Modellierung der Ausbreitung seismischer Wellen und ihre

Bachelorarbeit
am Lehrstuhl für Angewandte Mathematik und Numerik
der Fakultät für Mathematik
an der TU Dortmund
Modellierung der Ausbreitung seismischer Wellen
und ihre Diskretisierung mit Hilfe der
Spektralen Elemente Methode
vorgelegt von
Sarah Rörich
betreut durch
Jun.-Prof. Dr. Dominik Göddeke
August 2012
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
Die Wellengleichung in der Seismologie
2.1 Herleitung der seismischen Wellengleichung
2.2 Besonderheiten der Erde . . . . . . . . . .
2.2.1 Mantel und Kruste . . . . . . . . .
2.2.2 Äußerer Kern . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Innerer Kern . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Ozeane . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Quellterme . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Künstliche Randbedingungen . . . . . . . .
3
1
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Die Spektrale Elemente Methode
3.1 Diskretisierung der Erde . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Transformation der Elemente . . . . . . . . .
3.1.2 Die würfelförmige Sphäre . . . . . . . . . .
3.2 Diskretisierung im Ort . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Diskretisierung der schwachen Formulierung
3.2.2 Gauß-Lobatto-Legendre-Punkte . . . . . . .
3.2.3 Die Diagonalität der Massenmatrix . . . . .
3.2.4 Gemischte Gitter . . . . . . . . . . . . . . .
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4
Diskretisierung in der Zeit
33
5
Fazit
35
Kapitel 1
Einleitung
Die Spektrale Elemente Methode, im Folgenden kurz als SEM bezeichnet, ist ein Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen, welches auf einem Finite Elemente Ansatz basiert. Seit 1984
wird die SEM erfolgreich in der numerischen Strömungsmechanik verwendet und wurde 1992 erstmals
auch für die Untersuchung der Ausbreitung seismischer Wellen vorgeschlagen.
In der Seismologie wird die SEM zur Berechnung künstlicher Seismogramme für dreidimensionale Gebiete eingesetzt. In Seismogrammen werden die Erschütterungen der Erde während eines Erdbebens
grafisch dargestellt. Mit Hilfe künstlicher Seismogramme ist es auf der einen Seite möglich, vorhandene
seismische Daten besser zu verstehen und auszuwerten, um beispielsweise Rückschlüsse auf den Ort und
die Art der Erdbebenquelle ziehen zu können. Auf der anderen Seite ermöglicht dies auch Erdbebenvorhersagen und dient somit zur seismischen Gefahrenanalyse. So können durch Echtzeitsimulationen und
interaktive physikalische Untersuchungen die Einflüsse der Geographie und der unterschiedlichen Erdschichten auf das Verhalten seismischer Wellen untersucht werden. Verschiedene Bestandteile der Erde
haben unterschiedliche Dämpfungs- beziehungsweise Verstärkungseigenschaften. So kommt es vor, dass
in gleicher Entfernung zur Erdbebenquelle unterschiedlich starke Erschütterungen wahrgenommen werden. Eine wichtige Rolle spielt dabei auch die Brechung und Reflexion der seismischen Wellen beim
Übergang in ein anderes Material. Diese Effekte sind unter anderem wichtig, wenn seismische Gefahrenanalysen zum Beispiel zur Bestimmung von Standards zur Gebäudesicherheit genutzt werden.
Zur Konstruktion künstlicher Seismogramme müssen wir die Wellengleichung, welche die Ausbreitung
seismischer Wellen beschreibt, auf einem bestimmten Gebiet lösen. Dieses Gebiet kann sowohl die ganze
Erdkugel sein, als auch nur einen vergleichsweise kleinen Bruchteil des Globus umfassen. Hier sehen wir
sofort eine Herausforderung an das zur numerischen Lösung verwendete Verfahren. Aufgrund des riesigen Gebietes, welches diskretisiert werden muss, und des Anspruchs seismische Wellen möglichst exakt
darzustellen, wird viel Speicherplatz benötigt. Um Echtzeitsimulationen zu ermöglichen, ist es deshalb
unerlässlich, die Rechenlast auf verschiedene Rechner aufzuteilen. Dies bedeutet, dass sich unser Verfahren einfach parallelisieren lassen sollte. Eine weitere Herausforderung stellt die Beschaffenheit der
Erde dar. Dort finden wir sowohl Inhomogenitäten, wenn verschiedene Erdschichten aufeinandertreffen,
als auch dämpfende und anisotrope Materialien.
Vor der Einführung der SEM benutzte man hauptsächlich die Methode der Finiten Differenzen zur Diskretisierung der Wellengleichung. Diese Methode hat jedoch die Nachteile, dass sie geometrisch unflexibel ist und dass Schwierigkeiten beim Einbinden freier Ränder, wie sie in der Seismologie an der
Erdoberfläche auftreten, entstehen. Weitere Schwierigkeiten treten auf, wenn wir Anisotropien im Material berücksichtigen wollen. Außerdem müssen wir in einem Finite Differenzen Verfahren eine hohe
Anzahl an Gitterpunkten pro Wellenlänge bereitstellen, um die in der Welle enthaltenen Informationen
exakt wiederzugeben. In [12] wird angeführt, dass wir für ein Verfahren zweiter Ordnung, basierend auf
1
KAPITEL 1. EINLEITUNG
2
zentralen Differenzenquotienten, 15 Gitterpunkte pro Wellenlänge benötigen.
Eine andere Möglichkeit zur Diskretisierung der Wellengleichung bietet die Finite Elemente Methode,
welche die freien Randbedingungen auf natürliche Weise integriert. Sie hat jedoch den Nachteil, dass bei
hoher Ordnung des Polynomgrades „Geisterwellen“ auftreten [12].
Auch in der SEM werden freie Ränder natürlich eingebunden. Sie hat außerdem den Vorteil, dass sie
Oberflächen- und Raumwellen exakt wiedergibt und sich die Anzahl der benötigten Gitterpunkte pro
Wellenlänge bei einem Verfahren mit Polynomgrad acht auf fünf beschränkt. Anisotropien und Inhomogenitäten in den Materialien, insbesondere auch das Aufeinandertreffen von Festkörpern und Fluiden,
können in der SEM berücksichtigt werden. Die SEM kombiniert also die geometrische Flexibilität der
Finiten Elemente Methode mit der Genauigkeit spektraler Methoden. Für ausführliche Informationen zu
den Fragen, was spektrale Methoden ausmachen und welche Eigenschaften sie auszeichnen, verweisen
wir auf [2], geben hier jedoch einen kurzen Überblick: Genau wie bei der Finiten Elemente Methode stellen wir auch bei spektralen Methoden die gesuchten Funktionen als Linearkombinationen von
Basisfunktionen dar. Ein Unterschied liegt in der Wahl dieser Basisfunktionen. In Finite Elemente Methoden verwenden wir typischerweise in jedem Element Polynome niedrigen Grades, wohingegen in
„klassischen“ spektralen Methoden Funktionen gewählt werden, die global unendlich oft differenzierbar und fast orthogonal sind. Dies sind häufig trigonometrische, Chebyshev- oder Legendre-Polynome.
Unter geeigneten Annahmen lässt sich zeigen, dass spektrale Methoden exponentiell konvergieren. Da
die SEM ähnlich gute Konvergenzeigenschaften aufweist, ist die Bezeichnung als Spektrale Elemente
Methode an dieser Stelle gerechtfertigt. Spektrale Methoden haben außerdem den Vorteil, dass aufgrund
der Wahl orthogonaler Ansatzfunktionen die Bandbreite der resultierenden Matrizen minimiert wird, oft
erhalten sie sogar Diagonalgestalt. Dies lässt einen weiteren Zusammenhang zu der SEM erkennen. Hier
nutzen wir die Diagonalität der Massenmatrix, die ganz natürlich entsteht und somit den Rechenaufwand
reduziert sowie eine einfache parallele Implementierung ermöglicht, gezielt aus.
Im Verlauf dieser Arbeit beschäftigen wir uns zunächst mit der Modellierung seismischer Wellen. Dazu
betrachten wir in Kapitel 2 die Wellengleichung und untersuchen, wie wir diese im Bereich der Seismologie anwenden können. Hier gehen wir kurz darauf ein, wie seismische Quellen simuliert und die
verschiedenen Schichten der Erde berücksichtigt werden. Außerdem führen wir sogenannte künstliche
Randbedingungen ein, die wir für den Fall benötigen, dass wir nur einen Ausschnitt des Globus betrachten. Zur numerischen Lösung der hergeleiteten Gleichungen, studieren wir in Kapitel 3 die SEM. Hier
gehen wir zunächst auf die Diskretisierung der Erdkugel ein. Darauf aufbauend beschäftigen wir uns mit
der Diskretisierung der Wellengleichung in der Ortsvariablen. Daraus resultierend erhalten wir ein System von Differentialgleichungen in der Zeitvariablen. Zur numerischen Lösung dieses Systems stellen
wir in Kapitel 4 ein Prädiktor-Multikorrektor-Verfahren vor. Abschließend fassen wir die Hauptaspekte
der SEM in einem Fazit zusammen.
Kapitel 2
Die Wellengleichung in der Seismologie
Seismische Wellen werden von verschiedenen Auslösern erzeugt. In der Natur entstehen sie beispielsweise aufgrund von Vulkanismus oder plattentektonischen Vorgängen, wie Verschiebungen oder Verwerfungen. Sie können aber auch künstlich durch Explosionen erzeugt werden. Von diesen sogenannten
Quellen breiten sich seismische Wellen aus, die für den Menschen als Erschütterungen wahrnehmbar
sind. Diese Erschütterungen entsprechen Verschiebungen der Erdschichten. Zur Beschreibung der dort
auftretenden Verschiebungen führen wir das vektorwertige Verschiebungsfeld u(x, t) ein, welches sowohl von dem Ort, beschrieben durch die Variable x = (x1 , x2 , x3 ), als auch von der Zeit t abhängig
ist und mit Hilfe der seismischen Wellengleichung beschrieben wird. Wie diese Wellengleichung im
Allgemeinen aussieht und welche Randbedingungen dabei zu beachten sind, erklären wir in Abschnitt
2.1. Die dort hergeleitete Gleichung gilt jedoch nur in festen Materialien. Wollen wir die Ausbreitung
seismischer Wellen in Fluiden betrachten, müssen wir diese Gleichung variieren. Dies ist tatsächlich
nötig, da ein Großteil der Erdoberfläche mit Wasser bedeckt ist. Ein weiteres Gebiet, welches aus Fluiden besteht, ist der sogenannte äußere Kern. Dem genauen Aufbau der Erde und insbesondere den dort
auftretenden Besonderheiten in der seismischen Wellengleichung wenden wir uns in Abschnitt 2.2 zu.
Anschließend erläutern wir in Abschnitt 2.3 kurz, wie wir seismische Phänomene, die zur Entstehung
seismischer Wellen führen, mathematisch beschreiben und somit als Kraftterm in die Wellengleichung
integrieren können. In dem darauffolgenden Abschnitt 2.4 gehen wir auf die sogenannten künstlichen
Randbedingungen ein. Diese müssen wir berücksichtigen, wenn wir nicht den ganzen Globus, sondern
nur einen Ausschnitt daraus betrachten. Herkömmliche Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen eignen sich hier nicht, da in diesem Fall störende Effekte wie Reflexionen an den „Schnittkanten“ auftreten,
die wir an dieser Stelle nicht beobachten würden, wenn das Gebiet weiterginge.
2.1
Herleitung der seismischen Wellengleichung
Bei der Herleitung der seismischen Wellengleichung orientieren wir uns an dem Vorgehen in [12]. Zunächst betrachten wir ein beliebiges Gebiet Ω, wie es in Abbildung 2.1 zu sehen ist, und ein Zeitintervall T . Der Rand Γ := ∂Ω lässt sich wie folgt disjunkt zerlegen: Γ = ΓN ∪˙ ΓD , wobei ΓN den Teil des
Randes bezeichnet, an dem Neumann-Randbedingungen vorgegeben werden, und ΓD den Rand, an dem
Dirichlet-Daten vorgeschrieben werden. Zur Beschreibung der Randbedingungen führen wir das äußere
Normalenvektorfeld ~n ein.
Zunächst nehmen wir an, dass Ω nur aus einem festen Material besteht, welches jedoch alle Formen von
Anisotropien aufweisen darf. Dies bedeutet, dass sich ein Material entlang jeder beliebigen Richtung
unterschiedlich verhalten kann. Das zugrunde liegende konstitutive Gesetz lässt sich dann schreiben als
3
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
Zt
σ(t) =
4
∂t E(t − t0 ) : ε(t0 ) dt0
−∞
mit
1
ε(t0 ) = (∇u(x, t0 ) + (∇u(x, t0 ))> ) .
2
ΓD
Ω
n
ΓN
0
ΓN
f
f
Abbildung 2.1: Ein Gebiet Ω mit äußerem Normalenvektor ~n, Dirichletrand ΓD und Neumannrändern ΓNf und
ΓN0 . Auch „freie“ Ränder wie ΓN0 , an denen keine Kräfte angreifen, werden als Neumann-Ränder aufgefasst.
Hierbei ist σ(t) der Spannungstensor, E(t) der Elastizitätstensor und ε(t) der Verzerrungstensor. Des
Weiteren beschreiben wir mit A : B die Doppelkontraktion zweier Tensoren A und B. Ein eventuell
vorliegendes Dämpfungsverhalten des Materials wird typischerweise über eine Kopplung sogenannter
„Standardfeststoffe“, deren elastisches Verhalten beispielsweise durch eine Feder oder einen Dämpfer
beschrieben werden kann, modelliert. Hierfür kann es notwendig werden, eine oder mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung zu lösen. Dies wird beispielsweise mit Hilfe eines bekannten
Verfahrens wie den Runge-Kutta-Formeln realisiert. Ein erster Überblick über das Vorgehen bei dämpfenden Materialien ist in [6] gegeben. Zur Vereinfachung des Modells nehmen wir an, dass ein elastisches
Material vorliegt, wodurch sich das konstitutive Gesetz zu
σ(t) = E : ∇u(x, t)
vereinfacht. Sei weiter ρ die Dichte des Mediums, in dem wir uns befinden, und f die angreifende Kraft.
Dann lässt sich die starke Form der seismischen Wellengleichung wie folgt schreiben:
ρ∂t2 u − div(σ) = f
in Ω × T
σ · ~n = t
auf ΓN
u=g
auf ΓD
u|t=0 = u0
∀x∈Ω
∂t u|t=0 = u1
∀x∈Ω
(2.1)
Hierbei beschreibt der erste Term ρ∂t2 u die Trägheitskräfte und der Term div(σ) die inneren Kräfte, die
durch Verformungen hervorgerufen werden. An den Rändern können wir auf unterschiedliche Weise auf
das Verhalten des Verschiebungsfeldes u Einfluss nehmen. Auf Neumann-Rändern ΓN können wir Kräfte von außen an dem Gebiet Ω angreifen lassen. Hierzu geben wir Spannungen t in Normalenrichtung
vor, was gerade einer Kraft entspricht, die auf dem Rand, also der Oberfläche, wirkt. So sind wir beispielsweise in der Lage „freie“ Ränder zu simulieren. Wollen wir hingegen eine feste Einspannung des
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
5
Gebietes bewirken, geschieht dies über die Vorgabe von Verschiebungen g auf dem Dirichlet-Rand.
Die SEM basiert auf der schwachen Formulierung dieser Gleichung, die wir nun herleiten. Dazu multiplizieren wir die starke Form (2.1) der seismischen Wellengleichung mit einer zeitunabhängigen Testfunktion η ∈ CC∞ (Ω; R3 ) und integrieren die resultierende Gleichung anschließend über das Gebiet Ω.
Hierbei ist CC∞ (Ω; R3 ) der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen, die von dem Gebiet Ω nach R3 abbilden und einen kompakten Träger haben. Ferner ist η eine beliebige Funktion, die
jedoch kinematisch verträglich sein muss, das heißt η|ΓD = 0. Multiplizieren wir also die starke Form
der seismischen Wellengleichung
ρ∂t2 u − div(σ) = f
mit der Testfunktion η, erhalten wir
ρ∂t2 u · η − div(σ) · η = f · η .
Integrieren wir diese Gleichung nun über das Gebiet Ω, ergibt sich
Z
Z
ρ∂t2 u · η − div(σ) · η dx = f · η dx ,
Ω
Ω
beziehungsweise nach Einsetzen des konstitutiven Gesetzes σ = E : ∇u
Z
Z
Z
ρ∂t2 u · η dx − div(E : ∇u) · η dx = f · η dx .
Ω
Ω
Ω
Wenden wir nun den Satz von Gauß an, erhalten wir:
Z
Z
Z
Z
ρ∂t2 u · η dx + ∇η : E : ∇u dx − η · E : ∇u · ~n dx = f · η dx
Ω
Ω
∂Ω
Z
Z
Z
⇔
ρ∂t2 u · η dx +
Ω
∇η : E : ∇u dx −
Ω
Ω
Z
η · σ · ~n dx −
ΓN
Z
η · σ · ~n dx =
ΓD
f · η dx
Ω
Im letzten Schritt haben wir die Additivität der Integrale ausgenutzt und wieder das konstitutive Gesetz
angewendet, um in dem Neumann-Randintegral den bekannten Ausdruck σ ·~n zu erhalten. Anschließend
können wir diesen durch die vorgegebenen Werte t ersetzen. Das so beschriebene Randintegral können
wir nun auf die rechte Seite zu den bekannten Werten schreiben. Das Integral, welches die DirichletRandbedingungen beschreibt, wird Null, da die Testfunktion η auf ΓD Null ist. Somit ergibt sich
Z
Z
Z
Z
ρ∂t2 u · η dx + ∇η : E : ∇u dx = f · η dx + η · t dx .
Ω
Ω
Ω
Für die Anfangsbedingungen erhalten wir analog
Z
u · η dx
t=0
ZΩ
∂t u · η dx
Ω
ΓN
Z
u0 · η dx ,
=
Ω
Z
t=0
u1 · η dx .
=
Ω
Finden wir nun eine Funktion û ∈ C 2 (Ω × T ; R3 ), die diese Gleichung für alle Testfunktionen
η ∈ CC∞ (Ω; R3 ) erfüllt, so besagt das Hauptlemma der Variationsrechnung, dass û auch eine Lösung
der starken Form ist. Beim Lösen dieser Gleichung können wir allerdings auch eine Lösung û erhalten,
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
6
die diesen Regularitätsannahmen nicht mehr genügt und somit keine Lösung der starken Form ist. Auch
die Anforderungen an die Testfunktion wurden durch die partielle Integration verändert. Um die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung vollständig aufschreiben zu können, definieren wir
den Raum der Ansatzfunktionen
S := u : Ω × T → R3 , u ∈ H1,2 (Ω) | u(x, t) = g(x, t) auf ΓD × T
und den Raum der Testfunktionen
V := η : Ω → R3 , η ∈ H1,2 (Ω) | η = 0 auf ΓD .
Hierbei ist H1,2 (Ω) ein Sobolevraum auf Ω, genauer gesagt, der Raum der quadratintegrablen Funktionen, deren erste schwache Ableitungen existieren, und die wiederum quadratintegrabel sind. Des Weiteren definieren wir innere Produkte und eine Bilinearform
Z
∗ · η dx
(∗, η)Ω :=
Ω
Z
η · t dx
(t, η)ΓN :=
ΓN
Z
Z
σ : ∇η dx =
a(u, η)Ω :=
Ω
∇η : E : ∇u dx
Ω
und erhalten nun die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung:
Finde u ∈ S, so dass ∀η ∈ V gilt:
(ρ∂t2 u, η)Ω + a(u, η)Ω = (f, η)Ω + (t, η)ΓN
(ρu, η)Ω |t=t0
= (ρu0 , η)Ω
∀x ∈ Ω
(ρ∂t u, η)Ω |t=t0
= (ρu1 , η)Ω
∀x ∈ Ω
(2.2)
Nachdem wir die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung hergeleitet haben, wollen
wir nun einige Veränderungen an der ursprünglichen Gleichung durchführen, um sie an die Gegebenheiten der Erde anzupassen.
2.2
Besonderheiten der Erde
In den folgenden Abschnitten beziehen wir uns auf die Darstellungen in [10]. Betrachten wir den Aufbau
der Erde, sehen wir, dass hier einige Besonderheiten zu beachten sind. Die erste Besonderheit liegt in
der materiellen Beschaffenheit der Erde. Sie besteht keinesfalls nur aus einem Material, sondern ist aus
