dissertation
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Modellierung der Druckzerkleinerung bei unterschiedlichen Krafteinleitungsbedingungen Von der Fakultät für Maschinenbau, Verfahrens- und Energietechnik der Technischen Universität Bergakademie Freiberg genehmigte DISSERTATION zur Erlangung des akademischen Grades Doktor-Ingenieur Dr.-Ing., von geboren am Dipl.-Ing. Roman Sobol 28.01.1974 in Krakau Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Georg Unland, Freiberg Prof. Dr. rer. nat. habil. Ditrich Stoyan, Freiberg Prof. Dr.-Ing. Tadeusz Banaszewski, Krakau Tag der Verleihung: Freiberg, 28.03.2008 Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Forschungsstudent am Institut für Aufbereitungsmaschinen unter der Leitung von Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Unland der Technischen Universität Bergakademie Freiberg. Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Unland danke ich für seine Anregung zum Dissertationsthema sowie für die Unterstützung und die gegebenen Hinweise während der Durchführung der Arbeit. Der Firma TyssenKrupp Fördertechnik GmbH Aufbereitungstechnik danke ich für die Unterstützung und zahlreichen Diskussionen während der Bearbeitung des Themas. Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. T. Banaschewski und Herrn Prof. Dr. rer. nat. habil. D. Stoyan danke ich für die Übernahme des Korreferates. Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. R. Ciesielski und seiner Frau danke ich herzlich für ihre sprachliche und fachliche Unterstützung. Herrn Prof. Dr. rer. nat. habil. D. Stoyan und Herrn Dipl. Math. H. Martin danke ich für ihre mathematischen Beratungen. Mein Dank gilt auch den Mitarbeitern des Institutes für Aufbereitungsmaschinen für vielfältige Unterstützungen. III Inhaltverzeichnis: Seite Bildverzeichnis .............................................................................................V Tabellenverzeichnis ....................................................................................IX Symbolverzeichnis ......................................................................................XI 1 Einleitung und Zielstellung ................................................................... 1 2 Wissenschaftlich-technischer Stand zur Zerkleinerung spröder Stoffe .................................................................................................... 4 2.1 Theoretische Erkenntnisse zur Zerkleinerung spröder Stoffe......................4 2.2 Empirische Erkenntnisse zur Zerkleinerung spröder Stoffe.........................9 2.3 Stochastische Bruchmechanik ..................................................................15 3 Präzisierung der Aufgabenstellung ................................................... 19 4 Experimentelle Untersuchungen........................................................ 21 5 6 4.1 Versuchsapparatur ....................................................................................21 4.2 Festlegung und Auswahl der Versuchsmaterialien und deren Beschreibung ..........................................................................................................25 4.3 Versuchsplanung.......................................................................................30 4.4 Durchführung der Versuche ......................................................................32 Beschreibung der Methode nach Raaz.............................................. 36 5.1 Berechnung der PLT-Festigkeit nach der ISRM-Norm ..............................36 5.2 Modifizierung des PLT-Auswerteverfahrens..............................................37 5.3 Genauigkeit der PLT- Kennwerte ..............................................................39 Beschreibung der Weibull-Analyse ................................................... 43 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 Weibull-Verteilung .....................................................................................43 Definition, Erwartungswerte und andere Kenngrößen ..............................43 Schätzung der Weibull-Parameter ............................................................45 Weibull-Diagramm ....................................................................................48 6.2 Auswertung der PLT-Ergebnisse entsprechend der Weibull-Verteilung....53 6.3 Auswertung der DVS-Ergebnisse entsprechend der Weibull-Verteilung ...54 6.4 Weibull-Theorie .........................................................................................57 6.4.1 Grundlegende Erkenntnisse und Begriffe .................................................57 IV 6.4.2 Mehrdimensionaler Fall mit homogener Spannungsverteilung .................58 6.4.3 Mehrdimensionaler Fall mit inhomogener Spannungsverteilung...............60 6.4.4 Größeneffekt .............................................................................................63 7 8 Darstellung der Ergebnisse ................................................................ 65 7.1 Darstellung und Diskussion der Ergebnisse nach der Methode von Raaz 65 7.2 Darstellung und Diskussion der Ergebnisse nach der Weibull-Theorie .....75 Zusammenfassung und Ausblick ...................................................... 84 Literaturverzeichnis ................................................................................... 88 Anlagenverzeichnis .................................................................. Anlagen 1 und 2 V Bildverzeichnis Bild 1-1: Schematische Darstellung ausgewählter Grobzerkleinerungsmaschinen: a) Backenbrecher, b) Kegelbrecher, c) Profilwalzenbrecher ....................................................................................1 Bild 2-1: Druckbelastung bei unterschiedlichen Krafteinleitungsbedingungen: a) Flächenbelastung (Platte – Platte), b) Punktbelastung (Spitze – Spitze).................................................................................................4 Bild 2-2: (a) Scheibe mit einem ellipsenförmigen Loch bei einachsigen Zugspannungen; (b) Spannungsverteilung im Bereich der Lochspitze ..................................................................................................5 Bild 2-3: Risslänge-Energie-Diagramm.............................................................7 Bild 2-4: Spannungs- Dehnungs- Diagramm für einaxialen Druckversuch .......8 Bild 2-5: Kraft-Weg- Kurvenverlauf (Diorit aus Hohwald, DD = 300 mm)...........8 Bild 4-1: Großes Punktlastversuchsgerät........................................................21 Bild 4-2: Wegaufnehmer am großen Punktlastversuchsgerät .........................22 Bild 4-3: Druckversuchsstand (Hydraulische Presse) .....................................23 Bild 4-4: Druckmessdosen am Druckversuchsstand.......................................24 Bild 4-5: Wegaufnehmer am Druckversuchsstand ..........................................24 Bild 4-6: Anteil der abgebauten und aufbereiteten Gesteinsarten in Deutschland [77] ...............................................................................25 Bild 4-7: Hartgesteine: a) Quarzporphyr, b) Basalt, c) Diabas, d) Diorit..........26 Bild 4-8: Dünnschliff (Quarzporphyr)...............................................................28 Bild 4-9: Dünnschliff (Basalt)...........................................................................28 Bild 4-10: Dünnschliff (Diabas)..........................................................................29 Bild 4-11: Dünnschliff (Diorit) ............................................................................29 Bild 4-12: Prüfkörper beim Point-Load-Test mit vorgeschlagenen Proportionsgrenzen nach Brook [5])....................................................................33 Bild 4-13: Prüfkörper beim Druckversuchsstand mit vorgeschlagenen Proportionsgrenzen .....................................................................................35 Bild 5-1: Darstellung der Daten eines Punktlastversuches im logarithmischen Netz........................................................................................38 Bild 6-1: Weibull-Verteilung mit σ o = 5 und mW = 5 (grün); mW = 20 (blau); mW = 40 (rot)....................................................................................44 VI Bild 6-2: Weibull-Verteilung mit mW = 5 und σ 0 = 2 (grün); σ 0 = 7 (blau); σ 0 = 20 (rot) .....................................................................................44 Bild 6-3: Weibull-Diagramm: Beide Achsen metrisch skaliert..........................51 Bild 6-4: Weibull-Diagramm: Beide Achsen logarithmisch skaliert (Die senkrechte Achse wurde zusätzlich mit den Wahrscheinlichkeiten in % beschriftet) ................................................................................51 Bild 6-5: Weibull-Diagramm: x-Achse logarithmisch skaliert, y-Achse metrisch ............................................................................................52 Bild 6-6: Weibull-Diagramm: x-Achse metrisch skaliert, y-Achse logarithmisch ................................................................................................52 Bild 6-7: Darstellung der Teilmenge................................................................58 Bild 6-8: Darstellung des Volumeneinflusses im doppeltlogarithmischen Maßstab............................................................................................63 Bild 7-1: Approximierte Mittelwerte der Reaktionskraft (großes Punktlastversuchsgerät, 50 mm Äquivalentdurchmesser)....................................66 Bild 7-2: Approximierte Mittelwerte der Reaktionskraft (großes Punktlastversuchsgerät, 100 mm Äquivalentdurchmesser)..................................66 Bild 7-3: Approximierte Mittelwerte der Reaktionskraft (großes Punktlastversuchsgerät, 300 mm Äquivalentdurchmesser)..................................66 Bild 7-4: Zerkleinerungsorgane der Profil-Walzenbrecher ..............................68 Bild 7-5: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 50 mm Äquivalentdurchmesser, 5 % Plattenabstandsänderung) .....69 Bild 7-6: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 100 mm Äquivalentdurchmesser, 5 % Plattenabstandsänderung) ...69 Bild 7-7: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 300 mm Äquivalentdurchmesser, 5 % Plattenabstandsänderung) ...69 Bild 7-8 Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 50 mm Äquivalentdurchmesser, 10 % bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) ...............................................................................70 Bild 7-9: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 100 mm Äquivalentdurchmesser, 10 % bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) ...............................................................................70 Bild 7-10: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 300 mm Äquivalentdurchmesser, 10 % bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) ...............................................................................70 VII Bild 7-11: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 50 mm Äquivalentdurchmesser, 20 % Plattenabstandsänderung) ...71 Bild 7-12: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 100 mm Äquivalentdurchmesser, 20 % Plattenabstandsänderung) .71 Bild 7-13: Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 300 mm Äquivalentdurchmesser, 20 % Plattenabstandsänderung) .71 Bild 7-14: Schematische Arbeitsweise der Doppelkniehebel-Backenbrecher ...72 Bild 7-15: Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser D (großes Punktlastversuchsgerät) ............................76 Bild 7-16: Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser DD (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung) .........................................................................................77 Bild 7-17: Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser DD (Druckversuchsstand, 10 % bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) ...........................................................................77 Bild 7-18: Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser DD (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung) .........................................................................................78 Bild 7-19: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 81 mm , D 22 = 153 mm ).............................................................79 Bild 7-20: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D 22 = 153 mm , D 32 = 384 mm ) ..........................................................79 Bild 7-21: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 81 mm , D 32 = 384 mm ) .............................................................79 Bild 7-22: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 71 mm , D 22 = 138 mm ) .............................................................80 VIII Bild 7-23: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D 22 = 138 mm , D 32 = 380 mm ) ..........................................................80 Bild 7-24: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 71 mm , D 32 = 380 mm ).............................................................80 Bild 7-25: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 81 mm , DD = 165 mm ) .........81 Bild 7-26: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, DD ,2 = 165 mm , DD ,3 = 443 mm ).....81 Bild 7-27: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 81 mm , DD ,3 = 443 mm ) .......81 Bild 7-28: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 69 mm , DD ,2 = 163 mm ) .......82 Bild 7-29: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, DD ,2 = 163 mm , DD ,3 = 424 mm ).....82 Bild 7-30: Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 63 mm , DD ,3 = 424 mm ).......82 IX Tabellenverzeichnis Tabelle 4-1: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für das große Punktlastversuchsgerät ...................................................................................30 Tabelle 4-2: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für Druckversuchstand (5 % Plattenabstandsänderung) .......................................................31 Tabelle 4-3: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für Druckversuchstand (10 % und 15 % Plattenabstandsänderung) .....................................31 Tabelle 4-4: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für Druckversuchstand (20 % Plattenabstandsänderung) .....................................................32 Tabelle 5-1: Gegenüberstellung der Symbole für PLT- und DVS-Versuche .........42 Tabelle 6-1: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom großen PLT-Gerät für harte Gesteine und Glas ...................................................................53 Tabelle 6-2: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom Druckversuchsstand (bei Änderung des Plattenabstandes von 5 %) für harte Gesteine und Glas ...........................................................................................54 Tabelle 6-3: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom Druckversuchsstand (bei Änderung des Plattenabstandes von 10 und 15 %) für harte Gesteine und Glas .................................................................................55 Tabelle 6-4: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom Druckversuchsstand (bei Änderung des Plattenabstandes von 20 %) für harte Gesteine und Glas ...........................................................................................56 Tabelle 7-1: Steigungskonstante m, logarithmische Reststandardabweichung slgP der Reaktionskraft für großes PLT-Gerät....................................68 Tabelle 7-2: Steigungskonstante mD, logarithmische Reststandardabweichung slgP,D der Reaktionskraft für Druckversuchsstand (5 % Plattenabstandsänderung) ...............................................................................73 Tabelle 7-3: Steigungskonstante mD, logarithmische Reststandardabweichung slgP,D der Reaktionskraft für Druckversuchsstand (10 % bzw. 15 % Plattenabstandsänderung)................................................................73 Tabelle 7-4: Steigungskonstante mD, logarithmische Reststandardabweichung slgP,D der Reaktionskraft für Druckversuchsstand (20 % Plattenabstandsänderung) ...............................................................................74 Tabelle 7-5: Mittlerer Kornformwinkel für alle Aufgabekorngrößen von Festgesteinen und Glas bei 5 % Plattenabstandsänderung ........................74 X Tabelle 7-6: Mittlerer Kornformwinkel für alle Aufgabekorngrößen von Festgesteinen und Glas bei 10 % bzw. 15 % Plattenabstandsänderung.....75 Tabelle 7-7: Mittlerer Kornformwinkel für alle Aufgabekorngrößen von Festgesteinen und Glas bei 20 % Plattenabstandsänderung ......................75 XI Symbolverzeichnis Zeichen Benennungen Einheit A Ellipsenfläche aus der Kornformanalyse [mm2] A1 Kreisfläche [mm2] AP Projektionsfläche aus der Korngrößenanalyse [mm2] Az Wirksame Kolbenfläche [mm2] a Breite der Projektionsfläche aus der Kornformanalyse [mm] B Probenbreite (DVS-Versuch) [mm] BK Beliebiger Körper [-] b Länge der Projektionsfläche aus der Kornformanalyse [mm] be Ellipsenhalbachsen, Rissbreite [mm] C Messhöhe des Aufgabekornes (DVS-Versuch) [mm] C Mittlere Messhöhe aus allen Proben in jeder Aufgabefraktion (DVS-Versuch) [mm] c Ellipsenhalbachsen, Risslänge [mm] cF Skalierungsfaktor [1/MPa] XII D Äquivalentdurchmesser (PLT-Versuch) [mm] DD Äquivalentdurchmesser (DVS-Versuch) [mm] D Mittlerer Äquivalentdurchmesser aus allen Proben in jeder Aufgabefraktion (PLT-Versuch) [mm] DD Mittlerer Äquivalentdurchmesser aus allen Proben in jeder Aufgabefraktion (DVS-Versuch) [mm] Dmax Maximaler Äquivalentdurchmesser (PLT-Versuch) [mm] Dmin Minimaler Äquivalentdurchmesser (PLT-Versuch) [mm] DD,max Maximaler Äquivalentdurchmesser (DVS-Versuch) [mm] DD,min Minimaler Äquivalentdurchmesser (DVS-Versuch) [mm] d Probenhöhe bzw. Prüfspitzenabstand (PLT-Versuch) [mm] E Elastizitätsmodul (E-Modul) [N/mm2] F Korngrößenkorrekturfaktor (PLT-Versuch) [-] FD Korngrößenkorrekturfaktor (DVS-Versuch) [-] FXZ (x) Verteilungsfunktion der Zufallsgröße XZ [-] fi Kornformwinkel [°] fXZ (x) Dichtefunktion der Zufallsgröße XZ [-] XIII g Konstanter Einflussfaktor [-] h Änderung des Plattenabstandes [mm] hp Prozentuale Änderung des Plattenabstandes [%] I PLT-Festigkeit [MPa] ID Festigkeit für unregelmäßig geformte Festgesteine [MPa] ID,N Festigkeit für idealen Wert N [MPa] IN PLT-Festigkeit für idealen Wert N [MPa] PLT-Festigkeit für idealen Wert N (laut Regressionsgerade) [MPa] k Umrechnungsfaktor [-] kD,N Gesteinsspezifischer Exponent des Korngrößenkorrekturfaktors (DVS-Versuch) [-] kN Gesteinsspezifischer Exponent des Korngrößenkorrekturfaktors (PLT-Versuch) [-] Lmax Maximale Probenlänge (DVS-Versuch) [mm] lL Probenlänge (PLT-Versuch) [mm] m Steigungskonstante der Reaktionskraft-Regressionsgeraden (PLT-Versuch) [-] m̂ Näherungswert der Steigungskonstanten m [-] ∆m Absoluter Fehler der Steigungskonstanten der Reaktionskraft-Regressionsgeraden (PLT-Versuch) [-] I N XIV mD Steigungskonstante der Reaktionskraft-Regressionsgeraden (DVS-Versuch) [-] ∆mD Absoluter Fehler der Steigungskonstanten der Reaktionskraft-Regressionsgeraden (DVS-Versuch) [-] mW Weibull-Modul (Formparameter der Weibull-Verteilung, Steigung der Ausgleichsgerade im Weibull-Netz) [-] m̂W Näherungswert des Weibull-Moduls [-] mW ,I Weibull-Modul (PLT-Versuch) [-] mW ,ID Weibull-Modul (DVS-Versuch) [-] n Anzahl der Proben [-] P Reaktionskraft (PLT-Versuch) [N] PD Reaktionskraft (DVS-Versuch) [N] PD,N Reaktionskraft für ideale Werte N (DVS-Versuch) [N] PD,O Obere Grenze des Vertrauensintervalls für die Reaktionskraft der Regressionsgeraden (DVS-Versuch) [N] PD,U Untere Grenze des Vertrauensintervalls für die Reaktionskraft der Regressionsgeraden (DVS-Versuch) [N] PN Reaktionskraft für ideale Werte N (PLT-Versuch) [N] P̂N Näherungswert der Reaktionskraft PN [N] PO Obere Grenze des Vertrauensintervalls für die Reaktionskraft der Regressionsgeraden (PLT-Versuch) [N] PU Untere Grenze des Vertrauensintervalls für die Reaktionskraft der Regressionsgeraden (PLT-Versuch) [N] Rd Reelle Zahlen [-] XV r Radius der Ellipsenfläche aus der Kornformanalyse [mm] sI Standardabweichung (PLT-Versuch) [MPa] Standardabweichung (DVS-Versuch) [MPa] s I ,% Prozentuale Standardabweichung (PLT-Versuch) [%] sI Prozentuale Standardabweichung (DVS-Versuch) [%] s2lgP Streuung oder Reststreuung der logarithmierten Reaktionskraft P (PLT-Versuch) [lg N] slgP Reststandardabweichung der logarithmierten Reaktionskraft P (PLT-Versuch) [lg N] s2lgP,D Streuung oder Reststreuung der logarithmierten Reaktionskraft P (DVS-Versuch) [lg N] slgP,D Reststandardabweichung der logarithmierten Reaktionskraft P (DVS-Versuch) [lg N] su / so Untere