Abiturprüfung 2015
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Abiturprüfung 2015 PHYSIK Arbeitszeit: 180 Minuten Der Fachausschuss wählt eine Aufgabe aus der Aufgabengruppe Ph 11 und eine aus der Aufgabengruppe Ph 12 oder eine Aufgabe aus der Aufgabengruppe Ph 11 und eine aus der Aufgabengruppe Ph 12-Astrophysik zur Bearbeitung aus. Die Angabe ist vom Prüfling mit dem Namen zu versehen und mit abzugeben. Name: _____________________ –2– BE Ph 11 1–1 1. B Bestimmu ung von ellektrischeen Feldsttärken miithilfe ein ner Poten ntialsondee m elektrischen Feld d eines Plaattenkondeensators wurden w Im ddie nebensttehend abg gebildetenn Äquipotentiallinieen bis exxperimenttell ermitteelt. 4 d Abbilddung die elektrische e en a)) Zeichneen Sie in die Feldlinnien durch die Punktte A, B, C und D ein n. A Aus dem Versuchspr V rotokoll siind die miithilfe eineer P Potentialsoonde gemeessenen W Werte ϕA = 3,0 V und d ϕB = 12,0 V des elek ktrischen P Potentials ϕ in den Punkten P A und B beekannt. Fü ür die negaativ geladeene Kondeensatoorplatte giilt die Festtlegung ϕ = 0. 3 b) Geben Sie die Messwerte M aan, die Siee im Versu uchsprotokkoll für daas Potential P C un nd ϕD im P Punkt D sowie s für die d am Koondensatorr anliegennde ϕC im Punkt Spannuung U0 erw warten. 7 mogenen Bereich B dees elektriscchen Feldees wird m mit x der Ab bstand einnes c)) Im hom Punktes von der negativ geeladenen Platte P bezeeichnet. Z Zeichnen Sie S das x-ϕ ϕDiagram mm. Erläu utern Sie aanhand dees Diagram mms, dass alle Quotienten Δϕ Δx mit dem m Betrag E0 der elekktrischen Feldstärke F e des hom mogenen Feeldes überreinstim mmen, und d berechneen Sie E0. 4 dd) Erläuteern Sie, wiie unter Eiinsatz der Potentialssonde der Betrag deer elektrischen Feldstärke F in einem Punkt dess Randfeld des (z. B. P Punkt C) näherungssweise bestimmt b werden w kaann. Beach hten Sie hiierbei, dasss das Feld d in einer kleinenn Umgebun ng eines ssolchen Pu unktes ann nähernd hoomogen isst. 2. D Der Ringb beschleun niger „Laarge Hadrron Collid der“ (LH HC) V Vorbeschleeunigte Prrotonen treeten mit deer Anfang gsenergie E min = 0,450 TeV inn dden ringförrmigen Beeschleunigger LHC ein. e Im LH HC werdenn die Proto onen durchh hhochfrequeente elektrrische Feldder in der Zeit Δt = 20,0 min weiter auff die End-ennergie Emaax = 4,00 TeV T beschhleunigt. Hierbei H wiird vereinffachend an ngenomm men, dass die d Teilch hen durch eein homog genes Mag gnetfeld sttets auf deer gleichenn K Kreisbahn mit Radiu us r = 4,244 km gehallten werdeen. 8 A nergie Eminin der Loreentzfaktor a)) Zeigen Sie, dass für ein Prroton mit Anfangsen u weiseen Sie rech hnerisch nach, dass sich ein Proton P beγ = 4800 beträgt, und reits beeim Eintrittt in den L LHC näherrungsweise mit Lichhtgeschwiindigkeit c bewegtt. (Forttsetzung nächste n Seeite) –3– V Vereinfachhend wird im Folgennden für die d Geschw windigkeitt der Proto onen wäh-reend der geesamten Zeit Δt die Näherung g v = c verrwendet. 6 b) Die Fluussdichte B des Maggnetfeldess steigt in der Zeit Δ Δt vom Weert Bmin koontinuierllich auf deen Wert Bmmax an. Zeigen Sie, dass d für di die Energiee E eines Protonss näherung gsweise E = r·e·c·B B gilt, und berechnenn Sie Bmaxx. 6 ufe bis zum m Erreicheen von Emax c)) Berechnnen Sie diie Anzahl der Umläu m und die Energiee, die einem m Proton ppro Umlau uf durchscchnittlich zzugeführt wird. Gehhen Sie dabbei von derr vereinfacchenden Annahme A aus, a dass eein Proton Energie, die d ihm einnmal zugefführt wurdde, nicht wieder w abgibt. [zuur Kontrollle: 263 keeV] T Tatsächlichh gibt ein kreisendes k s Proton elektromag e gnetische Strahlung g ab. F Für die Eneergie ES der d sogenannnten Syn nchrotronsstrahlung, die ein Teeilchen (L Ladung q,, Ruheenerrgie E0) m mit konstan nt angenom mmener E Energie E während w 4 q2 E eiines Umlaaufs abstraahlt, gilt ddie Beziehu ung E S = ⋅ . 