Der Satz von Tychonoff B. Hewer Definition 1. Es sei {Mi }i∈I eine Familie von nichtleeren Mengen. Das kartesische Produkt der Mengen Mi ist definiert durch ( ) Y [ Mi := f : I → Mi : f (i) ∈ Mi . i∈I i∈I Bemerkung 2. Das Auswahlaxiom besagt, dass das kartesische Produkt nichtleer ist. Definition 3. Es sei {Xi }i∈I eine Familie topologischer Räume. Die Initialtopologie bezüglich der Koordinatenprojektionen heißt Produkttopologie. Lemma 4. Ein topologischer Raum (K, τ ) ist genau dann kompakt, falls für jede Familie {Fi }i∈I abgeschlossener Mengen mit nichtleerem endlichen Durchschnitt \ Fi 6= ∅ i∈I gilt. nichtleerer kompakter topologiSatz 5 (Satz von Tychonoff). Es sei {Xi }i∈I eine Familie Q scher Räume. Dann ist auch das kartesische Produkt X = i∈I Xi kompakt bezüglich der Produkttopologie. Beweis. Es sei F0 ⊂ P(X) ein System abgeschlossener Mengen mit nichtleerem endlichen Durchschnitt. Es reicht zu zeigen \ F 6= ∅. F ∈F0 Es sei M := {F ⊂ P(X) : F hat nichtleeren endlichen Durchschnitt und F0 ⊂ F} . Wir versehen M mit der Ordnungsrelation F ≤ G, falls F ⊂ G. 1 Nun sei K ⊂ M eine Kette. Wir zeigen: Die Menge [ C= F F ∈K ist ein Element von M . Für Elemente F1 , . . . , Fn von K existieren Fi ∈ K mit Fi ∈ Fi für alle i ∈ {1, . . . , n}. Weil K eine Kette ist, existiert also F ∈ {F1 , . . . , Fn } mit Fi ⊂ F für alle i ∈ {1, . . . , n}. Es gilt also F1 , . . . , Fn ∈ F. Somit hat K eine obere Schranke und aus dem Lemma von Zorn folgt die Existenz eines maximalen Systems F ⊃ F0 mit nichtleeren endlichen Durchschnitt. Es sei F nun ein solches maximales System. Wir erhalten für M ⊂ X mit M ∩ F 6= ∅ für alle F ∈ F, dass F ∪ {M } = F, da F ∪ {M } nichtleeren endlichen Durchschnitt hat und F maximal ist. Nun zeigen wir \ F̄ 6= ∅. F ∈F Aus F1 ∩ · · · ∩ Fn 6= ∅ folgt πi (F1 ∩ · · · ∩ Fn ) 6= ∅ für alle i ∈ {1, . . . , n}. Aus der Kompaktheit von Xi folgt die Existenz von xi ∈ Xi mit xi ∈ \ π(F ). F ∈F Es seien x = {xi }i∈I und U eine Umgebung von x. Nach Definition der Produkttopologie enthält U eine Menge n \ B= Si i=1 mit Si = Q j∈I Uj , wobei ( Xj Uj = Vi ,j = 6 i ,j = i wobei Vi eine offene Umgebung von xi sei. Per Konstruktion gilt somit für alle F ∈ F πi (F ) ∩ Vi 6= ∅. Dies impliziert B ∈ F und U ∩ F 6= ∅ für alle F ∈ F und Umgebungen von x. Also gilt \ x∈ F̄ . F ∈F 2 Lemma 6. Es sei S eine nichtleere Menge und τ = {U ⊂ S : |S \ U | < ∞} ∪ {∅}. Dann ist(S, τ ) ein kompakter topologischer Raum. Beweis. Es sei {Ui }i∈I eine offene Überdeckung von S. Dann existiert ein i∗ ∈ I so, dass Ui∗ nichtleer ist. Dann gilt S \ Ui∗ = {a1 , . . . , an }. Für j ∈ {1, . . . , n} existieren nun Uj mit aj ∈ Uj , sodass S= n [ Uj ∪ Ui∗ . j=1 Lemma 7. Das Auswahlaxiom ist äquivalent zu dem Satz von Tychonoff. Beweis. Gegeben sei die Richtigkeit von Satz 5. . Es sei {Mi }i∈I eine Familie von nichtleeren Mengen und d ∈ / Mi für alle i ∈ I. Dann ist (Mi ∪ {d}, τi ) ein kompakter topologischer Raum, wobei τi = {U ⊂ Mi ∪ {d} : |Mi ∪ {d} \ U | < ∞} ∪ {{d}, ∅}. Aus dem Satz von Tychonoff folgt nun, dass Y X= Mi ∪ {d} i∈I kompakt ist. Wir betrachten nun das System F = πi−1 (Mi ) : i ∈ I . Per Definition der Produkttoplogie sind die Koordinatenprojektionen πi stetig für alle i ∈ I. Insbesondere sind also alle Elemente von F abgeschlossen. Es seien F1 , . . . , Fn ∈ F mit F1 = πi−1 (Mi1 ), . . . , Fn = πi−1 (Min ). n 1 Da Sik nichtleer ist, existieren mk ∈ Mik für alle k ∈ {1, . . . , n}. Nun definieren wir ( mk , β = ik , x(β) = d, sonst. 3 Da x ∈ F1 ∩ · · · ∩ Fn hat F also nichtleeren endlichen Durchschnitt. Da X kompakt ist existiert y mit \ \ Y y∈ F = πi−1 (Mi ) = Mi . F ∈F i∈I i∈I 4