bzw. obere Festigkeit an der Stelle x [MPa] s(x) Festigkeit an der Stelle x [MPa] T Abstand von Kornspitze zur letzten KornformanalysenSchnittfläche (Summe aller t) [mm] TK Beliebige Teilmenge von BK [-] t Abstand von Kornspitze zu einer KornformanalysenSchnittfläche [mm] U Totale Energie in einer Scheibe [J] UE Elastisch gespeicherte Energie [J] US Dissipierte Energie [J/mm] sI D D ,% XVI V Volumen des Körpers [mm3] W Zerkleinerungsarbeit (PLT-Versuch) [J] Wa Arbeit der äußeren Kraft [J] w Mittlere Breite [mm] xI Erwartungswert (PLT-Versuch) [MPa] x ID Erwartungswert (DVS-Versuch) [MPa] XZ Stetige Zufallsgröße [-] x Punkt bzw. Ort der Fehlstelle im Körper [-] yi i-ter Wert der logarithmierten Reaktionskraft [N] Γ Gammafunktion [-] λ Räumliche Intensität (Mittlerer Anzahl der Fehlstellen im Probenkörper) [-] λ(x), λ(x) Intensitätsfunktion des jeweiligen Poisson-Prozesses [-] μ Parameter der Poisson-Verteilung [-] γ Schiefe der Weibull-Verteilung [-] γE Oberflächenenergie [N/mm2] ν Relative Verschiebung der Rissfläche [mm] θ(s) Festigkeitsintensitätsfunktion [MPa] Σ′ Äußere Belastung [MPa] Σ Zufällige Festigkeit [MPa] XVII ρ Krümmungsradius der Ellipse [mm] σ Festigkeit bzw. Bruchfestigkeit [MPa] σB Druck [MPa] σ0 Skalenparameter der Weibull-Verteilung (Anstieg der Regressionsgeraden) [MPa] σ' Spannung bzw. Belastungsspannung [MPa] σ 0′ Reziproker Skalierungsparameter [MPa] σ 1′ , σ 2′ Mittlere Bruchspannung des ersten bzw. zweiten Körpers [MPa] σ'cr Kritische Spannung [MPa] σ'o Einachsige Spannung [MPa] σ̂ 0 Näherungswert der Skalenparameter der Weibull-Verteilung [MPa] σ'(x) Belastungsspannung an der Stelle x [MPa] σ'y Spannung an der Ellipsenspitze [MPa] ε Dehnung [-] 1 1 Einleitung und Zielstellung Zerkleinerungsmaschinen werden für die Aufbereitung spröder und nicht-spröder mineralischer Rohstoffe (z.B. Gesteine, Salze), für die Zerkleinerung von Zwischen- und Fertigprodukten der Baustoffindustrie, der chemischen, keramischen und Nahrungsmittelindustrie sowie im Recyclingbereich für die Aufbereitung von Sekundärrohstoffen eingesetzt. Die Einteilung der Zerkleinerungsmaschinen erfolgt dabei nach der Beanspruchungsart (physikalisches Wirkprinzip: z.B. Druck, Scherung, Schlag), nach den Korngrößen- und Festigkeitseigenschaften des Zerkleinerungsgutes und nach konstruktiven Gesichtspunkten. Hinsichtlich der Festigkeitseigenschaften erfolgt die Strukturierung der Zerkleinerungsmaschinen in Hart- (z.B. Basalte, Diorite, Amphibolite), Mittelhart- (z.B. Kalksteine, Sandstein, Dolomite) und Weichzerkleinerung (z.B. Weichbraunkohle, Halit, Tone). Die Strukturierung nach den Korngrößeneigenschaften erfolgt in Grob- (Grobbrechen), Mittel- (Nachbrechen), Fein(Grob-, Feinmahlen) und Feinstzerkleinerung (Feinst-, Kolloidmahlen) [54, 56, 64, 66]. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Druckbeanspruchung bei der Grobzerkleinerung von spröden Stoffen. In Bild 1-1 sind die wichtigsten Grobzerkleinerungsmaschinen für die Druckbeanspruchung spröder Stoffe dargestellt. a) b) Aufgabe Austrag c) Aufgabe Aufgabe Austrag Austrag Bild 1-1: Schematische Darstellung ausgewählter Grobzerkleinerungsmaschinen: a) Backenbrecher, b) Kegelbrecher, c) Profilwalzenbrecher 2 Die in den Grobzerkleinerungsprozessen eingesetzten Grobzerkleinerungsmaschinen, wie z.B. Backenbrecher, Kegelbrecher, Profilwalzenbrecher, sind hinsichtlich ihrer Belastung starken Schwankungen ausgesetzt, die vor allem durch unterschiedliche Zerkleinerungskräfte bedingt sind. Die starken Schwankungen der Zerkleinerungskräfte resultieren aus folgenden Ursachen: - Art der Krafteinleitung (Belastung der Zerkleinerungswerkzeuge) - stoffspezifischen Eigenschaften (z.B. Festigkeit, Inhomogenität, Porosität, Dichte, Mineralbestand, Gefüge (Struktur und Textur)) - Granulometrie des Aufgabegutes (Korngröße und -form). Für die Festigkeitsauslegung der Grobzerkleinerungsmaschinen für spröde Stoffe gibt es zwei empirische Berechnungsmethoden ohne und mit Berücksichtigung der Stoffeigenschaften. Die erste Berechnungsmethode basiert auf der Abhängigkeit von der Maschinengeometrie und die zweite basiert einerseits auf der Berücksichtigung der Stoffkennwerte (z.B. Ermittlung der Reaktionskraft aus der Zerkleinerungsarbeit mit Hilfe der einaxialen Druckfestigkeit nach Battaglia [56] oder der empirisch ermittelten rechnerischen Spannung nach Olevskij [52] und Baumann [53]) und andererseits nach Mölling [55] auf der Berücksichtigung der Zerkleinerungsarbeit (Bondindex). Die Ergebnisse dieser zwei Berechnungsmethoden liefern vielfach nur grobe Schätzwerte, so dass deutlich überdimensionierte Maschinen (d.h. hohe Gewichtskräfte) die Folge sind und somit eine sinnvolle praktische Auslegung nicht möglich ist. Die in der Literatur [z.B. 54, 56, 64, 65] angegebenen Auslegungsmethoden von Grobzerkleinerungsmaschinen basieren im Wesentlichen auf diesen zwei Verfahren. Daher ist es das Ziel der vorliegenden Dissertation, die Zerkleinerungskräfte sowie Stoffkennwerte bei unterschiedlichen Krafteinleitungsbedingungen für unterschiedliche Stoffeigenschaften, Aufgabekorngrößen bei konstanter Beanspruchungsgeschwindigkeit experimentell zu ermitteln. Die experimentell ermittelten Werte sind aufgrund der natürlichen Stoffinhomogenität mit einer Streuung behaftet. Daher ist es notwendig die Ergebnisse mit mathematisch-statistischen Methoden auszuwerten. Die statistisch abgesicherten Ergebnisse können dann für die Auslegung von Grobzerkleinerungsmaschinen mit entsprechender statistischer Sicherheit verwendet werden. 3 Die nachfolgende Auswertung des wissenschaftlich - technischen Standes befasst sich daher mit den theoretischen und empirischen Erkenntnissen bei der Zerkleinerung spröder Stoffe sowie mit den verschiedenen Bruchtheorien. 4 2 Wissenschaftlich-technischer Stand zur Zerkleinerung spröder Stoffe Die Maschinen zur Grobzerkleinerung spröder Stoffe (z.B. Hartgesteine, Glas) lassen sich durch zwei verschiedene Beanspruchungsmechanismen charakterisieren. Die dominierende Beanspruchungsart ist dabei die Druckbeanspruchung, der häufig eine Scherbeanspruchung überlagert ist. Die Druckbeanspruchung wird weiterhin nach der Art der Krafteinleitung durch die Werkzeuggeometrie in Flächenbelastung (Platte - Platte) und Punktbelastung (Spitze - Spitze) unterteilt (Bild 2-1). a) Bild 2-1: b) Druckbelastung bei unterschiedlichen Krafteinleitungsbedingungen: a) Flächenbelastung (Platte – Platte), b) Punktbelastung (Spitze – Spitze) Für die Beschreibung des Bruchvorganges existieren unterschiedliche Bruchtheorien, die aber für die Festigkeitsermittlung heterogener Stoffe nicht ausreichend sind. Die bekannten Theorien stützen sich auf theoretische, empirische und stochastische Erkenntnisse. Da die empirischen Erkenntnisse für die Dimensionierung der Grobzerkleinerungsmaschinen spröder Stoffe und ihrer Arbeitsorgane nicht ausreichend sind, ist es notwendig mehrere Versuchsreihen für verschiedene Stoffarten und Korngrößen durchzuführen. 2.1 Theoretische Erkenntnisse zur Zerkleinerung spröder Stoffe Die physikalische Beschreibung des Bruchvorganges erfolgte durch verschiedene Theorien, z.B. die Mohrsche Bruchtheorie, die Mohr-Coulomb-Navier Theorie, die Griffith-Theorie bzw. die Anderson-und-McClintock-Walsh-Theorie [76]. Für die weiteren Untersuchungen ist dabei die Theorie von Griffith geeignet, die im Folgenden näher erläutert wird. 5 1920 legte Griffith [9] erstmals eine Theorie vor, welche das Versagen spröder Stoffe beschreibt. Ausgehend von der Überlegung, dass in jedem Material feine Risse vorhanden sind, untersuchte er mit einer Energiebetrachtung die Voraussetzungen für deren Wachstum. Die bekannte Feststellung, dass die tatsächliche Bruchfestigkeit nur gleich einem Bruchteil der theoretischen Molekularfestigkeit ist, war aufgrund seiner Annahmen über vorhandene feine Risse und Fehlstellen im Materialgefüge begründbar. Griffiths theoretische Überlegungen gingen von einem ellipsenförmigen Loch in einer dünnen, unendlichen großen Scheibe aus, die mit einer gleichmäßigen, einachsigen Spannung σ'o beansprucht ist. Unter der Annahme eines linear elastischen Material-Verhaltens beträgt die Spannung σ'y an der Ellipsenspitze (c, 0) mit dem im Bild 2-1(a) eingezeichneten Halbachsen be und c c ⎞ ⎛ σ y′ = σ o′ • ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ b ⎝ e (2-1) ⎠ Mit dem Krümmungsradius der Ellipse ρ = be²/c folgt ⎛ σ y′ = σ o′ • ⎜⎜ 1 + 2 ⎝ c⎞ ⎟ ρ ⎟⎠ (2-2) σ'o (a) (b) σ'y y 2be y c' 2c Radius ρ c' c σ'o Bild 2-2: (a) Scheibe mit einem ellipsenförmigen Loch bei einachsigen Zugspannungen; (b) Spannungsverteilung im Bereich der Lochspitze Für kleine Krümmungsradien wird der Faktor σ'y /σ'o sehr groß. Für einen unendlich kleinen Radius (ρ → 0) besteht eine Spannungssingularität. Gleichzeitig wird aus 6 dem ellipsenförmigen Loch ein schnittähnlicher Riss. Die relative Verschiebung ν der Rissfläche kann durch die Funktion ν= 4σ o′ • c 2 − c′2 E ( 0 ≤ c′ ≤ c ) (2-3) beschrieben werden [14]. Griffith [9] stützte seine Bruchtheorie auf eine Energiebetrachtung. Er setzte voraus, dass sich ein bestehender Riss nur vergrößern kann, wenn die für die Rissbildung verfügbare Energie mindestens gleich groß ist wie die für die Oberflächenvergrößerung erforderliche Energie. Die totale Energie in einer Scheibe beträgt (2-4) U = U E − U a + US UE ist die in der Scheibe elastisch gespeicherte Energie, Ua die Arbeit der äußeren Kraft und US die bei der Bildung der Rissoberfläche dissipierte Energie. Falls die äußere Kraft keine Arbeit leistet, d.h. die Ränder der Scheibe unverschieblich gelagert sind, lässt sich (2-4) vereinfachen zu U = UE + US (2-5) Die Bedingungen für ein unkontrolliertes Risswachstum lauten dU = 0, dc ′ d 2U <0 dc ′ 2 (2-6) Die durch die Rissbildung freiwerdende, zuvor elastisch in der Scheibe gespeicherte Energie lässt sich mit Hilfe von Gleichung (2-3) berechnen: UE = − σ o′ 2 c ∫ν d c ′ = − −c π c 2σ o′ 2 E (2-7) Die für die Erzeugung eines Risses mit der Länge 2c und der Einheitsbreite 1 erforderliche Energie US beträgt US = 4cγ E Dabei ist (2-8) γE die materialabhängige, flächenbezogene Energie, welche für die Er- zeugung einer Oberfläche benötigt wird. Die Gleichungen (2-7) und (2-8), sowie 7 Gleichung (2-6) liefern die kritische, materialabhängige Spannung σ'cr, bei der sich ein Riss mit der Länge 2c spontan und unkontrolliert vergrößert und damit den Bruch herbeiführt: σ cr′ = 2⋅E ⋅γ E π ⋅c (2-9) Die Zusammenhänge der