3ε 0 r E 0 5 dd) Berechhnen Sie diie Energiee, die einem m Proton mit Endennergie Emaax pro Um-lauf zuggeführt weerden musss, um diee Energieabgabe durrch Synchrotronstrahlunng auszug gleichen. B Begründen n Sie, ob die d in Teilaaufgabe 2c getroffene vereinffachende Annahme A gerechtferrtigt war. [zur Kontrollee: 0,470 keeV] D Der Ringtuunnel des LHC L wurdde ursprün nglich für einen andderen Bescchleunigerr, dden „Largee Elektron Positron Collider“ (LEP), erb baut. Im L LEP wurden E Elektronenn und Posittronen beii hoher En nergie zur Kollisionn gebracht.. 5 den Beschlleuniger im m Hinblick auf die e)) Vergleiichen Sie quantitativv die beid Energieeabgabe durch d Syncchrotronsttrahlung. Gehen G Sie davon au us, dass diee Protoneen die gleiiche Energgie E wie die Elektrronen bzw w. Positron nen haben.. 3. D Dreifarbigges Interfferenzbild d Z Zur visuelllen Unterm malung einnes Konzeerts werden n Lichtstrrahlen der verschieddensten Farrben eingeesetzt. Diee Spektralanalyse eiines bestim mmten Licchtstrahls m mithilfe einnes Gitterss ergibt daas nachfolgende sym mmetrischhe Interfereenzbild. 3 nhand dess Interferenzbildes, in welcherr Farbe deer a)) Begrünnden Sie an untersuuchte Strah hl erscheinnt. D Der Strahl trifft senk krecht auf das Gitterr. Der Sch hirm, auf ddem das In nterferenz-bild zu sehen ist, wu urde im Abbstand 1,80 m paralllel zur Gittterebene aufgestellt. 9 60 b) Berechhnen Sie diie Wellenllänge λr des d roten Lichts, L wennn die Weellenlänge des grüünen Lichtts λg = 5322 nm beträägt. Begrü ünden Sie, dass hierb bei die Verwenndung derr Kleinwinnkelnäheru ung nicht sinnvoll s isst. –4– Ph 11 1–2 BE 1. A Abgasrein nigung miit einem E Elektrofilter M Mit einem Elektrofillter werdenn Rußpar-tiikel aus deem Abgas von Kohllekraftwerrkken entfernnt. Nebensstehend istt ein weseentliches Element E des d Filters im Querscchnitt darggestellt. Die D negativv geladeneen S Sprühkathooden sind parallele D Drähte, diie jeeweils denn gleichen Abstand zzu einer positiv gelaadenen Plaatte (Anodde) haben. 4 d obige A Abbildung g das elek ktrische Feeldlinienbiild zwischhen a)) Zeichneen Sie in die den Sprrühkathod den und deer Anode ein. e 4 b) Im Abggas sind sttets in geriinger Zahll freie Elektronen vvorhanden.. Begründden Sie, waarum diesee Elektronnen in der Nähe N der Drähte beesonders sttark beschleunnigt werdeen. Beschrreiben Sie die Folgeeprozesse, die dazu führen, daass aus denn Nahbereichen der Drähte seehr viele Elektronen E n herausstrrömen. D Die von deen Kathodeen „abgespprühten“ Elektronen E n bewirkeen, dass die Rußparttikkel negativv geladen und u daher von der Anode A ang gezogen w werden. Diies hat im F Filter einenn elektrischen Strom m der konsstanten Strromstärkee 1,2 A zurr Folge. Prro S Stunde werrden aus dem d Abgass 10 t Ruß ß herausgeefiltert. Einn Rußparttikel besitzzt -155 im m Mittel die d Masse 7,7 · 10 kg und diie Ladung g q. 5 c)) Berechhnen Sie diie Ladungg q. [zu ur Kontroolle: q = −3 3,3 · 10-15 C] d Sprühk kathoden durch eine negativ Inn einem veereinfachtten Modelll werden die geladene Platte ersettzt, so dasss ein Platttenkonden nsator vorlliegt. Fern ner tragen allle Rußparrtikel bereeits die Laadung q, wenn w sie in n x-Richtuung mit deer einheitliichhen Geschhwindigkeeit vx = 5,66 m/s mit dem Abgaas einström men. Die an a den Plaatteen anliegende Spann nung beträägt U = 20 0 kV, der Plattenabs P stand ist d = 20 cm. 5 dd) Zeigen Sie rechn nerisch, daass die auff die Rußp partikel wiirkende Grravitationsskraft im m Vergleicch zur elekktrischen Kraft K vern nachlässiggbar ist. U Um die Bewegung der d Rußparrtikel zu beschreibe b ktrischen n, ist nebeen der elek K Kraft auch eine Reib bungskraftt zu berück ksichtigen n. 4 d die im m Abgas mitgeführt m artikel einee Reibungse)) Begrünnden Sie, dass en Rußpar kraft inn positive y-Richtun y ng erfahren n, jedoch keine k in xx-Richtung g. 3 kel nach kurzer k Zeitt in negatiiver f)) Erkläreen Sie, dasss sich diee Rußpartik y-Richttung mit einer e konsttanten Geschwindig gkeit vy beewegen. 