vielen verschiedenen Materialien zusammengesetzt, die alle unterschiedliche Eigenschaften aufweisen
können. Zunächst betrachten wir nur die größten beziehungsweise globalen Unstetigkeiten genauer.
Schauen wir einen Querschnitt der Erde an, können wir wie in Abbildung 2.2 vier Schichten erkennen.
Die beiden äußeren Schichten bestehen aus festen Materialien. Die Kruste ist die erste Schicht und reicht
maximal bis in eine Tiefe von 35km. Darunter folgt der Mantel, der sich bis in eine Tiefe von 2900km
erstreckt. Das Gebiet der Kruste bezeichnen wir im Folgenden mit ΩK und das des Mantels mit ΩM .
Außerdem setzen wir ΩKM = ΩK ∪ ΩM . Unter dem Mantel befindet sich der flüssige äußere Kern, der
bis zu einer Tiefe von 5100km reicht. Diesen Teil des Gebietes bezeichnen wir mit ΩA . Im Zentrum der
Erde befindet sich der feste innere Kern, der im Folgenden mit ΩI bezeichnet wird.
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
7
Abbildung 2.2: Schematische Darstellung der Schichten der Erde: Die Kruste wird mit ΩK , der Mantel mit ΩM ,
der äußere Kern mit ΩA und der innere Kern mit ΩI bezeichnet. Das Gebiet, welches Kruste und Mantel umfasst, wird mit ΩKM bezeichnet. Die Grenzen zwischen den verschiedenen Schichten werden von oben nach unten
durchnummeriert. Einzige Ausnahme ist die Grenze zwischen Kruste und Ozean, die wir mit Γ∗ bezeichnen.
Als globale Unstetigkeiten bezeichnen wir solche Grenzen zwischen zwei verschiedenen Materialien, die
sich über den gesamten Globus erstrecken. Dies sind beispielsweise die Grenzen zwischen den soeben
beschriebenen Schichten. Des Weiteren treten lokale Unstetigkeiten in der Kruste auf. Diese entstehen
unter anderem durch das Aufeinandertreffen von verschiedenen Gesteinsschichten. Eine weitere Unstetigkeitsstelle ist die Grenze zu Ozeanen, wie sie in Abschnitt 2.2.4 beschrieben wird.
Neben der Zuordnung als globale oder lokale Unstetigkeit legen die obigen Überlegungen eine andere
Unterteilung nahe. Auch hier unterscheiden wir wieder zwischen zwei Arten von Unstetigkeiten. Präziser formuliert betrachten wir den Übergang einer Welle von einem Feststoff in einen anderen Feststoff
und den Übergang von einem Feststoff in ein Fluid. In beiden Fällen muss berücksichtigt werden, dass
an der Grenze zwischen den Materialien die dort auftretenden Normalenkomponenten der Verschiebungen ~n · u und der Spannungen ~n · σ übereinstimmen müssen. Dies können wir leicht nachvollziehen:
Bewegt sich auf der einen Seite der Grenze ein Teilchen auf diese zu oder von dieser weg, so muss sich
das entsprechende Teilchen auf der anderen Seite der Grenze genauso bewegen. Rufen wir uns in Erinnerung, dass Spannungen über Kräfte ausgedrückt werden können, so entspricht die Forderung, dass die
Normalenkomponenten der Spannungen übereinstimmen sollen, einem Kräftegleichgewicht. Würden an
beiden Seiten der Grenze unterschiedliche Kräfte angreifen, würde sich diese in Richtung der betragsmäßig größeren Kraft bewegen.
Der Unterschied zwischen den beiden Arten von Unstetigkeitsstellen besteht darin, dass die Ausbreitung
seismischer Wellen in Fluiden anders beschrieben wird als in Festkörpern, was wir in Abschnitt 2.2.2
erläutern. Die Berücksichtigung dieser Materialsprünge ist tatsächlich wichtig, da seismische Wellen bei
jedem Übergang von einem Material in ein anderes reflektiert und gebrochen werden. So können Aufschaukelungseffekte entstehen, die wir sonst nicht beobachten würden.
Eine weitere Änderung an der seismischen Wellengleichung müssen wir vornehmen, um zusätzliche Effekte, die durch die Eigengravitation der Erde entstehen, zu berücksichtigen. Eigengravitation tritt immer
dann auf, wenn ein Körper eine hinreichend große Masse besitzt, sodass er seine kugelartige Form allein aufgrund der Massenanziehung behält. Anschaulich formuliert ist Eigengravitation also die Kraft,
welche die Erde in ihrer Form zusammenhält. Außerdem bewirkt dieser Effekt, dass die Bestandteile der
Erde nach ihrem Gewicht getrennt werden. So sind schwere Bestandteile eher im Erdinneren zu finden,
weil diese eine größere Anziehungskraft erfahren. Folglich ist die Eigengravitation der Grund dafür, dass
die Dichte der Erde mit zunehmender Tiefe größer wird. Die hier beschriebenen Auswirkungen der Ei-
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
8
gengravitation basieren auf der Definition eines Planeten durch die International Astronomical Union1 .
Zusätzlich entstehen aufgrund der Drehung der Erde um die eigene Achse sogenannte Corioliskräfte,
welche die Ausbreitung seismischer Wellen weiter beeinflussen. Betrachten wir beispielsweise ein Teilchen, welches sich entlang einer geraden Bahn vom Nordpol Richtung Südpol bewegt: Aufgrund der
Drehung der Erde wird dieses nun entgegen der Richtung abgelenkt, in die sich die Erde dreht. Wie
diese zusätzlichen Effekte in die seismische Wellengleichung integriert werden, wird in Abschnitt 2.2.1
beschrieben.
Im Folgenden sei nun Ω die Erdkugel und Γ0 := ∂Ω die Erdoberfläche. Wie in Abbildung 2.2 zu sehen
ist, bezeichnen wir die Grenze zwischen Kruste und Mantel mit Γ1 und mit Γ2 die Grenze zwischen
Mantel und äußerem Kern. Mit Γ3 beschreiben wir die Grenze zwischen innerem und äußerem Kern.
Des Weiteren beschreibt Γ∗ die Grenze zwischen Ozean und Kruste.
2.2.1
Mantel und Kruste
Zum Erzielen guter Resultate, insbesondere bei Langzeitsimulationen, ist es wichtig, Effekte, die durch
Eigengravitation hervorgerufen werden, zu berücksichtigen. Um diese Effekte zu beschreiben, benötigen
wir drei zusätzliche Variablen. Wir bezeichnen mit Φ die Störungen im Gravitationsfeld, die durch Massenumlagerungen entstehen. Die Erdbeschleunigung, welche in unserem Fall von der Ortsvariablen x
abhängt, bezeichnen wir mit g. Sie kann beschrieben werden als g = ∇G, wobei G das Erdpotential ist.
Um Corioliskräfte zu berücksichtigen, führen wir zusätzlich den Vektor Ω der Winkelgeschwindigkeit
der Erde ein. Beziehen wir diese beiden Effekte in die starke Form der seismischen Wellengleichung (2.1)
ein, erhalten wir
ρ(∂t2 u + 2Ω × ∂t u) = div(σ) + ∇(ρu · g) − ρ∇Φ − div(ρu)g + f
∆Φ = −4πGdiv(ρu)
in Ω
∆Φ = 0
R3 \ Ω .
(2.3)
Der zusätzliche Beschleunigungsterm 2ρΩ × ∂t u beschreibt hierbei die Ablenkung, die durch die Corioliskraft hervorgerufen wird. Die drei neuen Terme auf der rechten Seite beschreiben die Auswirkungen
der Eigengravitation, wobei zu beachten ist, dass die Störungen Φ im Gravitationsfeld von den Verschiebungen u abhängen und somit berechnet werden müssen. Die Poissongleichung, durch die Φ bestimmt
wird, lässt sich numerisch nur schwer lösen. Der Grund hierfür liegt in der Tatsache, dass wir die Poissongleichung nicht nur auf dem beschränkten Gebiet Ω lösen müssen, sondern auf ganz R3 . Um dies zu
vermeiden, verwenden wir die Approximation von Cowling. Das bedeutet, dass wir die Störungen Φ im
Gravitationsfeld vernachlässigen. In [10] wurde gezeigt, dass diese Approximation keinen negativen Einfluss auf die Berechnung künstlicher Seismogramme hat, die einen Zeitraum darstellen, welcher kleiner
als 500 Sekunden ist. Die Gleichung (2.3) reduziert sich infolgedessen jedoch auf folgenden Ausdruck:
ρ(∂t2 u + 2Ω × ∂t u) = div(σ) + ∇(ρu · g) − div(ρu)g + f
(2.4)
Die Kraft f repräsentiert hierbei die Ursache beziehungsweise Quelle des Erdbebens, die wir in Abschnitt 2.3 genauer betrachten. An dieser Stelle sei jedoch vermerkt, dass seismische Quellen auch im
äußeren oder im inneren Kern lokalisiert sein können. Erdbeben werden allerdings zumeist durch plattentektonische Vorgänge ausgelöst. Bei Erdbeben, die aus solchen Vorgängen resultieren, können wir
annehmen, dass sich die Quelle im Gebiet von Kruste und Mantel befindet. Aus diesem Grund berücksichtigen wir im weiteren Verlauf der Arbeit keine Quellterme in den anderen Schichten.
Im Folgenden betrachten wir die Randbedingungen, die an den Rändern des Gebietes von Mantel und
Kruste gelten müssen. Zunächst setzen wir auf der Oberseite der Kruste homogene Neumann-Randbedingungen, das heißt σ·~n = 0 auf Γ0 . Hiermit stellen wir sicher, dass sich die Erdoberfläche frei bewegen
1
http://www.iau.org/
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
9
kann. Auf Γ1 und Γ2 müssen die Normalenkomponenten der Verschiebungen ~n · u und die der Spannungen ~n · σ übereinstimmen. Auf Γ2 ist dabei zu beachten, dass hier ~n · σ = p~n gelten muss, wobei p den
Druck beschreibt, den das Fluid im äußeren Kern auf den Mantel ausübt. Dies liegt in der Tatsache, dass
interne Kräfte in Fluiden in Form von Druckkräften auftreten. Im Gegensatz zu Feststoffen, werden sie
also nicht über die Normalenkomponenten der Spannungen, sondern über den Druck beschrieben.
Die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung (2.4) erhalten wir wieder wie in Abschnitt
2.1 beschrieben, wobei die Integration hier über ΩKM geschieht. Wir erhalten also:
Finde u ∈ S, so dass ∀η ∈ V gilt:
Z
ρη · ∂t2 u + 2ρη · (Ω × ∂t u) dx = −
Z
∇η : (σ + G) + ρu · H · η dx
ΩKM
ΩKM
Z
Z
+
p~n · η dx
f · η dx +
ΩKM
(2.5)
Γ2
Hierbei definieren wir G := ρ(ug − (u · g)I) mit dem Einheitstensor I und H := ∇g. Da g der Gradient eines Potentials ist, handelt es sich bei H um einen symmetrischen Tensor, wohingegen G ein
asymmetrischer Tensor ist.
2.2.2
Äußerer Kern
Im Gegensatz zu Mantel und Kruste besteht der äußere Kern nicht aus Feststoffen, sondern aus Fluiden.
Um die Ausbreitung seismischer Wellen in einem Fluid beschreiben zu können, treffen wir zunächst
einige Annahmen. Auch hier wollen wir wieder die Approximation von Cowling verwenden, die uns
erlaubt, die Störungen Φ im Gravitationsfeld zu vernachlässigen. Unter dieser Annahme können wir die
starke Form der seismischen Wellengleichung in Fluiden wie folgt schreiben:
ρ(∂t2 u + 2Ω × ∂t u) = ∇(κ div(u) + ρu · g) − div(ρu)g
(2.6)
Hierbei ist κ das Kompressionsmodul des Fluids. Dieses beschreibt, wie leicht sich ein Fluid „zusammendrücken“ lässt. Weiter nehmen wir an, dass sich das Fluid vor dem Erdbeben im hydrostatischen
Gleichgewicht befindet, es gilt also ∇p = −ρg, wobei p den auf das Fluid wirkenden Druck beschreibt,
der über p = −κ div(u) berechnet wird. Nach [10] können wir Gleichung (2.6) dann schreiben als
∂t2 u + 2Ω × ∂t u = ∇(ρ−1 κdiv(u) + u · g) + ρ−1 kgk−2 κ(div(u))N 2 g .
(2.7)
Die sogenannte Brunt-Väisälä-Frequenz N 2 = (ρ−1 ∇ρ − ρκ−1 g) · g beschreibt hierbei die vertikale Oszillation eines Fluidteilchens in einem statischen System, ist also ein Maß für die Stabilität der
Schichtung des Fluids. Wir können annehmen, dass diese Schichtung im äußeren Kern statisch stabil ist,
also N = 0 gilt. Zur weiteren Vereinfachung von Gleichung (2.7) teilen wir das Verschiebungsfeld u wie
folgt in ein skalares Potential χ und einen Vektor s auf:
u = ∇χ + s
Sei χ weiterhin bestimmt durch die Gleichung
∂t2 χ = ρ−1 κ div(∇χ + s) + g · (∇χ + s) ,
dann erfüllt s
∂t2 s + 2Ω × ∂t s = −2Ω × ∇∂t χ .
Durch Einsetzen dieser Terme können wir nachrechnen, dass u = ∇χ + s die seismische Wellengleichung (2.7) erfüllt. Der Druck p lässt sich dann schreiben als
p = −ρ(∂t2 χ − g · (∇χ + s)) .
Wie schon zuvor erhalten wir die schwache Formulierung dieses Problems.
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
10
Finde u ∈ S, so dass ∀η ∈ V gilt:
Z
κ
−1
ρη∂t2 χ dx
Z
Z
(∇η) · (∇χ + s) dx +
=−
ΩA
ΩA
ΩA
Z
Z
η~n · u dx −
+
Γ2
Z
η · ∂t2 s dx = − 2
ΩA
2.2.3
κ−1 ρηg · (∇χ + s) dx
η~n · u dx
Γ3
Z
η · (Ω × (∂t s + ∇∂t χ)) dx
ΩA
Innerer Kern
Bei dem innere Kern handelt es sich, wie bei Kruste und Mantel auch, um einen Feststoff. Deshalb können wir in diesem Fall dieselbe Gleichung verwenden wie in Abschnitt 2.2.1. Der einzige Unterschied
besteht darin, dass wir hier nur eine Grenze, die zum äußeren Kern, berücksichtigen müssen und somit
nur ein Randintegral benötigen. Setzen wir wieder G := ρ(ug − (u · g)I) mit dem Einheitstensor I und
H := ∇g, erhalten wir die folgende schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung:
Finde u ∈ S, so dass ∀η ∈ V gilt:
Z
ρη ·
∂t2 u
ΩI
2.2.4
Z
+ 2ρη · (Ω × ∂t u) dx = −
Z
∇η : (σ + G) + ρu · H · η dx −
ΩI
p~n · η dx
Γ3
Ozeane
Ozeane haben einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss auf die Reflexion von Oberflächenwellen und
verdienen somit unsere Aufmerksamkeit. Wie der Name bereits verrät, breiten sich diese Wellen entlang
der Erdoberfläche aus, genauer gesagt nimmt ihre Amplitude mit der Tiefe sehr schnell ab und ist in einer Tiefe von wenigen Wellenlängen vernachlässigbar gering. Dennoch besitzen Oberflächenwellen das
größte Zerstörungspotential. Der Grund hierfür ist, dass ihre Amplitude in horizontaler Richtung wesentlich langsamer abnimmt als die der Raumwellen. Dies und die anderen hier gegebenen Informationen zu
Oberflächenwellen können wir in [13] nachlesen.
Ein erster Ansatz zur Modellierung der Ausbreitung seismischer Wellen in Ozeanen besteht nun darin,
analog zum äußeren Kern vorzugehen. Dies bedeutet insbesondere, dass wir die seismische Wellengleichung auf einem weiteren fluiden Gebiet lösen müssen. In Folge dessen tritt in Gleichung (2.5) ein
zusätzlicher Randterm auf der linken Seite auf:
Z
LHS + p~n · η dx = RHS
(2.8)
Γ∗
Hierbei beschreibt p den Druck, der vom Ozean auf den Mantel übertragen wird. Um diesen zu berechnen, nehmen wir an, dass die Ozeane inkompressibel sind. Benötigen wir nur eine Aussage darüber, wie
sich die Wassermassen des Ozeans auf die Oberfläche der Kruste auswirken, ist dies tatsächlich eine
zulässige Annahme. Der Grund hierfür ist die Tatsache, dass die Höhe h des Meeresspiegels verglichen
mit der Wellenlänge der seismischen Wellen klein ist. Für weitere Informationen verweisen wir an dieser
Stelle auf [9].
Zudem müssen wir die Wellengleichung auf dem Gebiet der Ozeane lösen, um den Druck zu bestimmen,
den die Wassermassen des Ozeans auf den Mantel ausüben. Aufgrund der Variabilität der Wasserhöhe h ist dies allerdings sehr aufwändig, weshalb wir eine Näherung treffen, die es uns ermöglicht, den
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
11
gesuchten Druck zu bestimmen ohne die Wellengleichung in dem Gebiet des Ozeans zu lösen. Da die
Approximation, die wir treffen wollen, nur für Langzeitversuche gilt, müssen wir diese Wellengleichung
für Zeitperioden unter 20 Sekunden dennoch lösen. Betrachten wir hingegen eine Zeitperiode, die länger
als 20 Sekunden dauert, können wir den Druck, der vom Ozean auf den Mantel übertragen wird, durch
die Gleichung
p = ρW h~n · ∂t2 u + 2ρW h~n · (Ω × ∂t u) + 4πGρ2W h~n · u
(2.9)
beschreiben. Hierbei bezeichnen wir mit ρW die Dichte des Meerwassers und mit h die Höhe des Meeresspiegels in Abhängigkeit von der Ortsvariablen x. Der so berechnete Druck setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: dem hydrostatischen und dem dynamischen Druck. Als hydrostatisch bezeichnen
wir den Druck, der durch die Erdbeschleunigung hervorgerufen wird. In Gleichung 2.9 entspricht dieser
dem Term 4πGρ2W h~n · u. Die übrigen Terme beschreiben den dynamischen Druck, der durch die Bewegung des Fluids entsteht. Dieser setzt sich aus der Beschleunigung des Fluids, ausgedrückt durch den
Term ρW h~n · ∂t2 u, und die zusätzliche Ablenkung durch die Corioliskraft, beschrieben durch den Term
2ρW h~n ·(Ω×∂t u), zusammen. Um diese Gleichung in Abschnitt 3.2.3 leichter in das aus der Diskretisierung der seismischen Wellengleichung resultierende Gleichungssystem integrieren zu können, nehmen
wir wie in [10] weitere Vereinfachungen vor. Dazu vernachlässigen wir den hydrostatischen Druck und
den Druck, der durch die Corioliskraft hervorgerufen wird. Der zusätzliche Randterm in Gleichung (2.8)
erhält dann die Form
Z
LHS + ρW h(η · ~n)(~n · ∂t2 u) dx = RHS .
Γ∗
Insgesamt erhalten wir den folgenden Ausdruck für die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung in Mantel und Kruste.
Finde u ∈ S, so dass ∀η ∈ V gilt:
Z
ρη ·
∂t2 u
Z
+ 2ρη · (Ω × ∂t u) dx +
ΩKM
ρW h(η · ~n)(~n · ∂t2 u) dx =
Γ∗
Z
−
ΩKM
Z
∇η : (σ + G) + ρu · H · η dx +
ΩKM
Z
f · η dx +
p~n · η dx
Γ2
Vergleichen wir dies mit den späteren Erkenntnissen aus Kapitel 3.2, wird schnell klar, dass wir die
Effekte, die durch die Berücksichtigung der Ozeane entstehen, einfach in das bestehende Gleichungssystem integrieren können. Hierfür müssen wir in der Massenmatrix lediglich die Einträge ändern, die zu
Knoten gehören, die auf der Grenze Γ∗ zwischen Kruste und Ozean liegen. In der Massenmatrix stehen
gerade die Beiträge, die von der zweiten Ableitung des Verschiebungsfeldes u durch die Ausbreitung
seismischer Wellen beeinflusst werden.
2.3
Quellterme
Bisher haben wir angenommen, dass eine Kraft f gegeben ist, die die Entstehung seismischer Wellen
verursacht. Wie wir diesen Kraft- oder Quellterm mathematisch beschreiben können, werden wir nun
kurz skizzieren. Dazu beziehen wir uns auf die Darstellungen in [17] und [10].
Seismische Quellen lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: Punktquellen und Quellen entlang einer
Ebene ΓS , wobei leicht einzusehen ist, dass Punktquellen als Spezialfall der anderen Gruppe aufgefasst
werden können. Aus diesem Grund werden wir uns im Folgenden auf einen Quellterm entlang einer
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
12
Ebene beschränken. Zur mathematischen Beschreibung dieses Quellterms führen wir den seismischen
Momententensor M ein. Dieser Momententensor lässt sich durch die gleichnamige Matrix


