E.M. Wellen - physik.uzh.ch

Physik für Studierende der Biologie und Chemie
Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann
Version 27. April 2010
Inhaltsverzeichnis
7 Optik
7.1 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Erzeugung und Spektrum elektromagnetischer Wellen
7.1.2 Das Planck’sche Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Photonen und die Röntgenstrahlung . . . . . . . . . .
7.1.4 Gamma-Quanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
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7.1
7.1
7.2
7.6
7.7
7.8
7.9
Optik
In der Optik befasst man sich wie in der Akustik mit Wellen. Während Schallwellen mechanischen Deformationen in Flüssigkeiten und festen Substanzen bzw. Druckschwankungen in Gasen
entsprechen, besteht die Erregung bei einer elektromagnetischen Welle in zeitlich und örtlich sich
verändernden elektrischen und magnetischen Feldern.
Elektromagnetische Wellen zeigen eine breite Phänomenologie. In einem ersten Kapitel wollen
wir die Erzeugung und die Erscheinungsformen als Funktion der Wellenlänge besprechen. Wird
die Wellenlänge klein gegenüber den geometrischen Ausmassen der Objekte des Raumes, kommt
die geometrische Optik zum Zug, der das zweite Kapitel gewidmet ist. Sind die Objekte im
Bereich der Wellenelänge können Interferenz, Beugung und Polarisation beobachtet werden,
welche im dritten Kapitel betrachtet werden.
7.1
Elektromagnetische Wellen
Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen. Elektrisches und magnetisches Feld stehen
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle und senkrecht zueinander. Wegen des Satze von
Fourier können auch hier alle Wellen als Summe von harmonischen Wellen betrachtet werden.
Bewegt sich eine harmonische, ebene Welle z. B. in der
x-Richtung, so können wir schreiben
E
z
Bz (x, t) = Bz0 sin(kx − ωt) ,
Ey (x, t) = Ey0 sin(kx − ωt) .
x
~ und B
~ sind in Phase, wie dies im nebenstehenden
E
Ortsbild einer solchen harmonischen Welle ersichtlich
ist.
7.1
B
y
Die aus den Maxwell’schen Gleichungen folgende Wellengleichung lautet (für diese Wahl des
Koordinatensystems)
2
2
∂ 2 Ey
∂ 2 Bz
2 ∂ Ey
2 ∂ Bz
=
c
,
=
c
.
∂t2
∂x2
∂t2
∂x2
Dabei ist c2 = 1/0 µµ0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die sogenannte Lichtgeschwindigkeit.
Sie beträgt im Vakuum ( = 1, µ = 1) ca. 3 × 108 m/s und ist völlig unabhängig vom Bewegungszustand der Quelle.
Natürlich gilt auch für die elektromagnetischen Wellen die Beziehungen zwischen Wellenlänge,
Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit:
c=λ·ν
7.1.1
Erzeugung und Spektrum elektromagnetischer Wellen
Grundsätzlich werden elektromagnetische Wellen durch beschleunigte elektrische Ladungen erzeugt. Meistens handelt es sich um oszillierende Ladungen.
Lichtwellen stellen nur jenen kleinen Ausschnitt aus dem Bereich der elektromagnetischen Wellen
dar, der unserem Auge sichtbar ist, nämlich den Bereich von ca. 400 − 750 nm Wellenlänge. In
allen Bereichen des Spektrums werden elektromagnetische Wellen durch beschleunigte, meist
oszillierende Ladungsverteilungen erzeugt (siehe Tabelle 7.1). Die Frequenz der abgestrahlten
Wellen ist dann gleich der Schwingungsfrequenz. So ist die Frequenz von Radiowellen durch die
in der Antenne oszillierenden Elektronen, d. h. durch die Frequenz des Senderschwingkreises
gegeben. Die Abbildungen 7.1 und 7.2 zeigen die Komponenten eines Radiosenders und die
dazugehörigen elektromagnetischen Felder im Nahbereich der Senderantenne. Abbildung 7.3
zeigt die Felder im Fernbereich und zwei Möglichkeiten, eine Empfängerantenne zu konstruieren.