4 dige Reinigung des A e che g) Berechhnen Sie diie für einee vollständ Abgases erforderlic Mindesstlänge derr Kondenssatorplatteen, wenn v y = −0,666 m/s ist. (Forrtsetzung nächste n Seeite) –5– 2. R Rotierend de Spule im Erdmaagnetfeld d E Eine rechteeckige Spu ule mit N W Windungeen und den n Seitenlänngen a und b ist auf eine Rotationsac R chse monttiert, die in n senkrechhter P Position in eine Bohrrmaschinee eingespan nnt ist. Diee Drehzahhl, mit dder die Spuule im Erdm magnetfelld der Flusssdichte BErde = 49 µ µT rotiiert, beträggt 300 Um mdrehungenn pro Minu ute. Für deen magnettiscchen Flusss durch diee Spule gillt Φ(t) a (ωt), wobeei 1·cos( = a·b·B ω ddie Winkelgeschwind digkeit unnd B1 einee Komponeente von B Erde siind. 5 n Feldlinieen treten unter u einem m Winkel von 66° gegenüber g a)) Die maagnetischen der Horrizontalen in den Erd rdboden ein. Beschri zunächst diie entspre- iften Sie zu chendenn Pfeile in n obiger A Abbildung mit m BErde und B1 ssowie B2 , der anderren Kompoonente von n BErde . B Berechnen Sie dann B1. [zur K Kontrolle: B1 = 20 µT] µ 7 b) Zeigen Sie, dass für den Sccheitelwerrt U0 der an a den Schhleifringen n messbarren ung Uind(tt) die Beziiehung U0 = N·a·b·B B1·ω gilt. Zeichnen Z S Sie Induktiionsspannu unter der Annahm me, dass ddieser Scheitelwert 1,0 mV beeträgt, den n zeitlichenn Verlauff von Uind(t) ( für t = 0 bis t = 0,40 0 s. 5 olle Wertee für a, b und u N an, so dass deer in Teilaaufgabe 2bb c)) Geben Sie sinnvo gezeichhnete Grap ph von Uinnd(t) tatsäcchlich beobachtet w werden kan nn. 3. K Kapazitiver Beschlleunigunggssensor B Beschleuniigungssensoren werrden z. B. in S Smartphonnes eingeseetzt. Das nnebenstehhende Senssormodell besitzt zw wei kamm mm jeweills drei Steföörmige Elektroden mit gen, die ineeinander greifen, g ohhne sich zu u berühren. Benachbar B rte Stege sstellen im B Bereich, inn dem sie sich s überlaappen, einnen luftgeffüllten Plattenkondeensator derr Kapazitäät C mit Pllattenabstaand d = 1,,0 μ μm dar. Deer untere Kamm K ist am Gehäu use montieert, der obbere an ein ner Platte (IIsolator) der d Masse m. Diese ist über vier Federn n mit dem Gehäuse verbundenn. 5 hand der A Abbildung die Kapazität C sow wie die Gesamtkapaaa)) Schätzeen Sie anh zität dees Sensors als Summ me aller Kapazitäten K n vom Weert C ab. 5 b) Im Labborexperim ment bildett ein Senssor dieser Bauart B gem meinsam mit einer Spule der d Indukttivität L eiinen elektrromagnetiischen Schhwingkreis. Nun wird das Gehhäuse in positive p z-R Richtung beschleun nigt. Erkläären Sie, wie w sich hierdurrch die An nfangsfreqquenz der Schwingu S ung veränddert. 4 gung kannn erst ab einer Mind destauslenkkung des oberen o c)) Eine Beeschleunig Kammss registrierrt werden . Geben Sie zwei Veränderunngen im Seensoraufbau an, um kleinere Beschleun B nigungen als a bislang g messen zzu können n. 60 –6– BE Ph 12 2–1 1. In nterferen nz von Neeutronen am makrroskopischen Dopp pelspalt m Jahr 19994 gelang es den Phhysikern Gähler G und d Zeilingerr, die Interferenz voon Im N Neutronen an einem mit bloßeem Auge erkennbare e en Doppellspalt zu demonstrie d ereen. Der Dooppelspaltt besaß deen Spaltmiittenabstan nd b = 0,1 26 mm. Die D Beobacchtuungsebenee befand siich im Abbstand a = 5,00 m zu ur Doppelsspaltebenee; ein Deteektoor zählte dort d in verschiedeneen Position nen währeend eines bbestimmteen Zeitraum ms ddie jeweils einfallend den Neutrronen. Bei der Detek ktion konnnten nur Auftreffste A elleen unterschieden weerden, derren Abstan nd mindesttens 10 μm m betrug. 