M11 M12 M13 





M=
M21 M22 M23 




M31 M32 M33
darstellen, wobei jeder Eintrag Mij , i, j = 1, 2, 3 ein Moment beschreibt, das durch Kräftepaare hervorgerufen wird, wie sie in Abbildung 2.3 dargestellt sind. Zur Veranschaulichung des Momententensors
betrachten wir exemplarisch den Eintrag M12 . Dieser beschreibt ein Kräftepaar der Stärke F12 , welches
in Richtung der ersten Koordinatenachse wirkt und entlang der zweiten Koordinatenachse um einen Abstand d12 verschoben ist. So entsteht ein Moment M12 = d12 F12 . Integrieren wir in dieses Moment
sowohl die Zeit- als auch die Ortsabhängigkeit, also Mij = Mij (x, t) = d(x, t)F (x, t), so können wir
den Kraftterm schreiben als
f = −M(x, t) · ∇δxS (x)
mit xS ∈ ΓS . Des Weiteren ist δxS (x) die Dirac-Distribution zu dem Punkt xS , ausgewertet an der
Stelle x. Der Kraftterm in der schwachen Formulierung der Wellengleichung wird dann zu
Z
Z
Z
f · η dx = − M · ∇δxS · η dx = M : ∇η(xs ) dx .
ΓS
ΓS
ΓS
Im letzten Schritt haben wir eine partielle Integration durchgeführt und die Eigenschaften der DiracDistribution δxS ausgenutzt.
x2
x2
x1
x2
x1
x3
x3
(a) M11
x3
(b) M12
(c) M13
x2
x2
x2
x1
x1
x3
x3
(d) M21
x3
(f) M23
x2
x2
x1
x1
x3
(g) M31
x1
(e) M22
x2
x3
x1
x1
x3
(h) M32
(i) M33
Abbildung 2.3: Darstellung der Kräftepaare, die durch den Momententensor repräsentiert werden
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
2.4
13
Künstliche Randbedingungen
Um die Auswirkungen lokaler Unstetigkeiten auf die Ausbreitung seismischer Wellen gezielter zu untersuchen, ist es oft ratsam, nicht die ganze Erde als Gebiet zu wählen, sondern einen hinreichend großen
Ausschnitt daraus zu betrachten. Ein oft angeführtes Beispiel für solche Unstetigkeiten sind sogenannte
Sedimentbecken. Wie der Name bereits vermuten lässt, handelt es sich hierbei um Gesteinsbecken, die
sich im Verlauf der Zeit mit Sedimenten angefüllt haben. Aufgrund der stark variierenden Dichte der dort
aufeinandertreffenden Materialien Stein und Sedimentablagerungen, kommt es hier zu starken Schwankungen in der Wellengeschwindigkeit, da diese, wie wir in Abschnitt 3.1.2 erläutern, stark von der Dichte
des Materials abhängt, durch welches sich die Welle bewegt. An der Grenze zwischen den beiden Materialien kommt es zu Reflexionen und Streuungen der Wellen, wodurch sogenannte Aufschaukelungseffekte entstehen können. Für vertiefende Informationen zu den Effekten in Sedimentbecken verweisen
wir auf [15] und die dort gegebenen Referenzen.
Nun ist einerseits klar, dass wir solche Untstetigkeiten in der Gittergenerierung berücksichtigen müssen,
andererseits wird der Rechenaufwand schnell zu hoch, wenn wir alle lokalen Unstetigkeiten in einem
globalen Gitter berücksichtigen wollen. Aus diesem Grund wählen wir für globale Betrachtungen ein
vereinfachtes Modell der Erde, wie wir es in Abschnitt 2.2 kennengelernt haben. Für dieses Modell verwenden wir das Gitter, wie wir es in Abschnitt 3.1.2 vorstellen. Interessieren uns hingegen lokale Effekte,
so betrachten wir nur einen Ausschnitt aus der Erde und passen unsere Gitter an die dort auftretenden
Unstetigkeitsstellen an. Hierzu betrachten wir beispielsweise ein solches Stück, das entsteht, wenn wir
bei der Gittergenerierung, wie sie in Abschnitt 3.1.2 beschrieben wird, nur eine Oberfläche des Würfels
verwenden und dieses Gitter dann wieder in die Tiefe fortsetzen.
Schneiden wir also ein Stück Ω aus der Erde heraus, stellt sich die Frage, welche Art von Randbedingungen wir an den Schnittkanten vorschreiben sollen. Bei der Diskussion dieser Frage orientieren wir
uns an den Darstellungen in [7] und [4]. Die bisher eingeführten Dirichlet-Randbedingungen genügen in
diesem Fall nicht, da hier die ankommenden seismischen Wellen reflektiert werden und sich somit nicht
so verhalten wie sie es in einem fortlaufenden Medium tun würden. Durch die Vorgabe von DirichletRandbedingungen „stoppen“ wir die Bewegung der seismischen Wellen also zu stark. Bei NeumannRandbedingungen tritt gerade der konträre Fall auf; hier sind wir zwar in der Lage, eine beliebige Kraft
vorzugeben, die die Bewegung der seismischen Wellen beeinflusst, diese können wir jedoch a priori
nicht bestimmen. Zu der Problematik, wie wir diese Randbedingungen stattdessen wählen sollen, gibt
es zahlreiche Lösungsvorschläge. Naheliegend wäre, eine dämpfende Schicht um das Gebiet Ω zu legen
und diese mit Dirichlet-Randbedingungen zu versehen. Hierbei tritt jedoch der unerwünschte Effekt auf,
dass Wellen beim Übergang in das dämpfende Material reflektiert werden. Dieses Problem umgeht die
Methode der perfekt angepassten Schicht, kurz PML aus dem Englischen für Perfectly Matched Layer,
mit der wir uns im Folgenden kurz beschäftigen wollen.
ΓD
ΓPML
Ω
PML
n
x1
Abbildung 2.4: Das Gebiet Ω wird mit einer dämpfenden Schicht, der PML umgeben. Die Wahl der erste Koordinatenachse x1 orientiert sich am äußeren Normalenvektor ~n.
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
14
Auch bei der PML legen wir eine Schicht um das Gebiet Ω wie es in Abbildung 2.4 zu sehen ist. Dort
können wir außerdem erkennen, dass wir diese Schicht am äußeren Rand ΓD fest einspannen, was bedeutet, dass wir hier Dirichlet-Randbedingungen der Form u(x, t) = 0 vorgeben. Die Idee ist, auch in
der PML die Wellengleichung zu lösen, hier jedoch einen zusätzlichen Dämpfungsparameter zu berücksichtigen, der bewirken soll, dass die Reflexionen am Dirichlet-Rand möglichst klein werden und somit
keine „Störwellen“ mehr in das eigentliche Gebiet Ω eindringen.
Um dies zu realisieren, betrachten wir das Verschiebungsfeld u(x, t) nicht mehr als Funktion in Abhängigkeit von der Zeit t, sondern schreiben diese um in eine Abhängigkeit von der Frequenz:
ρ∂t2 u = div(E : ∇u) ⇔ −ρω 2 u = div(E : ∇u)
(2.10)
Diese Gleichung hat für homogene, isotrope Materialien und ebene Wellen Lösungen der Form
û(x, t) = A exp(−i(k · x − ωt))
mit dem Wellenvektor k = (k1 , k2 , k3 ). Hierbei ist ω die Frequenz der Welle und A beschreibt deren
Amplitude und Polarisierung. Des Weiteren wählen wir das Koordinatensystem so, dass die erste Komponente x1 eines Vektors x in Richtung des äußeren Normalenvektors ~n von Ω zeigt, wie es in Abbildung 2.4 zu sehen ist. Der Rand ΓPML kann dann beschrieben werden als die Menge {x ∈ R3 | x1 = 0}.
Wir suchen nun eine Differentialgleichung, die in Ω durch die obige Gleichung für û und in der PML
durch die Gleichung
1
mit γ =
ω
ũ(x, t) = A exp(−i(k · x − ωt) − γk1 )
Zx1
d(s) ds
0
erfüllt wird. Hierbei ist d(s) ein Dämpfungsparameter, der nur von der ersten Koordinate abhängt. Da
wir die seismischen Wellen nur in der PML dämpfen wollen, wählen wir d(s) > 0, falls x1 > 0 ist und
d(s) = 0 sonst. Finden wir eine solche Gleichung, verschwindet die Reflexion am Rand ΓPML , da leicht
einzusehen ist, dass û = ũ für x1 ≤ 0 gilt. Des Weiteren führen wir eine Variablentransformation der
Form x̃ = x1 − iγ durch und unterteilen den Nabla-Operator ∇ in Komponenten senkrecht und parallel
zur Grenze ΓPML . Hierbei beschreiben wir den senkrechten Anteil mit ∂1 und den parallelen mit ∇k . Mit
diesen Notationen können wir den Nabla-Operator wie folgt schreiben:
k
k
>
∇ = ~n∂1 + ∇ mit ∂1 = ~n · ∇ und ∇ = I − ~n~n · ∇
Setzen wir dies in die „Frequenzbereich-Form“ (2.10) ein, erhalten wir
−ρω 2 u = ~n∂1 · (E : ~n∂1 u) + ~n∂1 · (E : ∇k u) + ∇k · (E : ~n∂1 u) + ∇k · (E : ∇k u) .
Nun benutzen wir die Transformation x̃ = x1 − iγ und teilen das Verschiebungsfeld u in vier Komponenten auf, sodass u = u1 + u2 + u3 + u4 gilt. Dann erhalten wir
∂x1 2
−ρω u1 = ~n∂1 · (E : ~n∂1 u)
∂ x̃
∂x
∂x1
1
2
−ρω u2 = ~n · (E : ~n∂1 u)
∂1
∂ x̃
∂ x̃
2
2
k
k
−ρω u3 = [~n∂1 · (E : ∇ u) + ∇ · (E : ~n∂1 u)]
−ρω 2 u4 = ∇k · (E : ∇k u) .
∂x1
∂ x̃
KAPITEL 2. DIE WELLENGLEICHUNG IN DER SEISMOLOGIE
15
Wir können weiter die Zeitableitungen schreiben als ∂t u = iωu und ∂t2 u = −ω 2 u. Dann erhalten wir
mit
∂ x̃
i
∂ x̃
iω
= 1 − d(x1 ) und ∂x1
=−
d0 (x1 )
∂x1
ω
∂x1
(iω + d(x1 ))2
die folgenden Gleichungen:
ρ(∂t + d(x1 ))2 u1 = ~n∂x1 · (E : ~n∂x1 u)
(2.11)
0
3
ρ(∂t + d(x1 )) u2 = −d (x1 )~n · (E : ~n∂x1 u)
(2.12)
ρ∂t (∂t + d(x1 ))u3 = ~n∂x1 · (E : ∇k u) + ∇k · (E : ~n∂x1 u)
ρ∂t2 u4
k
k
= ∇ · (E : ∇ u)
(2.13)
(2.14)
In den Gleichungen (2.11), (2.13) und (2.14) treten also Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf,
die wir wie die starke Form der unveränderten Wellengleichung behandeln können. Zur numerischen
Lösung der in Gleichung (2.12) auftretenden Terme dritter Ordnung ist es notwendig, ein zusätzliches
Verfahren zu implementieren. Um dies zu vermeiden, kann es daher sinnvoll sein, τ = (∂t + d(x1 ))2 u2
zu setzen und somit eine Differentialgleichung erster Ordnung zu erhalten:
ρ(∂t + d(x1 ))τ = −d0 (x1 )~n · (E : ~n∂x1 u)
Anschließend ist es nur noch erforderlich, ein Zeitschrittverfahren erster Ordnung zu implemetieren. Ein
solches Verfahren kann zum Beispiel ein Runge-Kutta-Verfahren sein, wie wir es schon zur Behandlung
von dämpfenden Materialien benötigen. Um die Gleichungen (2.11), (2.13), (2.14) und die veränderte
Form von Gleichung (2.12) mit Hilfe der SEM diskretisieren zu können, benötigen wir auch hier die
schwachen Formulierungen dieser Gleichungen. Sie lauten:
Finde u ∈ S, so dass ∀η ∈ V gilt:
Z
Z
2
Z
ρ(∂t + d) u1 · η dx = −
ΩPML
Z
(~n∂x1 η) : E : (~n∂x1 u) dx +
ΩPML
ρ(∂t + d)2 τ · η dx = −
Ω
Z PML
ρ∂t (∂t + d)u3 · η dx = −
ΩPML
Z
~nη : E : (~n∂x1 u) dx
ΓD
d0~nη : E : (~n∂x1 u) dx
ΩPML
Z
[(~n∂x1 η) : E : (∇k η) + (∇k η) : E : (~n∂x1 u)] dx
ΩPML
Z
+
~nη : E : (∇k u) dx
ΓD
Z
ΩPML
ρ∂t2 u4
Z
· η dx = −
(∇k η) : E : (∇k u) dx
ΩPML
Hierbei verschwinden die Randintegrale über ΓD wieder, da die Testfunktionen η kinematisch verträglich sind, also η |ΓD = 0 gilt. An der Grenze ΓPML müssen wir kein Randintegral berücksichtigen, da hier
aufgrund der perfekten Anpassung der PML kein Sprung im Materialverhalten auftritt.
Der zusätzliche Speicheraufwand, der notwendig ist, um die einzelnen Komponenten u1 , u2 , u3 , u4 des
Verschiebungsfeldes u zu speichern, ist relativ gering, da die PML aufgrund ihrer guten Dämpfungseigenschaften nur sehr dünn gewählt werden muss. In der Regel reicht schon eine Dicke von fünf Gitterpunkten, um die Reflexion nahezu zu unterdrücken. Für genauere Angaben und vertiefende Informationen verweisen wir auf [7].
Kapitel 3
Die Spektrale Elemente Methode
In Kapitel 2 haben wir uns mit der Gleichung beschäftigt, mit deren Hilfe wir die Ausbreitung seismischer Wellen modellieren können. Dazu haben wir die seismische Wellengleichung in Abhängigkeit von
einer Ortsvariablen x und der Zeit t in verschiedenen Medien betrachtet. In diesem Kapitel wollen wir
uns nun mit der SEM zur Diskretisierung der hergeleiteten Gleichungen auseinandersetzen. Wie wir im
Verlauf dieses Kapitels sehen werden, weist die SEM einige Eigenschaften auf, die sie besonders für
den Bereich der numerischen Seismologie attraktiv machen. Dies ist zum Beispiel die gute Konvergenzeigenschaft der SEM, die aus einer Verbindung der Methode der Finiten Elemente mit den spektralen
Methoden resultiert. Außerdem besitzt die SEM den Vorteil, dass sie eine per Konstruktion diagonale
Massenmatrix liefert. Um eine diagonale Massenmatrix zu erhalten, müssen wir einige Einschränkungen
bei der Diskretisierung treffen. Die ersten Einschränkungen treten bei der Gittergenerierung zur Diskretisierung des Gebiets Ω auf, was wir in Abschnitt 3.1 erläutern. Wie wir in Abschnitt 3.2 erklären, müssen
wir bei der anschließenden Diskretisierung der seismischen Wellengleichung in der Ortsvariablen weitere Restriktionen berücksichtigen. Hier verwenden wir ein angepasstes Finite Elemente Schema und