Energiebetrachtung sind im Bild 2-3 grafisch dargestellt. Im abgebildeten Risslänge - Energie - Diagramm sind die Beziehungen (2-5), (2-7) und (2-8) eingezeichnet. Im Punkt A weist U eine Maximalstelle auf. Der Zustand ist in einem labilen Gleichgewicht. Eine geringfügig größere Risslänge c führt zu instabilem Risswachstum und somit zum Bruch. U US dU =0 dc ′ c' A U = U E + US UE Bild 2-3: Risslänge-Energie-Diagramm Für homogene Körper müsste die Zerreißfestigkeit mit der molekularen Zerreißspannung übereinstimmen. Dies trifft für keinen Fall mit Sicherheit zu; die technischen Zerreißspannungen sind meist 100 bis 1000-mal kleiner als die molekulare Zerreißspannung. Demnach gibt es keine homogenen Festkörper, alle realen Festkörper sind inhomogen. Sie besitzen unebene Oberflächen, innere Risse oder sonstige Hohlräume sowie Fremdstoffeinschlüsse von größeren Teilchen bis zu atomdispersen Einlagerungen. Bei kompakten Festkörpern (kompakt-disperse Stoffe) zeigen alle diese Arten von Inhomogenitätsstellen in mechanischer Hinsicht ein ähnliches Verhalten wie Hohlräume, so dass im Folgenden auf letztgenannte 8 beschränkt wird. Die Bedeutung der Inhomogenitätsstellen für die Zerkleinerung beruht auf ihrer Kerbwirkung. Bei mechanischer Beanspruchung des Körpers treten an diesen Stellen bedeutend höhere Spannungen auf als im homogenen Körper unter gleicher äußerer Beanspruchung, so dass die hohe Grenzzugspannung bereits bei niedrigen äußeren Beanspruchungen überschritten werden kann. Gesteine sind inhomogene spröde Körper. Das für regelmäßig geformte Gesteine, z.B. Zylinderproben, dargestellte Spannungs-Dehnung-Diagramm (Bild 2-4) trifft für unregelmäßige nicht zu. σ' Bruchpunkt ε Bild 2-4: Spannungs- Dehnungs- Diagramm für einaxialen Druckversuch Beispielhaft ist in Bild 2-5 ein solches Diagramm für einen unregelmäßig geformten Dioritbrocken dargestellt. Im ersten Teil ergibt sich eine ansteigende Kraft-WegKurve (Bild 2-5). 400 PD [kN] 300 200 100 0 0 Bild 2-5: 5 10 15 20 25 Kraft-Weg- Kurvenverlauf (Diorit aus Hohwald, DD = 300 mm) Der Kurvenverlauf repräsentiert jedoch keine rein elastische Verformung, sondern besteht aus einer Folge von vielen kurzen elastischen Verformungen und kleinen 9 Brüchen. Diese kleinen Teilbrüche bestehen im Abbröckeln kleiner Bruchstücke an den Ecken und Kanten. Die Bruchtheorie spröder Körper ist soweit entwickelt, dass sie über Bruchbedingungen für beliebige Beanspruchungsarten und beliebige einfache Stoffe Aufschluss gibt. Für heterogene Gesteine ist die theoretische Festigkeitsermittlung nicht möglich. Deshalb ist die experimentelle Erfassung der Bruchfestigkeiten erforderlich, um insbesondere Grobzerkleinerungsmaschinen für spröde Stoffe auslegen zu können. 2.2 Empirische Erkenntnisse zur Zerkleinerung spröder Stoffe Empirische Methoden zur Beschreibung des Zerkleinerungsverhaltens spröder Stoffe sind bei der Auslegung von Grobzerkleinerungsmaschinen weit verbreitet. In der Praxis werden dabei zwei verschiedene Ansätze verwendet. Der erste Ansatz geht von der Ähnlichkeit der Maschinengeometrie aus, wobei in ihrer Wirkung unbekannte Einflüsse durch verschiedene Sicherheitsfaktoren Berücksichtigung finden. Dies führt in vielen Fällen zur Überdimensionierung der Maschinen, die damit teurer als nötig werden. Beim zweiten Ansatz werden experimentell ermittelte Gesteinskennwerte berücksichtigt, wobei die Ansätze nach Battaglia [56], Mölling [55] bzw. Olevskij [52] und Baumann [53] besonders verbreitet sind. Battaglia bestimmt mit Hilfe der einaxialen Druckfestigkeit die Zerkleinerungsarbeit (nach der Kick-Hypothese), mit der er die bei der Zerkleinerung auftretenden Reaktionskräfte berechnet. Diese Methode ist nicht geeignet, da erstens die Zerkleinerungsarbeit mittels der Druckfestigkeit regelmäßiger Probekörper bestimmt und zweitens die Zerkleinerungsarbeit vom Zerkleinerungsgrad als unabhängig angenommen wird. Der Zerkleinerungsgrad hat jedoch großen Einfluss auf die Zerkleinerungsarbeit und die damit verbundenen Reaktionskräfte. Mölling [55] bestimmt die theoretische Zerkleinerungskraft mit Hilfe der Zerkleinerungsarbeit nach Bond, die er für verschiedene spröde Stoffe bestimmt hat. Der Bondsche Arbeitsindex ist jedoch nur bis zu einer oberen Korngröße von 50 mm gültig. Der Korngrößenbereich von Grobzerkleinerungsmaschinen liegt oberhalb 100 mm, weswegen die Zerkleinerungsarbeit in anderen Bereichen liegt. Deswegen liefert diese Methode nur unzureichende Ergebnisse. Olevskij [52] und Baumann [53] bestimmen die Reaktionskräfte ebenfalls aus dem spezifischen Arbeitsbedarf. Dieser ist jedoch, anders als bei Mölling, abhängig von 10 der empirisch ermittelten Zugfestigkeit und einem zusätzlichen stoff- und füllungsgradabhängigen Faktor (bezogen auf die Fläche der Arbeitsorgane). Die Nutzung der Methode nach Olevskij und Baumann führt zu großen Ungenauigkeiten, da die Kennwerte an kleinen Proben (ca. 50 mm) bestimmt wurden. Auch hier gilt, dass der Zerkleinerungsbereich der Proben nicht mit dem Einsatzbereich von Grobzerkleinerungsmaschinen übereinstimmt. Bei allen genannten empirischen Berechnungsmethoden, die zur Festigkeitsauslegung von Grobzerkleinerungsmaschinen angewendet werden, findet die Werkzeuggeometrie keine Berücksichtigung. Da aber die Reaktionskraft stark von der Werkzeuggeometrie, der Korngröße, der Kornform und der Stoffart abhängt, ist es notwendig diese Größen bei der Maschinenauslegung zu berücksichtigen. Auf Grund der schwerwiegenden Nachteile der genannten empirischen Berechnungsmethoden wurden praktische Zerkleinerungsversuche durchgeführt. Diese dienen der Ermittlung der Festigkeiten und anderer Stoffkenngrößen in Abhängigkeit von der Art der Krafteinleitung (Flächen- oder Punktbelastung), sowie der Stoffart, Korngröße und Kornform. Grobzerkleinerungsmaschinen werden im Wesentlichen bei harten Stoffen (z.B. Gesteine) eingesetzt. Gesteine sind Gemenge verschiedener oder gleicher Minerale oder auch sonstiger anorganischer oder organischer Bestandteile als Ergebnis geologischer Vorgänge. Aus der Vielfalt der Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine große Vielfalt der Gesteine. Auf genetischer Basis lassen sich drei Hauptgesteinsgruppen unterscheiden: Magmatite (magmatische Gesteine, Eruptivgesteine, Erstarrungsgesteine) entstehen durch Erstarrung hochtemperierter, natürlicher Gesteinsschmelzen (Magmen) in (Plutonite) oder auf (Vulkanite) der Erdkruste. Sedimentite (Sedimentgesteine, Absatzgesteine) entstehen nach mechanischer, chemischer oder biologischer Zerstörung bereits existierender anderer Gesteine infolge von mechanischer oder chemischer Wechselwirkung zwischen Bruchstücken oder Wasser, Luft und Eis. Dazu gehört auch die Anhäufung organischer (tierischer oder pflanzlicher) Reste. Metamorphite (metamorphe, Umprägungsgesteine) entstehen durch Um- bzw. Neukristallisation infolge von Druck- oder Temperaturveränderung aus bereits vorhandenen Magmatiten, Sedimentiten oder Metamorphite. 11 Wichtige Kriterien zur Unterscheidung von Gesteinen bzw. zur Bestimmung ihrer Zugehörigkeit zu einer der drei genannten Hauptgesteinsgruppen und ihrer genaueren Beschreibung sind: - ihr materieller Stoffbestand (im Wesentlichen ihr Mineralbestand, Modus) - ihr Gefüge, d.h. ihre Struktur und Textur. Der Mineralbestand und das Gefüge haben großen Einfluss auf die Festigkeit und andere Gesteinskenngrößen. Zur Ermittlung der Reaktionskräfte bzw. Festigkeit und anderer Materialkenngrößen gibt es zahlreiche Einzelkorn- und Kollektivzerkleinerungsversuche. Für die systematische Auslegung der Grobzerkleinerungsmaschinen sind die Einzelkornzerkleinerungsversuche am Besten geeignet, da die Zerkleinerung von Einzelkörnern entscheidend für die Beanspruchung der Arbeitsorgane ist. Weiterhin wird die Festigkeit an regelmäßigen und an unregelmäßigen Prüfkörpern ermittelt. Je nach Probenkörpergeometrie wird beim direkten Druckversuch zwischen Würfel- und Zylinderdruckfestigkeit (regelmäßige Prüfkörper) unterschieden. Die Bestimmung der Druckfestigkeit ist nach der Europäischen Norm EN 1926 für Probengrößen von 50 oder 70 mm Kantenlänge bei Würfeln bzw. Durchmesser und Höhe bei Zylindern standardisiert. Im Folgenden wird über die Ergebnisse von Zerkleinerungsversuchen bei Flächenbelastung (Beanspruchung durch zwei Platten) und Punktbelastung (Beanspruchung durch zwei Spitzen) berichtet. Rumpf [8] fasst in seinen Ausführungen die Ergebnisse von Carey und Bosanguet zusammen. Diese stellten um 1933 als Erste systematische Untersuchungen an und zerkleinerten unregelmäßig geformte Prüfkörper aus Kohle, Anhydrit, Kalk u.a. bis zu einer Korngröße von 50 mm zwischen zwei Platten durch Druckbeanspruchung. Weiterhin berichtet [8] über die Ergebnisse von Hönig. Gegenstand dieser Untersuchungen waren regelmäßige Prüfkörper (Würfel) aus Zementmörtel, deren Größe 30 bis 50 mm Kantenlänge betrug. Prüfkörper unterschiedlicher Materialien (z.B. Glas, Quarz, Kalkstein, Zementklinker) und kleiner Korngröße von ca. 0,05 bis 16 mm wurden von Rumpf [8, 58, 59] und Schönert [57] untersucht. May [16] untersuchte die Einzelkornzerkleinerung an Glaskugeln und gebrannten Tonpellets (regelmäßige Körner), sowie Zementklinker und Kalkstein (unregelmäßige Körner) bis zu einer Größe von 20 mm. 12 Baumgardt, Buss, May und Schubert [15] berichten über die Zerkleinerungsergebnisse von Glaskugeln (3 bis 16 mm) bei verschiedenen Beanspruchungsarten. Sie untersuchten die Bruchwahrscheinlichkeit bei der Einzelkornzerkleinerung durch Druck-, Schlag- und Prallbeanspruchung. Göll [37] führte Zerkleinerungsversuche an unregelmäßigen Körnern verschiedener Gesteinsarten (Basalt, Granit, Kalkstein, Grauwacke, Phonolith, Lamporphyr, Quarzporphyr, Zweiglimmergneis) mit Korngrößen zwischen 18 und 35 mm durch. Dabei stellte er fest, dass die Festigkeit der unregelmäßig geformten Einzelkörner um ca. eine Zehnerpotenz kleiner als die Würfeldruckfestigkeit ist. Während bislang Probekörper bis ca. 100 mm geprüft wurden, haben Mogi [40] Marmor-Prismen mit dreieckiger Grundfläche (ca. 200 mm Kantenlänge) und Koifman [41, 42] prismenförmige Basalte (ca. 270 mm Kantenlänge) untersucht. Noch größere Gesteinskörper bis ca. 2700 mm Kantenlänge untersuchten Pratt und seine Mitarbeiter [38]. Sie benutzten unterschiedlich große Prismen mit dreibzw. viereckiger Grundfläche und Zylinder aus Diorit und Granodiorit. Bei den Versuchen mit Diorit-Proben mit Abmessungen zwischen ca. 600 und 2700 mm Länge wurde herausgefunden, dass mit zunehmender Kantenlänge die Bruchspannung abnimmt. Die Bruchspannungen kleiner und großer Probekörper unterscheiden sich dabei um den Faktor 10. Ab einer Länge von ca. 900 mm nähert sich die Bruchspannung asymptotisch einem konstanten Wert an. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung, dass die Bestimmung der Bruchspannung nur bis zu einer bestimmten Probekörpergröße (einige Fuß; 1 Fuß ≈ 305 mm) durchgeführt werden muss. Bieniewski [39] untersuchte würfelförmige Körper aus Steinkohle, deren maximale Kantenlänge ca. 2100 mm betrug. Auf der Grundlage von über 60 UntertageVersuchsergebnissen wurde eine empirische Formel zwischen der Festigkeit der Kohle und der Probengröße aufgestellt. Gegenstand der Untersuchungen von Szczelina [12] war die Druckzerkleinerung unregelmäßiger Dioritproben bis zu 600 mm Kantenlänge bei einer relativen Plattenabstandsänderung zwischen 5 und 20 %. Die Versuchsergebnisse zeigen gezeigt, dass die flächenbezogenen Zerkleinerungskräfte mit der Korngröße des Gesteines abnehmen und mit Vergrößerung der Plattenabstandsänderung zunehmen. Die realen Verhältnisse bei der Grobzerkleinerung spröder Stoffe werden am besten durch die an unregelmäßig geformten Probekörpern ermittelten Gesteinskennwerte wiedergegeben, was schon 1934 von Carey, Bosanquet und Stairmand [8] 13 erkannt wurde. Zur Maschinendimensionierung sind neben der Druckfestigkeit jedoch weitere Kenngrößen (Bruchwahrscheinlichkeit, Zerkleinerungskraft) zur Beschreibung des Zerkleinerungswiderstandes notwendig [11]. Neben den beschriebenen Versuchen gibt es eine Reihe weiterer Zerkleinerungsversuche, bei denen die Zerkleinerungskraft durch Punktkontakt in den Probekörper eingebracht wird. Dieser Punktlastversuch (sog. „Point Load Test “oder „PLT“) wird ebenfalls als ein Messverfahren zur Klassifizierung der Gesteinsfestigkeit eingesetzt [1, 2]. Diese Methode wurde zuerst durch Protodyakonov [31, 32, 33] für Festigkeitsuntersuchungen an Ellipsoiden benutzt. Sie wurde deshalb „Eier-Test" genannt. An unregelmäßig geformten Partikeln wurde der PLT in England von Hobbs [34] und in Frankreich von Dierant und Duffaut [35] durchgeführt. Die Bestimmung der PLTFestigkeit ist nach der ISRM-Norm (ISRM: International Society for Rock Mechanics) standardisiert. Mit dem mobilen PLT-Gerät wurden bisher sehr viele Punklastversuche an weichen, mittelharten und harten Gesteinen durchgeführt. Einige ausgewählte Versuchsergebnisse werden nachfolgend näher vorgestellt. Raaz [6] untersuchte die PLT-Festigkeit an unregelmäßigen Körnern von 50 mm Korngröße aus Kreide, Tonstein, Mergel, Braunkohle, Steinkohle, Sandstein, Silikatgestein, Diabas und Granit. Rusnak und Mark [60] untersuchten die PLT-Festigkeit von regelmäßigen zylinderförmigen Proben von 50 mm Korngröße aus Sandstein, Kalkstein, Schiefergestein und Schlickstein. Onishi, Dobson, Nakagawa, Glaser und Galic [61] testeten die PLT-Festigkeit unregelmäßiger Probekörper von 50 mm Korngröße bei verschiedenen Gesteinsarten, z.B. Dolomite, Gabbro, Porcelanite, Tuffstein (vulkanische Asche mit Ton verkittet) und Sandsteine. Bräutigam, Knöchel, Lehne [62] untersuchten die PLT-Festigkeit von regelmäßigen zylinderförmigen Proben von 50 mm Korngröße aus Sandsteine, Kalk, Granit, Paragneisanatexit, Quarzporpyr, Phonolith und Olivin-Nephelinit. Die mit dem mobilen PLT-Gerät gewonnenen Ergebnisse lassen sich aufgrund der begrenzten Korngröße nur bedingt für die maschinentechnische Auslegung bei der Grobzerkleinerung anwenden, da die Extrapolation in für diese Maschinen relevante Korngrößenbereiche mit großen Ungenauigkeiten verbunden ist. 14 Deshalb werden seit mehreren Jahren am Institut für Aufbereitungsmaschinen der TU Bergakademie Freiberg Punktlastversuche an harten Gesteinen, z.B. Diorit, Hornfels, Granit, Diabas unterschiedlicher Korngröße (bis 300 mm Korngröße), mit dem stationären PLT-Gerät durchgeführt [63]. Bei den vorgestellten Untersuchungen wurden Zerkleinerungsversuche an Körnern kleiner 500 mm durchgeführt. Aufgrund der Inhomogenität von Gesteinen können gesicherte Auslegungsgrundlagen für Grobzerkleinerungsmaschinen nur durch weitere Versuche an unregelmäßigen Probekörpern größer als 50 mm ermittelt werden. Die so ermittelten Reaktionskräfte bzw. Festigkeiten bei zwei verschiedenen Beanspruchungsgeometrien (Platte-Platte, Spitze-Spitze) genügen in vielen Fällen zur Dimensionierung von Grobzerkleinerungsmaschinen nicht aus. Zusätzlich benötigt man Kennwerte zur quantitativen Charakterisierung der Klüftung und Inhomogenität spröder Stoffe. Zur statistisch abgesicherten Auswertung der experimentell erfassten Reaktionskräfte bzw. Festigkeiten und anderer Gesteinskennwerte wie Klüftung und Inhomogenität hat Raaz eine modifizierte Methode des Punktlastversuches vorgestellt [6]. Zur quantitativen Charakterisierung der Klüftung und Inhomogenität liefert diese Methode von Raaz die Steigung der Regressionsgeraden sowie die logarithmische Standardabweichung. Die Methode von Raaz beschränkt sich auf die Probengröße bis ca. 50 mm Korngröße und Punktbelastung (Beanspruchung durch zwei Spitzen). Für die Grobzerkleinerung spröder Stoffe wird neben der Punkt- auch die Flächenlast bei Aufgabekorngrößen von deutlich größer als 100 mm wirksam. Zur Ermittlung einer statistisch abgesicherten Festigkeit und der Inhomogenität von spröden Stoffen gibt es alternativ die so genannte Weibull-Methode, welche auf der Weibull-Theorie basiert [17]. Zur quantitativen Charakterisierung der Inhomogenität von Stoffen liefert sie eine von der Probengröße unabhängige Kenngröße, den Weibull-Modul. Der Weibull-Modul ist die Steigung im volllogaritmischen Weibull-Netz. Die Weibull-Methode wird oft für keramische Stoffe verwendet und ist bisher noch nicht für unregelmäßige, harte Gesteine größer als 100 mm benutzt worden. Die Einzelkörner spröder Stoffe weisen aufgrund ihrer natürlichen Inhomogenität Fehlstellen auf. Je größer der verwendete Probekörper ist, desto größer wirkt sich der Einfluss der darin enthaltenden Fehlstellen auf die Stofffestigkeit aus. Zur Be- 15 schreibung dieses Einflusses wird die stochastische Bruchmechanik verwendet. Dieser Zusammenhang soll im folgenden Kapitel eingehend behandelt werden. 2.3 Stochastische Bruchmechanik Mit dem Beitrag "Zur Abhängigkeit der Festigkeit von der Probengröße" begründete Weibull [17] 1939 die stochastische Bruchmechanik. Darin führt er aus, dass die klassische Festigkeitstheorie von einem idealisierten, gleichförmigen Material ausgeht und dass die Probengröße nicht berücksichtigt wird. Natürliche Materialien sind nicht fehlerfrei, sondern enthalten eine große Menge "Fehlstellen". Außerdem berücksichtigen die Festigkeitstheorien die alte Erfahrung nicht, dass große Körper "schwächer" als kleine sind. Es ist aber möglich, Gesetze von sehr allgemeiner Gültigkeit bei Benutzung von Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen herzuleiten, unter der Annahme, dass die Fehlstellen ungeordnet über das Volumen des Körpers verteilt sind. Schnetzel [18] gibt einen Literaturüberblick zur stochastischen Bruchmechanik. Die außerordentliche Breite und Fülle der Literatur spiegelt die Bedeutung dieses Teils der Bruchmechanik wider. Spezielle Beiträge zur stochastischen Bruchmechanik der Festgesteine liegen nicht vor. Wie schon angedeutet, erschien die erste Arbeit, die mit statistischen Annahmen das Bruchverhalten von Materialien beschreibt, von Weibull 1939. Ausgehend von der Feststellung der Widersprüche zwischen Beobachtungen an Versuchen und der klassischen Bruchtheorie entwickelte er eine statistische Theorie. Unter der Voraussetzung von statistisch verteilten Fehlstellen konnte er die Bruchwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit einer aufgebrachten gleichförmigen Spannung bestimmen. Außerdem war es ihm möglich, die so genannte obere Bruchfestigkeit (minimale Festigkeit, bei der ein Bruch mit Gewissheit eintritt) und die so genannte untere Bruchfestigkeit (maximale Festigkeit, bei der mit Gewissheit kein Bruch erfolgt) anzugeben. Freudenthal [19] erweiterte und verallgemeinerte die statistische Bruchtheorie. Ausgehend von den Arbeiten von Griffith [9] und Inglis [20] konnte er zeigen, dass bei einer statistischen Verteilung von Mikrorissen in einem linear elastischen Material auch eine statistische Verteilung der Festigkeit vorliegt. Mit statistischen Annahmen bewies er außerdem, dass in einem ideal spröden Material, in welchem voneinander unabhängige Mikrorisse vorhanden sind, der Bruch von der schwächsten Stelle aus erfolgt. Für nicht ideal spröde Stoffe oder Materialien mit 16 Fließeigenschaften schloss er, dass diese so genannte "weakest link theory" (Theorie des schwächsten Kettengliedes) nicht zutrifft. Daniels [21] untersuchte 1944 mit probabilistischen Annahmen die Zugfestigkeit von Fadenbündeln. Dabei ging er von einem sukzessiven Bruch einzelner Fäden aus. Unter der Annahme einer probabilistischen Festigkeitsverteilung der im Bündel parallel geschalteten Fäden berechnete er den stabilen Beanspruchungsbereich. Dieser Bereich ist dadurch gekennzeichnet, dass trotz des Ausfalls einzelner Fäden der Bruch des Bündels noch nicht eintritt. Mit dieser Arbeit begründete Daniels die kumulative Bruchtheorie. Diese Theorie geht davon aus, dass bei unabhängigen, spröden Elementen nicht ein einzelnes Element den Bruch herbeiführt wie bei der "weakest link theory", sondern dass der Bruch erst nach dem Ausfall einer bestimmten Anzahl von Elementen erfolgt. Unter einer Beanspruchungszunahme versagen sukzessive einzelne Elemente. Die verbleibenden Elemente vermögen zuerst der aufgebrachten Beanspruchung zu widerstehen und allenfalls eine weitere Phase der Beanspruchungszunahme zu durchlaufen. Erst beim Erreichen einer kritischen Beanspruchung bzw. bei einer kritischen Anzahl von ausgefallenen Elementen, bei welcher der Kraftanteil in den ausfallenden Elementen größer ist als der Zuwachs in den verbleibenden Elementen, erfolgt der Bruch. Zweben u.a. [22] und Bolotin [23] erweiterten in ihren Arbeiten die kumulative Bruchtheorie für Verbundwerkstoffe. Sie gingen dabei von einer statistischen Verteilung der Materialfestigkeit aus. Unter der Voraussetzung, dass ein imperfektes heterogenes Material mit diskreten Volumenelementen beschrieben werden kann, deren Eigenschaften in Beziehung zur Materialstruktur und den Imperfektionen stehen, konnten sie mit statistischen