6 nerisch, daass bei diesem Expeeriment daas Maximu um 1. Orda)) Zeigen Sie rechn nung niicht vom Maximum M m 0. Ordnu ung hätte unterschie u eden werdeen könnenn, falls Neeutronen der d Geschw windigkeiit 2,7 km/ss verwenddet worden n wären. U Um langsam mere Neu utronen zu erhalten, wurden diese durchh Moderattion in fllüssigem Deuterium D m auf die m mittlere Geeschwindiigkeit 0,800 km/s abg gebremst. 6 b) Betrachhten Sie eiin Neutronn mit Anfa fangsgesch hwindigkeeit 2,7 km//s. Nehmeen Sie an, dass die kinetische k Energie eines e Neuttrons bei j edem Stoß ß mit eineem Deuteriium-Kern um 30 % abnimmt. Berechneen Sie, wiie viele Stöße mindeestens nöötig sind, damit d die N Neutronen ngeschwin ndigkeit unnter 0,80 km/s k liegt. A Aus den moderierten m n Neutroneen wurden n N Neutronen ausgefilteert, deren G Geschwin nddigkeiten inn einer sch hmalen Baandbreite uum 0,21 km m/s lagen. Das Diaggramm zeiigt ddas Interferrenzmusteer bei Verw wendung ddieser Neuttronen. 7 d Diagrramm den c)) Entnehhmen Sie dem Abstannd der Max xima dritteer Ordnun ng. Bestätiggen Sie au usgehend hhiervon deen angegebenen Geschwindiggkeitswertt für die ausgefilteerten Neuttronen. 4 dd) Erläuteern Sie ein nen möglicchen Grun nd, weshalb für die M Minima im m Diagram mm eine Neeutronenan nzahl deuttlich über Null vorliiegt. 2. P Potentialtopf und quantenp q physikalissches Mod dell zum Wassersttoffatom B Betrachtet wird zunäächst ein eeindimensiionaler un nendlich hooher Poten ntialtopf der d B Breite . Für F das Inn nere des T Topfes (0 < x < ) isst Epot (x) = 0 festgeelegt. Die 2π 2 W Wellenfunkktion ψ n (x) d x beschreeibt den n--ten Quanttenzustand ( = ⋅ sin λ n (nn = 1, 2, 3,…) einess im Topf gebunden nen Elektro ons. Hierbbei bezeich hnet λn diee W Wellenlängge des Eleektrons. (Forttsetzung nächste n Seeite) –7– 4 wischen λn a)) Leiten Sie aus deer Randbedingung ψn ( ) = 0 eine Beziiehung zw und her. (Hinw weis: sin(nn·π) = 0) 6 b) Beschreiben Sie die quanteenphysikaalische Bedeutung ddes Terms |ψn(x)|2. R g den Wertt des Integ grals Geben Sie ohne Rechnung ψ n (x) 2 dx an a und 0 begründen Sie diiesen Werrt. 11 d der G Grundzustaand des Po otentialtoppfs den En nergiewertt c)) Nehmeen Sie an, dass E1 = 1,00 eV besittzt. Stellenn Sie die Energieniv E veaus E1 bbis E4 des Potentialtopfs zeeichneriscch dar. Zeiichnen Siee ebenfallss die vier nniedrigsten Stufen eie nes Eneergieniveaauschemass zum Waasserstoffatom. Verggleichen Sie S beide Schemaata im Hin nblick auff das Verhalten der Differenz D En+1 – En bei zunehhmenderr Quantenzahl n. 4 dd) Es werdden nun raadialsymm metrische Zustände Z des d Wasseerstoffatom ms und zu-gehörigge Wellenffunktionenn in ihrer radialen r Abhängigk A keit betrach htet. Wähllen Sie unter den Diaagrammenn A bis D den d skizziierten Grapphen der Wellenfun W nktion zu n = 2 sow wie den zu n = 3 aus und begrü ünden Sie Ihre Entscheidung. 3. N Neudatierrung des Pekingme P enschen A Archäologeen fanden in einer H Höhle in der d Nähe von v Pekingg das Stein nwerkzeugg eiines Urmeenschen. Eine E Unterrsuchung dieses d Weerkzeugs m mit der Aluminium-B Beryllium--Methode ergab, dasss der Pek kingmensch vor wessentlich län ngerer Zeiit gelebt habeen muss alls die bis ddahin angenommen nen halbe M Million Jaahre. An der O Oberflächee von Stein nen entstehen durch h die kosm mische Straahlung stäändig neuee 26 K Kerne der radioaktiv r ven Isotopee Al (Haalbwertszeeit T1/2, Al = 7,17 · 10 05 a) und 100 6 Be (T1/2, Be ei anhalten nder Bestrrahlung steellt sich eiin konstannB = 1,51 · 10 a). Be N (t) tees Verhälttnis k(t) = Al dder Anzah hl der Kern ne beider IIsotope ein n. Für die N Be (t) U Umgebungg der Höhlle geht maan davon aus, a dass zu z Lebzeitten des Pek kingmenscchen (t = 0) 0 das Verrhältnis 6,9 betrug. Bei der Untersuchuung (t = tH) erhieltenn ddie Archäoologen für das gefunndene Steinwerkzeu ug das Verrhältnis k(ttH) = 4,72. 