1. Beispiele
hierfür wurden bereits in den Abschnitten 3.5.1 bzw. 3.5.2 diskutiert.
• Wenn das Punktmuster x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W beobachtet wird, dann ist durch den Ansatz
b
θ(x)
= argmaxθ∈Θ L(x; θ)
(149)
ein Maximum–Likelihood–Schätzer für θ gegeben, wobei L : N(e) × Θ → [0, ∞) mit L(x; θ) = fθ (x) die
Likelihood–Funktion ist.
Beispiele
1. Poisson–Prozess
• Wenn der betrachtete Gibbs–Prozess ein homogener Poisson–Prozess in W mit der (unbekannten)
Intensität λ > 0 ist, dann gilt
fλ (x) = c(λ) λ|x| ,
• wobei sich die Normierungskonstante c(λ) = e(1−λ)νd (W ) aus (126) ergibt. Denn es gilt
Z
∞
ν k (W )
(126) X
1 =
c(λ) λk d
fλ (ϕ) Q(dϕ) =
exp(−νd (W )) = c(λ) eνd (W )(λ−1) .
k!
N
k=0
• Die Loglikelihood–Funktion log L(x; λ) bzw. ihre Ableitung haben somit die Form
log L(x; λ) = |x| log λ + (1 − λ) νd (W )
bzw.
|x|
∂
log L(x; λ) =
− νd (W ) .
∂λ
λ
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
83
b
b
• Der Maximum–Likelihood–Schätzer λ(x)
für λ ist also gegeben durch λ(x)
= |x|/νd (W ).
2. Hard–Core–Prozess
• Ein weiteres Beispiel einer (ein–) parametrischen Familie von Gibbs–Prozessen, deren Maximum–
Likelihood–Schätzer des Parameters explizit bestimmt werden kann, ist der Hard–Core–Prozess
mit den Parametern a = 1 und dem (unbekannten) Hard–Core–Radius R > 0.
• Die Dichte fR : N → [0, ∞) dieser Gibbs–Prozesse ist in (125) gegeben mit

 0,
wenn tR (x) > 0,
fR (x) =
 c(R) , wenn t (x) = 0,
R
P
wobei tR (x) =
i,j 1I(0,R) (|xi − xj |) die Anzahl derjenigen Paare xi , xj von Punkten aus x =
{x1 , . . . , xn } bezeichnet, deren Abstand kleiner als R ist.
• Außerdem kann man sich leicht überlegen, dass die Normierungskonstante c(R) eine monoton
nichtfallende Funktion bezüglich R > 0 ist.
b
• Dies bedeutet, dass der Maximum–Likelihood–Schätzer R(x)
für R gegeben ist durch

 min{|x − x | : i 6= j} , wenn |x| ≥ 2,
i
j
b
R(x)
=
 diam W ,
wenn |x| < 2,
wobei diam W den maximalen Abstand zweier Punkte in W bezeichnet.
Beachte
• In den meisten Fällen ist die Normierungskonstante eV0 in (144) jedoch unbekannt, d.h., es ist unbekannt wie diese Größe vom Parameter θ abhängt.
• Dann ist es schwierig bzw. unmöglich, eine analytische Formel für den in (149) eingeführten Maximum–
Likelihood–Schätzer θb herzuleiten.
• Ein möglicher Ausweg aus diesem Dilemma besteht darin, einen Schätzer θb für θ mittels Monte–Carlo–
Simulation zu bestimmen, vgl. Abschnitt 3.6.
Zunächst betrachten wir jedoch noch einen anderen Schätzansatz vom Likelihood–Typ für den Parameter θ, bei
dem die Dichte fθ (x) in (149) durch einen Grenzwert von Produkten bedingter Dichten ersetzt wird.
Eine (teilweise heuristische) Begründung für diesen Ansatz der so genannten bedingten Likelihood–Inferenz kann
dann gegeben werden, wenn es vorwiegend lokale Wechselwirkungen zwischen den Punkten gibt, während zwischen
Punkte in weiter voneinander entfernten Gebieten keine bzw. nur schwache Wechselwirkungen bestehen.
Hierfür benötigen wir die folgenden Begriffe.
Definitionen
1.
Nullfolge von gerichteten Zerlegungen
• Sei m1 , m2 , . . . eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen.
• Eine Familie {{Bkj , j = 1, . . . , mk }, k ≥ 1} von beschränkten Borel–Mengen Bkj ∈ B0 (Rd ) heißt
Nullfolge von gerichteten Zerlegungen des Beobachtungsfensters W ⊂ Rd in paarweise disjunkte
Borel–Mengen, wenn
Smk
– für jedes k ≥ 1 gelte j=1
Bkj = W und Bki ∩ Bkj = ∅ für beliebige i, j ∈ {1, . . . , mk } mit
i 6= j,
– für beliebige k ≥ 1, i ∈ {1, . . . , mk+1 } es eine Zahl j ∈ {1, . . . , mk } gibt, so dass Bk+1,i ⊂ Bkj ,
– und limk→∞ maxj∈{1,...,mk } supx,y∈Bkj |x − y| = 0.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
84
2. Familien von bedingten Gibbs–Dichten
• Sei B ∈ B0 (Rd ) mit B ⊂ W eine beliebige (Borelsche) Teilmenge des Beobachtungsfensters W mit
0 < νd (B) < νd (W ).
• Für jede endliche Menge x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W sei xB die Teilmenge derjenigen Elemente von x,
die in B liegen. Dabei sei

fθ xB ∪ xW \B


R
, wenn fθ xW \B > 0,
fθ y ∪ xW \B QB (dy)
fθ xB | xW \B =
(150)


0,
wenn fθ xW \B = 0,
wobei QB die Verteilung eines Poisson–Prozesses ist, dessen Intensitätsmaß µB durch µB (B ′ ) =
νd (B ′ ∩ B) für jedes B ′ ∈ B(Rd ) gegeben ist.
• Für jedes B ∈ B0 (Rd ) mit B ⊂ W und 0 < νd (B) < νd (W ) ist dann fθ · | xW \B die bedingte
Dichte des Gibbs–Prozesses mit der (unbedingten) Dichte fθ unter der Bedingung, dass in W \ B
die Punkt-Konfiguration xW \B vorliegt.
Beachte
• Die in (150) eingeführten bedingten Dichten fθ · | xW \B hängen nicht von der Normierungskonstante
eV0 ab.
• Für Gibbs–Prozesse mit schwachen (lokalen) Wechselwirkungen
kann die (unbedingte) Dichte fθ (x)
durch Produkte der bedingten Dichten fθ · | xW \B approximiert werden.
– Sei B1 , . . . , Bm ∈ B0 (Rd ) eine Zerlegung von W mit 0 < νd (Bj ) < νd (W ) für jedes j = 1, . . . , m,
so dass näherungsweise
fθ (x) ≈ fθ xB1 . . . fθ xBm
∀ x = {x1 , . . . , xn } .
(151)
– Dann ergibt sich aus (150), dass
fθ (x) ≈ fθ xB1 | xW \B1 . . . fθ xBm | xW \Bm
∀ x = {x1 , . . . , xn } .
(152)
• Mit anderen Worten: Für Gibbs–Prozesse mit schwachen Wechselwirkungen zwischen
den Punkten
kann dass Produkt der bedingten Dichten fθ xB1 | xW \B1 , . . . , fθ xBm | xW \Bm
– als eine Approximation der (unbedingten) Dichte fθ (x) aufgefasst werden,
– wobei diese Approximation den Vorteil besitzt, dass sie nicht von der unbekannten Normierungskonstante eV0 abhängt.
• Diese beiden Sachverhalte dienen als Motivation dafür, die in dem folgenden Theorem 3.28 eingeführte
Pseudolikelihood–Funktion PL(x; θ) zur Schätzung des Parameters θ zu verwenden.
Theorem 3.28
• Sei {fθ , θ ∈ Θ} eine parametrische Familie von (unbedingten) Gibbs–Dichten, so dass es für jedes θ ∈ Θ
gewisse Konstanten pθ , qθ > 0 gibt mit
|x|
fθ (x) ≤ pθ qθ
für Q–fast jedes x = {x1 , . . . , xn }.
(153)
• Außerdem sei {{Bkj , j = 1, . . . , mk }, k ≥ 1} eine Nullfolge von gerichteten Zerlegungen des Beobachtungsfensters W ⊂ Rd , so dass min{νd (Bkj ) : j = 1, . . . , mk } > 0 für jedes k ≥ 1 sowie
lim mk = ∞
k→∞
wobei ∆k = max{νd (Bkj ) : j = 1, . . . , mk }.
und
lim mk ∆2k = 0 ,
k→∞
(154)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
85
• Für Q–fast jedes x = {x1 , . . . , xn } existiert dann der Grenzwert
PL (x; θ) = e−νd (W ) lim fθ xBk1 | xW \Bk1 . . . fθ xBkmk | xW \Bkmk ,
k→∞
und es gilt
Z
PL (x; θ) = exp −
λθ (u, x) du
W
n
Y
i=1
λθ xi , x \ {xi } ,
(155)
(156)
wobei λθ (u, x) = fθ (x ∪ {u})/fθ (x) die in (146) eingeführte bedingte Intensität des Gibbs–Prozesses ist.
Beweis
• Unter der Verteilung Q des Poissonschen Referenzprozesses gilt, dass
Q x : |xBkj | ≤ 1, ∀ j = 1, . . . , mk
≥
1−
mk
X
Q x : |xBkj | ≥ 2
j=1
mk X
∞
X
νdℓ (Bkj )
1−
exp −νd (Bkj )
ℓ!
j=1
=
ℓ=2
• Wegen (154) gilt somit, dass
mk
X
νd2 (Bkj )
≥
1−
≥
1 − mk ∆2k .
j=1
lim Q x : |xBkj | ≤ 1, ∀ j = 1, . . . , mk = 1 .
k→∞
• Es genügt deshalb, die Behauptungen (155) und (156) für Punktmuster x = {x1 , . . . , xn } zu beweisen,
– so dass (153) gilt und für jedes hinreichend große k ≥ k0 und für jede Zerlegungskomponente Bkj
höchstens ein Punkt von x in Bkj liegt,
– d.h., wir betrachten nun ein Punktmuster x = {x1 , . . . , xn } mit der Eigenschaft (153) und mit
|xBkj | ≤ 1 ,
∀ j = 1, . . . , mk , k ≥ k0 .
(157)
• Außerdem nehmen wir (o.B.d.A.) an, dass f (x) > 0,
– weil sonst beide Seiten von (156) gleich Null sind und somit die Behauptungen (155) und (156)
für x = {x1 , . . . , xn } mit f (x) = 0 offenbar gelten.
– Weil x = {x1 , . . . , xn } nur endlich viele Elemente hat, ergibt sich dabei aus fθ (x) > 0 wegen (121),
dass es eine Zahl gθ (x) > 0 gibt mit
∀ j = 1, . . . , mk , k ≥ k0 .
fθ (xW \Bkj ) > gθ (x)
• Dann ergibt aus (153) mit Hilfe der bedingten Gleichverteilungseigenschaft von QBkj , dass
Z
fθ y ∪ xW \Bkj QBkj (dy)
Z
= fθ xW \Bkj exp −νd (Bkj ) +
fθ {u} ∪ xW \Bkj du exp −νd (Bkj )
Bkj
+
c
∞
X
ℓ=2
pθ max{qθn , qθn−1 }
qθ νd (Bkj )
ℓ!
ℓ
exp −νd (Bkj )
für eine gewisse Konstante c ∈ [0, 1], denn wegen (157) gilt n − 1 ≤ |xW \Bkj | ≤ n.
(158)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
86
• Hieraus und aus (157) – (158) ergibt
sich, dass der Quotient in der Definitionsgleichung (150) der
bedingten Dichten fθ xBkj | xW \Bkj die folgende Form hat, wobei λθ (∅, xW \Bkj ) = 1 gesetzt wird:
(150)
fθ xBkj ∪ xW \Bkj
(146), (157) λθ xBkj , xW \Bkj fθ xW \Bkj
R
R
=
=
fθ xBkj | xW \Bkj
fθ y ∪ xW \Bkj QBkj (dy)
fθ y ∪ xW \Bkj QBkj (dy)
λθ xBkj , xW \Bkj exp νd (Bkj )
=
R
2 (B )
du
+
O
ν
f
{u}
∪
x
1 + fθ−1 xW \Bkj
kj
θ
W
\B
kj
d
Bkj
λθ xBkj , xW \Bkj exp νd (Bkj )
(158)
.
R
=
1 + Bkj λθ u, xW \Bkj du + gθ−1 (x) O νd2 (Bkj )
• Somit ergibt sich für den in (155) betrachteten Grenzwert PL (x; θ), dass
e−νd (W ) lim fθ xBk1 | xW \Bk1 . . . fθ xBkmk | xW \Bkmk
k→∞
mk
Y
λθ xBkj , xW \Bkj
R
lim
k→∞
1 + Bkj λθ u, xW \Bkj du + gθ−1 (x) O νd2 (Bkj )
j=1
(155)
PL (x; θ)
=
=
=
lim
m
Qk k→∞ j=1
• Es ist also noch zu zeigen, dass
lim
k→∞
mk Y
j=1
bzw.
lim
Z
1+
k→∞
mk
X
j=1
Bkj
1+
R
n
Q
i=1
Bkj
λθ xi , x \ {xi }
λθ u, xW \Bkj du + gθ−1 (x) O νd2 (Bkj )
λθ u, xW \Bkj du + gθ−1 (x) O νd2 (Bkj ) = exp
Z
log 1 +
Bkj
λθ u, xW \Bkj du + gθ−1 (x) O νd2 (Bkj ) =
Z
Z
λθ (u, x) du
W
λθ (u, x) du .
W
• Dies ergibt sich aus den folgenden Überlegungen:
– Es gilt log(1+x) = x+O(x2 ) für x → 0, und aus (153) ergibt sich, dass λθ u, xW \Bkj ≤ const < ∞
für jedes u ∈ W und somit
Z
λθ u, xW \Bkj du = O νd (Bkj ) .
Bkj
– Hieraus folgt, dass
lim
k→∞
=
=
mk
X
j=1
Z
log 1 +
lim
k→∞
lim
k→∞
mk Z
X
j=1
mk Z
X
j=1
Bkj
Bkj
Bkj
λθ u, xW \Bkj du + gθ−1 (x) O νd2 (Bkj )
λθ u, xW \Bkj du +
mk
X
O
νd2 (Bkj )
j=1
λθ u, xW \Bkj du + O
mk ∆2k
!
=
!
Z
λθ (u, x) du .
W
– Dabei ergibt sich die letzte Gleichheit aus (154) und aus der
(157) für
Tatsache, dass wegen
jedes k ≥ k0 genau mk − n Glieder der Folge λθ u, xW \Bk1 . . . λθ u, xW \Bkmk mit λθ (u, x)
übereinstimmen.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
3.5.5
87
Maximum–Pseudolikelihood–Schätzer; Exponentialfamilien
Wenn das Punktmuster x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W beobachtet wird, dann sagt man, dass durch den Ansatz
b
θ(x)
= argmaxθ∈Θ PL (x; θ)
(159)
ein Maximum–Pseudolikelihood–Schätzer θb für θ gegeben ist, wobei PL : N(e) × Θ → [0, ∞) die in (155) bzw.
(156) eingeführte Pseudolikelihood–Funktion ist.
Beachte
• Wenn fθ (x) die Dichte eines (inhomogenen) Poisson–Prozesses ist,
– dann hängt die bedingte Intensität λθ (u, x) nur von u, jedoch nicht von x ab,
– und die in (155) bzw. (156) eingeführte Pseudolikelihood–Funktion stimmt mit der Likelihood–
Funktion L(x; θ) = fθ (x) des Poisson–Prozesses überein.
• Bei Gibbs–Prozessen mit schwachen Wechselwirkungen zwischen den Punkten kann also davon ausgegangen werden, dass sich der Maximum–Likelihood–Schätzer und der in (159) eingeführte Maximum–
Pseudolikelihood–Schätzer für θ nur wenig voneinander unterscheiden.
• Ein wesentlicher Vorteil der Pseudolikelihood–Funktion PL (x; θ) besteht jedoch darin,
– dass sie nicht von der unbekannten Normierungskonstante eV0 abhängt
– und dass sich die Pseudolikelihood–Funktion PL (x; θ) deshalb leichter als die Likelihood–Funktion
L(x; θ) = fθ (x) berechnen und maximieren lässt.
• Außerdem kann man zeigen, dass der in (159) eingeführte Maximum–Pseudolikelihood–Schätzer für
eine große Klasse von parametrischen Gibbs–Prozessen nützliche (Güte–) Eigenschaften wie Konsistenz
bzw. asymptotische Normalverteiltheit besitzt.
b
• In manchen Fällen lässt sich der in (159) eingeführte Maximum–Pseudolikelihood–Schätzwert θ(x)
für
θ als Lösung der so genannten Pseudolikelihood–Gleichungen
∂
log PL (x; θ) = 0
∂θi
i = 1, . . . , m
(160)
darstellen, wobei sich aus (156) ergibt, dass
log PL (x; θ) =
n
X
i=1
log λθ xi , x \ {xi } −
• Wenn zusätzlich angenommen wird, dass
Z
Z
∂
∂
λθ (u, x) du
λθ (u, x) du =
∂θi W
∂θ
i
W
Z
λθ (u, x) du .
(161)
W
∀ i = 1, . . . , m, θ ∈ Θ ,
dann ist das System der Pseudolikelihood–Gleichungen in (160) äquivalent mit
Z
n
X
∂
∂
λθ (u, x) du =
log λθ xj , x \ {xj }
∀ i = 1, . . . , m .
∂θi
W ∂θi
j=1
(162)
(163)
Beispiele
1. Strauss–Prozess
• Sei θ = (a, b, R), wobei a > 0, b ∈ [0, ∞] und R > 0, und für jedes x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W sei
fθ (x) = c a|x| exp −b tR (x) ,
(164)
wobei tR (x) die Anzahl aller Punktepaare von x bezeichnet, deren Abstand kleiner als R ist.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
88
• Für die bedingte Intensität λθ (u, x) gilt dann
λθ (u, x) = a exp −b (tR (x ∪ {u}) − tR (x))
∀ u 6∈ x .
(165)
• Hieraus ergibt sich mit Hilfe von (161) für die Log–Pseudolikelihood–Funktion log PL (x; θ), dass
log PL (x; θ)
=
|x|
X
i=1
=
log a − b tR (xi , x \ {xi }) − a
Z
|x| log a − 2b tR (x) − a
W
Z
W
exp −b tR (u, x) du
exp −b tR (u, x) du ,
wobei tR (u, x) die Anzahl derjenigen Punkte von x bezeichnet, deren Abstand von u nicht größer
als R ist.
• Wenn der Wechselwirkungsradius R > 0 gegeben ist, dann kann der Maximum–Pseudolikelihood–
Schätzer (b
a, bb) für (a, b) als Lösung des Gleichungssystems
∂
log PL (x; a, b, R) = 0
∂b
∂
log PL (x; a, b, R) = 0 ,
∂a
bestimmt werden, wobei
∂
|x|
log PL (x; a, b, R) =
−
∂a
a
und
∂
log PL (x; a, b, R) = 2 tR (x) + a
∂b
Z
Z
W
W
exp −b tR (u, x) du
tR (u, x) exp −b tR (u, x) du .
• Der Maximum–Pseudolikelihood–Schätzwert (b
a(x), bb(x)) für (a, b) ist also gegeben durch
.Z
exp −bb(x) tR (u, x) du ,
b
a(x) = |x|
W
wobei bb(x) Lösung der folgenden Gleichung ist:
Z
Z
|x|
tR (u, x) exp −bb(x) tR (u, x) du .
exp −bb(x) tR (u, x) du =
2 tR (x) W
W
2. Geyerscher Sättigungsprozess
• Sei θ = (a, b, m, R), wobei a > 0, b ∈ (−∞, ∞] und m, R > 0 beliebige Zahlen sind, und für jedes
x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W sei
fθ (x) = c a
|x|
exp −b
|x|
X
i=1
!
.
min m, tR (xi , x \ {xi })
(166)
wobei tR (xi , x \ {xi }) die Anzahl derjenigen Punkte von x \ {xi } bezeichnet, deren Abstand von
xi nicht größer als R ist.
• Für die bedingte Intensität λθ (u, x) gilt dann
λθ (u, x) = a exp −b (tm,R (x ∪ {u}) − tm,R (x))
∀ u 6∈ x ,
(167)
wobei
tm,R (x) =
|x|
X
i=1
min m, tR (xi , x \ {xi }) .
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
89
• Wenn m und R gegeben sind, dann kann der Maximum–Pseudolikelihood–Schätzwert (b
a(x), bb(x))
für (a, b) auf ähnliche Weise wie in Beispiel 1 als Lösung der Pseudolikelihood–Gleichungen (163)
bestimmt werden.
3. Exponentialfamilien
• Wir betrachten nun noch eine allgemeinere Klasse von Gibbs–Prozessen, die den Strauss–Prozess
und den Geyerschen Sättigungsprozess als Spezialfälle enthält. Dabei nehmen wir an, dass die
bedingte Intensität λθ : W ×N(e) → [0, ∞) des Gibbs–Prozesses zu einer so genannten Exponentialfamilie gehört, d.h., es gelte
λθ (u, x) = exp ξ ⊤ Z1 (u) + ζ ⊤ Z2 (u, x)
∀ u ∈ W, x ∈ N(e) ,
(168)
– wobei ξ ∈ Rm1 und ζ ∈ Rm2 zwei Teilvektoren eines (unbekannten) Parametervektors
ξ
θ=
∈ Θ ⊂ Rm1 +m2
ζ
sind, der aus den beobachteten (Bild–) Daten x ∈ N(e) geschätzt werden soll,
– und Z1 : W → Rm1 und Z2 : W × N(e) → Rm2 (vektorwertige) Stichprobenfunktionen sind,
durch die beispielsweise ein „räumlicher Trend” bzw. Wechselwirkungen zwischen den Punkten
modelliert werden können.
• Aus (168) ergibt sich dann mit Hilfe der Umkehrformel (148) für die bedingte Intensität, dass die
Dichte fθ : N → [0, ∞) des Gibbs–Prozesses gegeben ist durch
fθ (x) = cθ exp ζ ⊤ Z(x)
|x|
Y
exp ξ ⊤ Z1 (xi )
i=1
∀ x ∈ N(e) , θ ∈ Θ ,
(169)
wobei Z(x) = Z2 (x1 , ∅) + Z2 (x2 , {x1 }) + . . . + Z2 (xn , {x1 , . . . , xn−1 }).
• Die in den Beispielen 1 und 2 betrachteten Gibbs–Prozesse ergeben sich dabei als Spezialfälle.
– Für m1 = m2 = 1 und Z1 (u) ≡ 1 bzw. Z2 (u, x) = −(tR (x ∪ {u}) − tR (x)) ergibt sich
insbesondere der Strauss–Prozess, wobei a = log ξ für ξ > 0 und b = ζ.
– Für m1 = m2 = 1 und Z1 (u) ≡ 1 bzw. Z2 (u, x) = −(tm,R (x ∪ {u}) − tm,R (x)) ergibt sich der
Geyersche Sättigungsprozess, wobei a = log ξ für ξ > 0 und b = ζ.
Beachte
• Bei der Maximierung der logarithmierten Pseudolikelihood–Funktion
log PL (x; θ) =
|x|
X
i=1
wird das Integral
R
W
log λθ xi , x \ {xi } −
Z
λθ (u, x) du
(170)
W
λθ (u, x) du in (170) durch eine endliche (Integral–) Summe approximiert.
• D.h., wir betrachten die Approximation
Z
W
λθ (u, x) du ≈
k
X
j=1
λθ uj , x \ {uj } wj
(171)
für eine Menge {u1 , . . . , uk } ⊂ W von „Quadraturpunkten” mit den zugehörigen „Quadraturgewichten”
w1 , . . . , wk > 0, wobei k ≥ 1 eine beliebige natürliche Zahl ist.
R
– Das Quadraturschema in (171) sollte natürlich so gewählt werden, dass das Integral W λθ (u, x) du
möglichst gut approximiert wird.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
90
– Darüber hinaus ist es wegen der Summe auf der rechten Seite von (170) zweckmäßig, dass sämtliche
Datenpunkte in der Menge der Quadraturpunkte enthalten sind, d.h.,
{x1 , . . . , xn } ⊂ {u1 , . . . , uk } .
– Dann kann die in (170) betrachtete Log–Pseudolikelihood–Funktion näherungsweise dargestellt
werden in der Form
log PL (x; θ) ≈
k X
j=1
k
X
wj yj log λj −λj , (172)
=
zj log λθ uj , x\{uj } −wj λθ uj , x\{uj }
j=1
wobei
zj = 1I{x1 ,...,xn } (uj ) ,
yj =
zj
,
wj
λj = λθ uj , x \ {uj }
∀ J = 1, . . . , k .
• Bei der Maximierung des letzten Ausdruckes in (172) ist es nützlich zu beachten,
– dass dieser Ausdruck die gleiche Form besitzt wie der gewichtete Loglikelihood von k unabhängigen
poissonverteilten Stichprobenvariablen Y1 , . . . , Yk mit den Erwartungswerten λ1 , . . . , λk und den
(beobachteten) Realisierungen ⌊y1 ⌋, . . . , ⌊yk ⌋.
– Unter der Annahme, dass für die bedingte Intensität λθ (u, x) des betrachteten Gibbs-Prozesses
die Darstellungformel (168) gilt, d.h.,
log λj = ξ ⊤ Z1 (uj ) + ζ ⊤ Z2 uj , x \ {uj }
∀ j = 1, . . . , k ,
ergibt sich nämlich dann mit g(x) = log x, dass
g(E Y1 ), . . . , g(E Yk ) = ξ ⊤ Z1 (u1 ) + ζ ⊤ Z2 (u1 , x \ {u1 }), . . . , ξ ⊤ Z1 (uk ) + ζ ⊤ Z2 (uk , x \ {uk })
=
θ⊤ X ,
– wobei θ⊤ = (ξ ⊤ , ζ ⊤ ) und die „Designmatrix” X gegeben ist durch


Z1 (u1 )
...
Z1 (uk )
X=
.
Z2 u1 , x \ {u1 } . . . Z2 uk , x \ {uk }
Pk
– Die Maximierung des Ausdruckes j=1 wj yj log λj −λj in (172) lässt sich deshalb auf ein klassisches Schätzproblem der parametrischen Statistik zurückführen, und zwar auf die Bestimmung des
(gewichteten) Maximum–Likelihood–Schätzers θb für θ in dem verallgemeinerten linearen Modell
(Y1 , . . . , Yk ) mit der „Linkfunktion” g(x) = log x.
3.6
Markov–Ketten von Gibbs–Prozessen
• Wir betrachten nun einen Algorithmus zur Monte–Carlo–Simulation von Gibbs–Prozessen,
– der auf der Konstruktion einer Markov–Kette beruht, die ihre Werte im Raum (N(e) , N (e) ) der endlichen
Zählmaße annimmt, wobei N (e) = N ∩ N(e) ,
– so dass die ergodische (Grenz–) Verteilung dieser Markov–Kette mit der Verteilung des zu simulierenden
Gibbs–Prozesses übereinstimmt.
• Für parametrische Familien {fθ , θ ∈ Θ} von Gibbs–Dichten wird diese Methode des Markov–Chain–Monte–
Carlo (MCMC) dann in Abschnitt 3.6.4 bei der approximativen Bestimmung eines Maximum–Likelihood–
Schätzers θb für θ angewendet.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
3.6.1
91
Definition und grundlegende Eigenschaften
In diesem Abschnitt führen wir zunächst den Begriff der Markov–Kette mit allgemeinem Zustandsraum ein und
geben Bedingungen für ihre Ergodizität an.
• Sei α : N (e) → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß über (N(e) , N (e) ), und sei P : N(e) × N (e) → [0, 1] ein
stochastischer Kern, d.h.,
– für jedes A ∈ N (e) sei x 7→ P(x, A) eine (N (e) , B([0, 1])–messbare Funktion,
– und für jedes x ∈ N(e) sei A 7→ P(x, A) ein Wahrscheinlichkeitsmaß über (N(e) , N (e) ).
• Sei X0 , X1 , . . . : Ω → N(e) eine Folge von Zufallsvariablen über einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ), die ihre Werte im Raum N(e) der endlichen Zählmaße annehmen.
• Man sagt, dass X0 , X1 , . . . eine (homogene) Markov–Kette mit der Anfangsverteilung α und dem Übergangskern P ist, wenn
Z
Z Z
P(xn−1 , dxn ) . . . P(x0 , dx1 ) α(dx0 )
(173)
...
P (X0 ∈ A0 , X1 ∈ A1 , . . . , Xn ∈ An ) =
A0
A1
An
für beliebige n ≥ 0 und A0 , A1 , . . . , An ∈ N (e) .
Beachte
• Sei (D, D) ein beliebiger messbarer Raum, und sei Z, Z1 , Z2 , . . . : Ω → D eine Folge von unabhängigen
und identisch verteilten Zufallsvariablen über (D, D). Außerdem sei X0 : Ω → N(e) eine Zufallsvariable,
die von Z1 , Z2 , . . . unabhängig ist, und φ : N(e) × D → N(e) sei eine beliebige messbare Funktion.
• Dann kann man sich leicht überlegen, dass X0 , X1 , . . . : Ω → N(e) mit
Xn = φ(Xn−1 , Zn )
∀n ≥ 1
eine Markov–Kette ist, deren Übergangskern P : N(e) × N (e) → [0, 1] gegeben ist durch
P(x, A) = P ω ∈ Ω : φ(x, Z(ω)) ∈ A
∀ x ∈ N(e) , A ∈ N (e) .
(174)
(175)
Im Zusammenhang mit der Simulation von Gibbs–Prozessen werden wir vor allem Markov–Ketten X0 , X1 , . . .
betrachten, für die die Verteilung von Xn gegen eine Grenzverteilung konvergiert, wenn n → ∞.
Definition
• Sei X0 , X1 , . . . : Ω → N(e) eine Markov–Kette mit dem Übergangskern P : N(e) × N (e) → [0, 1].
• Die Markov–Kette X0 , X1 , . . . heißt ergodisch, wenn es für jedes Anfangsverteilung α : N (e) → [0, 1]
ein Wahrscheinlichkeitsmaß Π : N (e) → [0, 1] über (N(e) , N (e) ) gibt, das nicht von α abhängt, so dass
lim P (Xn ∈ A) = Π(A)
n→∞
∀ A ∈ N (e) .
(176)
Theorem 3.29 Sei X0 , X1 , . . . eine Markov–Kette mit dem Übergangskern P. Die Markov–Kette X0 , X1 , . . .
ist genau dann ergodisch, wenn für jedes x ∈ N(e)
lim P(n) (x, A) = Π(A)
n→∞
∀ A ∈ N (e) ,
wobei Π : N (e) → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, das nicht von x ∈ N(e) abhängt, und
Z
Z
(n)
P (x, A) =
...
P(xn−1 , A)P(xn−2 , dxn−1 ) . . . P(x, dx1 ) .
N(e)
N(e)
(177)
(178)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
92
Beweis
• Die Notwendigkeit der Bedingung (177) ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung (176),
wenn α = δx gesetzt wird.
• Umgekehrt ergibt sich aus (177) und (178) mit Hilfe des Satzes von Lebesgue über die majorisierte
Konvergenz, dass
Z
Z
lim
P(n) (x, A) α(dx) =
lim P(n) (x, A) α(dx) = Π(A)
∀ A ∈ N (e)
n→∞
N(e) n→∞
N(e)
für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß α : N (e) → [0, 1].
• Hieraus und aus (173) bzw. (178) ergibt sich, dass
Z
Z
Z
(173)
lim P (Xn ∈ A)
=
lim
...
P(xn−1 , A)P(xn−2 , dxn−1 ) . . . P(x0 , dx1 ) α(dx0 )
n→∞
n→∞ N(e) N(e)
N(e)
Z
(178)
=
lim
P(n) (x, A) α(dx) = Π(A) .
n→∞ N(e)
Beachte
• Man kann sich leicht überlegen, dass für die in (178) eingeführten n–stufigen Übergangskerne P(n) die
so genannte Chapman–Kolmogorov–Gleichung gilt:
Z
P(n+m) (x, A) =
P(n) (y, A) P(m) (x, dy)
∀ A ∈ N (e) , n, m ≥ 1 .
(179)
N(e)
• Für das in (176) bzw. (177) betrachtete Wahrscheinlichkeitsmaß Π : N (e) → [0, 1] von ergodischen
Markov–Ketten gilt
Z
Π(A) =
P(y, A) Π(dy)
∀ A ∈ N (e) ,
(180)
N(e)
denn aus (177) und (178) ergibt sich, dass für α–fast jedes x ∈ N(e)
Π(A)
(177)
=
(178)
=
=
lim P(n) (x, A)
Z
Z
lim
...
P(xn−1 , A)P(xn−2 , dxn−1 ) . . . P(x, dx1 )
n→∞ N(e)
N(e)
Z
Z
(n−1)
lim
P(y, A)P
(x, dy) =
P(y, A) Π(dy) .
n→∞
n→∞
N(e)
N(e)
• Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß α : N (e) → [0, 1], das eine Lösung der Fixpunkt–Gleichung
Z
α(A) =
P(y, A) α(dy)
∀ A ∈ N (e)
(181)
N(e)
ist, heißt stationäre Anfangsverteilung der Markov-Kette mit dem Übergangskern P.
• Wegen (180) ist also die (Grenz–) Verteilung Π in (176) bzw. (177) einer ergodischen Markov–Kette
gleichzeitig eine stationäre Anfangsverteilung dieser Markov–Kette, und außer Π gibt es dann keine
weiteren stationären Anfangsverteilungen.
– Es gibt jedoch Beispiele von Übergangskernen P und Wahrscheinlichkeitsmaße α : N (e) → [0, 1],
die Lösung der Fixpunkt–Gleichung (181) sind, so dass P nicht ergodisch im Sinne von (176) bzw.
(177) ist.
– Mit anderen Worten: Es gibt stationäre Anfangsverteilungen von (nicht ergodischen) Markov–
Ketten, die sich nicht als Grenzverteilung im Sinne von (176) bzw. (177) darstellen lassen.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
93
Wir betrachten nun noch den Begriff der Reversibilität von Markov–Ketten, der eine weitere grundlegende Eigenschaft für diese Klasse stochastischer Prozesse ist.
Definition
• Sei X0 , X1 , . . . eine Markov–Kette mit der Anfangsverteilung α und dem Übergangskern P.
• Man sagt, dass das Paar (α, P) reversibel ist, wenn für beliebige n ≥ 0 und m ≥ 1 die Zufallsvektoren
(Xn , Xn+1 . . . , Xn+m ) und (Xn+m , Xn+m−1 , . . . , Xn ) die gleiche Verteilung besitzen.
Theorem 3.30
• Sei X0 , X1 , . . . eine Markov–Kette mit der Anfangsverteilung α und dem Übergangskern P.
• Das Paar (α, P) ist genau dann reversibel, wenn
Z
Z
′
P(x, A ) α(dx) =
P(x, A) α(dx)
∀ A, A′ ∈ N (e) ,
A′
A
(182)
d.h., wenn die Zufallsvektoren (X0 , X1 ) und (X1 , X0 ) die gleiche Verteilung besitzen.
• Wenn das Paar (α, P) reversibel ist, dann ist α eine stationäre Anfangsverteilung der Markov–Kette {Xn }
mit dem Übergangskern P.
Beweis
• Die Notwendigkeit der Bedingung (182) ist offensichtlich, denn aus der Definitionsgleichung (173) von
D
Markov–Ketten und aus (X0 , X1 ) = (X1 , X0 ) ergibt sich, dass für beliebige A, A′ ∈ N (e)
Z
Z
(173)
(173)
P(x, A′ ) α(dx) = P (X0 ∈ A, X1 ∈ A′ ) = P (X1 ∈ A, X0 ∈ A′ ) =
P(x, A) α(dx) .
A′
A
• Umgekehrt ergibt sich aus (182), dass für jedes A ∈ N (e)
Z
P (X1 ∈ A) = P X1 ∈ A, X0 ∈ N(e) =
P(x, A) α(dx)
N(e)
(182)
=
Z
P(x, N(e) ) α(dx) = α(A) ,
A
d.h., α ist eine stationäre Anfangsverteilung, wenn das Paar (α, P) reversibel ist.
• Somit gilt α(A) = P (Xn ∈ A) für beliebige n ≥ 0 und A ∈ N (e) .
• Hieraus ergibt sich mit Hilfe von (173) und (182), dass für beliebige n ≥ 0 und m ≥ 1 und für beliebige
An , . . . , An+m ∈ N (e)
P (Xn ∈ An , . . . , Xn+m ∈ An+m )
Z Z
Z
(173)
=
...
P(xn+m−1 , dxn+m ) . . . P(xn , dxn+1 ) α(dxn )
An An+1
An+m
Z
Z
Z
=
...
1IAn ×...×An+m (xn , . . . , xn+m )P(xn+m−1 , dxn+m ) . . . P(xn , dxn+1 ) α(dxn )
N(e) N(e)
N(e)
Z
Z
Z
(182)
=
...
1IAn ×...×An+m (xn , . . . , xn+m )P(xn+m−1 , dxn+m )
N(e)
N(e)
N(e)
. . . P(xn+1 , dxn ) α(dxn+1 )
..
.
(182)
=
(173)
=
Z
N(e)
Z
...
N(e)
Z
N(e)
1IAn ×...×An+m (xn , . . . , xn+m )P(xn+1 , dxn )
P Xn ∈ An+m , . . . , Xn+m ∈ An
= P Xn+m
. . . P(xn+m , dxn+m−1 ) α(dxn+m )
∈ An , . . . , Xn ∈ An+m ,
d.h., (Xn , Xn+1 . . . , Xn+m ) und (Xn+m , Xn+m−1 , . . . , Xn ) besitzen die gleiche Verteilung.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
3.6.2
94
Harris–Rekurrenz und Drift–Kriterien für Ergodizität
Um hinreichende (relativ leicht nachprüfbare) Bedingungen für die Ergodizität einer Markov–Kette mit dem
Übergangskern P formulieren zu können, benötigen wir die folgenden Begriffe.
Definitionen
• Für beliebige A ∈ N (e) und x ∈ N(e) \ A ist die Erreichbarkeitswahrscheinlichkeit L(x, A) der Menge
A ausgehend von x gegeben durch
L(x, A) = P(x, A) +
∞ Z
X
n=1
Ac
Z
...
Ac
Z
P(xn , A)P(xn−1 , dxn ) . . . P(x1 , dx2 ) P(x, dx1 ) ,
(183)
Ac
wobei L(x, A) = 1 für A ∈ N (e) und x ∈ A gesetzt wird.
• Sei η : N (e) → [0, ∞] ein beliebiges Maß mit η(N(e) ) > 0. Mit Hilfe von η kann die Familie N (e) der
messbaren Teilmengen des Zustandsraumes N(e) zerlegt werden
– in wesentliche Teilmengen A ∈ N (e) , für die η(A) > 0 gilt, und
– in unwesentliche Teilmengen A ∈ N (e) mit η(A) = 0.
• Eine Markov-Kette mit dem Übergangskern P heißt η–irreduzibel, wenn
∀ A ∈ N (e) mit η(A) > 0,
L(x, A) > 0
∀ x ∈ N(e) .
(184)
– Beachte. Man kann sich leicht überlegen, dass (184) genau dann gilt, wenn es für beliebige A ∈ N (e)
mit η(A) > 0 und x ∈ N(e) eine Zahl n ≥ 0 gibt, so dass
P(n) (x, A) > 0 ,
(185)
– wobei P(n) (x, A) für n ≥ 1 die in (178) eingeführte n–stufige Übergangswahrscheinlichkeit von x
nach A ist und P(0) (x, A) = 1IA (x) gesetzt wird.
• Die Menge C ⊂ N(e) heißt η–klein, wenn es ein n ≥ 1 gibt, so dass
P(n) (x, A) ≥ η(A)
∀ x ∈ C, A ∈ N (e) .
(186)
• Eine Markov-Kette mit dem Übergangskern P heißt Harris–rekurrent,
– wenn es ein Maß η : N (e) → [0, ∞] mit η(N(e) ) > 0 gibt,
– so dass die Markov–Kette η–irreduzibel ist und
∀ A ∈ N (e) mit η(A) > 0,
L(x, A) = 1
∀ x ∈ N(e) .
(187)
Beachte
• Der Begriff der Harris–Rekurreenz hängt eng mit der in (176) bzw. (177) eingeführten Ergodizität von
Markov–Ketten zusammen.
– Und zwar gilt für jede Harris–rekurrente Markov–Kette X0 , X1 , . . . mit dem Übergangskern P,
so dass die Fixpunkt–Gleichung (181) eine (eindeutig bestimmte) Wahrscheinlichkeitslösung Π
besitzt, die folgende (abgeschwächte) Version von (176):
n
1 X
P (Xk ∈ A) = Π(A)
n→∞ n
lim
k=1
∀ A ∈ N (e) ,
(188)
– wobei Π nicht von der Anfangsverteilung α der Markov–Kette X0 , X1 , . . . abhängt.
• Wenn zusätzlich noch vorausgesetzt wird, dass die Harris–rekurrente Markov–Kette X0 , X1 , . . . mit
dem Übergangskern P aperiodisch ist, dann gilt (176) bzw. sogar eine wesentlich stärkere Version
dieser Definitionsgleichung für die Ergodizität von Markov–Ketten, vgl. Theorem 3.31.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
95
– Dabei sagt man, dass die η–irreduzible Markov–Kette {Xn } mit dem Übergangskern P periodisch
(mit der Periode ℓ > 1) ist, wenn sich der Zustandsraum N(e) in ℓ+1 Teilmengen A0 , . . . , Aℓ ∈ N (e)
zerlegen lässt, so dass η(Aℓ ) = 0 und für jedes i ∈ {0, . . . , ℓ − 1}
∀ x ∈ Ai ,
P(x, Aj ) = 1
∀ j = (i + 1)
mod ℓ .
(189)
– Ansonsten heißt die η–irreduzible Markov–Kette {Xn } mit dem Übergangskern P aperiodisch.
Um das folgende Resultat formulieren zu können, benötigen wir eine Metrik, die den so genannten Variationsabstand zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen beschreibt.
Definition
• Seien Q1 , Q2 endliche (nicht notwendig normierte) Maße über N (e) . Der Variationsabstand kQ1 − Q2 k
zwischen Q1 und Q2 ist gegeben durch
X
kQ1 − Q2 k = sup
|Q1 (A) − Q2 (A)| ,
(190)
Z
A∈Z
• wobei sich das Supremum in (190) über alle Zerlegungen Z der Menge N(e) in endlich viele, paarweise
disjunkte Teilmengen aus N (e) erstreckt.
• Beachte: Es gilt
(191)
kQ1 − Q2 k ≤ 2 sup |Q1 (A) − Q2 (A)| ,
A∈N (e)
denn aus der Definitionsgleichung (190) des Variationsabstandes kQ1 − Q2 k ergibt sich, dass
X
kQ1 − Q2 k = sup
|Q1 (A) − Q2 (A)|
Z
=
A∈Z
sup
(Q1 (A) − Q2 (A)) +
A∈N (e) :Q1 (A)≥Q2 (A)
≤
sup
(Q2 (A) − Q1 (A))
A∈N (e) :Q1 (A)<Q2 (A)
2 sup |Q1 (A) − Q2 (A)| .
A∈N (e)
Theorem 3.31
• Sei X0 , X1 , . . . eine Markov–Kette mit dem Übergangskern P, so dass die Fixpunkt–Gleichung (181) eine
Wahrscheinlichkeitslösung Π besitzt.
• Die Markov–Kette X0 , X1 , . . . ist genau dann
R Harris–rekurrent, wenn für jede Anfangsverteilung α und für
jede messbare Funktion h : N(e) → R mit N(e) |h(x)| Π(dx) < ∞ die Konvergenz
Z
n
1 X
h(Xi ) =
h(x) Π(dx)
n→∞ n
N(e)
i=1
lim
(192)
mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt.
• Die Markov–Kette X0 , X1 , . . . ist genau dann Harris–rekurrent und aperiodisch, wenn
lim kPn − Πk = 0
n→∞
(193)
für jede Anfangsverteilung α gilt, wobei Pn (A) = P (Xn ∈ A).
Einen Beweis von Theorem 3.31 findet man beispielsweise im Buch von S.P. Meyn und R.L. Tweedie (1993),
Markov Chains and Stochastic Stability. Springer–Verlag, London.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
96
Beachte
• Aus Theorem 3.31 ergibt sich insbesondere, dass
lim P (Xn ∈ A | X0 = x) = Π(A)
n→∞
∀ x ∈ N(e) , A ∈ N (e) ,
(194)
wenn die Markov–Kette X0 , X1 , . . . Harris–rekurrent und aperiodisch ist und wenn dabei α = δx
gesetzt wird.
• Um in Abschnitt 3.6.3 die Konvergenz von Simulationsalgorithmen mit Hilfe von Theorem 3.31 nachprüfen zu können, benötigen wir leicht verifizierbare Kriterien für die Harris–Rekurrenz und Aperiodizität von Markov–Ketten.
Das folgende Resultat stimmt mit Theorem 9.1.8 in dem oben erwähnten Buch von Meyn und Tweedie (1993)
überein. Es enthält hinreichende Bedingungen für die Harris–Rekurrenz von Markov–Ketten, die als ein Drift–
Kriterium aufgefasst werden können. Durch diese Bedingungen wird ausgeschlossen, dass die Gesamtanzahl |Xn |
der Punkte des Punktprozesses Xn für n → ∞ unbegrenzt wächst.
Theorem 3.32
• Die Markov–Kette X0 , X1 , . . . mit dem Übergangskern P sei η–irreduzible. Außerdem sei h : N(e) → [1, ∞)
eine (messbare) Funktion, so dass Ca = {x ∈ N(e) : h(x) ≤ a} für jedes a > 1 eine η–kleine Menge ist.
• Wenn es eine η–kleine Menge C ⊂ N(e) gibt, so dass
Z
h(y) P(x, dy) < h(x)
N(e)
∀ x ∈ N(e) \ C ,
(195)
dann ist die Markov–Kette {Xn } Harris–rekurrent.
Beachte
• Wenn das Drift–Kriterium (195) erfüllt ist und wenn die Markov–Kette {Xn } außerdem aperiodisch
ist, dann ergibt sich aus den Theoremen 3.31 und 3.32, dass
lim kP (n) (x, ·) − Πk = 0
n→∞
∀ x ∈ N(e) .
– Wenn darüber hinaus das so genannte geometrische Drift–Kriterium erfüllt ist, d.h., wenn es eine
η–kleine Menge C ⊂ N(e) und Konstanten a < 1, b < ∞ gibt, so dass
Z
h(y) P(x, dy) ≤ a h(x) + b 1IC (x)
∀ x ∈ N(e) ,
(196)
N(e)
– dann kann man zeigen (vgl. Theorem 15.0.1 in Meyn und Tweedie (1993)), dass die Markov–Kette
{Xn } sogar geometrisch ergodisch ist, d.h., es gibt eine Konstante r > 1, so dass
∞
X
n=1
rn kP (n) (x, ·) − Πk < ∞
∀ x ∈ N(e) .
(197)
• Wir geben nun noch ein einfaches Kriterium für die Irreduzibilität und Aperiodizität von Markov–
Ketten an.
– Sei X0 , X1 , . . . eine Markov–Kette mit dem Übergangskern P, so dass es für jedes x ∈ N(e) eine
natürliche Zahl n ≥ 1 gibt mit
P(n) (x, {∅}) > 0 ,
(198)
wobei die leere Menge ∅ dem Nullmaß ϕ0 : B(Rd ) → [0, ∞) mit ϕ0 (Rd ) = 0 entspricht.
– Dann kann man sich leicht überlegen, dass {Xn } eine η–irreduzible Markov–Kette ist, wobei η = δ∅ .
– Wenn darüber hinaus
P(∅, {∅}) > 0 ,
(199)
dann ist die η–irreduzible Markov–Kette {Xn } aperiodisch.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
3.6.3
97
MCMC–Simulation; Metropolis–Hastings–Algorithmus
• Sei W ∈ B(Rd ) ein beschränktes Beobachtungsfenster mit 0 < νd (W ) < ∞, und sei Q : N → [0, 1] (so
wie bisher) die Verteilung eines Poisson–Prozesses, dessen Intensitätsmaß die Einschränkung des Lebesgue–
Maßes auf W ist.
• In diesem Abschnitt betrachten wir einen so genannten Metropolis–Hastings–Algorithmus zur Konstruktion
einer Markov–Kette X0 , X1 , . . . mit Werten in N(e) ,
– die Harris–rekurrent und aperiodisch ist,
– und deren ergodische (Grenz–) Verteilung Π mit der Verteilung eines Gibbs–Prozesses mit vorgegebener
Dichte f : N(e) → [0, ∞) bezüglich Q übereinstinmmt.
• Dabei nehmen wir an, dass die in (146) eingeführte bedingte Intensität λ : W × N(e) → [0, ∞) eine beschränkte Funktion ist.
– Sei also g : N(e) → [0, ∞) eine beliebige (integrierbare) Funktion, so dass die folgenden drei Bedingungen
erfüllt sind:
Z
0<
g(x) Q(dx) < ∞ ,
(200)
N(e)
g(x) > 0
=⇒
g(y) > 0
und für eine Konstante ∆ < ∞ gelte
g(x ∪ {u}) ≤ ∆ g(x)
∀ x, y ∈ N(e) mit x ⊃ y ,
∀ x ∈ N(e) , u ∈ W \ x .
(201)
(202)
– Die Wahrscheinlichkeitsdichte f : N(e) → [0, ∞) bezüglich Q sei gegeben durch
.Z
f (x) = g(x)
g(x′ ) Q(dx′ )
∀ x ∈ N(e) .
N(e)
Beachte
• Bei der Konstruktion einer Harris–rekurrenten und aperiodischen Markov–Kette X0 , X1 , . . . : Ω → N(e)
mit der ergodischen (Grenz–) Verteilung Π, wobei
Z
Π(A) =
f (x) Q(dx)
∀ A ∈ N (e) ,
(203)
A
nutzen wir einen Ansatz, der bereits in (174) bzw. (175) erwähnt worden ist.
– Dabei setzen wir X0 = x0 für ein x0 ∈ N(e) mit g(x0 ) > 0, d.h., die Anfangsverteilung α der zu
konstruierenden Markov–Kette ist gegeben durch α = δx0 .
– Um den Übergangskern P : N(e) × N (e) → [0, 1] zu konstruieren, betrachten wir einen (geeignet gewählten) messbaren Raum (D, D), eine Zufallsvariable Z : Ω → D über (D, D), und eine messbare
Funktion φ : N(e) × D → N(e) , wobei
P(x, A) = P ω ∈ Ω : φ(x, Z(ω)) ∈ A
∀ x ∈ N(e) , A ∈ N (e) .
(204)
– Die (rekursiv definierten) Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . : Ω → N(e) mit
Xn = φ(Xn−1 , Zn )
∀n ≥ 1
(205)
bilden dann zusammen mit X0 = x0 eine Markov–Kette mit dem in (204) gegebenen Übergangskern P, wobei Z1 , Z2 , . . . : Ω → D eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist, die die gleiche Verteilung wie Z haben.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
98
• Sei nun Z = (S, T, U, V ) : Ω → D ein 4–dimensionaler Zufallsvektor mit unabhängigen Komponenten,
wobei
D = [0, 1] × [0, 1] × W × [0, 1]
und die Verteilungen von S, T, V und U die Gleichverteilungen in [0, 1] bzw. W sind.
– Für eine beliebige (jedoch fest vorgegebene) „potenzielle Geburtswahrscheinlichkeit” p ∈ (0, 1) wird
die Abbildung N(e) × D ∋ (x, s, t, u, v) 7→ φ(x, s, t, u, v) ∈ N(e) wie folgt definiert.
– Wenn s ≤ p, dann setzen wir

 x ∪ {u} , falls t ≤ ρ (x, u),
+
(206)
φ(x, s, t, u, v) =
 x,
falls t > ρ (x, u),
+
wobei der so genannte „Geburtsquotient” ρ+ (x, u) gegeben ist durch


 g(x ∪ {u}) (1 − p) νd (W ) , falls g(x) > 0,
g(x) (|x| + 1) p
ρ+ (x, u) =

 0,
falls g(x) = 0.
– Wenn s > p, dann setzen wir φ(x, s, t, u, v) = ∅ für x = ∅ und

h
 x \ {xi } , falls v ∈ i−1 , i und t ≤ ρ− (x, xi ),
n
n
h
φ(x, s, t, u, v) =
i
 x,
falls v ∈ i−1
und t > ρ− (x, xi )
n , n
für x = {x1 , . . . , xn } 6= ∅, wobei der „Sterbequotient” ρ− (x, u) gegeben ist durch