Infrarote, sichtbare und ultraviolette Wellen werden durch die schwingenden und rotierenden
Elektronenverteilungen der Atome und Moleküle in Gasen, Flüssigkeiten und festen Körpern
erzeugt. Röntgenstrahlung entsteht in hochangeregten Atomen sowie beim Abbremsen schneller
Elektronen in Materie. γ-Strahlen werden von angeregten Atomkernen emittiert. Elektromagnetische Wellen aller Frequenzen gelangen auch aus dem Weltraum auf die Erde. Wo und wie sie
entstehen, ist noch nicht in allen Fällen geklärt.
7.2
Strahlungstyp
Wellentyp
GammaStrahlung
RöntgenStrahlung
UltraviolettStrahlung
Sichtbares
Licht
InfrarotStrahlung
Mikrowellen
Radiowellen
(UKW)
Radiowellen
(KW)
Radiowellen
(MW)
Radiowellen
(LW)
Wellenlängenbereich
[m]
λ < 10−11
Frequenzbereich
[ s−1 ]
ν > 3 × 1019
10−11 < λ < 10−8
3 × 1019 > ν > 3 × 1016
10−8 < λ < 4 × 10−7
3 × 1016 > ν > 7.5 × 1014
4 × 10−7 < λ < 7.5 × 10−7
7.5 × 1014 > ν > 4 × 1014
7.5 × 10−7 < λ < 10−4
4 × 1014 > ν > 3 × 1012
10−4 < λ < 10−1
3 × 1012 > ν > 3 × 109
10−1 < λ < 10
3 × 109 > ν > 3 × 107
10 < λ < 102
3 × 107 > ν > 3 × 106
102 < λ < 103
3 × 106 > ν > 3 × 105
103 < λ < 104
3 × 105 > ν > 3 × 104
Erzeugendes
System
Atomkerne
Betatrons
Atomhülle
Röntgenröhre
Atomhülle
(äussere)
Atomhülle
(äussere)
Atomhülle
(Wärme)
Hochfrequenzschwingkreise
Hochfrequenzschwingkreise
Hochfrequenzschwingkreise
Hochfrequenzschwingkreise
Hochfrequenzschwingkreise
Tabelle 7.1: Wellenlängen- und Frequenzbereiche für elektromagnetische Wellen mit den dazugehörigen erzeugenden Systemen.
7.3
C
Speisung
I
e-
induktive
Kopplung
L
P
R
Schwingkreis
1
ω0=
LC
Übertragungskabel
elektromagnetische
Wellen
Elektrische
Dipolantenne
Abbildung 7.1: Prinzipieller Aufbau eines Radiosenders: Eine Energiequelle (Speisung) treibt
einen elektrischen Schwingkreis mit der Eigenfrequenz ω0 . Diese ist induktiv an eine Sendeantenne gekoppelt, in der ein oszillierender Strom von Elektronen zur Emission von elektromagnetischen Wellen mit der Kreisfrequenz ω0 und der Wellenlänge λ = 2πc/ω0 führt.
+ +
I (ϑ) ~ sin2 ϑ
+ +
+
y
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
ϑ
+
++
+
+
+
q,i
+
+
+
+ +
+
+
Antennenachse
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
q,i
+ +
+
+
+
+
B
+
+
P
B
+ +
E
E
Abbildung 7.2: Elektrisches und magnetisches Feld in der Nähe einer Dipolantenne zu einem
bestimmten Zeitpunkt. Die Punkte und Kreuze entsprechen den Magnetfeldrichtungen aus der
Bildebene heraus bzw. in die Bildebene hinein. Aus der Richtung elektrischen Feldlinien ist der
Vorzeichenwechsel des elektrischen Felds nach einer halben Wellenlänge erkennbar. Die Intensität
der emittierten Strahlung variiert mit sin2 θ, d. h. ist maximal in einer Richtung senkrecht zur
Antennenachse.