5 ung abgea)) Das Steeinwerkzeeug war inn der Höhle von der kosmischhen Strahlu schirmtt. Erklären n Sie, waruum dies fü ür die Anw wendung oobiger Meethode wesentlichh ist und weshalb w deer Wert vo on k(t) abg genommenn hat. 7 b) Leiten Sie die Beeziehung kk(t) = k(00) ⋅ e( λ Be −λλ Al )⋅t her uund berechnen Sie mit dieser das Allter tH des Steinwerk kzeugs. 60 –8– Ph 12 – 2 BE 1. Photoeffekt An einer Universität findet am Tag der offenen Tür ein Experimentalvortrag zum Photoeffekt statt. Die Besucher erhalten ein Handout, auf dem folgende Daten zum Versuchsmaterial notiert sind: drei Laser gleicher Strahlungsleistung mit den Wellenlängen 670 nm, 532 nm und 405 nm, drei Photozellen mit Beschriftungen „Cs: W = 2,14 eV“, „Cu: W = 4,48 eV“ und „Pt: W = 5,32 eV“. 4 a) Die Referentin stellt zu Beginn die Frage: „Welchen Laser und welche Photozelle würden Sie aus unserem Versuchsmaterial wählen, damit die Versuchsbedingungen für ein Einsetzen des Photoeffekts am günstigsten sind?“ Beantworten Sie die Frage und begründen Sie Ihre Antwort kurz, ohne eine Rechnung durchzuführen. Die Referentin verwendet die Cs-Photozelle im Versuchsaufbau. 7 b) Ein Besucher meldet sich zu Wort: „Rufen alle drei Laser bei der Cs-Photozelle einen Photoeffekt hervor?“ Referentin: „Nein, einer der Laser ist hierfür ungeeignet.“ Der Besucher erwidert: „Aber Sie könnten doch mehrere Exemplare dieses Lasers verwenden und damit die Strahlungsleistung ausreichend erhöhen.“ Bestätigen Sie rechnerisch die Antwort der Referentin und erläutern Sie, dass auch dann kein Photoeffekt eintritt, wenn der Vorschlag des Besuchers umgesetzt wird. Zur Messung des maximalen Photostroms legt die Referentin eine ausreichend große Gleichspannung an die Cs-Photozelle an. Sie demonstriert, dass zwei der drei Laser in etwa den gleichen maximalen Photostrom erzeugen. 4 c) Fertigen Sie eine Skizze des Versuchsaufbaus an. 5 d) Tritt der Photoeffekt ein, so lösen nicht unbedingt alle Photonen Elektronen aus. Die Referentin fragt: „Bei welchem Laser – dem kurzwelligeren oder langwelligeren – ist der Anteil der Photonen, die Elektronen aus der CsKathode auslösen, größer?“ Beantworten Sie diese Frage mit Begründung. 2. Radioisotop mit Halo-Neutron (Universität Mainz, 2008) Im Jahre 2008 konnte experimentell gezeigt werden, dass eines der Neutronen im Beryllium-Kern 11Be einen ungewöhnlich großen mittleren Abstand von den restlichen Nukleonen besitzt. Der mittlere Abstand rH des sogenannten HaloNeutrons zum kompakten 10Be-Rumpfkern beträgt 7 Femtometer. 3 a) Berechnen Sie mithilfe der Näherungsformel aus der Formelsammlung den Radius rK des 10Be-Rumpfkerns und vergleichen Sie rK mit dem Abstand rH. 6 b) 11 Be zerfällt in der Regel über einen β−-Zerfall. Geben Sie die zugehörige Zerfallsgleichung an und beschreiben Sie den β−-Zerfall im Quark-Modell. (Fortsetzung nächste Seite) –9– 8 c) Vergleichen Sie die starke Kraft mit der Coulomb-Kraft bezüglich dreier grundlegender Eigenschaften. Erklären Sie ausgehend hiervon, weshalb Kerne mit einem Halo-Neutron ungewöhnlich sind. Begründen Sie ferner, dass ein Halo-Proton bei gleichem mittleren Abstand zum Rumpfkern noch schwächer an diesen gebunden sein müsste. 