 g(x \ {xi }) |x| p , falls g(x) > 0,
g(x) (1 − p) νd (W )
ρ− (x, xi ) =

 ∞,
falls g(x) = 0.
(207)
(208)
(209)
Theorem 3.33
• Die Wahrscheinlichkeitsdichte f : N(e) → [0, ∞) bezüglich Q sei gegeben durch
.Z
g(x′ ) Q(dx′ )
∀ x ∈ N(e) ,
f (x) = g(x)
(210)
N(e)
wobei g : N(e) → [0, ∞) den Bedingungen (200) – (202) genügt.
• Außerdem seien X0 , X1 , . . . die in (205) gegebenen Zufallsvariablen, wobei
– X0 = x0 für ein x0 ∈ N(e) mit g(x0 ) > 0,
– Z1 , Z2 , . . . : Ω → D eine Folge von unabhängigen Zufallsvektoren mit unabhängigen Komponenten ist,
die gleichverteilt in D = [0, 1] × [0, 1] × W × [0, 1] sind, und
– die Funktion φ : N(e) × D → N(e) durch (206) – (209) gegeben ist.
• Dann ist {Xn } eine η–irreduzible, Harris–rekurrente und aperiodische Markov–Kette, wobei η = c′ δ∅ für
eine gewisse Konstante c′ ∈ (0, 1).
• Darüber hinaus ist {Xn } geometrisch ergodisch, wobei die ergodische (Grenz–) Verteilung Π von {Xn } mit
der Verteilung des Gibbs–Prozesses übereinstimmt, dessen Dichte f : N(e) → [0, ∞) bezüglich Q in (210)
gegeben ist.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
99
Beweis
• Wir zeigen zunächst, dass {Xn } eine η–irreduzible und aperiodische Markov–Kette ist.
– Wegen (198) und (199 ) genügt es zeigen, dass
(211)
P(∅, {∅}) > 0
und dass es für jedes x ∈ N(e) \ {∅} eine natürliche Zahl n ≥ 1 gibt mit P(n) (x, {∅}) > 0.
– Die Gültigkeit von (211) ergibt sich unmittelbar aus (206) – (209).
– Sei nun x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W für ein n ≥ 1. Dann ergibt sich aus (208) und (209), dass
P x, {x \ {xi }} > 0
∀ i ∈ {1, . . . , n} .
und somit
P(n) (x, {∅}) ≥ P x, {x \ {x1 }} P x \ {x1 }, {x \ {x1 , x2 }} . . . P {xn }, {∅} > 0 .
(212)
• Wir zeigen, dass Ca = {x ∈ N(e) : |x| ≤ a} für jedes a > 1 eine η–kleine Menge ist.
– Aus (208) und (209) ergibt sich, dass
P x, {x \ {xi }} ≥
p
∆νd (W )
für jedes x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W mit n ≥ 1 und für jedes i ∈ {1, . . . , n}, wobei ∆ > 0 in (202) so
gewählt wird, dass ∆ > p/νd (W ).
– Hieraus ergibt sich auf ähnliche Weise wie in (212), dass
bzw.
wobei
P(⌊a⌋) x, {∅} ≥
|x| ⌊a⌋−|x|
p
P(∅, {∅})
≥ c′
∆νd (W )
P(⌊a⌋) (x, A) ≥ c′ δ∅ (A) = η(A)
n
c′ = min
∀ x ∈ Ca
∀ x ∈ Ca A ∈ N (e) ,
o1/⌊a⌋
p
, P(∅, {∅})
.
∆νd (W )
• Mit Hilfe von Theorem 3.32 ergibt sich nun, dass die Markov–Kette {Xn } Harris–rekurrent ist, denn
man kann sich leicht überlegen, dass Drift–Kriterium (195) erfüllt ist.
– Sei p|x| bzw. q|x| die Wahrscheinlicheit, dass versucht wird, einen Punkt zu der Konfiguration
x hinzuzufügen bzw. einen Punkt aus der Konfiguration x zu entfernen, und dass dies jeweils
akzeptiert wird.
– Dann ergibt sich aus (206) – (209), dass p|x| → 0 bzw. q|x| → 1 − p > 0, wenn |x| → ∞.
– Hieraus folgt, dass für jedes hinreichend große a > 1
Z
|y| P(x, dy) = (|x| + 1)p|x| + |x| 1 − p|x| − q|x| + (|x| − 1)q|x| < |x|
∀ x ∈ N(e) \ Ca .
N(e)
• Auf ähnliche Weise kann man zeigen, dass für die Markov–Kette {Xn } auch das geometrische Drift–
Kriterium (196) erfüllt ist.
– Denn für jedes jedes hinreichend große a > 1 gibt es eine Konstante a′ < 1, so dass
Z
∀ x ∈ N(e) .
|y| P(x, dy) ≤ a′ |x| + a1ICa (x)
N(e)
– Hieraus folgt, dass die Markov–Kette {Xn } geometrisch ergodisch ist, d.h., es gilt (197) für eine
gewisse Konstante r > 1.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
100
• Wegen Theorem 3.30 ist noch zu zeigen, dass das Paar (Π, P) reversibel ist, wobei Π die Verteilung
ist, deren Dichte f : N(e) → [0, ∞) bezüglich Q in (210) gegeben ist.
– Mit Hilfe von (204) – (209) kann man leicht zeigen , dass
P(x, dx′ ) Π(dx) = P(x′ , dx) Π(dx′ )
– Denn es gilt
∀ x, x′ ∈ N(e) .
(213)
..
.
– Aus (213) ergibt sich, dass für beliebige A, A′ ∈ N (e)
Z
Z Z
P(x, A′ ) Π(dx)
=
P(x, dx′ ) Π(dx)
′
A
ZA ZA
Z
(213)
=
P(x′ , dx) Π(dx′ ) =
A
A′
P(x, A) Π(dx) .
A′
– Durch die erneute Anwendung von Theorem 3.30 ergibt sich nun hieraus, dass das Paar (Π, P)
reversibel ist.
3.6.4
Monte–Carlo–Likelihood–Inferenz
• In diesem Abschnitt erläutern wir eine Methode zur Berechnung von Maximum–Likelihood–Schätzern für
parametrische Familien von Gibbs–Prozessen, die auf dem Metropolis–Hastings–Algorithmus beruht, der in
Abschnitt 3.6.3 zur MCMC–Simulation von Gibbs–Prozessen eingeführt worden ist.
• Dabei nehmen wir so wie in Abschnitt 3.5.4 an, dass die Dichte f : N → [0, ∞) des betrachteten Gibbs–
Prozesses zu einer parametrischen Familie {fθ , θ ∈ Θ} von Dichten gehört, wobei Θ ⊂ Rm für ein m ≥ 1.
– Für jedes θ ∈ Θ sei die Wahrscheinlichkeitsdichte fθ : N(e) → [0, ∞) gegeben durch
.Z
fθ (x) = gθ (x)
gθ (x′ ) Q(dx′ )
∀ x ∈ N(e) ,
(214)
N(e)
wobei gθ : N(e) → [0, ∞) den Bedingungen (200) – (202) genügt.
– Außerdem nehmen wir an, dass die Menge Aθ = {x ∈ N(e) : gθ (x) > 0} nicht von θ ∈ Θ abhängt.
• Zur Erinnerung: Wenn das Punktmuster x = {x1 , . . . , xn } ⊂ W beobachtet wird, dann ist durch den Ansatz
b
θ(x)
= argmaxθ∈Θ log L(x; θ)
(215)
ein Maximum–Likelihood–Schätzer für θ gegeben, wobei log L(x; θ) = log fθ (x) die Log–Likelihood–Funktion
ist.
b
• Wir zeigen nun, dass es bei der praktischen Berechnung des Maximum–Likelihood–Schätzers θ(x)
zweckmäßiger ist, in (215) anstelle der Log–Likelihood–Funktion log L(x; θ)
– den Log–Likelihood–Quotienten log LQ : N(e) × Θ → [0, ∞) zu betrachten, wobei
log LQ(x, θ) = log
fθ (x)
fθ0 (x)
– und θ0 ∈ Θ ein geeignet gewähltes Element des Parameterraumes Θ ⊂ Rm ist.
• Dabei ist die folgende Darstellungsformel des Log–Likelihood–Quotienten nützlich.
(216)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
Theorem 3.34
101
Für jedes θ0 ∈ Θ gilt
log LQ(x, θ) = log
gθ (X) gθ (x)
− log E θ0
gθ0 (x)
gθ0 (X)
∀ x ∈ N(e) , θ ∈ Θ,
(217)
wobei X ein Gibbs–Prozess mit der Dichte fθ0 : N(e) → [0, ∞) ist.
Beweis
• Aus (214) und (216) ergibt sich, dass
R
′
′
gθ (x)
(e) gθ (x ) Q(dx )
R
.
log LQ(x, θ) = log
− log N
gθ0 (x)
g (x′ ) Q(dx′ )
N(e) θ0
• Weil gθ (x) = 0, wenn gθ0 (x) = 0, gilt für den Quotienten der beiden Integrale des letzten Ausdruckes,
dass
R
Z
g (x) Q(dx)
gθ (x)
gθ0 (x)
R N(e) θ
R
=
Q(dx)
′ ) Q(dx′ )
(x)
g
(x
(x′ ) Q(dx′ )
g
g
(e)
θ0
N
N(e) θ0
N(e) θ0
Z
gθ (x)
fθ0 (x) Q(dx)
=
N(e) gθ0 (x)
gθ (X)
= E θ0
.
gθ0 (X)
Das folgende Resultat liefert eine Approximation log LQn (x, θ) für den Log–Likelihood–Quotienten log LQ(x, θ),
die mit MCMC–Simulation berechnet werden kann.
Korollar 3.5 Für beliebige x ∈ N(e) und θ, θ0 ∈ Θ gilt mit Wahrscheinlichkeit 1
(218)
lim log LQn (x, θ) = log LQ(x, θ) ,
n→∞
wobei
gθ (x)
− log
log LQn (x, θ) = log
gθ0 (x)
n
1 X gθ (Xi )
n i=1 gθ0 (Xi )
!
(219)
und X1 , X2 , . . . die Markov–Kette von Gibbs–Prozessen ist, die in Abschnitt 3.6.3 mit Hilfe des Metropolis–
Hastings–Algorithmus konstruiert wurde und deren ergodische Grenzverteilung Π die Dichte fθ0 : N(e) → [0, ∞)
hat.
Beweis
• In Theorem 3.33 wurde gezeigt, dass die Markov–Kette X1 , X2 , . . . Harris–rekurrent ist.
• Außerdem ergibt
sich aus dem Beweis von Theorem 3.34, dass die Funktion h : N(e) → [0, ∞) mit
h(x) = gθ (x) gθ0 (x) bezüglich der ergodischen Grenzverteilung Π der Markov–Kette X1 , X2 , . . . integrierbar ist.
• Hieraus ergibt sich mit Hilfe von Theorem 3.31, dass mit Wahrscheinlichkeit 1
n
1 X gθ (Xi )
gθ (X)
lim
= E θ0
.
n→∞ n
(X
)
g
g
i
θ0
θ0 (X)
i=1
• Die Behauptung ergibt sich nun aus Theorem 3.34.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
102
Beachte
• Durch den Ansatz
θbn (x) = argmaxθ∈Θ log LQn (x; θ)
(220)
ist ein approximativer Maximum–Likelihood–Schätzer θbn für θ gegeben, wobei log LQn (x; θ) der in
(219) eingeführte approximative Log–Likelihood–Quotient ist.
• Zur Bestimmung des Schätzers θbn , d.h., zur Lösung des Optimierungsproblems (220) nehmen wir im
folgenden an, dass der approximative Log–Likelihood–Qootient
ln (θ) = log LQn (x; θ)
die erforderlichen Differenzierbarkeits– und (weitere) Regularitätseigenschaften besitzt, ohne dass dies
im einzelnen explizit erwähnt wird.
• Dabei ist insbesondere die Kenntnis der so genannten Scorefunktionen, d.h. der partiellen Ableitungen
des approximativen Log–Likelihood–Qootienten, sowie der Fisher–Informationsmatrix nützlich, die wie
folgt definiert ist.
– Für beliebige i, j = 1, . . . , m sei
∇i ln (θ) =
∂
log LQn (x, θ)
∂θi
und
∇2ij ln (θ) =
∂2
log LQn (x, θ) .
∂θi ∂θj
⊤
– Dann wird der m–dimensionale Zufallsvektor ∇ln (θ) = ∇1 ln (θ), . . . , ∇m ln (θ) bzw. die m × m–
Matrix −∇2 ln (θ) = −∇2ij ln (θ) der Scorevektor bzw. die Fisher–Informationsmatrix genannt.
Theorem 3.35
• Für beliebige n ≥ 1, x ∈ N(e) und θ, θ0 ∈ Θ gilt
∇ln (θ) = ∇ log gθ (x) − E n,θ,θ0 ∇ log gθ
(221)
∇2 ln (θ) = ∇2 log gθ (x) − E n,θ,θ0 ∇2 log gθ − Var n,θ,θ0 ∇ log gθ .
(222)
und
• Dabei sind der (Erwartungswert–) Vektor E n,θ,θ0 h und die (Kovarianz–) Matrix Var n,θ,θ0 h für eine (vektor–
bzw. matrixwertige) Funktion h : N(e) → Rk mit k ≥ 1 gegeben durch
E n,θ,θ0 h =
n
X
(223)
wn,θ,θ0 (Xi ) h(Xi )
i=1
und
⊤
Var n,θ,θ0 h = E n,θ,θ0 h h⊤ − E n,θ,θ0 h E n,θ,θ0 h ,
(224)
– wobei X1 , X2 , . . . die in Abschnitt 3.6.3 konstruierte Markov–Kette von Gibbs–Prozessen ist, deren
ergodische Grenzverteilung Π die Dichte fθ0 : N(e) → [0, ∞) hat,
– und die „Gewichtsfunktion” wn,θ,θ0 : N(e) → [0, ∞] gegeben ist durch
wn,θ,θ0 (x) = P
n
j=0
gθ (x)/gθ0 (x)
gθ (Xj )/gθ0 (Xj )
∀ x ∈ N(e) .
(225)
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
103
Beweis
• Aus der Definitionsgleichung (219) des approximativen Log–Likelihood–Qootienten ln (θ) ergibt sich,
dass
!!
n
gθ (x)
1 X gθ (Xi )
(219)
∇ln (θ)
=
∇ log
− log
gθ0 (x)
n i=1 gθ0 (Xi )
=
∇ log gθ (x) −
n
X
∇gθ (Xi )
i=1
n
X
i=1
(225)
=
(223)
=
∇ log gθ (x) −
n
X
i=1
gθ0 (Xi )
gθ (Xi )
gθ0 (Xi )
= ∇ log gθ (x) −
n
X
∇gθ (Xi ) gθ (Xi )
gθ (Xi ) gθ0 (Xi )
i=1
n
X
gθ (Xi )
g (Xi )
i=1 θ0
wn,θ,θ0 (Xi ) ∇ log gθ (Xi )
∇ log gθ (x) − E n,θ,θ0 ∇ log gθ .
• Damit ist die Gültigkeit von (221) bewiesen. Der Beweis von (222) verläuft analog und wird deshalb
weggelassen.
Beispiele (Exponentialfamilien)
• Wir betrachten nun den Spezialfall, dass die parametrische Familie {fθ , θ ∈ Θ} von Dichten eine
so genannte Exponentialfamilie von Gibbs–Prozessen bildet, die bereits in Abschnitt 3.5.5 eingeführt
worden ist.
• Dabei nehmen wir an, dass die Dichte fθ : N → [0, ∞) des Gibbs–Prozesses gegeben ist durch (214)
mit
gθ (x) = exp θ⊤ Z(x)
∀ x ∈ N(e) , θ ∈ Θ ,
(226)
wobei Z : N(e) → Rm eine messbare Funktion ist.
– Für den Strauss–Prozess gilt insbesondere m = 2, θ1 = log a, θ2 = b und Z(x) = (Z1 (x), Z2 (x))
mit Z1 (x) ≡ |x| bzw. Z2 (x) = −tR (x), wobei tR (x) die Anzahl aller Punktepaare von x bezeichnet,
deren Abstand kleiner als R ist.
– Für den Geyerschen Sättigungsprozess gilt m = 2, θ1 = log a, θ2 = b und Z(x) = (Z1 (x), Z2 (x))
mit Z1 (x) ≡ |x| bzw.
|x|
X
Z2 (x) = −
min m′ , tR (xi , x \ {xi }) ,
i=1
′
wobei m ≥ 1 und tR (xi , x \ {xi }) die Anzahl derjenigen Punkte von x \ {xi } bezeichnet, deren
Abstand von xi nicht größer als R ist.
• Für den Scorevektor ∇ln (θ) und die Fisher–Informationsmatrix −∇2 ln (θ) von Exponentialfamilien gilt
∇ln (θ) = Z(x) − E n,θ,θ0 Z
bzw.
− ∇2 ln (θ) = Var n,θ,θ0 Z .
(227)
Beachte
• Aus (227) ergibt sich, dass die Fisher–Informationsmatrix −∇2 ln (θ) von Exponentialfamilien negativ
definit ist. Wenn also die (approximative) Maximum–Likelihood–Gleichung
Z(x) − E n,θ,θ0 Z = o
eine Lösung θbn ∈ Θ ⊂ Rm besitzt, dann ist θbn auch Lösung des Optimierungsproblems (220).
(228)
• Eine numerische Methode zur iterativen Lösung der approximativen Maximum–Likelihood–Gleichung
(228) ist das folgende Newton–Raphson–Verfahren.
3 ZUFÄLLIGE PUNKTPROZESSE
104
• Dabei betrachten wir eine Folge von m–dimensionalen Vektoren θb(0) , θb(1) , . . ., die unter gewissen Bedingungen gegen einen Vektor θbn (x) konvergieren, so dass θbn (x) Lösung von (228) ist.
– Sei θb(0) = θ0 ein geeignet gewählter Startvektor, zum Beispiel der in Abschnitt 3.5.5 betrachtete
Maximum–Pseudolikelihood–Schätzer, und die Iterationen θb(0) , . . . , θb(k) seien bereits berechnet
worden.
– Zur Berechnung der (k + 1)–ten Iteration θb(k+1) aus θb(k) wird die linke Seite ∇ln (θ) der approximativen Maximum–Likelihood–Gleichung (228) ersetzt durch
∗ die ersten beiden Glieder ∇ln (θb(k) ) + ∇2 ln (θb(k) )(θ − θb(k) ) der Taylor–Reihenentwicklung von
∇ln (θ) an der Stelle θ = θb(k) .
∗ Die (k + 1)–ten Iteration θb(k+1) ist also Lösung der Gleichung
∇ln (θb(k) ) + ∇2 ln (θb(k) )(θ − θb(k) ) = o .
– Wenn die Matrix ∇2 ln (θb(k) ) invertierbar ist, dann ergibt sich aus (229), dass
θb(k+1) = θb(k) − ∇2 ln (θb(k) )
−1
∇ln (θb(k) ) ,
(229)
(230)
– Damit die so konstruierte Folge θb(0) , θb(1) , . . . gegen θbn (x) konvergiert, muss θbn (x) Lösung von (228)
sein und der Startvektor θ0 muss genügend nahe bei θbn (x) liegen.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
4
105
Palmsche Verteilung und weitere Kenngrößen von Punktprozessen
• Sei S1 , S2 , . . . Ω → Rd ∪ {∞} eine Folge von Zufallsvektoren über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ),
so dass mit Wahrscheinlichkeit 1
#{n : Sn ∈ B} < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd )
(1)
und
Si 6= Sj
∀ i, j ≥ 1 mit i 6= j .
(2)
• Wir setzen voraus, dass das zufällige Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} mit NB = #{n : Sn ∈ B} stationär ist
und dass seine Intensität λ = E N[0,1]d positiv und endlich ist.
• Außerdem setzen wir voraus, dass P (NRd = 0) = 0, d.h., das zufällige Zählmaß {NB } hat mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich viele Atome, vgl. Theorem 3.5.
4.1
Palmsche Verteilung
4.1.1
Definition durch Intensitätsquotienten; typischer Punkt
Die Grundidee bei der Definition der Palmschen Verteilung des stationären zufälliges Zählmaßes {NB } besteht
darin,
• für jede (beliebige, jedoch fest vorgegebene) messbare Teilmenge A ∈ N des kanonischen Wahrscheinlichkeitsraumes (N, N , PN ) nur diejenigen Atome von {NB } zu betrachten, aus deren Sicht das zufällige Zählmaß
{NB } die Eigenschaft A hat.
• Mit anderen Worten: Für jedes A ∈ N betrachten wir das zufällige Zählmaß {NB,A , B ∈ B(Rd )}, das
gegeben ist durch
(3)
NB,A = # n : Sn ∈ B, {NB ′ −Sn } ∈ A .
• Beispiel: Wenn A = {ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r) \ {o}) = 0} für ein r > 0, dann werden durch {NB,A , B ∈ B(Rd )}
diejenigen Punkte von {NB } erfasst, für die der Abstand zu ihrem nächsten Nachbarn größer als r ist.
Theorem 4.1 Für jedes A ∈ N ist das in (3) eingeführte zufällige Zählmaß {NB,A , B ∈ B(Rd )} stationär.
Wenn {NB } ergodisch ist, dann ist auch {NB,A , B ∈ B(Rd )} für jedes A ∈ N ergodisch.
Beweis
• Wir zeigen zuerst, dass {NB,A , B ∈ B(Rd )} stationär ist.
– Für beliebige x ∈ Rd , B ∈ B(Rd ) und A ∈ N gilt
NB+x,A = # n : Sn ∈ B + x, {NB ′ −Sn } ∈ A
= # n : Sn − x ∈ B, {NB ′ −Sn } ∈ A
= # n : Sn − x ∈ B, {N(B ′ −x)−(Sn −x) } ∈ A
D
= # n : Sn ∈ B, {NB ′ −Sn } ∈ A
= NB,A ,
wobei sich die vorletzte Gleichheit aus der Stationarität von {NB } ergibt.
– Auf analoge Weise ergibt sich für beliebige k ≥ 1, x ∈ Rd , B1 , . . . , Bk ∈ B(Rd ) und A ∈ N , dass
D
NB1 +x,A , . . . , NBk +x,A = NB1 ,A , . . . , NBk ,A .
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
106
• Sei nun {NB } ergodisch.
P∞
– Für beliebige x ∈ Rd , A ∈ N und B ∈ B(Rd ) und für jedes ϕ = n=1 δsn aus N mit si 6= sj für
i 6= j gilt
Tx (ϕA ) (B) = # n : sn − x ∈ B, {ϕ(B ′ − sn )} ∈ A
= # n : sn − x ∈ B, {(Tx ϕ)(B ′ − (sn − x))} ∈ A
= Tx ϕ A (B) ,
– Insgesamt gilt also
Tx (ϕA ) = Tx ϕ
∀ x ∈ Rd , A ∈ N .
A
(4)
– Sei NA die Bildmenge von N für die in (3) betrachtete Abbildung ϕ 7→ ϕA .
– Wegen (4) ist das Urbild A′A jeder T–invarianten Menge A′ aus N ∩ NA eine T–invariante Menge
aus N .
– Hieraus und aus der Ergodizität von {NB } ergibt sich mit Hilfe von Theorem 3.19, dass
max{P{NB,A } (A′ ), P{NB,A } (A′ )c } = max{P{NB } (A′A ), P{NB } (A′A )c } = 1
∀ A′ ∈ I ∩ NA .
– Die erneute Anwendung von Theorem 3.19 ergibt nun, dass {NB,A , B ∈ B(Rd )} ergodisch ist. Definition
• Für jedes A ∈ N sei λ(A) die Intensität des stationären Zählmaßes {NB,A , B ∈ B(Rd )}.
– Dann ist durch die Mengenfunktion PN0 : N → [0, 1] mit
PN0 (A) =
λ(A)
λ
(5)
∀A ∈ N
ein Wahrscheinlichkeitsmaß über N gegeben.
– Denn aus der Definitionsgleichung (3) von NB,A und aus dem Satz über die monotone Konvergenz
ergibt sich, dass für jede Folge A1 , A2 , . . . von paarweise disjunkten Mengen aus N
∞
X
λ(Ai )
=
i=1
=
∞
X
i=1
∞
X
i=1
=
=
=
monotone Konvergenz
=
=
E N[0,1]d ,Ai
E # n : Sn ∈ [0, 1]d , {NB−Sn } ∈ Ai
lim
k→∞
k
X
i=1
lim E
k→∞
E # n : Sn ∈ [0, 1]d , {NB−Sn } ∈ Ai
k
X
i=1
# n : Sn ∈ [0, 1]d , {NB−Sn } ∈ Ai
k
o
n
[
d
Ai
lim E # n : Sn ∈ [0, 1] , {NB−Sn } ∈
k→∞
i=1
k
o
n
[
Ai
E lim # n : Sn ∈ [0, 1]d , {NB−Sn } ∈
k→∞
i=1
∞
o
n
[
Ai
E # n : Sn ∈ [0, 1]d , {NB−Sn } ∈
i=1
=
λ
∞
[
i=1
Ai .
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
107
• Das in (5) eingeführte Wahrscheinlichkeitsmaß PN0 wird die Palmsche Verteilung des stationären Zählmaßes {NB } genannt.
Beachte
• Manchmal ist es zweckmäßig, die folgende (mit (5) äquivalente) Formel zur Darstellung der Palmschen
Wahrscheinlichkeiten PN0 (A) zu betrachten.
• Für jedes B ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (B) < ∞ gilt
E # n : Sn ∈ B, {NB ′ −Sn } ∈ A
0
=
PN (A) =
λ νd (B)
Z
X
N n: s (ϕ)∈B
n
1IA Tsn (ϕ) ϕ PN (dϕ)
λ νd (B)
∀ A ∈ N , (6)
weil das zufällige Zählmaß {NB,A , B ∈ B(Rd )} stationär ist (vgl. Theorem 4.1) und sein Intensitätsmaß
somit proportional zum d–dimensionalen Lebesgue–Maß νd ist.
Außerdem besitzt die Palmsche Verteilung PN0 die folgende (elementare) Eigenschaft, die sich unmittelbar aus der
Definitionsgleichung (3) von NB,A ergibt.
Theorem 4.2 Sei N0 = {ϕ ∈ N : ϕ({o}) > 0} die Menge derjenigen Zählmaße aus N, die im Nullpunkt ein
Atom besitzen. Dann gilt
PN0 (N0 ) = 1 .
(7)
Beweis
Für A = N0 ergibt sich aus (3) und (5), dass
PN0 (N0 )
(5)
=
(3)
=
=
E N[0,1]d ,N0
λ(N0 )
=
λ
λ
E # n : Sn ∈ [0, 1]d , {NB−Sn } ∈ N0
λ
E #{n : Sn ∈ [0, 1]d }
= 1.
λ
Für statistische Fragestellungen ist es nützlich, dass sich die Palmschen Wahrscheinlichkeiten PN0 (A) im ergodischen Fall als Grenzwert von relativen Häufigkeiten darstellen lassen.
Theorem 4.3
Wenn {NB } ergodisch ist, dann gilt für jedes A ∈ N
PN0 (A) = lim
n→∞
N[−n,n]d ,A
.
N[−n,n]d
(8)
Beweis
• Wegen Theorem 4.1 ist mit {NB } auch das zufällige Zählmaß {NB,A , B ∈ B(Rd )} ergodisch.
• Hieraus und aus Theorem 3.18 ergibt sich, dass
lim
n→∞
N[−n,n]d ,A
N[−n,n]d
=
Theorem 3.18
=
lim
n→∞
N[−n,n]d
N[−n,n]d ,A .
lim
d
n→∞
(2n)
(2n)d
λ(A)
= PN0 (A) .
λ
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
108
Beachte
• Weil die Palmsche Wahrscheinlichkeit PN0 (A) im ergodischen Fall als Grenzwert der relativen Häufigkeiten N[−n,n]d ,A / N[−n,n]d in (8) dargestellt werden kann, kann man PN0 (A) als die Wahrscheinlichkeit
auffassen, dass der Punktprozess {Sn } von einem zufällig herausgegriffenen Punkt Sm aus gesehen, die
Eigenschaft A hat.
• Man sagt deshalb auch, dass PN0 (A) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass der typische Punkt von {NB }
die Eigenschaft A hat.
• Wenn beispielsweise A = {ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r) \ {o}) = 0} für ein r > 0, dann ist PN0 (A) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Abstand zum nächsten Nachbarn des typischen Punktes größer als r ist; vgl.
Abbildung 18.
• Im ergodischen Fall liefert die Formel (8) einen natürlichen Ansatz zur (konsistenten) Schätzung der
Palmschen Wahrscheinlichkeit PN0 (A), wenn die Anzahlen N[−n,n]d und N[−n,n]d ,A für ein großes n,
d.h., für ein großes Beobachtungsfenster Wn = [−n, n]d bestimmt werden können.
Abbildung 18: Punkte, aus deren Sicht die Eigenschaft A = {ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r) \ {o}) = 0} vorliegt
4.1.2
Lokale Charakterisierung
• Die praktische Bestimmung der Palmschen Wahrscheinlichkeit PN0 (A) mit Hilfe von Formel (8) kann mit
einem großen Rechenaufwand verbunden sein, weil die Berechnung der Anzahl N[−n,n]d ,A für großes n in
vielen Fällen sehr aufwendig ist.
• Für einige Klassen von stationären Punktprozessen ist es jedoch möglich, die Palmschen Wahrscheinlichkeiten PN0 (A) auf eine andere (effizientere) Weise zu bestimmen,
– wobei anstelle der aufwendigen Berechnung der „globalen” Anzahlen N[−n,n]d ,A nur „lokale” Modellkenngrößen bestimmt werden müssen, deren praktische Berechnung wesentlich einfacher ist.
– Dies kann insbesondere bei der Bestimmung von PN0 (A) mittels Monte–Carlo–Simulation zu einer
wesentlichen Verringerung von Rechenzeiten führen.
• Wir beginnen deshalb diesen Abschnitt mit der folgenden „lokalen Charakterisierung” der Intensität λ,
– die in der Literatur der Satz von Korolyuk genannt wird
– und die ein Hilfsmittel zur Herleitung der oben genannten lokalen Charakterisierung der Palmschen
Wahrscheinlichkeiten PN0 (A) ist, vgl. Korollar 4.1.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
Theorem 4.4
109
Sei Bk = [−1/k, 1/k]d für jedes k ≥ 1. Dann gilt
lim
k→∞
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0)
= λ.
νd (Bk )
(9)
Beweis
• Wir zeigen zuerst, dass der Grenzwert in (9) existiert, wobei
lim
k→∞
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0)
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0)
= sup
νd (Bk )
νd (Bk )
k≥1
– Das Supremum ρ in (10) ist eine positive endliche Zahl, weil für jedes k ≥ 1
0 <
= ρ .
(10)
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0)
E N (Bk )
≤
= λ < ∞.
νd (Bk )
νd (Bk )
– Wir führen einen indirekten Beweis von (10) und nehmen an, dass es ein ε > 0 und eine unbegrenzt
wachsende Folge i1 , i2 , . . . natürlicher Zahlen gibt, so dass
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bin ) > 0)
≤ (1 − ε)2d ρ
νd (Bin )
∀n ≥ 1.
(11)
– Für jedes k ≥ 1 gibt es ein hinreichend großes n ≥ 1, so dass sich die Zahl k −1 in der Form
k −1 = kn i−1
n + δn
(12)
darstellen lässt, wobei 0 ≤ δn < i−1
n und kn ≥ 0 eine nichtnegative ganze Zahl ist mit
kn + 1
1
≤
.
kn
1−ε
(13)
– Außerdem lässt sich der Quader Bk dann als Teilmenge der Vereinigung von (kn + 1)d Quadern
mit der Kantenlänge 2/in darstellen.
– Insgesamt ergibt sich dann aus (11) – (13) mit Hilfe der Subadditivität von PN und der Stationarität von {NB }, dass
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0)
νd (Bk )
≤
≤
=
≤
– Hieraus folgt, dass
sup
k≥1
(kn + 1)d PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bin ) > 0)
(2/k)d
d
(kn + 1) PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bin ) > 0)
(2kn /in )d
d
(kn + 1) PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bin ) > 0)
knd
νd (Bin )
(1 − ε)d ρ .
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0)
≤ (1 − ε)d ρ .
νd (Bk )
– Dies steht jedoch im Widerspruch zur Definition des Supremums ρ in (10), womit die Gültigkeit
von (10) bewiesen ist.
• Um die Gültigkeit von (9) zu zeigen, zerlegen wir den Quader [−1, 1]d für jedes k ≥ 1 in k d gleichgroße
Quader Bk1 , . . . , Bkkd mit der Kantenlänge 2/k.
– Für beliebige k ≥ 1 und i ∈ {1, . . . , k d } sei

 1,
Xki =
 0,
wenn NBki > 0,
wenn NBki = 0.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
110
– Für k = 21 , 22 , . . . gilt dann mit Wahrscheinlichkeit 1 die monotone Konvergenz
d
k
X
i=1
Xki ↑ N[−1,1]d .
– Hieraus ergibt sich nun mit Hilfe des Satzes über die monotone Konvergenz, dass
d
2 λ
E N[−1,1]d = E
=
nd
monotone Konvergenz
=
lim E
n→∞
2
X
X 2n i
i=1
nd
lim
n→∞
2
X
X 2n i
i=1
= lim
n→∞
nd
2
X
E X 2n i
i=1
lim 2nd PN (ϕ ∈ N : ϕ(B2n 1 ) > 0)
=
n→∞
lim 2nd PN (ϕ ∈ N : ϕ([−1/2d , 1/2d ]d ) > 0) .
=
n→∞
– Insgesamt ergibt sich somit, dass
PN (ϕ ∈ N : ϕ([−1/2d , 1/2d ]d ) > 0)
.
n→∞
(2/2n )d
λ = lim
– Wegen (10) ist damit die Gültigkeit von (9) bewiesen.
Beachte
• Die Aussage von Theorem 4.4 gilt nicht nur für Quader Bk = [−1/k, 1/k]d , sondern auch für allgemeinere Folgen {Bk } von immer kleiner werdenden Umgebungen des Nullpunktes.
• Um dies zu zeigen, sind jedoch andere (anspruchsvollere) Beweistechniken erforderlich, vgl. z.B. Abschnitt 12.4 in O. Kallenberg (1986) Random Measures, Academic Press, London.
• Für Spezialfälle kann man dies allerdings auf einfache Weise zeigen.
– Sei {NB } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ.
– Dann gilt
PN (ϕ ∈ N : ϕ(B) > 0) = λνd (B) exp(−λνd (B))
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
– Somit gilt für jede Folge B1 , B2 , . . . ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (Bk ) < ∞ und limk→∞ νd (Bk ) = 0, dass
lim
k→∞
PN (ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0)
λνd (B) exp(−λνd (B))
= lim
= λ.
k→∞
νd (Bk )
νd (Bk )
Mit Hilfe von Theorem 4.4 können wir nun zeigen, dass sich die Palmsche Verteilung PN0 als Grenzwert von
bedingten Verteilungen von {NB } darstellen lässt (unter der Bedingung, dass in einer immer kleiner werdenden
Umgebung des Nullpunktes ein Atom des zufälligen Zählmaßes {NB } liegt).
Hierfür benötigen wir den Begriff des Variationsabstandes zwischen zwei endlichen (nicht notwendig normierten)
Maßen, der bereits in Abschnitt 3.6.1 betrachtet wurde.
Definition
• Seien Q1 , Q2 endliche Maße über N . Der Variationsabstand kQ1 −Q2 k zwischen Q1 und Q2 ist gegeben
durch
X
kQ1 − Q2 k = sup
|Q1 (A) − Q2 (A)| ,
(14)
Z
A∈Z
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
111
• wobei sich das Supremum in (14) über alle Zerlegungen Z der Menge N in endlich viele, paarweise
disjunkte Teilmengen aus N erstreckt.
• Beachte: Genauso wie in Abschnitt 3.6.1 kann man zeigen, dass
(15)
kQ1 − Q2 k ≤ 2 sup |Q1 (A) − Q2 (A)| .
A∈N
Korollar 4.1
Sei Bk = [−1/k, 1/k]d für jedes k ≥ 1. Dann gilt
lim kPN0 − Pk k = 0 ,
(16)
k→∞
wobei die (bedingte) Verteilung Pk gegeben ist durch
Pk (A) = PN {ϕ ∈ N : Ts(k) (ϕ) ϕ ∈ A} | {ϕ ∈ N : ϕ(Bk ) > 0}
∀A ∈ N
(17)
und s(k) (ϕ) dasjenige Atom von ϕ in Bk bezeichnet, das den kleinsten Abstand vom Nullpunkt hat.
Beweis
• Für beliebige k ≥ 1 und A ∈ N gilt offenbar
PN ϕ ∈ N : Ts(k) (ϕ) ϕ ∈ A, ϕ(Bk ) > 0 0
0
|PN (A) − Pk (A)| ≤ PN (A) −
λ νd (Bk )
P ϕ ∈ N : ϕ(B ) > 0
k
N
Pk (A) − Pk (A)
+
λ νd (Bk )
und somit
|PN0 (A) − Pk (A)|
PN ϕ ∈ N : Ts(k) (ϕ) ϕ ∈ A, ϕ(Bk ) > 0 0
≤ PN (A) −
+
λ νd (Bk )
• Hieraus ergibt sich mit Hilfe von Theorem 4.4, dass
P ϕ ∈ N : ϕ(B ) > 0
k
N
− 1
λ νd (Bk )
lim sup sup |PN0 (A) − Pk (A)|
k→∞ A∈N
≤
(6)
≤
PN ϕ ∈ N : Ts(k) (ϕ) ϕ ∈ A, ϕ(Bk ) > 0 0
lim sup sup PN (A) −
λ νd (Bk )
k→∞ A∈N
Z
X
1
1IA Tsn (ϕ) ϕ PN (dϕ)
lim sup sup
k→∞ A∈N λ νd (Bk )
N
• Somit gilt, dass
n: sn (ϕ)∈Bk
−PN ϕ ∈ N : Ts(k) (ϕ) ϕ ∈ A, ϕ(Bk ) > 0 .
lim sup sup |PN0 (A) − Pk (A)|
k→∞ A∈N
=
≤
=
Z
X
1
1IA Tsn (ϕ) ϕ − 1IA Ts(k) (ϕ) ϕ PN (dϕ)
k→∞ A∈N λ νd (Bk )
{ϕ′ : ϕ′ (Bk )>0} n: s (ϕ)∈B
n
k
Z
1
lim sup
ϕ(Bk ) − 1 PN (dϕ)
λ νd (Bk ) {ϕ′ : ϕ′ (Bk )>0}
k→∞
PN ϕ : ϕ(Bk ) > 0 Theorem 4.4
lim sup 1 −
=
0.
λ νd (Bk )
k→∞
lim sup sup
• Mit Hilfe von (15) ergibt sich hieraus die Behauptung.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
4.1.3
112
Reduzierte Palmsche Verteilung; Satz von Slivnyak
• Manchmal ist es zweckmäßig, neben der in (5) bzw. (6) eingeführten Palmschen Verteilung PN0 , noch die so
genannte reduzierte Palmsche Verteilung von stationären Punktprozessen zu betrachten.
• Dabei wird das Atom gestrichen, das bezüglich PN0 mit Wahrscheinlichkeit 1 im Nullpunkt liegt (vgl. Theorem 4.2).
• Mit anderen Worten: Sei B ∈ B0 (Rd ) eine beliebige beschränkte Borel–Menge mit 0 < νd (B) < ∞. Dann
heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß PN! : N → [0, 1] mit
Z
X
1
PN! (A) =
1IA Tsn (ϕ) ϕ − δo PN (dϕ)
(18)
λ νd (B) N
n: sn (ϕ)∈B
die reduzierte Palmsche Verteilung von {NB }.
Mit Hilfe von Korollar 4.1 lässt sich die folgende einfache Darstellung der Palmschen Verteilungen PN! und PN0
von homogenen Poisson–Prozessen herleiten, die in der Literatur der Satz von Slivnyak genannt wird.
Theorem 4.5
Sei {NB } ein homogener Poisson–Prozess. Dann gilt
PN! = PN
(19)
PN0 = PN ∗ δδo ,
(20)
bzw. (äquivalent hierzu)
wobei PN ∗ δδo die Verteilung des zufälligen Zählmaßes {NB + δo (B), B ∈ B(Rd )} bezeichnet.
Beweis
• Aus Korollar 4.1 ergibt sich insbesondere, dass
PN0 (A) = lim Pk (A)
k→∞
∀A ∈ N .
(21)
• Wegen Theorem 2.1 genügt es, den Grenzwert PN0 (A) in (21) für Ereignisse A ∈ N der Form
A = {ϕ ∈ N : ϕ(C1 ) ≤ k1 , . . . , ϕ(Cn ) ≤ kn }
(22)
zu untersuchen, wobei n ≥ 1, k1 , . . . , kn ≥ 0 beliebige natürliche Zahlen sind und C1 , . . . , Cn ∈ Qd eine
beliebige Folge von Quadern ist.
• Dabei setzen wir zunächst zusätzlich voraus, dass der Nullpunkt einen positiven Abstand von jedem
der Quader C1 , . . . , Cn hat, d.h.,
o ∈ int (Cic )
∀ i = 1, . . . , n .
(23)
– Aus (21) und aus der Definitionsgleichung (17) von Pk ergibt sich dann, dass
P NC1 ⊕Bk ≤ k1 , . . . , NCn ⊕Bk ≤ kn , NBk > 0
lim sup
P NB k > 0
k→∞
≤
P NC1 ⊖Bk ≤ k1 , . . . , NCn ⊖Bk ≤ kn , NBk > 0
,
PN0 (A) ≤ lim inf
k→∞
P NB k > 0
wobei C ⊕ B = {x + y : x ∈ C, y ∈ B} die Minkowski–Addition und C ⊖ B = C c ⊕ B c
Minkowski–Subtraktion bezeichnet.
c
die
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
113
– Wegen (23) gilt außerdem für jedes hinreichend große k, dass
(Ci ⊖ Bk ) ∩ Bk = (Cn ⊕ Bk ) ∩ Bk = ∅
∀ i = 1, . . . , n .
– Aus den Unabhängigkeitseigenschaften der Poisson–Prozesses {NB } ergibt sich somit, dass
lim sup P (NC1 ⊕Bk ≤ k1 , . . . , NCn ⊕Bk ≤ kn ) ≤ PN0 (A)
k→∞
≤ lim inf P (NC1 ⊖Bk ≤ k1 , . . . , NCn ⊖Bk ≤ kn )
k→∞
und folglich
PN0 (ϕ ∈ N : ϕ(C1 ) ≤ k1 , . . . , ϕ(Cn ) ≤ kn )
=
=
P (NC1 ≤ k1 , . . . , NCn ≤ kn )
P (NC1 + δo (C1 ) ≤ k1 , . . . , NCn + δo (C1 ) ≤ kn ) .
• Hieraus und aus der Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen bezüglich monotoner Grenzübergänge
ergibt sich die Gültigkeit von
PN0 (A) = PN ∗ δδo (A)
(24)
für diejenigen der in (22) betrachteten Ereignisse A ∈ N , so dass der Nullpunkt nicht im Inneren einer
der Quader C1 , . . . , Cn liegt, d.h.,
o 6∈ (int C1 ∪ . . . ∪ int Cn ) .
(25)
– Wenn (25) nicht gilt, dann können wir diejenigen Quader Ci mit o ∈ int Ci jeweils in zwei Teilquader
zerlegen können, so dass danach (25) gilt.
– Hieraus folgt, dass (24) für jedes der in (22) betrachteten Ereignisse A ∈ N gilt.
Beispiel
Sei {NB } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ.
• Dann können wir die in Theorem 4.5 gegebenen Darstellungsformeln (19) und (20) für die Palmsche Verteilungen PN! bzw. PN0 anwenden, um beispielsweise die Nächster–Nachbar–Abstandsverteilungsfunktion
D : [0, ∞) → [0, 1] mit
∀r > 0
(26)
D(r) = PN! ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r)) > 0
des typischen Punktes des Poisson–Prozesses {NB } zu bestimmen.
• Hierfür setzen wir in (19) das Ereignis A = {ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r)) > 0} für jedes r > 0 ein und erhalten,
dass
D(r) = PN ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r)) > 0 = 1 − exp −λ κd rd
∀r > 0,
(27)
wobei κd das Volumen der d–dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
4.1.4
Typische Zelle von Poisson–Voronoi–Mosaiken; Simulationsalgorithmus
Ein anderes Anwendungsbeispiel von Theorem 4.5 führt zu der folgenden (lokalen) Darstellung der typischen Zelle
von Poisson–Voronoi–Mosaiken.
• Hierfür ordnen wir jedem Punkt Sn des Poisson–Prozesses {NB } die Voronoi–Zelle Ξn zu, wobei
Ξn = x ∈ Rd : |x − Sn | ≤ |x − Sm | ∀ m 6= n ,
(28)
– d.h., Ξn ist die (zufällige) Menge derjenigen x ∈ Rd , deren Abstand von Sn nicht größer ist als die
Abstände zwischen x und allen anderen Punkten Sm , m 6= n des Poisson–Prozesses.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
114
– Beachte: Aus der Definitionsgleichung (28) von Ξn ergibt sich, dass Ξn mit Wahrscheinlichkeit 1 ein
beschränktes und konvexes Polygon ist.
– Die Folge {Ξn } der Voronoi–Zellen Ξn wird dann Poisson–Voronoi–Mosaik genannt. Dabei sagt man,
dass Sn der Nucleus von Ξn ist.
• Mit Hilfe von Theorem 4.5 erkennen wir nun,
– dass die Verteilung der sogenannten typischen Zelle des Poisson–Voronoi–Mosaiks, d.h., die Verteilung
der Zelle des typischen Punktes des Poisson–Prozesses {NB }, gegeben ist
– durch die Verteilung der (zufälligen) Voronoi–Zelle
Ξ∗ = x ∈ Rd : |x| ≤ |x − Sn | ∀ n ≥ 1
(29)
des Nullpunktes o ∈ Rd bezüglich der Punkte {Sn } des homogenen Poisson–Prozesses {NB }.
S1
S2
S3
S0
S4
Abbildung 19: Initialzelle
Dies liefert einen effizienten Algorithmus zur (lokalen) Monte–Carlo–Simulation der typischen Zelle von Poisson–
Voronoi–Mosaiken, wobei wir uns hier aus Gründen der Einfachheit auf die Beschreibung des planaren Falles
d = 2 beschränken.
• Der Algorithmus besteht aus zwei Teilen, wobei jeweils eine gewisse Anzahl von Punkten S1 , S2 , . . . des
Poisson–Prozesses {NB } mit dem Algorithums zur radialen Simulation von homogenen Poisson–Prozessen
erzeugt wird, der in Abschnitt 2.2.1 eingeführt worden ist.
• Zunächst werden so viele Punkte S1 , S2 , . . . erzeugt, bis sich durch die Mittelsenkrechten der Strecken (o, S1 ),
(o, S2 ), . . . ein beschränktes (und konvexes) Polygon um den Nullpunkt bilden lässt, das Initialzelle genannt
wird, vgl. Abbildung 19.
– Die Konstruktion der Initialzelle kann mit Hilfe der folgenden Stoppregel erfolgen.
– Zuerst werden die Punkte S1 , S2 und S3 erzeugt. Dabei wird der Sektor ΣS1 ,S2 betrachtet, der durch
die beiden Geraden o, −S1 und o, −S2 gebildet wird.
– Wenn S3 ∈ ΣS1 ,S2 , dann stoppt der Algorithmus und die Initialzelle wird durch die Mittelsenkrechten
der Strecken (o, S1 ), (o, S2 ) und (o, S3 ) gebildet.
– Wenn S3 6∈ ΣS1 ,S2 , dann wird der größte Sektor ΣS1 ,S2 ,S3 betrachtet, der durch die Geraden o, −S1 ,
o, −S2 und o, −S3 gebildet werden kann.
– Anschließend wird der Punkt S4 erzeugt und geprüft, ob S4 ∈ ΣS1 ,S2 ,S3 .
– Wenn S4 ∈ ΣS1 ,S2 ,S3 , dann stoppt der Algorithmus und die Initialzelle wird durch die Mittelsenkrechten
der Strecken (o, S1 ), (o, S2 ), (o, S3 ) und (o, S4 ) gebildet.
– Wenn S4 6∈ ΣS1 ,S2 ,S3 , dann wird das Verfahren so lange fortgesetzt, bis Si+1 ∈ ΣS1 ,...,Si ,
– und die Initialzelle wird durch die Mittelsenkrechten der Strecken (o, S1 ), . . . , (o, Si ) gebildet.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
115
• Danach wird geprüft, ob die Initialzelle mit der in (29) gegebenen typischen Zelle Ξ∗ übereinstimmt oder ob
die Initialzelle noch durch die Erzeugung weiterer Punkte des Poisson–Prozesses {NB } verkleinert werden
muss.
– Sei rmax das Maximum der Abstände der Eckpunkte der Initialzelle vom Nullpunkt.
– Dann können nur diejenigen Punkte Sn des Poisson–Prozesses {NB } die Gestalt der typischen Zelle
Ξ∗ beeinflussen, für die |Sn | ≤ 2rmax gilt.
– Die Erzeugung der Punkte S1 , S2 , . . . mit dem Algorithums zur radialen Simulation von homogenen
Poisson–Prozessen kann also spätestens dann gestoppt werden, wenn |Sn | > 2rmax .
– Durch die Mittelsenkrechten der Strecken (o, Si+1 ), . . . , (o, Si+2 ), . . . können Teilbereiche der Initialzelle
wegfallen,
– wodurch sich der Maximalabstand rmax der Eckpunkte verringern und der Algorithmus gegebenenfalls
früher gestoppt werden kann.
Beachte
• Jeder Durchlauf des oben beschriebenen Algorithmus liefert eine Realisierung ξ ∗ der typischen Zelle
Ξ∗ .
• Auf der Grundlage der Realisierungen ξ1 , . . . , ξn von Ξ∗ , die sich aus einer großen Anzahl n solcher
Runs ergeben, können statistische Schätzer konstruiert werden, um (Verteilungs–) Eigenschaften von
geometrischen Kenngrößen der typischen Zelle Ξ∗ zu bestimmen.
• Beispielsweise können auf diese Weise die Verteilungen der Eckenzahl, der Randlänge bzw. des Flächeninhaltes von Ξ∗ bestimmt werden.
4.2
4.2.1
Campbellsche Maße; Beispiele von Palmschen Verteilungen
Produktdarstellung des reduzierten Campbellschen Maßes von Poisson–Prozessen
Wir verallgemeinern nun den Satz von Slivnyak, d.h., die in Theorem 4.5 hergeleitete Formel (19) zur Darstellung
der reduzierten Palmschen Verteilung PN! .
Dabei betrachten wir in diesem Abschnitt zunächst den Fall von beliebigen (inhomogenen) Poisson–Prozessen
{NB }. Hierfür ist der Begriff des Campbellschen Maßes bzw. des reduzierten Campbellschen Maßes von zufälligen
Zählmaßen nützlich.
Definition
Sei {NB } ein beliebiges zufälliges Zählmaß mit der Verteilung PN über N .
• Dann heißt das Maß γ : N ⊗ B(Rd ) → [0, ∞] mit
Z
γ(A × B) =
ϕ(B) 1IA (ϕ) PN (dϕ)
N
∀ A ∈ N , B ∈ B(Rd )
(30)
das Campbellsche Maß von {NB }.
• Außerdem wird das Maß γ ! : N ⊗ B(Rd ) → [0, ∞] mit
Z Z
γ ! (A × B) =
1IB (x) 1IA (ϕ − δx ) ϕ(dx) PN (dϕ)
N
Rd
∀ A ∈ N , B ∈ B(Rd )
betrachtet, das das reduzierte Campbellsche Maß von {NB } genannt wird.
(31)
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
116
Beachte Mit algebraischer Induktion kann man zeigen, dass die Definitionsgleichungen (30) und (31) von γ
bzw. γ ! äquivalent sind mit
Z
Z Z
f (ϕ, x) γ d(ϕ, x) =
f (ϕ, x) ϕ(dx) PN (dϕ)
(32)
N×Rd
bzw.
Z
N×Rd
N
f (ϕ, x) γ ! d(ϕ, x) =
Z Z
N
Rd
Rd
f (ϕ − δx , x) ϕ(dx) PN (dϕ)
(33)
für jede N ⊗ B(Rd ), B([0, ∞)) –messbare Funktion f : N × Rd → [0, ∞).
Das folgende Resultat kann als eine Verallgemeinerung der Darstellungsformel (19) aufgefasst werden, die in
Theorem 4.5 für den Fall homogener Poisson–Prozesse hergeleitet wurde.
Theorem 4.6
µ. Dann gilt
Sei {NB } ein beliebiger Poisson–Prozess mit dem (diffusen und lokal endlichen) Intensitätsmaß
γ ! = PN × µ .
Beweis
(34)
Wir zerlegen den Beweis in mehrere Schritte.
1) Zunächst zeigen wir, dass die Produktformel
γ ! (A × B) = PN (A) µ(B)
(35)
für jede beschränkte Borel–Menge B ∈ B0 (Rd ) und für jedes A ∈ N der folgenden Gestalt gilt:
A = {ϕ ∈ N : ϕ(B ′ ) = j} ,
wobei B ′ ∈ B0 (Rd ), j ∈ {0, 1, . . .}.
• Hierfür genügt es, die Gültigkeit von (35) für die Fälle
1a)
B ⊂ B′
und
1b)
B ∩ B′ = ∅
zu zeigen, weil jede Borel–Menge B ∈ B0 (Rd ) in der Form B = (B ∩ B ′ ) ∪ (B \ B ′ ) dargestellt
werden kann und weil dann
γ ! (A × B) = γ ! A × (B ∩ B ′ ) ∪ (B \ B ′ )
= γ ! A × ((B ∩ B ′ ) + γ ! A × (B \ B ′ )
= PN (A) µ(B ∩ B ′ ) + PN (A) µ(B \ B ′ )
=
PN (A) µ(B) .
• Im Fall 1a) ergibt sich aus der Definitionsgleichung (31) des reduzierten Campbellschen Maßes γ ! ,
dass
Z Z
γ ! (A × B) =
1IB (x) 1IA (ϕ − δx ) ϕ(dx) PN (dϕ)
=
N Rd
j
XZ Z
k=0
=
j Z Z
X
k=0
=
N
j Z
X
k=0
N
Rd
Rd
1IB (x) 1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B)=k, ϕ′ (B ′ \B)=j−k} (ϕ − δx ) ϕ(dx) PN (dϕ)
1IB (x) 1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B)=k+1, ϕ′ (B ′ \B)=j−k} (ϕ) ϕ(dx) PN (dϕ)
(k + 1) 1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B)=k+1, ϕ′ (B ′ \B)=j−k} (ϕ) PN (dϕ) .
N
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
117
• Hieraus und aus den Unabhängigkeits– bzw. Verteilungseigenschaften des Poisson–Prozesses {NB }
ergibt sich, dass
γ ! (A × B) =
=
j
X
(k + 1) P (N (B) = k + 1) P (N (B ′ \ B) = j − k)
k=0
µ(B)
j
X
µk (B) −µ(B)
e
P (N (B ′ \ B) = j − k)
k!
k=0
=
µ(B)
j
X
k=0
j
X
P (N (B) = k) P (N (B ′ \ B) = j − k)
P (N (B) = k, N (B ′ \ B) = j − k)
=
µ(B)
=
P (N (B ′ ) = j) µ(B) = PN (A) µ(B) .
k=0
• Im Fall 1b) ergibt sich auf ähnliche Weise aus (31), dass
Z Z
γ ! (A × B) =
1IB (x) 1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B ′ )=j} (ϕ) ϕ(dx) PN (dϕ)
d
ZN R
=
ϕ(B) 1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B ′ )=j} (ϕ) PN (dϕ)
ZN
Z
=
ϕ(B) PN (dϕ)
1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B ′ )=j} (ϕ) PN (dϕ)
N
=
N
PN (A) µ(B) .
2) Wir zeigen nun die Gültigkeit von (35) für Mengen A ∈ N der Gestalt
A = {ϕ ∈ N : ϕ(B1 ) = j1 , . . . , ϕ(Bn ) = jn } ,
(36)
wobei B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ), j1 , . . . , jn ∈ {0, 1, . . .}.
• Hierfür genügt es (ähnlich wie im ersten Beweisschritt) zu beachten, dass wir ohne Einschränkung
der Allgemeinheit voraussetzen können, dass die Mengen B1 , . . . , Bn ∈ B0 (Rd ) paarweise disjukt
sind und dass einer der beiden folgenden Fälle vorliegt:
2a)
B ⊂ Bi für ein i ∈ {1, . . . , n}
oder
2b)
B∩
n
S
i=1
Bi = ∅.
• Im Fall 2a) können wir dann genauso wie in Beweisschritt 1a) vorgehen, um die Gültigkeit von
(35) zu zeigen. Im Fall 2b) verläuft der Beweis so wie in Schritt 1b).
3) Aus der Gültigkeit von (35) für Mengen A ∈ N der Gestalt (36) ergibt sich wegen der σ–Additivität
der Maße γ ! und PN , dass (35) auch für sämtliche Mengen A ∈ R ⊂ N gilt, wobei
n
o
R = {ϕ ∈ N : ki ≤ ϕ(Bi ) < ℓi , i = 1, . . . , n}, n ≥ 1, Bi ∈ B0 (Rd ), ki , ℓi ∈ {0, 1, . . .} ∪ {∞} . (37)
4) Weil R ein Halbring ist, der die σ–Algebra N erzeugt, ergibt sich mit Hilfe des Satzes über monotone
Klassen (vgl. Lemma 3.5), dass (35) für jedes A ∈ N gilt.
5) Durch die erneute Anwendung des Satzes über monotone Klassen ergibt sich nun, dass
γ ! (C) = (PN × µ)(C)
für jedes C ∈ N ⊗ B(Rd ) gilt.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
118
Beachte
• Wenn {NB } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ ist, dann ergibt sich aus der in
Theorem 4.6 hergeleiteten Produktformel (34), dass
γ ! (A × B) = λ PN (A) νd (B)
∀ A ∈ N , B ∈ B(Rd ) .
(38)
• Außerdem ergibt sich mit Hilfe der Definitionsgleichungen (18) und (33) von PN! bzw. γ ! , dass für jedes
A∈N
Z Z
1
(18)
!
PN (A) =
1IA (Tx ϕ − δo ) ϕ(dx) PN (dϕ)
λ N [0,1]d
Z Z
1
1I d (x) 1IA (Tx (ϕ − δx )) ϕ(dx) PN (dϕ)
=
λ N Rd [0,1]
Z Z
1
f (ϕ − δx , x) ϕ(dx) PN (dϕ)
=
λ N Rd
Z
1
(33)
f (ϕ, x) γ ! d(ϕ, x)
=
λ N×Rd
wobei f (ϕ, x) = 1I[0,1]d (x)1IA (Tx ϕ).
• Hieraus ergibt sich nun mit Hilfe von (38), dass für jedes A ∈ N
Z Z
(38)
PN! (A)
=
1I[0,1]d (x)1IA (Tx ϕ) dx PN (dϕ)
d
ZN R
Z
=
1I[0,1]d (x) 1IA (Tx ϕ) PN (dϕ) dx
Rd
N
Z
Z
Stationarität von {NB }
1I[0,1]d (x) 1IA (ϕ) PN (dϕ) dx
=
Rd
=
• Dies bedeutet, dass
N
PN (A) .
PN! = PN ,
(39)
was mit einer anderen Beweistechnik bereits in Theorem 4.5 gezeigt worden ist.
4.2.2
Palmsche Verteilung von zufälligen Maßen; Cox–Prozesse
Die Formel (39) zur Darstellung der reduzierten Palmschen Verteilung PN! von homogenen Poisson–Prozessen
lässt sich als Spezialfall allgemeinerer Darstellungsformeln für die reduzierte Palmsche Verteilung von stationären
Cox–Prozessen bzw. von stationären Poissonschen Cluster–Prozessen auffassen.
Wir betrachten zunächst eine Verallgemeinerung der Formel (39) für stationäre Cox–Prozesse. Hierfür benötigen
wir den Begriff der Palmschen Verteilung von stationären (Intensitäts–) Maßen.
Definition
• Sei {ΛB } ein stationäres zufälliges Maß, beispielsweise das zufällige Intensitätsmaß eines stationären
Cox–Prozesses.
• Das Wahrscheinlichkeitsmaß PΛ0 : M → [0, 1] mit
Z Z
1
g(x)1IA (Tx η) η(dx) PΛ (dη)
PΛ0 (A) =
λ M Rd
heißt die Palmsche Verteilung des stationären zufälligen Maßes {ΛB },
∀A ∈ M
(40)
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
• wobei λ = E Λ([0, 1]d ) und g : Rd → [0, ∞) eine Borel–messbare Funktion ist mit
Z
g(x) dx = 1 .
119
(41)
Rd
Beachte
• Man kann sich leicht überlegen, dass das in (40) gegebene Wahrscheinlichkeitsmaß PΛ0 nicht von der
Wahl der Funktion g : Rd → [0, ∞) abhängt.
• Insbesondere kann g(x) = 1IB (x)/νd (B) gesetzt werden für jede beschränkte Borel–Menge B ∈ B0 (Rd )
mit 0 < νd (B) < ∞.
• Dann wird klar, dass (40) eine Verallgemeinerung der Definitionsgleichung (6) für die Palmsche Verteilung von stationären Zählmaßen ist.
• Mit algebraischer Induktion kann man zeigen, dass die Definitionsgleichung (40) der Palmschen Verteilung PΛ0 des stationären zufälligen Maßes {ΛB } äquivalent ist mit
Z Z
Z Z
1
f (Tx η, x) η(dx) PΛ (dη)
(42)
f (η, x) dx PΛ0 (dη) =
λ M Rd
M Rd
für jede (M ⊗ B(Rd ), B([0, ∞)))–messbare Funktion f : M × Rd → [0, ∞).
Ein wichtiger Spezialfall liegt dann vor,
• wenn die Realisierungen des zufälligen Maßes {ΛB } mit Wahrscheinlichkeit 1 absolutstetig bezüglich des
d–dimensionalen Lebesgue–Maßes sind, d.h.,
• wenn es ein zufälliges Feld {λx , x ∈ Rd } gibt, dessen Realisierungen Borel–messbare und lokal–integrierbare
nichtnegative Funktionen sind, so dass mit Wahrscheinlichkeit 1
Z
λx dx < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(43)
ΛB =
B
• Eine Klasse von Beispielen hierfür liefern die zufälligen Intensitätsmaße von modulierten Poisson–Prozessen,
vgl. Abschnitt 3.2.3.
Für stationäre zufällige Maße {ΛB } mit absolutstetigen Realisierungen lässt sich die Definitionsgleichung (40) der
Palmschen Verteilung PΛ0 wie folgt vereinfachen.
Theorem 4.7 Sei {λx , x ∈ Rd } ein stationäres zufälliges Feld, dessen Realisierungen Borel–messbare und
lokal–integrierbare nichtnegative Funktionen sind, und das stationäre zufällige Maß {ΛB } sei durch (43) gegeben.
Dann gilt
1
∀A ∈ M.
(44)
PΛ0 (A) = E 1IA ({ΛB })λo
λ
Beweis
• Für die in (40) betrachtete Funktion g : Rd → [0, ∞) setzen wir g(x) = 1I[0,1]d (x) für jedes x ∈ Rd .
• Wegen (43) lässt sich dann die rechte Seite von (40) wie folgt schreiben:
Z Z
1
PΛ0 (A) =
g(x)1IA (Tx η) η(dx) PΛ (dη)
λ M Rd
Z Z
1
dη
(x) dx PΛ (dη)
1IA (Tx η)
=
λ M [0,1]d
dx
Z Z
d Tx η
1
=
1IA (Tx η)
(o) dx PΛ (dη) .
λ M [0,1]d
dx
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
• Hieraus ergibt sich durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge, dass für jedes A ∈ M
Z
Z
d Tx η
1
0
PΛ (A)
=
(o) PΛ (dη) dx
1IA (Tx η)
λ [0,1]d M
dx
Z
Z
Stationarität von {ΛB } 1
dη
=
(o) PΛ (dη) dx
1IA (η)
λ [0,1]d M
dx
Z
1
dη
1
(o) PΛ (dη) =
E 1IA ({ΛB })λo .
1IA (η)
=
λ M
dx
λ
120
Beispiel
• Wir betrachten das Intensitätsfeld von modulierten Poisson–Prozessen, vgl. Abschnitt 3.2.3.
• D.h., das zufällige Feld {λx , x ∈ Rd } sei gegeben durch den Ansatz

