7, da die Hauptträgheitsmomente natürlich zeitun

214
5 Die Bewegungsgleichungen starrer Körper
an (keine Summation über i)7 , da die Hauptträgheitsmomente natürlich zeitunabhängig sind. Ausgeschrieben lauten die drei Gleichungen
.
I1 ω 1 − ω2 ω3 (I2 − I3 ) = N1 ,
.
I2 ω 2 − ω3 ω1 (I3 − I1 ) = N2 ,
.
I3 ω 3 − ω1 ω2 (I1 − I2 ) = N3 .
(5.390 )
Die Gln. (5.39) oder (5.390 ) sind die Eulerschen Bewegungsgleichungen für die Drehung eines starren Körpers um einen festgehaltenen Punkt. Sie können auch aus den
Lagrangeschen Gleichungen in der Form Gl. (1.53) hergeleitet werden, wobei die verallgemeinerten Kräfte Qj die Drehmomente Nj entsprechend den Eulerschen Winkeln
sind. Allerdings liegt nur für einen Euler-Winkel das zugehörige Drehmoment entlang
einer Achse des körperfesten Koordinatensystems, sodass die beiden verbleibenden
Eulerschen Gleichungen durch zyklische Vertauschung der Indices erhalten werden
müssen (vgl. Aufgabe 4).
Wir wollen kurz den Fall I1 = I2 6= I3 betrachten. Ein Drehmoment mit den Komponenten N1 oder N2 wird sowohl ω1 als auch ω2 verändern, aber ω3 unverändert lassen. Wir werden auf diesen Punkt in Abschnitt 5.7 zurück kommen, wenn wir einen
schweren symmetrischen Kreisel betrachten, von dem ein Punkt festgehalten wird.
Zuerst wollen wir jedoch die Bewegung eines starren Körpers in Abwesenheit von
Drehmomenten betrachten.
5.6
Die Bewegung starrer Körper in Abwesenheit von Drehmomenten
Eine Aufgabenstellung in der Dynamik starrer Körper, auf die die Eulerschen Gleichungen anwendbar sind, ist die Bewegung eines starren Körpers in Abwesenheit
äußerer Kräften oder Drehmomente. Der Schwerpunkt ist dann entweder in Ruhe oder
bewegt sich gleichförmig, und es bedeutet dann keine Einschränkung der Allgemeinheit, wenn wir die Rotationsbewegung in einem Koordinatensystem diskutieren, in
dem der Schwerpunkt ruht. Der Drehimpuls entsteht dann nur aufgrund der Rotation
um den Schwerpunkt, und die Eulerschen Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen für das komplette System. In Abwesenheit äußerer Drehmomente reduzieren sich
diese auf
.
I1 ω 1 = ω2 ω3 (I2 − I3 ) ,
.
I2 ω 2 = ω3 ω1 (I3 − I1 ) ,
.
I3 ω 3 = ω1 ω2 (I1 − I2 ) .
(5.40)
Dieselben Gleichungen beschreiben natürlich auch die Bewegung eines starren
Körpers, wenn ein Punkt festgehalten wird und keine äußeren Drehmomente wirken.
7) Es dürfte offensichtlich sein, dass Gl. (5.39) die i-te Komponente einer
Vektorgleichung beschreibt und daher keine Summation über i erfolgen
darf, obwohl die Summation über die wiederholten Indices j und k wie
üblich impliziert ist.
5.6 Die Bewegung starrer Körper in Abwesenheit von Drehmomenten
Wir können sofort zwei Integrale der Bewegung angeben, denn sowohl die kinetische
Energie als auch der Gesamtdrehimpuls müssen zeitlich konstant sein. Mit diesen zwei
Integralen können wir Gl. (5.40) mithilfe elliptischer Funktionen vollständig integrieren; dieses Verfahren hilft unserem Verständnis aber nicht weiter. Interessanter ist eine
elegante geometrische Beschreibung der Bewegung, die als Poinsotsche Konstruktion
bekannt ist und für die keine vollständige Lösung des Problems erforderlich ist.
Dazu betrachten wir ein Koordinatensystem, das entlang der Hauptachsen des
Körpers orientiert ist, dessen Achsen jedoch proportional zu den Komponenten des
in Gl. (5.33) definierten Vektors ρ um die momentane Drehachse sind. Es ist hierzu
praktisch, Gl. (5.17) für die kinetische Energie zu verwenden (die hier konstant ist)
und die Definition von ρ in der Form
ρ=
ω
ω
√ =√
ω I
2T
(5.41)
zu schreiben.
In diesem ρ -Raum definieren wir eine Funktion
F (ρ) = ρ . I . ρ = ρ2i Ii ,
(5.42)
sodass die Flächen mit konstantem F Ellipsoide sind und speziell die Fläche F = 1
das Trägheitsellipsoid beschreibt. Wenn sich die Richtung der Drehachse im Lauf der
Zeit ändert, bewegt sich auch der zu ihr parallele Vektor ρ entsprechend, wobei seine
Spitze stets auf dem Trägheitsellipsoid bleibt. Der Gradient von F an diesem Punkt
liefert die Richtung der Normalen des Trägheitsellipsoids. Aus Gl. (5.42) für F (ρ)
wissen wir, dass der Gradient von F bezüglich ρ die Form
2I . ω
∇ρ F = 2I . ρ = √
2T
oder
r
∇ρ F =
2
L
T
(5.43)
besitzt. Demnach bewegt sich der Vektor ω immer so, dass die Normale des
Trägheitsellipsoids in Richtung des Drehimpulses zeigt. In dem speziellen hier betrachteten Fall ist die Richtung von L im Raum konstant, folglich muss sich das
Trägheitsellipsoid (das relativ zum Körper ruht) im Raum bewegen, damit die Beziehung zwischen ω und L erfüllt ist (vgl. Abb. 5.4).
Wir können auch zeigen, dass der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Ellipsoids und der Tangentialebene im Punkt ρ ebenfalls konstant sein muss. Dieser Abstand
ist gleich der Projektion von ρ auf L , die durch
ρ .L
ω .L
= √
L
L 2T
215