3. Technetium-99 in der Strahlendiagnostik Ein Herstellungsprozess von Technetium-99, einem der bedeutendsten Radiopharmaka, beginnt mit dem Beschuss eines 235U-Kerns mit einem Neutron. Bei einer Spaltung wird neben 135Sn auch 99Mo erzeugt. Gegebene Atommassen: m(135Sn) = 134,93473 u; m(99Mo) = 98,90771 u 6 a) Stellen Sie die Reaktionsgleichung der beschriebenen Kernspaltung auf. Berechnen Sie die bei dieser Spaltung frei werdende Energie Q. Das extrahierte 99Mo zerfällt in das Technetium-Isotop 99mTc (der Buchstabe m kennzeichnet einen angeregten Zustand des Kerns mit vergleichsweise großer Lebensdauer). Nach Kopplung von 99mTc-Atomen an organische Moleküle und intravenöser Injektion werden diese über den Blutkreislauf ins Gehirn transportiert. 99mTc emittiert beim Übergang in den stabilen Grundzustand γ-Strahlung der Energie 141 keV. Der Radiologe kann diese γ-Strahlung registrieren und Rückschlüsse auf die Durchblutung des Gehirns ziehen. 4 b) Nach 2,0 Stunden sind von den zu Beginn vorhandenen 99mTc-Kernen 20,6 % in den Grundzustand übergegangen. Berechnen Sie die Halbwertszeit von 99mTc mithilfe des Zerfallsgesetzes. [zur Kontrolle: T1/2 = 6,0 h] Technetium wird über die Nieren rasch wieder ausgeschieden. Nach einer biologischen Halbwertszeit von 4,0 Stunden hat die Hälfte des aufgenommenen 99m Tc den Körper wieder verlassen. 5 c) Berechnen Sie den Anteil an 99mTc-Kernen, der im Körper 12,0 Stunden nach der Injektion noch vorliegt. Hierbei kann modellhaft angenommen werden, dass radioaktiver Zerfall und biologische Ausscheidung von 99mTc nicht gleichzeitig ablaufen, sondern nacheinander für jeweils 12,0 Stunden. Einem Patienten der Masse 80 kg werden für eine Untersuchung 2,56 Nanogramm 99mTc (Atommasse m(99mTc) = 98,90625 u) verabreicht. 4 d) Zeigen Sie, dass die Anfangsaktivität 5,0 · 108 Bq beträgt. 4 e) Der Patient berechnet die Äquivalentdosis H, die er innerhalb von 12,0 Stunden nach der Injektion aufnimmt, wie folgt: E 141 keV ⋅ 5,0 ⋅ 108 Bq ⋅ 12,0 ⋅ 3600 s H = q ⋅ D = 1⋅ = = 6,1 mSv . m 80 kg 60 Erläutern Sie anhand von zwei Werten in der Rechnung, dass der tatsächliche Wert für die Äquivalentdosis kleiner ist. – 10 – BE Ph 112 – Astrrophysik k1 1. D Das Sternbild Centtaurus E Eines der auffälligste a en Sternbiilder des Südhimme S els ist Cenntaurus. In diesem isst α Centauri der hellste Stern. E Er besitzt die d scheinb bare Helliggkeit m = − 0,27 unnd hhat die Enttfernung 4,34 Lj. Seeine Eigen nbewegung g µ beträggt 1° pro Jaahrtausendd. 4 hilfe der Definition D dder absolu uten Helligga)) Begrünnden Sie ohne Rechnnung mith keit, waarum für α Centaurii die absollute Hellig gkeit einenn größeren n Wert alss die scheinbare Helligkeit H hhat. 5 b) Berechhnen Sie diie Leuchtkkraft von α Centaurii in Vielfaachen der Sonnenleuchtkkraft. 4 mmen Sie die d Parallaaxe p von α Centaurri und verggleichen Sie S diese mit m c)) Bestim seiner Eigenbew E egung µ. 7 dd) Erläuteern Sie zun nächst allggemein, wie w sich diee parallakttische Bew wegung unnd die Eiggenbewegu ung eines Sterns untterscheideen. Begrünnden Sie dann, d weshalbb α Centau uri, geradee wegen seiner s groß ßen Eigenb nbewegung g, einer deer ersten Sterne S warr, bei dem m eine Paraallaxenbesstimmung versucht wurde. m Sternbilld Centaurrus befinddet sich au uch das neb belhafte O Objekt ω Centauri, C d das Im dder größte Kugelsterrnhaufen dder Milchsstraße ist. ω Centaurri besitzt ein e Alter von v uungefähr 122 Milliard den Jahrenn. 5 ne schemattische Seittenansichtt der Milchhstraße un nd geben Sie S e)) Zeichneen Sie ein die Gröößenordnu ungen der wichtigsteen Distanzzen an. Trragen Sie auch a den Bereichh der Kugeelsternhauufen ein. 4 Hubble-K Konstantenn ab f)) Schätzeen Sie dass Alter tH ddes Univerrsums mitthilfe der H und beuurteilen Siie kurz daas Alter dees Kugelsternhaufenns ω Centaauri im Vergleiich zu tH. E Ein weiterees nebelhaaftes Objekkt im Sterrnbild Centauurus ist diee Galaxie Centaurus A. U Um das Zeentrum dieeser Galaxxie rotiert W Wasserstofff. Bei einer spektrooskopischeen U Untersuchuung des In nnenbereicchs der Gaalaaxie konntte die Rad dialgeschw windigkeit