 λ , falls x ∈ Ξ,
1
λx =
 λ , falls x 6∈ Ξ,
(45)
2
– wobei λ1 , λ2 ∈ (0, ∞) beliebige Zahlen mit max{λ1 , λ2 } > 0 sind,
S∞
– die (zufällige) Menge Ξ gegeben ist durch Ξ = n=1 B(Sn , r),
– und {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ0 ∈ (0, ∞) ist.
• Dann ergibt sich aus (44) und (45), dass
PΛ0 (A)
λ1 E 1IA ({ΛB })1IΞ (o) + λ2 E 1IA ({ΛB })1IΞc (o)
=
λ1 1 − exp(−λ0 κd rd ) + λ2 exp(−λ0 κd rd )
∀A ∈ M.
(46)
• Denn für jedes A ∈ M gilt
PΛ0 (A)
=
=
=
1
E 1IA ({ΛB })λo
λ
λ1 E 1IA ({ΛB })1IΞ (o) + λ2 E 1IA ({ΛB })1IΞc (o)
λ1 E 1IΞ (o) + λ2 E 1IΞc (o)
λ1 E 1IA ({ΛB })1IΞ (o) + λ2 E 1IA ({ΛB })1IΞc (o)
,
λ1 1 − exp(−λ0 κd rd ) + λ2 exp(−λ0 κd rd )
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Formel (3.67) in Lemma 3.3 ergibt und κd das Volumen der
d–dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Wir leiten nun eine Verallgemeinerung des Satzes von Slivnyak (vgl. Formel (19) in Theorem 4.5) für die reduzierte
Palmsche Verteilung von stationären Cox–Prozessen her.
Theorem 4.8 Sei {NB } ein stationärer Cox–Prozess mit dem (stationären) zufälligen Intensitätsmaß {ΛB }.
Dann ist die reduzierte Palmsche Verteilung PN! : N → [0, 1] von {NB } gegeben durch
Z
!
PN (A) =
Qη (A) PΛ0 (dη)
∀A ∈ N ,
(47)
M
wobei Qη : N → [0, 1] die Verteilung eines Poisson–Prozesses mit dem Intensitätsmaß η bezeichnet.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
121
Beweis
• Die Definitionsgleichungen (3.25) bzw. (3.26) des Cox–Prozesses {NB } sind äquivalent mit
Z
Qη (A) PΛ (dη)
∀A ∈ N .
PN (A) =
(48)
M
• Hieraus und aus der Definitionsgleichung (18) von PN! ergibt sich, dass für jedes A ∈ N
Z Z
1
(18)
PN! (A) =
1IA (Tx ϕ − δo ) ϕ(dx) PN (dϕ)
λ N [0,1]d
Z Z Z
1
(48)
=
1IA (Tx ϕ − δo ) ϕ(dx) Qη (dϕ) PΛ (dη)
λ M N [0,1]d
Z Z Z
1
=
1I[0,1]d (x)1IA Tx (ϕ − δx ) ϕ(dx) Qη (dϕ) PΛ (dη)
λ M N Rd
Z Z
1
(33)
1I d (x)1IA (Tx ϕ) γη! (d(ϕ, x)) PΛ (dη) ,
=
λ M N×Rd [0,1]
wobei γη! das reduzierte Campbellsche Maß eines (im allgemeinen inhomogenen) Poisson–Prozesses mit
dem Intensitätsmaß η bezeichnet.
• Aus der Darstellungsformel (34) für das reduzierte Campbellsche Maß γη! , die in Theorem 4.6 hergeleitet
worden ist, ergibt sich nun, dass
Z Z Z
1
(34)
PN! (A) =
1I d (x)1IA (Tx ϕ) Qη (dϕ) η(dx) PΛ (dη)
λ M Rd N [0,1]
Z Z
1
=
1I d (x) Qη (T−x A) η(dx) PΛ (dη)
λ M Rd [0,1]
Z Z
1
1I d (x) QTx η (A) η(dx) PΛ (dη)
=
λ M Rd [0,1]
Z
(42)
=
Qη (A) PΛ0 (dη) ,
M
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Definitionsgleichung (42) der Palmschen Verteilung PΛ0 von
{ΛB } ergibt.
Beachte
Aus der in Theorem 4.8 hergeleiteten Darstellungsformel (47) ergibt sich insbesondere,
• dass die reduzierte Palmsche Verteilung PN! des stationären Cox–Prozesses {NB } erneut die Verteilung
eines Cox–Prozesses ist,
• wobei die Verteilung des zugehörigen zufälligen Intensitätsmaßes durch die Palmsche Verteilung PΛ0
von {ΛB } gegeben ist.
4.2.3
Beispiele: modulierte Poisson–Prozesse, Cox–Prozesse auf Poissonschen Geradensystemen
1. Modulierte Poisson–Prozesse
• Wir betrachten das stationäre zufällige Feld
{λx , x ∈ Rd }, wobei λx in (45) gegeben ist, und das
R
stationäre zufällige Maß {ΛB } mit ΛB = B λx dx für jedes B ∈ B(Rd ).
• Dann ist die Palmsche Verteilung PΛ0 von {ΛB } durch (46) gegeben, d.h.,
λ1 E 1IA ({ΛB })1IΞ (o) + λ2 E 1IA ({ΛB })1IΞc (o)
PΛ0 (A) =
λ1 1 − exp(−λ0 κd rd ) + λ2 exp(−λ0 κd rd )
∀A ∈ M.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
122
• Hieraus und aus Theorem 4.8 folgt, dass die reduzierte Palmsche Verteilung PN! des stationären Cox–
Prozesses {NB } mit dem Intensitätsmaß {ΛB } gegeben ist durch
Z
Z
!
PN (A) = pc
Qη (A) PΛ|o∈Ξ (dη) + (1 − pc )
Qη (A) PΛ|o6∈Ξ (dη) ,
(49)
M
M
wobei
λ1 1 − exp(−λ0 κd rd )
,
pc =
λ
und
λ = λ1 1 − exp(−λ0 κd rd ) + λ2 exp(−λ0 κd rd )
PΛ|o∈Ξ (A) = P {ΛB } ∈ A | o ∈ Ξ ,
PΛ|o6∈Ξ (A) = P {ΛB } ∈ A | o 6∈ Ξ
(50)
(51)
• Denn aus (46) und (47) ergibt sich, dass für jedes A ∈ N
Z
(47)
PN! (A) =
Qη (A) PΛ0 (dη)
M
Z
Z
Qη (A) E {ΛB } ∈ dη, o 6∈ Ξ
Qη (A) E {ΛB } ∈ dη, o ∈ Ξ + λ2
λ1
(46)
M
M
=
λ1 1 − exp(−λ0 κd rd ) + λ2 exp(−λ0 κd rd )
Z
λ1 1 − exp(−λ0 κd rd )
=
Qη (A) PΛ|o∈Ξ (dη)
λ
M
Z
λ2 exp(−λ0 κd rd )
Qη (A) PΛ|o6∈Ξ (dη) .
+
λ
M
• Beachte: Die in (50) eingeführte Größe pc kann als
– bedingte Überdeckungswahrscheinlichkeit des Nullpunktes durch die zufällige Menge
Ξ=
∞
[
B(Sn , r)
n=1
aufgefasst werden, und zwar unter der Bedingung, dass in einer infinitesimal kleinen Umgebung
des Nullpunktes ein Punkt von {NB } liegt.
– Dies ergibt sich aus der Definitionsgleichung (6) der Palmschen Verteilung PN0 des modulierten
Poisson–Prozesses {NB } mit Hilfe der lokalen Charakterisierung Palmscher Wahrscheinlichkeiten,
die in Abschnitt 4.1.2 diskutiert worden ist.
– Dabei ist die in (50) betrachtete Größe λ die Intensität des modulierten Poisson–Prozesses {NB }.
2. Cox–Prozesse auf Poissonschen Geradensystemen; Poissonsche Geradenmosaike
• Sei λℓ > 0 eine beliebige positive Zahl. Wir führen zunächst den Begriff des homogenen (und isotropen)
Poissonschen Geradenprozesses im R2 mit der Intensität λℓ ein.
– Hierfür betrachten wir den unabhängig markierten Poisson–Prozess {(Rn , Vn )}, wobei
(i) {Rn , n ≥ 1} ein homogener Poisson–Prozess in R mit der Intensität λℓ ist,
(ii) {Vn } eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten (nichtnegativen) Zufallsvariablen
ist mit Vn ∼ U ([0, π)),
(iii) und die beiden Folgen {Rn } und {Vn } unabhängig sind.
– Für jedes n ≥ 1 betrachten wir die (zufällige) Gerade ℓRn ,Vn in R2 mit
ℓRn ,Vn = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 cos Vn + x2 sin Vn = Rn } .
S∞
– Dann sagt man, dass die (zufällige) Menge Xℓ = n=1 ℓRn ,Vn ein Poissonscher Geradenprozess im
R2 mit der Intensität λℓ ist.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
123
• Beachte:
– Man kann zeigen, dass
2
λℓ = E ν1 (Xℓ ∩ B)
(52)
für jedes B ∈ B(R ) mit ν2 (B) = 1 gilt, wobei ν1 (Xℓ ∩ B) die Gesamtstreckenlänge von Xℓ
in der Borel–Menge B bezeichnet, d.h., λℓ ist die erwartete Gesamtstreckenlänge von Xℓ pro
Flächeneinheit,
– und dass durch den Poissonschen Geradenprozess Xℓ eine Folge {Ξn , n ≥ 1} von (zufälligen)
kompakten und konvexen Polygonen induziert wird, so dass
(i) int Ξi ∩ int Ξj = ∅ für beliebige i, j ≥ 1 mit i 6= j,
S∞
S∞
2
(ii)
n=1 Ξn = R und
n=1 ∂Ξn = Xℓ ,
– Beachte: Aus den Eigenschaften (i) und (ii) ergibt sich insbesondere, dass [x, x′ ] ∩ Xℓ = ∅ für
beliebige x, x′ ∈ int Ξn und n ≥ 1.
– Dabei sagt man, dass {Ξn , n ≥ 1} ein (stationäres und isotropes) Poissonsches Geradenmosaik
mit der Intensität λℓ ist. Die zufäligen Polygone Ξ1 , Ξ2 , . . . werden die Zellen des Mosaiks genannt,
vgl. Abbildung 20.
Abbildung 20: Zelle eines Poissonschen Geradenmosaiks
• Sei λ(1) > 0 eine beliebige positive Zahl, und das stationäre zufällige Maß {ΛB } sei gegeben durch
ΛB = λ(1) ν1 (Xℓ ∩ B)
∀ B ∈ B(R2 ) .
(53)
– Eine Realisierung eines Cox–Prozesses mit dem in (53) betrachteten zufälligen Intensitätsmaß
{ΛB } ist in Abbildung 21 gegeben.
– Ähnlich wie beim Beweis des Satzes von Slivniak (vgl. die Beweise der Theoreme 4.5 bzw. 4.8)
ergibt sich
(i) aus den Unabhängigkeitseigenschaften
des Poisson–Prozesses {(Rn , Vn )}, der den Poissonschen
S∞
Geradenprozess Xℓ = n=1 ℓRn ,Vn generiert,
(ii) und aus der Definitionsgleichung (40) der Palmschen Verteilung PΛ0 des stationären zufälligen
Maßes {ΛB },
– dass die Palmsche Verteilung PΛ0 gegeben ist durch
PΛ0 (A) = P ({Λ0B } ∈ A)
∀A ∈ M,
wobei
Λ0B = λ(1) ν1 (ℓo,V0 ∪ Xℓ ) ∩ B
(54)
(55)
und V0 : Ω → [0, π) eine nichtnegative Zufallsvariable mit V0 ∼ U ([0, π)) ist, die von {(Rn , Vn )}
unabhängig ist.
• Beachte: Die in (54) und (55) gegebene Palmsche Verteilung PΛ0 von {ΛB } ist die Verteilung des
zufälligen Maßes {Λ0B }, dass sich ergibt, indem
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
124
– nicht nur die Gesamtstreckenlänge ΛB des Poissonschen Geradenprozesses Xℓ in B,
– sondern außerdem noch die Länge der Schnittmenge ℓo,V0 ∩ B betrachtet wird, die durch die
zusätzlich hinzugefügte (und durch den Nullpunkt verlaufende) Gerade ℓo,V0 entsteht.
• Hieraus und aus Theorem 4.8 folgt,
– dass die reduzierte Palmsche Verteilung PN! des stationären Cox–Prozesses {NB } mit dem Intensitätsmaß {ΛB } gegeben ist
– durch die Verteilung der Vereinigungsmenge der Atome der (linearen) homogenen Poisson–Prozesse
mit der Intensität λ(1) , die auf den Geraden des Geradenprozesses ℓo,V0 ∪ Xℓ liegen.
Abbildung 21: Cox–Prozess auf Poissonschem Geradensystem
4.2.4
Typische Zelle von Cox–Voronoi–Mosaiken; Simulationsalgorithmen
In diesem Abschnitt betrachten wir Voronoi–Mosaike, die durch Cox–Prozesse generiert werden, und sprechen
deshalb von Cox–Voronoi–Mosaiken. Insbesondere betrachten wir Cox–Voronoi–Mosaike, die durch modulierte
Poisson–Prozesse bzw. durch Cox–Prozesse auf Poissonschen Geradensystemen generiert werden.
1. Modulierte Poisson–Prozesse
• Sei {Sen } eine messbare Indizierung der Atome eines modulierten Poisson–Prozesses {NB }, und sei
{Ξn } das zugehörige Cox–Voronoi–Mosaik, d.h.,
Ξn = x ∈ Rd : |x − Sen | ≤ |x − Sem | ∀ m 6= n ,
(56)
wobei man sich leicht überlegen kann, dass die in (56) gegebenen Zellen Ξn mit Wahrscheinlichkeit 1
kompakte und konvexe Polygone sind.
• Aus der Darstellungsformel (49) für die reduzierte Palmsche Verteilung PN! des Cox–Prozesses {NB }
ergibt sich, dass
– dass die Verteilung der typischen Zelle des Cox–Voronoi–Mosaiks {Ξn }, d.h., die Verteilung der
Zelle des typischen Punktes des Cox–Prozesses {NB }, gegeben ist
– durch die Verteilung der (zufälligen) Voronoi–Zelle
Ξ∗ = x ∈ Rd : |x| ≤ |x − Sn! | ∀ n ≥ 1
(57)
des Nullpunktes o ∈ Rd bezüglich der Punkte {Sn! } des Cox–Prozesses {NB! } mit der in (49)–(51)
gegebenen Verteilung PN! .
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
125
Dies führt zu dem folgenden Algorithmus zur Monte–Carlo–Simulation der typischen Zelle Ξ∗ des Cox–
Voronoi–Mosaiks {Ξn }, der auf der radialen Simulation der Punkte {Sn! } des Cox–Prozesses {NB! } beruht.
Dabei beschränken wir uns hier auf die Beschreibung des planaren Falles d = 2.
• Wegen der in (49)–(51) gegebenen Darstellung der Verteilung PN! wird zunächst
– ein Bernoulli–Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit pc durchgeführt,
– um zwischen
S∞ den beiden Fällen unterscheiden zu können, ob der Nullpunkt von der zufälligen
Menge n=1 B(Sn , r) überdeckt wird oder nicht,
– wobei pc die in (50) gegebene bedingte Überdeckungswahrscheinlichkeit ist und {Sn } die radiale
Indizierung der Atome eines homogenen Poisson–Prozesses mit der Intensität λ0 ist.
• Wenn o ∈ Ξ, dann wird die Zufallsvariable |S1 | unter der Bedingung simuliert, dass |S1 | ≤ r. Ansonsten
(d.h., wenn o 6∈ Ξ) wird |S1 | unter der Bedingung simuliert, dass S1 > r.
– Hierfür kann der in Abschnitt 2.2.1 dargelegte Algorithmus zur radialen Simulation von homogenen
Poisson–Prozessen verwendet werden, zusammen mit dem üblichen Akzeptanz– und Verwerfungsverfahren.
– D.h., wenn beispielsweise |S1 | unter der Bedingung |S1 | ≤ r simuliert werden soll, dann wird eine
Realisierung von |S1 | akzeptiert, wenn |S1 | ≤ r.
– Ansonsten (d.h., wenn |S1 | > r) wird die Realisierung von |S1 | verworfen und eine neue Realisierung
von |S1 | generiert, usw.
– Danach wird der Winkel U1 mit U1 ∼ U ([0, 2π)) simuliert, wodurch sich der Punkt S1 mit der
Darstellung S1 = (|S1 |, U1 ) in Polarkoordinaten ergibt.
– Später werden (falls erforderlich) noch die Abstände |S2 |, |S3 |, . . . und die Winkel U2 , U3 , . . . von
weiteren Punkten generiert, und zwar so wie dies in Abschnitt 2.2.1 beschrieben wurde.
• Bei der Simulation der Punkte {Sn! } des Cox–Prozesses {NB! } kann man nun wie folgt vorgehen.
– Zunächst wird der Punkt S1′ eines homogenen Poisson–Prozesses {Sn′ } im R2 mit der Intensität
λmax = max{λ1 , λ2 } generiert, der den kleinsten Abstand vom Nullpunkt hat, wobei wir (o.B.d.A.)
annehmen, dass λ1 > λ2 .
S∞
(i) Dabei wird geprüft, ob S1′ ∈ n=1 B(Sn , r).
(ii) Wenn S1′ ∈ B(S1 , r), dann wird S1′ akzeptiert und S1! = S1′ gesetzt.
(iii) Ansonsten werden weitere Abstände |S2 |, |S3 |, . . . , |Sn | und Winkel U2 , U3 , . . . , Un generiert, so
lange bis |Sn | > S1′ + r.
Sn−1
(iv) Wenn S1′ ∈ i=1 B(Si , r), dann wird S1′ akzeptiert und S1′ = S1! gesetzt.
Sn−1
(v) Ansonsten, d.h., wenn S1′ 6∈ i=1 B(Si , r), wird ein Bernoulli–Experiment durchgeführt, wobei
S1′ mit der Wahrscheinlichkeit λ2 /λ1 verworfen wird.
Sn
– Danach wird S2′ generiert und geprüft, ob S2′ ∈ i=1 B(Si , r).
Sn
(i) Wenn S2′ ∈ i=1 B(Si , r), dann wird S2′ akzeptiert.
(ii) Ansonsten werden weitere Abstände |Sn+1 |, . . . , |Sn+m | und Winkel Un+1 . . . , Un+m generiert,
bis |Sn+m | > S2′ + r.
Sn+m−1
(iii) Wenn S2′ ∈ i=1
B(Si , r), dann wird S2′ akzeptiert, und wir setzen

 S ! , falls S ′ gelöscht wurde,
1
1
S2′ =
 S ! , falls S ′ akzeptiert wurde.
2
1
(iv) Ansonsten wird erneut ein Bernoulli–Experiment durchgeführt, wobei S2′ mit der Wahrscheinlichkeit λ2 /λ1 verworfen wird.
– Auf die gleiche Weise wird S3′ generiert und geprüft, ob S3′ ein Atom des Cox–Prozesses {NB! } ist,
usw.
• Genauso wie bei der Simulation der typischen Zelle von Poisson–Voronoi-Mosaiken wird die folgende
Stoppregel verwendet; vgl. Abschnitt 4.1.4:
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
126
– Die radiale Generierung von Punkten {Sn! } des Cox–Prozesses {NB! } zunächst so lange fortgesetzt, bis sich durch die Mittelsenkrechten der Strecken (o, S1! ), (o, S2! ), . . . ein beschränktes (und
konvexes) Polygon um den Nullpunkt bilden lässt, das Initialzelle genannt wird.
– Danach wird geprüft, ob die Initialzelle mit der in (57) gegebenen typischen Zelle Ξ∗ übereinstimmt
oder ob die Initialzelle noch (so wie in Abschnitt 4.1.4) durch die Erzeugung weiterer Punkte des
Cox–Prozesses {NB! } verkleinert werden muss.
2. Cox–Prozesse auf Poissonschen Geradensystemen
• Sei {NB } ein stationärer Cox–Prozess, dessen zufälliges Intensitätsmaß {ΛB } durch (53) gegeben ist,
und sei Ξ∗ die Voronoi–Zelle
Ξ∗ = x ∈ Rd : |x| ≤ |x − Sn! | ∀ n ≥ 1
(58)
des Nullpunktes o ∈ R2 bezüglich der Punkte {Sn! } des Cox–Prozesses {NB! }, dessen zufälliges Intensitätsmaß {Λ0B } durch (55) gegeben ist.
– Die Darstellungsformel (55) von {Λ0B } führt nun zu dem folgenden Algorithmus zur Simulation
der (typischen) Voronoi–Zelle Ξ∗ , wobei wir die Tatsache nutzen,
– dass die Verteilung von {Sn! } mit der Verteilung der Vereinigungsmenge der Atome der (linearen) homogenen Poisson–Prozesse mit der Intensität λ(1) übereinstimmt, die auf den Geraden des
Geradenprozesses ℓo,V0 ∪ Xℓ liegen (vgl. Abschnitt 4.2.3).
• So wie bisher besteht der Algorithmus aus zwei Teilen, wobei zuerst die Initialzelle generiert wird.
– Hierfür wird zunächst eine Realisierung des Winkels V0 ∼ U ([0, π)) generiert.
– Anschließend wird jeweils eine Realisierung der (unabhängigen) Zufallsvariablen |S0+ | und |S0− |
generiert, wobei |S0+ |, |S0− | ∼ Exp (λ(1) ).
– Damit sind die Punkte S0+ = (|S0+ |, V0 ) und S0− = (−|S0− |, V0 ) auf der Geraden ℓ0 = ℓo,V0 gegeben,
die dem Nullpunkt am nächsten liegen.
– Danach wird die Gerade ℓ1 = ℓR1 ,V1 generiert und der Schnittpunkt ℓ0 ∩ ℓ1 bestimmt.
– Genauso wie S0+ und S0− werden nun die beiden Punkte S1+ und S1− auf der Geraden ℓ1 generiert,
die dem Schnittpunkt ℓ0 ∩ ℓ1 am nächsten liegen.
– Man kann sich leicht überlegen, dass sich aus den Mittelsenkrechten der Strecken (o, S0+ ), (o, S0− ),
(o, S1+ ) und (o, S1− ) ein beschränktes (und konvexes) Polygon um den Nullpunkt bilden lässt.
– D.h., bei Cox–Prozessen auf Poissonschen Geradensystemen werden stets nur vier Punkte zur
Konstruktion der Initialzelle benötigt.
• Danach wird wiederum geprüft, ob die Initialzelle mit der in (58) gegebenen typischen Zelle Ξ∗ übereinstimmt oder ob die Initialzelle noch (so wie in Abschnitt 4.1.4) durch die Erzeugung weiterer Punkte
des Cox–Prozesses {NB! } verkleinert werden muss.
4.2.5
Poissonsche Cluster–Prozesse
In diesem Abschnitt betrachten wir die Palmsche Verteilung PN0 von stationären Poissonschen Cluster–Prozessen,
die in Abschnitt 3.3.1 eingeführt worden sind. Dabei leiten wir eine Darstellungsformel für PN0 her, die als eine
weitere Verallgemeinerung des Satzes von Slivnyak (vgl. Formel (19) in Theorem 4.5) aufgefasst werden kann.
• Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein stationärer Poissonscher Cluster–Prozess mit
NB =
∞
X
n=1
(n)
NB−Sn
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(59)
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
127
– wobei {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ0 ist
(1)
(2)
– und {NB }, {NB }, . . . eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Punktprozessen ist, die von
{Sn } unabhängig sind und deren Intensitätsmaß {µ(1) (B), B ∈ B(Rd )} endlich ist, d.h., µ(1) (Rd ) < ∞.
• Zur Erinnerung:
– Die Intensität λ von {NB } ist gegeben durch λ = λ0 µ(1) (Rd ), vgl. Theorem 3.14.
– Außerdem ist das erzeugende Funktional G : H → [0, 1] von {NB } gegeben durch
!
Z [x]
G(f ) = exp λ0
G (f ) − 1 dx
∀f ∈ H,
(60)
Rd
– wobei G[x] : H → [0, 1] das erzeugende Funktional des (um den Vektor x ∈ Rd verschobenen Sekundär–)
(1)
Punktprozesses {NB−x , B ∈ B(Rd )} ist, vgl. Korollar 3.3.
• Um eine Darstellungsformel für die Palmsche Verteilung PN0 von {NB } herleiten zu können, führen wir das
Wahrscheinlichkeitsmaß Pe : N → [0, 1] ein, wobei
Z Z
1
Pe(A) = (1) d
1IA (Tx ϕ) ϕ(dx) PN (1) (dϕ)
∀A ∈ N
(61)
µ (R ) N Rd
(1)
(2)
und PN (1) die Verteilung der Sekundärprozesse {NB }, {NB }, . . . bezeichnet.
Das folgende Resultat kann als Verallgemeinerung des Satzes von Slivnyak (vgl. Formel (19) in Theorem 4.5)
aufgefasst werden.
Theorem 4.9
eB } ein zufälliger Punkt• Sei {NB0 } ein zufälliger Punktprozess mit der Palmschen Verteilung PN0 , und sei {N
e
prozess mit der in (61) eingeführten Verteilung P , der über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum wie {NB }
gegeben und von {NB } unabhängig ist.
• Dann gilt
D
eB , B ∈ B(Rd )} .
{NB0 , B ∈ B(Rd )} = {NB + N
(62)
Beweis
• Es genügt zu zeigen, dass für jede N , B([0, ∞)) –messbare Funktion g : N → [0, ∞)
Z Z
Z
0
g(ϕ′ + ϕ′′ ) Pe(dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) .
g(ϕ) PN (dϕ) =
N
N
(63)
N
• Für jedes ϕ ∈ N, so dass ϕ({x}) ≤ 1 für jedes x ∈ Rd , sei das Wahrscheinlichkeitsmaß P (ϕ) : N → [0, 1]
gegeben durch
d
ϕ(R
X) (n)
[ϕ]
P (A) = P
∀A ∈ N ,
(64)
NB−sn ∈ A
n=1
wobei s1 , s2 , . . . eine messbare Indizierung der Atome von ϕ ist.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
128
• Dann ergibt sich aus der Definitionsgleichung
(59) des stationären Poissonschen Cluster–Prozesses
{NB }, dass für jede N ⊗ B(Rd ), B([0, ∞)) –messbare Funktion f : N × Rd → [0, ∞)
Z Z
Z Z Z
f (ϕ, x) ϕ(dx) PN (dϕ) =
f (ϕ′ , x) ϕ′ (dx) P [ϕ] (dϕ′ ) P0 (dϕ) ,
N
Rd
N
N
Rd
wobei P0 die Verteilung des Poissonschen Primärprozesses {Sn } bezeichnet.
(1)
(2)
• Hieraus und aus der Unabhängigkeit der Sekundärprozesse {NB }, {NB }, . . . ergibt sich mit Hilfe der
Definitionsgleichung (33) für das reduzierte Campbellsche Maß γP! 0 des Poissonschen Primärprozesses
{Sn }, dass
Z Z
f (ϕ, x) ϕ(dx) PN (dϕ)
N
Rd
=
(33)
=
Theorem 4.6
=
Z X
∞ Z Z Z
Z
N n=1
N×Rd
λ0
Z
Rd
N
N
Z Z Z
Rd
f (ϕ′ + ϕ′′ , x) ϕ′′ (dx) P [δsn ] (dϕ′′ ) P [ϕ−δsn ] (dϕ′ ) P0 (dϕ)
f (ϕ′ + ϕ′′ , x) ϕ′′ (dx) P [δy ] (dϕ′′ ) P [ϕ−δy ] (dϕ′ ) γP! 0 (d(ϕ, y))
d
Z NZN ZR Z
f (ϕ′ + ϕ′′ , x) ϕ′′ (dx) P [δy ] (dϕ′′ ) P [ϕ] (dϕ′ ) P0 (dϕ) dy ,
N
N
N
Rd
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Produktdarstellung des reduzierten Campbellschen Maßes γP! 0
des (homogenen) Poisson–Prozesses {Sn } ergibt, die in Theorem 4.6 hergeleitet worden ist.
• Durch die erneute Anwendung der Definitionsgleichung (59) des stationären Poissonschen Cluster–
Prozesses {NB } ergibt sich nun, dass
Z Z
f (ϕ, x) ϕ(dx) PN (dϕ)
N Rd
Z Z Z Z
=
λ0
f (ϕ′ + ϕ′′ , x) ϕ′′ (dx) P [δy ] (dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) dy
Rd N N Rd
Z Z Z Z
=
λ0
f (ϕ′ + Ty ϕ′′ , x − y) ϕ′′ (dx) P [δo ] (dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) dy
Rd N N Rd
Z Z Z Z
=
λ0
f (ϕ′ + Tx−y ϕ′′ , y) ϕ′′ (dx) P [δo ] (dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) dy
d
d
R
N N R
Z Z Z Z
Stationarität von {NB }
f (T−y ϕ′ + Tx ϕ′′ , y) ϕ′′ (dx) P [δo ] (dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) dy
=
λ0
Rd N N Rd
Z Z Z
(61)
f (T−y ϕ′ + ϕ′′ , y) Pe (dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) dy .
=
λ0 µ(1) (Rd )
Rd
N
N
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Definitionsgleichung (61) des Wahrscheinchlichkeitsmaßes Pe
ergibt.
• Wegen λ = λ0 µ(1) (Rd ) ergibt sich somit, dass
Z Z Z
Z Z
f (T−y ϕ′ + ϕ′′ , y) Pe(dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) dy .
(65)
f (ϕ, x) ϕ(dx) PN (dϕ) = λ
N
Rd
Rd
N
N
• Andererseits ergibt sich aus der Definitionsgleichung (6) der Palmschen Verteilung PN0 von {NB } (vgl.
auch die Formel (42)), dass
Z Z
Z Z
1
0
f (Tx ϕ, x) ϕ(dx) PN (dϕ)
f (ϕ, x) dx PN (dϕ) =
λ N Rd
N Rd
bzw.
λ
Z Z
N
Rd
f (T−x ϕ, x) dx PN0 (dϕ) =
Z Z
N
f (ϕ, x) ϕ(dx) PN (dϕ)
Rd
für jede (N ⊗ B(Rd ), B([0, ∞)))–messbare Funktion f : N × Rd → [0, ∞).
(66)
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
129
• Insgesamt ergibt sich somit aus (65) und (66), dass für jede (N ⊗ B(Rd ), B([0, ∞)))–messbare Funktion
g : N × Rd → [0, ∞)
Z Z
Z Z Z
g(ϕ, x) dx PN0 (dϕ) =
g(ϕ′ + ϕ′′ , y) Pe (dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) dy
N
Rd
Rd
N
N
bzw. für jede (N , B([0, ∞)))–messbare Funktion g : N → [0, ∞)
Z
Z Z
g(ϕ) PN0 (dϕ) =
g(ϕ′ + ϕ′′ ) Pe(dϕ′′ ) PN (dϕ′ ) .
N
N
N
Beachte
• Theorem 4.9 kann als eine Verallgemeinerung des Satzes von Slivnyak (vgl. Formel (20) in Theorem 4.5)
aufgefasst werden. Denn in dem Spezialfall, dass Pe = δδo , ergibt sich aus Theorem 4.9 insbesondere,
dass PN0 = PN ∗ δδo .
• Weil das Produkt der erzeugenden Funktionale zweier unabhängiger Punktprozesse mit dem erzeugenden Funktional ihrer Summe (im Sinne der Addition zufälliger Zählmaße) übereinstinmmt, ergibt sich
aus Theorem 4.9 die folgende Darstellungsformel
e )
G0 (f ) = G(f ) G(f
(67)
∀f ∈ H
für das erzeugende Funktional G0 : H → [0, 1] der Palmschen Verteilung PN0 , wobei
Z
Z
G0 (f ) =
exp
log f (x) ϕ(dx) PN0 (dϕ)
∀f ∈ H
N
Rd
e die erzeugenden Funktionale von PN bzw. Pe sind.
und G bzw. G
• Ähnlich wie für die in Abschnitt4.2.4 betrachteten Cox–Voronoi–Mosaike lässt sich mit Hilfe von Theorem 4.9 ein Algorithmus zur Simulation der typischen Zelle von Voronoi–Mosaiken herleiten, die durch
stationäre Poissonsche Cluster–Prozesse generiert werden.
(1)
– Dabei muss lediglich vorausgesetzt werden, dass die Verteilung des Sekundärprozesses {NB } und
damit auch die in (61) eingeführte Verteilung Pe eine hinreichende einfache (implementierbare)
Gestalt hat.
– Beispiele, für die dies zutrifft, sind die in Abschnitt 3.2.3 eingeführten Matérn–Cluster–Prozesse
bzw. die in Abschnitt 3.3.3 eingeführten Gauß–Poisson–Prozesse.
4.2.6
Gibbs–Prozesse
Hier soll noch ein Abschnitt über (unendliche) stationäre Gibbs–Prozesse in unbeschränkten Gebieten eingefügt
werde, wobei Eigenschaften der Palmschen Vereteilung solcher Gibbs–Prozesse dikutiert werden.
4.3
Weitere Kenngrößen von Punktprozessen und ihre Schätzer
• In diesem Abschnitt betrachten wir Kenngrößen von stationären zufälligen Zählmaßen, die zur statistischen
Analyse der Struktureigenschaften von unregelmäßigen Punktmustern genutzt werden können.
• Dabei führen wir zunächst den Begriff der Kontaktverteilungsfunktion ein, die zur Analyse der geometrischen
Beschaffenheit der Leerbereiche zwischen den Punkten geeignet ist. Danach betrachten wir Kenngrößen von
stationären zufälligen Zählmaße, die sich mit Hilfe ihrer Palmschen Verteilung ausdrücken lassen.
• Insbesondere untersuchen wir Eigenschaften von nichtparametrischen Schätzern dieser Kenngrößen, die die
Form von so genannten Summary–Staistiken haben.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
4.3.1
130
Kontaktverteilungsfunktion; Minus–Sampling
Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein (einfaches) stationäres zufälliges Zählmaß mit der Intensität λ ∈ (0, ∞), und sei {Sn }
eine messbare Indizierung seiner Atome. Dabei setzen wir stets voraus, dass P (NRd = 0) = 0.
Definition
• Für jedes x ∈ Rd betrachten wir die Zufallsvariable Zx : Ω → [0, ∞) mit
(68)
Zx = min{r ≥ 0 : NB(x,r) > 0} = min |x − Sn | ,
n≥1
die sphärischer Kontaktabstand des Punktes x ∈ Rd zu den Atomen {Sn } des zufälligen Zählmaßes
{NB } genannt wird.
• Die Verteilungsfunktion H : [0, ∞) → [0, 1] mit H(r) = P (Zx ≤ r) Für jede r ≥ 0, die wegen der
Stationarität des zufälligen Zählmaßes {NB } nicht von x ∈ Rd abhängt, wird die sphärische Kontaktverteilungsfunktion von {NB } genannt.
Theorem 4.10
Für beliebige r ≥ 0 und W ∈ B(Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ gilt
∞
[
B(Sn , r)
H(r) = P o ∈
(69)
n=1
und
H(r) =
∞
[
1
B(Sn , r) .
E νd W ∩
νd (W )
n=1
(70)
Beweis
• Die Gültigkeit von (69) ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, dass
n
ω∈Ω: o∈
∞
[
B(Sn (ω), r)
n=1
o
=
n
ω ∈ Ω : min |Sn (ω)| ≤ r
n≥1
o
= {ω ∈ Ω : Zo (ω) ≤ r} .
• Außerdem ergibt sich aus der Stationarität von {NB } und aus dem Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge, dass
Z
∞
[
B(Sn , r) =
νd (W ) P o ∈
n=1
Stationarität von {NB }
=
Satz von Fubini
=
Z
W
E
Z
W
∞
[
B(Sn , r) dx
P o∈
n=1
P x∈
W
1I
x∈
∞
[
n=1
∞
S
n=1
Z
B(Sn , r) dx =
B(Sn ,r)
W
E 1I
dx = E νd W ∩
• Hieraus und aus (69) ergibt sich nun die Gültigkeit von (70).
∞
S
x∈
n=1
∞
[
n=1
B(Sn ,r)
dx
B(Sn , r) .
Beachte
• Die Darstellungsformel (70) für die sphärische Kontaktverteilungsfunktion H : [0, ∞) → [0, 1] führt zu
den folgenden (erwartungstreuen) Schätzern für H(r).
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
131
– Sei r > 0 und W ∈ B0 (Rd ) eine beliebige beschränkte Borel–Menge mit νd (W ⊖ B(o, r)) > 0,
wobei W ⊖ B(o, r) = {x ∈ W : B(x, r) ⊂ W }.
– Wenn der Punktprozess {Sn } in dem dilatierten Fenster W ⊕ B(o, r) beobachtet werden kann (so
genanntes Plus–Sampling), wobei W ⊕ B(o, r) = {x + y : x ∈ W, y ∈ B(o, r)}, dann folgt aus (70),
dass durch den Ansatz
∞
S
B(Sn , r)
νd W ∩
n=1
b (1) (r) =
H
(71)
W
νd (W )
ein erwartungstreuer Schätzer für H(r) gegeben ist.
– Ein weiterer Schätzer für H(r), der auf dem Prinzip des „Minus–Samplings” beruht und der wegen
(70) ebenfalls erwartungstreu für H(r) ist, ist gegeben durch
∞
S
B(Sn , r)
νd W ⊖ B(o, r) ∩
n=1
b (2) (r) =
H
.
(72)
W
νd (W ⊖ B(o, r))
b (2) (r) besitzt zwar den Vorteil,
• Der in (72) betrachtete Schätzer H
W
– dass zu seiner Berechnung nur Information über {Sn } in dem (ursprünglichen, nicht dilatierten)
Beobachtungsfenster W erforderlich ist.
b (2) (r) besteht allerdings darin, dass H
b (2) (r) im allgemeinen keine
– Ein Nachteil des Schätzers H
W
W
monotone Funktion in r ist.
b (1) (r) und H
b (2) (r) die folgende (starke) Konsistenzeigenschaft
Aus Theorem 3.17 ergibt sich, dass die Schätzer H
W
W
besitzen, wenn der Punktprozess {NB } ergodisch ist.
Theorem 4.11
Sei {NB } ein ergodischer Punktprozess. Dann gilt für jedes r > 0
b (1) d (r) = H(r) = P lim H
b (2) d (r) = H(r) = 1 .
P lim H
[−k,k]
[−k,k]
k→∞
Beweis
k→∞
(73)
• Ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.18 kann man sich leicht überlegen, dass für beliebige k ≥ 1
∞
∞
Z
[
[
B(Sn , r) dy .
νd [−k, k]d ∩ [y, y + 1] ∩
B(Sn , r) =
νd [−k, k]d ∩
Rd
n=1
n=1
• Hieraus ergibt sich, dass
Z
∞
[
B(Sn , r) dy
νd [y, y + 1] ∩
[−k,k−1]d
νd [−k, k]d ∩
≤
bzw.
Z
[−k,k−1]d
n=1
d
νd [0, 1] ∩
∞
[
n=1
Z
B(Sn , r) ≤
B(Ty Sn , r) dy =
n=1
≤
νd [−k, k]d ∩
=
Z
[−k−1,k]d
wobei Ty Sn = Sn − y.
∞
[
∞
[
B(Sn , r)
n=1
νd [0, 1]d ∩
∞
[
n=1
≤
[−k−1,k]d
Z
Z
∞
[
B(Sn , r) dy
νd [y, y + 1] ∩
n=1
[−k,k−1]d
[−k−1,k]d
∞
[
B(Sn − y, r) dy
νd [0, 1]d ∩
n=1
νd [0, 1]d ∩
B(Ty Sn , r) dy ,
∞
[
n=1
B(Sn − y, r) dy
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
132
• Weil {Wk } und {Wk′ } mit Wk = [−k, k − 1]d bzw. Wk′ = [−k − 1, k]d mittelnde Folgen sind und weil
lim
k→∞
νd [−k, k − 1]d )
νd [−k − 1, k]d )
=
lim
= 1,
k→∞
νd [−k, k]d )
νd [−k, k]d )
ergibt sich nun mit Hilfe von Theorem 3.17, dass der Grenzwert
b (1) d (r)
lim H
[−k,k]
k→∞
=
=
lim
k→∞
∞
S
B(Sn , r)
νd [−k, k]d ∩
n=1
νd ([−k, k]d )
Z
1
k→∞ νd ([−k, k]d )
lim
[−k,k]d
∞
[
B(Ty Sn , r) dy
νd [0, 1]d ∩
n=1
mit Wahrscheinlichkeit 1 existiert und konstant ist.
• Weil {NB } ergodisch ist, ergibt sich nun durch die erneute Anwendung von Theorem 3.17, dass
∞
(70)
[
b (1) d (r) = E νd [0, 1]d ∩
= H(r) ,
lim H
B(S
,
r)
n
[−k,k]
k→∞
n=1
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Darstellungsformel (70) für H(r) ergibt, die in Theorem 4.10
hergeleitet wurde.
b (2) d (r) = H(r) mit Wahrscheinlichkeit 1. • Auf die gleiche Weise lässt sich zeigen, dass limk→∞ H
[−k,k]
Beachte
• Wenn {Sn } ein homogener Poisson–Prozess ist, dann ergibt sich aus der Darstellungsformel (69) für
H(r), dass
H(r) = 1 − exp(−λκd rd )
∀r ≥ 0,
(74)
wobei kd = νd (B(o, 1)) das Volumen der d–dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
b (1) d (r) und H
b (2) d (r) für k → ∞ asympto• Außerdem kann man zeigen, dass dann die Schätzer H
[−k,k]
[−k,k]
tisch normalverteilt sind, d.h., es gilt für i = 1, 2
r
(2k)d
b (i) d (r) − H(r) ≤ x = Φ(x)
H
∀x ∈ R,
(75)
lim P
[−k,k]
k→∞
σ2
(i)
b
wobei σ 2 = limk→∞ (2k)d Var H
(r) die asymptotische Schätzvarianz und Φ : R → [0, 1] die
[−k,k]d
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.
4.3.2
Nächster–Nachbar–Abstandsverteilungsfunktion; randkorrigiertes Minus–Sampling
Wir führen nun den Begriff der Nächster-Nachbar-Abstandsverteilungsfunktion ein, die im ergodischen Fall als die
Verteilungsfunktion des Abstandes eines zufällig herausgegriffenen Atoms Sn von {NB } zum nächsten Nachbarn
von Sn unter den übrigen Atomen Sm mit m 6= n interpretiert werden kann.
Definition
• Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein (einfaches) stationäres zufälliges Zählmaß mit der Intensität λ ∈ (0, ∞), so
dass P (NRd = 0) = 0, und sei {Sn } eine messbare Indizierung der Atome von {NB }.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
133
• Die Verteilungsfunktion D : [0, ∞) → [0, 1] mit
D(r) = 1 − PN0 ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r) \ {o}) = 0
∀r ≥ 0
(76)
wird die Nächster-Nachbar-Abstandsverteilungsfunktion von {NB } genannt, wobei PN0 die Palmsche
Verteilung von {NB } ist.
Theorem 4.12
Für beliebige r ≥ 0 und W ∈ B(Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ gilt
D(r) =
∞
X
1
1I{Sn ∈W, min |Sm −Sn |≤r} .
E
m6=n
λ νd (W ) n=1
(77)
Beweis Aus der Definitionsgleichung (76) der Verteilungsfunktion D : [0, ∞) → [0, 1] und aus der Darstellungsformel (6) für die Palmsche Verteilung PN0 ergibt sich, dass
D(r)
(76)
=
(6)
=
=
1 − PN0 ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r) \ {o}) = 0
Z
X
1
1−
1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B(o,r)\{o})=0} Tsn (ϕ) ϕ PN (dϕ)
λ νd (W ) N
n: sn (ϕ)∈W
Z
X
1
1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B(o,r)\{o})>0} Tsn (ϕ) ϕ PN (dϕ)
λ νd (W ) N
n: sn (ϕ)∈W
=
=
1
λ νd (W )
Z X
∞ 1
E
λ νd (W )
N n=1
∞
X
1IW sn (ϕ) 1I{ϕ′ ∈N: ϕ′ (B(o,r)\{o})>0} Tsn (ϕ) ϕ PN (dϕ)
1I{Sn ∈W, min |Sm −Sn |≤r} .
n=1
m6=n
Wenn {NB } ein stationärer Poissonscher Cluster–Prozess ist, dann lässt sich mit Hilfe von Theorem 4.9 noch eine
weitere Darstellungformel für die Nächster-Nachbar-Abstandsverteilungsfunktion D : [0, ∞) → [0, 1] herleiten.
Theorem 4.13
Sei {NB } ein stationärer Poissonscher Cluster–Prozess. Dann gilt
D(r) = 1 − 1 − H(r) 1 − G(r)
∀r ≥ 0,
(78)
wobei H : [0, ∞) → [0, 1] die sphärische Kontaktverteilungsfunktion von {NB } ist. Die in (78) betrachtete Verteilungsfunktion G : [0, ∞) → [0, 1] ist gegeben durch
G(r) = P min |Sen | ≤ r ,
(79)
en 6=o
n:S
wobei {Sen } eine messbare Indizierung der Atome eines zufälligen Zahlmaßes mit der in (61) eingeführten Verteilung Pe ist.
Beweis Aus der Definitionsgleichung (76) der Verteilungsfunktion D : [0, ∞) → [0, 1] ergibt sich mit Hilfe von
Theorem 4.9, dass
1 − D(r)
(76)
=
Theorem 4.9
=
=
PN0 ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r) \ {o}) = 0
P ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r)) = 0 Pe ϕ ∈ N : ϕ(B(o, r) \ {o}) = 0
1 − H(r) 1 − G(r) .
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
134
Aus den Theoremen 4.10 und 4.13 ergibt sich sofort das folgende Resultat.
Korollar 4.2
• Wenn {NB } ein stationärer Poissonscher Cluster–Prozess ist, dann gilt
D(r) ≥ H(r)
(80)
∀r ≥ 0.
• Wenn {NB } ein homogener Poisson–Prozess ist, dann gilt insbesondere
D(r) = H(r) = 1 − exp(−λκd rd )
∀r ≥ 0.
(81)
Abbildung 22: Schätzung der Nächster-Nachbar-Abstandsverteilungsfunktion
Beachte
• Die Darstellungsformel (77) für die Nächster-Nachbar-Abstandsverteilungsfunktion D : [0, ∞) → [0, 1]
führt zu dem folgenden (erwartungstreuen) Schätzer für λD(r), der auf dem Prinzip des „Minus–
Samplings” beruht.
– Sei r > 0 und W ∈ B0 (Rd ) eine beliebige beschränkte Borel–Menge mit νd (W ⊖ B(o, r)) > 0.
\ der gegeben ist durch den Ansatz
– Dann betrachten wir den Schätzer λD(r),
\ =
λD(r)
∞
X
1
1I{Sn ∈W ⊖B(o,r), min |Sm −Sn |≤r} .
m6=n
νd (W ⊖ B(o, r)) n=1
• Hieraus ergibt sich der „natürliche” Minus–Sampling–Schätzer
\
b (1) (r) = λD(r)
D
W
d
λ(r)
(82)
d = #{n : Sn ∈ W ⊖ B(o, r)}/νd (W ⊖ B(o, r)), d.h.
für D(r), wobei λ(r)
b (1) (r) =
D
W
∞
P
n=1
1I{Sn ∈W ⊖B(o,r), min |Sm −Sn |≤r}
m6=n
#{n : Sn ∈ W ⊖ B(o, r)}
.
(83)
b (1) (r) besteht darin, dass bei diesem
– Ein Nachteil des in (82) bzw. (83) eingeführten Schätzers D
W
Schätzansatz nur diejenige Information genutzt wird, die in dem „erodierten” Beobachtungsfenster
W ⊖ B(o, r) enthalten ist, wobei der Erosionsradius r nicht von den Daten abhängt.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
135
– Dies führt bei größeren Werten von r zu unnötig großen Schätzvarianzen.
b (1) (r) im allgemeinen keine monotone Funktion in r.
– Außerdem ist D
W
• Ein anderer (randkorrigierter) Schätzer für D(r), der diese Nachteile nicht aufweist, ist durch den
folgenden Ansatz gegeben:
– Für jedes r > 0 sei
^
b (2) (r) = λD(r) ,
(84)
D
W
e
λ
wobei
∞
∞
X
X
1I{Sn ∈W ⊖B(o,Zn )}
1I{Sn ∈W ⊖B(o,Zn ), Zn ≤r}
^ =
e=
, λ
, Zn =
min
|Sm −Sn |
λD(r)
m6=n, Sm ∈W
ν
(W
⊖
B(o,
Z
))
ν
(W ⊖ B(o, Zn ))
d
n
n=1 d
n=1
(85)
und 00 = 0 gesetzt wird.
b (2) (r) erfasst diejenigen Punkte Sn , die in W liegen
– Der in (84) bzw. (85) eingeführte Schätzer D
W
und für die bekannt ist, dass ihr nächster Nachbar ebenfalls in W liegt und einen Abstand von Sn
hat, der kleiner oder gleich r ist.
– Die Abbildung 22 dient zur Illustration dieses Zählverfahrens: Der Punkt in der rechten oberen
^
Ecke des Beobachtungsfensters W wird bei der Summation in (85) zur Berechnung von λD(r)
berücksichtigt, während die übrigen drei Punkte in W nicht berücksichtigt werden.
b (2) (r) eine monotone Funk– Aus den Definitionsgleichungen (84) und (85) ergibt sich sofort, dass D
W
tion in r ist.
b (1) (r) und D
b (2) (r) konsistente
Aus Theorem 3.17 ergibt sich, dass die in (82) bzw. (84) eingeführten Statistiken D
W
W
Schätzer für D(r) sind, wenn der Punktprozess {NB } ergodisch ist.
Theorem 4.14
Sei {NB } ein ergodischer Punktprozess. Dann gilt für jedes r > 0
b (1) d (r) = D(r) = P lim D
b (2) d (r) = D(r) = 1 .
P lim D
[−k,k]
[−k,k]
k→∞
k→∞
(86)
Der Beweis von Theorem 4.14 ist analog zum Beweis von Theorem 4.11 und wird deshalb weggelassen.
Beachte
• Außer der Kontaktverteilungsfunktion H(r) und der Nächster–Abstand–Verteilungsfunktion D(r) kann
auch die so genannte J–Funktion J : [0, ∞) → [0, 1], wobei
J(r) =
1 − D(r)
1 − H(r)
für jedes r > 0 mit H(r) < 1,
(87)
zur statistischen Analyse der Struktureigenschaften von unregelmäßigen Punktmustern genutzt werden.
• Denn aus den Formeln (80) und (81) ergibt sich, dass für jedes r > 0
J(r) ≤ 1
bzw.
J(r) = 1 ,
(88)
wenn {NB } ein stationärer Poissonscher Cluster–Prozess bzw. ein homogener Poisson–Prozess ist.
b < 1 für jedes r > 0, wobei
• Wenn sich also aus der Analyse der Daten ergibt, dass J(r)
b
b = 1 − D(r)
J(r)
b
1 − H(r)
b
b
und D(r)
bzw. H(r)
geeignet gewählte Schätzer für D(r) bzw. H(r) sind, dann könnte ein Poissonscher
Cluster–Prozess ein geeignetes Modell zur Beschreibung der Daten sein.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
4.3.3
136
Höhere Momentenmaße
In diesem Abschnitt betrachten wir höhere Momentenmaße von zufälligen Zählmaßen. Von besonderem Interesse
ist das so genannte faktorielle Momentenmaß zweiter Ordnung.
Es bildet die Grundlage zur Definition der Ripleyschen K–Funktion und der Paarkorrelationsfunktion von stationären und isotropen Punktprozessen, die ebenfalls zur statistischen Analyse der Struktureigenschaften von
unregelmäßigen Punktmustern genutzt werden können; vgl. die Abschnitte 4.3.4 und 4.3.5.
• Sei m ≥ 1 eine beliebige natürliche Zahl, und sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein zufälliges Zählmaß im Rd , das
einfach ist (d.h., mit Wahrscheinlichkeit 1 keine Mehrfachpunkte besitzt) und der Integrierbarkeitsbedingung
E (NBm ) < ∞ für jedes B ∈ B0 (Rd ) genügt.
• Zur Erinnerung: Das in (3.4) eingeführte Intensitätsmaß µ : B(Rd ) → [0, ∞] des zufälligen Zählmaßes {NB }
ist gegeben durch
µ(B) = E NB
∀ B ∈ B(Rd ) .
(89)
• In Verallgemeinerung von (89) kann man für jedes m ≥ 1 das m–te Momentenmaß µm : B(Rmd ) → [0, ∞]
des zufälligen Zählmaßes {NB } definieren durch
µm (B1 × . . . × Bm ) = E NB1 . . . NBm
∀ B1 , . . . , Bm ∈ B(Rd ) .
(90)
• Beachte: Die Definitionsgleichung (90) des m–ten Momentenmaßes µm ist äquivalent mit
X
1IB1 ×...×Bm Sn1 , . . . , Snm
µm (B1 × . . . × Bm ) = E
∀ B1 , . . . , Bm ∈ B(Rd ) .
n1 ,...,nm
• Auf ähnliche Weise wird das m–te faktorielle Momentenmaß αm : B(Rmd ) → [0, ∞] von {NB } definiert:
αm (B1 × . . . × Bm ) = E
X6=
n1 ,...,nm
1IB1 ×...×Bm Sn1 , . . . , Snm
∀ B1 , . . . , Bm ∈ B(Rd ) ,
(91)
wobei sich die Summation in (91) über alle m–Tupel (n1 , . . . , nm ) von paarweise verschiedenen Indizes
erstreckt und {Sn } eine messbare Indizierung der Atome von {NB } ist.
Beachte
Unmittelbar aus den Definitionsgleichungen (90) und (91) von µ2 bzw. α2 ergibt sich, dass
µ2 (B1 × B2 ) = α2 (B1 × B2 ) + µ(B1 ∩ B2 )
bzw.
Var NB = α2 (B × B) + µ(B) − µ(B)
2
∀ B1 , B2 ∈ B(Rd )
(92)
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(93)
Mit Hilfe der Produktdarstellung γ ! = PN × µ des reduzierten Campbellschen Maßes γ ! von Poisson–Prozessen,
die in Theorem 4.6 hergeleitet worden ist, zeigen wir nun, dass das zweite faktorielle Momentenmaß α2 von
Poisson–Prozessen ebenfalls ein Produktmaß ist.
Theorem 4.15
Wenn {NB } ein Poisson–Prozess mit dem Intensitätsmaß µ ist, dann gilt α2 = µ × µ, d.h.,
α2 (B1 × B2 ) = µ(B1 ) µ(B2 )
für beliebige B1 , B2 ∈ B(Rd ).
(94)
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
137
Beweis
• Aus der Definitionsgleichung (91) des zweiten faktoriellen Momentenmaßes α2 ergibt sich, dass
Z Z
X6=
(91)
α2 (B1 × B2 ) = E
1IB1 ×B2 Sn1 , Sn2 =
f (ϕ − δx , x) ϕ(dx) PN (dϕ) ,
n1 ,n2
N
Rd
wobei
(95)
f (ϕ, x) = ϕ(B1 )1IB2 (x) .
• Hieraus und aus der Definitionsgleichung
(33) des reduzierten
Campbellschen Maßes γ ! von {NB }
R
!
ergibt sich, dass α2 (B1 × B2 ) = N×Rd f (ϕ, x) γ d(ϕ, x) .
• Mit Hilfe der Produktdarstellung γ ! = PN × µ, die in Theorem 4.6 hergeleitet worden ist, ergibt sich
nun, dass
Z Z
α2 (B1 × B2 ) =
f (ϕ, x) PN (dϕ) µdx)
d
ZR ZN
(95)
=
ϕ(B1 )1IB2 (x) PN (dϕ) µdx) = µ(B1 ) µ(B2 ) .
d
R
N
Aus Theorem 4.15 und aus der Definitionsgleichung (3.26) von Cox–Prozessen ergibt sich sofort das folgende
Resultat.
Korollar 4.3
Dann gilt
Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein Cox–Prozess mit dem zufälligen Intensitätsmaß {ΛB , B ∈ B(Rd )}.
Z
η(B1 ) η(B2 ) PΛ (dη)
∀ B1 , B2 ∈ B(Rd ) .
(96)
α2 (B1 × B2 ) =
M
Außerdem lässt sich mit Hilfe von Theorem 4.15 eine Darstellungsformel für das zweite faktorielle Momentenmaß
von Poissonschen Cluster–Prozessen herleiten.
Theorem 4.16
• Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein Poissonscher Cluster–Prozess mit
NB =
∞
X
(n)
∀ B ∈ B(Rd ) ,
NB−Sn
n=1
(97)
– wobei {Sn } ein Poisson–Prozess mit dem (lokal endlichen und diffusen) Intensitätsmaß µ(0) ist, für
das µ(0) (Rd ) = ∞ gilt,
(1)
(2)
– und {NB }, {NB }, . . . eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Punktprozessen mit dem
endlichen Intensitätsmaß µ(1) ist, die von {Sn } unabhängig sind und für die
Z
(1)
µ2 (B1 − x, B2 − x) µ(0) (dx) < ∞
∀ B1 , B2 ∈ B0 (Rd )
(98)
Rd
(1)
gilt, wobei µ2
(1)
das zweite Momentenmaß von {NB } bezeichnet.
• Für das zweite faktorielle Momentenmaß α2 von {NB } gilt dann
Z
(1)
α2 (B1 × B2 ) =
α2 (B1 − x, B2 − x) µ(0) (dx) + µ(B1 )µ(B2 )
Rd
(1)
(1)
∀ B1 , B2 ∈ B0 (Rd ) ,
(99)
wobei α2 das zweite faktorielle Momentenmaß von {NB } und µ das Intensitätsmaß des Poissonschen
Cluster–Prozesses {NB } bezeichnet.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
138
Beweis
• Aus der Definitionsgleichung (90) des zweiten Momentenmaßes µ2 von {NB } und aus der Darstellungsformel (97) für NB ergibt sich, dass
µ2 (B1 × B2 )
(97)
=
=
=
E
E
E
∞
X
(n )
NB11−Sn
n1 =1
∞
X
n=1
∞
X
1
∞
X
(n )
NB22−Sn
n2 =1
2
X6=
(n)
(n)
NB1 −Sn NB2 −Sn + E
n1 ,n2
(1)
µ2
(n )
(n )
NB11−Sn NB22−Sn
1
X6=
(B1 − Sn ) × (B2 − Sn ) + E
n1 ,n2
n=1
2
µ(1) (B1 − Sn1 )µ(1) (B2 − Sn2 ) ,
wobei sich der zweite Summand des letzten Ausdruckes aus der Unabhängigkeit der Punktprozesse
(n )
(n )
{NB 1 } und {NB 2 } für n1 6= n2 ergibt.
(0)
• Außerdem ergibt sich aus der in Theorem 4.15 hergeleiteten Darstellungsformel α2 = µ(0) × µ(0) für
(0)
das zweite faktorielle Momentenmaß α2 des Poisson–Prozesses {Sn }, dass
Z
X6=
(0)
E
µ(1) (B1 − Sn1 )µ(1) (B2 − Sn2 ) =
µ(1) (B1 − x1 )µ(1) (B2 − x2 ) α2 d(x1 , x2 )
n1 ,n2
R2d
Z
Z
(94)
=
µ(1) (B1 − x1 ) µ(0) (dx1 )
µ(1) (B2 − x2 ) µ(0) (dx2 ) .
Rd
• Somit gilt insgesamt
µ2 (B1 × B2 )
Z
=
Z
=
Rd
(1)
Rd
µ2
(B1 − x) × (B2 − x) µ(0) (dx)
Z
Z
(1)
(0)
+
µ (B1 − x1 ) µ (dx1 )
Rd
(1)
Rd
µ2
Rd
µ(1) (B2 − x2 ) µ(0) (dx2 )
(B1 − x) × (B2 − x) µ(0) (dx) + µ(B1 )µ(B2 ) ,
wobei sich der zweite Summand des letzten Ausdruckes aus der Darstellungsformel
Z
µ(B) =
µ(1) (B − x) µ(0) (dx)
∀ B ∈ B(Rd )
(100)
Rd
für das Intensitätsmaß µ von {NB } ergibt, die in Theorem 3.14 hergeleitet worden ist; vgl. (3.78).
• Hieraus ergibt sich nun mit Hilfe von (92) und (100), dass
α2 (B1 × B2 )
(92)
=
=
(100)
=
(92)
=
µ2 (B1 × B2 ) − µ(B1 ∩ B2 )
Z
(1)
µ2 (B1 − x) × (B2 − x) µ(0) (dx) + µ(B1 )µ(B2 ) − µ(B1 ∩ B2 )
d
ZR (1)
µ2 (B1 − x) × (B2 − x) − µ(1) (B1 ∩ B2 ) − x µ(0) (dx) + µ(B1 )µ(B2 )
d
ZR
(1)
α2 (B1 − x, B2 − x) µ(0) (dx) + µ(B1 )µ(B2 ) .
Rd
4.3.4
Zweites reduziertes Momentenmaß; Ripleysche K–Funktion
Sei {NB , B ∈ B(Rd )} ein stationärer Punktprozess mit der Intensität λ ∈ (0, ∞), so dass E NB2 < ∞ für jedes
B ∈ B0 (Rd ). Dann ist das zweite faktorielle Momentenmaß α2 von {NB } lokal endlich, und es lässt sich durch
das Intensitätsmaß der reduzierten Palmschen Verteilung PN! von {NB } ausdrücken. Um dies zu zeigen, ist das
folgende verfeinerte Campbellsche Theorem nützlich.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
Lemma 4.1 Für jede messbare Funktion f : Rd × N → [0, ∞) gilt
Z Z
Z Z
f (x, Tx ϕ − δo ) ϕ(dx) PN (dϕ) = λ
f (x, ϕ) PN! (dϕ) dx .
N
Rd
Rd
139
(101)
N
Der Beweis von Lemma 4.1 ergibt sich mit algebraischer Induktion aus der Definitionsgleichung (18) der reduzierten Palmschen Verteilung PN! . Er verläuft ähnlich wie der Beweis von Theorem 3.1 und wird deshalb weggelassen.
Theorem 4.17
Für beliebige B1 , B2 ∈ B(Rd ) gilt
α2 (B1 × B2 ) = λ
Z
B1
µ! (B2 − x) dx ,
(102)
wobei µ! : B(Rd ) → [0, ∞] das Intensitätsmaß der reduzierten Palmschen Verteilung PN! von {NB } ist, d.h.,
Z
µ! (B) =
ϕ(B) PN! (dϕ)
∀ B ∈ B(Rd ) .
(103)
N
Beweis
• Aus der Definitionsgleichung (91) von α2 ergibt sich, dass für beliebige B1 , B2 ∈ B(Rd )
X6=
(91)
α2 (B1 × B2 ) = E
1IB1 ×B2 Sn1 , Sn2
n ,n
Z Z 1Z 2
=
1IB1 ×B2 (x1 , x2 ) ϕ − δx1 (dx2 ) ϕ(dx1 ) PN (dϕ)
d
d
ZN ZR ZR
=
1IB1 ×B2 (x1 , x1 + x2 ) Tx1 ϕ − δo (dx2 ) ϕ(dx1 ) PN (dϕ)
d
d
ZN ZR R
=
f (x, Tx ϕ − δo ) ϕ(dx) PN (dϕ) ,
N
Rd
wobei
f (x, ϕ) = 1IB1 (x)
Z
Rd
1IB2 −x (y) ϕ(dy) .
• Hieraus ergibt sich mit Hilfe von Lemma 4.1, dass
Z Z
(101)
α2 (B1 × B2 )
=
λ
f (x, ϕ) PN! (dϕ) dx
Rd N
Z
Z Z
1IB2 −x (y) ϕ(dy) PN! (dϕ) dx
1IB1 (x)
=
λ
d
d
R
ZR N
!
µ (B2 − x) dx .
=
λ
B1
Definition
Das Maß K : B(Rd ) → [0, ∞] mit
K(B) =
µ! (B)
λ
(104)
wird das zweite reduzierte Momentenmaß von {NB } genannt. Wenn {NB } stationär und isotrop ist, dann
heißt K : [0, ∞) → [0, ∞) mit K(r) = K(B(o, r)) die Ripleysche K–Funktion. Darüber hinaus wird noch die
so genannte L–Funktion L : [0, ∞) → [0, ∞) betrachtet mit
K(r) 1/d
∀r ≥ 0,
(105)
L(r) =
κd
wobei κd = νd (B(o, 1)) das Volumen der d–dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
140
Beachte
• Wenn {NB } ein homogener Poisson–Prozess ist, dann ergibt sich aus der Definitionsgleichung (104)
mit Hilfe des Satzes von Slivnyak (vgl. Theorem 4.5), dass
K(B) = νd (B)
∀ B ∈ B(Rd )
bzw.
L(r) = r
∀r ≥ 0.
(106)
• Wenn {NB } ein Poissonscher Cluster–Prozess mit der Intensität λ ist, dann ergibt sich aus (104) mit
Hilfe von Theorem 4.9, dass
K(B) = νd (B) + λ−1 µNe −δo (B)
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(107)
e − δo und {N
eB } ein zufälliger Punktprozess mit der in (61)
wobei µNe −δo das Intensitätsmaß von N
e
eingeführten Verteilung P ist. Insbesondere gilt somit
K(B) ≥ νd (B)
∀ B ∈ B(Rd ) .
(108)
Die Definitionsgleichung (104) des zweiten reduzierten Momentenmaßes führt zu dem folgenden (erwartungstreuen) Schätzer für die Größe λ2 K(B).
Theorem 4.18
Für beliebige B, W ∈ B0 (Rd ), so dass νd (W ∩ (W + z)) > 0 für jedes z ∈ B, ist durch
λ2\
K(B) =
X6=
n1 ,n2
1IB (Sn2 − Sn1 )1IW ×W (Sn1 , Sn2 )
νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
(109)
ein erwartungstreuer Schätzer für λ2 K(B) gegeben.
Beweis
• Die Funktion f : R2 d → [0, ∞) sei gegeben durch
f (x1 , x2 ) =
1IB (x2 − x1 )1IW ×W (x1 , x2 )
.
νd W ∩ (W + (x2 − x1 ))
• Dann ergibt sich aus der Definitionsgleichung (91) des zweiten faktoriellen Momentenmaßes α2 und
mit Hilfe von (102) bzw. (109), dass
E λ2\
K(B)
(109)
=
(91)
=
(102)
=
=
=
=
X6=
1IB (Sn2 − Sn1 )1IW ×W (Sn1 , Sn2 )
νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
f (x1 , x2 ) α2 d(x1 , x2 )
2d
R
Z Z
λ2
f (x, x + y) K(dy) dx
d
d
ZR ZR
λ2
f (x, x + y) dx K(dy)
d
d
Z
ZR R
1IB (y)
2
1IW ×W (x, x + y) dx K(dy)
λ
Rd
Rd νd W ∩ (W + y)
Z
1IB (y) K(dy)
λ2
E
Z
n1 ,n2
Rd
=
λ2 K(B) .
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
141
Beachte
• Aus Theorem 4.15 ergibt sich, dass
c2 = NW (NW − 1)
λ
νd2 (W )
(110)
ein erwartungstreuer Schätzer für λ2 ist, wenn {NB } ein homogener Poisson–Prozess ist. Zusammen
mit Theorem 4.18 führt dies zu dem folgenden „natürlichen” Schätzer für K(B):
2
\
\ = λ K(B) .
K(B)
c2
λ
(111)
• Wenn {NB } stationär und isotrop ist, dann ergibt sich aus Theorem 4.18 insbesondere, dass
2 K(r) =
λ\
X6=
n1 ,n2
1IB(o,r) (Sn2 − Sn1 )1IW ×W (Sn1 , Sn2 )
νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
(112)
ein erwartungstreuer Schätzer für λ2 K(r) ist. Ähnlich wie in (111) führt dies zu den Schätzern
2 K(r)
λ\
b
K(r)
=
c2
λ
und
c2 in (110) gegeben ist.
für K(r) bzw. L(r), wobei λ
K(r)
1/d
b
b
L(r)
=
κd
(113)
• Wenn {NB } ein ergodischer isotroper Punktprozess ist, dann kann man auf ähnliche Weise wie in
d (stark) konsistente Schätzer für K(r)
[ und L(r)
Theorem 4.11 bzw. in Theorem 4.14 zeigen, dass K(r)
bzw. L(r) sind.
d noch eine weitere Art von Schätzern für K(r) bzw. L(r)
[ bzw. L(r)
• Im isotropen Fall wird außer K(r)
g 2 mit
c2 in (113) für jedes r > 0 ersetzt durch λ(r)
betrachtet. Dabei wird der Schätzer λ
g =
λ(r)
∞
X
n=1
1IW (Sn )νd (W ∩ B(Sn , r))
d κd
Z
r
,
(114)
ud−1 cW (u) du
0
wobei die „isotropisierte” Mengenkovarianzfunktion cW : [0, ∞) → [0, ∞) von W gegeben ist durch
Z
1
cW (u, v) dv
∀u ≥ 0
(115)
cW (u) =
νd−1 (∂B(o, 1)) ∂B(o,1))
und cW : Rd → [0, ∞) die (eigentliche) Mengenkovarianzfunktion von W ist mit
Z
cW (x) =
1IW (y)1IW (y − x) dy
(116)
Rd
für jedes x ∈ Rd mit der Darstellung x = (u, v) in Polarkoordinaten.
4.3.5
Produktdichte und Paarkorrelationsfunktion; randkorrigierte Kernschätzer
Wir betrachten nun den Fall, dass das zweite faktorielle Momentenmaß α2 des zufälligen Zählmaßes {NB } absolutstetig bezüglich des 2d–dimensionalen Lebesgue–Maßes ist, d.h., α2 hat eine Dichte ρ2 : R2d :→ [0, ∞), so
dass
Z Z
α2 (B1 × B2 ) =
ρ2 (x1 , x2 ) dx1 dx2
∀ B1 , B2 ∈ B0 (Rd ) .
(117)
B1
B2
Die in (117) gegebene Funktion ρ2 wird die Produktdichte zweiter Ordnung von {NB } genannt.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
142
Beachte
• Mit ähnlichen Argumenten wie bei der lokalen Charakterisierung der Intensität von stationären Punktprozessen (vgl. den Satz von Korolyuk in Theorem 4.4) kann man sich überlegen, dass die Größe
ρ2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 näherungsweise als die Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass in den infinitesimalen Umgebungen dx1 und dx2 von x1 6= x2 jeweils ein Atom des zufälligen Zählmaßes {NB }
liegt.
• Wenn {NB } ein stationäres zufälliges Zählmaß mit der Intensität λ ∈ (0, ∞) ist, dann hängt die
Produktdichte ρ2 (x1 , x2 ) nur von der Differenz x2 − x1 ab. Wenn {NB } stationär und isotrop ist, dann
gilt
ρ2 (x1 , x2 ) = ρ2 (r) ,
wobei r = |x2 − x1 |.
(118)
• Im letzeren Fall wird darüber hinaus die Paarkorrelationsfunktion g : [0, ∞] → [0, ∞) betrachtet, wobei
g(r) =
ρ2 (r)
λ2
∀r ≥ 0.
(119)
• Wenn die Ripleysche K–Funktion differenzierbar ist, dann ergibt sich unmittelbar aus den entsprechen
den Definitionsgleichungen, dass sich die Paarkorrelationsfunktion g(r) durch die Ableitung dK(r) dr
der K–Funktion ausdrücken lässt. Und zwar gilt dann
dK(r) dr
∀r > 0.
(120)
g(r) =
d κd rd−1
Wenn {NB } stationär und isotrop ist, dann werden in der Literatur als Schätzer ρb2 (r) für die Produktdichte
ρ(r) = ρ2 (x1 , x2 ) mit r = |x2 − x1 | randkorrigierte Kernschätzer vorgeschlagen:
ρb2 (r) =
X6=
n1 ,n2
k(|Sn2 − Sn1 | − r)1IW ×W (Sn1 , Sn2 )
,
d κd rd−1 νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
(121)
wobei k : R → [0, ∞) eine Kernfunktion ist, beispielsweise
k(t) =
1
1I[−h,h] (t)
2h
∀t ∈ R
für eine gewisse Bandbreite h > 0. Ähnlich wie in (111) führt dies zu dem Schätzer
gb(r) =
ρb2 (r)
2
b
λ(r)
(122)
∀r > 0
b
für die Paarkorrelatioinsfunktion g(r), wobei λ(r)
ein (randkorrigierter) Schätzer für λ ist, beispielsweise
b
λ(r)
=
4.3.6
∞
X
n=1
1IW (Sn )νd−1 (W ∩ ∂B(Sn , r))
d κd rd−1 cW (r)
.
Beispiele: Poisson–, Cox– und Cluster–Prozesse; Matérn–Hardcore–Prozesse
In diesem Abschnitt zeigen wir zunächst, dass für die Paarkorrelationsfunktion g(r) von homogenen Poisson–
Prozessen die Identität g(r) ≡ 1 für jedes r > 0 gilt. Außerdem diskutieren wir Beispiele von stationären und
isotropen Punktprozessen (Cox–Prozesse, Poissonsche Cluster–Prozesse), für deren Paarkorrelationsfunktion g(r)
die Ungleichung g(r) ≥ 1 für jedes r > 0 gilt. Darüber hinaus geben wir eine Klasse von Punktprozessen (Matérn–
Hardcore–Prozesse) an, für die die Punktepaare einen vorgegebenen Mindestabstand nicht unterschreiten.
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
143
1. Poisson–Prozesse
• Sei {NB } ein Poisson–Prozess mit dem absolutstetigen Intensitätsmaß µ, d.h., es gibt eine (Borel–
messbare) Intrensitätsfunktion λ : Rd → [0, ∞), so dass
Z
µ(B) =
λ(x) dx
∀ B ∈ B(Rd ) .
(123)
B
• Dann ergibt sich mit Hilfe von Theorem 4.15, dass
(94)
α2 (B1 × B2 ) = µ(B1 )µ(B2 )
(123)
=
Z
B1
Z
λ(x1 )λ(x2 ) dx1 dx2 .
B2
• In diesem Fall ist also die Produktdichte ρ2 gegeben durch
ρ2 (x1 , x2 ) = λ(x1 ) λ(x2 )
∀ x1 , x2 ∈ Rd .
(124)
• Wenn {NB } ein homogener (und somit auch isotroper) Poisson–Prozess mit der Intensität λ ist, dann
gilt insbesondere
ρ2 (x1 , x2 ) = λ2
∀ x1 , x2 ∈ Rd
(125)
bzw.
(126)
∀r ≥ 0.
g(r) = 1
• Wenn sich also aus der Analyse der Daten ergibt, dass gb(r) > 1, wobei gb(r) ein geeignet gewählter
Schätzer für g(r) ist, dann bedeutet dies, dass die relative Häufigkeit von Punktepaaren mit Abstand
r größer als bei einem homogenen Poisson–Prozess ist.
2. Cox–Prozesse
• Sei {NB } ein Cox–Prozess, so dass die Realisierungen des zufälligen Intensitätsmaßes {ΛB } mit Wahrscheinlichkeit 1 absolutstetig bezüglich des d–dimensionalen Lebesgue–Maßes sind.
• D.h., es gibt ein zufälliges Feld {λx , x ∈ Rd }, so dass
Z
ΛB =
λx dx
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(127)
B
• Wegen Korollar 4.3 ist dann das zweite faktorielle Momentenmaß α2 von {NB } gegeben durch
Z Z
Z
E λx1 λx2 dx1 dx2 .
(128)
η(B1 ) η(B2 ) PΛ (dη) =
α2 (B1 × B2 ) =
B1
M
B2
• Die Produktdichte ρ2 von {NB } ist also gegeben durch ρ2 (x1 , x2 ) = E λx1 λx2 für beliebige x1 , x2 ∈ Rd
mit x1 6= x2 .
• Wenn das zufällige Intensitätsfeld {λx } stationär ist, dann ist {NB } ein stationärer Cox–Prozess (vgl.
die Theoreme 3.8 und 3.9), und es gilt
ρ2 (x1 , x2 ) = E λo λx2 −x1
∀ x1 , x2 ∈ Rd mit x1 6= x2 .
(129)
• Wir betrachten nun den Spezialfall, dass {NB } ein modulierter Poisson–Prozess ist, wobei das zufällige
Intensitätsfeld {λx } durch (3.52) gegeben ist. D.h., es gelte