Überlegungen den kumulativen Bruch einzelner Elemente bis zum Bruchversagen der ganzen Struktur aufzeigen. Dabei wurde versucht, die Spannungskonzentration im Bereich von Fehlstellen in der Mikrostruktur mit statistischen Annahmen zu erfassen. Bolotin erwähnt in seiner Arbeit den Zusammenhang zwischen der Größe der Elemente, die entsprechend der Materialstruktur zu wählen sind, und dem Größeneffekt. Dieser ist natürlich in der kumulativen Bruchtheorie, welche eine Materialstruktur mit diskreten Elementen modelliert, vorhanden. Hori [24] untersuchte 1959 die Anwendbarkeit der statistischen Bruchtheorie auf Beton. Mit über 700 Biegezugversuchen an Mörtelproben erarbeitete er sich die für eine statistische Auswertung erforderlichen Versuchsresultate. Er konnte zeigen, 17 dass die statistische Bruchtheorie für Beton vernünftige Resultate liefert und dass deren Anwendbarkeit deshalb gegeben ist. Eine detaillierte stochastische Bruchtheorie für Beton wurde 1977 von Mihashi und Izumi [25] veröffentlicht. Aufbauend auf der statistischen Bruchmechanik von Weibull und Freudenthal modellierten sie den Bruchvorgang als eine Serie von Rissentwicklungsprozessen in einem linear elastischen, spröden Material. Die inhomogene Spannungsverteilung in der Zementmatrix wurde zudem mit stochastischen Annahmen berücksichtigt. Für die Modellierung wurde das Betongefüge in mehrere Phasen unterteilt. Unterschieden wurde zwischen Matrix, Zuschlägen und einer Übergangszone, die den Verbund von Zuschlägen und Matrix erfasst. Auf Grund von Versuchen zeigten sie die gute Übereinstimmung der Theorie mit den gemessenen Resultaten. In weiteren Arbeiten [26, 27] wurde das Modell zur Berücksichtigung von Belastungsgeschwindigkeit, Belastungsart und Temperatur erweitert. Eingehend hat sich Rumpf [28] mit Fragen der Bruchmechanik beschäftigt. Bei seinen meist empirischen Untersuchungen wurde mehrfach auch auf den theoretischen Ansatz von Weibull verwiesen. Die Bruchauslösung ist von dem Fehlerordnungszustand und dem Oberflächenzustand abhängig. Für die statistische Betrachtung ist es zweckmäßig, den bruchauslösenden Mechanismus formalistisch als die Folge einer Fehlstelle und der an dieser Fehlstelle wirkenden Spannung zu betrachten. Bei gleicher Spannung haben die Fehlstellen verschiedene Wirksamkeit. Dies entspricht der statistischen Verteilung der Fehlordnungen. So wurden Glaskügelchen von 10 μm bis 1000 μm zwischen zwei Saphirplatten einer Druckbeanspruchung unterworfen und die Bruchkraft sowie die Bruchverformung gemessen [29]. Die Ergebnisse stützen die Aussagen der statistischen Theorie von Weibull. Danach wird der Festigkeitsverlauf qualitativ durch eine von der Probengröße abhängigen Verteilungsfunktion der Fehlstellenwirksamkeit gedeutet. Je größer der belastete Volumen- oder Oberflächenbereich ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dort wirksame Anrisse anzutreffen und damit die Bruchwahrscheinlichkeit. Diese Betrachtung führt zur statistischen Festigkeitstheorie. Die Weibull-Theorie über die Festigkeit und Sprödigkeit nimmt an, dass der Weibull-Modul "mw" ein Materialparameter ist, der unabhängig von Form und Größe des beanspruchenden Stoffes ist. Für sprödes Material wie Glas, Zement-Klinker und Kalkstein wurde die Unabhängigkeit von Form und Größe jedoch nicht bestätigt. Stoyan und Jansen [30] sehen darin keinen Widerspruch zu der traditionellen Annahme eines materialabhängigen konstanten Weibull-Moduls. Um die beobach- 18 tete Abhängigkeit des Weibull-Moduls von der Teilchengröße zu erklären, bieten die Autoren verschiedene Möglichkeiten an. Seit den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts überprüften zahlreiche Autoren, ob Weibulls Theorie des schwächsten Gliedes auf unterschiedliche Materialien anwendbar ist. Brown [43] verallgemeinert die Aussage, Weibulls Theorie würde bei der Gesteinszerkleinerung nicht passen. Er beruft sich auf Forschungsergebnisse, die zum Teil lange vor Weibulls Veröffentlichungen entstanden (so z.B. Gilmore 1876). Swain [44] verwirft dagegen Weibulls Theorie nicht ganz, sondern bezieht Griffiths Theorie mit ein. Obwohl Griffith nur elastische Körper betrachtet, trifft laut Swain eine Kombination aus den Theorien von Weibull und Griffith die Versuchsergebnisse am besten. Bienawski [45] vergleicht Zerkleinerungsergebnisse von Steinkohle mit Weibulls theoretischen Berechnungen. Er kommt zu dem Ergebnis, dass in einem bestimmten Probengrößenbereich von 0,15 m bis 2 m seine empirischen Ergebnisse durchaus mit Weibulls Formel berechnet werden können. Bohannan [46] untersuchte die Biegefestigkeit von Holzbalken mit zwei verschiedenen Belastungsarten (Ein-Punkt-Auflage und Zweipunkt-Auflage). Dabei stellte er fest, dass Weibulls theoretischer Ansatz der Häufigkeitsverteilung nicht mit seinen Versuchsergebnissen korrespondiert. Die nach Weibull berechneten Bruchwahrscheinlichkeiten dreier verschiedener Volumina ergaben keine Übereinstimmung. Erst als er von der Betrachtung dreidimensionaler auf zweidimensionale Spannungsfelder wechselte, in dem er eine Dimension der Holzbalken ausließ, stimmten die empirischen Werte mit einer entsprechend modifizierten WeibullTheorie überein. Bei Untersuchungen von Eiszylindern stellte Jellinek fest, dass Weibulls Theorie im Allgemeinen zutrifft. Bei Berechnungen mussten lediglich einige Parameter in Weibulls Theorie angepasst werden, um mit den empirischen Werten eine Übereinstimmung zu erzielen [47]. 19 3 Präzisierung der Aufgabenstellung In der Aufbereitungstechnik hat die Grobzerkleinerung spröder Stoffe mit Brechern (Grobzerkleinerungsmaschinen) große Bedeutung. Die Brecher werden zur Grobzerkleinerung benutzt, um verschiedene Stoffe in die von der Industrie benötigten Korngrößen zu zerkleinern. Diese Brecher werden vorrangig als Primärzerkleinerungsmaschinen eingesetzt. Mit Hilfe der in Kapitel 2.1 dargestellten Methode zur theoretischen Festigkeitsermittlung ist die Auslegung der Grobzerkleinerungsmaschinen nicht möglich, weil die heterogenen spröden Stoffe (z.B. harte, mittelharte und weiche Gesteine) nicht isotrop aufgebaut sind. Die in der Literatur vorhandenen Grundlagen zur Beschreibung des Zerkleinerungsverhaltens von Grobzerkleinerungsmaschinen mit empirischen Methoden (Kapitel 2.2) sind ergänzungsbedürftig. Die Berechnung des für die Auslegung notwendigen Spannungszustandes im zu zerkleinernden Gut ist im Allgemeinen nicht möglich, daher wird die Ermittlung der Festigkeit des Einzelkornes erforderlich. Auf dem Gebiet der experimentellen Einzelkorndruckzerkleinerung wurden bis zur heutigen Zeit eine Reihe von Forschungsarbeiten durchgeführt, zu deren Untersuchungszielen die Erfassung des Zerkleinerungsergebnisses, der Reaktionskräfte (Festigkeit) durch die Krafteinleitungsbedingungen (Geometrie der Zerkleinerungswerkzeuge), unterschiedliche Korngröße und Kornform sowie verschiedener Stoffarten gehören. Die empirisch ermittelten Stoffkenngrößen streuen wegen der unterschiedlichen Probeformen und großen Heterogenität des Gefügeaufbaus erheblich. Zur Erlangung geeigneter Kennzahlen, wie z.B. Mittelwert, Standardabweichung oder Streuung, sind mathematisch- statistische Methoden anzuwenden. Für die Beschreibung des Einflusses der natürlichen Inhomogenität spröder Stoffe auf die Stofffestigkeit wird die stochastische Bruchmechanik (Kapitel 2.3) angewendet. Unter Berücksichtigung des erläuterten Kenntnisstandes muss die weitere wissenschaftliche Arbeit auf dem Gebiet der Druckzerkleinerung darin bestehen, fundierte Richtlinien für die Festigkeitsauslegung für Grobzerkleinerungsmaschinen zu definieren. Die Ergebnisse sind notwendig zur Auslegung der Arbeitsorgane und der Kraftübertragungssysteme für die oben genannten Maschinen. 20 Ausgehend vom Stand der Erkenntnisse sind daher weitere experimentelle Untersuchungen zur Quantifizierung der Reaktionskräfte (bzw. Festigkeit) sowie zur Bewertung der Klüftung und Inhomogenität der Stoffgefüge durchzuführen. Dabei sind nachfolgende Einflußgrößen zu untersuchen: - Krafteinleitungsbedingungen in Abhängigkeit von der Geometrie der Zerkleinerungswerkzeuge. Dazu wird ein Druckversuchsstand für die Geometrie Platte-Platte sowie ein stationäres Punktlastversuchsgerät (Beanspruchungsgeometrie Spitz-Spitze) verwendet. - Stoffeinfluss bei Verwendung verschiedene Stoffarten: Gesteine wie Quarzporphyr, Basalt, Diabas, Diorit mit anisotropen Gefüge und Glas mit isotropen Gefüge. - Einfluss von Aufgabenkorngröße und -form von unregelmäßigen Bruchstücken im groben Bereich von ca. 20 mm bis ca. 600 mm Äquivalentdurchmesser. Zusammenfassend besteht der unmittelbare Forschungsgegenstand in der experimentellen Ermittlung der realen Zerkleinerungskräfte bei unterschiedlichen Krafteinleitungsbedingungen und stoffspezifischen Kenngrößen zur Charakterisierung der Klüftung und der Heterogenität der Stoffgefüge. Diese Kenngrößen sollen als Grundlagen zur Auslegung die Arbeitsorgane und Kraftübertragungssysteme für Grobzerkleinerungsmaschinen bereitgestellt werden. 21 4 Experimentelle Untersuchungen Zur Erfassung der Festigkeit (oder Reaktionskraft) von Hartgesteinen und Glas wurden die Versuchsstände stationäres Punktlastversuchsgerät und der Druckversuchsstand benutzt. Mit dem Druckversuchsstand wurden unregelmäßig geformte Steine von ca. 20 mm bis ca. 600 mm, mit dem großen Punktlastversuchsgerät von ca. 50 bis ca. 500 mm Äquivalentdurchmesser untersucht. 