überführen die seismische Wellengleichung somit in ein System aus Differentialgleichungen in der Zeitvariablen t. Außerdem wird hier ersichtlich, dass wir tatsächlich eine diagonale Massenmatrix erhalten.
Abschließend gehen wir kurz auf die Genauigkeit der SEM ein.
3.1
Diskretisierung der Erde
Wie in jedem Finite Elemente Programm zerlegen wir das Gebiet Ω in Ne disjunkte Elemente Ωe , so
dass
Ω=
Ne
[
Ωe .
e=1
Wir fordern, dass diese Zerlegung konform ist, das heißt, dass jede Seitenfläche eines Elements Ωe exakt
mit der eines Nachbarelements übereinstimmt. In der klassischen SEM beschränken wir uns zusätzlich
auf Elemente, die isomorph zum Einheitswürfel [−1, 1]3 sind. Dies ist notwendig, da wir hier leicht Interpolationsverfahren und numerische Integrationsregeln konstruieren können, die zueinander konsistent
sind. Wie wir in Abschnitt 3.2.3 sehen werden, ist dies die Ursache der Diagonalität der Massenmatrix. Zusätzlich fordern wir, dass unsere Zerlegung zu den Unstetigkeitsstellen in Ω passt. Ein Element
darf also nicht über eine der Grenzen Γ1 , Γ2 , Γ3 oder Γ∗ hinausragen. Dies bedeutet insbesondere, dass
die Dichte ρ in einem Element konstant ist. Außerdem soll das Material in einem Element das gleiche
elastische Verhalten aufweisen. Auf diese Weise können wir auch die lokalen Unstetigkeitsstellen in Ω
berücksichtigen. Des Weiteren soll unsere Zerlegung die Wellengeschwindigkeit widerspiegeln, was bedeutet, dass wir eine feste Anzahl an Gitterpunkten pro Wellenlänge benötigen. Diesen Anforderungen
wird das Modell der würfelförmigen Erde gerecht, welches wir in Abschnitt 3.1.2 vorstellen. Wie wir
16
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
17
die SEM auf Zerlegungen anwenden können, die auch Elemente mit dreieckigen Seitenflächen beinhalten, erklären wir kurz in Abschnitt 3.2.4. Zunächst wollen wir uns allerdings mit der Transformation der
physikalischen Elemente Ωe auf ein Referenzelement beschäftigen. Die Ausführungen in den folgenden
Abschnitten 3.1.1 und 3.1.2 sind in Anlehnung an die Darstellungen in [8] geschrieben.
3.1.1
Transformation der Elemente
Wie es in der Methode der Finiten Elemente üblich ist, wollen wir auch hier jedes physikalische Element Ωe auf das Referenzelement Ω = [−1, 1]3 transformieren. Dazu betrachten wir eine Transformation xe : Ω → Ωe der Form
e
x (ξ) =
Np
X
Na (ξ)xa .
a=1
Hierbei beschreibt ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) einen Punkt in Ω und die Np = (N + 1)3 Formfunktionen Na
sind gegeben durch die Tensorprodukte der Lagrange-Basispolynome vom Grad N , die zu dem Punkt
beziehungsweise der Stützstelle xa gehören:
Na (ξ) = LiN (ξ1 ) ⊗ LjN (ξ2 ) ⊗ LkN (ξ3 ) i, j, k ∈ {1, . . . , N + 1} passend
Die Lagrange-Basispolynome vom Grad N sind definiert über
LjN (ξ)
=
N
+1
Y
i=1
i6=j
ξ − ξi
,
ξj − ξi
j = 1, . . . , N + 1 .
Verwenden wir in der obigen Transformation quadratische Lagrange-Basispolyonome, benötigen wir
also in jedem eindimensionalen Element drei Stützstellen. Wir sind dann in der Lage, eine gekrümmte
Linie auf das Intervall [−1, 1] abzubilden. Wollen wir im R2 ein Viereck mit geschwungenen Kanten auf
den Einheitswürfel [−1, 1]2 abbilden, benötigen wir schon neun Stützstellen und befinden wir uns im R3 ,
vergrößert sich die Anzahl der benötigten Stützstellen auf 27. Wie in Abbildung 3.1 zu sehen ist, wählen
wir die Stützstellen hier als die acht Ecken des Elements, die zwölf Seitenmitten der Kanten, die sechs
Mittelpunkte der Flächen und den Mittelpunkt des Elements.
Abbildung 3.1: Die 27 Stützstellen eines krummlinigen Hexaeders: mit sind die Ecken des Elements und die
Seitenmitten der Kanten dargestellt, mit die Mittelpunkte der Seitenflächen und mit 4 der Mittelpunkt des
Elements [8]
Die Lagrange-Basispolynome sind eine gute Wahl, da sie die Kronecker-Delta-Eigenschaft Na (ξ b ) = δab
aufweisen. Somit gilt für die oben definierte Transformation
xe (ξ i ) = xi
für
i = 1, . . . , Np .
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
18
Sie besitzt also die Eigenschaft, die Ecken des Einheitswürfels auf die des physikalischen Elements
abzubilden. Zusätzlich fordern wir, dass die Transformation eindeutig und invertierbar sein soll. Dies
bedeutet, dass die Determinante der Jacobimatrix Je = det(Je ) nie Null werden darf. Die Jacobimatrix
der Transformation ist gegeben durch
e
∂x
∂xe ∂xe
Je =
,
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3
wobei die partiellen Ableitungen der Transformation typischerweise analytisch berechnet werden. Die
Größe der Determinante der Jacobimatrix ist hierbei ein Maß für die Güte der Zerlegung. Handelt es
sich um eine Zerlegung mit Elementen, die nur wenig von dem Einheitswürfel abweichen, wird die
Determinante der Jacobimatrix nahe bei Eins liegen. Haben wir jedoch sogenannte verformte Elemente,
so kann es passieren, dass die Determinante der Jacobimatrix sehr klein wird. Dies müssen wir bei der
Wahl der Zerlegung berücksichtigen.
Die soeben eingeführte Transformation ist jedoch nicht die einzige, die wir benötigen. Betrachten wir
die schwache Form der seismischen Wellengleichung, sehen wir, dass wir hier auch über den Rand des
Gebietes integrieren müssen. Dazu führen wir sogenannte Randelemente Γe ein. Diese sind definiert als
die Seitenflächen des Elements Ωe , die an eine der Grenzen Γ0 , Γ1 , Γ2 , Γ3 oder Γ∗ stoßen. Auch in
diesem Fall definieren wir wie oben eine Transformation auf das Referenzelement, welches hier [−1, 1]2
ist, durch
(N +1)2
xe (ξ) =
X
Na (ξ)xa
a=1
mit der Jacobimatrix
Je =
∂xe
∂ξ1
∂xe
∂ξ2
.
Hierbei wollen wir die Nummerierung der Stützstellen so wählen, dass der äußere Normalenvektor ~n
jeder Seitenfläche eines Elements Ωe gegeben ist durch
~n =
1 ∂xe ∂xe
×
.
Je ∂ξ1
∂ξ2
Wie wir in Abschnitt 2.2 gesehen haben, ist diese Definition beispielsweise relevant, wenn wir uns den
Übergängen zwischen zwei verschiedenen Materialien zuwenden.
Nachdem wir eine allgemeine Form, sowohl für die Transformation eines Elements Ωe auf das Referenzelement Ω als auch der Randelemente Γe auf das Einheitsquadrat, gefunden haben, erläutern wir nun,
wie wir auf der Erde ein Gitter konstruieren können, welches nur Elemente enthält, die isomorph zu Ω
sind.
3.1.2
Die würfelförmige Sphäre
Um eine Zerlegung der Erde zu definierern, die den zu Beginn von Abschnitt 3.1 genannten Anforderungen entspricht, betrachten wir zunächst nur die Oberfläche der Erde. Hierauf definieren wir eine Zerlegung, welche wir anschließend in die Tiefe fortsetzen können. Die so entstehenden Elemente bilden wir
dann mit der aus Kapitel 3.1.1 bekannten Transformation auf das Referenzelement Ω ab, wobei wir aufgrund der gekrümmten Ränder die Anzahl der Stützstellen als Np = 27 wählen. Bei der Transformation
der Randelemente Γe müssen wir berücksichtigen, dass diese infolge der Krümmung zweidimensionale
Untermannigfaltigkeiten im R3 bilden. Um diese auf das Einheitsquadrat abzubilden, benötigen wir nun
eine zusätzliche Transformation, welche die Randelemente auf flache Vierecke abbildet. Diese könne wir
anschließend mit der bereits bekannten Transformation auf das Einheitsquadrat abbilden. Ein weiterer
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
19
Unterschied zwischen den beiden erwähnten Transformationen besteht darin, dass wir die neue Transformation nicht elementweise definieren. Weiterhin benötigen wir die globale Transformation, wenn wir
zur Gittergenerierung das Prinzip der würfelförmigen Sphäre verwenden.
Die Grundidee der würfelförmigen Sphäre, im Englischen Cubed Sphere, besteht darin, die Oberfläche
der Erdkugel mit der Oberfläche eines Würfels zu assoziieren. Dann können wir zu jeder Würfelseite eine globale Transformation angeben, die den zugehörigen Ausschnitt aus der Sphäre auf die Würfelseite
abbildet.
Zur Beschreibung eines Punktes x = (x1 , x2 , x3 ) auf der Erdoberfläche beziehungsweise der Sphäre
nummerieren wir die Seitenflächen des Würfels mit den römischen Zahlen I-VI und führen auf jeder
Seitenfläche kartesische Koordinaten (α, β) ein, wie in Abbildung 3.2 zu sehen ist.
V
IV
III
I
II
βIV
αIV
VI
Abbildung 3.2: Die Oberfläche der Erdkugel wird auf die Würfeloberfläche projeziert. Zur Beschreibung dieser
Projektion führen wir auf jeder Seite des Würfels kartesische Koordinaten (α, β) ein, wie sie beispielhaft für die
Seite IV eingezeichnet sind.
Für diese Koordinaten gilt
−
π
π
≤α≤
4
4
und
−
π
π
≤β≤ .
4
4
Für alle Punkte x auf der Sphäre gilt x21 + x22 + x23 = R2 , wobei R der Radius der Erde ist. Um eine
Transformation von dem Würfel auf die Sphäre zu erhalten, betrachten wir eine Projekion des Punktes x
auf der Erdoberfläche in die Ebene. Dazu setzen wir
X = tan(α),
Y = tan(β) und
Z=√
R
.
1 + X2 + Y 2
Die Transformation lässt sich dann für jede Fläche schreiben als:
Fläche I:
x=Z
y = XZ
z =YZ
Fläche II:
x = −Z
y = −XZ
z =YZ
Fläche III:
x = −XZ
y=Z
z =YZ
Fläche IV:
x = XZ
y = −Z
z =YZ
Fläche V:
x = −Y Z
y = XZ
z=Z
Fläche VI:
x=YZ
y = XZ
z = −Z
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
(a) Ein problematisches Gitter: die Größe der Elemente
nimmt mit zunehmender Tiefe ab [8]
20
(b) Ausbreitungsgeschwindigkeit seismischer Wellen in der
Erde in Abhängigkeit von der Tiefe [3]
Abbildung 3.3: Bei der Generierung eines Gitters muss die Feinheit des Gitters an die Geschwindigkeit der seismischen Wellen angepasst werden.
Betrachten wir diese Transformation, stellen wir fest, dass wir ein äquidistantes Gitter in den Koordinaten (α, β) auf ein Gitter mit konstanten Winkeln abbilden. Dass dies tatsächlich stimmt, können wir uns
anhand der Abbildung 3.3(a) veranschaulichen. Zunächst erscheint der Gedanke absurd, doch aufgrund
der Krümmung der Erde wird das Gitter so „verbogen“, dass die Winkel gerade konstant werden. Außerdem lässt sich nachrechnen, dass sich die Determinante der Jacobimatrix dieser Transformation nur
wenig verändert, was bedeutet, dass wir eine gutartige Transformation gefunden haben.
Der nächste Schritt besteht darin, das Gitter, welches wir nun auf der Oberfläche der Erde definieren
können, in die Tiefe fortzusetzen. Eine erste Idee hierzu ist, das gleiche Gitter, wie wir es auf der Erdoberfläche eingeführt haben, auch auf die Grenze Γ3 zwischen innerem und äußerem Kern anzuwenden.
Zwischen diesen beiden Grenzen setzen wir das Gitter durch lineare Interpolation stetig fort. Infolgedessen erhält das entstehende Gitter die Form, wie sie in Abbildung 3.3(a) zu sehen ist. Das Problem hierbei
ist jedoch, dass die Elemente mit zunehmender Tiefe kleiner werden. Dies steht im Widerspruch zu der
Forderung, dass unser Gitter die Wellengeschwindigkeit widerspiegeln, also eine konstante Anzahl an
Gitterpunkten pro Wellenlänge aufweisen soll. Um dies zu erläutern, schieben wir an dieser Stelle einen
kurzen Exkurs über die Klassifikation seismischer Wellen ein.
(a) Referenzkonfiguration: durch den abgebildeten Körper verlaufen keine Wellen
VP
(b) eine P-Welle durchläuft den Körper
VS
(c) eine S-Welle durchläuft den Körper
Abbildung 3.4: Verformungen eines zweidimensionalen Körpers, der von unterschiedliche Wellentypen durchlaufen wird
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
21
In der Seismologie unterscheidet man zwischen sogenannten P- und S-Wellen. Die Kompressionswellen
oder kurz P-Wellen, aus dem Englischen von primary waves, breiten sich mit einer größeren Geschwindigkeit aus und sind somit „Vorboten“ eines Erdbebens. Da sie ein sehr geringes Zerstörungspotential
haben, ist es möglich, frühzeitig vor Erdbeben zu warnen. Eine Ursache für das geringe Zerstörungspotential von P-Wellen liegt in deren Schwingungsverhalten. Wie in Abbildung 3.4(b) zu erkennen ist,
entstehen hier nur Schwingungen parallel zur Bewegungsrichtung. Im Gegensatz dazu sind Scherwellen