 λ , falls x ∈ Ξ,
1
(130)
λx =
 λ , falls x 6∈ Ξ.
2
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
144
– Dabei
seien λ1 , λ2 ∈ (0, ∞) beliebige Zahlen mit max{λ1 , λ2 } > 0, und für ein r0 > 0 gelte
S∞
Ξ = i=1 B(Si , r0 ), wobei {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intenstität λ0 sei.
– Für die Produktdichte ρ2 von {NB } ergibt sich dann aus (129) und (130), dass
ρ2 (x1 , x2 ) = λ21 P (x1 ∈ Ξ, x2 ∈ Ξ) + λ1 λ2 P (x1 ∈ Ξ, x2 6∈ Ξ) + P (x1 6∈ Ξ, x2 ∈ Ξ)
+λ22 P (x1 6∈ Ξ, x2 6∈ Ξ)
λ21 po,x2 −x1 + 2λ1 λ2 po − po,x2 −x1 + λ22 1 − 2po + po,x2 −x1 ,
=
d.h.,
ρ2 (x1 , x2 ) = (λ1 − λ2 )2 po,x2 −x1 + 2(λ1 − λ2 )λ2 po + λ22
∀ x1 6= x2 ,
wobei die Überdeckungswahrscheinlichkeiten
und
po = P (o ∈ Ξ)
(131)
po,x2 −x1 = P (o ∈ Ξ, x2 − x1 ∈ Ξ)
in (3.67) bzw. (3.71) gegeben sind.
– Außerdem hatten wir in Theorem 3.11 gezeigt, dass die Intensität λ von {NB } gegeben ist durch
λ = λ1 po + λ2 (1 − po ).
– Aus (131) ergibt sich somit für die Paarkorrelationsfunktion g(r) von {NB }, dass
g(r) =
(λ1 − λ2 )2 po,x2 −x1 + 2(λ1 − λ2 )λ2 po + λ22
(λ1 − λ2 )2 p2o + 2(λ1 − λ2 )λ2 po + λ22
∀ r = |x2 − x1 | > 0 .
(132)
– Wegen (3.71) gilt dabei, dass g(r) > 1 für r < 2r0 bzw. g(r) = 1 für r ≥ 2r0 .
3. Poissonsche Cluster–Prozesse
• Sei {NB } ein Poissonscher Cluster–Prozess mit
NB =
∞
X
(n)
NB−Sn ,
n=1
(1)
(1)
so dass das Intensitätsmaß µ(1) und das zweite faktorielle Momentenmaß α2 von {NB } absolutstetige
Maße bezüglich des d–dimensionalen bzw. des 2d–dimensionalen Lebesgue–Maßes sind, wobei wir die
(1)
Dichten mit dµ(1) /dνd bzw. dα2 /dν2d bezeichnen.
• Aus der Darstellungsformel (99), die in Theorem 4.16 für das zweite faktorielle Momentenmaß α2 von
{NB } hergeleitet worden ist, ergibt sich dann, dass
Z
(99)
(1)
α2 (B1 − y, B2 − y) µ(0) (dy) + µ(B1 )µ(B2 )
α2 (B1 × B2 )
=
d
ZR
(100)
(1)
=
α2 (B1 − y, B2 − y) µ(0) (dy)
d
R
Z
Z
µ(1) (B2 − y2 ) µ(0) (dy2 )
µ(1) (B1 − y1 ) µ(0) (dy1 )
+
=
Z
B1
+
Z
Z
B2
B1
Z
Z
Rd
Rd
(1)
dα2
Rd
B2
Z
dν2d
Rd
(x1 − y, x2 − y) µ(0) (dy) dx1 dx2
dµ(1)
(x1 − y1 ) µ(0) (dy1 )
dνd
Z
Rd
dµ(1)
(x2 − y2 ) µ(0) (dy2 ) dx1 dx2 .
dνd
• Die Produktdichte ρ2 von {NB } ist also gegeben durch
Z
(1)
dα2
ρ2 (x1 , x2 ) =
(x1 − y, x2 − y) µ(0) (dy)
Rd dν2d
Z
Z
dµ(1)
dµ(1)
(0)
+
(x1 − y1 ) µ (dy1 )
(x2 − y2 ) µ(0) (dy2 ) .
Rd dνd
Rd dνd
(133)
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
145
• Wenn µ(0) = λ0 νd für ein λ0 > 0, dann ergibt sich aus Theorem 3.14, dass {NB } ein stationärer
Poissonscher Cluster–Prozess mit der Intensität λ = λ0 µ(1) (Rd ) ist, und es gilt
Z
Z
Z
(1)
dµ(1)
dµ(1)
dα2
(x1 − y, x2 − y) dy + λ20
(x1 − y1 ) dy1
(x2 − y2 ) dy2
ρ2 (x1 , x2 ) = λ0
Rd dνd
Rd dνd
Rd dν2d
bzw.
ρ2 (x1 , x2 ) = λ0 µ
(1)
d
(R )
2
+ λ0
Z
(1)
Rd
dα2
(x1 − y, x2 − y) dy .
dν2d
(134)
• Wir betrachten nun den Spezialfall, dass {NB } ein Neyman–Scott–Prozess ist, vgl. Abschnitt 3.3.3.
(1)
(1)
D.h., die Sekundärprozesse {NB }, {NB }, . . . sind gegeben durch
(n)
NB
=
(n)
T
X
δS (n) (B)
i=1
i
∀ n ≥ 1, B ∈ B(Rd ) ,
(135)
wobei
(n)
– {Si , i, n ≥ 1} eine Doppel–Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren
(n)
Si : Ω → Rd ist, die von dem Poissonschen Primärprozess {Sn } unabhängig ist.
– und T (1) , T (2) , . . . : Ω → {0, 1, . . .} eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zu(n)
fallsvariablen (mit nichtnegativen ganzzahligen Werten) ist, die von den Folgen {Si } und {Sn }
unabhängig ist.
(1)
(1)
• Dabei nehmen wir an, dass die Verteilungsfunktion von |S2 − S1 | differenzierbar ist.
(1)
(1)
– Für das Integral des zweiten faktoriellen Momentenmaßes α2 von {NB } in (134) gilt dann mit
der Schreibweise r = |x2 − x1 |, dass
Z
Z
(1)
(1)
dα2
dα2
(x1 − y, x2 − y) dy =
(y, x2 − x1 + y) dy
Rd dν2d
Rd dν2d
d
(1)
(1)
∞
P (|S2 − S1 | ≤ r)
X
(1)
dr
n(n − 1)P (T = n)
=
.
d κd rd−1
n=2
– Insgesamt ergibt sich aus (134), dass die Paarkorrelationsfunktion des Neyman–Scott–Prozesses
{NB } gegeben ist durch
d
(1)
(1)
∞
P (|S2 − S1 | ≤ r)
X
1
(1)
dr
n(n − 1)P (T = n)
g(r) = 1 +
d κd rd−1
λ µ(1) (Rd ) n=2
∀r > 0.
(136)
• Sei nun {NB } insbesondere ein Matérn–Cluster–Prozess ist (vgl. Abschnitt 3.2.3), d.h.,
(1)
T (1) ∼ Poi λ(1) νd (B(o, R))
und
S1 ∼ U(B(o, R))
für gewisse Konstanten λ(1) > 0 und R > 0.
2
P∞
– Dann gilt n=2 n(n − 1)P (T (1) = n) = λ(1) νd (B(o, R)) , und aus (136) ergibt sich, dass
d
(1)
(1)
1 dr P (|S2 − S1 | ≤ r)
g(r) = 1 +
λ0
d κd rd−1
(137)
∀r > 0.
– Für d = 2 gilt dabei, dass




4r
πR2
d
(1)
(1)
P (|S2 − S1 | ≤ r) =

dr

 0,
r
r −
arccos
2R
2R
r
r2
1−
4R2
!
,
falls r ≤ 2R,
falls r > 2R.
(138)
4 PALMSCHE VERTEILUNG UND WEITERE KENNGRÖßEN VON PUNKTPROZESSEN
146
4. Matérn–Hardcore–Prozesse
• Ein einfaches Beispiel von stationären und isotropen Punktprozessen, für die es einen positiven Mindestabstand r0 > 0 zwischen den Punktepaaren gibt, so dass g(r) = 0 für jedes r ∈ (0, r0 ), ist durch
Matérn–Hardcore–Prozesse gegeben.
– Sei {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit der Intensität λ0 . Außerdem sei {Mn } eine Folge von
unabhängigen und in [0, 1]–gleichverteilten Zufallsvariablen, so dass die Folgen {Sn } und {Mn }
unabhängig sind.
– Mit {NB } bezeichnen wir den folgenden Punktprozess, der aus einer Teilfamilie von Atomen Sn des
Poisson–Prozesses {Sn } gebildet und Matérn–Hardcore–Prozess mit dem Hardcore–Radius r0 > 0
genannt wird:
∞
X
1IB (Sn ) 1I(0,Zn ) (Mn )
∀ B ∈ B(Rd ) ,
(139)
NB =
n=1
wobei
Zn =



min
k: 0<|Sk −Sn |≤r0
falls #{k : 0 < |Sk − Sn | ≤ r0 } > 0,
Mk ,

 1
sonst
das Minimum der „Marken” Mk derjenigen Punkte Sk 6= Sn ist, die in der Kugel B(Sn , r0 ) um den
Mittelpunkt Sn liegen.
• Man kann sich leicht überlegen, dass der in (139) definierte Punktprozess {NB } stationär und isotrop
ist. Außerdem kann man zeigen, dass die Intensität λ von {NB } gegeben ist durch
λ=
1 − exp(−λ0 κd r0d )
,
κd r0d
denn es gilt
λ = p λ0
mit
p=
Z
1
p(t) dt =
0
(140)
1 − exp(−λ0 κd r0d )
,
λ0 κd r0d
exp(−λ0 κd r0d
wobei p(t) =
t) die (Palmsche) Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass ein (willkürlich ausgewählter) Punkt des Poisson–Prozesses {Sn }, dessen Marke gleich t ist, nicht gestrichen wird.
• Die Produktdichte ρ2 (x1 , x2 ) des Matérn–Hardcore–Prozesses {NB } ist gegeben durch


falls r ≤ r0 ,

 0,

 2c (r) 1 − exp(−λ κ rd ) − 2κ rd 1 − exp(−λ c (r))
0 r0
0 d 0
d 0
r0
, falls r0 < r ≤ 2r0 ,
ρ2 (x1 , x2 ) =

κd r0d cr0 (r) cr0 (r) − κd r0d



 2
λ
falls r > 2r0 ,
(141)
wobei cr0 (r) = νd B(o, r0 ) ∪ B(x2 − x1 , r0 ) und r = |x2 − x1 |.
• Für die Paarkorrelationsfunktion g(r) von {NB } gilt also
g(r) = 0, falls r ≤ r0 ,
bzw.
g(r) ≥ 1, falls r0 < r ≤ 2r0 ,
bzw.
g(r) = 1, falls r > 2r0 .
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
5
147
Markierte Punktprozesse
5.1
Definitionen und grundlegende Eigenschaften
In diesem Abschnitt führen wir den Begriff des markierten Punktprozesses ein und diskutieren einige grundlegende
Eigenschaften dieses stochastischen Modells. Insbesondere betrachten wir stationäre markierte Punktprozesse,
ihre Palmsche Verteilung bzw. die so genannte Palmsche Markenverteilung, die als die Verteilung der Marke des
typischen Punktes interpretiert werden kann.
5.1.1
Markenraum; unabhängige Markierung
• Zur Erinnerung:
– Eine Folge {Sn } von Zufallsvektoren S1 , S2 , . . . Ω → Rd ∪ {∞} über einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) wird zufälliger Punktprozess im Rd genannt, wenn
#{n : Sn ∈ B} < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(1)
– Wenn zusätzlich zu der lokalen Endlichkeitsbedingung (1) gilt, dass mit Wahrscheinlichkeit 1
Si 6= Sj
∀ i, j ≥ 1 mit i 6= j ,
(2)
dann wird {Sn } ein einfacher zufälliger Punktprozess genannt.
– Im folgenden werden wir stets voraussetzen, dass {Sn } ein einfacher Punktprozess ist. Dabei ist durch
den Ansatz
NB = #{n : Sn ∈ B}
∀ B ∈ B(Rd )
ein (lokal endliches) zufälliges Zählmaß {NB , B ∈ B(Rd )} gegeben.
• In vielen Fällen ist es zweckmäßig, nicht nur eine Art von Punkten zu betrachten, sondern zwischen verschiedenen Typen von Punkten zu unterscheiden bzw. allgemeiner gesagt: außer den Lokationen Sn der
Punkte noch zusätzliche Informationen über die Punkte im Modell zu erfassen. Dabei wird jedem Punkt Sn
eine weitere Zufallsvariable Ln zugeordnet.
– Mit anderen Worten: Neben der Folge {Sn } betrachten wir noch eine weitere Folge {Ln } von Zufallsvariablen Ln : Ω → L über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), die ihre Werte in einem
messbaren Raum (L, L) annehmen.
– Dabei werden die meisten Beispiele so beschaffen sein, dass L ein metrischer Raum und L die σ–Algebra
der Borel–Mengen in L ist, die durch die betrachtete Metrik induziert wird.
– Man sagt dann, dass die Folge {(Sn , Ln )} ein (zufälliger) markierter Punktprozess ist. Dabei heißt Ln
die Marke (bzw. das Label) von Sn , und L wird der Markenraum von {(Sn , Ln )} genannt.
– Durch den Ansatz
NB×C = #{n : Sn ∈ B, Ln ∈ C}
∀ B ∈ B(Rd ), C ∈ L
(3)
ist ein (lokal endliches) zufälliges Zählmaß über der Produkt–σ–Algebra B(Rd ) ⊗ L gegeben.
• Wenn die Zufallsvariablen L1 , L2 , . . . : Ω → L unabhängig und identisch verteilt sind und wenn die Folgen
{Sn } und {Ln } unabhängig sind, dann sagt man, dass {(Sn , Ln )} ein unabhängig markierter Punktprozess
ist.
• Beachte: Jeder markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} in Rd mit dem Markenraum L kann als (unmarkierter)
Punktprozess in dem Produktraum Rd × L aufgefasst werden.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
148
Beispiele
• Wenn {(Sn , Ln )} ein unabhängig markierter Punktprozess ist, so dass {Sn } ein Poisson–Prozess im Rd
ist, dann nennt man {(Sn , Ln )} einen zusammengesetzten Poisson–Prozess.
• Ein Beispiel eines zusammengesetzten Poisson–Prozesses ist bereits in Abschnitt 2.1.5 diskutiert worden, und zwar im Zusammenhang mit der Konstruktion von Poisson–Prozessen in höherdimensionalen
euklidischen Räumen; vgl. auch die Bemerkung nach Theorem 2.8.
• Eine andere Art von zusammengesetzten Poisson–Prozessen wird bei der Konstruktion von modulierten
Poisson–Prozessen betrachtet; vgl. Abschnitt 3.2.3.
S∞
– Man kann nämlich in Verallgemeinerung des Keim–Korn–Modells Ξ = i=1 B(Si , r), das in Abschnitt 3.2.3 verwendet wurde, anstelle des deterministischen Kornradius r > 0 eine Folge von
zufälligen Kornradien L1 , L2 , . . . : Ω → (0, ∞) betrachten, die unabhängig und identisch verteilt
sind, wobei die Folgen {Sn } und {Ln } unabhängig sind.
– Der zusammengesetzte Poisson–Prozess {(Sn , Ln )} generiert dann das Keim–Korn–Modell
Ξ′ =
∞
[
B(Si , Li ) .
(4)
i=1
• Sei nun {Sn′ } ein Cox–Prozess im Rd , dessen (zufälliges) Intensitätsfeld {λ′x , x ∈ Rd } gegeben ist durch

 λ , falls x ∈ Ξ′ ,
1
(5)
λ′x =
 λ , falls x 6∈ Ξ′ ,
2
wobei Ξ′ in (4) gegeben ist und λ1 , λ2 ∈ (0, ∞) beliebige Zahlen mit max{λ1 , λ2 } > 0 sind.
– Dann können wir den Punkten Sn′ die Marken L′n zuordnen, wobei