4.1 Versuchsapparatur Punktlastversuchsgerät (PLT-Gerät) Das Institut für Aufbereitungsmaschinen der TU Bergakademie Freiberg besitzt ein großes Punktlastversuchsgerät, das 1999 gebaut wurde. Das große Punktlastversuchsgerät ist wie in Bild 4-1 dargestellt, aufgebaut. Über ein Hydrauliksystem wird die Festgesteinsprobe zwischen den Eindruckspitzen belastet, bis sie bricht. Zur Druckmessung ist eine Druckmessdose unterhalb der Eindruckspitzen angebracht. Rahmen Obere Platte Druck-Zug-Zylinder Eindruckspitzen Untere Platte Bild 4-1: Großes Punktlastversuchsgerät 22 Die Maschine erreicht eine maximale Kraft von 2,2 MN, dies entspricht einem Druck von 280 bar. Der Hub des Hydraulikzylinders beträgt 500 mm. Zur Ermittlung der Deformation gibt es einen Wegaufnehmer (Bild 4-2). Der Messbereich des Wegaufnehmers umfasst 0 bis 50 mm. Dazu benötigt dieser allerdings eine Digitalkarte/Schnittstelle, welche das analoge Signal des Punklastversuchsgerätes in ein vom Computer verwertbares digitales Signal umwandelt. Dadurch sind die Deformation und der Druck direkt ablesbar. Wegaufnehmer Bild 4-2: Wegaufnehmer am großen Punktlastversuchsgerät Druckversuchsstand (Hydraulische Presse) Der bestehende Druckversuchsstand (Hydraulische Presse) existiert am Institut für Aufbereitungsmaschinen seit 1997. Nach einem Hydraulikumbau im Jahr 2000 wurden höhere Belastungsgeschwindigkeiten ermöglicht. Sein derzeitiges Erscheinungsbild ist in Bild 4-3 dargestellt. Er besteht aus einem Unter- und einem Oberjoch, die durch vier Säulen verbunden sind. 23 Hydraulikaggregat Blasenspeicher Hydraulikzylinder Oberjoch Obere Druckplatte Stempel, Arbeitsorgan Säule Unterjoch Behälter Bild 4-3: Druckversuchsstand (Hydraulische Presse) Die Säulen dienen gleichzeitig zur Führung einer beweglichen Druckplatte mit einem Stempel. Ein an der gegenüberliegenden Druckplattenseite befestigter Hydraulikzylinder wird durch ein Hydraulik-/Pneumatiksystem angetrieben und ermöglicht eine maximale Druckkraft von 4 MN bei variablen Druckgeschwindigkeiten. Das Unterjoch trägt über Druckmessdosen (Bild 4-4) einen Behälter, der Steine bis zu einer Kantenlänge von 1 m aufnehmen kann. 24 Druckmessdosen Bild 4-4: Druckmessdosen am Druckversuchsstand Zur Zerkleinerung fährt der Stempel in den Behälter und zerdrückt den Stein. Am Stempel ist ein Wegaufnehmer (Bild 4-5) angebracht, so dass für jeden Zerkleinerungsvorgang eine Kraft-Weg-Kurve erstellt werden kann. Wegaufnehmer Bild 4-5: Wegaufnehmer am Druckversuchsstand 25 4.2 Festlegung und Auswahl der Versuchsmaterialien und deren Beschreibung Gesichtspunkte für die Stoffauswahl Die ausgewählten Festgesteinsarten sind wirtschaftlich bedeutsam. Die Produktion von Natursteinen lag im Jahr 2003 insgesamt bei ca. 179 Mio. t (Hochrechnung des Bundesverbandes der Natursteinindustrie (BVNI). Die im BVNI organisierten Unternehmen produzierten davon 124 Mio. t [36]. In 408 Betrieben waren knapp 6.000 Erwerbstätige beschäftigt und erwirtschafteten dort einen Umsatz von 673 Mio. €. Hinzugerechnet werden die im BVK1 organisierten Kalksteinunternehmen (ungebrannte Produkte) mit einer Produktion von 18 Mio. t. Die verbleibende Differenz ergibt sich aus den statistisch nicht erfassten Kleinbetrieben [36]. Bundesweit können die Kenndaten aufgrund des angenommenen Organisationsgrades im Bundesverband von 80 % auf 510 Betriebe mit 7.500 Beschäftigten geschätzt werden. Der Branchenumsatz lag bei ca. 840 Mio. €. Gneis, Amphibolit, Serpentinit, Granulit 6% Diabas 8% Basalt 11% Grauwacke 5% Granit 5% Quarzporphyr 5% Lavaschlacke 4% Diorit, Granodiorit, Gabbro 4% andere 5% Bild 4-6: 1 Kalkstein 47% Anteil der abgebauten und aufbereiteten Gesteinsarten in Deutschland [77] BVK - Bundesverband der Deutschen Kalkindustrie 26 Untersucht wurden die Hartgesteine Basalt, Quarzporphyr, Diabas und Diorit (Bild 4.7). Diese Gesteine stellten nach Bild 4-6 28% der Gesteinsförderung in Deutschland. Bei den Hartgesteinen Diorit, Diabas wurde auf frühere Untersuchungsergebnisse von Szczelina und Nassyrov [49] zurückgegriffen. (a) (b) (c) (d) Bild 4-7: Hartgesteine: a) Quarzporphyr, b) Basalt, c) Diabas, d) Diorit 27 Modus und Mesogefüge von Festgesteinen Die mathematisch-physikalische Modellierung von Maschinen erfordert quantitative Kennzahlen, die ein Gestein räumlich beschreiben können. Dazu werden berechenbare Kennzahlen, die sich an den petrographischen Gesteinsmerkmalen anlehnen, definiert. Die Bestimmung erfolgt an drei orthogonal zueinander stehenden Dünn- oder Anschliffen einer Gesteinsprobe, die mit stereologischen Methoden ausgewertet werden. Als Gestein soll hier im weiteren Sinne ein Gemenge aus gleichen oder verschiedenen Phasen (z. B. Minerale, Bindemittel, Gase) verstanden werden, d. h. Festgesteine, aber auch Lockergesteine, Erze, Kohle, Salze usw. Formal lässt sich ein Gestein durch seinen Modus und sein Gefüge [13] beschreiben. Der Modus eines Gesteins umfasst die enthaltenen Mineralarten und ihre jeweiligen Volumenanteile. Ein Gesteinsgefüge kann nach sehr unterschiedlichen Gesichtspunkten beschrieben, klassifiziert und somit interpretiert werden (genetisch, tektonisch, geometrisch usw.). Der Begriff „Gefüge” wird als die Menge aller geometrischen Daten eines geologischen Körpers definiert. D.h. der Begriff kann unabhängig vom Beobachtungsmaßstab betrachtet werden. Dabei soll der Maßstab begrifflich durch ein Suffix zum Wort „Gefüge” berücksichtigt werden [13]. In dieser Arbeit wird hauptsächlich der Begriff Mesogefüge (Gefüge eines Gesteinshandstückes) verwendet. Das Mesogefüge eines Gesteins umfasst die Struktur, d. h. die Ausbildung der einzelnen Gemengeteile und die Textur, d. h. die Anordnung der Gemengeteile im Raum [13]. Zur Analyse der petrographischen Parameter des Quarzporphyrs, Basalts, Diabases und Diorits wurden steorologische Auswertungsmethoden auf der Basis von Dünnschliffen benutzt. Dazu wurden am Institut für Aufbereitungsmaschinen der TU Bergakademie Freiberg Gesteinscharakteristika erarbeitet, die die wichtigsten Struktur- und Textureigenschaften der untersuchten Gesteine beinhalten. Nachfolgend sind für die untersuchten Materialien Dünnschliffe mit charakterisiertem Mineralbestand (Modus) dargestellt. Der Mineralbestand hat einen wichtigsten Einfluss auf die Festigkeit des Materials, weswegen dieser die Grundlage der Versuchsauswertung bildet. Das Gefüge spielt für die Festigkeit ebenfalls eine wichtige Rolle. 28 Mineralbestand (Modus) ausgewählter Hartgesteine 1. Quarzporphyr Das Gestein besteht zu 10 % aus Quarz, 20 % aus Feldspat, 2 % Glimmer und 68 % nicht differenzierbare Phase. Bild 4-8 zeigt einen Dünnschliff von Quarzporphyr. Quarz Feldspat Nicht differenzierbare Phase 0 Bild 4-8: 1 mm Dünnschliff (Quarzporphyr) 2. Basalt Dieser Basalt besteht zu 35 % aus Augit, 6 % aus Analcim, 5 % aus Magnetit und 35 % Feldspat. In Bild 4-9 ist ein Dünnschliff des Basaltes dargestellt. Magnetit Feldspat Augit 0 Bild 4-9: 0,5 mm Dünnschliff (Basalt) 29 3. Diabas Das Gestein besteht zu 56 % aus Feldspat, 23 % aus Augit, 10 % aus Serpentin, 8 % aus Magnetit und 3 % aus Calcit. Den Dünnschliff von Diabas zeigt Bild 4-10. Quarz Feldspat Glimmer 0 Bild 4-10: 1 mm Dünnschliff (Diabas) 4. Diorit Das Gestein besteht zu 56 % aus Feldspat, 19 % aus Augit, 14 % aus Hornblende und 11 % aus Quarz, Magnetit. Bild 4-11 zeigt einen Dünnschliff von Diorit. Magnetit Augit Quarz Feldspat 0 Bild 4-11: 1 mm Dünnschliff (Diorit) Die festgestellten mittleren PLT-Festigkeiten (Äquivalentdurchmesser 50 mm) für die untersuchten Gesteine liegen zwischen 6,7 bis 10,5 MPa. Wird der übliche Umrechnungsfaktor 23 [10] angenommen, so ergeben sich Druckfestigkeit für Zylinderproben von 154,1 bis 241,5 MPa. Damit können diese Gesteine nach der ISRM-Skala [48] (ISRM: International Society for Rock Mechanics) als Gesteine mit sehr hoher Druckfestigkeit eingeordnet werden. 30 4.3 Versuchsplanung Die Partikelfestigkeit hängt von der Probengröße und Probenform ab. Um die Abhängigkeit der Partikelfestigkeit (oder Reaktionskraft) von der Probengröße zu erfassen, wurden Proben von ca. 20 bis ca. 650 mm Kantenlänge im Steinbruch ausgewählt. Für die Charakterisierung der Korngröße werden in Abhängigkeit von dem Testverfahren (Druckversuchsstand, Punktlastversuch) verschiedene Äquivalentdurchmesser verwendet. Der Äquivalentdurchmesser D des Punktlastversuches ist in der ISRM-Norm (ISRM: International Society for Rock Mechanics) definiert worden (s. Kap. 4.4). Er ergibt sich aus dem Durchmesser einer Kreisfläche, die flächengleich mit der minimalen Querschnittsfläche zwischen den Druckspitzen einer eingespannten Gesteinsprobe ist. In ähnlicher Weise wird der Äquivalentdurchmesser DD bei Körnern des Druckversuchsstandes bestimmt (s. Kap. 4.4). Neben der Charakterisierung der Korngröße ist bei dem Druckversuchsstand außerdem eine Kornformcharakterisierung erforderlich, weil die Kornform (insbesondere die Form der Kornspitze) wesentlichen Einfluss auf die Reaktionskraft (oder Festigkeit) hat. Zur Charakterisierung der Form der Kornspitze wird der von Szczelina [12] eingeführte Kornformwinkel mit der in den Anlagen 1a und 1b dargestellten Vorgehensweise ermittelt. Der Versuchsplan für die drei Prüfgeräte ist aus den Tabellen 4-1 bis 4-4 zu ersehen. Die ohne Klammer gesetzten Werte gelten für die Auswertungsmethode nach Raaz, die in Klammern gesetzten für die Auswertung nach der Weibull-Analyse. Versuchsapparatur: Beanspruchungsart: Beanspruchungsgeschwindigkeit: Material Quarzporphyr Basalt Diabas Diorit Glas großes Punktlastversuchsgerät Punktuelle Beanspruchung ca. 1 mm/s Bereich des Äquivalentdurchmessers D [mm], Anzahl der Proben n ∅ 80 Dmin Dmax 67 101 (67) (101) 49 90 (49) (90) 56 96 (56) (96) 64 119 (70) (119) 56 92 (56) (92) n 20 (20) 20 (17) 21 (21) 22 (20) 20 (20) ∅ 150 Dmin Dmax 127 190 (127) (190) 109 168 (109) (168) 111 162 (111) (162) 124 (124) 101 156 (101) (156) ∅ 250 ∅ 350 n Dmin Dmax n Dmin Dmax 20 326 419 (20) (326) (419) 21 248 484 (21) (310) (484) 18 169 288 19 293 387 (18) - (301) (387) 21 202 265 18 296 358 (21) (211) (265) (17) (296) (358) 20 182 265 18 271 365 (20) (182) (265) (18) (271) (365) n 20 (20) 20 (17) 23 (21) 19 (19) 22 (22) Tabelle 4-1: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für das große Punktlastversuchsgerät 31 Versuchsapparatur: Druckversuchsstand Beanspruchungsart: Flächenbeanspruchung Beanspruchungsgeschwindigkeit: ca. 1 mm/s Änderung des Plattenabstandes: 5 % von Gesteinshöhe Bereich des Äquivalentdurchmessers DD [mm], Anzahl der Proben n Material ∅ 80 ∅ 150 DD,min DD,max 62 (62) 47 (47) 71 (71) 70 (70) 66 (66) Quarzporphyr Basalt Diabas Diorit Glas 110 (110) 75 (75) 98 (98) 105 (105) 112 (112) n 25 (25) 31 (30) 20 (20) 29 (28) 20 (20) DD,min DD,max 117 (117) 115 (115) 124 (124) 106 (106) 129 (129) 210 (210) 199 (199) 220 (220) 176 (176) 172 (172) n 25 (25) 31 (30) 20 (20) 28 (28) 20 (20) ∅ 350 (∅ 250 für Glas) DD,min DD,max 370 (375) 320 (320) 239 (239) 270 (270) 212 (236) 494 (494) 534 (534) 351 (351) 367 (367) 294 (294) n 38 (29) 31 (31) 20 (20) 40 (40) 20 (19) Tabelle 4-2: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für Druckversuchstand (5% Plattenabstandsänderung) Versuchsapparatur: Druckversuchsstand Beanspruchungsart: Flächenbeanspruchung Beanspruchungsgeschwindigkeit: ca. 1 mm/s Änderung des Plattenabstandes: 15 % von Gesteinshöhe (10 % für Diabas und Glas) Bereich des Äquivalentdurchmessers DD [mm], Anzahl der Proben n Material ∅ 80 DD,min