oder kurz S-Wellen durch Schwingungen quer zur Ausbreitungsrichtung charakterisiert. Dieses Verhalten
ist in Abbildung 3.4(c) dargestellt. Im Englischen werden S-Wellen aufgrund ihrer geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit verglichen mit der der P-Wellen auch als secondary waves bezeichnet. Trotz ihrer
geringen Geschwindigkeit besitzen S-Wellen ein höheres Zerstörungspotential als die P-Wellen. Diese
beiden Wellentypen weisen allerdings auch Gemeinsamkeiten in ihrem Verhalten auf. Beiden Wellentypen ist gemein, dass ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Dichte ρ des Materials abhängt, durch
das sie sich bewegen. Betrachten wir den Verlauf der Dichte, der in Abbildung 3.3(b) mit einer gestrichelten Linie eingezeichnet ist, erkennen wir deutlich die in Abschnitt 2.2 erwähnten Unstetigkeiten im
Aufbau der Erde. Weiterhin beobachten wir hier den bereits erwähnten Zusammenhang zwischen Dichte
und Ausbreitungsgeschwindigkeit: Die Sprünge im Dichteverlauf erkennen wir in ähnlich starker Ausprägung auch in der Ausbreitungsgeschwindigkeit beider Wellentypen. Die Geschwindigkeit vP einer
P-Welle ist hierbei mit einer durchgezogenen Linie gekennzeichnet und die Strich-Punkt-Linie repräsentiert die Ausbreitungsgeschwindigkeit vS einer S-Welle. Wir halten also fest, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit seismischer Wellen mit wachsender Tiefe zunimmt. Die angeführte Theorie über Wellen
und Wellentypen kann in [13] nachgelesen werden.
Um nun eine etwa konstante Anzahl an Gitterpunkten pro Wellenlänge zu erreichen, müssen wir die Elemente mit zunehmender Tiefe vergrößern. Dies geschieht wie folgt: In jedem Sechstel der Erde, welches
durch die Projektion auf die Oberfläche des Würfels gegeben ist, „verdoppeln“ wir in einer bestimmten
Tiefe die Größe der Elemente zunächst in einer der beiden horizontalen Richtungen. In einer anderen
Tiefe verdoppeln wir die Größe der Elemente noch einmal, diesmal jedoch in der anderen horizontalen Richtung. Betrachten wir nur ein Sechstel der Erde, ist dies nicht problematisch. Wollen wir jedoch
verschiedene Sechstel zu einem größeren Stück zusammensetzten, müssen wir vorsichtiger vorgehen.
Die Schwierigkeit besteht darin, die Größe der Elemente in jedem Sechstel so zu verdoppeln, dass die
Seitenflächen eines jeden Elements immer noch perfekt zu denen der Elemente des benachbarten Sechstels passen. Wie wir in Abbildung 3.5(a) erkennen können, ergibt sich aus dieser Bedingung, dass die
Elemente in den jeweils gegenüberliegenden Sechsteln in der gleichen Weise vergrößert werden müssen.
Außerdem wollen wir das Gitter an jeder Kante, der in Abbildung 3.5(a) ein unterschiedlicher Buchstabe zugewiesen wurde, in einer unterschiedlichen Tiefe verdoppeln. So erhalten wir ein konformes Netz,
wenn wir das Gitter der Erde aus den verschiedenen Sechsteln zusammenfügen. Geeignete Stellen, um
solche Verdopplungen durchzuführen, stellen die Unstetigkeitsstellen in unserem Modell der Erde dar.
Für tiefergehende Angaben zu dieser Problematik verweisen wir auf [8].
Bisher haben wir das Gitter nur bis zu der Grenze des inneren Kerns ausgedehnt. Setzen wir das Gitter
im inneren Kern in der gleichen Weise fort, wie wir es bisher getan haben, treten im Erdmittelpunkt Singularitäten auf. Die Lösung dieses Problems besteht darin, einen Würfel um den Mittelpunkt des inneren
Kerns zu legen. Das Gitter auf der Oberfläche dieses Würfels muss zu dem an der Grenze Γ3 konform
sein. Um dies zu garantieren, definieren wir das Gitter auf der Würfeloberfläche über eine lineare Fortsetzung des Gitters auf Γ3 . Wir projizieren also das Gitter auf Γ3 auf den Würfel. Dies hat zur Folge,
dass das Gitter auf dem Würfel nicht äquidistant ist, die Elemente im Inneren des Würfels also unterschiedliche Größe haben. Außerdem erhalten wir ein Netz, das im Übergangsbereich nicht regulär ist,
was in Abbildung 3.5(b) deutlich zu sehen ist.
Auch in den Übergangsregionen von feinerem zu groberem Gitter treten unregelmäßige Elemente auf.
Hierbei ist zu beachten, dass alle unregelmäßigen Elemente isomorph zum Einheitswürfel sind. In Abschnitt 3.1.1 haben wir bereits kurz erläutert, dass unregelmäßige Elemente nachteilig sind, da die SEM
hier, aufgrund größerer Variationen in der Determinante der Jacobi-Matrix, an Genauigkeit verliert. Ein
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
22
möglicher Ausweg wäre zu nichtkonformen Netzen überzugehen, was jedoch den großen Nachteil mit
sich bringt, dass die Diagonalität der Massenmatrix verloren geht. Eine Alternative ist die Benutzung von
Elementen, die dreieckige Seitenflächen enthalten können, wie wir sie in Abschnitt 3.2.4 kurz vorstellen
werden.
(a) Systematische Vergrößerung der Elemente mit zunehmender Tiefe und die zu berücksichtigenden Schnittkanten [8]
(b) Auf dem Würfel um den inneren Kern ist deutlich zu erkennen, dass das Gitter nicht äquidistant
ist [8].
Abbildung 3.5: Das Gitter der würfelförmigen Spähre wird durch lineare Interpolation in die Tiefe fortgesetzt.
Trotz der bis hierher aufgeführten Nachteile haben wir mit der Methode der würfelförmigen Erde eine gute Möglichkeit gefunden, ein Gitter zu generieren, das nur aus solchen Elementen besteht, die isomorph
zum Einheitswürfel sind. Außerdem haben wir auf die soeben beschriebene Weise ein Gitter definiert,
welches den Anforderungen, die wir zu Beginn in Abschnitt 3.1 formuliert haben, gerecht wird. Dies ist
zum einen eine Konformitätsbedingung, die besagt, dass die Seitenflächen benachbarter Elemente genau
übereinstimmen müssen. Auch die Forderung, dass das Gitter alle Unstetigkeitsstellen in der Erde berücksichtigen soll, haben wir in den Prozess der Gittergenerierung einbezogen. Außerdem spiegelt das
Gitter die Ausbreitungsgeschwindigkeit der seismischen Wellen wider, da wir durch das Prinzip des Verdoppelns in der Lage sind, eine nahezu konstante Anzahl an Gitterpunkten pro Wellenlänge zu erreichen.
Um diese Anzahl zu bestimmen, betrachten wir die minimale Wellenlänge λmin , die zu der sogenannten
maximalen Frequenz fmax gehört. Zur Definition dieser Frequenz führen wir die Anfangsfrequenz f0 des
Quellsignals und die zugehörige Amplitude A0 ein. Mit fmax beschreiben wir dann die Frequenz, bei der
die Amplitude des Quellsignals erstmals einen Wert erreicht, der weniger als 5% der Anfangsamplitude A0 beträgt. Komatitsch und Vilotte erwähnen in [12], dass es sich in der Praxis bewährt hat, vier oder
fünf Punkte pro minimaler Wellenlänge zu wählen, wenn wir einen Polynomgrad zwischen fünf und acht
verwenden. Wählen wir weniger als vier Punkte, führt dies zu starken numerischen Oszillationen.
3.2
Diskretisierung im Ort
Nachdem wir in dem vorherigen Abschnitt ein geeignetes Gitter für die Erdkugel konstruiert und uns mit
der Transformation der so entstandenen physikalischen Elemente Ωe auf das Referenzelement
Ω = [−1, 1]3 beschäftigt haben, schauen wir uns nun an, wie wir Funktionen auf diesem Referenzelement approximieren können. Hierzu führen wir in Abschnitt 3.2.2 die sogenannten Gauß-LobattoLegendre-Punkte ein. Um die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung diskretisieren
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
23
zu können, benötigen wir außerdem eine Methode zur numerischen Integration. Diese wählen wir so,
dass sie konsistent mit dem Interpolationsverfahren ist, was, wie wir in Abschnitt 3.2.3 sehen, zu einer
diagonalen Massenmatrix führt. Abschließend gehen wir in Abschnitt 3.2.4 auf die Möglichkeit ein, die
SEM auf gemischte Gitter zu erweitern. Gemischte Gitter können sowohl Elemente enthalten, die isomorph zum Einheitsquadrat sind, als auch solche, die dreieckige Seitenflächen enthalten, wie Tetraeder
oder Keile.
3.2.1
Diskretisierung der schwachen Formulierung
In diesem Abschnitt wollen wir, analog zu dem Vorgehen in [5], die schwache Form der seismischen
Wellengleichung in ein System aus Differentialgleichungen in der Zeitvariablen überführen, welches wir
in Matrix-Vektor-Notation schreiben können. Dazu betrachten wir beispielhaft die seismische Wellengleichung im inneren Kern. Anschließend können wir mit den Wellengleichungen in Mantel und Kruste
und im äußeren Kern analog vorgehen. Hierbei ist zu beachten, dass diese Wellengleichungen über die
Randwerte miteinander gekoppelt sind, diese also beim Lösen der entstehenden Gleichungssysteme übergeben werden müssen.
Betrachten wir also die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung im inneren Kern aus
Abschnitt 2.2.3. Sortieren wir in dieser die Terme so um, dass die unbekannten Größen auf der linken
und die bekannten auf der rechten Seite stehen, erhalten wir die folgende Problemstellung:
Finde u ∈ S, so dass ∀η ∈ V gilt:
Z
ρη · ∂t2 u + 2ρη · (Ω × ∂t u) dx +
ΩI
Z
∇η : [E : ∇u + ρ(ug − (u · g)I))] dx
ΩI
Z
Z
ρu · ∇g · η dx =
+
Ωe
p~n · η dx
Γ3
Das Verschiebungsfeld u ist hierbei gesucht, wohingegen der Druck p, der vom Fluid im äußeren Kern auf
die Oberfläche des inneren Kerns übertragen wird, bekannt ist. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass
ein elastisches Material vorliegt, so dass wir den Spannungstensor schreiben können als σ = E : ∇u.
Zunächst wollen wir die im vorherigen Abschnitt besprochene Diskretisierung der Erde anwenden. Dazu
unterteilen wir das Gebiet der Erde
Ω=
Ne
[
Ωe ,
e=1
wobei jedes Element Ωe den Anforderungen aus Abschnitt 3.1 genügt. Dies bedeutet insbesondere, dass
jedes Ωe isomorph zu dem Referenzelement Ω = [−1, 1]3 ist. Im Folgenden betrachten wir die seismische Wellengleichung nicht mehr auf ganz Ω, sondern auf einem beliebigen Element Ωe .
Um sicherzustellen, dass wir eine Lösung û der seismischen Wellengleichung gefunden haben, muss
û die schwache Formulierung für alle Funktionen aus dem Testraum V erfüllen. Wie in einer StandardGalerkin-Methode, wählen wir auch in der SEM die gleichen Ansatz- und Testfunktionen. Dies bedeutet,
dass V = S gilt. Da dieser Testraum im Allgemeinen jedoch nicht endlichdimensional ist, beschränken
wir uns wie in der klassischen Finite Elemente Methode auf diskrete Ansatzräume
h
h
h
2
h
e
3
SN := u ∈ S u ∈ L (Ω), u ◦ x ∈ PN ([−1, 1])
mit
Ωe
PN ([−1, 1])3 := p : R3 → R | p(x1 , x2 , x3 ) = a(x1 ) ⊗ b(x2 ) ⊗ c(x3 ) mit a, b, c ∈ PN ([−1, 1]) ,
wobei PN ([−1, 1]) der Raum der Polynome auf dem Intervall [−1, 1] ist, die vom Grad ≤ N sind. Die
h ist dann N = (N + 1)3 . Mit diesen Räumen
Dimension des Test- beziehungsweise Ansatzraums SN
p
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
24
erhalten wir die diskrete schwache Formulierung, die wie folgt lautet:
h , so dass ∀t ∈ T und ∀η h ∈ S h gilt:
Finde uh ∈ SN
N
Z
ρη h · ∂t2 uh + 2ρη h · (Ω × ∂t uh ) dx +
Z
∇η h : [E : ∇uh + ρ(uh g − (uh · g)I))] dx
Ωe
Ωe
Z
h
Z
h
ρu · ∇g · η dx =
+
p~n · η h dx
Γe,3
Ωe
Hierbei ist zu beachten, dass Γe,3 den Schnitt eines Elements mit Γ3 bezeichnet. Dieses Integral tritt also
genau dann auf, wenn das betrachtete Element an diesem Rand liegt. Sonst entfällt dieser Term.
Da es sich bei dem Ansatzraum um einen endlichdimensionalen Funktionenraum handelt, können wir
eine Basis {ϕi }, i = 1, . . . , Np , dieses Raumes bestimmen. Jede Funktion in diesem Raum lässt sich
dann als Linearkombination dieser Basis darstellen:
uh (x, t) =
Np
X
η h (x) =
ui (t)ϕi (x)
i=1
Np
X
ηi ϕi (x)
i=1
Hierbei ist zu beachten, dass eine mögliche Zeitabhängigkeit der dargestellten Funktion durch zeitabhängige Koeffizienten berücksichtigt werden muss. Dies ist erforderlich, da die Basisfunktionen ϕi nur von
der Ortsvariablen x abhängen. Aufgrund der Basiseigenschaften genügt es, die schwache Formulierung
der seismischen Wellengleichung mit den Basisfunktionen zu testen. Nutzen wir dies aus, erhalten wir