 1 , falls S ′ ∈ Ξ′ ,
n
L′n =
 0 , falls S ′ 6∈ Ξ′ .
n
(6)
– Beachte: Wenn 0 < E Ldn < ∞, dann ist der markierte Punkprozess {(Sn′ , L′n )} nicht unabhängig
markiert. Denn man kann zeigen, dass die Marken von Punkte–Paaren, die hinreichend nahe
beieinander liegen, positiv korreliert sind.
• Eine weitere spezielle Klasse von zusammengesetzten Poisson–Prozessen ist durch die in Abschnitt 3.3.1
eingeführten Poissonschen Cluster–Prozesse gegeben.
– Die Folge der Marken L1 , L2 , . . . ist dabei eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten
(1)
(2)
Punktprozessen {NB }, {NB }, . . ., die von {Sn } unabhängig sind und deren Intensitätsmaß
(1)
d
{µ (B), B ∈ B(R )} endlich ist.
– Der Markenraum L ist also in diesem Fall durch den Raum N aller lokal endlichen Zählmaße in
Rd gegeben, wobei L mit der in Abschnitt 2.1.1 eingeführten σ–Algebra N von Teilmengen von N
übereinstimmt.
5.1.2
Intensitätsmaß und Campbellsches Theorem
• Ähnlich wie bei unmarkierten Punktprozessen (vgl. Abschnitt 3.1.1) kann man auch für jeden markierten
Punktprozess {(Sn , Ln )} bzw. für das zugehörige Zählmaß N = {NB×C } den Begriff des Intensitätsmaßes
µ : B(Rd ) ⊗ L → [0, ∞] einführen, wobei
µ(B × C) = E NB×C
∀ B ∈ B(Rd ) , C ∈ L .
• Dabei wird stets vorausgesetzt, dass das Maß µ(· × L) lokal endlich ist.
(7)
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
149
Das folgende Resultat wird in der Literatur das Campbellsche Theorem für markierte Punktprozesse genannt. Es
kann als eine Verallgemeinerung von Theorem 3.1 aufgefasst werden.
Theorem 5.1
• Sei {(Sn , Ln )} ein markierter Punktprozess mit dem Intensitätsmaß µ : B(Rd ) ⊗ L → [0, ∞], und sei
f : (Rd ∪ {∞}) × L → [0, ∞) eine nichtnegative Borel–messbare Funktion mit f (∞, l) = 0 für jedes l ∈ L.
• Dann gilt
E
d.h.,
P∞
n=1
∞
X
n=1
f (Sn , Ln )
!
=
Z
f (x, l) µ(d(x, l)) ,
Rd ×L
f (Sn , Ln ) ist ein erwartungstreuer Schätzer des Integrals
R
Rd ×L
(8)
f (x, l) µ(d(x, l)).
Der Beweis von Theorem 5.1 verläuft analog zum Beweis von Theorem 3.1 und wird deshalb weggelassen.
5.1.3
Stationarität und Ergodizität
Unter der Stationarität eines markierten Punktprozesses versteht man die folgende Invarianzeigenschaft seiner
endlich–dimensionalen Wahrscheinlichkeiten bezüglich beliebiger Verschiebungen des Nullpunktes.
Definition
wenn
Der markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} bzw. das zugehörige Zählmaß N = {NB×C } heißt stationär,
D
NB1 ×C1 , . . . , NBn ×Cn = N(B1 +x)×C1 , . . . , N(Bn +x)×Cn
(9)
für beliebige n ≥ 1, B1 , . . . , Bn ∈ B(Rd ), C1 , . . . , Cn ∈ L und x ∈ Rd , wobei Bi + x = {y + x : y ∈ Bi } die
Verschiebung der Borel–Menge Bi um den Vektor x bezeichnet und
NBi ×Ci = #{n : Sn ∈ Bi , Ln ∈ Ci } .
Beachte
• Die in (9) betrachtete Invarianzeigenschaft bezieht sich lediglich auf die Verschiebung der Lokationen
Sn der Punkte um den Vektor −x (was der Verschiebung des Nullpunktes um den Vektor x entspricht),
während die Marken Ln nicht verändert werden.
• Man kann sich leicht überlegen, dass jeder unabhängig markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} stationär
ist, wenn der zugrundeliegende (unmarkierte) Punktprozess {Sn } stationär ist.
• Außerdem ergibt sich unmittelbar aus den Definitionsgleichungen (3.16) und (9), dass der (unmarkierte) Punnktprozess {Sn }, der einem stationären markierten Punktprozess {(Sn , Ln )} zugrunde liegt,
ebenfalls stationär ist.
• Umgekehrt kann man Beispiele dafür finden, so dass {Sn } stationär ist, obwohl der markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} nicht stationär ist.
Ähnlich wie in Theorem 3.5 kann man zeigen, dass stationäre markierte Punktprozesse mit Wahrscheinlichkeit 1
entweder unendlich viele Punkte mit Marken aus einer vorgegebenen Markenmenge C ∈ L haben oder überhaupt
keinen Punkt mit einer Marke aus C besitzen. Dabei ergibt sich das folgende Resultat.
Theorem 5.2
Sei {(Sn , Ln )} ein stationärer markierter Punktprozess. Dann gilt
P {NRd ×C = ∞} ∪ {NRd ×C = 0} = 1
∀C ∈ L,
wobei NRd ×C = #{n : Sn ∈ Rd , Ln ∈ C}.
(10)
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
150
Beweis Die Gültigkeit von (10) ergibt sich unmittelbar aus Theorem 3.5, wenn {N·×C } als das zufällige Zählmaß
eines unmarkierten stationären Punktprozesses aufgefasst wird, und zwar des stationären Punktprozesses
aller derjenigen Punkte Sn mit einer Marke aus C.
Auf die gleiche Weise wie Theorem 5.2 ergibt sich das folgende Resultat aus Theorem 3.6.
Theorem 5.3 Sei {(Sn , Ln )} ein stationärer markierter Punktprozess. Dann gibt es für jedes C ∈ L eine
Konstante λC < ∞, so dass
µ(B × C) = λC νd (B)
∀ B ∈ B(Rd )
(11)
und
P N{x}×C > 0 = 0
Beachte
∀ x ∈ Rd .
(12)
• Offenbar gilt λC = E N[0,1]d ×C , d.h., die Konstante λC in (11) ist die Intensität derjenigen Punkte
Sn , die eine Marke aus C haben. Deshalb wird λC auch kurz C–Intensität des stationären markierten
Punktprozesses {(Sn , Ln )} genannt.
• Aus (11) ergibt sich außerdem, dass
bC,W = NW ×C
λ
νd (W )
(13)
für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ein erwartungstreuer Schätzer für λC ist.
• Wenn W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit νd (Wn ) → ∞ für n → ∞ ist
und wenn
Var NWn ×C
= 0,
(14)
lim
n→∞
νd2 (Wn )
dann ergibt sich aus der Tschebyschew–Ungleichung (vgl. Theorem WR-4.18), dass der erwartungstreue
bC,W schwach konsistent ist.
Schätzer λ
n
• Ähnlich wie im unmarkierten Fall kann anstelle der Bedingung (14) vorausgesetzt werden, dass der
bC,W ein (stark)
stationäre markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} ergodisch ist, um zu gewährleisten, dass λ
n
konsistenter Schätzer für λC ist.
Um den Begriff der Ergodizität von stationären markierten Punktprozessen einführen zu können, betrachten wir
den folgenden kanonischen Wahrscheinlichkeitsraum.
• Sei NL die Familie aller Zählmaße ϕ : B(Rd ) × L → {0, 1, . . .} ∪ {∞}, so dass ϕ(B × L) < ∞ für jedes
B ∈ B0 (Rd ).
• Außerdem betrachten wir
– die σ–Algebra NL ⊂ P(NL ), wobei NL die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von NL ist, so dass
ϕ 7→ ϕ(B × C) für beliebige B ∈ B(Rd ) und C ∈ L eine (NL , B(R))–messbare Abbildung ist,
– und die Familie {Tx , x ∈ Rd } von (NL , NL )–messbaren Verschiebungsoperatoren Tx : NL → NL , so
dass
Tx ϕ)(B × C) = ϕ((B + x) × C)
∀ x ∈ Rd , B ∈ B(Rd ), C ∈ L ,
(15)
P
P
d.h., jedem Zählmaß ϕ = n an δ(sn ,ln ) aus NL wird das Zählmaß Tx ϕ = n an δ(sn −x,ln ) zugeordnet,
wobei die (Lokations–) Komponenten sn der Atome (sn − x, ln ) von ϕ um den Vektor −x verschoben
werden.
– Die „Gewichte” an ∈ R \ {0} und die Marken ln der Punkte sn bleiben dabei unverändert.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
151
• Man kann sich leicht überlegen, dass der markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} bzw. das zugehörige zufällige
Zählmaß N = {NB×C } genau dann stationär ist,
– wenn seine Verteilung PN invariant bezüglich {Tx } ist, wobei PN (A) = P (N ∈ A) für jedes A ∈ NL ,
– d.h., die Definitionsgleichung (9) für die Stationarität von markierten Punktprozessen gilt genau dann,
wenn
PN (A) = PN (Tx A)
∀ x ∈ Rd , A ∈ NL ,
wobei Tx A = {Tx ϕ : ϕ ∈ A}.
(16)
Beachte
• Ähnlich wie im unmarkierten Fall bildet der kanonische Wahrscheinlichkeitsraum (NL , NL , PN ) zusammen mit der in (15) eingeführten Gruppe T = {Tx , x ∈ Rd } von Verschiebungsoperatoren ein
dynamisches System; vgl. Abschnitt 3.4.1.
• Dabei heißt der stationäre markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} ergodisch, wenn das dynamische System
(NL , NL , PN , T) ergodisch ist.
Ähnlich wie bei der Herleitung von Theorem 3.18 für unmarkierte Punktprozesse ergibt sich auch im markierten
bC,W = NW ×C /νd (W ) die folgende (starke) KonsistenzFall aus Theorem 3.17, dass der Intensitätsschätzer λ
eigenschaft besitzt, wenn der markierte Punktprozess N = {NB×C } ergodisch ist.
Theorem 5.4 Sei N = {NB×C } ein ergodischer markierter Punktprozess mit der C–Intensität λC , wobei C ∈ L
eine beliebige (messbare) Teilmenge des Markenraumes L ist. Dann gilt
bC,[−n,n]d = λC = 1 .
P lim λ
(17)
n→∞
Beachte
• Man kann sich leicht überlegen, dass jeder unabhängig markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} ergodisch
ist, wenn der zugrundeliegende (unmarkierte) Punktprozess {Sn } ergodisch ist.
• Außerdem kann man zeigen, dass der in (5) – (6) eingeführte (nicht unabhängig) markierte Punktprozess {(Sn′ , L′n )} stationär und auch ergodisch ist.
5.2
5.2.1
Palmsche Verteilungen
Definition durch Intensitätsquotienten; typischer Punkt
Ähnlich wie bei unmarkierten Punktprozessen (vgl. Abschnitt 4.1) besteht die Grundidee bei der Definition
von Palmschen Verteilungen stationärer markierter Punktpozesse {(Sn , Ln )} darin, für beliebige (jedoch fest
vorgegebene) A ∈ NL und C ∈ L nur diejenigen Atome von {(Sn , Ln )} zu betrachten, die eine Marke aus C
haben und aus deren Sicht das zugehörige zufällige Zählmaß die Eigenschaft A hat.
Dies führt zu der folgenden verallgemeinerten Version der Definitionsgleichung (4.6) für die Palmsche Verteilung
von (unmarkierten) statiuonären Punktprozessen.
Definition Sei C ∈ L eine beliebige (messbare) Teilmenge des Markenraumes L mit 0 < λC < ∞. Dann heißt
die Mengenfunktion PNC : NL → [0, 1] mit
P∞
E # n : Sn ∈ [0, 1]d , Ln ∈ C, m=1 δ(Sm −Sn ,Lm ) ∈ A
C
PN (A) =
∀ A ∈ NL
(18)
λC
die Palmsche Verteilung von {(Sn , Ln )} bezüglich der Markenmenge C ∈ L.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
152
Beachte
• Mit der gleichen Begründung wie bei der Herleitung von (4.6) ergibt sich, dass für jedes B ∈ B0 (Rd )
mit 0 < νd (B) < ∞ und für jedes A ∈ NL
P∞
E # n : Sn ∈ B, Ln ∈ C, m=1 δ(Sm −Sn ,Lm ) ∈ A
C
PN (A) =
λC νd (B)
Z
X
1IA Tsn (ϕ) ϕ PN (dϕ)
=
NL
n: sn (ϕ)∈B, ln (ϕ)∈C
.
λC νd (B)
• Außerdem ergibt sich genauso wie im Beweis von Theorem 4.2, dass
PNC (NC
L) = 1,
(19)
wobei NC
L = {ϕ ∈ NL : ϕ({o} × C) > 0} die Menge derjenigen Zählmaße aus NL ist, die im Nullpunkt
ein Atom mit einer Marke aus C besitzen. Wegen (19) genügt es, die Palmsche Verteilung PNC auf der
Spur–σ–Algebra
NLC = NL ∩ NC
L
zu betrachten.
• Wenn der stationäre markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} ergodisch ist, dann ergibt sich so wie im Beweis
von Theorem 4.3, dass für jedes A ∈ NL
PNC (A) = lim
n→∞
N[−n,n]d ×C,A
,
N[−n,n]d ×C
(20)
wobei
∞
X
δ(Sm −Sn ,Lm ) ∈ A ,
N[−n,n]d ×C,A = # n : Sn ∈ [−n, n]d , Ln ∈ C,
N[−n,n]d ×C = N[−n,n]d ×C,NL .
m=1
• Weil die Palmsche Wahrscheinlichkeit PNC (A) im ergodischen Fall als Grenzwert der relativen Häufigkeiten N[−n,n]d ×C,A / N[−n,n]d ×C in (20) dargestellt werden kann, kann man PNC (A) als die Wahrscheinlichkeit auffassen, dass der stationäre markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} aus der Sicht eines zufällig
herausgegriffenen Punktes Sm mit einer Marke Lm aus C die Eigenschaft A hat.
• Man sagt deshalb auch, dass PNC (A) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass der typische Punkt von
{(Sn , Ln )} mit einer Marke aus C die Eigenschaft A hat.
• Im ergodischen Fall liefert die Formel (20) somit einen natürlichen Ansatz zur (konsistenten) Schätzung
der Palmschen Wahrscheinlichkeit PNC (A), wenn die Anzahlen N[−n,n]d ×C und N[−n,n]d ×C,A für ein
großes n, d.h., für ein großes Beobachtungsfenster Wn = [−n, n]d bestimmt werden können.
Unmittelbar aus der Definitionsgleichung (18) der Palmschen Verteilung PNC ergibt sich durch algebraische Induktion das folgende Campbellsche Theorem für stationäre markierte Punktprozesse (vgl. auch das Lemma 4.1
für den unmarkierten Fall).
Theorem 5.5
• Sei {(Sn , Ln )} ein stationärer markierter Punktprozess, und sei f : Rd × NL → [0, ∞) eine nichtnegative
messbare Funktion.
• Dann gilt für jedes C ∈ L mit λC > 0
Z Z
Z
f (x, Tx ϕ) ϕ(dx × C) PN (dϕ) = λC
NL
Rd
Rd
Z
f (x, ϕ) PNC (dϕ) dx .
NL
(21)
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
153
Außerdem ergibt sich aus Theorem 5.5 das folgende (duale) Campbellsche Theorem.
Korollar 5.1 Sei {(Sn , Ln )} ein stationärer markierter Punktprozess, und sei g : Rd × NL → [0, ∞) eine
nichtnegative messbare Funktion. Dann gilt für jedes C ∈ L mit λC > 0
Z Z
Z Z
g(x, ϕ) ϕ(dx × C) PN (dϕ) = λC
g(x, T−x ϕ) PNC (dϕ) dx .
(22)
NL
Rd
Rd
NL
Beweis
• Die Funktion f : Rd × ML → [0, ∞) sei gegeben durch f (x, ϕ) = g(x, T−x ϕ).
• Dann ergibt sich aus Formel (21) in Theorem 5.5, dass
Z Z
Z Z
λC
g(x, T−x ϕ) PNC (dϕ) dx = λC
f (x, ϕ) PNC (dϕ) dx
d
d
R
NL
R
NL
Z Z
(21)
=
f (x, Tx ϕ) ϕ(dx × C) PN (dϕ)
NL Rd
Z Z
g x, T−x (Tx ϕ) ϕ(dx × C) PN (dϕ)
=
Rd
N
Z LZ
=
g(x, ϕ) ϕ(dx × C) PN (dϕ) .
NL
Rd
Beachte
• Für jedes C ∈ L ist das Campbellsche Maß γ C : NL ⊗ B(Rd ) → [0, ∞] des stationären markierten
Punktprozesses {(Sn , Ln )} gegeben durch
Z
C
γ (A × B) =
ϕ(B × C) 1IA (ϕ) PN (dϕ)
∀ A ∈ NL , B ∈ B(Rd ) .
(23)
NL
• Für g(x, ϕ) = 1IB (x)1IA (ϕ) ergibt sich dann aus Korollar 5.1, dass für jedes C ∈ L mit λC > 0
Z
C
γ (A × B) = λC
PxC (A) dx
∀ A ∈ NL , B ∈ B(Rd ) ,
(24)
B
wobei für jedes x ∈ Rd das Wahrscheinlichkeitsmaß PxC : NL → [0, 1] gegeben ist durch
PxC (A) = PNC (Tx A)
5.2.2
∀ A ∈ NL .
(25)
Lokale Charakterisierung; Zwei–Punkt–Palm–Verteilung
Ähnlich wie in Abschnitt 4.1.2 lässt sich auch für stationäre markierte Punktprozesse eine lokale Charakterisierung
der in (18) eingeführten Palmschen Verteilung PNC herleiten. Dabei ergibt sich genauso wie in Theorem 4.4 bzw.
in Korollar 4.1 das folgende Resultat.
Theorem 5.6
Sei Bk = [−1/k, 1/k]d für jedes k ≥ 1.
• Dann gilt
lim
k→∞
PN (ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) > 0)
= λC
νd (Bk )
∀C ∈ L.
(26)
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
154
• Darüber hinaus gilt für jedes C ∈ L mit 0 < λC < ∞, dass
lim kPNC − Pk,C k = 0 ,
(27)
k→∞
wobei die (bedingte) Verteilung Pk,C : NL → [0, 1] gegeben ist durch
Pk,C (A) = PN {ϕ ∈ NL : Ts(k) (ϕ) ϕ ∈ A} | {ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) > 0}
∀ A ∈ NL
(28)
und s(k) (ϕ) dasjenige Atom von ϕ in Bk mit einer Marke aus C bezeichnet, das den kleinsten Abstand vom
Nullpunkt hat.
Beachte
• Ähnlich wie Theorem 4.4 im unmarkierten Fall wird Theorem 5.6 der Satz von Korolyuk für stationäre
markierte Punktprozesse genannt.
• Man kann sich leicht überlegen, dass sich aus Theorem 5.6 das folgende Resultat ergibt, das in der
Literatur der Satz von Dobrushin genannt wird.
Korollar 5.2
Für jedes C ∈ L gilt
lim
PN (ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) > 1)
= 0
νd (Bk )
(29)
PN (ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) = 1)
= λC .
νd (Bk )
(30)
k→∞
und somit
lim
k→∞
Beweis
• Es gilt
PN (ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) > 1)
νd (Bk )
∞
∞
X
X
1
PN (ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) = j)
j PN (ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) = j) −
≤
νd (Bk ) j=1
j=1
=
λC −
1
PN (ϕ ∈ NL : ϕ(Bk × C) > 0) .
νd (Bk )
• Hieraus und aus Theorem 5.6 ergibt sich die Gültigkeit von (29) und (30).
Auf ähnliche Weise wie die lokale Charakterisierung (27) der Palmschen Verteilung PNC lässt sich das folgende
zweidimensionale Analogon von (27) herleiten.
• Dabei benötigen wir den Begriff der Nullfolge von gerichteten Zerlegungen des Rd in paarweise disjunkte
und beschränkte Borel–Mengen, vgl. auch Abschnitt 3.5.4. Sei also {{Bkj , j ≥ 1}, k ≥ 1} eine Familie von
beschränkten Borel–Mengen Bkj ∈ B0 (Rd ) mit den folgenden Eigenschaften:
S∞
– Für beliebige i, j, k ≥ 1 mit i 6= j gelte j=1 Bkj = Rd und Bki ∩ Bkj = ∅.
– Für jedes k ≥ 1 und für jede beschränkte Borel–Menge B ∈ B0 (Rd ) gilt Bkj ∩ B 6= ∅ nur für endliche
viele j ≥ 1 (lokale Endlichkeit).
– Für beliebige k, j ≥ gibt es eine Zahl i ≥ 1, so dass Bk+1,j ⊂ Bki (Gerichtetheit bzw. „Nesting”).
– Es gilt limk→∞ supj≥1 supx,y∈Bkj |x − y| = 0 (beliebig hohe Feinheit).
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
155
• Außerdem sei α2C1 ,C2 : B(R2d ) → [0, ∞] das zweite faktorielle Momentenmaß von {(Sn , Ln )} bezüglich der
Markenmengen C1 , C2 ∈ L, wobei
α2C1 ,C2 (B1 × B2 ) = E
X6=
n1 ,n2
1IB1 ×B2 Sn1 , Sn2 1IC1 ×C2 Ln1 , Ln2
∀ B1 , B2 ∈ B(Rd ) ,
(31)
wobei sich die Summation in (31) über alle Paare (n1 , n2 ) von verschiedenen Indizes erstreckt.
Theorem 5.7
• Seien C1 , C2 ∈ L beliebige Teilmengen des Markenraumes L, und sei {{Bkj , j ≥ 1}, k ≥ 1} eine Nullfolge
von gerichteten Zerlegungen des Rd .
• Dann gibt es für α2C1 ,C2 –fast jeden Vektor (x1 , x2 ) ∈ R2d ein Wahrscheinlichkeitsmaß PxC11,x,C2 2 : NL → [0, 1]
mit
PxC11,x,C2 2 (A) = lim PN A | {ϕ ∈ NL : ϕ(Bk (x1 ) × C1 ) > 0, ϕ(Bk (x2 ) × C2 ) > 0}
∀ A ∈ NL ,
(32)
k→∞
wobei Bk (x) diejenige Komponente Bkj der Zerlegung {Bkj , j ≥ 1} bezeichnet, für die x ∈ Bkj gilt.
Der Beweis von Theorem 5.7 geht über den Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinaus, denn er erfordert
relativ tiefliegende Hilfsmittel aus der Maßtheorie, vgl. O. Kallenberg (1986) Random Measures, Academic Press,
London.
Beachte
• Das in Theorem 5.7 betrachtete Wahrscheinlichkeitsmaß PxC11,x,C2 2 heißt Zwei–Punkt–Palm–Verteilung
von {(Sn , Ln )} bezüglich der Markenmengen C1 , C2 ∈ L.
• Wegen (32) kann PxC11,x,C2 2 als bedingte Verteilung von {(Sn , Ln )} aufgefasst werden unter der Bedingung,
dass in (infinitesimal kleinen Umgebungen der) Lokationen x1 und x2 mit x1 6= x2 jeweils ein Punkt
des Punktprozesses {(Sn , Ln )} mit einer Marke aus C1 bzw. C2 liegt.
Mit Hilfe von (ebenfalls relativ tiefliegenden) Hilfsmitteln aus der Maß– und Integrationstheorie kann man zeigen,
dass die in (32) gegebene Familie der Wahrscheinlichkeiten {PxC11,x,C2 2 (A), x1 , x2 ∈ Rd } als eine Radon–Nikodym–
Dichte des Campbellschen Maßes zweiter Ordnung von {(Sn , Ln )} aufgefasst werden kann.
Theorem 5.8
• Für beliebige, fest vorgegebene C1 , C2 ∈ L sei γ C1 ,C2 : NL ⊗ B(R2d ) → [0, ∞] das Campbellsche Maß zweiter
Ordnung des stationären markierten Punktprozesses {(Sn , Ln )}, wobei
Z
X6=
C1 ,C2
(A × B1 × B2 ) =
γ
1IA (ϕ)
1IB1 ×B2 Sn1 (ϕ), Sn2 (ϕ) 1IC1 ×C2 Ln1 (ϕ), Ln2 (ϕ) PN (dϕ) . (33)
n1 ,n2
NL
• Dann gilt
γ
C1 ,C2
(A × B1 × B2 ) =
Z
B1 ×B2
PxC11,x,C2 2 (A) α2C1 ,C2 (d(x1 , x2 ))
∀ A ∈ NL , B1 , B2 ∈ B(Rd ) .
(34)
Beweis
• Unmittelbar aus den Definitionsgleichungen (31) und (33) von α2C1 ,C2 bzw. γ C1 ,C2 ergibt sich, dass aus
α2C1 ,C2 (B1 × B2 ) = 0 die Gültigkeit von γ C1 ,C2 (A × B1 × B2 ) = 0 folgt, und zwar für beliebige A ∈ NL
und B1 , B2 ∈ B(Rd ).
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
156
C1 ,C2
: B(R2d ) → [0, ∞] mit
• D.h., für jedes A ∈ NL ist das σ–endliche Maß γA
C1 ,C2
γA
(B1 × B2 ) = γ C1 ,C2 (A × B1 × B2 )
∀ B1 , B2 ∈ B(Rd )
absolutstetig bezüglich des zweiten faktoriellen Momentenmaßes α2C1 ,C2 .
C1 ,C2
/dα2C1 ,C2 mit
• Es gibt somit eine Radon–Nikodym–Dichte dγA
C1 ,C2
γA
(B1
× B2 ) =
Z
C1 ,C2
dγA
B1 ×B2
dα2C1 ,C2
(x1 , x2 ) α2C1 ,C2 (d(x1 , x2 ))
∀ B1 , B2 ∈ B(Rd ) .
(35)
• Außerdem kann man zeigen, dass der stochastische Kern p : R2d × NL → [0, 1] in (35) mit
p(x, A) =
C1 ,C2
dγA
dα2C1 ,C2
(x)
∀ x ∈ R2d , A ∈ NL
so gewählt werden kann,
– dass die Mengenfunktion px : NL → [0, 1] mit px (A) = p(x, A) für α2C1 ,C2 –fast jedes x = (x1 , x2 )
ein Wahrscheinlichkeitsmaß, d.h., σ–additiv ist,
– das mit der in (32) eingeführten Zwei–Punkt–Palm–Verteilung PxC11,x,C2 2 : NL → [0, 1] übereinstimmt; vgl. § 15 in O. Kallenberg (1986) Random Measures, Academic Press, London.
5.2.3
Palmsche Markenverteilung
Wenn in der Definitionsgleichung (18) der Palmschen Verteilung PNC spezielle Ereignisse A ∈ NLC betrachtet
werden, dann führt dies zu dem folgenden Begriff der Palmschen Markenverteilung.
Definition Sei C ∈ L eine beliebige Teilmenge des Markenraumes L mit 0 < λC < ∞, und sei LC = L ∩ C.
Dann heißt die Mengenfunktion Po,C : LC → [0, 1] mit
Po,C (C ′ ) =
λC ′
λC
∀ C ′ ∈ LC
(36)
die (bedingte) Palmsche Markenverteilung von {(Sn , Ln )} bezüglich der Markenmenge C ∈ L.
Beachte
• Sei C ′ ∈ LC . Wenn in (18) die Menge AC ′ ∈ NLC mit AC ′ = {ϕ ∈ NL : ϕ({o} × C ′ ) > 0} eingesetzt
wird, dann ergibt sich, dass
Po,C (C ′ ) = PNC (AC ′ ) .
(37)
• Im ergodischen Fall kann die Größe Po,C (C ′ ) somit als die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür aufgefasst werden, dass der typische Punkt von {(Sn , Ln )} eine Marke aus C ′ ∈ LC hat unter der Bedingung,
dass die Marke des typischen Punktes aus C ist.
• Insbesondere ist dann Po : L → [0, 1] mit Po (C) = Po,L (C) die (unbedingte) Markenverteilung des
typischen Punktes von {(Sn , Ln )}.
Wir zeigen nun, welche Form die in (36) eingeführte Palmsche Markenverteilung Po,C : LC → [0, 1] bei unabhängiger Markierung besitzt.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
157
Theorem 5.9
• Der stationäre markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} sei unabhängig markiert, wobei G : L → [0, 1] mit
G(C) = P (Ln ∈ C)
(38)
∀C ∈ L
die Verteilung der (unabhängigen und identisch verteilten) Zufallsvariablen L1 , L2 , . . . : Ω → L bezeichnet.
• Für jedes C ∈ L mit G(C) > 0 gilt dann, dass λC > 0 und
Po,C (C ′ ) =
G(C ′ )
G(C)
∀ C ′ ∈ LC .
(39)
Beweis
• Gemäß Theorem 5.3 ist die Intensität λC des stationären markierten Punktprozesses {(Sn , Ln )} gegeben durch
λC = E #{n : Sn ∈ [0, 1]d , Ln ∈ C}
∀C ∈ L.
– Außerdem ergibt sich aus der unabhängigen Markierung von {(Sn , Ln )}, dass
λC
E #{n : Sn ∈ [0, 1]d , Ln ∈ C}
∞
X
1I[0,1]d (Sn )1IC (Ln )
E
=
=
n=1
∞
X
=
unabhängige Markierung
=
n=1
∞
X
E 1I[0,1]d (Sn )1IC (Ln )
E 1I[0,1]d (Sn )E 1IC (Ln )
n=1
P (L1 ∈ C)
=
∞
X
n=1
P (Sn ∈ [0, 1]d )
– Hieruas folgt insbesondere, dass λC > 0 genau dann, wenn P (L1 ∈ C) > 0.
• Die Markenmenge C ∈ L sei nun so gewählt, dass P (L1 ∈ C) > 0. Dann ergibt sich aus der oben
geführten Rechnung, dass für jedes C ′ ∈ LC
λC ′
Po,C (C ′ ) =
=
λC
5.3
P (L1 ∈ C ′ )
P (L1 ∈ C)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
P (Sn ∈ [0, 1]d )
P (Sn ∈ [0, 1]d )
=
G(C ′ )
.
G(C)
Weitere Kenngrößen von markierten Punktprozessen und ihre Schätzer
Wir diskutieren nun einige Kenngrößen von stationären und ergodischen markierten Punktprozessen,
• deren Definitionen mit den in Abschnitt 5.2 eingeführten Begriffen der Palmschen Verteilung PNC bzw. der
Zwei–Punkt–Palm–Verteilung PxC11,x,C2 2 zusammenhängen
• und die zur statistischen Analyse der Struktureigenschaften von unregelmäßigen markierten Punktmustern
genutzt werden können.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
5.3.1
158
Markenkovarianzfunktion
Dabei betrachten wir zunächst für markierte Punktprozesse mit reellwertigen Marken die Kovarianz der Marken
von zwei zufällig ausgewählten Punkten des Punktprozesses, die einen vorgegebenen Abstand voneinander haben.
Sei {(Sn , Ln )} ein stationärer und isotroper markierter Punktprozess, dessen Marken relle Zahlen sind, d.h. L = R,
sei {{Bkj , j ≥ 1}, k ≥ 1} eine Nullfolge von gerichteten Zerlegungen des Rd , und sei Bk (x) diejenige Komponente
Bkj der Zerlegung {Bkj , j ≥ 1}, für die x ∈ Bkj gilt.
Außerdem verwenden wir für x1 , x2 ∈ Rd und C1 , C2 ∈ L die abkürzende Schreibweise
,C2
= {ϕ ∈ NL : ϕ(Bk (x1 ) × C1 ) > 0, ϕ(Bk (x2 ) × C2 ) > 0} .
AxC11,x
2 ,k
Definition
• Ähnlich wie in Theorem 5.7 kann man zeigen, dass es für α2L,L –fast jeden Vektor (x1 , x2 ) ∈ R2d ein
Wahrscheinlichkeitsmaß Px1 ,x2 : L ⊗ L → [0, 1] gibt mit
,C2
| AL,L
Px1 ,x2 (C1 × C2 ) = lim PN AxC11,x
∀ C1 , C2 ∈ L .
(40)
x1 ,x2 ,k
2 ,k
k→∞
• Das in (40) gegebene Wahrscheinlichkeitsmaß Px1 ,x2 heißt die (unbedingte) Palmsche Zwei–Punkt–
Markenverteilung von {(Sn , Ln )} bezüglich des Punktepaares (x1 , x2 ).
• Außerdem heißt die Funktion θ : (0, ∞) → R mit
Z
2
Z
l Po (dl)
l1 l2 Px1 ,x2 (dl1 × dl2 ) −
θ(r) =
(41)
L
L×L
die Markenkovarianzfunktion von {(Sn , Ln )}, wobei Po die in Abschnitt 5.2.3 eingeführte Palmsche
Markenverteilung ist und vorausgesetzt wird, dass
Z
Z
und
|l1 l2 | Px1 ,x2 (dl1 × dl2 ) < ∞
|l| Po (dl) < ∞ .
L×L
L
Beachte Wegen der Stationarität und Isotropie von ({Sn , Ln )} hängt das Wahrscheinlichkeitsmaß Px1 ,x2 in
(40) und somit auch der Wert des Integrals in (41) lediglich vom Abstand r = |x2 − x1 | der Lokationen
x1 , x2 ∈ Rd ab.
Theorem 5.10
• Wenn der Punktprozess {(Sn , Ln )} unabhängig markiert ist, dann ist das in (40) eingeführte Wahrscheinlichkeitsmaß Px1 ,x2 : L ⊗ L → [0, 1] ein Produktmaß, das nicht von x1 , x2 (und damit natürlich auch nicht
von r = |x2 − x1 |) abhängt, wobei
Px1 ,x2 (C1 × C2 ) = P (L1 ∈ C1 ) P (L1 ∈ C2 )
• Insbesondere gilt dann
θ(r) = 0
∀ C1 , C2 ∈ L .
∀r > 0.
(42)
(43)
Beweis
• Aus der Definitionsgleichung (40) der Palmschen Zwei–Punkt–Markenverteilung Px1 ,x2 und aus Formel
(29) in Korollar 5.2 ergibt sich, dass
Px1 ,x2 (C1 × C2 )
(40)
=
=
(29)
=
,C2
| AL,L
lim PN AxC11,x
x1 ,x2 ,k
2 ,k
k→∞
lim PN {ϕ ∈ NL : ϕ(Bk (x1 ) × C1 ) > 0, ϕ(Bk (x2 ) × C2 ) > 0} | AL,L
x1 ,x2 ,k
k→∞
lim PN {ϕ ∈ NL : ϕ(Bk (x1 ) × C1 ) = 1, ϕ(Bk (x2 ) × C2 ) = 1} | AL,L
x1 ,x2 ,k .
k→∞
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
159
• Hieraus und aus der unabhängigen Markiertheit von {(Sn , Ln )} ergibt sich dann für jede hinreichend
große Zahl k ≥ 1 mit Bk (x1 ) ∩ Bk (x2 ) = ∅, dass
Px1 ,x2 (C1 × C2 )
= P (L1 ∈ C1 ) P (L1 ∈ C2 )
× lim PN {ϕ ∈ NL : ϕ(Bk (x1 ) × L) = 1, ϕ(Bk (x2 ) × L) = 1} | AL,L
x1 ,x2 ,k
k→∞
= P (L1 ∈ C1 ) P (L1 ∈ C2 ) ,
wobei sich die letzte Gleichheit durch die erneute Anwendung von Korollar 5.2 ergibt.
• Damit ist (42) bewiesen. Hieraus und aus (39) ergibt sich die Gültigkeit von (43).
Ein weiterer interessanter Spezialfall ist gegeben, wenn die Marken Ln von {(Sn , Ln )} durch ein zufälliges Feld
{Zx , x ∈ Rd } generiert werden, dass von dem (unmarkierten) Punktprozess {Sn } unabhängig ist, und wenn dabei
Ln = ZSn gesetzt wird.
Theorem 5.11
• Sei {Sn } ein stationärer und isotroper Punktprozess im Rd , und sei {Zx , x ∈ Rd } ein stationäres und
isotropes Zufallsfeld mit Werten in R, so dass E Zx2 < ∞ für jedes x ∈ Rd .
• Die stochastischen Prozesse {Sn } und {Zx } seien unabhängig, und die Abbildung ZSn : Ω → R mit
ZSn (ω) = ZSn (ω) (ω)
∀ω ∈ Ω
sei für jedes n ≥ 1 eine wohldefinierte Zufallsvariable.
• Dann ist {(Sn , Ln )} mit Ln = ZSn ein stationärer und isotroper markierter Punktprozess in Rd mit Marken
in L = R, wobei das in (40) eingeführte Wahrscheinlichkeitsmaß Px1 ,x2 : L ⊗ L → [0, 1] gegeben ist durch
Px1 ,x2 (C1 × C2 ) = P (Zx1 ∈ C1 , Zx2 ∈ C2 )
• Insbesondere gilt
2
θ(r) = E Zo Zx2 −x1 − E Zo
∀ C1 , C2 ∈ L .
∀ r = |x2 − x1 | > 0 .
(44)
Der Beweis von Theorem 5.11 verläuft analog zum Beweis von Theorem 5.10.
Beachte
• Für das in Theorem 5.11 betrachtete Modell stimmt die Markenkovarianzfunktion θ : (0, ∞) → R mit
der Kovarianzfunktion des Zufallsfeldes {Zx , x ∈ Rd } überein.
b für die Markenkovarianzfunktion θ(r) von {(Sn , Ln )} kann eine
• Zur Konstruktion eines Schätzers θ(r)
verallgemeinerte Version des Schätzansatzes verwendet werden, der in Abschnitt 4.3.5 bei der Schätzung
der Produktdichte ρ2 (r) betrachtet wurde.
b
• Ähnlich wie in (4.121) kann man beispielsweise den folgenden randkorrigierten Schätzer θ(r)
für θ(r)
betrachten:
X6=
k(|Sn2 − Sn1 | − r)1IW ×W (Sn1 , Sn2 ) ZSn1 − Z W ZSn2 − Z W
n1 ,n2
νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
b
,
(45)
θ(r) =
X6=
k(|Sn2 − Sn1 | − r)1IW ×W (Sn1 , Sn2 )
n1 ,n2
νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
160
wobei das Stichprobenmittel
ZW =
∞
P
1IW (Sn )ZSn
n=1
∞
P
1IW (Sn )
n=1
ein Schätzer für E Zo und k : R → [0, ∞) eine Kernfunktion ist, beispielsweise
k(t) =
1
1I[−h,h] (t)
2h
∀t ∈ R
für eine gewisse Bandbreite h > 0.
5.3.2
Bedingte K–Funktionen und bedingte Paarkorrelationsfunktionen
In diesem Abschnitt verallgemeinern wir die Begriffe der Ripleyschen K–Funktion und der Paarkorrelationsfunktion, die in den Abschnitten 4.3.4 bzw. 4.3.5 für den unmarkierten Fall eingeführt worden sind.
Dabei nehmen wir an, dass {(Sn , Ln )} ein stationärer und isotroper markierter Punktprozess ist und dass der
Markenraum L von {(Sn , Ln )} eine nichtleere endliche Menge ist, wobei L die Potenzmenge von L bezeichnet.
Die Marke Ln von Sn interpretieren wir als den Typ des Punktes Sn .
Beachte
• Zur Vereinfachung der Schreibweise bezeichnen wir das in (31) eingeführte zweite faktorielle Momen{i},{j}
tenmaß α2
von {(Sn , Ln )} bezüglich der Markenmengen {i}, {j} ⊂ L mit α2ij , d.h.,
α2ij (B1 × B2 ) = E
X6=
n1 ,n2
1IB1 ×B2 Sn1 , Sn2 1I{i}×{j} Ln1 , Ln2
∀ B1 , B2 ∈ B(Rd ) ,
(46)
wobei sich die Summation über alle Paare (n1 , n2 ) von verschiedenen Indizes erstreckt.
• Außerdem bezeichnen wir die Intensität λ{i} der Punkte vom Typ i ∈ L kurz mit λi , wobei wir
annehmen, dass λi > 0 für jedes i ∈ L.
Auf ähnliche Weise wie in Theorem 4.17 lässt sich dann die folgende Desintegrationsformel für α2ij herleiten.
Theorem 5.12
• Für beliebige i, j ∈ L sei PNij : N → [0, 1] mit
E # n : Sn ∈ [0, 1]d , Ln = i, ϕn,j ∈ A
ij
PN (A) =
λi
∀A ∈ N
(47)
die reduzierte Palmsche Verteilung der Punkte von {(Sn , Ln )} mit Typ j bezüglich der „Markenmenge”
{i} ⊂ L, wobei das (lokal endliche) Zählmaß ϕn,j gegeben ist durch
X
ϕn,j =
δSm −Sn .
m≥1: m6=n, Lm =j
• Dann gilt für beliebige i, j ∈ L und B1 , B2 ∈ B(Rd )
α2ij (B1
× B 2 ) = λi
Z
B1
µij (B2 − x) dx ,
(48)
wobei µij : B(Rd ) → [0, ∞] das Intensitätsmaß der reduzierten Palmschen Verteilung PNij bezeichnet mit
R
µij (B) = N ϕ(B) PNij (dϕ) für jedes B ∈ B(Rd ).
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
161
Die Darstellungsformel (48) des zweiten faktoriellen Momentenmaßes α2ij in Theorem 5.12 motiviert die folgenden Verallgemeinerungen der Ripleyschen K–Funktion bzw. der L–Funktion, die in (4.104) bzw. (4.105) für den
unmarkierten Fall eingeführt worden sind.
Definition
• Für beliebige i, j ∈ L wird die Funktion Kij : [0, ∞) → [0, ∞) mit
Kij (r) =
µij (B(o, r))
λj
(49)
die bedingte Ripleysche K–Funktion der Punkte von {(Sn , Ln )} mit Typ j bezüglich der Punkte mit
Typ i genannt (d.h. unter der Bedingung, dass im Nullpunkt ein Punkt von {(Sn , Ln )} mit Typ i
liegt).
• Darüber hinaus wird für beliebige i, j ∈ L die bedingte L–Funktion Lij : [0, ∞) → [0, ∞) betrachtet
mit
K (r) 1/d
ij
∀r ≥ 0,
(50)
Lij (r) =
κd
wobei κd = νd (B(o, 1)) das Volumen der d–dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Außerdem ergibt sich mit Hilfe von Theorem 5.12 das folgende Resultat.
Theorem 5.13
Für beliebige i, j ∈ L gilt
Kij (r) = Kji (r)
∀r ≥ 0.
(51)
Wenn {(Sn , Ln )} unabhängig markiert ist, dann gilt insbesondere
Kij (r) = K(r)
∀ i, j ∈ L, r ≥ 0 ,
(52)
wobei K(r) die K–Funktion des (unmarkierten) Punktprozesses {Sn } ist.
Beweis
• Wir zeigen zuerst die Gültigkeit von (51).
– Aus der Definitionsgleichung (49) von Kij (r) und aus Formel
(21) in Theorem 5.5 ergibt sich für
C = {i} und fj (x, ϕ) = 1IB(o,s )(x)ϕ (B(o, r) \ {o}) × {j} , wobei s > r, dass
λi λj Kij (r)
(49)
=
=
(21)
=
=
λi µij (B(o, r))
Z Z
λi
{i}
fj (x, ϕ) PN (dϕ) dx
κd s d Rd N L
Z Z
1
fj (x, Tx ϕ) ϕ(dx × {i}) PN (dϕ)
κd s d NL Rd
X
1
E
1I[0,s] (|Sn |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm ) ,
d
κd s
n,m≥1
d.h.
λi λj Kij (r) =
X
1
E
1I[0,s] (|Sn |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm ) .
κd s d
n,m≥1
(53)
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
162
– Mit Hilfe der elementaren Ungleichungen
|Sn | ≤ |Sm | + |Sm − Sn |
bzw.
|Sm | ≤ |Sn | + |Sm − Sn |
ergeben sich hieraus die Abschätzungen
X
1
E
1I[0,s−r] (|Sm |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm )
κd s d
n,m≥1
=
X
1
E
1I[0,r] (|Sn |) 1I[0,s−r] (|Sm |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm )
d
κd s
n,m≥1
≤
=
=
X
1
E
1I[0,r] (|Sn |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm )
d
κd s
n,m≥1
λi λj Kij (r)
X
1
E
1I[0,r] (|Sn |) 1I[0,s+r] (|Sm |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm )
κd s d
n,m≥1
≤
X
1
E
1I[0,s+r] (|Sm |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm ) .
κd s d
n,m≥1
– Die erneute Anwendung von Theorem 5.5 ergibt somit, dass
κd (s − r)d
κd (s + r)d
λ
λ
K
(r)
≤
λ
λ
K
(r)
≤
λi λj Kji (r) .
i
j
ji
i
j
ij
κd s d
κd s d
– Weil s ∈ (r, ∞) beliebig groß gewählt werden kann, ist damit die Gültigkeit von (51) bewiesen.
• Wir nehmen nun an, dass {(Sn , Ln )} unabhängig markiert ist.
– Dann ergibt sich aus (53), dass
Kij (r)
(53)
=
X
1
E
1I[0,s] (|Sn |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |) 1I{i} (Ln ) 1I{j} (Lm )
d
λ i λ j κd s
n,m≥1
unabh. Markierung
=
X
1
E
1I[0,s] (|Sn |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |)P (L1 = i) P (L1 = j)
d
λ i λ j κd s
n,m≥1
(36),(39)
=
(4.18)
=
(4.104)
=
X
1
E
1I[0,s] (|Sn |) 1I(0,r] (|Sm − Sn |)
2
d
λ κd s
n,m≥1
R
ϕ(B(o, r)) P ! (dϕ)
N
λ
K(r) ,
P
– wobei λ = i∈L λi die Intensität des (unmarkierten) Punktprozesses {Sn } ist und P ! die reduzierte
Palmsche Verteilung von {Sn } bezeichnet.
– Dabei ergibt sich die dritte Gleichheit aus der Definitionsgleichung (36) der Palmschen Markenverteilung und aus Formel (39) in Theorem 5.9 für den unabhängig markierten Fall.
– Die letzten beiden Gleichheiten ergeben sich aus der Definitionsgleichung (4.18) der reduzierten
Palmschen Verteilung P ! bzw. aus der Definitionsgleichung (4.104) des zweiten reduzierten Momentenmaßes K : B(Rd ) → [0, ∞) von {Sn }.
Beachte
• Ähnlich zum unmarkierten Fall, der in Abschnitt 4.3.4 diskutiert worden ist, kann man beispielsweise
\
den folgenden Schätzer K
ij (r) für Kij (r) betrachten.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
163
• Für beliebige r > 0 und W ∈ B0 (Rd ), so dass νd (W ∩ (W + x)) > 0 für jedes x ∈ B(o, r), sei
λi λ\
j Kij (r) =
X6=
n1 ,n2
1I(0,r) (|Sn2 − Sn1 |)1IW ×W (Sn1 , Sn2 )1I{i}×{j} (Ln1 , Ln2 )
,
νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
(54)
wobei man auf ähnliche Weise wie im Beweis von Theorem 4.18 zeigen kann, dass λi λ\
j Kij (r) ein
erwartungstreuer Schätzer für λi λj Kij (r) ist.
• Dies führt dann für beliebige i, j ∈ L zu dem Schätzer
λi λ\
j Kij (r)
\
K
ij (r) =
cj
ci λ
λ
für Kij (r), wobei
ci =
λ
∞
X
1IW ×{i} (Sn , Ln )
νd (W )
n=1
(55)
∀i ∈ L.
\
• Wenn {(Sn , Ln )} ergodisch ist, dann ergibt sich ähnlich wie in Abschnitt 4.3.4, dass K
ij (r) ein (stark)
konsistenter Schätzer für Kij (r) ist.
\
\
• Aus (54) und (55) ergibt sich, dass K
ij (r) = Kji (r) für beliebige i, j ∈ L und r > 0. Für das markierte
Punktmuster in Abbildung 23 mit L = {o, +} gilt insbesondere
\
K\
o,+ (r) = K+,o (r) > 0 und
K\
o,o (r) > 0 ,
jedoch K\
+,+ (r) = 0.
r
r
W
Abbildung 23: Markiertes Punktmuster und seine r–Umgebungen
Wir betrachten nun den Fall, dass das zweite faktorielle Momentenmaß α2ij in (46) absolutstetig bezüglich des
2d
2d–dimensionalen Lebesgue–Maßes ist, d.h., α2ij hat eine Dichte ρij
→ [0, ∞), so dass
2 :R
Z Z
α2ij (B1 × B2 ) =
ρij
∀ B1 , B2 ∈ B0 (Rd ) .
(56)
2 (x1 , x2 ) dx1 dx2
B1
B2
Die in (56) gegebene Funktion ρij
2 wird die Produktdichte zweiter Ordnung von {(Sn , Ln )} bezüglich des Markenpaares (i, j) genannt.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
164
Beachte
• Weil wir voraussetzen, dass der markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} stationär und isotrop ist, hängt die
Produktdichte ρij
2 (x1 , x2 ) nur von |x2 − x1 | ab, d.h., es gilt
ij
ρij
2 (x1 , x2 ) = ρ2 (r) ,
wobei r = |x2 − x1 |.
(57)
• Darüber hinaus betrachten wir die Paarkorrelationsfunktion g ij : [0, ∞] → [0, ∞), wobei
g ij (r) =
ρij
2 (r)
λi λj
(58)
∀r ≥ 0.
• Wenn {(Sn , Ln )} unabhängig markiert ist, dann ergibt sich aus den Theoremen 5.12 und 5.13, dass
g ij (r) = g(r)
∀ i, j ∈ L, r ≥ 0 ,
(59)
wobei g(r) die Paarkorrelationsfunktion des (unmarkierten) Punktprozesses {Sn } ist.
ij
ij
• Ein Schätzer ρ\
2 (r) für die Produktdichte ρ (r) ist beispielsweise durch den folgenden Ansatz gegeben:
X6=
ij
ρ\
2 (r) =
n1 ,n2
k(|Sn2 − Sn1 | − r)1IW ×W (Sn1 , Sn2 )1I{i}×{j} (Ln1 , Ln2 )
,
d κd rd−1 νd W ∩ (W + (Sn2 − Sn1 ))
(60)
wobei k : R → [0, ∞) eine Kernfunktion ist.
• Ähnlich wie in (55) führt dies zu einem Schätzer für die Paarkorrelatioinsfunktion g ij (r):
ij
ρ\
(r)
ij (r) = 2
g\
b
b
λi λj
5.3.3
(61)
∀r > 0.
Diversitätsindizes
In diesem Abschnitt diskutieren wir den Begriff der Diversität von markierten Punktprozessen und meinen damit
eine Kenngröße, die den Grad der Unterschiedlichkeit der Marken beschreibt.
• Dabei nehmen wir so wie in Abschnitt 5.3.2 an, dass {(Sn , Ln )} ein stationärer und isotroper markierter
Punktprozess ist und dass der Markenraum L von {(Sn , Ln )} eine nichtleere endliche Menge ist, wobei L
die Potenzmenge von L bezeichnet. Die Marke Ln von Sn interpretieren wir als den Typ des Punktes Sn .
• Außerdem bezeichnen wir die Intensität λ{i} der Punkte vom Typ i ∈ L wiederum kurz mit λi , wobei wir
annehmen, dass λi > 0 für jedes i ∈ L.
Definition
• Der Diversitätsindex ∆ von {(Sn , Ln )} ist gegeben durch
∆=1−
X λ2
i
,
λ2
i∈L
wobei λ =
P
i∈L
λi .
(62)
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
165
• Eine (abstandsabhängige) Verallgemeinerung der in (62) eingeführten (globalen) Kenngröße ∆ von
{(Sn , Ln )} ist der Diversitätsindex ∆K : (0, ∞) → [0, ∞) bezüglich der Ripleeyschen K–Funktion, der
gegeben ist durch

P λ2i Kii (r)

 1−
, falls K(r) > 0,
2
i∈L λ K(r)
∆K (r) =
(63)

 0,
falls K(r) = 0,
wobei Kii (r) die in (49) eingeführte (bedingte) K–Funktion ist und K(r) die K–Funktion des (unmarkierten) Punktprozesses {Sn } bezeichnet.
• Auf ähnliche Weise ist der Diversitätsindex ∆g : (0, ∞) → [0, ∞) bezüglich der Paarkorrelationsfunktion definiert, der gegeben ist durch

P λ2i g ii (r)

 1−
, falls g(r) > 0,
2
i∈L λ g(r)
(64)
∆g (r) =

 0,
falls g(r) = 0,
wobei g ii (r) die in (58) eingeführte (bedingte) Paarkorrelationsfunktion ist und g(r) die Paarkorrelationsfunktion des (unmarkierten) Punktprozesses {Sn } bezeichnet.
Wir betrachten nun den Fall, dass {(Sn , Ln )} unabhängig markiert ist. Dabei zeigen wir, dass dann die in (62)
– (64) eingeführten Diversitätsindizes ∆, ∆K (r) und ∆g (r) übereinstimmen, und leiten eine probabilistische
Intepretation von ∆ her.
Theorem 5.14
• Der stationäre und isotrope markierte Punktprozess {(Sn , Ln )} sei unabhängig markiert. Dann gilt
∆K (r) = ∆
∀ r > 0 mit K(r) > 0
(65)
∆g (r) = ∆
∀ r > 0 mit g(r) > 0.
(66)
und
• Außerdem gilt dann für α2L,L –fast jeden Vektor (x1 , x2 ) ∈ R2d
∆=
X6=
i,j∈L
(67)
Px1 ,x2 ({i} × {j}) ,
wobei Px1 ,x2 : L×L → [0, 1] die in (40) eingeführte Palmsche Zwei–Punkt–Markenverteilung von {(Sn , Ln )}
bezüglich des Punktepaares (x1 , x2 ) bezeichnet.
Beweis
• Mit Hilfe von (52) und (59) ergeben sich die Formeln (65) und (66) unmittelbar aus den Definitionsgleichungen (62) – (64).
• Außerdem ergibt sich aus den Theoremen 5.9 und 5.10, dass
X6=
X6=
Theorem 5.10
=
Px1 ,x2 ({i} × {j})
P (L1 = i) P (L1 = j)
i,j∈L
i,j∈L
X
2
P (L1 = i)
=
1−
i∈L
Theorem 5.9
=
(36)
=
1−
1−
X
Po,L ({i})
i∈L
X λ i 2
i∈L
λ
,
2
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
166
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Definitionsgleichung (36) der Palmschen Markenverteilung
Po,L : L → [0, 1] ergibt.
Beachte Wegen (67) können wir den Diversitätsindex ∆ im unabhängig markierten Fall als Wahrscheinlichkeit
dafür interpretieren, dass zwei willkürlich ausgewählte Punkte von {Sn } voneinander verschiedene Marken
besitzen.
5.4
Eigenschaften von Palmschen Verteilungen bei allgemeinem Markenraum
Wir betrachten nun zwei weitere Beispiele, die deutlich machen, wie das Campbellsche Theorem (vgl. Theorem 5.5
bzw. Korollar 5.1) für stationäre markierte Punktprozesse bei der Herleitung von Eigenschaften für deren Palmsche
Verteilungen PNC angewendet werden kann.
• Dabei lassen wir zu, dass der Markenraum L ein beliebiger messbarer Raum ist, wobei L eine beliebige
σ–Algebra von Teilmengen von L ist.
• Außerdem nehmen wir an, dass
P NRd ×C = 0 = 0
(68)
für jedes C ∈ L mit λC > 0, wobei NRd ×C = #{n : Sn ∈ Rd , Ln ∈ C} die Gesamtanzahl der Punkte des
stationären markierten Punktprozesses {(Sn , Ln )} mit einer Marke aus C ∈ L bezeichnet.
5.4.1
Umkehrformel; Mittelwertformel für Voronoi–Mosaike
Mit Hilfe von Korollar 5.1 leiten wir zunächst eine so genannte Umkehrformel für die Palmsche Verteilung PNC
von {(Sn , Ln )} her, in der die (unbedingte) Verteilung PN von {(Sn , Ln )} durch die Palmsche Verteilung PNC
ausgedrückt wird. Dies bedeutet insbesondere, dass zwischen den Verteilungen PN und PNC ein eineindeutiger
Zusammenhang besteht.
Theorem 5.15
• Sei {(Sn , Ln )} ein stationärer markierter Punktprozess, und sei h : Rd × NL → [0, ∞) eine nichtnegative
messbare Funktion, so dass für jedes C ∈ L
X
ϕ({x} × C) h(x, ϕ) = 1
∀ ϕ ∈ NL mit ϕ(Rd × C) > 0.
(69)
x∈Rd : ϕ({x}×C)>0
• Dann gilt für jedes C ∈ L mit λC > 0
Z Z
PN (A) = λC
1IA (T−x ϕ)h(x, T−x ϕ) dx PNC (dϕ)
NL
Rd
∀ A ∈ NL .
Beweis
• Die Funktion g : Rd × NL → [0, ∞) sei gegeben durch
g(x, ϕ) = 1IA (ϕ)h(x, ϕ) ,
wobei A ∈ NL und die Funktion h : Rd × NL → [0, ∞) der Bedingung (69) genügt.
(70)
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
167
• Wegen (68) ergibt sich dann mit Hilfe von Korollar 5.1, dass
Z
PN (A)
=
1IA (ϕ) PN (dϕ)
N
Z L
X
(68),(69)
=
1IA (ϕ)
ϕ({x} × C) h(x, ϕ) PN (dϕ)
Z
NL
Z
x∈Rd : ϕ({x}×C)>0
g(x, ϕ) ϕ(dx × C) PN (dϕ)
Z
Z Z
C
λC
g(x, T−x ϕ) PN (dϕ) dx = λC
g(x, T−x ϕ) dx PNC (dϕ)
Rd NL
NL Rd
Z Z
1IA (T−x ϕ)h(x, T−x ϕ) dx PNC (dϕ) .
λC
=
Korollar 5.1
=
=
NL
Z
Rd
NL
Rd
Beachte
• Durch die Wahl spezieller Funktionen h : Rd × NL → [0, ∞), die der Bedingung (69) genügen, kann die
Umkehrformel (70) präzisiert werden.
• Sei h : Rd × NL → [0, ∞) beispielsweise gegeben durch

1


, falls |x| = inf{r > 0 : ϕ(B(o, r) × C) > 0},
d
ϕ({y ∈ R : |y| = |x|} × C)
h(x, ϕ) =

 0
sonst.
• Dann nimmt (70) die folgende Gestalt an: Für jedes C ∈ L mit λC > 0 gilt
Z Z
C
PN (A) = λC
1IA (T−x ϕ) dx PN (dϕ)
NL
y∈Rd : ϕ (B(y,|y|)\{o})×C =0
∀ A ∈ NL ,
(71)
wobei sich die innere Integration auf der rechten Seite von (71) über die „Voronoi–Zelle” derjenigen
y ∈ Rd erstreckt, für die der Nullpunkt das nächstgelegene Atom von ϕ mit einer Marke aus C ist.
Beispiel
Aus (71) ergibt sich sofort die folgende Mittelwertformel für Voronoi–Mosaike, die durch stationäre Punktprozesse generiert werden, vgl auch Abschnitt 4.1.4.
• Die Marken Ln des stationären markierten Punktprozesses {(Sn , Ln )} seien die Voronoi–Zellen, die
durch die Punkte Sn des (unmarkierten) Punktprozesses gebildet werden.
– Es gelte also Ln = Ξn für jedes n ≥ 1, wobei
Ξn = x ∈ Rd : |x − Sn | ≤ |x − Sm | ∀ m 6= n .
– D.h., Ξn ist die (zufällige) Menge derjenigen x ∈ Rd , deren Abstand von Sn nicht größer ist als
die Abstände zwischen x und allen anderen Punkten Sm , m 6= n des Punktprozesses.
– Der Markenraum L ist dabei die Familie aller abgeschlossenen Teilmengen des Rd , und L ist eine
geeignet gewählte σ–Algebra von Teilmengen von L, vgl. Abschnitt 6.2.
• Für A = NL ergibt sich dann aus (71), dass
Z
−1
λ =
νd (C) Po (dC) ,
(72)
L
wobei λ die Intensität von {Sn } ist und Po die (unbedingte) Palmsche Markenverteilung von {(Sn , Ln )}
bezeichnet, die in (36) eingeführt worden ist.
R
• Der Erwartungswert L νd (C) Po (dC) des Volumens der typischen Voronoi–Zelle von {(Sn , Ln )} ist also
umgekehrt proportional zur Intensität λ des Punktprozesses {Sn }.
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
5.4.2
168
Austausch–Formel von Neveu
In diesem Abschnitt zeigen wir mit Hilfe von Theorem 5.5, dass die Symmetrieeigenschaft Kij (r) = Kji (r)
der bedingten K–Funktionen von stationären und isotropen markierten Punktprozessen, die in Theorem 5.13
hergeleitet worden ist, als ein Spezialfall eines wesentlich allgemeineren Zusammenhanges zwischen den Palmschen
Verteilungen PNC von stationären markierten Punktprozessen aufgefasst werden kann.
Dabei betrachten wir gleichzeitig zwei verschiedene Teilmengen C1 , C2 ∈ L des Markenraumes L mit λC1 , λC2 > 0
bzw. die zugehörigen Palmschen Verteilungen PNC1 und PNC2 . Das folgende Resultat, das die Verteilungen PNC1
und PNC2 miteinander verknüpft, wird in der Literatur die Austausch–Formel von Neveu genannt.
Theorem 5.16 Für beliebige C1 , C2 ∈ L mit λC1 , λC2 > 0 und für jede messbare Funktion g : Rd × NL → [0, ∞)
gilt
Z Z
Z Z
C1
(73)
g(−x, ϕ) ϕ(dx × C1 ) PNC2 (dϕ) .
g(x, Tx ϕ) ϕ(dx × C2 ) PN (dϕ) = λC2
λ C1
NL
Rd
NL
Rd
Beweis
• Um die Formel (21) in Theorem 5.5 anwenden zu können, betrachten wir eine (beliebige) beschränkte
Borel–Menge B ∈ B(Rd ) mit νd (B) = 1. Dann gilt
Z Z
g(x, Tx ϕ) ϕ(dx × C2 ) PNC1 (dϕ)
λ C1
NL Rd
Z Z
Z
= λ C1
g(x, Tx ϕ)
1IB (x + y) dy ϕ(dx × C2 ) PNC1 (dϕ)
NL Rd
Rd
Z Z Z
g(x, Tx ϕ)1IB (x + y) ϕ(dx × C2 ) PNC1 (dϕ) dy
= λ C1
Rd NL Rd
Z Z
= λ C1
f (y, ϕ) PNC1 (dϕ) dy ,
Rd
NL
wobei
f (y, ϕ) =
Z
Rd
g(x, Tx ϕ)1IB (x + y) ϕ(dx × C2 ) .
(74)
• Hieraus ergibt sich nun mit Hilfe von Formel (21) in Theorem 5.5, dass
Z Z
Z Z
λ C1
g(x, Tx ϕ) ϕ(dx × C2 ) PNC1 (dϕ) = λC1
f (y, ϕ) PNC1 (dϕ) dy
NL Rd
Rd NL
Z Z
(21)
f (y, Ty ϕ) ϕ(dy × C1 ) PN (dϕ)
=
Rd
N
Z LZ Z
(74)
=
g(x, Tx+y ϕ)1IB (x + y) (Ty ϕ)(dx × C2 ) ϕ(dy × C1 ) PN (dϕ)
N
Rd Rd
Z LZ Z
=
g(x − y, Tx ϕ)1IB (x) ϕ(dx × C2 ) ϕ(dy × C1 ) PN (dϕ) ,
NL
Rd
Rd
wobei sich die letzte Gleichheit durch die Substitution x 7→ x − y der Integrationsvariablen x des
inneren Integrals ergibt.
• Wenn in dem letzten Ausdruck die Integrationsreihenfolge der beiden inneren Integrale vertauscht wird,
dann ergibt sich somit, dass
Z Z
λ C1
g(x, Tx ϕ) ϕ(dx × C2 ) PNC1 (dϕ)
NL Rd
Z Z Z
=
g(x − y, Tx ϕ)1IB (x) ϕ(dy × C1 ) ϕ(dx × C2 ) PN (dϕ) .
NL
Rd
Rd
5 MARKIERTE PUNKTPROZESSE
169
• Durch die Substitution y 7→ y+x der Integrationsvariablen y im inneren Integral des letzten Ausdruckes
ergibt sich, dass
Z Z
λ C1
g(x, Tx ϕ) ϕ(dx × C2 ) PNC1 (dϕ)
NL Rd
Z Z Z
=
g(−y, Tx ϕ)1IB (x) (Tx ϕ)(dy × C1 ) ϕ(dx × C2 ) PN (dϕ) .
NL
Rd
Rd
• Insgesamt ergibt sich also durch die erneute Anwendung von Formel (21) in Theorem 5.5, dass
Z Z
λ C1
g(x, Tx ϕ) ϕ(dx × C2 ) PNC1 (dϕ)
NL Rd
Z Z Z
(21)
= λ C2
g(−y, ϕ)1IB (x) ϕ(dy × C1 ) PNC2 (dϕ) dx
Rd N
Rd
Z Z L
= λ C2
g(−y, ϕ) ϕ(dy × C1 ) PNC2 (dϕ) .
NL
Rd
Beachte
• Unmittelbar aus (73) ergibt sich die folgende (duale) Austauschformel:
Z Z
Z Z
C1
f (x, ϕ) ϕ(dx × C1 ) PNC2 (dϕ)
f (−x, Tx ϕ) ϕ(dx × C2 ) PN (dϕ) = λC2
λ C1
NL
Rd
NL
(75)
Rd
für beliebige C1 , C2 ∈ L mit λC1 , λC2 > 0 und für jede messbare Funktion f : Rd × NL → [0, ∞), wenn
in (73) die Funktion g : Rd × NL → [0, ∞) mit g(x, ϕ) = f (−x, ϕ) betrachtet wird.
• Wenn der Markenraum L eine endliche Menge ist, dann ergibt sich aus (73) die Symmetrieeigenschaft
Kij (r) = Kji (r) der bedingten K–Funktionen, die in Theorem 5.13 hergeleitet worden ist.
– Hierfür genügt es, C1 = {i} und C2 = {j} für i, j ∈ L zu setzen und für r > 0 die Funktion
g : Rd × NL → [0, ∞) mit g(x, ϕ) = 1IB(o,r) (x) zu betrachten.
– Dann ergibt sich aus der Definitionsgleichung (49) der bedingten K–Funktion Kij (r) und aus der
Austauschformel (73), dass
Z Z
(49)
{i}
λi λj Kij (r) = λi
g(x, Tx ϕ) ϕ(dx × {j}) PN (dϕ)
NL Rd
Z Z
(73)
{j}
= λj
g(−x, ϕ) ϕ(dx × {i}) PN (dϕ)
NL
(49)
=
Rd
λi λj Kji (r)
und dass somit
Kij (r) = Kji (r)
∀r > 0.
6 KEIM–KORN–MODELLE
6
170
Keim–Korn–Modelle
In diesem Kapitel betrachten wir so genannte Keim–Korn–Prozesse, die als stationäre markierte Punktprozesse
{(Sn , Ln )} im d–dimensionalen euklidischen Raum Rd aufgefasst werden können, wobei der Markenraum L die
Familie aller kompakten Teilmengen des Rd ist.
• So wie bisher ist also {Sn } eine Folge von Zufallsvektoren mit Werten in Rd , die als (zufällig positionierte)
Keime interpretiert werden.
• Die Marken Ln : Ω → C nehmen ihre Werte in der Familie C aller kompakten Teilmengen des Rd an. Sie
werden als Körner interpretiert, die mit den „Keimen” Sn assoziiert sind.
– Dabei wird oft angenommen, dass die Menge Ln (ω) für jedes ω ∈ Ω „zentriert” ist, d.h., der Schwerpunkt
oder ein anderer eindeutig bestimmter (Bezugs–) Punkt von Ln (ω) liegt im Nullpunkt.
– Ein einfaches Beispiel hierfür ist gegeben, wenn Ln eine Kugel mit Mittelpunkt im Nullpunkt und mit
zufalligem Radius Rn : Ω → (0, ∞) ist, d.h., Ln = B(o, Rn ).
• Aus dem Keim–Korn–Prozess {(Sn , Ln )} geht dann das so genannte Keim–Korn–Modell
Ξ=
∞
[
n=1
Ln + S n
(1)
hervor (vgl. Abbildung 24), das bei der statistischen Analyse von Binärbildern verwendet wird. Dabei
bezeichnet Ln + Sn = {x + Sn : x ∈ Ln } das um den Vektor Sn verschobene Korn Ln .
Abbildung 24: Realisierung eines Keim–Korn–Modells mit kreisförmigen Körnern
Beachte
• In Abschnitt 6.1.3 zeigen wir, dass der (Marken–) Raum C aller kompakten Teilmengen des Rd ein
metrischer Raum ist, wobei die Hausdorff–Metrik in C betrachtet wird.
• Dabei wird C mit einer geeignet gewählten σ–Algebra versehen, so dass die Abbildungen Ln : Ω → C
als (messbare) Zufallsvariablen mit Werten in C aufgefasst werden können.
• Dies führt zum Begriff der zufälligen Menge, den wir in Abschnitt 6.2 diskutieren.
• Außerdem benötigen wir zusätzliche Modellannahmen, damit auch die in (1) betrachtete Abbildung
ω 7→ Ξ(ω), wobei
∞
[
Ln (ω) + Sn (ω) ,
Ξ(ω) =
n=1
als (messbare) Zufallsvariable mit Werten in der Familie F aller abgeschlossenen, jedoch im allgemeinen
nicht kompakten Teilmengen des Rd aufgefasst werden kann, vgl. Abschnitt 6.5.
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.1
171
Mengensysteme des Rd und ihre topologischen Eigenschaften
Bevor wir zur Definition der zufälligen (abgeschlossenen) Menge kommen, erinnern wir an einige elementare
Familien von Teilmengen des Rd und ihre topologischen Eigenschaften, die im weiteren Verlauf dieses Kapitel von
Nutzen sein werden.
6.1.1
Offene und abgeschlossene Mengen; Kompaktheit und Konvexität
• Zur Erinnerung: Der euklidische Raum Rd ist ein metrischer Raum, dessen Metrik ρ : Rd × Rd → [0, ∞)
gegeben ist durch
v
u d
uX
ρ(x, y) = t (xi − yi )2
∀ x = (x1 , . . . , xd ), y = (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd .
(2)
i=1
• Mit Hilfe der in (2) definierten (euklidischen) Metrik ρ : Rd × Rd → [0, ∞) kann man die Familien der
offenen Mengen bzw. der abgeschlossenen Mengen in Rd einführen.
– Man sagt, dass B ⊂ Rd eine offene Menge in Rd ist, wenn es für jedes x ∈ B eine Zahl ε > 0 gibt, so
dass y ∈ B für jedes y ∈ Rd mit ρ(x, y) ≤ ε, d.h., wenn
[
B=
{x ∈ Rd : B(x, ε) ⊂ B} .
(3)
ε>0
– Die Menge B ⊂ Rd heißt abgeschlossen, wenn das Komplement B c = Rd \ B von B eine offene Menge
ist. Mit E bzw. F bezeichnen wir die Familien aller offenen bzw. aller abgeschlossenen Mengen in Rd .
– Beachte: Man kann sich leicht überlegen, dass die Menge B ⊂ Rd genau dann abgeschlossen ist, wenn
\
B ⊕ B(o, ε) ,
(4)
B=
ε>0
wobei A ⊕ B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} die Minkowski–Summe der Mengen A, B ⊂ Rd bezeichnet.
• Darüber hinaus betrachten wir die Familien der beschränkten, kompakten bzw. konvexen Mengen in Rd .
– Die Menge B ⊂ Rd heißt beschränkt, wenn es eine Zahl r > 0 gibt, so dass ρ(o, x) ≤ r für jedes x ∈ Rd ,
d.h., wenn B ⊂ B(o, r) für ein r > 0.
– Man sagt, dass B ⊂ Rd eine kompakte Menge ist, wenn B abgeschlossen und beschränkt ist. Mit C
bezeichnen wir die Familie aller kompakten Mengen in Rd .
– Die Menge B ⊂ Rd heißt konvex, wenn cx + (1 − c)y ∈ B für beliebige x, y ∈ B und für jedes c ∈ [0, 1].
• Man sagt, dass die Menge B ⊂ Rd ein konvexer Körper ist, wenn B kompakt und konvex ist. Mit K
bezeichnen wir die Familie aller konvexen Körper in Rd .
– Die Familie aller endlichen Vereinigungen von konvexen Körpern in Rd wird Konvexring genannt und
im folgenden mit R bezeichnet.
– Unter dem erweiterten Konvexring in Rd versteht man die Mengenfamilie
S = {B ∈ F : B ∩ C ∈ R für jedes C ∈ K} .
Beachte
Sei B ⊂ Rd eine beliebige Teilmenge des Rd .
(5)
• Dann wird der AusdruckSauf der rechten Seite von (3) das Innere der Menge B genannt und mit int B
bezeichnet, d.h. int B = ε>0 {x ∈ Rd : B(x, ε) ⊂ B} .
• Der Ausdruck auf der rechten
Seite von (4)
wird die Abschließung der Menge B genannt und mit cl B
T
bezeichnet, d.h. cl B = ε>0 B ⊕ B(o, ε) . Dabei heißt ∂B = cl B ∩ cl B c der Rand von B.
• Außerdem wird mit convB die konvexe Hülle der Menge B bezeichnet, wobei
convB = cx + (1 − c)y : x, y ∈ B, c ∈ [0, 1] .
(6)
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.1.2
172
Schnitt–σ–Algebra; Fell–Topologie
Wir führen nun die sogenannte Schnitt–σ–Algebra σF von Teilmengen der Familie F aller abgeschlossenen Mengen
in Rd ein, die wir bei der Definition der zufälligen (abgeschlossenen) Menge in Abschnitt 6.2 benötigen.
Dabei geben wir zunnächst vier verschiedene (äquivalente) Darstellungsmöglichkeiten dieser σ–Algebra an und
zeigen dann in den Abschnitten 6.1.3 bzw. 6.1.5, dass die Mengensysteme C, K, R und S in σF enthalten sind.
Definition
Sei σF die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von F, so dass
{B ∈ F : B ∩ C 6= ∅} ∈ σF
∀C ∈ C .
(7)
Lemma 6.1 Die in (7) definierte σ–Algebra σF wird auch durch die Mengensysteme {F C : C ∈ C} bzw.
{FE : E ∈ E} bzw. {F E : E ∈ E} erzeugt, d.h., es gilt
σF = σ {F C : C ∈ C} = σ {FE : E ∈ E} = σ {F E : E ∈ E} ,
(8)
wobei F A = {B ∈ F : B ∩ A = ∅} und FA = {B ∈ F : B ∩ A 6= ∅}.
Beweis
• Aus
{B ∈ F : B ∩ A = ∅} = F \ {B ∈ F : B ∩ A 6= ∅}
bzw.
ergibt sich, dass
{B ∈ F : B ∩ A 6= ∅} = F \ {B ∈ F : B ∩ A = ∅}
σF = σ {F C : C ∈ C}
σ {FE : E ∈ E} = σ {F E : E ∈ E} .
bzw.
• Man kann sich leicht
S∞überlegen, dass es für jede offene Menge E ∈ E eine Folge kompakter Mengen
C1 , C2 , . . . ∈ C mit i=1 Ci = E gibt und dass dann
FE =
∞
[
i=1
FC i =
∞
[
i=1
F Ci
c
.
(9)
• Außerdem ergibt sich aus (4), dass esTfür jede kompakte Menge C ∈ C eine Folge offener Mengen
∞
E1 , E2 , . . . ∈ E mit E1 ⊃ E2 ⊃ . . . und i=1 Ei = C gibt und dass dann
F C = FC
c
=
∞
\
i=1
FE i
c
.
• Aus (9) und (10) ergibt sich, dass σ {F C : C ∈ C} = σ {FE : E ∈ E} .
(10)
Beachte
• Die Familie F aller abgeschlossenen Teilmengen des Rd kann als topologischer Raum aufgefasst werden.
– Dabei wird eine beliebige Menge A ein topologischer Raum genannt, wenn eine Familie G ⊂ 2A
von Teilmengen von A (die so genannte Topologie der offenenen Mengen in A) gegeben ist, für die
∅, A ∈ G gilt und die abgeschlossen bezüglich beliebiger Vereinigungen und endlicher Durchschnitte
ist, d.h.,
[
G∈G
für jedes G ′ ⊂ G
G∈G ′
und
G1 ∩ . . . ∩ Gk ∈ G
für beliebige G1 , . . . , Gk ∈ G und für jedes k ≥ 2.
6 KEIM–KORN–MODELLE
173
– Eine Familie G ′ ⊂ 2A von Teilmengen von A heißt Basis, wenn es für jedes x ∈ A eine Menge
B ∈ G ′ gibt, so dass x ∈ B, und wenn es für beliebige B1 , B2 ∈ G ′ und x ∈ B1 ∩ B2 eine Menge
B3 ∈ G ′ gibt, so dass x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
– Eine Familie G ′ ⊂ G von Teilmengen von A wird Basis der Topologie G genannt, wenn G ′ eine
Basis ist und wenn sich jede Menge G ∈ G als Vereinigung von Mengen aus G ′ darstellen lässt.
– Seien A1 , A2 zwei topologische Räume mit den Topologien G1 bzw. G2 . Dann ist A1 × A2 ebenfalls
ein topologischer Raum, wobei die Topologie in A1 × A2 durch die Basis {B1 × B2 : B1 ∈ G1 , B2 ∈
G2 } induziert wird.
• Die kleinste σ–Algebra σ(G) von Teilmengen von A, zu der sämtliche (offenen) Mengen der Topologie
G gehören, wird die von G erzeugte Borel–σ–Algebra in A genannt und mit B(A) bezeichnet, d.h.,
B(A) = σ(G).
– Die Komplemente der Mengen aus G bilden die Familie der abgeschlossenen Mengen in A.
• Für F betrachten wir nun die so genannte Fell–Topologie G, wobei die Familie G ⊂ 2F von Teilmengen
von F durch das Mengensystem {F C : C ∈ C} ∪ {FE : E ∈ E} erzeugt wird.
– D.h., G ist die kleinste Familie von Teilmengen von F, die die Mengen {F C : C ∈ C}∪{FE : E ∈ E}
enthält und die abgeschlossen bezüglich beliebiger Vereinigungen und endlicher Durchschnitte ist.
– Dann kann man sich leicht überlegen, dass das System
G ′ = FEC1 ,...,Ek : C ∈ C, E1 , . . . , Ek ∈ E, k ≥ 0
(11)
mit
FEC1 ,...,Ek