v ddieses Gasees, mit derr es sich aaus unsererr S Sicht entferrnt, für veerschiedenne Winkelaabsttände d zuum galaktiischen Zenntrum (d = 0) bestimmt werden. w Im m nebensteehenden DiaD gramm wirrd die Abh hängigkeitt von v und d graphisch dargestellt d t. (Fortssetzung näächste Seite) – 11 – 5 g) Die Laborwellenlänge der verwendeten Wasserstofflinie beträgt 1281,4 nm. Diese Linie ist im untersuchten Spektrum abhängig vom Winkelabstand d verschoben. Berechnen Sie die Differenz der registrierten maximalen und minimalen Wellenlänge. Die Entfernung der Galaxie Centaurus A beträgt 1,2 · 107 Lj. 5 h) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit, mit der sich Centaurus A von uns entfernt, nicht allein auf der Expansion des Universums beruht. Erläutern Sie hierfür einen möglichen Grund. 4 i) Beschreiben Sie eine Methode, mit der die Entfernung von Centaurus A bestimmt werden kann. 2. Die Sonne als Hauptreihenstern und als Roter Riese Derzeit ist die Sonne ein Hauptreihenstern, der durch Fusion von Wasserstoff Energie freisetzt. Das Hauptreihenstadium der Sonne dauert so lange an, bis die Masse des Wasserstoffs, der bereits fusioniert ist, einen Wert erreicht hat, der 7,5 % der aktuellen Masse der Sonne entspricht. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Sonne aufgrund der Fusion von einem Kilogramm Wasserstoff die Energie 6,3 · 1014 J abstrahlt. 6 a) Berechnen Sie mithilfe der gegebenen Daten den Massenverlust der Sonne während ihres Hauptreihenstadiums und vergleichen Sie diesen mit der derzeitigen Masse der Sonne. In Milliarden von Jahren wird sich die Sonne zu einem Roten Riesen entwickeln. Modellrechnungen zufolge wird die Erde dann die Sonne in einem mittleren Abstand von 1,5 AE mit einer Umlaufzeit von 2,2 Jahren umrunden. Gehen Sie im Weiteren davon aus, dass die Leuchtkraft der Sonne im RotenRiesen-Stadium das 2,3 · 103-Fache ihrer heutigen Leuchtkraft betragen wird. 5 b) Vergleichen Sie zunächst die obigen Daten zur zukünftigen Erde mit den aktuellen Daten des Mars. Berechnen Sie dann die Masse der Sonne im Roten-Riesen-Stadium in Vielfachen ihrer aktuellen Masse. 6 c) Im Roten-Riesen-Stadium der Sonne wird die Erde ihre Atmosphäre weitestgehend verloren haben. Schätzen Sie für die zukünftige Erde die mittlere Oberflächentemperatur ab. Nehmen Sie hierbei an, dass die zukünftige Erde 75 % der einfallenden Sonnenstrahlung absorbieren, mit ihrer gesamten Oberfläche gleichmäßig abstrahlen und sich im Strahlungsgleichgewicht befinden wird. 60 – 12 – BE Ph 112 – Astrrophysik k2 1. S Sterne im Zentralb bereich deer Galaxiis m Zentrum m der Galaaxis befinddet sich 2,,77 · 104 Lj L von Im uuns entfernnt ein Schw warzes Looch. Seit 1992 werdeen B Bahnen vonn Sternen um das S chwarze Loch L verm messeen. Nebennstehend siind die ellliptischen Bahnen der d S Sterne S12 und S14 maßstabsggetreu abg gebildet. Die D D Darstellungg ist so gewählt, dasss die beid den Bahneebenen m mit der Zeiicheneben ne übereinsstimmen. D Der Stern S14 S benötigt 47,3 Jaahre für eiinen Umlaauf. D Die numeriische Exzeentrizität sseiner Bah hn beträgt 0,96, ddie große Halbachse H der Bahnn aS14 = 2,1 1 · 103 AE. S12 S114 0,20′′ Schwarzes Loch 4 w beei Wellenlängen im Infrarotbeereich durrchgeführt. a)) Die Meessungen werden Geben Sie eine Wellenläng W ge aus dieesem Bereich an undd begründ den Sie kurrz, weshalbb für diesee Messunggen sichtb bares Lichtt nicht verrwendet werden w kannn. 