Z
Z
Np
Np
Np
X
X
X
2


ρϕj · ∂t
ui ϕi + 2ρϕj · Ω × ∂t
ui ϕi dx + ∇ϕj : E : ∇
ui ϕi dx
i=1
Ωe
i=1

Z
∇ϕj : ρ 
+

ui ϕi  g − 
i=1
Ωe
Z
ρ
+
Np
X
Ωe
Np
X
i=1
Ωe

Np
X
 
ui ϕi · g  I dx
i=1
Z
ui ϕi · ∇g · ϕj dx =
i=1
p~n · ϕj dx .
Γe,3
Dies muss für jedes ϕj , j = 1, . . . , Np , gelten.
Wir können diese Gleichung vereinfachen, indem wir Summation und Integration vertauschen. Außerdem können wir die Koeffizienten ui (t) und deren zeitliche Ableitungen vor die Integrale ziehen, da sie
unabhängig vom Ort sind:
Np
X
∂t2 ui
i=1
Z
ρϕj · ϕi dx +
+
Np
X
i=1
i=1
Ωe
|
Np
X
{z
Meij
}
Z
2ρϕj · (Ω × ϕi ) dx
∂t ui
Ωe
|
{z
Ceij
}
Z
Z
p~n · ϕj dx
∇ϕj : [E : ∇ϕi + ρ(ϕi g − (ϕi · g)I)] + ρϕi · ∇g · ϕj dx =
ui
Ωe
|
Γe,3
{z
Keij
}
|
{z
bej
}
Auch diese Gleichung muss wieder für jedes ϕj , j = 1, . . . , Np , gelten. Dieses Problem können wir
mit den eingeführten Bezeichnungen in das Lösen eines Systems aus Differentialgleichungen in der
Zeitvariablen der Form
Mü + Cu̇ + Ku = b
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
25
überführen. Hierbei ist u der Vektor der Verschiebungen, u̇ und ü sind die Vektoren der ersten beziehungsweise zweiten zeitlichen Ableitungen der Verschiebungen. Des Weiteren führen wir die folgenden
Bezeichnungen ein:
Elementmassenmatrix:
Me = (Meij )i,j=1,...,Np
Elementcoriolismatrix:
Ce = (Ceij )i,j=1,...,Np
Elementsteifigkeitsmatrix:
Ke = (Keij )i,j=1,...,Np
Elementlastvektor:
be = (bej )j=1,...,Np
Sowohl die Matrizen M, C und K als auch der Lastvektor b werden, wie in jedem Finite Elemente
Programm, aus den jeweiligen Elementmatrizen beziehungsweise aus den Elementvektoren zusammengesetzt.
Das anfängliche Problem, eine Funktion u zu finden, die die schwache Form der seismischen Wellengleichungen für jede beliebige Testfunktion erfüllt, hat sich also auf das Problem reduziert, zeitabhängige
Koeffizienten ui (t), i = 1, . . . , Np , zu finden, die dem obigen System aus Differentialgleichungen in der
Zeitvariablen genügen. Um dies implementieren zu können, müssen wir allerdings noch eine Basis {ϕi }
h bestimmen und eine Methode zur numerischen
des Ansatzraums beziehungsweise des Testraums SN
Integration festlegen.
3.2.2
Gauß-Lobatto-Legendre-Punkte
Analog zu dem Vorgehen in [6] wollen wir zunächst die Basisfunktionen im Eindimensionalen, also auf
dem Intervall [−1, 1], bestimmen und diese anschließend auf den Einheitswürfel erweitern. Diese Basisfunktionen sollen gute Interpolationseigenschaften aufweisen, damit wir das gesuchte Verschiebungsfeld u möglichst genau darstellen können. Dazu benutzen wir die Lagrange-Polynome vom Grad N zu
den Gauß-Lobatto-Legendre-Punkten. Diese Stützstellen sind die Nullstellen des Polynoms
(1−x2 )PN0 (x). Hierbei bezeichnet PN0 die erste Ableitung des Legendre-Polynoms vom Grad N . In [16]
können wir nachlesen, dass die Legendre-Polynome über die folgende Rekursionsformel bestimmt sind:
P0 = 1,
P1 = x,
PN (x) = xPN −1 (x) −
(N − 1)2
PN −2 (x)
4(N − 1)2 − 1
Die Nullstellen der Legendre-Polynome müssen hierbei numerisch bestimmt oder aus vorhandenen Tabellen entnommen werden. Für N = 5 lauten sie beispielsweise [15]:
x1 = −1,
x2 ≈ −0.765055299,
x3 ≈ −0.285231531,
x4 ≈ 0.285231531,
x5 ≈ 0.765055299,
x6 = 1
Die zugehörigen Lagrange-Polynome auf dem Intervall [−1, 1] sind in Abbildung 3.6 dargestellt. Ein
Vorteil der Gauß-Lobatto-Legendre-Punkte liegt in der Eigenschaft, dass sie die Intervallenden −1 und 1
umfassen. Dies ermöglicht uns Randwerte exakt in die Gleichung zu integrieren. Außerdem ist diese
Eigenschaft wichtig, um die Stetigkeit der zu approximierenden Funktionen über mehrere Elemente hinweg zu sichern. Aus diesem Grund können wir die SEM zu den stetigen Galerkin-Methoden zählen.
Bisher haben wir lediglich gefordert, dass das diskrete Verschiebungsfeld uh ∈ L2 ist, also nicht notwendigerweise stetig sein soll, was bedeutet, dass wir die SEM bis zu diesem Zeitpunkt als unstetige
Galerkin-Methode aufgefasst haben.
Um eine Basis im Dreidimensionalen zu erhalten, betrachten wir die Tensorprodukte der LagrangePolynome zu den Gauß-Lobatto-Legendre-Punkten. Wir sehen ein, dass diese tatsächlich eine Basis des
zuvor gewählten Ansatzraumes bilden. In Abschnitt 3.2.3 werden wir sehen, dass die Benutzung dieser
Basis der erste Schritt zu einer diagonalen Massenmatrix ist.
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
26
1.2
L51
L52
1
L53
L54
0.8
L55
L56
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Abbildung 3.6: die eindimensionalen Lagrange-Polynome vom Grad N = 5 zu den entsprechenden GaußLobatto-Legendre-Punkten
Die nächste Herausforderung in der schwachen Formulierung besteht darin, dass wir auf jedem Element
Integrale auswerten müssen. Dazu ist es notwendig, eine Quadraturformel zur numerischen Integration zu
wählen. Wollen wir eine diagonale Massenmatrix erhalten, müssen wir eine konsistente Quadraturformel
benutzen. Hierzu verwenden wir eine Gauß-Quadraturformel, für die im Allgemeinen das Folgende gilt:
Z
Z
N
+1
X
e
f (x) dx =
f (xe (ξ))J e (ξ) dξ ≈
ωi ωj ωk f(ijk) J(ijk)
Ωe
[−1,1]3
i,j,k=1
e
mit f(ijk) = f ((ξi , ξj , ξk )) und der Determinante der Jacobimatrix J(ijk)
= J e ((ξi , ξj , ξk )), wobei ξi , ξj
und ξk die Quadraturpunkte der eindimensionalen Gauß-Quadraturformel und ωi , ωj und ωk die entsprechenden Gewichte sind. In der SEM wählen wir für die Quadraturpunkte die Gauß-Lobatto-LegendrePunkte und die zugehörigen Gewichte. Diese lassen sich über die folgenden Formeln berechnen [15]:
für ξi = ±1 :
für ξi 6= ±1 :
2
N (N + 1)
2
N (N + 1)(PN (ξi ))2
In der SEM wählen wir typischerweise einen Polynomgrad N zwischen fünf und zehn. Wählen wir
einen kleineren Polynomgrad, wird das Verfahren zu ungenau. Ab einem Polynomgrad von 15 erhalten
wir zwar ein sehr genaues, aber auch sehr kostspieliges Verfahren, da sich die Kosten zur Auswertung der
Steifigkeitsmatrix im Dreidimensionalen wie O(N 4 ) verhalten. An dieser Stelle sei außerdem vermerkt,
dass die so definierte Quadraturformel Polynome vom Grad ≤ 2N −1 exakt integriert. Dies bedeutet insbesondere, dass die von uns gewählte Quadraturformel bezüglich der Genauigkeit optimal ist. Trotzdem
können wir das Produkt aus Test- und Ansatzfunktion, welches vom Grad 2N ist, nicht exakt integrieren.
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
3.2.3
27
Die Diagonalität der Massenmatrix
In diesem Abschnitt überzeugen wir uns davon, dass die Massenmatrix M tatsächlich Diagonalgestalt
erhält. Dabei beziehen wir uns auf die Darstellungen in [15]. Betrachten wir also den Term aus der
schwachen Formulierung der seismischen Wellengleichung (2.2), in dem die zweite Zeitableitung des
Verschiebungsfeldes auftritt. Transformieren wir dieses Integral auf das Referenzelement Ω = [−1, 1]3
und benutzen anschließend die Approximationen aus Abschnitt 3.2.1, so erhalten wir:
Z
Z
2
ρ(ξ)η(ξ) · ∂t2 u(ξ, t)J e (ξ) dξ
ρ(x)η(x) · ∂t u(x, t) dx =
Ω
Ωe

Z
≈
ρ(ξ) 

N
+1
X
n
 e
∂t2 u(lmn) (t)LlN (ξ1 )Lm
N (ξ2 )LN (ξ3 ) J (ξ) dξ
l,m,n=1

ρ(rst) ωrst 
r,s,t=1

N
+1
X
LiN (ξ1 )LjN (ξ2 )LkN (ξ3 )
i,j,k=1
Ω
≈
N
+1
X
N
+1
X

LiN (ξr )LjN (ξs )LkN (ξt )
i,j,k=1
N
+1
X

n
 e
∂t2 u(lmn) (t)LlN (ξr )Lm
N (ξs )LN (ξt ) J(rst)
l,m,n=1
Im letzten Schritt haben wir die Quadraturformel benutzt und dabei die Kurzschreibweise ωrst = ωr ωs ωt
e
eingeführt. Außerdem bezeichnen wir mit J(rst)
die Determinante der Jacobi-Matrix, der zu dem Element Ωe gehörigen Transformation, ausgewertet in den Quadraturpunkten (ξr , ξs , ξt ). Analog beschreiben ρ(rst) und ∂t2 u(lmn) die Dichte beziehungsweise die zweite Zeitableitung des Verschiebungsfeldes,
ausgewertet in den Punkten (ξr , ξs , ξt ) beziehungsweise (ξl , ξm , ξn ).
Da die Lagrange-Polynome die Kronecker-Delta-Eigenschaft erfüllen, erhalten wir beispielsweise für
LkN (ξt ) = δkt . Nutzen wir dies aus, wird obiger Term zu