 FC ∩ F ∩ . . . ∩ F ,
Ek
E1
=
 FC ,
wenn k ≥ 1,
wenn k = 0,
eine Basis von G ist, denn es gilt
′
′
C∪C
FEC1 ,...,Ek ∩ FEC1′ ,...,Em
′ = FE ,...,E ,E ′ ,...,E ′ .
1
k
m
1
Lemma 6.2
Es gibt eine abzählbare Basis G ′′ ⊂ G, die die Fell–Topologie G ⊂ 2F erzeugt.
Beweis
• Sei D das (abzählbare) System aller offenen Kugeln in Rd mit rationalen Radien und Mittelpunkten
mit rationalen Koordinaten, und sei G ′′ ⊂ 2F das folgende (abzählbare) System von Teilmengen von
F:
n
o
′
cl B1′ ∪...∪cl Bm
′
′
G ′′ = FB1 ,...,B
:
B
,
.
.
.
,
B
,
B
,
.
.
.
,
B
∈
D,
k
≥
0,
m
≥
1
.
(12)
1
k
1
m
k
• Es genügt zu zeigen, dass sich jede Menge der in (11) betrachteten Basis G ′ als Vereinigung von Mengen
der abzählbaren Mengenfamilie G ′′ in (12) darstellen lässt.
′
cl B ′ ∪...∪cl Bm
1
• Sei FEC1 ,...,Ek ∈ G ′ und B ∈ FEC1 ,...,Ek . Dann genügt es zeigen, dass es ein FB1 ,...,B
k
dass
′
′
cl B1 ∪...∪cl Bm
B ∈ FB1 ,...,B
⊂ FEC1 ,...,Ek .
k
• Wir zeigen die Gültigkeit von (13) zuerst für den Fall k = 0.
∈ G ′′ gibt, so
(13)
– Weil B ∈ FEC1 ,...,Ek und C ∈ C abgeschlossene Mengen sind mit B ∩ C = ∅, gibt es ein ε > 0, so
dass B ∩ C ⊕ B(o, ε) = ∅.
– Hieraus und aus der Beschränktheit der Menge C ∈ C folgt, dass es (endlich viele) offene Kugeln
′
∈ D gibt, so dass
B1′ , . . . , Bm
′
C ⊂ cl B1′ ∪ . . . ∪ cl Bm
und
B ∩ cl Bi′ = ∅ ∀ i = 1, . . . , m .
6 KEIM–KORN–MODELLE
174
– Dies bedeutet, dass
′
– Damit ist (13) für k = 0 bewiesen.
′
B ∈ F cl B1 ∪...∪cl Bm ⊂ F C .
(14)
• Sei nun k ≥ 1.
– Dann gibt es für jedes i = 1, . . . , k ein xi ∈ B ∩ Ei und ein Bi ∈ D, so dass xi ∈ Bi ⊂ Ei .
– Hieraus und aus (14) ergibt sich, dass
′
cl B ′ ∪...∪cl Bm
1
B ∈ FB1 ,...,B
k
⊂ FEC1 ,...,Ek .
• Damit ist (13) vollständig bewiesen, d.h., die in (12) eingeführte abzählbare Mengenfamilie G ′′ ist eine
Basis der Fell–Topologie G ⊂ 2F .
Aus Lemma 6.1 und aus dem Beweis von Lemma 6.2 ergibt sich, dass die in (7) definierte Schnitt–σ–Algebra σF
mit der Borel–σ–Algebra der Fell–Topologie übereinstimmt.
Theorem 6.1
Sei G ⊂ 2F die Fell–Topologie in F. Dann gilt σF = σ(G).
Beweis
• Aus der Definition der Fell–Topologie G durch das Erzeugersystem {F C : C ∈ C} ∪ {FE : E ∈ E}
ergibt sich mit Hilfe von Lemma 6.1, dass σF ⊂ σ(G).
• Umgekehrt ergibt sich aus Lemma 6.1 und aus der Darstellungsformel (12) der abzählbaren Basis
G ′′ ⊂ G von G, dass G ′′ ⊂ σF und somit
σ(G) = σ(G ′′ ) ⊂ σF .
6.1.3
Hausdorff–Metrik der kompakten Mengen
Sei C ′ = C \{∅} die Familie der nichtleeren kompakten Teilmengen in Rd . Die Hausdorff–Metrik ρ : C ′ ×C ′ → [0, ∞)
ist dann definiert durch
n
o
ρ(C, C ′ ) = max max min′ ρ(x, y), max′ min ρ(x, y)
∀ C, C ′ ∈ C ′ ,
(15)
x∈C y∈C
x∈C y∈C
wobei ρ(x, y) den in (2) gegebenen euklidischen Abstand von x und y bezeichnet.
Beachte
• Man kann sich leicht überlegen, dass die in (15) gegebene Abbildung ρ : C ′ × C ′ → [0, ∞) die Eigenschaften einer Metrik in C ′ hat.
• Außerdem ist es nicht schwierig zu zeigen, dass der in (15) betrachtete Hausdorff–Abstand ρ(C, C ′ )
der Mengen C, C ′ ∈ C ′ auch in der folgenden (äquivalenten) Form dargestellt werden kann: Und zwar
gilt
ρ(C, C ′ ) = min ε ≥ 0 : C ⊂ C ′ ⊕ B(o, ε), C ′ ⊂ C ⊕ B(o, ε)
∀ C, C ′ ∈ C ′ .
(16)
• Die in (15) bzw. (16) gegebene Hausdorff–Metrik ρ : C ′ × C ′ → [0, ∞) in C ′ kann zu einer Metrik
ρ : C × C → [0, ∞) in der Familie C aller kompakten Mengen fortgesetzt werden, wobei

 ∞ , falls C = ∅, C ′ 6= ∅ oder C =6 ∅, C ′ = ∅,
(17)
ρ(C, C ′ ) =
 0,
falls C = C ′ = ∅.
6 KEIM–KORN–MODELLE
175
• Ähnlich wie im euklidischen Raum Rd (vgl. Abschnitt 6.1.1) lässt sich auch in dem metrischen Raum
(C, ρ) der Begriff der offenen Menge einführen.
– Man sagt, dass C0 ⊂ C eine offene Menge in C ist, wenn es für jedes C ∈ C0 eine Zahl ε > 0 gibt,
so dass D ∈ C0 für jedes D ∈ C mit ρ(C, D) ≤ ε.
– Die Menge C0 ⊂ C heißt abgeschlossen, wenn das Komplement C0c = C \ C0 von C0 eine offene Menge
in C ist.
• Die Topologie, die durch die offenen Mengen in (C, ρ) gegeben ist, wird Hausdorff–Topologie genannt.
Die zugehörige Borel–σ–Algebra wird mit B(C) bezeichnet.
Lemma 6.3 Sei σF die in (7) definierte σ–Algebra. Dann gilt C ∈ σF und die Spur–σ–Algebra σF ∩ C stimmt
mit der Borel–σ–Algebra B(C) überein, die durch die Hausdorff–Metrik in C induziert wird.
Beweis
• Wir zeigen zunächst die Gültigkeit von C ∈ σF .
– Sei C1 , C2 , . . . ∈ C eine monotone Folge kompakter Mengen, so dass C1 ⊂ C2 ⊂ . . . und
Ci ⊂ int Ci+1
∞
[
bzw.
∀i ≥ 1
Ci = Rd .
i=1
– Dann kann man sich leicht überlegen, dass
C=
∞
[
i=1
c
F Ci .
(18)
c
i ≥ 1 eine offene Menge in Rd ist, ergibt sich aus Lemma 6.1, dass F Ci ∈ σF
– Weil Cic für jedes
S∞
c
und somit auch i=1 F Ci ∈ σF .
– Hieraus und aus (18) ergibt sich, dass C ∈ σF .
• Um die zweite Teilaussage zu beweisen, zeigen wir zunächst, dass die r–Umgebung
Ur (C) = {C ′ ∈ C : ρ(C, C ′ ) ≤ r}
(19)
für beliebige r ≥ 0 und C ∈ C zu σF ∩ C gehört.
– Sei zunächst C ∈ C ′ . Dann ergibt sich aus (16), dass
Ur (C)
=
(16)
=
=
=
{C ′ ∈ C : ρ(C, C ′ ) ≤ r}
{C ′ ∈ C : C ′ ⊂ C ⊕ B(o, r)} ∩ {C ′ ∈ C : C ⊂ C ′ ⊕ B(o, r)}
c
{C ′ ∈ C : C ′ ∩ C ⊕ B(o, r) = ∅} ∩ {C ′ ∈ C : C c ∩ C ′ ⊕ B(o, r) = ∅}
c
{C ′ ∈ C : C ′ ∩ C ⊕ B(o, r) = ∅} ∩ {C ′ ∈ C : C ′ ∩ C c ⊕ B(o, r) = ∅} .
c
– Weil C ⊕ B(o, r) und C c ⊕ B(o, r) offene Mengen sind, ergibt sich hieraus und aus Lemma 6.1,
dass Ur (C) ∈ σF ∩ C.
(17)
d
– Für C = ∅ ergibt sich aus (17), dass Ur (C) = {∅} = F R ∈ σF ∩ C.
• Außerdem lässt sich jede offene Menge in dem metrischen Raum (C, ρ) als abzählbare Vereinigung von
r–Umgebungen der Form (19) darstellen.
– Dabei genügt es, nur rationale Zahlen r ≥ 0 bzw. endliche Mengen C ∈ C von Punkten mit
rationalen Koordinaten zu betrachten.
6 KEIM–KORN–MODELLE
176
– Insgesamt ergibt sich dann, dass jede offene Menge in (C, ρ) zu σF ∩ C gehört bzw. dass
B(C) ⊂ σF ∩ C .
• Umgekehrt kann man sich leicht überlegen, dass F E ∩ C für jedes E ∈ E eine abgeschlossene Menge in
(C, ρ) ist.
– Denn für jede Folge C, C1 , C2 , . . . ∈ C, so dass Ci ∩ E = ∅ für jedes i ≥ 1 und limi→∞ ρ(Ci , C) = 0,
gilt C ∩ E = ∅.
– Dies bedeutet insbesondere, dass F E ∩ C ∈ B(C).
– Hieraus ergibt sich mit Hilfe von Lemma 6.1, dass σF ∩ C ⊂ B(C).
Wir zeigen nun, dass die Mengensysteme K und R zur Schnitt–σ–Algebra σF gehören. Den Nachweis, dass auch
der erweiterte Konvexring S zu σF gehört, führen wir später in Abschnitt 6.1.5.
Lemma 6.4
Sei σF die in (7) definierte Schnitt–σ–Algebra. Dann gilt K ∈ σF und R ∈ σF .
Beweis
• Man kann sich leicht überlegen,
– dass die Abbildung C 7→ conv C stetig in (C, ρ) ist
– und dass somit die Mengenfamilie K = {C ∈ C : C = conv C} abgeschlossen in (C, ρ), also eine
(Borel–) Menge aus B(C) ist.
– Hieraus und aus Lemma 6.3 ergibt sich, dass K ∈ σF .
• Um die Gültigkeit von R ∈ σF zu zeigen, genügt es, sich zu überlegen, dass sich der Konvexring R in
der Form
∞
∞ [
[
Rm
(20)
R=
k
k=1 m=1
darstellen lässt, wobei
Rm
k
= {K1 ∪ . . . ∪ Km : Ki ∈ K, Ki ⊂ B(o, k) für jedes i = 1, . . . , m }.
• Denn für m = 1 wurde bereits oben gezeigt, dass die Mengenfamilie Rm
k für beliebige k ≥ 1 abgeschlossen in (C, ρ) ist, und für m ≥ 2 kann man dies wie folgt zeigen.
– Seien C ∈ C und C1 , C2 , . . . ∈ Rm
k kompakte Mengen mit
Ci = K1i ∪ . . . ∪ Kmi ,
K1i , . . . , Kmi ∈ K
und
lim ρ(Ci , C) = 0 .
i→∞
– Für m = 2 seien für jedes i ≥ 1 die Konvexitätskomponenten K1i , K2i von Ci so numeriert, dass
die Grenzwerte
K1 = lim conv cl ∂(K1i \ K2i ) ∩ ∂K1i
i→∞
bzw.
K2 = lim conv cl ∂(K2i \ K1i ) ∩ ∂K2i
i→∞
in (C, ρ) existieren. Dann gilt C = K1 ∪ K2 ∈ R2k .
– Auf ähnliche Weise ergibt sich für beliebiges m ≥ 2, dass C ∈ Rm
k .
• Insgesamt ergibt sich also mit Hilfe von Lemma 6.3, dass
Rm
k ∈ B(C) = σF ∩ C
• Hieraus und aus (20) ergibt sich, dass R ∈ σF .
∀ k, m ≥ 1 .
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.1.4
177
Messbarkeit und Halbstetigkeit von Abbildungen in allgemeinen topologischen Räumen
• Bei der Untersuchung von zufälligen Mengen in Abschnitt 6.2 werden wir Abbildungen der Form T : F → F
bzw. T : F × F → F betrachten.
• Dabei benötigen wir die Messbarkeit dieser Abbildungen bezüglich der in (7) definierten Schnitt–σ–Algebra
σF , d.h., für jedes D ∈ σF soll T−1 (D) ∈ σF bzw. T−1 (D) ∈ σF ⊗ σF gelten, wobei
T−1 (D) = {B ∈ F : T(B) ∈ D}
bzw.
T−1 (D) = {(B1 , B2 ) ∈ F × F : T(B1 , B2 ) ∈ D}
das Urbild von D bezüglich T bezeichnet.
• Hierfür führen wir für Abbildungen der Form T : F → F bzw. T : F × F → F zunächst die Begriffe der
Halbstetigkeit von oben bzw. von unten ein.
Definition Sei (A, G) ein beliebiger topologischer Raum, wobei G die Topologie der offenen Teilmengen von A
bezeichnet.
• Die Abbildung T : A → F heißt nach oben halbstetig, wenn
T−1 (F C ) ∈ G
(21)
∀C ∈ C .
• Die Abbildung T : A → F heißt nach unten halbstetig, wenn
T−1 (FE ) ∈ G
(22)
∀E ∈ E .
Das folgende Resultat zeigt die Nützlichkeit dieser beiden Stetigkeitsbegriffe hinsichtlich der oben erwähnten
Messbarkeitseigenschaften.
Lemma 6.5
Wenn die Abbildung T : A → F nach oben oder nach unten halbstetig ist, dann gilt
T−1 (D) ∈ B(A)
(23)
∀ D ∈ σF .
Beweis
• Für beliebige D1 , D2 , . . . ∈ σF gilt offenbar
T−1
∞
[
i=1
∞
[
Di =
T−1 (Di )
i=1
und
T−1
∞
\
i=1
∞
\
Di =
T−1 (Di ) .
i=1
• Deshalb implizieren die Bedingungen (21) bzw. (22) die Gültigkeit von
T−1 (D) ∈ B(A) ∀ D ∈ σ {F C : C ∈ C}
bzw.
T−1 (D) ∈ B(A)
∀ D ∈ σ {FE : E ∈ E} .
• Hieraus ergibt sich die Behauptung, denn in Lemma 6.1 hatten wir gezeigt, dass
σF = σ {F C : C ∈ C} = σ {FE : E ∈ E} .
Um Kriterien für die Halbstetigkeit der Abbildung T : A → F herleiten zu können, benötigen wir die Begriffe der
Konvergenz, des Häufungspunktes bzw. der Kompaktheit in topologischen Räumen.
Definition Sei (A, G) ein beliebiger topologischer Raum, G ′ ⊂ G eine beliebige Basis von G, und a, a1 , a2 , . . .
beliebige Elemente aus A.
6 KEIM–KORN–MODELLE
178
• Man sagt, dass die Folge a1 , a2 , . . . ∈ A gegen a ∈ A konvergiert, wenn es für jedes U ∈ G ′ mit a ∈ U
eine natürliche Zahl nU ≥ 1 gibt, so dass an ∈ U für jedes n ≥ nU .
• Außerdem sagt man, dass a ∈ A ein Häufungspunkt der Folge a1 , a2 , . . . ∈ A ist, wenn es eine Teilfolge
an1 , an2 , . . . von a1 , a2 , . . . gibt, so dass an1 , an2 , . . . gegen a konvergiert.
• Wenn der topologische Raum (A, G) eine abzählbare Basis hat, dann nennt man eine abgeschlossene
Teilmenge B ⊂ A kompakt, wenn jede Folge a1 , a2 , . . . ∈ B eine konvergente Teilfolge besitzt (deren
Grenzwert dann in B liegt).
Beachte
• Im folgenden werden wir die Kurzschreibweise an → a verwenden, um auszudrücken, dass die Folge
a1 , a2 , . . . gegen a konvergiert.
• Mit lim sup an bezeichnen wir die Vereinigung aller Häufungspunkte von a1 , a2 , . . . und mit lim inf an
den Durchschnitt aller dieser Häufungspunkte.
• Man kann sich leicht überlegen, dass die Menge B ⊂ A genau dann abgeschlossen in A ist, wenn
für beliebige a, a1 , a2 , . . . ∈ A mit an ∈ B für jedes n ≥ 1 und an → a folgt, dass a ∈ B, d.h., die
Grenzwerte beliebiger konvergenter Folgen aus B gehören zu B.
Lemma 6.6 Sei (A, G) ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis G ′ ⊂ G, und sei T : A → F eine beliebige
Abbildung von A in die Familie F der abgeschlossenen Teilmengen des Rd .
• Die Abbildung T : A → F ist genau dann nach oben halbstetig, wenn
lim sup T(an ) ⊂ T(a)
∀ a, a1 , a2 , . . . ∈ A mit an → a.
(24)
• Die Abbildung T : A → F ist genau dann nach unten halbstetig, wenn
lim inf T(an ) ⊃ T(a)
∀ a, a1 , a2 , . . . ∈ A mit an → a.
(25)
Beweis
• Gemäß Definition (21) ist T : A → F ist genau dann nach oben halbstetig, wenn T−1 (F C ) ⊂ A offen
in A ist für jedes C ∈ C.
– Dabei ist die Menge T−1 (F C ) ⊂ A genau dann offen in A für jedes C ∈ C, wenn für jedes C ∈ C
T−1 (FC ) = T−1 (F \ F C ) = A \ T−1 (F C )
abgeschlossen in A ist.
– Letzeres gilt genau dann, wenn für jedes C ∈ C und für beliebige a, a1 , a2 , . . . ∈ A mit an → a die
folgende Implikation gilt:
Aus T(an ) ∩ C 6= ∅ für jedes n ≥ 1 folgt, dass T(a) ∩ C 6= ∅.
(26)
• Um die erste Teilaussage des Lemmas zu beweisen, genügt es nun zu zeigen, dass (26) äquivalent ist
mit (24).
• Dabei zeigen wir zuerst, dass (26) ⇒ (24).
– Für an → a und x ∈ lim sup T(an ) und für jede kompakte Umgebung C ∈ C von x gilt T(an ) ∈ C
für unendlich viele n ≥ 1.
– Wegen (26) ergibt sich hieraus, dass T(a) ∩ C 6= ∅ und somit x ∈ T(a), weil die Menge T(a) ⊂ Rd
abgeschlossen ist.
• Wir zeigen nun umgekehrt, dass (24) ⇒ (26).
– Sei C ∈ C und sei a, a1 , a2 , . . . ∈ A eine Folge mit an → a und T(an ) ∩ C 6= ∅ für jedes n ≥ 1.
6 KEIM–KORN–MODELLE
– Dann gibt es eine Folge x1 , x2 , . . . ∈ Rd , so dass xn ∈ T(an ) ∩ C für jedes n ≥ 1.
– Weil C kompakt ist, gibt es eine Teilfolge xn1 , xn2 , . . . von x1 , x2 , . . ., so dass xnk → x ∈ C.
– Wegen (24) gilt dann, dass x ∈ lim sup T(an ) ⊂ T(a) und somit T(a) ∩ C 6= ∅.
• Der Beweis der zweiten Teilaussage verläuft analog und wird deshalb weggelassen.
179
Mit Hilfe von Lemma 6.6 können wir die Stetigkeit der Abbildung T : A → F charakterisieren, wenn (A, G)
ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis ist. Dabei sagt man, dass T : A → F stetig ist, wenn
T(an ) → T(a) für beliebige a, a1 , a2 , . . . ∈ A mit an → a gilt. Aus Lemma 6.6 ergibt sich dann sofort das folgende
Resultat.
Korollar 6.1 Sei (A, G) ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis G ′ ⊂ G. Die Abbildung T : A → F ist
genau dann stetig, wenn T : A → F nach oben und nach unten halbstetig ist.
Konvergenzkriterien; Stetigkeitseigenschaften von Abbildungen in F
6.1.5
Für den topologischen Raum F der abgeschlossenen Teilmengen des Rd (mit der Fell–Topologie G bzw. mit der
in (11) gegebenen Basis G ′ ⊂ G) liefert das folgende Resultat zwei weitere (äquivalente) Definitionsmöglichkeiten
des Konvergenzbegriffes, der in Abschnitt 6.1.4 eingeführt worden ist.
Dabei sagen wir kurz „für fast jedes n ≥ 1” und meinen damit: für jedes n ≥ 1 bis auf endlich viele natürliche
Zahlen.
Lemma 6.7 Sei B, B1 , B2 , . . . ∈ F eine beliebige Folge von abgeschlossenen Mengen in Rd . Dann sind die
folgenden Aussagen (a), (b) und (c) äquivalent:
(a)
Es gilt Bn → B.
(b)
Es gelten die beiden folgenden Aussagen (b1 ) und (b2 ):
(b1 )
(b2 )
(c)
Für jedes E ∈ E folgt aus E ∩ B 6= ∅, dass E ∩ Bn 6= ∅ für fast jedes n ≥ 1.
Für jedes C ∈ C folgt aus C ∩ B = ∅, dass C ∩ Bn = ∅ für fast jedes n ≥ 1.
Es gelten die beiden folgenden Aussagen (c1 ) und (c2 ):
(c1 )
(c2 )
Für jedes x ∈ B gibt es eine Folge x1 , x2 , . . . ∈ Rd , so dass xn → x und xn ∈ Bn für fast jedes n ≥ 1.
Für jede Teilfolge Bn1 , Bn2 , . . . von B1 , B2 , . . . ∈ F und für jede konvergente Folge xn1 , xn2 , . . . ∈ Rd ,
so dass xnk ∈ Bnk für jedes k ≥ 1, gilt limk→∞ xnk ∈ B.
Beweis
• Die Äquivalenz von (a) und (b) ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Basis G ′ in (11).
– Wegen (11) ist Bn → B äquivalent damit, dass B ∈ FEC1 ,...,Ek die Gültigkeit von Bn ∈ FEC1 ,...,Ek
für fast jedes n ≥ 1 impliziert.
– Dies wiederum ist äquivalent mit den beiden Aussagen (b1 ) und (b2 ).
• Es ist noch zu zeigen, dass auch die Aussagen (b) und (c) äquivalent sind.
• Dabei zeigen wir zuerst, dass (b1 ) ⇒ (c1 ).
– Sei x ∈ B und En = int B(x, 1/n) die offene Kugel mit Mittelpunkt x ∈ Rd und Radius 1/n.
– Offenbar gilt En ∩ B 6= ∅ für jedes n ≥ 1.
– Mit Hilfe von (b1 ) ergibt sich dann, dass auch En ∩ Bk 6= ∅ für beliebige n ≥ 1 und k ≥ kn .
6 KEIM–KORN–MODELLE
180
– Dabei ist k1 , k2 , . . . eine Folge natürlicher Zahlen, für die wir (o.B.d.A.) annehmen, dass k1 < k2 <
. . ..
– Es gibt also eine Folge x1 , x2 , . . . ∈ Rd , so dass
x i ∈ E1 ∩ B i
für i = k1 , . . . , k2 − 1,
x i ∈ E2 ∩ B i
für i = k2 , . . . , k3 − 1,
..
.
x i ∈ Ej ∩ B i
für i = kj , . . . , kj+1 − 1,
..
.
– Somit gilt xi → x, wobei xi ∈ Bi für fast jedes i ≥ 1.
• Die umgekehrte Implikation (c1 ) ⇒ (b1 ) ergibt sich aus den folgenden Überlegungen.
–
–
–
–
Sei E ∈ E, so dass E ∩ B 6= ∅, d.h., es gilt x ∈ E ∩ B für ein x ∈ Rd .
Wegen (c1 ) gibt es eine Folge x1 , x2 , . . . ∈ Rd , so dass xn → x und xn ∈ Bn für fast jedes n ≥ 1.
Außerdem ergibt sich aus x ∈ E und xn → x, dass xn ∈ E für fast jedes n ≥ 1.
Damit gilt auch E ∩ Bn 6= ∅ für fast jedes n ≥ 1.
• Wir zeigen nun, dass (b2 ) ⇒ (c2 ).
– Sei Bn1 , Bn2 , . . . eine Teilfolge von B1 , B2 , . . . ∈ F und xn1 , xn2 , . . . ∈ Rd eine konvergente Folge,
so dass xnk ∈ Bnk für jedes k ≥ 1 und xnk → x.
– Falls x 6∈ B, dann gibt es ein C ∈ C mit x ∈ int C und C ∩ B = ∅.
– Wegen (b2 ) müsste dann auch C ∩ Bn = ∅ für fast jedes n ≥ 1 gelten.
– Dies steht jedoch im Widerspruch zu xnk → x, und somit gilt x ∈ B.
• Die umgekehrte Implikation (c2 ) ⇒ (b2 ) ergibt sich aus den folgenden Überlegungen.
– Wenn die Aussage (b2 ) nicht gilt, dann gibt es ein C ∈ C mit
C ∩B =∅
und
C ∩ Bn 6= ∅ für unendlich viele n ≥ 1.
(27)
– Somit gibt es eine Teilfolge Bn1 , Bn2 , . . . von B1 , B2 , . . . ∈ F und eine Folge xn1 , xn2 , . . . ∈ Rd , so
dass xnk ∈ C ∩ Bnk für jedes k ≥ 1.
– Weil die Folge xn1 , xn2 , . . . ∈ C beschränkt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge xni1 , xni2 , . . . mit
xnij → x ∈ C.
– Wegen (27) bedeutet dies insbesondere, dass x 6∈ B, was im Widerspruch zu (c2 ) steht.
Korollar 6.2
• Die Abbildungen T∪ : F × F → F und T⊕ : F × C → F mit
T∪ (B1 , B2 ) = B1 ∪ B2
∀ B1 , B2 ∈ F
bzw.
T⊕ (B1 , B2 ) = B1 ⊕ B2
∀ B1 ∈ F, B2 ∈ C
sind stetig.
• Für beliebige x ∈ Rd und c ≥ 0 sind die folgenden Abbildungen T− : F → F, Tx : F → F Tc : F → F
bzw. Tδ : F → F stetig, wobei
– T− (B) = {−y : y ∈ B} die Spiegelung der Menge B ∈ F am Nullpunkt,
– Tx (B) = {y + x : y ∈ B} die Verschiebung von B um den Vektor x ∈ Rd ,
– Tc (B) = {cy : y ∈ B} die Skalierung von B um den Faktor c ≥ 0,
– Tδ (B) = {δ(y) : y ∈ B} und δ : Rd → Rd eine beliebige Drehung um den Nullpunkt bezeichnet.
6 KEIM–KORN–MODELLE
181
Beweis
• Wir zeigen zunächst, dass die Abbildung T∪ : F × F → F stetig ist.
• Weil als Basis in dem (topologischen) Produktraum F × F die Familie aller kartesischen Produkte
D1 × D2 von offenen Teilmengen D1 , D2 ⊂ F betrachtet wird, ist die Konvergenz
(B1n , B2n ) → (B1 , B2 )
in F × F gleichbedeutend damit, dass B1n → B1 und B2n → B2 in F gilt.
• Um die Stetigkeit der Vereinigungsbildung T∪ (B1 , B2 ) = B1 ∪ B2 zu beweisen, ist also zu zeigen, dass
(28)
B1n ∪ B2n → B1 ∪ B2
für beliebige B1 , B2 , B11 , B21 , B12 , B22 , . . . ∈ F mit B1n → B1 und B2n → B2 .
• Sei x ∈ B1 ∪ B2 , wobei wir (o.B.d.A.) annehmen, dass x ∈ B1 .
– Aus B1n → B1 ergibt sich mit Hilfe von Lemma 6.7, dass es eine Folge x1 , x2 , . . . ∈ Rd gibt, so
dass xn → x und xn ∈ B1n ⊂ B1n ∪ B2n für fast jedes n ≥ 1.
– D.h., die Bedingung (c1 ) in Lemma 6.7 ist für die Konvergenz (28) erfüllt.
• Außerdem gibt es für jede Teilfolge B1,n1 ∪ B2,n1 , B1,n2 ∪ B2,n2 , . . . von {B1,n ∪ B2,n } und für jede
konvergente Folge xn1 , xn2 , . . . ∈ Rd , so dass xnk ∈ B1,nk ∪ B2,nk für jedes k ≥ 1, eine Teilfolge {xnik },
so dass xnik ∈ B1,nik oder xnik ∈ B2,nik für unendlich viele k.
– Wegen B1n → B1 und B2n → B2 ergibt sich hieraus mit Hilfe von Lemma 6.7, dass
lim xnk ∈ B1 ∪ B2 .
k→∞
– D.h., die Bedingung (c2 ) in Lemma 6.7 für die Konvergenz (28) ist ebenfalls erfüllt.
• Die Stetigkeit der Abbildungen T⊕ : F × C → F, T− : F → F, Tx : F → F, Tc : F → F und
Tδ : F → F ergibt sich auf völlig analoge Weise wie im ersten Teil des Beweises.
Mit Hilfe der Lemmas 6.6 und 6.7 leiten wir nun noch weitere Stetigkeitseigenschaften für Abbildungen vom Typ
F × F → F bzw. F → F her.
Korollar 6.3
• Die Abbildung T : F × F → F mit T(B1 , B2 ) = B1 ∩ B2 für beliebige B1 , B2 ∈ F ist nach oben halbstetig.
• Die Abbildungen Tcl : F → F und T∂ : F → F sind nach unten halbstetig, wobei
Tcl (B) = cl B c ,
T∂ (B) = ∂B
∀B ∈ F .
Beweis
• Mit Hilfe von Lemma 6.6 zeigen wir zunächst, dass die Durchschnittsbildung nach oben halbstetig ist.
– Gemäß Bedingung (24) in Lemma 6.6 ist dabei zu zeigen, dass
lim sup B1n ∩ B2n ⊂ B1 ∩ B2
für beliebige B1 , B2 , B11 , B21 , B12 , B22 , . . . ∈ F mit B1n → B1 und B2n → B2 .
– Sei x ∈ lim sup B1n ∩ B2n . Dann gibt es eine Teilfolge B1n1 ∩ B2n1 , B1n2 ∩ B2n2 , . . . und Punkte
xn1 , xn2 , . . ., so dass xnk ∈ B1nk ∩ B2nk für jedes k ≥ 1 und xnk → x.
6 KEIM–KORN–MODELLE
182
– Wegen B1n → B1 und B2n → B2 ergibt sich hieraus mit Hilfe von Teilaussage (c2 ) in Lemma 6.7,
dass x ∈ B1 und x ∈ B2 , d.h., x ∈ B1 ∩ B2 .
• Die Halbstetigkeit der Abbildung Tcl : F → F nach unten ergibt sich aus der folgenden Überlegung.
– Für jede offene Menge E ∈ E gilt offenbar, dass
E
c
c
T−1
cl (F ) = {B ∈ F : E ∩ cl B = ∅} = {B ∈ F : E ∩ B = ∅} = {B ∈ F : E ⊂ B} ,
wobei {B ∈ F : E ⊂ B} eine abgeschlossene Menge in F ist.
– Denn für beliebige x ∈ E und B, B1 , B2 , . . . ∈ F, so dass E ⊂ Bn für jedes n ≥ 1 und Bn → B,
ergibt sich aus Teilaussage (c2 ) in Lemma 6.7, dass x ∈ B, wenn dabei x als Grenzwert der
(konvergenten) Folge xn1 , xn2 , . . . ∈ Rd mit xnk = x für jedes k ≥ 1 aufgefasst wird.
– Insgesamt ergibt sich somit, dass das Komplement
−1
E
T−1
cl (FE ) = F \ Tcl (F )
eine offene Menge in F ist, d.h., die Abbildung Tcl ist nach unten halbstetig.
• Die Halbstetigkeit der Abbildung T∂ : F → F nach unten ergibt sich auf ähnliche Weise.
– Für jede zusammenhängende offene Menge E ∈ E und für jedes B ∈ F gilt E ∩ ∂B 6= ∅ genau
dann, wenn E ∩ B 6= ∅ und E ∩ B c 6= ∅.
– In diesem Fall gilt somit, dass
T−1
∂ (FE )
=
=
=
{B ∈ F : E ∩ ∂B 6= ∅}
{B ∈ F : E ∩ B =
6 ∅} ∩ {B ∈ F : E ∩ B c 6= ∅}
FE ∩ {B ∈ F : E ⊂ B}c .
– Weil wir im ersten Teil des Beweises gezeigt hatten, dass die Menge {B ∈ F : E ⊂ B} abgeschlosin F ist.
sen in F ist, ergibt sich hieraus, dass T−1
∂ (FE ) eine offene Menge S
– Außerdem lässt sich jede offene Menge E ∈ E als Vereinigung E = n≥1 En von (abzählbar vielen)
zusammenhängenden offenen Mengen En ∈ E darstellen.
– Insgesamt ergibt sich somit, dass
!
[
[
−1
−1
T−1
FE n =
T∂ (FE ) = T∂
∂ FE n
n≥1
n≥1
für jedes E ∈ E eine offene Menge in F ist.
Mit Hilfe von Lemma 6.4 und Korollar 6.3 können wir schließlich zeigen, dass der erweiterte Konvexring S ebenfalls
eine Borel–Menge in F ist.
Lemma 6.8
Sei σF die in (7) definierte Schnitt–σ–Algebra. Dann gilt S ∈ σF .
Beweis
• Offenbar gilt S =
T
k≥1
Sk , wobei
Sk = {B ∈ F : B ∩ B(o, k) ∈ R}
∀k ≥ 1,
d.h., Sk ist das Urbild von R bezüglich der Abbildung Tk : F → F mit Tk (B) = B ∩ B(o, k).
• Aus der ersten Teilaussage von Korollar 6.3 ergibt sich, dass Tk : F → F für jedes k ≥ 1 nach oben
halbstetig und damit Borel–messbar ist. Außerdem hatten wir in Lemma 6.4 gezeigt, dass R ∈ σF .
T
• Insgesamt ergibt sich hieraus, dass Sk = T−1
k≥1 Sk ∈ σF .
k (R) ∈ σF und somit S =
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.2
183
Zufällige abgeschlossene Mengen
• Wir erinnern zunächst an den Begriff des zufälligen Punktprozesses in Rd , der in Abschnitt 3.1 eingeführt
worden ist, und zeigen dann, dass jeder einfache Punktprozess als zufällige (abgeschlossene) Menge in Rd
aufgefasst werden kann.
– Unter einem zufälligen Punktprozess {Sn } im d–dimensionalen euklidischen Raum Rd versteht man
eine Folge von Zufallsvektoren S1 , S2 , . . . Ω → Rd ∪{∞} über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ),
so dass
#{n : Sn ∈ B} < ∞
∀ B ∈ B0 (Rd ) .
(29)
– Dabei sagt man, dass {Sn } ein einfacher Punktprozess ist, wenn zusätzlich zu der lokalen Endlichkeitsbedingung (29) gilt, dass mit Wahrscheinlichkeit 1
Si 6= Sj
∀ i, j ≥ 1 mit i 6= j .
(30)
– Aus (29) und (30) ergibt sich, dass {Sn (ω)} für fast jedes ω ∈ Ω eine abgeschlossene Teilmenge des Rd
ist.
• Man kann sich leicht überlegen, dass die Abbildung Ξ : Ω → F mit
(31)
Ξ(ω) = {Sn (ω)}
messbar bezüglich (A, σF ) ist, wobei σF die in (7) definierte Schnitt–σ–Algebra von Teilmengen von F ist.
– Weil σF = σ {FC : C ∈ C} , wobei FC = {B ∈ F : B ∩ C 6= ∅}, genügt es zu zeigen, dass
{ω ∈ Ω : Ξ(ω) ∩ C 6= ∅} ∈ A
∀C ∈ C .
(32)
– Dies ergibt sich aus der folgenden Überlegung: Für jedes C ∈ C gilt
{ω ∈ Ω : Ξ(ω) ∩ C 6= ∅} =
∞
[
n=1
{ω ∈ Ω : Sn (ω} ∈ C} ∈ A ,
weil S1 , S2 , . . . Ω → Rd ∪ {∞} Zufallsvektoren, d.h., (A, B(Rd ))–messbare Abbildungen sind.
6.2.1
Definition und Beispiele
Die (A, σF )–Messbarkeit der in (31) betrachteten Abbildung Ξ : Ω → F liefert eine Motivation dafür, den Begriff
der (allgemeinen) zufälligen abgeschlossenen Menge wie folgt einzuführen.
Definition
Die Abbildung Ξ : Ω → F heißt zufällige abgeschlossene Menge (ZAM), wenn
{ω ∈ Ω : Ξ(ω) ∩ C 6= ∅} ∈ A
∀C ∈ C ,
(33)
d.h., wenn {ω ∈ Ω : Ξ(ω) ∈ B} ∈ A für jedes B ∈ σF .
Neben dem Beispiel des (einfachen) Punktprozesses, das in der Einleitung dieses Kapitels diskutiert wurde, gibt
es natürlich noch weitere Arten von Beispielen für zufällige abgeschlossene Mengen.
Beispiele
1. Seien S : Ω → Rd und R : Ω → (0, ∞) beliebige Zufallsvariablen. Dann ist durch die Kugel Ξ : Ω → F
mit Mittelpunkt S und Radius R eine ZAM gegeben, wobei
Ξ(ω) = B(S(ω), R(ω))
∀ ω ∈ Ω.
(34)
6 KEIM–KORN–MODELLE
184
• Hierfür muss gezeigt werden, dass die in (34) gegebene Abbildung Ξ : Ω → F messbar ist, d.h.,
dass Ξ−1 (B) ∈ A für jedes B ∈ σF .
• Dabei genügt es zu zeigen, dass Ξ−1 (B) ∈ A für jedes B ∈ G ′′ gilt, wobei G ′′ die abzählbare Basis
der Fell–Topologie G ⊂ 2F ist, die im Beweis von Lemma 6.2 betrachtet wurde.
• Dies wiederum ergibt sich aus der Tatsache, dass Ξ−1 (F C ) ∈ A und Ξ−1 (FE ) ∈ A für beliebige
abgeschlossene Kugeln C = B(x, r) bzw. offene Kugeln E = int B(x, r), denn es gilt
Ξ−1 (F C )
=
=
{ω ∈ Ω : B(S(ω), R(ω)) ∩ B(x, r) = ∅}
{ω ∈ Ω : |S(ω) − x| > R(ω) + r} = {ω ∈ Ω : |S(ω) − x| − R(ω) > r} ∈ A
=
{ω ∈ Ω : B(S(ω), R(ω)) ∩ int B(x, r) 6= ∅}
und
Ξ−1 (FE )
=
{ω ∈ Ω : |S(ω) − x| < R(ω) + r}; = {ω ∈ Ω : |S(ω) − x| − R(ω) < r} ∈ A .
d
2. Für n ≥ 1 seien
Sn S1 , . . . , Sn : Ω → R und R1 , . . . , Rn : Ω → (0, ∞) beliebige Zufallsvariablen. Dann ist
durch Ξ = i=1 B(Si , Ri ) eine ZAM gegeben, die in der Literatur Keim–Korn–Modell genannt wird.
• Dabei ergibt sich durch die Betrachtung der gleichen Art von „Urbildern” wie in Beispiel 1, dass
die Abbildung B(S1 , R1 ) ∪ . . . ∪ B(Sn , Rn ) : Ω → F messbar ist.
• Denn aus Beispiel 1 ergibt sich, dass für beliebige x ∈ Rd und r > 0 die folgenden Teilmengen von
Ω zu A gehören:
{ω ∈ Ω :
n
[
i=1
B(Si (ω), Ri (ω)) ∩ B(x, r) 6= ∅} =
n
[
i=1
{ω ∈ Ω : B(Si (ω), Ri (ω)) ∩ B(x, r) 6= ∅}
bzw.
{ω ∈ Ω :
n
[
i=1
B(Si (ω), Ri (ω)) ∩ int B(x, r) = ∅} =
n
[
i=1
{ω ∈ Ω : B(Si (ω), Ri (ω)) ∩ int B(x, r) = ∅} .
Sn
3. Außerdem kann man zeigen, dass Ξ = i=1 (Ξi +Si ) eine ZAM ist, wobei S1 , . . . , Sn : Ω → Rd beliebige
(d–dimensionale) Zufallsvektoren und Ξ1 , . . . , Ξn : Ω → F beliebige ZAM sind.
• Dabei genügt es sich zu beachten, dass Ξi + Si = Ξi ⊕ {Si } und dass die Abbildung T : F × C → F
mit T(B1 , B2 ) = B1 ⊕ B2 stetig ist (vgl. Korollar 6.2) und somit (σF ⊗ σF , σF )–messbar ist (vgl.
Lemma 6.5 bzw. Korollar 6.1).
Sn
• Hieraus ergibt sich, dass Ξi + Si und somit auch Ξ = i=1 (Ξi + Si ) eine ZAM ist.
4. Unter gewissen zusätzlichen Bedingungen kann man zeigen, dass auch die Vereinigung
Ξ=
∞
[
(Ξi + Si )
(35)
i=1
von unendlich vielen „Körnern” Ξ1 + S1 , Ξ2 + S2 , . . . eine ZAM sind.
• Dies gilt beispielsweise dann, wenn Ξi + Si = B(Si , Ri ) für jedes i ≥ 1, wobei {Sn } ein (einfacher)
Punktprozess ist und die Zufallsvariablen R1 , R2 , . . . : Ω → (0, ∞) gleichmäßig beschränkt sind,
d.h., P (Ri ≤ c) = 1 für jedes i ≥ 1 und eine Konstante c < ∞.
S∞
– Dann gilt Ξ = i=1 B(Si , Ri ) ∈ F mit Wahrscheinlichkeit 1, weil {B(Si , Ri ), i ≥ 1} mit
Wahrscheinlichkeit 1 eine lokalendliche Familie von abgeschlossenen Mengen ist.
– Um zu zeigen, dass in diesem Fall die in (35) betrachtete Abbildung Ξ : Ω → F messbar ist,
kann man genauso wie in den Beispielen 1 und 2 vorgehen.
• Beachte: Wenn {Sn } ein homogener Poisson–Prozess ist, dann wird die in (35) betrachtete ZAM
ein Boolesches Modell genannt, vgl. Abschnitt 6.5.
6 KEIM–KORN–MODELLE
185
Wir betrachten nun Beispiele von ZAM, die durch zufällige Mosaike generiert werden.
Beispiele (Fortsetzung)
5. Sei {Sn } eine beliebiger (einfacher) Punktprozess in Rd .
• Dann kann man sich so wie in Beispiel
n, m ≥ 1 mit m 6= n der
1 überlegen, dass für beliebige
zufällige (abgeschlossene) Halbraum x ∈ Rd : |x − Sn | ≤ |x − Sm | eine ZAM ist.
• Denn für jede abgeschlossene Kugel C = B(y, r) und für jede offene Kugel E = int B(y, r) gilt
n
o
ω ∈ Ω : {x ∈ Rd : |x − Sn (ω)| ≤ |x − Sm (ω)|} ∩ B(y, r) 6= ∅
)
(
Sm (ω) − Sn (ω) =
ω ∈ Ω : |y − Sn (ω)| ≤ y − Sm (ω) + 2r
∈A
|Sm (ω) − Sn (ω)|
bzw.
n
o
ω ∈ Ω : {x ∈ Rd : |x − Sn (ω)| ≤ |x − Sm (ω)|} ∩ int B(y, r) = ∅
)
(
Sm (ω) − Sn (ω) =
ω ∈ Ω : |y − Sn (ω)| ≥ y − Sm (ω) + 2r
∈ A.
|Sm (ω) − Sn (ω)|
• Hieraus ergibt sich auf die gleiche Weise wie in den Beispielen 2 und 4, dass auch die Voronoi–Zelle
Ξn : Ω → F für jedes n ≥ 1 eine ZAM ist, wobei
\
x ∈ Rd : |x − Sn | ≤ |x − Sm | . (36)
Ξn = x ∈ Rd : |x − Sn | ≤ |x − Sm | ∀ m 6= n =
m6=n
• Die Anwendung von Lemma 6.5 bzw. Korollar 6.3 ergibt darüber hinaus, dass der Rand ∂Ξn der
in (36) gegebenen Voronoi–Zelle Ξn eine ZAM ist.
S∞
• Außerdem gilt n=1 ∂Ξn ∈ F mit Wahrscheinlichkeit 1, weil {∂Ξn , n ≥ 1} mit Wahrscheinlichkeit
1 eine lokalendliche Familie von abgeschlossenen Mengen ist.
– Denn für beliebige n ≥ 1 und r > 0 ergibt sich aus Ξn ∩B(o, r) 6= ∅, dass es ein Zn ∈ Ξn ∩B(o, r)
gibt, so dass
|Sn | ≤ |Sn − Zn | + |Zn | ≤ |S1 − Zn | + |Zn | ≤ |S1 | + 2|Zn | ≤ |S1 | + 2r .
– D.h. Sn ∈ B(o, |S1 | + 2r), wobei die letzte Ungleichung wegen der lokalen Endlichkeit des
Punktprozesses {Sn } mit Wahrscheinlichkeit 1 nur für endlich viele n ≥ 1 gelten kann.
• Hieraus und aus der Messbarkeit S
der Abbildungen ∂Ξn : Ω → F für jedes n ≥ 1 ergibt sich, dass
∞
auch die Vereinigungsmenge Ξ = n=1 ∂Ξn aller „Kanten” des Voronoi–Mosaiks eine ZAM ist.
• Insbesondere gilt dies natürlich für Poisson–Voronoi–Mosaike bzw. für Cox–Voronoi–Mosaike, die
in den Abschnitten 4.1.4 bzw. 4.2.4 betrachtet worden sind.
6. Sei nun d = 2. Auf ähnliche Weise wie für Voronoi–Mosaike kann man dann Beispiele von ZAM
angeben, die durch die in Abschnitt 4.2.3 betrachteten Poissonschen Geradenprozesse in R2 generiert
werden.
• Sei also {(Rn , Vn )} ein unabhängig markierter Poisson–Prozess, wobei
(i) {Rn , n ≥ 1} ein homogener Poisson–Prozess in R ist,
(ii) {Vn } eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten (nichtnegativen) Zufallsvariablen
ist mit Vn ∼ U ([0, π)),
(iii) und die beiden Folgen {Rn } und {Vn } unabhängig sind.
• So wie in den Beispielen 1 und 5 kann man zeigen, dass die Abbildung ℓRn ,Vn : Ω → F mit
ℓRn ,Vn = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 cos Vn + x2 sin Vn = Rn }
für jedes n ≥ 1 eine ZAM, also eine zufällige Gerade in R2 ist.
6 KEIM–KORN–MODELLE
186
S∞
• Außerdem gilt n=1 ℓRn ,Vn ∈ F mit Wahrscheinlichkeit 1, weil die Anzahl derjenigen Geraden
ℓRn ,Vn mit Wahrscheinlichkeit 1 endlich ist, die die Kugel B(o, r) mit beliebigem, jedoch fest
vorgegebenem Radius r > 0 schneiden.
• Hieraus und aus der Messbarkeit der Abbildungen ℓRn ,Vn : Ω → F für jedes n ≥ 1 ergibt sich, dass
auch die folgende Vereinigungsmenge eine ZAM in R2 ist:
Ξ=
∞
[
(37)
ℓRn ,Vn .
n=1
• Weitere Beispiele von ZAM sind durch die Abschließungen der Zusammenhangskomponenten des
Komplementes Ξc der in (37) betrachteten Kantenmenge Ξ gegeben.
– Man kann zeigen, dass diese Abschließungen mit Wahrscheinlichkeit 1 eine Folge {Ξn , n ≥ 1}
von (zufälligen) kompakten und konvexen Polygonen Ξn : Ω → F bilden, so dass
(i) int Ξi ∩ int Ξj = ∅ für beliebige i, j ≥ 1 mit i 6= j,
S∞
S∞
(ii) n=1 Ξn = R2 und n=1 ∂Ξn = Ξ.
– Dabei sagt man, dass {Ξn , n ≥ 1} ein (stationäres und isotropes) Poissonsches Geradenmosaik ist. Die zufäligen Polygone Ξ1 , Ξ2 , . . . werden die Zellen des Mosaiks genannt, vgl.
Abbildung 20.
Aus den in Abschnitt 6.1 hergeleiteten Messbarkeits– und Stetigkeitseigenschaften ergeben sich darüber hinaus
die folgenden (allgemeinen) Möglichkeiten zur Konstruktion von zusammengesetzten bzw. transformierten ZAM.
Theorem 6.2
Seien Ξ, Ξ′ : Ω → F beliebige ZAM.
• Dann sind auch die folgenden Abbildungen von Ω in F ZAM, und zwar Z ∪ Z ′ , Z ∩ Z ′ , Z ⊕ Z ′ bzw. ∂Ξ.
• Weitere ZAM sind durch die Abbildungen Ξ + x und δ(Ξ) gegeben, und zwar für jedes x ∈ Rd und für jede
Drehung δ : Rd → Rd um den Nullpunkt.
6.2.2
Verteilung und Kapazitätsfunktional
In diesem Abschnitt führen wir die Begriffe der Verteilung und des Kapazitätsfunktionals von ZAM ein. Dabei
zeigen wir, dass zwischen diesen beiden Kenngrößen ein ähnlicher (eineindeutiger) Zusammenhang wie zwischen
der Verteilung und der Verteilungsfunktion von reellwertigen Zufallsvariablen besteht.
Definition
Sei Ξ : Ω → F eine beliebige ZAM. Dann heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß PΞ : σF → [0, 1] mit
PΞ (B) = P (Ξ ∈ B)
(38)
∀ B ∈ σF
die Verteilung von Ξ, während die Abbildung TΞ : C → [0, 1] mit
TΞ (C) = P (Ξ ∩ C 6= ∅)
= PΞ (FC )
∀C ∈ C
(39)
das Kapazitätsfunktional von Ξ genannt wird.
Um zu zeigen, dass zwischen der Verteilung PΞ und dem Kapazitätsfunktional TΞ ein eineindeutiger Zusammenhang besteht, ist die folgende Version des Satzes über monotone Klassen nützlich. Hierfür erinnern wir zunächst
an die einige elementare Begriffe der Mengenalgebra.
6 KEIM–KORN–MODELLE
Definition
187
Sei A eine beliebige Menge.
1. Eine Familie G von Teilmengen von A heißt D–System (Dynkin–System) über A, falls
• A ∈ G,
• B1 \ B2 ∈ G für beliebige B1 , B2 ∈ G mit B1 ⊃ B2 ,
S∞
• i=1 Bi ∈ G für beliebige B1 , B2 , . . . ∈ G mit B1 ⊂ B2 ⊂ . . ..
2. Eine nichtleere Familie G von Teilmengen von A heißt π-System über A, falls
n = 1, 2, . . . und für beliebige B1 , . . . , Bn ∈ G.
Tn
i=1
Bi ∈ G für jedes
Beachte
• Jede σ–Algebra von Teilmengen A ist gleichzeitig ein D–System und auch ein π–System über A.
• Umgekehrt ist jedes System von Teilmengen von A, dass sowohl ein D–System als auch ein π-System
über A ist, eine σ–Algebra über A.
• Schreibweise: Sei D(G) das kleinste D–System, das das erzeugende System G von Teilmengen von A
umfasst. Analog bezeichne σ(G) (so wie bisher) die kleinste σ–Algebra, die das erzeugende System G
von Teilmengen von A umfasst.
Lemma 6.9 Sei G ein π-System über A. Dann gilt
(40)
σ(G) = D (G) .
Mit Hilfe von Lemma 6.9 können wir den folgenden Eindeutigkeitssatz herleiten.
Theorem 6.3
Seien Ξ1 , Ξ2 : Ω → F zwei beliebige ZAM. Es gilt PΞ1 = PΞ2 genau dann, wenn TΞ1 = TΞ2 .
Beweis
• Die Notwendigkeit der Bedingung ergibt sich unmittelbar aus den Definitionsgleichungen (38) und (39)
der Verteilung bzw. des Kapazitätsfunktionals von ZAM.
• Es gelte nun TΞ1 (C) = TΞ2 (C) für jedes C ∈ C. Damit gilt auch 1 − TΞ1 (C) = 1 − TΞ2 (C) für jedes
C ∈ C, d.h., es gilt
∀C ∈ C .
(41)
PΞ1 (F C ) = PΞ2 (F C )
• Dabei ist G = {F C , C ∈ C} ein π–System über F, denn es gilt
F C1 ∩ F C2 = F C1 ∪C2
∀ C1 , C2 ∈ C .
• Sei nun G ′ = {B ∈ F : PΞ1 (B) = PΞ2 (B)}. Wegen (41) gilt dann
G′ ⊃ G ,
(42)
und aus den elementaren Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen (vgl. z.B. Abschnitt WR-2.3.1)
ergibt sich, dass G ′ ein D–System über F ist.
• Hieraus ergibt sich mit Hilfe der Lemmas 6.1 und 6.9, dass
(42)
G ′ = D (G ′ ) ⊃ D (G)
Lemma 6.9
=
σ(G)
Lemma 6.1
=
σF .
Wir zeigen nun, dass das Kapazitätsfunktional von ZAM ähnliche Stetigkeits– und Monotonieeingenschaften wie
die Verteilungsfunktion von reellwertigen Zufallsvariablen besitzt.
6 KEIM–KORN–MODELLE
Sei Ξ : Ω → F eine beliebige ZAM mit dem Kapazitätsfunktional TΞ : C → [0, 1].
Theorem 6.4
1.
188
Dann gilt
und
TΞ (∅) = 0
2.
0 ≤ TΞ (C) ≤ 1
Für jede Folge C1 , C2 , . . . ∈ C mit C1 ⊃ C2 ⊃ . . . gilt
lim TΞ (Cn ) = TΞ
n→∞
3.
∀C ∈ C .
∞
\
n=1
Cn .
Die Größen S0 (C), S1 (C; C1 ), S2 (C; C1 , C2 ), . . . seien rekursiv definiert, so dass S0 (C) = 1 − TΞ (C) und
Sn (C; C1 , . . . , Cn ) = Sn−1 (C; C1 , . . . , Cn−1 ) − Sn−1 (C ∪ Cn ; C1 , . . . , Cn−1 )
(43)
für jedes n ≥ 1 und für beliebige C, C1 , . . . , Cn ∈ C. Dann gilt
Sn (C; C1 , . . . , Cn ) ≥ 0
(44)
∀ n ≥ 1, C, C1 , . . . , Cn ∈ C .
Beweis
• Die erste Teilaussage ergibt sich unmittelbar Definitionsgleichung (39) des Kapazitätsfunktionals TΞ :
C → [0, 1].
• Um die zweite Teilaussage zu zeigen, genügt es zu beachten, dass für jede Folge C1 , C2 , . . . ∈ C mit
C1 ⊃ C2 ⊃ . . .
∞
\
FC n = F ∞
und
F C 1 ⊃ FC 2 ⊃ . . .
T
Cn
n=1
n=1
und somit
lim TΞ (Cn ) = lim PΞ (FCn ) = PΞ (
n→∞
n→∞
\
n→∞
FCn ) = PΞ (F
T
Cn )
n→∞
= TΞ
∞
\
n=1
Cn .
• Die dritte Teilaussage lässt sich mit vollständiger Induktion bezüglich n ≥ 1 beweisen.
– Für n = 1 gilt offenbar, dass
S1 (C; C1 )
S0 (C) − S0 (C ∪ C1 ) = TΞ (C ∪ C1 ) − TΞ (C)
P Ξ ∩ (C ∪ C1 ) 6= ∅ − P (Ξ ∩ C 6= ∅)
P Ξ ∩ C = ∅, Ξ ∩ C1 6= ∅ ≥ 0 .
=
=
=
– Für ein gewisses n ≥ 1 und für beliebige C, C1 , . . . , Cn ∈ C gelte nun
Sn (C; C1 , . . . , Cn ) = P Ξ ∩ C = ∅, Ξ ∩ C1 6= ∅, . . . , Ξ ∩ Cn 6= ∅ ≥ 0 .
(45)
– Hieraus ergibt sich mit Hilfe des Rekursionsgleichung (43), dass
Sn+1 (C; C1 , . . . , Cn+1 )
(43)
=
(45)
=
≥
für beliebige C, C1 , . . . , Cn+1 ∈ C.
Sn (C; C1 , . . . , Cn ) − Sn (C ∪ Cn+1 ; C1 , . . . , Cn )
P Ξ ∩ C = ∅, Ξ ∩ C1 6= ∅, . . . , Ξ ∩ CCn 6= ∅
−P Ξ ∩ (C ∪ Cn+1 ) = ∅, Ξ ∩ C1 6= ∅, . . . , Ξ ∩ Cn 6= ∅
0
6 KEIM–KORN–MODELLE
189
Die folgende Umkehrung von Theorem 6.4 wird in der Literatur der Satz von Choquet genannt.
Theorem 6.5 Sei T : C → [0, 1] ein Funktional, das die Eigenschaften 1 − 3 von Theorem 6.4 beitzt. Dann gibt
es ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß P : σF → [0, 1], so dass
T(C) = P (FC )
∀C ∈ C .
(46)
Einen Beweis der Existenzaussage von Theorem 6.5 findet man beispielsweise in G. Matheron (1975) Random
Sets and Integral Geometry. Wiley, New York. Die Eindeutigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes P : σF → [0, 1]
ergibt sich unmittelbar aus Theorem 6.3.
6.2.3
Stationarität und Isotropie; Ergodizität
Auf ähnliche Weise wie die Stationarität und Isotropie von Punktprozessen (vgl. Abschnitt 3.1.4) definiert man
die Begriffe der Stationarität bzw. Isotropie von allgemeinen ZAM. Dabei werden die folgende Invarianzeigenschaften ihrer Verteilung bezüglich beliebiger Verschiebungen des Nullpunktes bzw. beliebiger Drehungen um den
Nullpunkt betrachtet.
Definition
Sei Ξ : Ω → F eine beliebige ZAM.
• Man sagt, dass Ξ stationär ist, wenn PΞ = PΞ+x für jedes x ∈ Rd .
• Die ZAM Ξ heißt isotrop, wenn PΞ = Pδ(Ξ) für jede Drehung δ : Rd → Rd um den Nullpunkt.
Beachte
• Ähnlich wie für stationäre Punktprozesse in Theorem 3.5 kann man zeigen, dass die Realisierungen
von stationären ZAM mit Wahrscheinlichkeit 1 entweder die leere Menge oder unbeschränkt sind.
• Mit Hilfe von Theorem 6.3 können die Stationarität und die Isotropie von ZAM durch entsprechende
Invarianzeigenschaften des Kapazitätsfunktionals charakterisiert werden.
Theorem 6.6
Sei Ξ : Ω → F eine beliebige ZAM.
1. Die ZAM Ξ ist genau dann stationär, wenn TΞ = TΞ+x für jedes x ∈ Rd .
2. Die ZAM Ξ ist genau dann isotrop, wenn TΞ = Tδ(Ξ) für jede Drehung δ : Rd → Rd um den Nullpunkt.
Beweis
• Die Notwendigkeit der beiden Bedingungen ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen des Kapazitätsfunktionals sowie der Stationarität und Isotropie von ZAM.
• Es gelte nun TΞ = TΞ+x für jedes x ∈ Rd .
• Dann ergibt sich mit Hilfe von Theorem 6.3, dass PΞ = PΞ+x für jedes x ∈ Rd .
• Die Hinlänglichkeit der Isotropie–Bedingung ergibt sich auf die gleiche Weise.
Beispiele
1. Sei {Sn } ein stationärer Punktprozess in Rd , und sei {Rn } eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen R1 , R2 , . . . : Ω → (0, ∞), die unabhängig von {Sn } und gleichmäßig beschränkt sind, d.h.,
P (Rn ≤ c) = 1 für jedes n ≥ 1 und eine Konstante c < ∞.
6 KEIM–KORN–MODELLE
190
• Dann ist durch
Ξ=
∞
[
B(Sn , Rn )
(47)
n=1
eine stationäre ZAM gegeben. Wenn {Sn } nicht nur stationär, sondern auch isotrop ist, dann ist
das in (47) betrachtete Keim–Korn–Modell Ξ ebenfalls stationär und isotrop.
• Insbesondere ist somit das Boolesche Modell mit kugelförmigen Körnern stationär und isotrop,
weil der homogene Poisson–Prozess {Sn } gleichzeitig stationär und isotrop ist.
2. Außerdem kann man sich leicht überlegen, dass die Vereinigungsmenge
Ξ=
∞
[
∂Ξn
n=1
der „Kanten” eines Poisson–Voronoi–Mosaiks {Ξn }, das durch einen homogenen Poisson–Prozess {Sn }
generiert wird, ebenfalls eine stationäre und isotrope ZAM ist.
3. Darüber hinaus ist beispielsweise auch die Kantenmenge
Ξ=
∞
[
ℓRn ,Vn
(48)
n=1
eines Poissonschen Geradenmosaikes in R2 eine stationäre ZAM, die durch einen unabhängig markierten
Poisson–Prozess {(Rn , Vn )} generiert wird, wobei {Rn , n ≥ 1} ein homogener Poisson–Prozess in R
ist.
• Wenn die unabhängigen und identisch verteilten Winkel Vn gleichverteilt im Intervall [0, π) sind,
dann ist die in (48) betrachtete ZAM Ξ nicht nur stationär, sondern auch isotrop.
• Ansonsten, d.h. bei einer von U ([0, π)) verschiedenen Winkelverteilung, ist Ξ zwar stationär, jedoch
nicht isotrop.
Auch die Ergodizität von stationären ZAM wird auf ähnliche Weise wie die Ergodizität von stationären Punktprozessen eingeführt, vgl. Abschnitt 3.4.1.
• Hierfür betrachten wir die Familie {Tx , x ∈ Rd } von Verschiebungsoperatoren Tx : F → F, so dass
Tx (B) = B − x
∀ x ∈ Rd , B ∈ F ,
(49)
d.h., jeder abgeschlossenen Menge B ∈ F wird die um den Vektor −x ∈ Rd „verschobene” Menge Tx B =
{y − x : y ∈ B} zugeordnet.
• Für jede stationäre ZAM Ξ ergibt sich somit das dynamische System (F, σF , PΞ , T).
• Man sagt, dass die stationäre ZAM Ξ ergodisch ist, wenn das dynamische System (F, σF , PΞ , T) im Sinne
der in Abschnitt 3.4.1 eingeführten Definition ergodisch ist.
Beachte
S∞
• Das in (47) betrachtete stationäre Keim–Korn–Modell Ξ = n=1 B(Sn , Rn ) ist genau dann ergodisch,
wenn der zugrundeliegende stationäre Punktprozess {Sn } der „Keime” ergodisch ist.
S∞
• Außerdem kann man zeigen, dass die „Kantenmenge” Ξ = n=1 ∂Ξn eines Poisson–Voronoi–Mosaiks
{Ξn } ergodisch ist, wobei die Zellen Ξn durch einen homogenen Poisson–Prozess {Sn } in Rd generiert
werden.
S∞
• Die (stationäre) Kantenmenge Ξ = n=1 ℓRn ,Vn eines Poissonschen Geradenmosaikes in R2 , das durch
einen unabhängig markierten Poisson–Prozess {(Rn , Vn )} generiert wird, ist ebenfalls ergodisch.
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.2.4
191
Kenngrößen von stationären ZAM und ihre Schätzer
Sei Ξ : Ω → F eine beliebige ZAM, und das zufällige Feld {1Ix∈Ξ , x ∈ Rd } sei gegeben durch