8 b) Bestätiggen Sie un nter Verw wendung ob biger Abb bildung näh äherungsw weise den Wert füür die groß ße Halbachhse der S1 14-Bahn und u schätzzen Sie ebeenfalls miithilfe deer Abbildu ung das Veerhältnis der d Umlau ufzeiten voon S12 un nd S14 ab. 7 unächst diie Masse M des Sch hwarzen L Lochs in Vielfachen V c)) Berechhnen Sie zu der Sonnnenmassee und dannn mithilfe gegebeneer Bahndat aten von S14 dessen kleinsteen Abstan nd rmin vom m Schwarzzen Loch. [zur Kontrolle: K M = 4,1 · 106 M⨀ , rmin = 84 AE] A U Umläuft einn Körper auf einer eelliptischeen Bahn mit m großer Halbachsee a und nnumerischeer Exzentrrizität ε einnen Zentralkörper der d Masse M, so hatt er am Orrt m Zentrallkörper diee größte B ddes kleinsteen Abstan nds rmin vom Bahngesch hwindigkeiit G GM v max = (1+ ε ) . rm min 4 dd) Die starrk exzentrrische Bahhn von S14 erinnert an die Baahnen von n Kometenn in unserem m Sonnensystem. W Wählen Siee selbst ein nen Periheelabstand, den typischerw weise ein Komet K besiitzt, und vergleichen v n Sie dannn den Sterrn S14 mitt dem anngenommeenen Kom meten bezü üglich der Geschwin G ndigkeit vmax m . Argum mentieren Sie S dazu m mit der obeen gegeben nen Formeel. 2. M Mira - „diie Wundeersame“ M Mira im Stternbild Walfisch W errhielt ihren n Namen aufgrund a iihrer perio odischen H Helligkeitssschwanku ungen. Diee scheinbaare Helligk keit des „w wundersam men“ Sternns scchwankt im m sichtbarren Spektrralbereich h innerhalb b von 11 M Monaten zwischen z * 2 und 10, die d relativee Leuchtkrraft L = L/L L ⨀ insgesamt zwiischen 840 00 und 9400. Die mittlere m Oberflächen O ntemperattur von Mira beträgtt 3,00 · 10 03 K. (Forttsetzung nächste n Seiite) – 13 – 5 H quator. Beggründen Sie, S dass a)) Der Steern liegt ettwa 3° untter dem Himmelsäq zum Zeeitpunkt eiiner Kulm mination am m klaren Nachthimm N mel von München M (geograaphische Breite B 48°)) eine Beo obachtung g von Miraa möglich ist und weshalbb hierzu unter u Umsttänden ein n Teleskop p eingesettzt werden n muss. 7 b) Berechhnen Sie au usgehend von der mittleren m Oberfläche O entemperatur von Mira M * 3 ihren Radius R bei einer relaativen Leu uchtkraft L = 9,00 · 10 und die d Wellennlänge des d Strahlu ungsmaxim mums. Begründen Sie, S dass ees sich bei Mira um einen Roten R Riessen handellt. 7 d nebensstehende Hertzsprun H ngc)) Übertraagen Sie das Russelll-Diagram mm (HRD)) vergrößeert auf Ihr Blatt, ergänzen e Sie S die fehhlenden Sp pektralklasssen und tragen Sie diie Sonne eein. Zeichn nen Sie au uch Miras Position P während w dees Hauptreeihenstadiums sowie ihren i Entw wicklungsw weg vom Hauptreihensterrn zum Ro oten Riesenn in das HRD H ein, wenn w Mira alls Hauptreeihenstern die Massee 5,0 M⨀ besaß. 7 dd) Mira unnterliegt als a „Pulsattionsverän nderliche“ Schwannkungen des d Radiuss. Erklären n Sie zunäächst anhandd einer geeeigneten F ormel, wie es sein kann, k dass diee Leuchtk kraft L vonn Mira trottz abnehm mendem Raadius R steeigt und trrotz zuneh hmendem Radius R sinkt. Stelllen Sie daann die Scchwankungen der Zusstandsgröß ßen von M Mira im nebenstehen nden Ausschhnitt des HRD H als Sttrecke näh herungsweeise dar. 5 Spek ktralklasse vo on Mira B dden Weißeen Zwerg Mira B. F Formuliereen Sie einee e)) Mira beesitzt als Begleiter Bedinggung dafürr, dass es iim Mira-S System zu einer Suppernova vo om Typ Iaa kommeen wird. Begründen B Sie, dass der Hauptstern Mirra am End de seiner Entwicklung nich ht zur Suppernova wird. w M Mira bewegt sich in der Galaxxis mit hoh her Gescchwindigkkeit durch den dünnn mit atom marem Wassseerstoff geffüllten Rau um. Eine weitere Besonderheeit ddes Sterns ist, dass im m UV-Berreich eine „Bugwellle“ soowie ein Schweif S beeobachtet werden kann. k 1 3 f)) Für diee Energien niveaus des Wassersstoffatomss gilt: E n = − 13,6 eV V⋅ 3 b ung zur En ntstehung der Strah hlung in deer g) Stellen Sie eine begründet e Vermutu „Bugw welle“ auf. 60 n2 (n = 1, 2, 3,…). Zeigen Z Siee, dass ato omarer Waasserstoff UV-Lichtt abstrahleen kann. Berücksich B htigen Sie hierzu, daass Photon nenenergieen zwisch hen 3,26 eV V und 12,,4 eV im UV-Bereic U ch liegen.