N
+1
N
+1
N
+1
X
X
X
e

ρ(rst) ωrst J(rst)
δir δjs δkt 
∂t2 u(lmn) (t)δlr δms δnt 
r,s,t=1
i,j,k=1

N
+1
X
=
∂t2 u(lmn) 
(
1
Weiter gilt δir δlr =
0
∂t2 u(lmn)
l,m,n=1
N
+1
X

N
+1
X
e
ρ(rst) ωrst J(rst)
δir δjs δkt δlr δms δnt  .
i,j,k=1 r,s,t=1
l,m,n=1
N
+1
X
N
+1
X
l,m,n=1
falls i = l
sonst
)
= δil und wir erhalten
N
+1
X
e
ρ(ijk) ωijk Jijk
δil δjm δkn =
i,j,k=1
∂t2 u(lmn)
l,m,n=1
N
+1
X
e
ρ(ijk) ωijk Jijk
δ(ijk)(lmn) .
i,j,k=1
Wir setzen nun
α=
N
+1
X
ijk
und β =
i,j,k=1
N
+1
X
lmn
l,m,n=1
und weisen somit jedem Punkt in dem Einheitsquadrat eine Nummer zu. Verwenden wir in der obigen
Gleichung die gerade definierten Indizes α und β, so erhalten wir
(N +1)3
X
α=1
(N +1)3
∂t2 uα
X
β=1
ρβ ωβ Jβe δαβ .
| {z }
e
Mαβ
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
28
Dies entspricht dem Ausdruck Me üe , wobei wir soeben nachgerechnet haben, dass diese Elementmassenmatrix tatsächlich Diagonalgestalt hat. Beim Assemblieren der globalen Massenmatrix M ändert sich
diese Eigenschaft nicht. Auch mögliche zusätzliche Faktoren, wie sie an der Grenze Γ∗ zu Ozeanen auftreten, beeinflussen die Matrixgestalt nicht. Dies können wir einfach nachrechnen, indem wir für den
Term
Z
ρW h(η · ~n)(~n · ∂t2 u) dx
Γ∗
aus Gleichung (2.9) die selben Argumente benutzen, wie wir sie gerade zur Herleitung der Diagonalität
der Massenmatrix verwendet haben. Hier werden also lediglich zusätzliche Terme auf die Hauptdiagonale der Massenmatrix addiert.
An dieser Stelle sei außerdem erwähnt, dass sowohl die Steifigkeits- als auch die Coriolismatrix keine
Diagonalgestalt erhalten. Dies können wir uns einfach verdeutlichen, indem wir die Terme, aus denen
diese Matrizen hervorgehen, betrachten und uns gleichzeitig daran erinnern, welche Argumente wir benutzt haben, um die Diagonalität der Massenmatrix nachzurechnen. Ausdrücke, die die Diagonalität der
übrigen Matrizen verhindern sind beispielsweise Gradienten der Test- und Ansatzfunktionen. Auch andere Rechenoperationen wie das Kreuzprodukt tragen dazu bei, dass die Diagonalgestalt der Matrizen
verloren geht.
Wir haben also gezeigt, dass die SEM eine diagonale Massenmatrix liefert und sind somit in der Lage
ihre Inverse sofort hinzuschreiben. Dies ist ein großer Vorteil, wenn wir in Abschnitt 4 ein Zeitschrittverfahren zur Lösung des Systems der Differentialgleichungen in der Zeit einführen. Doch zunächst wollen
wir uns mit der Problematik gemischter Gitter auseinandersetzen.
3.2.4
Gemischte Gitter
Zur Einführung gemischter Gitter beschränken wir uns zunächst auf ein zweidimensionales Gebiet und
folgen dann den Darlegungen in [11]. Ein gemischtes Gitter bedeutet hier, dass wir nicht nur Elemente,
die isomorph zum Einheitsquadrat sind, betrachten, sondern auch solche, die isomorph zum Einheitsdreieck sind. Mit dem Einheitsdreieck bezeichnen wir das Gebiet Ω4 , das in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte (−1, −1), (1, −1) und (−1, 1) gegeben ist.
Die Herausforderung bei gemischten Gittern besteht nun darin, Stützstellen in diesem Dreieck zu finden,
die sich als Quadratur- und Interpolationspunkte eignen und außerdem zu einer diagonalen Massenmatrix
führen. Im Quadrat benutzen wir hierfür die Gauß-Lobatto-Legendre-Punkte. Eine erste naheliegende
Idee ist es, diese auch für das Dreieck zu verwenden. Der Nachteil hierbei ist jedoch, dass Quadraturformeln, die auf diesen Punkten basieren, sehr selten sind. Zudem beschränken sich Aussagen über die
Existenz solcher Gauß-Quadraturformeln auf bestimmte Geometrien, wie das Intervall [−1, 1] und dessen Tensorprodukte. Außerdem ist die numerische Berechnung dieser Punkte, falls sie existieren, sehr
aufwändig. Aus diesem Grund wählen wir Punkte, die sich besser zur Interpolation als zur Quadratur eignen. Hier bieten sich beispielsweise die Fekete-Punkte, die gemittelten L2 -Punkte oder Punkte, die die
elastische Energie minimieren, an. Wie wir an der Charakterisierung der letztgenannten Punkte deutlich
sehen können, haben diese Punkte ihren Ursprung in einem Extremwertproblem. Diese Eigenschaft werden wir bei der Konstruktion der Fekete-Punkte ausnutzen können. Außerdem haben alle eben genannten
Punkte den Vorteil, dass sie sich in die dritte Dimension erweitern lassen. Bevor wir dies erläutern, wollen wir uns zunächst der Konstruktion geeigneter Punkte zuwenden.
In der SEM wählt man häufig die Fekete-Punkte, da sie auf dem Intervall [−1, 1] mit den dort definierten Gauß-Lobatto-Legendre-Punkten übereinstimmen. Des Weiteren lässt sich zeigen, dass die FeketePunkte auf dem Einheitsquadrat exakt über den Gauß-Lobatto-Legendre-Punkten liegen. Würden wir
also in der Standard SEM mit viereckigen Elementen Fekete-Punkte benutzen, würden wir die selben
Resultate erzielen. Ein weiterer Vorteil der Fekete-Punkte im Dreieck besteht darin, dass sie auf jeder
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
29
Seite des Dreiecks mit den Gauß-Lobatto-Legendre-Punkten übereinstimmen. Für den Fall N = 5 ist
dies in Abbildung 3.7 verdeutlicht.
Aufgrund der oben genannten Eigenschaften ist es uns möglich, ein konformes Gitter aus Dreiecken und
Vierecken zu konstruieren. Dies bedeutet, dass die Anpassung an geologische Strukturen verbessert wird.
Ein zusätzlicher Effekt ist, dass hierbei die Konstruktion des Gitters einfacher und effektiver wird, da wir
hier auf gewöhnliche Finite-Elemente-Programme zurückgreifen können. Auch die in Abschnitt 3.1.2
durch das Prinzip des Verdoppelns entstandenen nicht regulären Viereckselemente können wir nun durch
Dreiecke ersetzen. Diese Dreiecke entstehen, wenn wir ein Viereckselement entlang der Diagonalen
in zwei Dreiecke unterteilen. Da wir annehmen, dass unser Gitter vor der Verdopplung der Elemente
regulär war, sind auch die Dreieckselemente, welche die Viereckselemente ersetzen, regulär. Wir müssen
jedoch beachten, dass wir nicht alle irregulären Viereckselemente ersetzen können, da wir sonst ein
nicht konformes Netz erhalten, wie wir uns anhand von Abbildung 3.5(a) veranschaulichen können. Die
Benutzung von Dreieckselementen im Übergangsbereich bringt dennoch den Vorteil, dass wir so die
Anzahl der nicht regulären Elemente in unserem Gitter reduzieren.
Abbildung 3.7: Die Fekete-Punkte für den Fall N = 5 im Quadrat und im Dreieck. Auf den Kanten des Dreiecks
stimmen diese mit denen auf den Kanten des Quadrats überein.
Des Weiteren haben die Fekete-Punkte nahezu optimale Interpolationseigenschaften und für einen Polynomgrad echt größer als neun sind sie sogar die besten bekannten Punkte zur Interpolation auf dem
Dreieck. Dies resultiert aus der Eigenschaft, dass die Lagrange-Polynome zu den Fekete-Punkten im
Dreieck durch eins beschränkt sind. Wäre dies nicht der Fall, könnten starke Oszillationen zwischen den
Punkten auftreten, was die Güte der Interpolation negativ beeinflussen würde. Aus dieser Beschränktheit
lässt sich außerdem ableiten, dass sich die Fekete-Punkte gut zur numerischen Integration eignen. Außerdem können wir hier leicht nachrechnen, dass die Elementmassenmatrizen Diagonalgestalt erhalten
und sich diese Eigenschaft auch für gemischte Gitter auf die globale Massenmatrix überträgt.
Um die Stetigkeit der approximierten Funktionen über mehrere Elemente hinweg zu sichern, benötigen wir einerseits ein konformes Gitter, andererseits müssen wir darauf achten, dass wir die Funktionen
auf den Dreieckselementen mit Polynomen approximieren, die vom selben Grad sind wie die auf den
Viereckselementen. Wie wir den Polynomgrad auf den Dreieckselementen wählen müssen, um dies zu
erreichen, wird deutlich, wenn wir die Konstruktion der Fekete-Punkte betrachten.
Wir haben bereits erwähnt, dass die Fekete-Punkte aus einem Extremwertproblem resultieren, genauer gesagt aus einem Maximierungsproblem. Dazu betrachten wir einen beliebigen endlichdimensionalen
Funktionenraum über R×R und eine zugehörige Basis {Φi }. Wir definieren die Vandermonde-Matrix V
zu dieser Basis über ihre Einträge, die gegeben sind durch Vij = Φi (ξ j ), wobei die ξ j zunächst beliebige
Punkte sind. Als Fekete-Punkte bezeichnen wir nun die Punkte aus dem Dreieck, die die Determinante
der Vandermonde-Matrix maximieren. Wir sehen leicht ein, dass die Fekete-Punkte von der Wahl der
Basis unabhängig sind: Wählen wir eine andere Basis, bedeutet dies lediglich eine Multiplikation der
Determinante mit einer Konstanten und nimmt somit keinen Einfluss auf das Maximierungsproblem.
Zur numerischen Lösung dieses Problems ist es dennoch notwendig, eine geschickte Basis zu wählen.
Ein gut konditioniertes Problem erhält man beispielsweise durch die Wahl einer orthogonalen Basis. Im
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
30
Folgenden betrachten wir hierzu die Basis, die von den (Koornwinder-)Dubiner-Polynomen aufgespannt
wird. Das k-te Dubiner-Polynom ist hierbei definiert als
1 − ξ2 i 2i+1,0
0,0 2ξ1 + ξ2 + 1
Dk (ξ1 , ξ2 ) := cij Pi
Pj
(ξ2 ) ,
1 − ξ2
2
wobei k = k(i, j) eine beliebige Bijektion ist und die Faktoren cij gegeben sind als
r
(2i + 1)(i + j + 1)
cij =
.
2
Außerdem bezeichnen wir mit Piα,β die Jacobi-Polynome. Dies sind gerade die Polynome, die bezüglich
des gewichteten Skalarprodukts
Z1
(a, b)w =
a(x)b(x)w(x) dx
mit w(x) = (1 − x)α (1 + x)β
−1
orthogonal sind. Diese Definitionen haben wir aus [14] und [1] entnommen.
In der auf Vierecken basierten SEM betrachten wir Polynome, die in jeder Raumrichtung höchstens
Grad N haben. Um die oben angesprochene Stetigkeit der Funktionen zu garantieren, wählen wir auf
dem Dreieck den Raum der Funktionen, die im Produkt höchstens Grad N haben. Die Dimension dieses
Funktionenraumes ist M = (N + 1)(N + 2)/2. Wir benötigen also genau M Punkte, um ein Polynom, welches in jeder Komponente vom Grad N ist, auf einem Dreieck zu interpolieren. Das Interpolationsproblem können wir mit Hilfe der Vandermonde-Matrix V beschreiben. Wählen wir die DubinerPolynome Di , i = 1, . . . , M , als orthogonale Basis, können wir diese Matrix als eine Transformation
auffassen. Sie bildet Punkte in dem Einheitsdreieck auf die Koeffizienten der Dubiner-Polynome ab. Mit
diesem Ansatz können wir die Lagrange-Polynome schreiben als:
LjM (ξ) =
M
X
ajk Dk (ξ),
mit
ajk = (V−1 )j,k
k=1
An dieser Stelle sei erwähnt, dass wir die Lagrange-Polynome im Zweidimensionalen nicht mehr als das
Produkt von zwei eindimensionalen Polynomen schreiben können. Später werden wir sehen, dass dies
einen Nachteil bei der Berechnung von Gradienten darstellt. Um diese Gradienten berechnen zu können,
benötigen wir die partiellen Ableitungen der Lagrange-Polynome. Auf einem Dreieck haben sie die Form
∂ξ1 LjM (ξ) =
M
X
ajk ∂ξ1 Dk (ξ) und
∂ξ2 LjM (ξ) =
M
X
ajk ∂ξ2 Dk (ξ) .
k=1
k=1
Hierbei werden die partiellen Ableitungen der Dubiner-Polynome analytisch bestimmt. Um die DubinerKoeffizienten ajk zu berechnen, müssen wir die Vandermonde-Matrix numerisch invertieren. Da die
Fekete-Punkte so definiert sind, dass sie gerade die Determinante dieser Matrix maximieren, ist die Existenz der Inversen gesichert.
Zur numerischen Integration verwenden wir wieder ein Gauß-Quadratur-Schema:
Z
Z
f (x) dx =
Ωe
Ω4
f (ξ)J e (ξ) dξ ≈
M
X
ωi J e (ξ i )f (ξ i )
i=1
Wie schon in Abschnitt 3.2.2 haben wir auch hier eine Transformation des Integrals durchgeführt. Die
Gewichte ωi sind die ersten Dubiner-Koeffizienten des i-ten Dubiner-Polynoms. Es gilt also ωi = ai1 .
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
31
Aufgrund der Kronecker-Delta-Eigenschaft der Lagrange-Polynome, die in diesem Fall durch die Dubiner-Polynome dargestellt werden, können wir auch hier nachrechnen, dass die Elementmassenmatrizen
wieder Diagonalgestalt erhalten. Setzen wir die Massenmatrix sowohl aus Dreiecks- als auch aus Viereckselementmassenmatrizen zusammen, behält diese also Diagonalgestalt.
Ein Nachteil der Benutzung von Dreieckselementen besteht in dem erhöhten Aufwand zur Berechnung
der Gradienten ∇u(ξ) = (∂ξ1 u(ξ), ∂ξ2 u(ξ)) des Verschiebungsfeldes. Hierbei sind die partiellen Ableitungen gegeben als
∂ξ1 u(ξr , ξs ) ≈
M
X
u(ξi , ξi )∂ξ1 Di (ξr , ξs )
und ∂ξ2 u(ξr , ξs ) ≈
i=1
M
X
u(ξi , ξi )∂ξ2 Di (ξr , ξs ) .
i=1
Zwar werden die partiellen Ableitungen der Dubiner-Polynome vorweg analytisch bestimmt, doch müssen wir zur Bestimmung einer partiellen Ableitung des gesuchten Verschiebungsfeldes u in einem beliebigen Punkt ξ ∗ = (ξ1∗ , ξ2∗ ) die folgenden Schritte durchführen: Zu Beginn ist es notwendig, die gewünschte partielle Ableitung aller Dubinerpolynome ∂ξ1 Dk (ξ), k = 1, . . . , M an der Stelle ξ ∗ auszuwerten. Anschließend benötigen wir M Multiplikationen um die Ableitung jedes Polynoms mit den
entsprechenden Koeffizienten u(ξi , ξi ) zu gewichten. Der letzte Schritt besteht nun aus den M − 1 Additionen. Wir können den Aufwand zur Berechnung eines Gradienten auf dem Dreieck also über den
Zusammenhang A4 = 2M − 1 = (N + 1)(N + 2) − 1 berechnen. Auf dem Einheitsquadrat benötigen
wir hingegen weniger Rechenoperationen. Dies liegt an der Tatsache, dass wir hier die sogenannte „Tensorisation“ der Basisfunktionen ausnutzen können. Mit Tensorisation bezeichnen wir die Eigenschaft,