 1 , wenn x ∈ Ξ(ω),
1Ix∈Ξ (ω) =
 0 , wenn x 6∈ Ξ(ω).
Man kann sich leicht überlegen, dass es einen eineindeutigen Zusammenhang zwischen den Verteilungen von Ξ
und {1Ix∈Ξ , x ∈ Rd } gibt.
Insbesondere lassen sich die Mittelwertfunktion {m(x), x ∈ Rd } und die Kovarianzfunktion {k(x, y), x, y ∈ Rd }
des zufälligen Feldes {1Ix∈Ξ , x ∈ Rd } mit
m(x) = E 1Ix∈Ξ
und
k(x, y) = E (1Ix∈Ξ 1IΞ,y ) − E 1Ix∈Ξ E 1IΞ,y
∀ x, y ∈ Rd
durch die Einpunkt– bzw. Zweipunkt–Überdeckungswahrscheinlichkeiten {px , x ∈ Rd } bzw. {px,y , x, y ∈ Rd } der
ZAM Ξ mit px = P (x ∈ Ξ) bzw. px,y = P (x ∈ Ξ, y ∈ Ξ) ausdrücken. Dabei gilt
m(x) = px
bzw.
∀ x, y ∈ Rd .
k(x, y) = px,y − px py
(50)
Auf ähnliche Weise wie im Beweis von Lemma 3.3 ergibt das folgende Resultat.
Theorem 6.7
• Die ZAM Ξ ist genau dann stationär, wenn das zufällige Feld {1Ix∈Ξ , x ∈ Rd } stationär ist, wobei die
Einpunkt– Überdeckungswahrscheinlichkeiten px dann nicht von x ∈ Rd abhängen.
• Sei Ξ eine stationäre ZAM. Für die Konstante p = P (o ∈ Ξ) gilt dann
p = E νd Ξ ∩ [0, 1]d = TΞ ({o}) ,
(51)
weswegen p der Volumenanteil von Ξ genannt wird.
• Wenn Ξ stationär ist, dann gilt außerdem für die Zweipunkt– Überdeckungswahrscheinlichkeiten px,y , dass
px,y = po,y−x für beliebige x, y ∈ Rd .
• Für die Funktion q : Rd → [0, 1] mit q(x) = po,x , die Kovarianz von Ξ genannt wird, gilt dann
q(x) = q(−x)
und
q(x) = 2p − TΞ ({o, x})
∀ x ∈ Rd .
(52)
Beweis
• Wir leiten lediglich die Formeln in (51) und (52) her, denn die Gültigkeit der übrigen Aussagen ist
offensichtlich.
• Sei Ξ eine stationäre ZAM. Dann gilt insbesondere
∀ x ∈ Rd .
P (o ∈ Ξ) = P (x ∈ Ξ)
(53)
• Hieraus und aus dem Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge ergibt sich,
dass
Z
Z
Satz von Fubini
E νd ([0, 1]d ∩ Ξ) = E
=
1Ix∈Ξ dx
E 1Ix∈Ξ dx
[0,1]d
[0,1]d
Z
Z
(53)
=
P (x ∈ Ξ) dx =
P (o ∈ Ξ) dx = P (o ∈ Ξ) = p .
[0,1]d
[0,1]d
6 KEIM–KORN–MODELLE
192
• Die zweite Gleichheit in (51) ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung (39) des Kapazitätsfunktionals TΞ : C → [0, 1], denn offenbar gilt
(39)
p = P (o ∈ Ξ) = P (Ξ ∩ {o} 6= ∅) = TΞ ({o}) .
• Um die erste Gleichheit in (52) zu zeigen, genügt es zu beachten, dass für jedes x ∈ Rd
q(x) = po,x
=
Stationarität
=
=
=
P (o ∈ Ξ, x ∈ Ξ)
P (−x ∈ Ξ, o ∈ Ξ)
P (o ∈ Ξ, −x ∈ Ξ)
po,−x = q(−x) .
• Die zweite Gleichheit in (52) ergibt sich aus der folgenden Überlegung: Für jedes x ∈ Rd gilt
q(x)
=
=
=
=
=
po,x = P ({o, x} ⊂ Ξ)
1 − P ({o 6∈ Ξ} ∪ {x 6∈ Ξ})
1 − P (o 6∈ Ξ) − P (x 6∈ Ξ) + P ({o, x}∩ ∈ Ξ = ∅)
1 − P (o 6∈ Ξ) + 1 − P (x 6∈ Ξ) − 1 − P ({o, x}∩ ∈ Ξ = ∅)
2p − TΞ ({o, x}) .
Beachte
• Genauso wie im Beweis von Lemma 3.3 kann man zeigen, dass
pbW =
νd (W ∩ Ξ)
νd (W )
(54)
für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ) < ∞ ein erwartungstreuer Schätzer für den Volumenanteil p von
Ξ ist.
• Außerdem ergibt sich so wie in Lemma 3.3 die folgende Asymptotik für die Varianz Var pbW des Schätzers
pbW bei unbegrenzt wachsendem Beobachtungsfenster W :
– Sei W1 , W2 , . . . eine Folge von Beobachtungsfenstern Wn ∈ B0 (Rd ) mit
νd Wn ∩ (Wn − x)
= 1 ∀ x ∈ Rd .
lim νd (Wn ) = ∞
und
lim
n→∞
n→∞
νd (Wn )
– Dann gilt
lim νd (Wn ) Var pbWn =
n→∞
Z
Rd
po,x − p2 dx .
(55)
(56)
• Für jedes x ∈ Rd und für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit 0 < νd (W ⊖ B(o, |x|)) < ∞ betrachten wir den
Schätzer
νd (Wx∗ ∩ Ξ ∩ (Ξ − x))
(57)
qbW (x) =
νd (Wx∗ )
∗
für die Kovarianz q(x) von Ξ, wobei WX
das „erodierte” Beobachtungsfenster Wx∗ = W ⊖ B(o, |x|) und
A ⊖ B die Minkowski–Subtraktion bezeichnet, d.h.,
\
c
A ⊖ B = Ac ⊕ B c =
(A + y)
∀ A, B ⊂ Rd .
y∈B
– Die in (57) betrachtete Auswertung der ZAM Ξ ∩ (Ξ − x) in dem eingeschränkten Fenster Wx∗ ist
eine Randkorrektur, die in der Literatur Minus–Sampling genannt wird, vgl. auch Abschnitt 4.3.
6 KEIM–KORN–MODELLE
193
– Man kann sich leicht überlegen, dass qbW (x) ein erwartungstreuer Schätzer für q(x) ist, denn es gilt
E qbW (x)
=
=
Satz von Fubini
=
=
Stationarität
=
=
=
E νd (Wx∗ ∩ Ξ ∩ (Ξ − x))
νd (Wx∗ )
Z
1
1IΞ∩(Ξ−x) (y) dy
E
νd (Wx∗ )
Wx∗
Z
1
E 1IΞ∩(Ξ−x) (y) dy
νd (Wx∗ ) Wx∗
Z
1
P y ∈ Ξ ∩ (Ξ − x) dy
∗
νd (Wx ) Wx∗
Z
1
P o ∈ Ξ ∩ (Ξ − x) dy
∗
νd (Wx ) Wx∗
Z
1
P ({o, x} ⊂ Ξ) dy
νd (Wx∗ ) Wx∗
po,x = q(x) .
• Genauso wie in Theorem 3.18 kann man zeigen , dass die in (54) und (57) eingeführten Schätzer pbW
und qbW (x) für p bzw. q(x) die folgende (starke) Konsistenzeigenschaft besitzen, wenn Ξ ergodisch ist.
– Sei Ξ eine ergodische ZAM mit dem Volumenanteil p. Dann gilt
P lim pb[−n,n]d = p = 1 .
(58)
n→∞
– Außerdem ergibt sich für die Kovarianz q(x) von Ξ, dass
P lim qb[−n,n]d (x) = q(x) = 1
n→∞
∀ x ∈ Rd .
(59)
Eine weitere grundlegende (Struktur–) Kenngröße von stationären ZAM ist die so genannte Kontaktverteilungsfunktion. Sie kann als eine Verallgemeinerung der sphärischen Kontaktverteilungsfunktion von stationären Punktprozessen aufgefasst werden, die in Abschnitt 4.3.1 eingeführt worden ist.
Definition
• Sei Ξ eine stationäre ZAM in Rd mit dem „Porenanteil” 1 − p = P (o 6∈ Ξ) > 0.
• Außerdem sei B ∈ C eine kompakte Menge, die sternförmig bezüglich des Koordinatenursprungs o ∈ Rd
sei, d.h., es gelte o ∈ B und cx ∈ B für beliebige x ∈ B und c ∈ [0, 1].
• Dann heißt die Funktion HB : [0, ∞) → [0, 1] mit
HB (r) = P rB ∩ Ξ 6= ∅ | o 6∈ Ξ
∀r ≥ 0
(60)
die Kontaktverteilungsfunktion von Ξ, wobei die Menge B das „strukturierende Element” von HB
genannt wird; rB = {rx : x ∈ B}.
Beachte
• Die in der Definition der Kontaktverteilungsfunktion formulierte Bedingung, dass 1−p = P (o 6= Ξ) > 0,
ist keine wesentliche Einschränkung der Allgemeinheit. Denn man kann sich leicht überlegen, dass
P (Ξ = Rd ) = 1 für jede stationäre ZAM Ξ mit P (o 6= Ξ) = 0 gilt.
• Wenn B = B(o, 1), d.h., das strukturiernde Element B ist die d–dimensionale Einheitskugel, dann ist
die in (60) eingeführte Funktion HB : [0, ∞) → [0, 1] die sphärischen Kontaktverteilungsfunktion von
Ξ.
6 KEIM–KORN–MODELLE
194
• Sei u ∈ ∂B(o, 1) ein beliebiger Punkt auf der d–dimensionalen Einheitssphäre, und das strukturierende
Element sei durch das Segment B = {cu : c ∈ [0, 1]} gegeben. Dann sagt man, dass die in (60)
eingeführte Funktion HB : [0, ∞) → [0, 1] die lineare Kontaktverteilungsfunktion von Ξ in der Richtung
u ∈ ∂B(o, 1) ist.
Wir leiten nun eine zu (60) äquivalente Darstellungsformel für die Kontaktverteilungsfunktion HB : [0, ∞) → [0, 1]
her. Außerdem zeigen wir, dass HB die üblichen Monotonie– und Stetigkeitseigenschaften von Verteilungsfunktionen besitzt, wobei beim Verhalten „im Unendlichen” eine zusätzliche Bedingung betrachtet wird.
Theorem 6.8
• Sei Ξ eine stationäre ZAM mit p < 1, und sei HB : [0, ∞) → [0, 1] die Kontaktverteilungsfunktion von Ξ
mit dem strukturierenden Element B. Dann gilt
HB (r) = P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌ | o 6∈ Ξ)
∀r ≥ 0,
(61)
wobei B̌ = {−x : x ∈ B} die Spiegelung von B am Nullpunkt ist.
• Darüber hinaus gilt
HB (r) ≤ HB (r′ )
und
∀ r ≤ r′
(62)
∀ r0 ≥ 0 .
lim HB (r) = HB (r0 )
r↓r0
(63)
• Außerdem gilt stets limr↓0 HB (r) = 0, und unter den zusätzlichen Annahmen, dass P (Ξ = ∅) = 0 sowie
B(o, ε) ⊂ B für ein ε > 0, gilt auch limr→∞ HB (r) = 1.
Beweis
• Weil offenbar {rB ∩ Ξ 6= ∅} = {o ∈ Ξ ⊕ rB̌} gilt, ergibt sich die Gültigkeit von (61) direkt aus der
Definitionsgleichung (60) von HB .
• Weil außerdem Ξ ⊕ rB̌ ⊂ Ξ ⊕ r′ B̌ und somit
{ω ∈ Ω : o ∈ Ξ(ω) ⊕ rB̌} ⊂ {ω ∈ Ω : o ∈ Ξ(ω) ⊕ r′ B̌}
für beliebige r, r′ ≥ 0 mit r ≤ r′ gilt, ergibt sich (62) aus (61) und aus der Monotonie von Wahrscheinlichkeitsmaßen.
• Auf ähnliche Weise ergibt sich (63) aus (61) und aus der (rechtsseitigen) Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen bezüglich monotoner Grenzübergänge, denn für jedes r0 ≥ 0 gilt
lim HB (r)
r↓r0
(61)
=
Stetigkeit von Wkt–maßen
=
lim P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌ | o 6∈ Ξ)
\
P
{o ∈ Ξ ⊕ rB̌} | o 6∈ Ξ
r↓r0
r≥r0
=
\
P o∈Ξ⊕
rB̌ | o 6∈ Ξ
r≥r0
=
(61)
=
• Insobesondere gilt somit limr↓0 HB (r) = HB (0) = 0.
P o ∈ Ξ ⊕ r0 B̌ | o 6∈ Ξ)
HB (r0 ) .
6 KEIM–KORN–MODELLE
195
• Wenn es ein ε > 0 gibt mit B(o, ε) ⊂ B, dann gilt darüber hinaus, dass
(61)
lim HB (r)
lim P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌ | o 6∈ Ξ)
=
r→∞
r→∞
≥
lim P (o ∈ Ξ ⊕ B(o, rε) | o 6∈ Ξ)
[
P
{o ∈ Ξ ⊕ B(o, rε)} | o 6∈ Ξ
r→∞
Stetigkeit von Wkt–maßen
=
r≥0
[
P o∈Ξ⊕
B(o, rε) | o 6∈ Ξ
=
r≥0
P (o ∈ Ξ ⊕ Rd | o 6∈ Ξ) = P (Ξ 6= ∅ | o 6∈ Ξ) = 1 ,
=
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Annahme ergibt, dass P (Ξ = ∅) = 0.
Beachte
• Wenn Ξ ein stationärer Punktprozess in Rd ist und wenn das strukturierende Element durch B =
B(o, 1) gegeben ist,
– dann stimmt die in (60) definierte Funktion HB(o,1) : [0, ∞) → [0, 1] mit der in Abschnitt 4.3.1
für stationäre Punktprozesse eingeführten sphärischen Kontaktverteilungsfunktion überein,
– denn in diesem Fall gilt P (o 6= Ξ) = 1.
• Aus (61) ergibt sich, dass
HB (r)
=
P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌ | o 6∈ Ξ) = 1 − P (o 6∈ Ξ ⊕ rB̌ | o 6∈ Ξ)
=
1−
1 − P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌)
P (o 6∈ Ξ ⊕ rB̌)
= 1−
,
P (o 6∈ Ξ)
1 − P (o ∈ Ξ)
d.h., es gilt
HB (r) = 1 −
1 − p(r)
1−p
∀r ≥ 0,
(64)
wobei p(r) = P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌) den Volumenanteil der (dilatierten) stationären ZAM Ξ ⊕ rB̌ bezeichnet;
p = p(0).
• Wegen (64) ist es naheliegend, für jedes r ≥ 0 und für jedes W ∈ B0 (Rd ) mit νd (W ⊖ rB̌) > 0 den
folgenden Schätzer
b B,W (r) = 1 − 1 − pbB,W (r)
H
(65)
1 − pbW
für HB (r) zu betrachten, wobei
∗
νd WB,r
∩ (Ξ ⊕ rB̌)
pbB,W (r) =
∗ )
νd (WB,r
mit
∗
WB,r
= W ⊖ rB̌
(66)
und pbW der in (54) eingeführte Schätzer des Volumenanteils p ist.
• Man kann zeigen, dass die stationäre ZAM Ξ⊕rB̌ für jedes r ≥ 0 und für jedes strukturierende Element
B ⊂ Rd ergodisch ist, wenn Ξ ergodisch ist.
– Hieraus und aus (58) ergibt sich die folgende (starke) Konsistenzeigenschaft des in (65) eingeführten
b B,W (r): Wenn Ξ ergodisch ist, dann gilt für jedes r ≥ 0
Schätzers H
b B,[−n,n]d (r) = HB (r) = 1 .
(67)
P lim H
n→∞
6 KEIM–KORN–MODELLE
196
– Darüber hinaus kann man die punktweise Konvergenz in (67) im Sinne des Satzes von Gliwenko–
Cantelli verschärfen und zeigen, dass für jede Folge r1 , . . . , rk > 0 von „Stützstellen”
b B,[−n,n]d (ri ) − HB (ri )| = 0 = 1 ,
(68)
P lim max |H
n→∞ i∈{1,...,k}
b B,[−n,n]d (ri ) − HB (ri )| als eine Testgröße für Monte–Carlo–Tests von (hypowobei maxi∈{1,...,k} |H
thetischen) Kontaktverteilungsfunktionen HB : [0, ∞) → [0, 1] verwendet werden kann.
6.3
Innere Volumina
Wir betrachten nun weitere Kenngrößen von stationären ZAM Ξ in Rd , die so genannten j–Intensitäten von Ξ, die
insbesondere den in (51) eingeführten Volumenanteil p = E νd (Ξ ∩ [0, 1]d ) als Spezialfall umfassen. Dabei nehmen
wir in diesem Abschnitt stets an, dass
P (Ξ ∈ S) = 1 ,
(69)
wobei S den erweiterten Konvexring in Rd bezeichnet.
Beachte
• Man kann sich leicht überlegen, dass die in Abschnitt 6.2.3 betrachteten Beispiele von stationären ZAM
die Eigenschaft (69) besitzen.
• Und zwar gilt dies beispielsweise für stationäre Keim–Korn–Modelle mit kugelförmigen Körnern sowie
für das Skelett des Poisson–Voronoi–Mosaiks in Rd bzw. des Poissonschen Geradenmosaiks in R2 .
6.3.1
Additive Funktionale; Steiner–Formel
Wir diskutieren zunächst einige grundlegende Eigenschaften von konvexen und kompakten Teilmengen des Rd
bzw. von Mengen aus dem Konvexring R. Weitere Details hierzu und die Beweise derjenigen Aussagen, die
wir weglassen werden, findet man beispielsweise in R. Schmeider, W. Weil (1992) Integralgeometrie, Teubner,
Stuttgart.
Definition Sei G ⊂ B(Rd ) eine Familie von Borel–Mengen in Rd , so dass ∅ ∈ G und B1 ∩ B2 ∈ G für beliebige
B1 , B2 ∈ G.
• Dann sagt man, dass die Abbildung f : G → R ein additives Funktional ist, wenn f (∅) = 0 und
f (B1 ∪ B2 ) = f (B1 ) + f (B2 ) − f (B1 ∩ B2 )
∀ B1 , B2 ∈ G mit B1 ∪ B2 ∈ G.
• Die Abbildung f : G → R heißt vollständig additives Funktional, wenn f (∅) = 0 und
!
n
X
X
k−1
(−1)
f (B1 ∪ . . . ∪ Bn ) =
f (Bi1 ∩ . . . ∩ Bik )
k=1
(70)
(71)
1≤i1 <...<ik ≤n
für beliebige n ≥ 1 und für beliebige B1 , . . . , Bn ∈ G mit B1 ∪ . . . ∪ Bn ∈ G.
Beachte
• Man kann sich leicht überlegen, dass jedes additive Funktional f : R → R über dem Konvexring
R ⊂ B(Rd ) gleichzeitig vollständig additiv ist, d.h., für jedes additive Funktional über R gilt die
Siebformel (71).
6 KEIM–KORN–MODELLE
197
• Außerdem sagt man, dass die Abbildung f : R → R bedingt beschränkt ist, wenn
sup{|f (B ′ )| : B ′ ∈ K, B ′ ⊂ B} < ∞
∀B ∈ K.
(72)
• Es ist klar, dass jedes lokalendliche Maß über der Borel–σ–Algebra B(Rd ) (und eingeschränkt auf
den Konvexring R ⊂ B(Rd )) zu einem additiven Funktional über R führt, das gleichzeitig bedingt
beschränkt ist.
• Insbesondere hat die Einschränkung des d–dimensionalen Lebesgue–Maßes νd : B(Rd ) → [0, ∞] auf R
diese beiden Eigenschaften.
Wir führen nun den Begriff der inneren Volumina von konvexen Körpern mit Hilfe des folgenden Satzes von
Steiner ein.
Theorem 6.9
Für jedes B ∈ K gibt es Zahlen V0 (B), . . . , Vd−1 (B) ≥ 0, so dass
νd (B ⊕ B(o, r)) = νd (B) +
d−1
X
rd−j κd−j Vj (B)
∀r ≥ 0,
j=0
(73)
i
i/2
wobei κi das i–dimensionale Volumen der Einheitskugel
√ in R bezeichnet, d.h., κi = π /Γ(1+i/2) mit Γ(x+1) =
x Γ(x) für jedes x > 0 und Γ(0) = 1 bzw. Γ(1/2) = π.
Beachte
• Gemäß Theorem 6.9 lässt sich das Volumen νd (B ⊕B(o, r)) der „Parallelmenge” B ⊕B(o, r) als Polynom
von r der Ordnung d mit nichtnegativen Koeffizienten V0 (B), . . . , Vd−1 (B), νd (B) ≥ 0 darstellen, die
nur von B, jedoch nicht von r abhängen.
• Die Koeffizienten V0 (B), . . . , Vd−1 (B) in der Reihenentwicklung (73) werden die inneren Volumina des
konvexen Körpers B ∈ K genannt.
• Anstelle der inneren Volumina V0 (B), . . . , Vd−1 (B) werden in der Literatur manchmal auch die Größen
W1 (B), . . . , Wd (B) mit
κj
∀ B ∈ K , j = 1, . . . , d
(74)
Wj (B) = Vd−j (B)
d
j
betrachtet, die die Minkowski–Funktionale von B genannt werden.
• Für die inneren Volumina Vd−1 (B) und V1 (B) gibt es einfache geometrische Interpretationen:
– Aus (73) ergibt sich, dass für jedes B ∈ K
1
νd (B ⊕ B(o, r)) − νd (B) ,
2 Vd−1 (B) = lim
r→0 r
(75)
d.h., die Größe 2 Vd−1 (B) lässt sich als die „Oberfläche” von B auffassen.
– Darüber hinaus kann man zeigen, dass für jedes B ∈ K′ = K \ {∅}
V1 (B) =
d κd
β(B) .
2κd−1
(76)
– Dabei ist β(B) die mittlere Breite von B, d.h., der Mittelwert der Abstände zweier paralleler
Stützhyperebenen von B, der gegeben ist durch
!
Z
Z
β(B) =
hB (u) + hB (−u) PU (du)
=2
hB (u) PU (du) ,
∂B(o,1)
∂B(o,1)
wobei PU die Gleichverteilung auf der Sphäre ∂B(o, 1) und hB : ∂B(o, 1) → R mit
hB (u) = max{< x, u >: x ∈ B}
Pd
die Stützfunktion von B bezeichnet; < x, u >= i=1 xi ui .
6 KEIM–KORN–MODELLE
198
• Für die folgenden Beispiele von konvexen Körpern B ⊂ R3 läßt sich die mittlere Breite β(B) explizit
bestimmen:



2r ,
wenn B eine Kugel mit Radius r ist,




1
 (a + b + c) , wenn B ein Quader mit den Seitenlängen a, b, c ist,


 2
a
β(B) =
wenn B ein Segment der Länge a ist,
2 ,



1
 (h + π r)

wenn B ein Zylinder mit Höhe h und Radius r der Grundfläche ist,

2



 π r,
wenn B eine Kreisscheibe mit Radius r ist,
2
Wenn B ∈ K ein Polyeder ist, dann gilt
β(B) =
1 X
li θ i ,
4π i
wobei li die Länge der i–ten Kante ist und θi den Winkel zwischen den Normalen der Flächen bezeichnet, die sich in der i–ten Kante schneiden; 0 < θi < π.
• Außerdem gilt für jedes B ∈ K

 1,
V0 (B) =
 0,
wenn B 6= ∅,
(77)
wenn B = ∅,
denn aus der Steiner–Formel (73) in Theorem 6.9 ergibt sich im ersten Fall, d.h., wenn B 6= ∅ und
B ⊂ B(o, r0 ) für ein r0 > 0, dass
νd B ⊕ B(o, r) (73)
νd B(o, r)
≤
lim
= V0 (B)
1 =
lim
r→∞
r→∞
r d κd
r d κd
(73)
νd B(o, r0 + r)
νd B(o, r0 ) ⊕ B(o, r)
= lim
= 1,
≤
lim
r→∞
r→∞
r d κd
r d κd
und im zweiten Fall, d.h., wenn B = ∅, ergibt sich aus (73), dass
νd B ⊕ B(o, r)
νd (∅)
(73)
V0 (B) = lim
= lim d
= 0.
r→∞
r→∞ r κd
r d κd
• Für die inneren Volumina V0 B(o, 1) , . . . , Vd−1 B(o, 1) der d–dimensionalen Einheitskugel ergibt sich
aus (73), dass
d
κd
Vj B(o, 1) =
.
(78)
j κd−j
• Für beliebige r ≥ 0 und B ∈ K \ {∅} gilt also

