10 Operationen einer Gruppe auf einer Menge

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Operationen einer Gruppe auf einer Menge
Definition 10.1. Sei G eine Gruppe, X eine nichtleere Menge. Eine Operation
von G auf X ist eine Abbildung ϕ : G × X → X für die gilt:
(OP1) ϕ(e, a) = a ∀a ∈ X;
(OP2) ϕ(gh, a) = ϕ(g, ϕ(h, a)) ∀a ∈ X und ∀g, h ∈ G.
Bemerkung. Statt ϕ(g, a) schreiben wir oft g(a), g operiert also wie eine Abbildung X → X : a 7→ g(a). (OP1) wird dann zu e(a) = a, d.h. die “Abbildung”
e wirkt hier wie die Identität. (OP2) wird zu (gh)(a) = g(h(a)), also gh wirkt
wie die Hintereinanderausführung der “Abbildungen” g und h.
Definition und Lemma 10.2. Die Gruppe G operiere auf der nichtleeren Menge
X.
(i) a ∈ X heißt Fixpunkt dieser Operation falls g(a) = a ∀g ∈ G. Die Menge
der Fixpunkte bezeichnet man wie folgt:
X G := {a ∈ X | x ist Fixpunkt}
(ii) Der Stabilisator von a ∈ X ist definiert als
Ga := {g ∈ G | g(a) = a} .
Es gilt Ga ≤ G.
(iii) Die Bahn von a ∈ X ist definiert als
BahnG (a) = {g(a) | g ∈ G} .
Definition und Lemma 10.3. Die Gruppe G operiere auf der nichtleeren Menge
X. Auf X definiert man die Relation x ∼G y falls ∃g ∈ G mit y = g(x). “∼G ”
ist eine Äquivalenzrelation, und die Äquivalenzklassen sind genau die Bahnen.
Sei xi , i ∈ I ein Repräsentantensystem aller verschiedenen Bahnen (wobei I eine
geeignete Indexmenge sei). Dann gilt
X=
•
[
BahnG (xi ) ,
i∈I
d.h. X ist disjunkte Vereinigung aller verschiedenen Bahnen.
Man nennt die Operation von G auf X transitiv falls es nur eine Bahn gibt:
X = BahnG (a) ∀a ∈ G.
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Beispiel. (1) Sn operiert auf N = {1, . . . , n} in der üblichen Weise. Sei nun
n ≥ 2. Dann gilt ∀m ∈ N : (Sn )m ∼
= Sn−1 (Permutationen der n − 1 Elemente
N \ {m}), und BahnSn (m) = N , die Operation ist also transitiv und N Sn = ∅.
(2) G operiert auf X = G mittels Translation: g(a) = ga ∀g, a ∈ G.
• ∀a ∈ G: Ga = {g ∈ G | g(a) = ga = a} = {e};
• ∀a ∈ G: BahnG (a) = Ga = G, die Operation ist also transitiv;
• Falls G 6= {e}: GG = ∅. Falls G = {e}: GG = G = {e}.
(3) G operiert auf G mittels Konjugation: g(a) = gag −1 ∀g, a ∈ G.
• ∀a ∈ G: Ga = ZG (a);
• ∀a ∈ G: BahnG (a) = KonjG (a);
• GG = Z(G).
(4) G operiert auf der Menge der Untergruppen X := {H | H ≤ G} mittels
Konjugation: g(H) = gHg −1 .
• ∀H ≤ G: GH = NG (H);
• ∀H ≤ G: BahnG (H) = KonjG (H) (die zu H konjugierten Untergruppen);
• X G = {H | H ≤ G, gHg −1 = H ∀g ∈ G} = {H | H E G}, die Menge
der Normalteiler von G.
(5) Die triviale Operation von G auf einer nichtleeren Menge X: g(a) = a
∀g ∈ G, ∀a ∈ X.
• ∀a ∈ X: Ga = G;
• ∀a ∈ X: BahnG (a) = {a};
• X G = X.
Lemma 10.4. Die Gruppe G operiere auf der nichtleeren Menge X. Sei a ∈ X.
Dann existiert eine wohldefinierte bijektive Abbildung G/Ga → BahnG (a) :
gGa 7→ g(a). Insbesondere gilt [G : Ga ] = | BahnG (a)|.
Bemerkung. Da i.A. Ga kein Normalteiler von G ist, ist hier mit G/Ga lediglich
(und wie üblich) die Menge der Linksnebenklassen gemeint, und es ist nicht als
Faktorgruppe zu verstehen.
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Bemerkung 10.5. [G : Ga ] = 1 ⇐⇒ | BahnG (a)| = 1 ⇐⇒ BahnG (a) = {a}
⇐⇒ a ∈ X G .
Satz 10.6 (Bahnformel für Operationen von Gruppen auf Mengen). Die Gruppe
G operiere auf der nichtleeren Menge X. Sei xi , i ∈ I ein Repräsentantensystem
aller verschiedenen Bahnen (wobei I eine geeignete Indexmenge sei). Sei J :=
{i ∈ I | | BahnG (xi )| > 1}. Dann gilt X G = {xi | i ∈ I \ J} und
X
X
X
|X| =
| BahnG (xi )| =
[G : Gxi ] = |X G | +
[G : Gxj ] .
i∈I
i∈I
j∈J
Korollar 10.7. Die Gruppe G operiere auf G mittels Konjugation. Sei xi , i ∈ I
ein Repräsentantensystem aller verschiedenen Konjugationsklassen, und sei J :=
{i ∈ I | | KonjG (xi )| > 1}. Dann gilt
X
|G| = |Z(G)| +
[G : ZG (xj )] .
j∈J
Korollar 10.8 (Satz 9.3). Sei p Primzahl, n ∈ N, n ≥ 2, und sei G eine Gruppe
mit |G| = pn . Dann gilt |Z(G)| = pm mit 1 ≤ m ≤ n (d.h. {e} ( Z(G)).
Insbesondere ist G nicht einfach.
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