7.4
I
Strom in der Antenne
B
~
P
B-Feld
I
y
ν = 1GHz, λ = 30cm
x,y
Antenne
15cm
Welle
x
~
z
E
x,z
Ausbreitungsrichtung
B
Empfänger Wellenfeld E
Ausbreitungsrichtung
Empfängerkreis
I
E
L
Audio / Video
Verstärker
C
Antennendraht
verstellbar
ω0
Ringantenne
Ausbreitungsrichtung
B
L
I
C
Audio / Video
Verstärker
Empfänger Wellenfeld B
Abbildung 7.3: Oben: Der oszillierende Elektronenstrom in der Antenne erzeugt ein oszillierendes
Magnetfeld in der Umgebung der Antenne. Obere Mitte: Das elektrische und das magnetische
Feld für eine 15 cm lange Dipolantenne haben eine Wellenlänge von 30 cm entsprechend einer
Frequenz von 1 GHz. Untere Mitte: Das elektrische Feld der Welle erzeugt in der Dipolantenne
des Empfängerkreises einen oszillierenden Strom. Unten: Das oszillierende Magnetfeld der Welle
erzeugt im Antennenring des Empfängers eine Flussänderung und einen induzierten Strom.
7.5
Abbildung 7.4: Das Wärmestrahlungsspektrum des Weltalls.
7.1.2
Das Planck’sche Strahlungsgesetz
In jedem Raum der Temperatur T entsteht eine sogenannte Wärmestrahlung oder Hohlraumstrahlung. Stellen wir uns zum Beispiel eine Hohlkugel vor, deren Wände die Temperatur T
besitzen. Dann werden durch die beschleunigte Bewegung der geladenen Teilchen der Wände
ständig elektromagnetische Wellen erzeugt. Umgekehrt werden auch diese an anderer Stelle
der Wand wieder absorbiert, und regen Atome zum Schwingen an. Mit der Zeit entsteht ein
Gleichgewicht der Strahlungsdichte im Hohlraum, deren Energiedichte durch das Planck’sche
Strahlungsgesetz gegeben ist (ohne Herleitung):
u(ν, T ) =
8πν 2
hν
3
hν/kT
c
e
−1
Die Einheit von u ist Joule / m3 ·Hz, also Energie pro Volumen und Frequenzintervall.
Den grössten “Hohlraum”, den wir kennen, ist das Universum. Sein Wärmestrahlungsspektrum
zeigt Figur 7.4. Das Maximum liegt im Wellenlängenbereich von einigen cm, man spricht deshalb
auch von kosmischer Mikrowellen-Hintergrund-Strahlung (CMBR). Das Spektrum entspricht
einer Temperatur von 2.73 K.
In der Tat bestimmt die Temperatur die Position λmax des Maximums des Spektrums. Das
Wien’sche Verschiebungsgesetz leitet sich aus dem Planck’schen Gesetz ab, und besagt:
λmax =
2.8978 × 10−3 m · K
T
Die wichtigste Quelle elektromagnetischer Strahlung, ohne welche auf der Erde kein Leben
möglich wäre, ist die Sonne. Sie ist, in guter Näherung ein Wärmestrahler. Das Maximum
7.6
[HS]
Detektor
20
Fokus
α1
15
β1
Kristall
d
dλ
-
α1
β α2
Anode
10
Ag : Z = 47; V = 40KV
(λ) =
+ V
K
Kollimator
Kathode
5
0
~ Heizung
1
L
β4
β3
λ min. 0.311 Å
0
L
L1
2
λÅ
3
α2
4
η
l
5
Abbildung 7.5: Schematische Funktionsweise einer Röntgenröhre und das damit erzeugte Spektrum elektromagnetischer Strahlung.
des Spektrums der Sonnenoberfläche (Temperatur ca. 6000 K) liegt im sichtbaren Bereich des
elektromagnetischen Spektrums (ca. 500 nm).