dass sich die 2D-Basisfunktionen über die Tensorprodukte der 1D-Basisfunktionen berechnen lassen.
Für die partielle Ableitung in ξ1 -Richtung des Verschiebungsfeldes auf einem Viereck gilt
∂ξ1 u(ξr , ξs ) ≈ ∂ξ1
N
+1 N
+1
X
X
N
uij LN
i (ξr )Lj (ξs )
=
i=1 j=1
=
N
+1 N
+1
X
X
i=1 j=1
uij δjr ∂ξ1 LN
i (ξs ) =
N
+1 N
+1
X
X
N
uij LN
j (ξr )∂ξ1 Li (ξs )
i=1 j=1
N
+1
X
uir ∂ξ1 LN
i (ξs ) .
i=1
Wir sehen also, dass der Rechenaufwand hier nur A = 2N + 1 beträgt. Vergleichen wir den Aufwand
zur Berechnung eines Gradienten auf einem Dreieck mit dem auf einem Viereck, erhalten wir den Faktor
A4
(N + 1)(N + 2) − 1
N
=
≈
.
A
2N + 1
2
Diese Näherung gilt allerdings nur für große Werte von N . In der SEM wählen wir typischerweise einen
Polynomgrad zwischen fünf und acht, was bedeutet, dass diese Approximation noch nicht gilt. Betrachten wir ein Gitter im Zweidimensionalen, welches verhältnismäßig wenig Dreieckselemente enthält, ist
der Zusatzaufwand relativ gering und wird durch die bessere Anpassung des Gitters aufgewogen. Erweitern wir unsere Gitter nun in die dritte Dimension, ist dies kritischer.
R2D =
Abbildung 3.8: zulässige Elemententypen im Dreidimensionalen: links das zum Einheitswürfel isomorphe Standardelement, mittig das Tetraeder und rechts ein Keilelement
KAPITEL 3. DIE SPEKTRALE ELEMENTE METHODE
32
Wie wir in Abbildung 3.8 erkennen, erlauben wir im Dreidimensionalen sowohl Elemente, die nur dreieckige Seitenflächen aufweisen, wie das Tetraeder, oder nur viereckige, wie wir sie in Abschnitt 3.2
eingeführt haben, als auch Keile, die aus Dreiecken und Vierecken gebildet werden. Keilelemente haben
hierbei den Vorteil, dass wir sie leicht mit den Standardelementen kombinieren können, die isomorph
zum Einheitswürfel sind, und es uns trotzdem erlauben spitze Geometrien besser zu approximieren. In
einem Tetraeder nutzt man die Fekete-Punkte, wie es in [11] vorgeschlagen wird. In Keilelementen nutzt
man in den Dreiecken die Fekete-Punkte. Um diese in die dritte Dimension zu erweitern, betrachtet
man das Tensorprodukt aus Fekete-Punkten auf dem Dreieck und Gauß-Lobatto-Legendre-Punkten in
der dritten Dimension. Bei dieser Art von Elementen erhöht sich das Verhältnis R des Aufwands zur
Berechnung von Gradienten nicht weiter. Dies liegt daran, dass wir in einem Keilelement entlang der
dritten Koordinatenachse die Tensorisation ausnutzen können. Der Zusatzaufwand zur Berechnung eines
Gradienten entlang dieser Koordinatenachse ist also in einem Keilelement der selbe wie in einem Element, welches isomorph zum Einheitswürfel ist. Betrachten wir die folgende Rechnung, sehen wir, dass
sich der Mehraufwand verglichen mit dem zweidimensionalen Fall sogar verringert:
R3D =
AKeil
2 ((N + 1)(N + 2) − 1) + 2N + 1
N
=
≈
A
3(2N + 1)
3
Nun sind wir also in der Lage, das in Abschnitt 3.1.2 vorgestellte Gitter an beliebigen Stellen durch
Tetraeder oder Keilelemente zu erweitern. Dies ermöglicht eine Reduktion der Anzahl der nicht regulären
Elemente in dem bisher betrachteten Gitter. Zusätzlich wird gerade bei der Betrachtung lokaler Effekte
der Aufwand zur Gittergenerierung verringert, da es nun einfacher ist, ein Gitter zu konstruieren, welches
die geologischen Strukturen gut approximiert. Hierbei müssen wir jedoch beachten, dass wir nicht zu
viele dieser Elemente einsetzen, da der benötigte Mehraufwand zur Berechnung eines Gradienten sonst
zu hoch wird.
Kapitel 4
Diskretisierung in der Zeit
In Abschnitt 3.2.1 haben wir die schwache Formulierung der seismischen Wellengleichung im Ort diskretisiert. Als Ergebnis haben wir ein System aus Differentialgleichung in der Zeitvariablen t erhalten.
Um dieses zu lösen, stellen wir nun analog zu den Darstellungen in [5] ein Zeitschrittverfahren vor, welches auf der Diskretisierung mit Finiten Differenzen basiert. Dazu unterteilen wir das Zeitintervall T in
Nt Intervalle Ti , i = 1, . . . , Nt der Länge ∆t, so dass
T =
Nt
[
Ti
mit Ti =]ti−1 , ti [ , i = 1, . . . , Nt .
i=1
Um das System aus Differentialgeichungen in der Zeitvariablen numerisch zu lösen, führen wir ein
Newmark-Schema an, welches auf einer Variation der Differenzenquotienten basiert. Zur Beschreibung
dieses Schemas führen wir drei Variablen 0 ≤ α, β, γ ≤ 1 ein. Das Newmark-Schema lässt sich dann in
der folgenden Form schreiben:
1
M(u̇i+1 − u̇i ) = bi+α − Kui+α − Cu̇i+α
∆t
β
β
β
2 1
ui+1 = ui + ∆t 1 −
u̇i + u̇i+1 + (∆t)
−
üi
γ
γ
2 γ
1
1
üi+1 =
[u̇i+1 − u̇i ] + 1 −
üi
γ∆t
γ
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Hierbei ist ui+α = αui+1 + (1 − α)ui eine Näherung des Verschiebungsfeldes zum Zeitpunkt i + α.
Diese Methode ist für α = 12 von zweiter Ordnung. Wählen wir zusätzlich βγ = 12 , erhalten wir ein
Verfahren, welches sowohl die gesamte
Energie
als auch Stoß- und Drehimpulse erhält, da in diesem
β
1
2
Fall der Beschleunigungsterm (∆t) 2 − γ üi in Gleichung (4.2) entfällt, wodurch das oben definierte Newmark-Schema unabhängig von der Beschleunigung wird. Für weiterführende Informationen zu
diesem Thema verweisen wir auf [5] und die dort gegebene Referenz.
Lösen wir Gleichung (4.1) nach der Unbekannten u̇i+1 auf, erhalten wir
1
1
M + αC (u̇i+1 ) = bi+α − Kui+α +
M − (1 − α)C u̇i .
∆t
∆t
1
Wir sehen also, dass wir hier entweder ∆t
M + αC invertieren oder ein entsprechendes Gleichungssystem lösen müssen. An dieser Stelle sei noch einmal daran erinnert, dass die Massenmatrix Diagonalgestalt erhält, nicht aber die Coriolismatrix. Um diesen Vorteil nutzen zu können, überführen wir obiges
33
KAPITEL 4. DISKRETISIERUNG IN DER ZEIT
34
Newmark-Schema in folgendes Prädiktor-Multikorrektor-Verfahren:
(0)
Prädiktor-Phase:
ui+1 = ui + ∆t 1 − βγ u̇i + (∆t)2 21 − βγ üi
(0)
u̇i+1 = 0
üi+1 = 1 − γ1 üi −
1
γ∆t u̇i
für j = 1, . . . , k
Lösungsphase:
1
(j)
∆t M∆u̇
Korrektor-Phase:
u̇i+1
(j)
(j+1)
= u̇i+1 + ∆u̇(j)
(j+1)
= ui+1 +
(0)
β∆t (j+1)
γ u̇i+1
(j+1)
= üi+1 −
(0)
(j+1)
1
γ∆t u̇i+1
ui+1
üi+1
(j)
= bi+α − Kui+α − Cu̇i+α −
(j)
1
∆t M(u̇i−1
− u̇i )
(j)
Mit k bezeichnen wir hierbei die Anzahl der Korrektorschritte.
Wie wir leicht erkennen können, stehen hier auf der rechten Seite nur bekannte Größen und wir müssen
somit nur die Massenmatrix M invertieren. Aufgrund der Diagonalität dieser Matrix können wir dieses
Prädiktor-Multikorrektor-Verfahren in jedem Zeitschritt effizient implementieren. Des Weiteren ist dies
ein erster Schritt auf dem Weg zu einer effizienten Parallelisierung.
Die Stabilität dieses Verfahres lässt sich mit Hilfe der Courant-Bedingung beschreiben. Dazu definieren
wir die Courant-Zahl als
∆t
nc = max
c ,
∆x
wobei das Maximum über alle Elemente und alle Zeitschritte läuft. Mit ∆x bezeichnen wir den minimalen Abstand zweier Punkte in einem Element, die auf einer gemeinsamen Kante liegen und mit c die
elastische Wellengeschwindigkeit. Komatitsch et al. haben in [5] heraugefunden, dass das PrädiktorMultikorrektor-Verfahren stabil ist, wenn die Courant-Zahl des Gitters in einer Größenordnung von
nc = 0.6 gewählt wird. Aus dieser Bedingung erhalten wir, dass die Zeitschrittweite ∆t echt kleiner
−1/3 −2 gewählt werden muss als O Ne
N
, wobei N wie zuvor den Polynomgrad der Basisfunktionen
−1/3
beschreibt, die wir in der SEM zur Ortsdiskretisierung verwenden. Der Faktor Ne
beschreibt die
durchschnittliche Größe eines dreidimensionalen Elements. Betrachten wir ein Element und suchen dort
die Gauß-Lobatto-Legendre-Punkte, die auf einer Kante liegen und minimalen Abstand zueinander haben, können wir feststellen, dass diese bei −1 beziehungsweise 1 liegen. Der Abstand von beispielsweise
1 zum nächsten Punkt verhält sich wie N −2 . Wir haben also zwei Faktoren, die die Wahl der Zeitschrittweite beeinflussen. Hierbei hat es sich bewährt, bei komplizierten Geometrien viele Elemente und dafür einen kleineren Polynomgrad zu benutzen. Handelt es sich um eine „glatte“ Geometrie und lassen
sich beim Quellsignal hohe Frequenzen beobachten, wählen wir weniger Elemente und einen höheren
Polynomgrad. Dabei ist zu beachten, dass sich der gewählte Polynomgrad, aus den in Abschnitt 3.2.2
erläuterten Gründen, zwischen fünf und zehn befindet.
In [5] wird erwähnt, dass ein weiterer Vorteil des Prädiktor-Multikorrektor-Verfahrens darin besteht, dass
es sich, ohne zusätzlichen Speicheraufwand und ohne Gradienten höherer Ordnung berechnen zu müssen, auf ein Verfahren vierter Ordnung erweitern lässt. Ein solches Verfahren könnten wir genau wie
unser Prädiktor-Multikorrektor-Verfahren zweiter Ordnung implementieren. Die Stabilitätsbedingungen
übertragen sich ebenso auf das Verfahren vierter Ordnung wie die Tatsache, dass Energie und Impulse
erhalten bleiben. Die Verwendung eines Zeitschritt-Verfahrens höherer Ordnung kann sinnvoll sein, da
für große Zeitintervalle die Ordnung des Zeitschrittverfahrens die der Ortsdiskretisierung überdeckt.
Kapitel 5
Fazit
Im Verlauf dieser Arbeit haben wir die SEM zur Simulation seismischer Wellen betrachtet. Dazu haben wir zu Beginn die seismische Wellengleichung für ein beliebiges Gebiet hergeleitet. Anschließend
haben wir diese Gleichung an die Besonderheiten der Erde angepasst, was insbesondere die Berücksichtigung von Corioliskräften und Eigengravitation umfasste. Außerdem mussten wir die seismische
Wellengleichung für fluide Regionen umformulieren. In diesem Zusammenhang konnten wir auch eine
für Langzeitsimulationen effiziente Methode zur Berücksichtigung von Ozeanen herleiten. Des Weiteren
haben wir kurz skizziert, wie wir mit Hilfe des Momententensors seismische Quellen mathematisch beschreiben können. Daraufhin haben wir uns dem Problem der künstlichen Randbedingungen zugewandt.
Dieses konnten wir durch den Einsatz der PML, einer perfekt angepassten, dämpfenden Schicht, lösen,
welche die seismischen Wellen komplett absorbiert ohne dabei deren natürliches Verhalten in dem Gebiet Ω zu beeinflussen.
Nachdem wir die schwachen Formulierungen der verschiedenen seismischen Wellengleichungen hergeleitet hatten, haben wir uns mit der SEM beschäftigt. Hier sind wir zunächst auf das Problem der
Gittergenerierung eingegangen. Mit Hilfe des Prinzips der würfelförmigen Sphäre haben wir ein Gitter
konstruiert, welches alle Unstetigkeiten der Erde beachtet. Um lokale Unstetigkeiten besser zu approximieren und außerdem die Anzahl irregulärer Elemente zu verringern, haben wir dieses Gitter anschließend um Tetraeder und Keilelemente ergänzt. Zu Beginn haben wir uns jedoch auf solche Elemente
beschränkt, die isomorph zum Einheitswürfel sind, und für diese das Vorgehen der SEM erläutert. Dazu
haben wir die Gauß-Lobatto-Legendre-Punkte eingeführt und diese sowohl zur Interpolation als auch zur
numerischen Integration des Verschiebungsfeldes verwendet. Die Kombination dieser beiden konsistenten Verfahren brachte den Vorteil einer per Konstruktion diagonalen Massenmatrix. Durch die Verwendung der Fekete-Punkte in Tetraedern beziehungsweise in Dreiecken im Tensorprodukt mit den GaußLobatto-Legendre-Punkten in der dritten Dimension für Keilelemente, erhielten wir auch für gemischte
Gitter eine diagonale Massenmatrix. Aufgrund dieser Eigenschaft konnten wir ein anfänglich implizites Newmark-Schema in ein Prädiktor-Multikorrektor-Verfahren überführen, bei welchem nur noch die
Invertierung der Massenmatrix erforderlich war. An dieser Stelle haben wir erwähnt, dass sich das so
beschriebene Verfahren effizient parallelisieren lässt, was im Bereich der Seismologie unerlässlich ist.
Wir haben also ein Verfahren zur numerischen Lösung der seismischen Wellengleichung konstruiert,
welches verschiedene Vorteile hat und deshalb besonders gut zur Simulation der Ausbreitung seismischer Wellen geeignet ist. Ein erster Vorteil besteht in der hohen geometrischen Flexibilität, die auf dem
von uns verwendeten Gitter basiert. Die Methode der PML ermöglicht es uns ressourcenschonend auf
Teilgebieten zu rechnen, da sich die Dicke der eingesetzten dämpfenden Schicht für einen Polynomgrad
von N = 8 auf fünf Gitterpunkte beschränkt. Durch den Einsatz optimaler beziehungsweise nahezu
optimaler Quadraturformeln, sind wir in der Lage, die auftretenden Polynome möglichst exakt zu integrieren. Das anschließend verwendete Zeitschrittverfahren hat den Vorteil, die gesamte Energie sowie
Dreh- und Stoßimpulse zu erhalten. Wir sehen also, dass die SEM von der geometrischen Flexibilität der
Finiten Elemente Methode und der schnellen Konvergenz spektraler Methoden profitiert [6].
35
Literaturverzeichnis
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(2004), Vol. 158, No. 1, p. 131-141, doi: 10.1111/j.1365-246X.2004.02267.x
[4] Collino, Tsogka, Application of the perfectly matched absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media, Geophysics (2001), Vol. 66, No. 1, p.
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[9] Komatitsch, Tromp, Spectral-element simulations of global seismic wave propagation - II. Threedimensional models, oceans, rotation and self-gravitation, Geophysical Journal International
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