 ν (B) + 2 V (B) r + π r2 ,
2
1
νd (B ⊕ B(o, r)) =
 ν (B) + 2 V (B) r + π V (B) r2 +
3
2
1
wenn d = 2,
4π
3
r3 ,
wenn d = 3,
(79)
wobei zu beachten ist, dass für int B = ∅ die „Oberfläche” 2 V1 (B) für d = 2 bzw. 2 V2 (B) für d = 3
gleich der doppelten Länge der Strecke B in R2 bzw. gleich dem doppelten Flächeninhalt des planaren
konvexen Flächenstückes B in R3 ist.
Mit Hilfe von Theorem 6.9 kann man zeigen, dass die inneren Volumina von konvexen Körpern eine Reihe von
weiteren nützlichen Eigenschaften besitzen.
6 KEIM–KORN–MODELLE
199
Korollar 6.4 Sei j ∈ {0, . . . , d − 1} und sei Vj (B) das in (73) gegebene j–te innere Volumen des konvexen
Körpers B ∈ K.
• Dann ist die Abbildung Vj : K → [0, ∞) additiv, bewegungsinvariant, stetig, monoton wachsend (bezüglich
der Inklusion) und lokal beschränkt.
• Außerdem ist Vj : K → [0, ∞) homogen vom Grade j, d.h., es gilt
Vj (cB) = cj Vj (B)
(80)
∀ c ≥ 0, B ∈ K .
Beweis
• Unmittelbar aus der Definition des Lebesgue–Maßes νd ergibt sich, dass die Abbildung νd : K → [0, ∞),
d.h. die Einschränkung von νd : B(Rd ) → [0, ∞] auf die Familie K ⊂ B(Rd ) der konvexen Körper in
Rd , additiv, bewegungsinvariant, d.h. invariant bezüglich beliebiger Verschiebungen bzw. Drehungen
um den Nullpunkt, monoton wachsend und lokal beschränkt ist.
• Außerdem kann man sich mit Hilfe von (16) leicht überlegen, dass νd : K → [0, ∞) stetig in K (bezüglich
der Hausdorff–Metrik) ist, denn für jedes B ∈ K gilt
\
B ⊕ B(o, ε) = B
und somit
lim νd B ⊕ B(o, ε) = νd (B) .
ε↓0
ε>0
• Wir zeigen nun zunächst, dass die Abbildung Vj : K → [0, ∞) für jedes j ∈ {0, . . . , d − 1} additiv ist.
– Aus der Additivität von νd : K → [0, ∞) ergibt sich, dass
νd (B1 ∪ B2 ) ⊕ B(o, r) = νd (B1 ⊕ B(o, r)) ∪ (B2 ⊕ B(o, r))
= νd B1 ⊕ B(o, r) + νd B2 ⊕ B(o, r)
=
−νd (B1 ⊕ B(o, r)) ∩ (B2 ⊕ B(o, r))
νd B1 ⊕ B(o, r) + νd B2 ⊕ B(o, r) − νd (B1 ∩ B2 ) ⊕ B(o, r)
für beliebige r ≥ 0 und B1 , B2 ∈ K mit B1 ∪ B2 ∈ K.
– Hieraus ergibt sich mit Hilfe von (73), dass für jedes r ≥ 0
0 = νd (B1 ∪ B2 ) ⊕ B(o, r) − νd B1 ⊕ B(o, r) − νd B2 ⊕ B(o, r) + νd (B1 ∩ B2 ) ⊕ B(o, r)
d−1
X
rd−j κd−j Vj (B1 ∪ B2 ) − Vj (B1 ) − Vj (B2 ) + Vj (B1 ∩ B2 ) .
=
j=0
– Dies ist jedoch nur dann möglich, wenn Vj (B1 ∪ B2 ) = Vj (B1 ) + Vj (B2 ) − Vj (B1 ∩ B2 ) für jedes
j ∈ {0, . . . , d − 1} gilt.
• Auf ähnliche Weise lässt sich zeigen, dass die Abbildung Vj : K → [0, ∞) für jedes j ∈ {0, . . . , d − 1}
bewegungsinvariant, stetig, monoton wachsend und lokal beschränkt ist.
• Um die Gültigkeit von (80) zu zeigen, genügt es zu beachten, dass die Abbildung νd : K → [0, ∞)
homogen vom Grade d ist und dass somit
νd cB ⊕ B(o, r) = νd c(B ⊕ B(o, r/c)) = cd νd B ⊕ B(o, r/c)
∀ c, r > 0, B ∈ K .
• Hieraus ergibt sich mit Hilfe von (73), dass
0 =
d−1
X
j=0
rd−j κd−j Vj (cB) − cj Vj (B)
und somit Vj (cB) = cj Vj (B) für jedes c > 0.
∀ c, r > 0
6 KEIM–KORN–MODELLE
200
• Auf ähnliche Weise ergibt sich für c = 0, dass Vj (cB) = 0 = cj Vj (B) für jedes j ∈ {1, . . . , d − 1} und
V0 (cB) = V ({o}) = 1 = c0 V0 (B) ,
wenn B 6= ∅,
V0 (cB) = V (∅) = 0 = c0 V0 (B) ,
wenn B = ∅.
bzw.
Außerdem kann man zeigen, dass durch Linearkombinationen der inneren Volumina von konvexen Körpern eine
große Klasse von additiven Funktionalen erfasst wird. Dies beruht auf der folgenden Eigenschaft der inneren
Volumina, die in der Literatur der Satz von Hadwiger genannt wird.
Theorem 6.10
• Für jede additive, bewegungsinvariante und stetige Abbildung f : K → R gibt es Konstanten a0 , . . . , ad ∈ R,
so dass
d−1
X
aj Vj (B)
∀B ∈ K.
(81)
f (B) = ad νd (B) +
j=0
• Wenn die Abbildung f : K → R additiv, bewegungsinvariant und monoton bezüglich der Inklusion ist, dann
können die Konstanten a0 , . . . , ad in der Darstellungsformel (81) so gewählt werden, dass a0 , . . . , ad ≥ 0.
Beachte
• Eine für Anwendungen sehr nützliche Eigenschaft der in (73) eingeführten Funktionale Vj : K → R
besteht darin, dass sie sich additiv auf dem Konvexring R fortsetzen lassen.
– Dabei gilt für jedes j ∈ {0, . . . , d − 1}
Vj (B) =
n
X
X
(−1)k−1
1≤i1 <...<ik ≤n
k=1
Vj (Bi1 ∩ . . . ∩ Bik )
!
∀B ∈ R,
(82)
wobei B1 , . . . , Bn ∈ K eine beliebige Zerlegung der (Vereinigungs–) Menge B = B1 ∪ . . . ∪ Bn ∈ R
in konvexe Komponenten ist.
– Insbesondere kann man zeigen, dass der Wert Vj (B) in (82) nicht von der spezifischen Wahl der
Zerlegung B1 , . . . , Bn ∈ K abhängt.
– Für j ∈ {0, . . . , d−2} können die Funktionale Vj : R → R auch negative Werte annehmen, während
Vd−1 (B) ≥ 0 für jedes B ∈ R gilt.
• Um geometrische Interpretationen für die Funktionale Vj : R → R angeben zu können, benötigen wir
den Begriff des Hausdorff-Maßes von Teilmengen in Rd .
– Für beliebige δ > 0, B ⊂ Rd und B1 , B2 . . . ∈ B(Rd ) sagt man, dass B1 , B2 . . . eine δ–Überdeckung
von B ist, wenn
∞
[
Bi ,
sup diam (Bi ) ≤ δ
und
B⊂
i=1,2,...
i=1
wobei diam (C) = sup{|x − y| : x, y ∈ C} den Durchmesser der Menge C ⊂ Rd bezeichnet.
– Für beliebige s ≥ 0 und B ⊂ Rd heißt dann die Größe νes (B) mit
νes (B) = lim inf
δ→0
∞
nX
νds (Bi ) : B1 , B2 . . . ist δ– Überdeckung von B
i=1
das s–dimensionale Hausdorff–Maß von B.
o
6 KEIM–KORN–MODELLE
201
• Zusätzlich zu den oben erwähnten geoemtrischen Eigenschaften der inneren Volumina Vd−1 (B) und
V1 (B) von konvexen Körpern B ∈ K lassen sich die folgenden Eigenschaften der Funktionale Vj : R → R
herleiten.
– Für jedes B ∈ R mit cl ( int B) = B gilt
Vd−1 (B) =
1
νed−1 (∂B) ,
2
wobei νed−1 (∂B) das (d−1)–dimensionale Hausdorff–Maß des „Randes” ∂B ⊂ Rd von B bezeichnet,
d.h., 2 Vd−1 (B) kann als die „Oberfläche” der Menge B ∈ R angesehen werden. Für d = 2 ist 2 V1 (B)
die Randlänge von B, und für d = 3 ist 2 V1 (B) die gewöhnliche Oberfläche von B.
– Wenn B ∈ R die Vereinigung von j–dimensionalen konvexen Körpern für ein j ∈ {0, . . . , d − 1}
ist, dann gilt
Vj (B) = νej (B) ,
d.h., Vj (B) ist das j–dimensionale Hausdorff–Maß von B.
– Mit Hilfe von (77) und (82) ergibt sich, dass V0 (B) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten
von B ∈ R ist, wenn sämtliche Zusammenhangskomponenten von B konvexe Mengen sind. Für
d = 2 kann man sich leicht überlegen, dass V0 (B) die Differenz aus der Anzahl der Zusammenhangskomponenten minus die Anzahl der „Löcher” von B ∈ R ist.
6.3.2
Intensitäten der inneren Volumina von stationären ZAM
• In diesem Abschnitt diskutieren wir den Begriff der Intensität der inneren Volumina von stationären ZAM,
deren Realisierungen mit Wahrscheinlichkeit 1 Mengen aus dem erweiterten Konvexring S sind.
• Dabei verwenden wir die folgende Kurzschreibweise: Für jedes z = (z1 , . . . , zd ) ∈ Zd sei
[z, z + 1] = {x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd : zi ≤ xi ≤ zi + 1, i = 1, . . . , d} ,
und sei
∂ + [z, z + 1] = {x = (x1 , . . . , xd ) ∈ [z, z + 1] :
max xi = zj + 1 für ein j = 1, . . . , d }
i: 1≤i≤d
der „rechte obere Rand” des Würfels [z, z + 1], wobei man sich leicht überlegen kann, dass ∂ + [z, z + 1] ∈ R.
Wir zeigen zunächst den folgenden Hilfssatz.
Lemma 6.10 Sei B ∈ K mit νd (B) > 0. Für jedes additive, translationsinvariante und bedingt beschränkte
Funktional f : R → R gilt dann
lim
r→∞
f (rB)
= f [0, 1]d − f ∂ + [0, 1]d .
νd (rB)
(83)
Beweis
• Aus der Additivität von f : R → R ergibt sich, dass für jedes B ∈ K
X
f B ∩ [z, z + 1] − f B ∩ ∂ + [z, z + 1] .
f (B) =
(84)
z∈Zd
• Wir zeigen die Gültigkeit von (84) nur für d = 2, denn für beliebige d ≥ 2 verläuft der Beweis analog.
6 KEIM–KORN–MODELLE
202
– Dabei betrachten wir für jede ganze Zahl z ∈ Z den „Streifen”
Cz(i) = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : z ≤ xi ≤ z + 1}
i = 1, 2 .
– Dann ergibt sich aus der Additivität von f : R → R, dass für jedes B ∈ K
X
X
(1)
f (B ∩ Cz(1) ∩ Cz+1 )
f (B ∩ Cz(1) ) −
f (B) =
z∈Z
z∈Z
=
X
z,z ′ ∈Z
=
X
z∈Z2
f (B ∩
Cz(1)
X
(2)
∩ Cz ′ ) −
f B ∩ [z, z + 1] −
z,z ′ ∈Z
X
z∈Z2
(2)
(2)
f (B ∩ Cz(1) ∩ Cz′ ∩ Cz′ +1 ) −
+
X
z∈Z
(1)
f (B ∩ Cz(1) ∩ Cz+1 )
f B ∩ ∂ [z, z + 1] .
• Wir führen nun zwei Teilmengen des d–dimensionalen Gitters Zd ein:
Zdr,1 = {z ∈ Zd : rB ∩ [z, z + 1] 6= ∅, [z, z + 1] 6⊂ rB}
und Zdr,2 = {z ∈ Zd : [z, z + 1] ⊂ rB}, wobei wir (o.B.d.A.) annehmen, dass o ∈ int B.
– Dann kann man sich leicht überlegen, dass es Konstanten r0 , r0′ > 0 gibt, so dass für jedes r > r0
[
√ √ [z, z + 1] ⊂ rB ⊖ B(o, d) ⊕ B(0, r0′ ) \ rB ⊖ B(o, d)
z∈Zd
r,1
und
rB ⊖ B(o,
√
d) ⊂
[
z∈Zd
r,2
[z, z + 1] ⊂ rB .
– Hieraus ergibt sich mit Hilfe der Steiner–Formel (73) und der Monotonie– bzw. Homogenitätseigenschaften der inneren Volumina von konvexen Körpern (vgl. Korollar 6.4), dass
S
[z, z + 1]
νd
z∈Zd
|Zdr,1 |
r,1
= lim
=0
(85)
lim
r→∞ νd (rB)
r→∞
νd (rB)
und
νd
lim
r→∞
S
[z, z + 1]
z∈Zd
r,2
νd (rB)
= lim
r→∞
|Zdr,2 |
= 1,
νd (rB)
(86)
wobei |Zdr,i | die Anzahl der Gitterpunkte in Zdr,i bezeichnet.
• Aus der Annahme, dass die Abbildung f : R → R translationsinvariant und bedingt beschränkt ist,
ergibt sich dann mit Hilfe von (84), dass
f (rB)
− f [0, 1]d − f ∂ + [0, 1]d lim
r→∞ νd (rB)
|Zdr,2 | f (rB)
(86)
f [0, 1]d − f ∂ + [0, 1]d − lim
=
lim
r→∞ νd (rB)
r→∞ νd (rB)
X 1
f
(rB)
Translationsinv. − lim
f rB ∩ [z, z + 1] − f rB ∩ ∂ + [z, z + 1] =
lim
r→∞ νd (rB)
r→∞ νd (rB)
d
(84)
=
≤
lim
r→∞
1
νd (rB)
X z∈Zd
r,1
z∈Zr,2
f rB ∩ [z, z + 1] − f rB ∩ ∂ + [z, z + 1] +
d
c 1 + 2N (∂ [0,1] ) lim
r→∞
|Zdr,1 | (85)
= 0,
νd (rB)
wobei N (∂ + [0, 1]d ) die minimale Anzahl von konvexen Zerlegungskomponenten von ∂ + [0, 1]d ∈ R ist
und c < ∞ eine Konstante ist, die nicht von B abhängt.
6 KEIM–KORN–MODELLE
203
• Denn für beliebige B ∈ K und z ∈ Zdr,1 ergibt sich aus der Translationsinvarianz von f : R → R und
aus der Siebformel (71), dass
f rB ∩ [z, z + 1] − f rB ∩ ∂ + [z, z + 1] f rB ∩ [z, z + 1] + f rB ∩ ∂ + [z, z + 1] ≤
Translationsinvarianz =
f (rB − z) ∩ [0, 1]d + f (rB − z) ∩ ∂ + [0, 1]d (71)
=
f (rB − z) ∩ [0, 1]d N (∂ + [0,1]d )
!
X
X
k−1
+
(−1)
f ((rB − z) ∩ Bi1 ∩ . . . ∩ Bik ) ,
+
d
k=1
1≤i1 <...<ik ≤N (∂ [0,1] )
wobei B1 , . . . , BN (∂ + [0,1]d ) ∈ K eine Folge von konvexen Körpern ist mit
N (∂ + [0,1]d )
+
d
∂ [0, 1] =
[
Bi ⊂ [0, 1]d
und
Bi
i=1
∀ i ∈ {1, . . . , N (∂ + [0, 1]d )} .
• Hieraus ergibt sich, dass
N (∂ + [0,1]d ) X
N (∂ + [0, 1]d )
+
f rB ∩ [z, z + 1] − f rB ∩ ∂ [z, z + 1] ≤ c 1 +
k
k=1
!
+
d
≤ c 1 + 2N (∂ [0,1] ) ,
wobei sich die vorletzte Ungleichung aus der bedingten Beschränktheit von f : R → R ergibt.
Das folgende Resultat bildet die Grundlage, um den Begriff der Intensität der inneren Volumina von stationären
ZAM einführen zu können, deren Realisierungen mit Wahrscheinlichkeit 1 Mengen aus dem erweiterten Konvexring
S sind.
• In Verallgemeinerung der Schreibweise, die im Beweis von Lemma 6.10 verwendet worden ist, sei dabei
N (B) die minimale Anzahl von konvexen Zerlegungskomponenten der Menge B ∈ R, d.h.
N (B) = min{k : B = B1 ∪ . . . ∪ Bk , B1 , . . . , Bk ∈ K} .
• Ähnlich wie in Lemma 6.4 kann man zeigen, dass {B ∈ R : N (B) = k} ∈ σF für jedes k ∈ {1, 2, . . .} gilt,
wobei σF die in (7) definierte Schnitt–σ–Algebra ist.
• Hieraus ergibt sich insbesondere, dass die Abbildung N (Ξ ∩ B) : Ω → {1, 2, . . .} mit
N (Ξ ∩ B)(ω) = N (Ξ(ω) ∩ B)
∀ω ∈ Ω
für jede ZAM Ξ : Ω → F und für jedes B ∈ R eine wohldefinierte (messbare) Zufallsvariable ist.
Theorem 6.11
• Sei Ξ : Ω → S eine stationäre ZAM, so dass
E 2N (Ξ∩[0,1]
d
)
< ∞,
(87)
und sei f : R → R ein additives, translationsinvariantes, messbares und bedingt beschränktes Funktional.
6 KEIM–KORN–MODELLE
204
• Dann existiert der Grenzwert
λf = lim
r→∞
E f (rB ∩ Ξ)
νd (rB)
(88)
für jedes B ∈ K mit νd (B) > 0, und es gilt
λf = E f Ξ ∩ [0, 1]d − f Ξ ∩ ∂ + [0, 1]d ,
(89)
d.h. insbesondere, dass der Grenzwert λf in (88) nicht von der Wahl des konvexen Körpers B ∈ K abhängt.
Beweis
• Auf die gleiche Weise wie im Beweis von Lemma 6.10 ergibt sich, dass
E |f (Ξ ∩ B)| ≤ c E
N (Ξ∩B) X
k=1
N (Ξ ∩ B)
k
≤ c E 2N (Ξ∩B) ≤ c E 2N (Ξ∩[0,1]
d
)
(87)
< ∞
(90)
für jedes B ∈ K mit B ⊂ [0, 1]d , wobei die Konstante c < ∞ nicht von B abhängt.
• Mit Hilfe der Siebformel (71) ergibt sich nun hieraus die Gültigkeit von E |f (Ξ ∩ B)| < ∞ für jedes
B ∈ R.
• Das Funktional f : R → R mit
f (B) = E f (Ξ ∩ B)
(91)
∀B ∈ R
ist also wohldefiniert, und es besitzt die folgenden Eigenschaften:
– Weil f und der Erwartungswert–Operator additiv sind, ist auch das in (91) eingeführte Funktional
f : R → R additiv.
– Aus der Stationarität der ZAM Ξ ergibt sich, dass f translationsinvariant ist.
– Außerdem ergibt sich aus (90) mit Hilfe der Siebformel (71) und der Translationsinvarianz von f ,
dass f bedingt beschränkt ist.
• Das in (91) eingeführte Funktional f : R → R genügt also den Bedingungen von Lemma 6.10.
• Somit ergibt sich aus Lemma 6.10, dass der Grenzwert limr→∞ f (rB)/νd (rB) existiert und dass
lim
r→∞
E f (rB ∩ Ξ)
νd (rB)
=
=
f (rB)
lim
= f [0, 1]d − f ∂ + [0, 1]d
νd (rB)
E f Ξ ∩ [0, 1]d − f Ξ ∩ ∂ + [0, 1]d .
r→∞
Beachte
• Sei nun Ξ : Ω → S eine stationäre ZAM, die der Integrierbarkeitsbedingung (87) in Theorem 6.11
genügt.
• Von besonderem Interesse sind die Abbildungen f : R → R, so dass f = Vj für ein j ∈ {0, . . . , d − 1}.
In diesem Fall verwenden wir die Kurzschreibweise λj = λVj und sagen, dass
λj = lim
r→∞
E Vj (rB ∩ Ξ)
νd (rB)
∀ B ∈ K mit νd (B) > 0
(92)
das j–te spezifische innere Volumen bzw. kurz die j–Intensität der stationären ZAM Ξ ist.
• Dabei kann der Volumenanteil p = E νd (Ξ ∩ [0, 1]d ) als die d–Intensität λd (= p) von Ξ aufgefasst
werden, denn unmittelbar aus der Stationarität von Ξ ergibt sich mit der Schreibweise Vd = νd , dass
λd = lim
r→∞
νd (rB) E νd (Ξ ∩ [0, 1]d )
E Vd (rB ∩ Ξ)
= lim
= p
r→∞
νd (rB)
νd (rB)
∀ B ∈ K mit νd (B) > 0.
6 KEIM–KORN–MODELLE
205
• Wenn Ξ ein stationärer Punktprozess ist, dann gilt
λ0 = E #{x ∈ Ξ ∩ [0, 1]d } ,
und
λ1 = . . . = λd = 0
d.h., die 0–Intensität λ0 von Ξ stimmt mit der gewöhnlichen Intensität des stationären Punktprozesses
Ξ überein.
• Wenn Ξ das Skelett eines stationären Mosaiks in R2 ist, dann kann man sich leicht überlegen, dass
stets λ2 = 0 gilt, während λ1 die mittlere (Gesamt–) Kantenlänge pro Flächeneinheit und −λ0 die
Intensität der Zell–Mittelpunkte ist (bzw. eines beliebigen Punktprozesses von assoziierten Punkten
der Zellen).
√
– Insbesondere gilt λ1 = 2 λ und λ0 = −λ, wenn Ξ das Skelett eines Poisson–Voronoi–Mosaiks in
R2 ist, das durch einen homogenen Poisson–Prozess mit der Intensität λ generiert wird,
λ2
– bzw. λ1 = λℓ und λ0 = − πℓ , wenn Ξ das Skelett eines Poissonschen Geradenmosaiks ist, das
durch einen Poissonschen Geradenprozess im R2 mit der Intensität λℓ erzeugt wird, vgl. auch
Abschnitt 4.2.3.
6.3.3
Kinematische Hauptformel; Schätzung der j–Intensitäten
• Aus der Darstellungsformel
(89) der j–Intensitäten
ergibt sich, dass für jedes j = 0, . . . , d − 1 die Zufalls
variable Vj Ξ∩[0, 1]d −Vj Ξ∩∂ + [0, 1]d als ein erwartungstreuer Schätzer für die j–Intensität λj aufgefasst
werden kann.
• Dies gilt auch für j = d, denn in diesem Fall gilt
Vd Ξ ∩ ∂ + [0, 1]d = 0
und
λd = p = E Vd Ξ ∩ [0, 1]d .
Ein anderer Ansatz zur (simultanen) Schätzung der j–Intensitäten λ0 , . . . , λd hängt mit dem Satz von Hadwiger
zusammen (vgl. Theorem 6.10), wonach sich jedes additive, bewegungsinvariante und stetige Funktional f : R → R
als Linearkombination der Abbildungen V0 , . . . , Vd : R → R darstellen lässt.
• Dabei betrachten wir additive, translationsinvariante, messbare und bedingt beschränkte Abbildungen
f0 , . . . , fd : R → R, die durch eine (d + 1) × (d + 1)–dimensionale Matrix A = (aij ) mit reellwertigen
Eintragungen aij ∈ R als Linearkombinationen von V0 , . . . , Vd : R → R gegeben sind, d.h., für jedes
i ∈ {0, . . . , d} gilt
d
X
aij Vj (B)
∀B ∈ R.
(93)
fi (B) =
j=0
• Wenn Ξ : Ω → S eine stationäre ZAM ist, die der Integrierbarkeitsbedingung (87) in Theorem 6.11 genügt,
dann ergibt sich aus (93) das folgende Gleichungssystem:
µi =
d
X
aij λj
i = 0, . . . , d ,
(94)
j=0
wobei µi = limr→∞ E fi (rB ∩ Ξ)/νd (rB).
• Die Idee besteht nun darin, die Matrix A = (aij ) so zu wählen, dass A invertierbar ist und dass die Größen
µ0 , . . . , µd auf eine möglichst einfache Weise aus den vorhandenen Daten geschätzt werden können.
b = (b
• Dann ist beispielsweise für jeden erwartungstreuen Schätzer µ
µ0 , . . . , µ
bd )⊤ für µ = (µ0 , . . . , µd )⊤
⊤
b
b
b
gleichzeitig ein erwartungstreuer Schätzer λ = (λ0 , . . . , λd ) für λ = (λ0 , . . . , λd )⊤ gegeben, wobei
b = A−1 µ
b.
λ
(95)
6 KEIM–KORN–MODELLE
206
Das folgende Beispiel für eine Spezifizierung des allgemeinen Schätzansatzes in (95) beruht auf der kinematischen
Hauptformel der Integralgeometrie, die wir ohne Beweis angeben. Weitere Details hierzu findet man beispielsweise
in R. Schmeider, W. Weil (1992) Integralgeometrie, Teubner, Stuttgart.
Dabei wird die Tatsache genutzt, dass jeder Drehung δ : Rd → Rd des euklidischen Koordinatensystems in Rd um
den Nullpunkt genau ein Vektor ϑ ∈ ∂B(o, 1) entspricht, d.h., für beliebige B ⊂ Rd und ϑ ∈ ∂B(o, 1) bezeichnet
ϑB die um δ = δ(ϑ) gedrehte Menge B.
Lemma 6.11
Für beliebige B, B ′ ∈ R und j ∈ {0, . . . , d} gilt
Z
Z
d
X
αdjk Vk (B) Vd+j−k (B ′ ) ,
Vj B ∩ (ϑB ′ + x) dx νe( dϑ) =
∂B(o,1)
Rd
(96)
k=j
wobei νe(·) = νed−1 (· ∩ ∂B(o, 1))/e
νd−1 (∂B(o, 1)) die Gleichverteilung auf der Sphäre ∂B(o, 1) bezeichnet und
αdjk =
k! κk (d + j − k)! κd+j−k
.
j! κj d! κd
(97)
Mit Hilfe der kinematischen Hauptformel (96) in Lemma 6.11 lässt sich das folgende Resultat für ZAM Ξ mit
Werten in S herleiten, wobei vorausgesetzt wird, dass Ξ nicht nur stationär, sondern auch isotrop ist.
Theorem 6.12
• Sei Ξ : Ω → S eine stationäre und isotrope ZAM, die der Integrierbarkeitsbedingung (87) in Theorem 6.11
genügt.
• Dann gilt für jedes j ∈ {0, . . . , d}
E Vj (Ξ ∩ B) =
d
X
αdjk λd+j−k Vk (B)
k=j
∀B ∈ K,
(98)
wobei αdjk die in (97) gegebenen Konstanten und λ0 , . . . , λd die in (92) eingeführten j–Intensitäten von Ξ
sind.
Beweis
• Ähnlich wie im Beweis von Theorem 6.11 kann man sich überlegen, dass für beliebige j ∈ {0, . . . , d},
r > 0 und B ∈ K die Abbildung
(x, ϑ, ω) 7→ Vj Ξ(ω) ∩ ϑB ∩ B(x, r)
(νd ⊗ νe ⊗ P )–integrierbar ist.
• Mit Hilfe des Satzes von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge ergibt sich nun
aus den Invarianzeigenschaften der Abbildungen Vj nud Ξ bzw. des Lebesgue–Maßes νd , dass
Z
Z
E
Vj Ξ ∩ B ∩ (ϑB(o, 1) + x) dx νe( dϑ)
∂B(o,1) Rd
Z
Z
=
E
Vj Ξ ∩ B ∩ B(x, 1) dx νe( dϑ)
∂B(o,1) Rd
Z
Z
Satz von Fubini
E Vj Ξ ∩ B ∩ B(x, 1) dx νe( dϑ)
=
∂B(o,1) Rd
Z
Z
Bewegungsinvarianz von Vj und Ξ
=
E Vj Ξ ∩ (ϑB − ϑ{x}) ∩ B(o, 1) dx νe( dϑ)
∂B(o,1) Rd
Z
Z
Bewegungssinvarianz von νd
=
E Vj Ξ ∩ (ϑB + x) ∩ B(o, 1) dx νe( dϑ)
∂B(o,1) Rd
Z
Z
Satz von Fubini
=
E
Vj Ξ ∩ B(o, 1) ∩ (ϑB + x) dx νe( dϑ) .
∂B(o,1)
Rd
6 KEIM–KORN–MODELLE
207
• Die Anwendung der kinematischen Hauptformel (96) auf die Integrale unter den Erwartungswerten des
ersten und letzten Ausdruckes dieser Gleichungskette ergibt somit, dass für jedes r > 0
d
X
k=j
αdjk E Vk (Ξ ∩ B) Vd+j−k (B(o, r)) =
d
X
k=j
αdjk Vk (B) E Vd+j−k Ξ ∩ B(o, r) .
(99)
• Weil αdjj = 1, ergibt sich hieraus und aus der Homogenität der inneren Volumina (vgl. Korollar 6.4),
dass
E Vj (Ξ ∩ B)
Homogenität
=
d
X
1
αdjk E Vk (Ξ ∩ B) Vd+j−k (B(o, r))
lim
r→∞ Vd (B(o, r))
k=j
(99)
=
lim
r→∞
d
X
=
1
Vd (B(o, r))
d
X
k=j
αdjk Vk (B) lim
r→∞
k=j
=
d
X
αdjk Vk (B) E Vd+j−k Ξ ∩ B(o, r)
1
E Vd+j−k Ξ ∩ B(o, r)
Vd (B(o, r))
αdjk λd+j−k Vk (B) .
k=j
Korollar 6.5 Sei Ξ : Ω → S eine stationäre und isotrope ZAM, die der Integrierbarkeitsbedingung (87) genügt.
Dann gilt für beliebige r > 0
d
X
rd−k κd−k λk .
(100)
E V0 Ξ ∩ B(o, r) =
k=0
Beweis Für j = 0 und B = B(o, r) ergibt sich aus (97) und (98) mit Hilfe der Formel (78) für die inneren
Volumina der d–dimensionalen Einheitskugel B(o, 1), dass
E V0 Ξ ∩ B(o, r)
(98)
=
d
X
αd0k λd−k Vk B(o, r)
k=0
(97)
=
(78)
=
d
X
k! κk (d − k)! κd−k
λd−k Vk B(o, r)
d! κd
k=0
k
d
X
k! κk (d − k)! κd−k
d r κd
λd−k
d! κd
k κd−k
k=0
=
d
X
rd−k κd−k λk .
k=0
Beachte
• Seien r0 , . . . , rd > 0 beliebige, paarweise verschiedene Zahlen. Dann ergibt sich aus (100) das lineare
Gleichungssystem µ = Aλ, wobei µ = (µ0 , . . . , µd )⊤ und A = (aij ) gegeben sind durch
µi = E V0 Ξ ∩ B(o, ri ) ,
aij = rid−j κd−j
∀ i, j ∈ {0, . . . , d} .
(101)
• Man kann sich leicht überlegen, dass die in (101) gegebene Matrix A = (aij ) invertierbar ist und dass
sich somit die folgende Darstellungsformel für den Vektor λ = (λ0 , . . . , λd )⊤ der j–Intensitäten ergibt:
λ = A−1 µ .
(102)
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.4
208
Gewichtete Mittelwertschätzer für stationäre Zufallsfelder
b = (b
• In diesem Abschnitt diskutieren wir (Güte–) Eigenschaften von Schätzern µ
µ0 , . . . , µ
bd )⊤ für den Vektor
⊤
µ = (µ0 , . . . , µd ) der „erwarteten” lokalen Euler–Zahlen in (101),
– wobei µi = E V0 Ξ ∩ B(o, ri ) für jedes i = 0, . . . , d und Ξ : Ω → S eine stationäre und isotrope ZAM
ist, die der Integrierbarkeitsbedingung (87) genügt.
b = A−1 µ
b als ein Schätzer für den Vektor λ = (λ0 , . . . , λd )⊤ der j–Intensitäten
– Wegen (102) kann dann λ
von Ξ aufgefasst werden.
• Dabei nehmen wir an, dass die ZAM Ξ in einem (kompakten) Fenster W ∈ R beobachtet wird.
– Für jedes r ∈ (0, rmax ] mit rmax = max{r0 , . . . , rd } betrachten wir den gewichteten Scan–Schätzer
Z
(103)
V0 Ξ ∩ W ∩ B(x, r) GW (x) dx
µ
bW =
Rd
für den Erwartungswert µ = E V0 Ξ ∩ B(o, r) des stationären Zufallsfeldes {V0 Ξ ∩ B(x, r) , x ∈ Rd },
– wobei GW : Rd → [0, ∞) eine (messbare) Gewichtsfunktion ist, so dass
Z
GW (x) dx = 1 .
(104)
Rd
• Beachte: Durch den in (103) betrachteten Ansatz und geeignet gewählte Gewichtsfunktionen GW können
randkorrigierte Schätzer für µ konstruiert werden. Ein einfaches Beispiel hierfür ist das so genannte „Minus–
Sampling”, wobei
GW (x) = 0
∀ x ∈ Rd \ W ⊖ B(o, r) .
(105)
• Unter gewissen Regularitätsbedingungen an W und GW , die teilweise bereits in Abschnitt 3.2.4 betrachtet
worden sind, leiten wir nun für eine allgemeine Klasse von stationären Zufallsfeldern Eigenschaften von
Scan–Schätzern ihres Erwartungswertes her, wobei die Schätzer die in (103) gegebene Form besitzen.
6.4.1
Regularitätsbedingungen an Beobachtungsfenster und Gewichtsfunktion
• Bei der Analyse von mikroskopischen Bilddaten ist das Beobachtungsfenster W ⊂ Rd typischerweise eine
konvexe und kompakte Menge, d.h. W ∈ K, wobei wir (o.B.d.A.) annehmen, dass o ∈ int W und somit
νd (W ) > 0.
– Im Zusammenhang mit der Herleitung von asymptotischen Eigenschaften von Schätzern betrachten wir
eine (unbegrenzt wachsende) Folge W1 , W2 , . . . ∈ K von Beobachtungsfenstern, die sich zum Beispiel
durch Skalierung von W ergeben kann, d.h., wir setzen dann Wn = nW für jedes n ≥ 1.
– In diesem Fall kann man sich leicht überlegen, dass
lim νd (Wn ) = ∞
n→∞
und
νd ∂Wn ⊕ B(o, r)
=0
lim
n→∞
νd (Wn )
∀r > 0,
denn es gilt νd (Wn ) = nd νd (W ) → ∞ für n → ∞ und
νd ∂Wn ⊕ B(o, r)
νd Wn ⊕ B(o, r)
νd Wn ⊖ B(o, r)
≤
−
νd (Wn )
νd (Wn )
νd (Wn )
νd W ⊕ B(o, r/n)
νd W ⊖ B(o, r/n)
≤
−
νd (W )
νd (W )
→ 0
für n → ∞ .
6 KEIM–KORN–MODELLE
209
• Bei der Analyse von makroskopisch–geographischen Bilddaten ist das Beobachtungsfenster W ⊂ Rd jedoch
in vielen Fällen nicht konvex, sondern die Vereinigung von (endlich vielen) konvexen und kompakten Mengen,
d.h. W ∈ R.
Wir führen deshalb den folgenden allgemeinen Begriff ein.
Definition Sei W1 , W2 , . . . ∈ R eine Folge von (kompakten) Teilmengen in RdS
. Dann sagt man, dass {Wn } eine
∞
mittelnde Folge von Beobachtungsfenstern ist, wenn W1 ⊂ W2 ⊂ . . . und i=1 Wi = Rd , so dass
νd ∂Wn ⊕ B(o, r)
lim max{r′ ≥ 0 : B(o, r′ ) ⊂ Wn } = ∞
und
lim
=0
∀r > 0.
(106)
n→∞
n→∞
νd (Wn )
Wir diskutieren nun zunächst einige nützliche Eigenschaften von mittelnden Folgen.
Lemma 6.12
• Sei W1 , W2 , . . . ∈ R eine Folge von Teilmengen in Rd mit W1 ⊂ W2 ⊂ . . . und
lim max{r′ ≥ 0 : B(o, r′ ) ⊂ Wn } = ∞ .
S∞
i=1
Wi = Rd , so dass
n→∞
• Die Mengen W1 , W2 , . . . bilden genau dann eine mittelnde Folge, wenn
νd Wn ⊖ B(o, r)
νd Wn ⊕ B(o, r)
= lim
= 1
lim
n→∞
n→∞
νd (Wn )
νd (Wn )
∀r > 0.
(107)
• Sei Zdn,1 = {z ∈ Zd : Wn ∩ [z, z + 1] 6= ∅} und Zdn,2 = {z ∈ Zd : [z, z + 1] ⊂ Wn }. Wenn {Wn } eine mittelnde
Folge ist, dann gilt
|Zdn,2 |
lim |Zdn,2 | = ∞
und
lim
= 1,
(108)
n→∞
n→∞ |Zd |
n,1
wobei |Zdn,i | die Anzahl der Gitterpunkte in Zdn,i bezeichnet.
Beweis
• Sei {Wn } eine mittelnde Folge.
– Weil Wn \ (∂Wn ⊕ B(o, r)) ⊂ Wn ⊖ B(o, r) für beliebige n ≥ 1 und r > 0, ergibt sich dann aus
(106), dass
νd Wn ⊖ B(o, r)
νd Wn ⊖ B(o, r)
1 ≥ lim sup
≥ lim inf
n→∞
νd (Wn )
νd (Wn )
n→∞
νd ∂Wn ⊕ B(o, r)) (106)
= 1.
n→∞
νd (Wn )
– Weil außerdem Wn ⊕ B(o, r) = Wn ⊖ B(o, r) ∪ ∂Wn ⊕ B(o, r) für beliebige n ≥ 1 und r > 0,
ergibt sich hieraus und aus (106), dass
νd Wn ⊕ B(o, r)
νd Wn ⊕ B(o, r)
1 ≤ lim inf
≤ lim sup
n→∞
νd (Wn )
νd (Wn )
n→∞
νd Wn ⊖ B(o, r)
νd ∂Wn ⊕ B(o, r))
≤ lim
+ lim
= 1.
n→∞
n→∞
νd (Wn )
νd (Wn )
≥
1 − lim
6 KEIM–KORN–MODELLE
210
• Umgekehrt ergibt sich aus (107), dass
νn ∂Wn ⊕ B(o, r)
= 0,
lim
n→∞
νd (Wn )
weil ∂Wn ⊕ B(o, r) ⊂ Wn ⊕ B(o, r) \ Wn ⊖ B(o, r + ε) für beliebige n ≥ 1 und r, ε > 0.
• Sei nun {Wn } erneut eine mittelnde Folge.
√
S
– Weil Wn ⊖ B(o, d) ⊂ z∈Zd [z, z + 1] für jedes n ≥ 1, ergibt sich aus (106) und (107), dass
n,2
√ νd Wn ⊖ B(o, d)
≤ lim |Zdn,2 | .
∞ = lim νd (Wn ) = lim νd (Wn ) lim
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
νd (Wn )
√
√
S
– Weil außerdem Wn ⊖ B(o, d) ⊂ z∈Zd [z, z + 1] ⊂ Wn ⊕ B(o, d) für jedes n ≥ 1, ergibt sich
n,1
aus (107), dass
√ |Zdn,2 |
νd Wn ⊖ B(o, d)
√ 1 ≥ lim
≥ lim
n→∞ |Zd |
n→∞ ν W ⊕ B(o, d)
d
n
n,1
√ √ νd Wn ⊖ B(o, d) .
νd Wn ⊕ B(o, d) (107)
= lim
lim
= 1.
n→∞
n→∞
ν (W )
ν (W )
(106)
(107)
d
n
d
n
Beachte
• Bei der Untersuchung der asymptotischen Eigenschaften von Mittelwertschätzern betrachten wir mittelnde Folgen {Wn } von Beobachtungsfenstern, wobei wir zusätzlich voraussetzen, dass die Gewichtsfunktionen GWn : Rd → [0, ∞) den folgenden beiden Bedingungen genügen.
• Für gewisse Konstanten c0 , θ ∈ (0, ∞) gelte
sup GWn (x) ≤
x∈Rd
c0
νd (Wn )
und
∀ x ∈ Rd ,
lim νd (Wn ) GWn (x) = θ
n→∞
wobei
(109)
∀n ≥ 1
GWn (x) =
Z
GWn (y) GWn (x + y) dy . (110)
Rd
Beispiel
• Sei C ∈ K′ = K \ {∅} ein beliebiger
(nichtleerer) konvexer Körper, und sei {Wn } eine mittelnde Folge,
so dass νd Wn ⊖ B(o, diam(C) > 0 für jedes n ≥ 1.
• Dann genügen die Funktionen GWn : Rd → [0, ∞) mit
GWn (x) =
1IWn ⊖Č (x)
νd (Wn ⊖ Č)
∀ x ∈ Rd
(111)
und
(112)
den Bedingungen (109) und (110), wobei
c0 = sup
n≥1
νd (Wn )
<∞
νd (Wn ⊖ Č)
θ = 1.
• Dabei ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung (111), dass die Bedingung (109) erfüllt sind,
wobei sich die Endlichkeit der Konstanten c0 in (112) aus Lemma 6.12 ergibt, denn es gilt
1 ≤ lim
n→∞
νd (Wn )
νd (Wn )
≤ lim
n→∞ νd Wn ⊖ B(o, diam(C))
νd (Wn ⊖ Č)
(107)
=
1.
(113)
6 KEIM–KORN–MODELLE
211
• Um die Gültigkeit von (110) zu zeigen, genügt es zu beachten, dass für jedes x ∈ Rd
νd (Wn ⊖ Č) ∩ (Wn ⊖ Č) − x
GWn (x) =
νd2 (Wn ⊖ Č)
und somit
νd (Wn ⊖ Č) ∩ (Wn ⊖ Č) − x
νd (Wn )
lim νd (Wn ) GWn (x) = lim
lim
n→∞
n→∞ νd (Wn ⊖ Č) n→∞
νd (Wn ⊖ Č)
= 1.
• Denn in (113) hatten wir gezeigt, dass der erste Grenzwert gleich 1 ist, und mit Hilfe von Lemma 6.12
ergibt sich, dass
νd (Wn ⊖ B(o, diam(C) + |x|)
νd (Wn ⊖ Č) ∩ (Wn ⊖ Č) − x
≥ lim
1 ≥ lim
n→∞
n→∞
νd (Wn ⊖ Č)
νd (Wn ⊖ Č)
νd (Wn ⊖ B(o, diam(C) + |x|)
νd (Wn )
(107), (113)
lim
= lim
=
1.
n→∞
n→∞
νd (Wn )
νd (Wn ⊖ Č)
6.4.2
Erwartungstreue und Schätzvarianz; L2 –Konsistenz
Wir nehmen an, dass die allgemeine Klasse von stationären Zufallsfeldern {Yx , x ∈ Rd } bzw. die zugehörigen
Mittelwertschätzer, die wir in diesem Abschnitt betrachten, die folgende Gestalt haben.
• Sei Ξ : Ω → S eine stationäre ZAM, die der (verschärften) Integrierbarkeitsbedingung
E 4N (Ξ∩[0,1]
d
)
(114)
<∞
genügt, wobei N (B) die minimale Anzahl von konvexen Zerlegungskomponenten der Menge B ∈ R ist, d.h.,
N (B) = min{k : B = B1 ∪ . . . ∪ Bk , B1 , . . . , Bk ∈ K} .
• Das stationäre Zufallsfeld {Yx , x ∈ Rd } sei gegeben durch
Yx = f Ξ ∩ (C + x) ,
(115)
– wobei f : R → R ein additives, translationsinvariantes, messbares und bedingt beschränktes Funktional
– und C ∈ K′ = K \ {∅} ein nichtleerer konvexer Körper ist, so dass o ∈ C.
• Zur Schätzung des Erwartungswertes µ = E Y0 von {Yx } betrachten wir den Scan–Schätzer µ
bW mit
Z
f Ξ ∩ W ∩ (C + x) GW (x) dx ,
(116)
µ
bW =
Rd
– wobei Ξ in einem (hinreichend großen) Fenster W ∈ R mit νd (W ⊖ Č) > 0 beobachtet wird
– und GW : Rd → [0, ∞) eine Gewichtsfunktion ist, so dass
GW (x) = 0
∀ x ∈ Rd \ (W ⊖ Č)
und
Z
GW (x) dx = 1 ,
(117)
Rd
– d.h., die Randkorrektur des in (116) betrachteten Schätzers erfolgt durch Minus–Sampling.
Beachte Auf ähnliche Weise wie im Beweis von Theorem 6.11 ergibt sich aus (114), dass E f 2 (Ξ ∩ B) < ∞ für
jedes B ∈ R und somit E Yo2 < ∞.
6 KEIM–KORN–MODELLE
212
Wir zeigen nun, dass der in (116) eingeführte Schätzer µ
bW für µ erwartungstreu ist, und wir leiten eine Formel
für die Schätzvarianz Var µ
bW her.
Theorem 6.13
• Sei W ∈ R ein Beobachtungsfenster mit νd (W ⊖ Č) > 0, und sei GW : Rd → [0, ∞) eine Gewichtsfunktion,
die der Bedingung (117) genügt.
• Dann gilt
Eµ
bW = µ
und
Var µ
bW =
Z
(118)
Cov Y (x) GW (x) dx ,
Rd
wobei
Cov Y (x) = E (Yo Yx ) − µ2 die Kovarianzfunktion des stationären Zufallsfeldes {Yx } ist und GW (x) =
R
GW (y) GW (x + y) dy.
Rd
Beweis
• Weil die Abbildung (ω, x) 7→ Yx (ω)GW (x) absolut integrierbar bezüglich P × νd ist, ergibt sich mit
Hilfe des Satzes von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge, dass
Z
Z
(116), (117)
Fubini
E f Ξ ∩ (C + x) GW (x) dx
f Ξ ∩ (C + x) GW (x) dx =
Eµ
bW
=
E
d
Rd
Z R
Z
(117)
Stationarität
=
E f (Ξ ∩ C) GW (x) dx = µ
GW (x) dx = µ .
Rd
Rd
• Hieraus ergibt sich auf ähnliche Weise, dass
Var µ
bW
(116), (117)
=
Z
E
Rd
=
Fubini
=
Stationarität
=
Z
E
Z
d
=
=
=
Z
ZR ZR
d
x7→x+y
Rd
ZR ZR
d
d
Yx GW (x) dx − µ
2
(Yx − µ) GW (x) dx
Z
!
Rd
(117)
=
E
Z
Rd
(Yx − µ) GW (x) dx
(Yy − µ) GW (y) dy
!
!
E (Yx − µ) (Yy − µ) GW (x) GW (y) dy dx
E (Yx−y − µ) (Yo − µ) GW (x) GW (y) dx dy
E (Yx − µ) (Yo − µ) GW (x + y) GW (y) dx dy
d
d
ZR R
Z
Cov Y (x)
GW (x + y) GW (y) dy dx
Rd
Rd
Z
Cov Y (x) GW (x) dx .
Rd
2
Beachte
• Wenn die Kovarianzfunktion des stationären Zufallsfeldes {Yx } integrierbar ist, dann ergibt sich aus
(109) und aus der Formel (118) für die Schätzvarianz Var µ
bWn , die in Theorem 6.13 hergeleitet worden
ist, dass
Z
2 c0
|Cov Y (x)| dx .
(119)
bWn − µ
≤
E µ
νd (Wn ) Rd
• Hieraus ergibt sich insbesondere, dass der Schätzer µ
bWn konsistent im Sinne der L2 –Norm ist,
2
– d.h., es gilt limn→∞ E (b
µWn − µ) = 0 für jede mittelnde Folge {Wn } von Beobachtungsfenstern,
6 KEIM–KORN–MODELLE
213
– wenn die Kovarianzfunktion von {Yx } integrierbar ist und wenn die Gewichtsfunktionen GWn den
Bedingungen (109) und (117) genügen.
• Wenn die Funktionen GWn : Rd → [0, ∞) zusätzlich der Bedingung (110) genügen, dann lässt sich das
asymptotische Verhalten der Schätzvarianz Var µ
bW bei unbegrenzt wachsendem Beoachtungsfenster
wie folgt bestimmen.
Theorem 6.14 Sei {Wn } eine mittelnde Folge, und seien GWn : Rd → [0, ∞) Gewichtsfunktionen, die den
Bedingungen (109), (110) und (117) genügen. Wenn außerdem
Z
|Cov Y (x)| dx < ∞ ,
(120)
Rd
dann gilt
lim νd (Wn ) Var µ
bWn = θ
n→∞
wobei θ der in (110) eingeführte Grenzwert ist.
Z
(121)
Cov Y (x) dx ,
Rd
Beweis
• Aus (109) und (117) ergibt sich, dass für beliebige n ≥ 1 und x ∈ Rd
Z
=
νd (Wn )
GWn (y) GWn (x + y) dy
νd (Wn ) GWn (x)
Rd
Z
(109)
c0
GWn (x + y) dy
≤
νd (Wn )
ν
(W
d
d
n)
R
(117)
= c0 < ∞ ,
wobei die Konstante c0 weder von n ≥ 1 noch von x ∈ Rd abhängt, d.h., durch c0 Cov Y (x) ist eine
integrierbare Majorante der Funktionen νd (Wn ) Cov Y (x) GWn (x) gegeben.
• Ausgehend von der Formel (118) für die Schätzvarianz Var µ
bW , die in Theorem 6.13 hergeleitet worden
ist, ergibt sich nun hieraus und aus (110) mit Hilfe des Satzes von Lebesgue über die majorisierte
Konvergenz, dass
Z
(118)
=
lim
lim νd (Wn ) Var µ
bWn
νd (Wn ) Cov Y (x) GWn (x) dx
n→∞ Rd
n→∞
Z
majorisierte Konvergenz
=
lim νd (Wn ) Cov Y (x) GWn (x) dx
Rd n→∞
Z
(110)
=
θ
Cov Y (x) dx .
Rd
6.4.3
Schätzung der asymptotischen Kovarianzmatrix
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.5
6.5.1
214
Boolesches Modell
Definitionen und grundlegende Eigenschaften
In diesem Abschnitt betrachten wir eine spezielle Klasse von Keim–Korn–Modellen, die bereits in der Einleitung von Kapitel 6 kurz erwähnt worden sind. Dabei machen wir schärfere Annahmen über die Beschaffenheit
der Keime und Körner. Und zwar setzen wir voraus, dass die Keime einen homogenen Poisson–Prozess bilden.
Außerdem nehmen wir an, dass die Körner (kompakte) zufällige Mengen sind, die untereinander sowie von dem
Poisson–Prozess der Keime unabhängig sind. Hierfür benötigen wir den Begriff der Unabhängigkeit von zufälligen
abgeschlossenen Mengen.
Definition
• Sei n ≥ 2 eine beliebige natürliche Zahl, und seien Ξ1 , . . . , Ξn : Ω → F beliebige ZAM. Man sagt, dass
die ZAM Ξ1 , . . . , Ξn unabhängig sind, wenn
P (Ξ1 ∈ B1 , . . . , Ξn ∈ Bn ) = P (Ξ1 ∈ B1 ) . . . P (Ξn ∈ Bn )
∀ B1 , . . . , Bn ∈ σF .
• Analog sagt man, dass die (unendliche) Folge Ξ1 , Ξ2 , . . . : Ω → F aus unabhängigen ZAM besteht,
wenn dies für jede endliche Teilfolge gilt.
Beachte
• Mit der Unabhängigkeit von ZAM meint man also die Situation, dass ihre gemeinsame Verteilung als
Produktmaß der Randverteilungen dargestellt werden kann.
• Man kann sich beispielsweise leicht überlegen, dass die ZAM Ξ1 , Ξ2 , . . . mit Ξn = B(o, Rn ) für jedes
n ≥ 1 unabhängig sind, wenn R1 , R2 , . . . : Ω → [0, ∞] eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen
mit nichtnegativen Werten ist.
Wir führen nun den Begriff des Booleschen Modells mit kompakten Körnern als eine spezielle Klasse von Keim–
Korn–Modellen ein.
Definition
• Sei {Sn } ein homogener Poisson–Prozess in Rd mit der Intensität λ > 0, und sei {Ξn } eine Folge
von zufälligen kompakten Mengen, die unabhängig und identisch verteilt sind (mit der Verteilung Q).
Außerdem seien die beiden Folgen {Sn } und {Ξn } voneinander unabhängig.
Sk
• In Abschnitt 6.2 hatten wir uns überlegt (vgl. Beispiel 3 in Abschnitt 6.2.1), dass n=1 Ξn + Sn für
jedes k ≥ 1 eine ZAM ist. Wenn außerdem
∞
[
n=1
mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt, dann ist auch
Ξ=
∞
[
n=1
Ξ n + Sn
Ξ n + Sn ∈ F
= lim
k→∞
k
[
n=1
(122)
Ξ n + Sn
!
(123)
eine ZAM, die Boolesches Modell mit der Intensität λ und der Kornverteilung Q genannt wird.
Beachte
• Die Folgen {Sn } und {Ξn } eines Booleschen Modells bilden also einen unabhängig markierten Poisson–
Prozess {(Sn , Ξn )} in Rd mit dem Markenraum (C, σF ∩ C), wobei λ > 0 die Intensität und Q die
Markenverteilung von {(Sn , Ξn )} ist.
6 KEIM–KORN–MODELLE
215
• Die Zufallsvektoren Sn : Ω → Rd werden als (zufällig positionierte) Keime interpretiert.
• Die zufälligen kompakten Mengen Ξn : Ω → C werden als Körner interpretiert, die mit den „Keimen”
Sn assoziiert sind.
Das folgende Lemma enthält eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit von (122).
Lemma 6.13 Sei {(Sn , Ξn )} ein stationärer, unabhängig markierter Poisson–Prozess in Rd mit dem Markenraum (C, σF ∩ C). Wenn
E νd (Ξ1 ⊕ C) < ∞
∀C ∈ C ,
(124)
dann gilt (122) mit Wahrsheinlichkeit 1.
Beweis
• Sei µ : B(Rd ) ⊗ (σF ∩ C) → [0, ∞] das Intensitätsmaß des markierten Punktprozesses {(Sn , Ξn )}, d.h.,
∀ B ∈ B(Rd ) , C ∈ σF ∩ C .
µ(B × C) = E #{n : Sn ∈ B, Ξn ∈ C}
• Dann ergibt sich aus den Theoremen 5.3 und 5.9, dass
µ(B × C) = λ νd (B) Q(C)
∀ B ∈ B(Rd ) , C ∈ σF ∩ C ,
(125)
wobei λ > 0 die Intensität und Q die Markenverteilung von {(Sn , Ξn )} ist.
• Aus (124) und (125) ergibt sich nun mit Hilfe des Campbellschen Theorems für markierte Punktprozesse
(vgl. Theorem 5.1), dass für jedes C ∈ C
Z
Theorem 5.1
E #{n : (Ξn + Sn ) ∩ C 6= ∅}
=
1I((ξ + x) ∩ C 6= ∅) µ(d(x, ξ))
Rd ×K
Z Z
(125)
1I((ξ + x) ∩ C 6= ∅) dx Q(dξ)
=
λ
d
ZK ZR
ˇ dx Q(dξ)
1I(x ∈ C ⊕ ξ)
=
λ
K Rd
Z
ˇ Q(dξ)
=
λ
νd (C ⊕ ξ)
K
Z
=
λ
νd (ξ ⊕ Č) Q(dξ)
K
=
λ E νd (Ξ1 ⊕ Č)
(124)
<
∞,
weil mit C ∈ C auch Č ∈ C gilt.
S∞
• Hieraus folgt, dass für jedes C ∈ C die Schnittmenge C ∩ n=1 Ξn + Sn mit Wahrscheinlichkeit 1 nur
S∞
von endlich vielen „verschobenen” Körnern Ξn + Sn gebildet wird und dass somit n=1 Ξn + Sn mit
Wahrscheinlichkeit 1 eine abgeschlossene Menge ist.
Beachte
• Von jetzt an werden wir in diesem Abschnitt stets voraussetzen, dass {(Sn , Ξn )} ein stationärer, unabhängig markierter Poisson–Prozess ist, der der Integrierbarkeitsbedingung (124) genügt.
• Man kann sich leicht überlegen, dass die Bedingung (124) erfüllt ist, wenn
P (Ξ1 ⊂ B(o, R)) = 1 ,
wobei R eine nichtnegative Zufallsvariable ist mit E Rd < ∞.
(126)
6 KEIM–KORN–MODELLE
216
Im Beweis von Lemma 6.13 hatten wir gezeigt, dass jede kompakte Menge C ∈ C mit Wahrscheinlichkeit
S∞ 1 nur von
endlich vielen „verschobenen” Körnern Ξn + Sn getroffen wird. Die „unendliche” Vereinigung Ξ = n=1 Ξn + Sn
somit ebenfalls eine ZAM ist, die darüber hinaus die folgenden Invarianzeigenschaften hat.
Theorem 6.15
• Das Boolesche Modell Ξ =
Ξn + Sn ist eine stationäre ZAM.
S∞
n=1
• Wenn das (Einzel–) Korn Ξ1 isotrop ist, dann ist das Boolesche Modell Ξ eine stationäre und isotrope ZAM.
Beweis
• Aus der Stationarität des Poisson–Prozesses {Sn } ergibt sich, dass für beliebige C ∈ C und x ∈ Rd
TΞ (C)
=
=
P (Ξ ∩ C 6= ∅)
∞
[
P
Ξn + Sn ∩ C 6= ∅
n=1
Stationarität von {Sn }
=
P
∞
[
n=1
∞
[
Ξn + (Sn + x) ∩ C 6= ∅
(Ξn + Sn ) + x ∩ C 6= ∅
=
P
=
P (Ξ + x) ∩ C 6= ∅) = TΞ+x (C) .
n=1
• Mit Hilfe von Theorem 6.6 ergibt sich hieraus, dass die ZAM Ξ stationär ist.
• Wenn Ξ1 isotrop ist, dann gilt für jedes C ∈ C und für jede Drehung δ : Rd → Rd um den Nullpunkt
TΞ (C)
=
=
P (Ξ ∩ C 6= ∅)
∞
[
P
Ξn + Sn ∩ C 6= ∅
n=1
Isotropie von {Sn }
=
P
∞
[
n=1
Isotropie von Ξn
=
P
∞
[
n=1
=
P
∞
[
Ξn + δ(Sn ) ∩ C 6= ∅
δ(Ξn ) + δ(Sn ) ∩ C 6= ∅
n=1
=
δ(Ξn + Sn ) ∩ C 6= ∅
P δ(Ξ) ∩ C 6= ∅) = Tδ(Ξ) (C) .
• Somit ergibt sich durch die erneute Anwendung von Theorem 6.6, dass die ZAM Ξ isotrop ist.
Beachte
S∞
• In Abschnitt 6.2.3 hatten wir uns überlegt, dass ein Keim–Korn–Modell Ξ = n=1 (Ξn + Sn ) genau
dann ergodisch ist, wenn der zugrundeliegende stationäre Punktprozess {Sn } der „Keime” ergodisch
ist.
• Außerdem hatten wir in Theorem 3.22 gezeigt, dass {Sn } ergodisch ist, wenn {Sn } ein homogener
Poisson–Prozess ist.
S∞
• Hieraus ergibt sich, dass Ξ = n=1 (Ξn + Sn ) ergodisch ist, wenn Ξ ein Boolesches Modell ist, d.h.,
wenn der Punktprozess {Sn } ein homogener Poisson–Prozess ist.
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.5.2
217
Formeln für Kapazitätsfunktional, Volumenanteil und Kontaktverteilungsfunktion
S∞
Wir zeigen nun, wie grundlegende Charakteristiken des (stationären) Booleschen Modells Ξ = n=1 Ξn + Sn
durch die Intensität λ > 0 und die Kornverteilung Q von {(Sn , Ξn )} ausgedrückt werden können.
Theorem 6.16
Sei Ξ =
S∞
n=1
Ξn + Sn ein Boolesches Modell mit Intensität λ > 0 und Kornverteilung Q.
• Dann gilt für das Kapazitätsfunktional TΞ : C → [0, 1] mit TΞ (C) = P (Ξ ∩ C 6= ∅)
TΞ (C) = 1 − exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ Č)
∀C ∈ C ,
(127)
• Außerdem gilt
– für den Volumenanteil p = E νd (Ξ ∩ [0, 1]d )
p = P (o ∈ Ξ) = 1 − exp −λ E νd (Ξ1 ) ,
– für die Kovarianz q : Rd → [0, 1] mit q(x) = P (o ∈ Ξ, x ∈ Ξ)
q(x) = 2p − 1 + (1 − p)2 exp λE νd (Ξ1 ∩ (Ξ1 − x))
Beweis
(128)
∀ x ∈ Rd .
(129)
eB , B ∈ B(Rd )} mit
• Um die Gültigkeit von (127) zu zeigen, betrachten wir das zufällige Zählmaß {N
eB = #{n : Sn ∈ B, (Ξn + Sn ) ∩ C 6= ∅}
N
∀ B ∈ B(Rd ) .
(130)
eB , B ∈ B(Rd )} ein (inhomogener)
• Ähnlich wie im Beweis von Theorem 2.10 kann man zeigen, dass {N
Poisson–Prozess ist (vgl. auch Korollar 2.2),
– der sich durch ortsabhängige Verdünnung des (homogenen) Poisson–Prozesses {Sn } ergibt
e : B(Rd ) → [0, ∞) die Integraldarstellung
– und dessen Intensitätsmaß Λ
e
Λ(B)
=
Z
B
e
λ(x)
dx
∀ B ∈ B(Rd )
e : Rd → [0, ∞) von {N
e (B)} gegeben ist durch
besitzt, wobei die Intensitätsfunktion λ
e
λ(x)
= λ P (Ξ1 + x) ∩ C 6= ∅
∀ x ∈ Rd .
• Hieraus ergibt sich, dass für jedes C ∈ C
TΞ (C)
(39)
=
=
P (Ξ ∩ C 6= ∅) = 1 − P (Ξ ∩ C = ∅)
∞
[
1−P
Ξ n + Sn ∩ C = ∅
n=1
=
=
=
(131),(132)
=
=
1−P
∞
\
n=1
(Ξn + Sn ) ∩ C = ∅
e (Rd ) = 0
1−P N
e d)
1 − exp −Λ(R
Z
1 − exp −λ
P (Ξ1 + x) ∩ C 6= ∅ dx
Rd
1 − exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ Č) .
(131)
(132)
6 KEIM–KORN–MODELLE
218
• Die Gültigkeit von (128) ergibt sich unmittelbar aus (51) und (127), denn es gilt
(51)
p = E µd (Ξ ∩ [0, 1]d ) = P (o ∈ Ξ) = P Ξ ∩ {o} 6= ∅ = TΞ ({o})
(127)
=
• Auf ähnliche Weise ergibt sich (129) aus (52) und (127), denn es gilt
(52)
q(x) = P (o ∈ Ξ, x ∈ Ξ) = 2p − TΞ ({0, x})
(127)
1 − exp −λ E νd (Ξ1 ) .
2p − 1 + exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ {o, −x})
=
und
exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ {o, −x})
=
=
=
=
(128)
=
exp −λ E νd (Ξ1 ∪ (Ξ1 − x))
exp −λ E νd (Ξ1 ) + E νd (Ξ1 − x) − E νd (Ξ1 ∩ (Ξ1 − x))
exp −λ 2E νd (Ξ1 ) − E νd (Ξ1 ∩ (Ξ1 − x))
exp −2λ E νd (Ξ1 ) exp λ E νd (Ξ1 ∩ (Ξ1 − x))
(1 − p)2 exp λ E νd (Ξ1 ∩ (Ξ1 − x)) .
Beachte
• Die in (129) betrachtete Funktion γ : Rd → [0, ∞) mit γ(x) = E νd (Ξ1 ∩ (Ξ1 − x)) wird Set–
Kovarianzfunktion des zufälligen (Einzel–) Korns Ξ1 genannt.
• Wenn die ZAM Ξ1 isotrop ist, dann hängt γ(x) nur von |x| ab, d.h., es gilt
(133)
∀r > 0,
γ(r) = γ(ru)
wobei u ∈ Rd ein beliebiger Punkt mit |u| = 1 ist.
• Im allgemeinen kann die Größe γ(r) in (133) nicht explizit berechnet werden. Wenn jedoch Ξ1 = B(o, R)
für eine nichtnegative Zufallsvariable R : Ω → [0, ∞), dann kann man zeigen, dass
– für d = 2
γ(r) =
– und für d = 3
Z
∞
2t2 arccos
r/2
γ(r) =
Z
∞
r/2
r
rp 2
4t − r2 dFR (t)
−
2t
2
3r
r3 4
dFR (t)
π t3 1 −
+
3
4t
16t3
∀r > 0
∀r > 0,
(134)
(135)
wobei FR : R → [0, 1] die Verteilungsfunktion von R bezeichnet.
Eine weitere grundlegende (Struktur–) Kenngröße einer stationären ZAM Ξ ist die Kontaktverteilungsfunktion
HB : [0, ∞) → [0, 1], die bereits in Abschnitt 6.2.4 eingeführt worden ist.
• Dabei ist
HB (r) = P rB ∩ Ξ 6= ∅ | o 6∈ Ξ
∀r ≥ 0,
(136)
• wobei rB = {rx : x ∈ B} und B ∈ C eine kompakte Menge ist,
– die das „strukturierende Element” von HB genannt wird
– und die sternförmig bezüglich des Koordinatenursprungs o ∈ Rd ist, d.h., es gilt o ∈ B und cx ∈ B für
beliebige x ∈ B und c ∈ [0, 1].
6 KEIM–KORN–MODELLE
219
Beachte
• Formal kann auch der Poisson–Prozess {Sn } selbst als Boolesches Modell aufgefasst werden, wenn für
die Körner Ξ1 = Ξ2 = . . . = {o} gesetzt wird.
• In Abschnitt 4.3.1 hatten wir gezeigt, dass
HB (r) = 1 − exp(−λκd rd )
(137)
∀r ≥ 0,
wenn B = B(o, 1) die d–dimensionale Einheitskugel und Ξ = {Sn } ein homogener Poisson–Prozess mit
der Intensität λ ist, wobei kd = νd (B(o, 1)) das Volumen der d–dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Wir zeigen nun, wie sich die Darstellungsformel (137) für das Boolesche Modell mit beliebigen „integrierbaren”
Körnern verallgemeinern lässt.
Theorem 6.17
• Sei B ∈ C eine sternförmige kompakte Menge, und sei Ξ =
(Keim–) Intensität λ > 0.
• Dann gilt
Beweis
S∞
n=1
Ξn + Sn ein Boolesches Modell mit der
HB (r) = 1 − exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ rB̌) − E νd (Ξ1 )
∀r ≥ 0.
(138)
• Für jede stationäre ZAM Ξ mit P (o 6∈ Ξ) > 0 hatten wir in Theorem 6.8 gezeigt, dass
HB (r) = P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌ | o 6∈ Ξ)
(139)
∀r ≥ 0.
• Aus (139) ergibt sich mit Hilfe der in Theorem 6.16 hergeleiteten Formeln (127) und (128) für das
Kapazitätsfunktional bzw. den Volumenanteil des Booleschen Modells Ξ, dass
HB (r)
(139)
=
P (o ∈ Ξ ⊕ rB̌ | o 6∈ Ξ)
=
1−
(127),(128)
=
=
P (Ξ ∩ rB̌ = ∅)
1 − P (o ∈ Ξ)
exp −λE νd (Ξ1 ⊕ rB̌)
1−
exp −λE νd (Ξ1 )
1 − exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ rB̌) − E νd (Ξ1 ) .
Beachte
• In Abschnitt 6.5.1 hatten wir gezeigt, dass das Boolesche Modell Ξ =
S∞
n=1
Ξn + Sn ergodisch ist.
• Hieraus ergibt sich (vgl. die Anmerkungen am Ende von Abschnitt 6.2.4), dass der in (54) eingeführte
Schätzer pbW des Volumenanteil p von Ξ (stark) konsistent ist.
• Darüber hinaus ist auch der in (65) eingeführte Schätzer
für HB (r) konsistent, wobei
b B,W (r) = 1 − 1 − pbB,W (r)
H
1 − pbW
∗
νd WB,r
∩ (Ξ ⊕ rB̌)
pbB,W (r) =
∗ )
νd (WB,r
mit
∗
WB,r
= W ⊖ rB̌ .
6 KEIM–KORN–MODELLE
6.5.3
220
Boolesches Modell mit konvexen Körnern
In diesem Abschnitt betrachten wir eine spezielle Klasse von Booleschen Modellen. Dabei setzen wir voraus, dass
die Körner zufällige konvexe Körper, d.h., konvexe und kompakte zufällige Mengen sind.
• Sei also {Sn } ein homogener Poisson–Prozess in Rd mit der Intensität λ > 0, und sei {Ξn } eine Folge von
zufälligen konvexen Körpern, die unabhängig und identisch verteilt sind (mit der Verteilung Q). Außerdem
seien die beiden Folgen {Sn } und {Ξn } voneinander unabhängig.
• Darüber hinaus setzen wir (so wie bisher) stets voraus, dass die Integrierbarkeitsbedingung
(124) erfüllt ist,
wobei man sich leicht überlegen kann, dass (124) äquivalent ist mit E νd Ξ1 ⊕ B(o, r) < ∞ für jedes r > 0.
• Dann ergibt sich aus Lemma 6.13, dass
∞
[
n=1
Ξ n + Sn ∈ S
mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt, d.h., das Boolesche Modell Ξ =
ergodische) ZAM.
(140)
S∞
n=1
Ξn + Sn ist eine (stationäre und
Mit Hilfe der grundlegenden Eigenschaften von konvexen und kompakten Teilmengen des Rd , die in Abschnitt 6.3.1
diskutiert wurden, lassen sich nun die Formeln (127) und (138) für das Kapazitätsfunktional bzw. die Kontaktverteilungsfunktion im Fall des Booleschen Modells mit konvexen Körnern spezifizieren.
Hierfür benötigen wir die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Steiner (vgl. Theorem 6.9).
Theorem 6.18
• Sei Ξ : Ω → K eine isotrope ZAM in K, so dass
• Dann gilt
E νd Ξ ⊕ B(o, r) < ∞
E νd (Ξ ⊕ B) =
wobei
d
X
αdk E Vd−k (Ξ) Vk (B)
∀B ∈ K,
k=0
αdk =
(141)
∀r > 0.
k! κk (d − k)! κd−k
d! κd
(142)
(143)
und κi das i–dimensionale Volumen der Einheitskugel in Ri bezeichnet.
Beweis
• Man kann sich leicht überlegen, dass nicht nur E νd (Ξ ⊕ B), sondern auch die Erwartungswerte E Vj (Ξ)
in (142) für jedes j ∈ {0, . . . , d} wohldefinierte Größen ist.
– Denn aus der (klassischen) Steiner–Formel (73) in Theorem 6.9 ergibt sich, dass für jedes r > 0
0 ≤ Vj (Ξ) ≤
1
rd−j κ
d−j
Vd Ξ ⊕ B(o, r)
– Hieraus und aus (141) folgt, dass
E Vj (Ξ) < ∞
∀ j ∈ {0, . . . , d} .
∀ j ∈ {0, . . . , d} .
(144)
• Wir zeigen nun, dass die Abbildung T : K → [0, ∞) mit T (B) = E νd (Ξ ⊕ B) additiv, bewegungsinvariant und monoton ist.
6 KEIM–KORN–MODELLE
221
– Additivität: Für beliebige B1 , B2 ∈ K, so dass B1 ∪ B2 ∈ K, gilt
T (B1 ) + T (B2 ) = E νd (Ξ ⊕ B1 ) + E νd (Ξ ⊕ B2 ) = E νd (Ξ ⊕ B1 ) + νd (Ξ ⊕ B2 )
= E νd (Ξ ⊕ B1 ) ∪ (Ξ ⊕ B2 ) + νd (Ξ ⊕ B1 ) ∩ (Ξ ⊕ B2 )
= E νd (Ξ ⊕ (B1 ∪ B2 ) + νd Ξ ⊕ (B1 ∩ B2 )
= E νd (Ξ ⊕ (B1 ∪ B2 ) + E νd Ξ ⊕ (B1 ∩ B2 )
= T (B1 ∪ B2 ) + T (B1 ∩ B2 ) .
– Bewegungsinvarianz: Für beliebige B ∈ B und x ∈ Rd gilt
T (B + x) = E νd Ξ ⊕ (B + x)
Translationsinvarianz von νd
= E νd (Ξ ⊕ B) + x
=
E νd (Ξ ⊕ B) = T (B) ,
und analog gilt für jedes B ∈ B und für jede Drehung δ : Rd → Rd um den Nullpunkt
T δ(B)
=
E νd Ξ ⊕ δ(B) = E νd δ(δ −1 (Ξ) ⊕ B)
Rotationsinvarianz von νd
=
E νd (δ −1 (Ξ) ⊕ B)
Isotropie von Ξ
=
E νd (Ξ ⊕ B) = T (B) .
– Monotonie: Für beliebige B1 , B2 ∈ K, so dass B1 ⊂ B2 , gilt
T (B1 ) = E νd (Ξ ⊕ B1 ) ≤ E νd (Ξ ⊕ B2 ) = T (B2 ) .
• Aus dem Satz von Hadwiger (vgl. die Darstellungsformel (81) in Theorem 6.10) folgt somit, dass es
Konstanten a0 , . . . , ad ≥ 0 gibt, so dass
T (B) =
d
X
∀B ∈ K.
ak Vk (B)
k=0
(145)
• Dabei können die Konstanten a0 , . . . , ad ≥ 0 in (145) auf die folgende Weise bestimmt werden.
– Aus der Steiner–Formel (73) ergibt sich, dass für jedes r > 0
T B(o, r)
= E νd Ξ ⊕ B(o, r)
(73)
=
d
X
rd−k κd−k E Vk (Ξ) .
(146)
k=0
– Außerdem ergibt sich genauso wie (78) aus der Steiner–Formel (73), dass für jedes r > 0
k
d r κd
∀ k ∈ {0, . . . , d} .
Vk B(o, r) =
k κd−k
– Wenn nun B = B(o, r) in (145) gesetzt wird, dann ergibt sich durch den Vergleich der Koeffizienten
von rk in (145) und (146), dass
d
κd
ak
= κk E Vd−k (Ξ)
∀ k ∈ {0, . . . , d} .
k κd−k
Mit Hilfe der verallgemeinerten Steiner–Formel (142) lassen sich die Formeln (127) und (138) für das Kapazitätsfunktional bzw. die Kontaktverteilungsfunktion spezifizieren, die in den Theoremen 6.16 und 6.17 für allgemeine
stationäre ZAM hergeleitet wurden.
6 KEIM–KORN–MODELLE
222
Korollar 6.6
S∞
• Sei Ξ = n=1 Ξn + Sn ein Boolesches Modell mit der (Keim–) Intensität λ und mit isotropen Körnern
Ξ1 , Ξ2 , . . . : Ω → K′ = K \ {∅}, so dass
E νd Ξ1 ⊕ B(o, r) < ∞
∀r > 0.
(147)
• Dann gilt für das Kapazitätsfunktional TΞ : C → [0, 1]
d
X
αdk E Vd−k (Ξ1 ) Vk (C)
TΞ (C) = 1 − exp −λ
(148)
∀C ∈ K
k=0
• und für die Kontaktverteilungsfunktion HB : [0, ∞) → [0, 1] mit dem (konvexen) strukturierenden Element
B∈K
d
X
αdk rk E Vd−k (Ξ1 ) Vk (B)
∀r ≥ 0.
(149)
HB (r) = 1 − exp −λ
k=1
Beweis
• Aus (127) und (142) ergibt sich, dass für jedes C ∈ C
TΞ (C)
(127)
=
1 − exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ Č)
(142)
=
d
X
αdk E Vd−k (Ξ1 ) Vk (C) .
1 − exp −λ
k=0
• Auf die gleiche Weise ergibt sich aus (138) und (142), dass für jedes r ≥ 0
(138)
HB (r)
=
1 − exp −λ E νd (Ξ1 ⊕ rB̌) − E νd (Ξ1 )
(142)
=
d
X
αdk E Vd−k (Ξ1 ) Vk (rB̌)
1 − exp −λ
k=1
=
1 − exp −λ
d
X
k=1
αdk rk E Vd−k (Ξ1 ) Vk (B) ,
weil Vk (rB̌) = rk Vk (B) für beliebige k ∈ {0, . . . , d} und B ∈ K (vgl. Korollar 6.4).
Beachte
• Für die Kontaktverteilungsfunktion HB : [0, ∞) → [0, 1] mit dem strukturierenden Element B ∈ K′
ergibt sich aus Korollar 6.6 unter Berücksichtigung von (75) und (76), dass
– für d = 2
– und für d = 3
E ℓ(Ξ ) ℓ(B)
1
HB (r) = 1 − exp −λ
r + ν2 (B) r2
2π
!
E s(Ξ )β(B)
E β(Ξ1 )s(B) 2
1
HB (r) = 1 − exp −λ
r +
r + ν3 (B) r3
2
2
∀r ≥ 0
!
(150)
∀ r ≥ 0 , (151)
wobei ℓ(B) = 2V1 (B) die Randlänge von B ⊂ R2 sowie s(B) = 2V2 (B) und β(B) = V1 (B)/2 die
Oberfläche bzw. die mittlere Breite von B ⊂ R3 bezeichnet.
6 KEIM–KORN–MODELLE
223
• Sei B ⊂ Rd eine Strecke mit Länge 1. Für die lineare Kontaktverteilungsfunktion HB : [0, ∞) → [0, 1]
ergibt sich dann aus Korollar 6.6, dass
κd−1
E s(Ξ1 ) r
∀r ≥ 0,
(152)
HB (r) = 1 − exp −λ
d κd
wobei s(Ξ1 ) = 2Vd−1 (Ξ1 ) die „Oberfläche” von Ξ1 bezeichnet.
• Für die sphärische Kontaktverteilungsfunktion HB : [0, ∞) → [0, 1] mit B = B(o, 1) ergibt sich aus
den Theoremen 6.9 und 6.17, dass
– für jedes d ≥ 1
d−1
X
κd−j E Vj (Ξ1 ) rd−j
HB (r) = 1 − exp −λ
∀r ≥ 0,
j=0
(153)
ohneSdass dabei vorausgesetzt
werden muss, dass die Körner Ξ1 , Ξ2 , . . . des Booleschen Modells
∞
Ξ = n=1 Ξn + Sn isotrop sind.
– Wenn P (Ξ1 6= ∅) = 1, dann ergibt sich aus (153), dass für d = 2
HB (r) = 1 − exp −λ E ℓ(Ξ1 ) r + π r2
∀r ≥ 0
(154)
und für d = 3
4π 3 HB (r) = 1 − exp −λ E s(Ξ1 ) r + 2π E β(Ξ1 ) r +
r
3
2
!
∀r ≥ 0.
(155)
Beispiele
• Wir betrachten zunächst den planaren Fall d = 2.
1. Isotrope Poissonsche Streckensysteme im R2
– Sei Ξ1 eine zufällige Strecke mit einem Endpunkt im Nullpunkt, mit gleichverteilter Richtung
und mit der mittleren Länge δ = E ν1 (Ξ1 ).
S∞
– Für die lineare Kontaktverteilungsfunktion des Booleschen Modells Ξ = n=1 Ξn + Sn ergibt
sich dann aus (152), dass
2λδ r
HB (r) = 1 − exp −
π
∀r ≥ 0.
(156)
– Für die sphärische Kontaktverteilungsfunktion mit B = B(o, 1) ergibt sich aus (154), dass
HB (r) = 1 − exp − λ r (2δ + π r)
∀r ≥ 0.
(157)
– Beachte: Die Formeln (154) und (157) gelten auch für Poissonsche Streckensysteme mit einer
beliebigen (nicht notwendig isotropen) Richtungsverteilung.
2. Poissonsche Kreissysteme im R2
– Sei Ξ1 = B(o, R1 ) ein Kreis mit zufälligem Radius R1 : Ω → (0, ∞), so dass E R12 < ∞.
– Für die lineare Kontaktverteilungsfunktion ergibt sich dann aus (152), dass
HB (r) = 1 − exp − 2λ E R1 r
∀r ≥ 0.
(158)
– Für die sphärische Kontaktverteilungsfunktion mit B = B(o, 1) ergibt sich, dass
HB (r) = 1 − exp − λ r (2 E R1 + r)
∀r ≥ 0.
(159)
6 KEIM–KORN–MODELLE
224
3. Quadratische Kontaktverteilungsfunktion
– Sei Ξ1 : Ω → K eine beliebige isotrope ZAM, so dass P (Ξ1 6= ∅) = 1 und E diam2 (Ξ1 ) < ∞,
wobei diam (B) = max{|x − y| : x, y ∈ B} den maximalen Abstand zweier Punkte in B ⊂ R2
bezeichnet.
– Für die quadratische Kontaktverteilungsfunktion mit B = [0, 1]2 gilt dann
!
2E ℓ(Ξ )
1
2
∀r ≥ 0,
(160)
HB (r) = 1 − exp −
r + r
π
wobei E ℓ(Ξ1 ) die mittlere Randlänge des (Einzel–) Korns Ξ1 ist.
• Sei nun d = 3. Aus (155) ergeben sich dann die folgenden Formeln für die sphärische Kontaktverteilungsfunktion HB : [0, ∞) → [0, 1] mit B = B(o, 1).
1. Poissonsche Streckensysteme im R3
– Sei Ξ1 eine zufällige Strecke im R3 mit einem Endpunkt im Nullpunkt, mit einer beliebigen
Richtungsverteilung und mit der mittleren Länge δ = E ν1 (Ξ1 ).
– Dann gilt
4r HB (r) = 1 − exp − λ π r2 δ
r
∀r ≥ 0.
(161)
3
2. Poissonsche Kugelsysteme
– Sei Ξ1 = B(o, R1 ) eine Kugel mit zufälligem Radius R1 : Ω → (0, ∞), so dass E R13 < ∞.
– Dann gilt
!
2
4r
HB (r) = 1 − exp − λ π r 4 E R12 + 4 r E R1 +
∀r ≥ 0.
(162)
3
3. Poissonsche Kreisscheiben–Systeme im R3
– Sei Ξ1 eine Kreisscheibe im R2 mit zufälligem Radius R1 : Ω → (0, ∞), so dass E R13 < ∞, und
mit einer beliebigen Richtungsverteilung.
– Dann gilt
!
4r2 2
∀r ≥ 0.
(163)
HB (r) = 1 − exp − λ π r π E R1 + π r E R1 +
3
6.5.4
Minimum–Kontrast–Schätzer
S∞
• Sei Ξ = n=1 Ξn + Sn ein Boolesches Modell in Rd mit konvexen und kompakten (jedoch nicht notwendig
isotropen) Körnern Ξ1 , Ξ2 , . . . : Ω → K, so dass
P (Ξ1 6= ∅) = 1 .
(164)
• Mit Hilfe der Formel (153) für die sphärische Kontaktverteilungsfunktion HB : [0, ∞) → [0, 1] des Booleschen
bW , δb1,W , . . . , δbd,W für die Intensität λ und
Modells Ξ können wir so genannte Minimum–Kontrast–Schätzer λ
die mittleren inneren Volumina δ1 = E V1 (Ξ1 ), . . . , δd = E Vd (Ξ1 ) der Körner gewinnnen.
• Hierfür betrachten wir zunächst für ein m ≥ d und für geeignet gewählte Werte r1 , . . . , rm > 0 die in (65)
b B,W (r1 ), . . . , H
b B,W (rm ) für HB,W (r1 ), . . . , HB,W (rm ),
eingeführten Schätzer H
6 KEIM–KORN–MODELLE
– wobei
225
b B,W (ri ) = 1 − 1 − pbB,W (ri )
H
1 − pbW
∗
νd WB,r
∩ (Ξ ⊕ rB̌)
pbB,W (r) =
∗ )
νd (WB,r
– und
∀ i = 1, . . . , m ,
∗
WB,r
= W ⊖ rB̌
mit
νd (W ∩ Ξ)
(165)
νd (W )
der in (54) eingeführte Schätzer des Volumenanteils p = P (o ∈ Ξ) des Booleschen Modells Ξ ist.
pbW =
• Andererseits ergibt sich aus (153) und (164), dass
d
HB (r) = 1 − exp −λ κd r +
bzw.
d−1
X
κd−j δj r
d−j
j=1
!
d−1
X
κd−j δj rd−j
− log 1 − HB (r) = λ κd rd +
j=1
∀r ≥ 0
(166)
∀r ≥ 0.
(167)
bW , δb1,W , . . . , δbd−1,W ) für θ = (λ, δ1 , . . . , δd−1 ) ∈ Θ = [0, ∞)d zu gewinnnen,
• Um einen Schätzer θb = (λ
– betrachten wir die Kontrast–Funktion ∆ : F × Θ → [0, ∞) mit
∆W (ξ, θ) =
m
X
i=1
b B,W (ri , ξ) − λ
log 1 − H
κd rid
+
d−1
X
κd−j δj rid−j
j=1
!2
,
(168)
wobei ξ ∈ F eine Realisierung von Ξ bezeichnet, die in dem Fenster W ⊂ Rd beobachtet wird.
– Dabei sagt man, dass durch den Ansatz
b = argmin
θ(ξ)
θ∈Θ ∆W (ξ; θ)
(169)
b
ein Minimum–Kontrast–Schätzer θb = θ(Ξ)
für θ = (λ, δ1 , . . . , δd−1 ) gegeben ist.
• Mit Hilfe der Formeln
log(1 − p)
λ
für den Volumenanteil p bzw. das mittlere (Einzel–) Kornvolumen δd = E νd (Ξ1 ), vgl. Theorem 6.16, ergibt
sich nun ein so genannter Plug–in–Schätzer δbd für δd . Dabei setzen wir
p = 1 − exp −λ δd
und
log(1 − pbW )
,
δbd =
bW
λ
δd =
(170)
bW in (169) eingeführte Minimum–Kontrast–
wobei pbW der in (165) gegebene „natürliche” Schätzer für p und λ
Schätzer für λ ist.
Beispiel
• Wenn d = m = 2, dann gilt für die in (168) eingeführte Kontrast–Funktion ∆ : F × [0, ∞)2 → [0, ∞),
dass
2 2
X
b B,W (ri , ξ) − 2ri λ δ1 − π ri2 λ ,
log 1 − H
∆W (ξ, λ, δ1 ) =
i=1
• Wenn dabei r1 , r2 > 0 geeignet gewählt werden, so dass r1 6= r2 , dann ist es nicht schwierig, das in
(169) formulierte Minimierungsproblem zu lösen.