Dagegen fällt nur ein kleiner Teil (< 5%) der Strahlung einer Glühlampe in den sichtbaren
Bereich, da die Temperatur des Glühfadens viel tiefer liegt, als die Sonnenoberfläche.
Im Gegensatz zu den Wärmestrahlern mit ihrem kontinuierlichen Spektrum erzeugen einatomige
Gase Linienspektren (scharfe Maxima der Intensität bei bestimmten Wellenlängen) und mehratomige Gase Bandenspektren (Sequenzen eng benachbarter Linien). Die Linien und Banden sind
charakteristisch für die Art der Atome und Moleküle. In Absorption treten dieselben Linien und
Banden auf. Daher wird das Spektrum der auf die Erde fallenden Sonnenstrahlung durch die in
der Atmosphäre vorhandenen Gase (z. B. Ozon, CO2 ) stark beeinflusst.
7.1.3
Photonen und die Röntgenstrahlung
In der Röntgenröhre prallen durch ein elektrisches Feld beschleunigte hochenergetische Elektronen auf ein Metall - die sogenannte Antikathode oder Anode (siehe Figur 7.5).
Für Röntgenstrahlung existieren zwei verschiedene Produktionsmechanismen. Es kommt einerseits zur Anregung tief im Innern der Atome liegender Elektronenzustände, andererseits zum
Abbremsen der Elektronen.
Um diese zu verstehen, müssen wir vorerst die duale Natur der elektromagnetischen Strahlung
zur Kenntnis nehmen: Jede Energieübertragung mit elektromagnetischer Strahlung ist quantisiert (so wie die elektrischen Ladungen quantisiert sind). Das Quantum der Strahlungsenergie
heisst Photon. Jede elektromagnetische Strahlung hat somit gleichzeitig Welleneigenschaften, als
auch Teilcheneigenschaften.
Die Energie eines Photons hängt von der Frequenz ν der elektromagnetischen Welle ab:
E = hν
h = Plancksche Konstante
7.7
Die mit Hilfe elektromagnetischer Strahlung übertragene Energie ist immer ein ganzzahliges
Vielfaches der Photonenergie h ν.
Nun zurück zu unserer Röntgenröhre:
Der erste Prozess der beiden relevanten Prozesse führt zu dem vom Antikathodenmaterial
abhängigen, charakteristischen Linienspektrum. Die Linien entstehen dann wenn ein Elektron
aus einer tiefen Elektronen - Schale eines Anodenatoms durch die eingebrachte Energie der
beschleunigten Elektronen herausgeschlagen wird. Dann kann ein Elektron aus einer höheren
Schale in das entstehende Loch fallen, und sendet dabei seine überschüssige Energie als Photon
fester Energie aus. Die Quantenenergien der Röntgenlinien hängen vom Anodenmaterial ab und
sind näherungsweise proportional Z 2 .
Der zweite Prozess führt zum kontinuierlichen Bremsspektrum mit einer minimalen Wellenlänge
λmin (siehe Figur 7.5 rechts). Zur Wellenlänge λmin gehört infolge der Beziehung λmin ν0 = c
eine maximale Quantenenergie hν0 . Sie wird dann erreicht, wenn sich die gesamte kinetische
Energie eines Elektrons (T = eV0 für eine Beschleunigungsspannung V0 ) in einem einzigen
Abbremsprozess in Strahlung verwandelt:
hν0 = eV0 , λmin =
7.1.4
hc
.
eV0
Gamma-Quanten
γ-Quanten sind besonders hochenergetische Photonen, sie entstehen bei radioaktiven Zerfällen
angeregter Kernzustände oder bei der elektromagnetischen Wechselwirkung von Elementarteilchen. Zu den letzteren gehören die Annihilationsquanten von Teilchen-Antiteilchenpaaren. Die
Grenze zwischen den Wellenlängenbereich der Röntgen- und γ-Quanten ist nicht scharf definiert.
Häufig im Labor verwendete Quellen für Kerngammastrahlung sind:
1.
60 Co
2.
137 Cs
ist radioaktiv mit der Halbwertszeit t1/2 = 5.26 y. Der Kern zerfällt unter Emission eines β-Teilchens (Elektron, siehe unten) in einen angeregten Zustand von 60 Ni. Dieser
zerfällt unter Emission von zwei γ-Quanten der Energie 1.17 bzw. 1.33 MeV in den Grundzustand. Das γ-Spektrum enthält daher zwei Linien.
ist β − -aktiv mit t1/2 = 30 y. Es zerfällt in 137 Ba. Der elektromagnetische Übergang
zum Grundzustand von 137 Ba hat die Quantenenergie 0.662 MeV. Eine 137 Cs-Quelle ist
monochromatisch.
3. Ein ruhendes Elektron-Positronpaar mit der Ruheenergie 2m0 c2 = 1.02 MeV kann verschwinden (Annihilation) unter Emission von zwei γ-Quanten, die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung wegfliegen. Die beiden Annihlationsquanten erscheinen in Koinzidenz.
4.
22 Na
ist radioaktiv mit t1/2 = 2.58 y. Es zerfällt unter Elektroneneinfang oder β + -Emission
(Positron, siehe unten) in Zustände von 22 Ne mit einem elektromagnetischen Übergang
von 1.28 MeV in den Grundzustand. Die Strahlung einer 22 Na-Quelle enthält Quanten
der Energie 1.28 MeV und 0.511 MeV. Letztere sind Annihilationsquanten, die entstehen,
wenn das Positron auf ein Elektron trifft.
7.8
Bemerkung: Neben der Gammastrahlung gibt es auch Alpha- und Betastrahlung. Dabei handelt
es sich nicht um elektromagnetische Strahlung:
Bei Alphastrahlung sendet ein Atomkern ein α=Teilchen (=Heliumkern) aus, und verringert
daher seine Neutronen- und Protonenzahl um je 2. Bei den in der Natur vorkommenden Alphastrahlern handelt es sich um sehr schwere Kerne (grosses A), zum Beispiel Uran, Thorium,
Radium, Radon.
Bei Betastrahlen sendet der Kern ein Elektron (β − ) oder ein Positron (β + ) aus. Dabei verwandelt
sich im Kern ein Neutron in Proton um, bzw. umgekehrt. (Bei Betastrahlen entstehen immer
auch Neutrinos, die aber nur sehr schwer nachweisbar sind). Es wird also die Zahl der Neutronen
um eins erniedrigt und die Zahlder Protonen erhöht, bzw. umgekehrt. Die Massenzahl A bleibt
also erhalten. Natürlich vorkommende Betastrahler sind zum Beispiel 40 K oder 198 Au.
7.1.5
Dopplereffekt
Bei den elektromagnetischen Strahlen gibt es ebenfalls ein Dopplereffekt, ähnlich wie bei Materiewellen. Da es hier aber kein Medium gibt, in dem sich die Strahlung fortpflanzt, unterscheidet
sich die Formel für die Dopplerverschiebung leicht. Sei v die relative Geschwindigkeit zwischen
Quelle und Beobachter, c die Lichtgeschwindigkeit, ν die abgestrahlte Frequenz und ν 0 die beobachtete Frequenz. Es gilt
s
1 + vc
0
ν =ν·
1 − vc
Dabei kommt es nur auf die relative Geschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter an, deren
absolute Geschwindigkeiten im Raum spielt keine Rolle. v ist positiv zu nehmen, wenn sich
Beobachter und Quelle einander nähern.
7.9