DD,max ∅ 150 n DD,min DD,max n ∅ 350 (∅ 250 für Glas) DD,min DD,max n Quarzporphyr 60 (60) 99 (99) 25 (25) 117 (117) 223 (223) 27 (27) - - - Basalt 48 (48) 82 (82) 30 (29) 105 (105) 204 (204) 30 (30) 310 (310) 535 (535) 30 (29) Diabas 70 (70) 102 (102) 20 (20) 144 (144) 214 (214) 21 (21) 217 (217) 388 (388) 19 (19) Diorit 67 (67) 97 (97) 30 (30) 111 (111) 186 (186) 30 (30) 234 (291) 406 (406) 50 (35) Glas 71 (71) 116 (116) 19 (19) 126 (126) 154 (154) 21 (21) 207 (258) 338 (338) 20 (19) Tabelle 4-3: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für Druckversuchstand (10 % und 15 % Plattenabstandsänderung) 32 Druckversuchsstand Flächenbeanspruchung ca. 1 mm/s 20 % von Gesteinshöhe DD,max 37 (37) 67 (67) 27 (27) 69 (69) 120 (120) 28 (28) 135 208 (135) (208) 26 (24) 322 497 (322) (497) 30 (30) Basalt 41 (41) 62 (62) 30 (30) 45 (45) 92 (92) 30 (30) 130 230 (130) (230) 30 (29) 330 561 (330) (561) 29 (29) Diabas - - - 67 (67) 115 (115) 19 (19) 126 250 (139) (250) 30 (28) 263 341 (263) (341) 20 (20) Diorit 32 (32) 44 (44) 27 (27) 70 (70) 103 (103) 30 (28) 152 234 (152) (234) 23 (23) 272 397 (272) (397) 26 (26) Glas - - - 82 (82) 119 (119) 20 (20) 139 187 (139) (187) 20 (20) 200 329 (200) (329) 20 (20) DD,min DD,max n DD,min DD,max DD,max Quarzporphyr DD,min DD,min n Material n Bereich des Äquivalentdurchmessers DD [mm], Anzahl der Proben n ∅ 350 ∅ 50 ∅ 80 ∅ 150 (∅ 250 für Glas) n Versuchsapparatur: Beanspruchungsart: Beanspruchungsgeschwindigkeit: Änderung des Plattenabstandes: Tabelle 4-4: Versuchsplan zur Einzelkornzerkleinerung für Druckversuchstand (20 % Plattenabstandsänderung) 4.4 Durchführung der Versuche Punktlastversuch Der Punktlastversuch (sog. “Point Load Test“ oder “PLT“) wird bekanntlich als ein Messverfahren zur Klassifizierung der Gesteinsfestigkeit eingesetzt [1, 2]. Ein bedeutender Vorteil dieses Verfahrens gegenüber den weit verbreiteten Druck- und Spaltzugfestigkeitsversuchen ist der geringe Aufwand zur Vorbereitung der Gesteinsproben [3, 4]. Das PLT-Verfahren kann unmittelbar im „Feld“ (d.h. im Steinbruch oder im Tagebau) mit einem mobilen Testgerät an „frischen“ Materialproben durchgeführt werden, wodurch Verpackungs- und Transportkosten entfallen können. Beim Punktlastversuch werden unvorbereitete Materialstücke beliebiger Form mit annähernd gleichen linearen Abmessungen des minimalen Querschnitts zwischen zwei abgerundeten Kegelspitzen zerkleinert (Bild 4-12, S. 33). Mit dem klei- 33 nen PLT-Gerät können Festgesteinproben nur bis ca. 50 mm Äquivalentdurchmesser untersucht werden. Da bei den Grobzerkleinerungsmaschinen Material mit größeren Korngrößen (< 100 mm) vorkommen, wurde das große PLT-Gerät eingesetzt. Die Prüfung der zu untersuchenden Materialien erfolgt nach der ISRM Norm, welche im Folgenden erläutert wird. Erklärung der Geometrie des zu prüfenden Naturgesteins nach ISRM-Norm (Bild 4-12) Minimale Querschnittfläche A : A = w ⋅d [mm 2 ] (4-1) d [mm] - Höhe bzw. Prüfspitzenabstand w [mm] - mittlere Breite Kreisfläche A1 : A1 = π ⋅ D2 4 [mm 2 ] (4-2) Äquivalentdurchmesser D durch Gleichsetzen von A und A1 : D= 4 ⋅w ⋅ d π [mm ] (4-3) w1 D d w2 lL l L > 0 ,5d 0 ,3w < d < w Bild 4-12: Äquivalentdurchmesser Querschnitt durch die Prüfspitzen w = w1 + w 2 2 Prüfkörper beim Point-Load-Test mit vorgeschlagenen Proportionsgrenzen nach Brook [5]) 34 Flächenlastversuch Während bei den PLT-Versuchen die Prüfkraft über eine „punktförmige” Fläche (normalisierter Radius der Kegelspitze beträgt 5 mm) auf das Gestein übertragen wird, geschieht dieser Vorgang bei den Versuchen am Druckversuchsstand (Hydraulische Presse) über eine größere Fläche. Am Druckversuchsstand (Beschreibung siehe S. 23-24) werden unregelmäßig geformte Gesteine zwischen zwei gleich großen flachen Druckplatten mit einer Prüfkraft belastet. Aufgenommen werden die Reaktionskraft mittels Druckmessdosen und der Weg. Zunächst wird die maximale Abmessung Lmax (Bild 4-13) des Gesteins in stabiler Gleichgewichtslage bestimmt. Senkrecht zu Lmax und parallel zur Grundfläche ergibt sich dann die maximale Breite B. Die parallele Ebene zur Grundfläche stellt als maximale Höhe C dar. Mit den so definierten Kantenlängen kann eine Projektionsfläche (Ellipsenfläche) mit den Abmessungen Lmax und B berechnet werden. Die so definierte Projektionsfläche wird jetzt noch in eine flächengleiche Kreisfläche mit dem Äquivalentdurchmesser DD umgerechnet. Die zur Beschreibung der Prüfkörpergeometrie notwendige Vorgehensweise wird im Anschluss erläutert. Erklärung der Geometrie des zu prüfenden Naturgesteins (Bild 4-13) Projektionsfläche AP : AP = π ⋅ B Lmax ⋅ 2 2 [mm 2 ] B [mm] - Breite Lmax [mm] - maximale Länge (4-4) Kreisfläche A1 : A1 = π ⋅ DD2 4 [mm2 ] (4-5) Äquivalentdurchmesser DD durch Gleichsetzen von AP und A1 : DD = B ⋅ Lmax [mm] (4-6) 35 Z Lmax C X XY B Y C < B < Lmax Bild 4-13: B II XY Prüfkörper beim Druckversuchsstand mit vorgeschlagenen Proportionsgrenzen Eine weitere wichtige Kenngröße ist die prozentuale Änderung des Plattenabstandes, die folgendermaßen definiert ist: hp = h • 100 % C (4-7) C [mm] - mittlere Messhöhe aus allen Proben in jeder Aufgabefraktion h [mm] - Änderung des Plattenabstandes Erklärung der Kornformwinkelbestimmung nach Szczelina Für die Berechnungen von Szczelina [12] wird ein Kornformwinkel fi bestimmt. Dies ist wichtig, da bei der Einzelkorndruckzerkleinerung die Aufgabegutkornform einen großen Einfluss auf das Zerkleinerungsergebnis hat [12, S. 78]. Vor allem die Kornspitze ist hierbei entscheidend. Sie muss deswegen bei jedem Korn analysiert werden. Die ausführliche Erklärung ist in den Anhängen 1a bzw. 1b zu finden. 36 5 Beschreibung der Methode nach Raaz Eine quantitative Charakterisierung der Gesteinsfestigkeit und anderer verwandter Gesteinseigenschaften spielt in vielen Ingenieuranwendungen eine entscheidende Rolle, besonders bei der Projektierung und Konstruktion der Gewinnungs- und Aufbereitungsmaschinen. Die Methode von Raaz spielt dabei eine wesentliche Rolle. Die Entwicklung dieses Verfahrens ist in Kapitel 2.2 und 4.4 näher beschrieben. Im Folgenden werden, ausgehend von Raaz [6], die statistischen Aspekte geeigneter Prüfverfahren zur Charakterisierung der Gesteinseigenschaften dargestellt. 5.1 Berechnung der PLT-Festigkeit nach der ISRM-Norm Aus Reaktionskraft P und äquivalentem Durchmesser D der Bruchfläche errechnet sich die PLT-Festigkeit gemäß I= P D2 [MPa] . (5-1) Aus Messdaten Pi und Di erhält man den Näherungswert I= 1 n Pi •∑ n i =1 Di 2 [MPa] . (5-2) Oft rechnet man die Reaktionskraft der Steine auf einen idealen Wert N (entspricht einem idealen Äquivalentdurchmesser) um und erhält so IN. In der ISRM-Norm wird der Wert für N auf 50 gesetzt, also ist IN = I50. Dabei wird für Gesteinsproben mit D ≠ N (in ISRM-Norm D ≠ 50 mm) der Korngrößenkorrekturfaktor Fi benutzt [1], ⎛D ⎞ Fi = ⎜ i ⎟ ⎝N⎠ 0 ,45 (5-3) . Damit ergibt sich für IN : 1 n P IN = • ∑ i2 • Fi n i =1 Di [MPa]. (5-4) Falls nur wenige Testergebnisse für den gleichen Korngrößenbereich D = N (in ISRM-Norm D = 50 mm) zur Verfügung stehen, kann Formel (5-3) brauchbare Re- 37 sultate liefern. Für die meisten Gesteine ist die Genauigkeit der Formel aber zweifelhaft, da der Exponent (0,45 in Formel (5-3)) von der Gesteinsart und von der Korngröße abhängig ist (sofern der Ansatz (5-5, 5-6) weiter unten akzeptiert wird). 5.2 Modifizierung des PLT-Auswerteverfahrens Um die Genauigkeit der PLT-Festigkeitsbestimmung des idealen Werts N (in ISRM-Norm 50) zu erhöhen, werden der Korrekturfaktor und der Exponent durch Regression den jeweiligen Bedingungen angepasst. Die empfohlene gesteinsspezifische Bestimmung der PLT-Festigkeit IN beruht auf folgender Grundbeziehung [1]: IN = kN Pi Di 2 ⎛D ⎞ •⎜ i ⎟ ⎝N ⎠ kN [MPa] (5-5) - gesteinsspezifischer Exponent des Korngrößenkorrekturfaktors Mit N = 50 ergibt sich: I 50 P ⎛D ⎞ = i2 • ⎜ i ⎟ Di ⎝ 50 ⎠ k 50 [MPa] (5-6) Der Exponent k50 des Korngrößenkorrekturfaktors wird auch in der Form k50= 2(1-m) ausgedrückt, wobei m (genauer wäre die Bezeichnung m50) ein weiterer Exponent ist. Die Schreibweise k50 soll darauf verweisen, dass beim Bezug auf einen anderen Standarddurchmesser (z.B. 100 mm, 300 mm etc.) ein anderer Exponent zu erwarten ist. Erfahrungsgemäß lassen sich die Messwerte der Bruchkraft Pi beim PLT-Versuch in einem logarithmischen Diagramm in Abhängigkeit von der minimalen Querschnittsfläche Dí2 als ein linear verlaufendes Streuband etwa konstanter Breite graphisch darstellen [1, 5] (Bild 5-1). Für deutlich andere Werte von D (z.B.100 mm, 300 mm) wird ein analoger Zusammenhang mit eventuell anderem Anstieg erwartet. Ausgangspunkt der Regressionsrechnung ist folgender Zusammenhang für Pi und Di bei Werten von Di gleich N (N = 50 mm nach ISRM-Norm): Pi ⎛ Di2 ⎞ ⎟ =⎜ PN ⎜⎝ N 2 ⎟⎠ m (5-7) 38 Gesucht sind die Parameter m und PN (PN = P50 nach ISRM-Norm). Sie werden durch Regression ermittelt. Dazu wird zunächst Gleichung (5-7) logarithmiert. Reaktionskraft P [N] 1000000 t Po Pu n − 2 ,1− α • s lg P 2 100000 P50 10000 1000 100 100 1000 Dmin2 502 Dmax2 10000 100000 Äquivalente Fläche D2 [mm²] Bild 5-1: Darstellung der Daten eines Punktlastversuches im logarithmischen Netz Damit erhält man eine Beziehung der Form: y i = a + bxi (5-8) mit ( x i = lg Di2 / N 2 ) (5-9) y i = lg Pi (5-10) b=m (5-11) a = lg PN (5-12) . Die Formeln der linearen Regression (Storm [7]) liefern dann Schätzwerte für m und lgPN : n n ˆ = m n n ⋅ ∑ ((lg Pi ) ⋅ lg( Di2 )) − ∑ (lg Pi ) ⋅ ∑ (lg Di2 ) i =1 i =1 ⎛ ⎞ n ⋅ ∑ (lg D ) − ⎜ ∑ lg Di2 ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ n n 2 i 2 i =1 2 (5-13) 39 Pˆ N = 10 1 n ⎡ ⎛ N lg ⎢ Pi ⋅⎜⎜ ⎢ ⎝ Di i =1 ⎣ n ∑ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ˆ 2m ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ [N] (5-14) Liegen Messwerte mehrerer Messreihen in einer doppeltlogarithmischen Darstellung auf einer Ausgleichsgeraden, kann eine gemeinsame mittlere Steigungskonstante m für alle Messwerte ausgewiesen werden. Somit kann man die PLT-Festigkeit I'N (I'N = I'50 nach ISRM-Norm) berechnen, wobei I N′ = Pˆ N N2 (5-15) benutzt wird. Weil sich mit (5-15) ein numerisch anderer Wert für IN (IN =I50 nach ISRM-Norm) als nach (5-4) ergibt, wird das neue Symbol I'N benutzt. 5.3 Genauigkeit der PLT- Kennwerte Ausgehend von bekannten Formeln der Regressionstheorie können verschiedene Vertrauensbereiche aufgestellt werden, die die Genauigkeit der ermittelten Werte für m, PN (PN =P50 nach ISRM-Norm) und die Ausgleichsgerade insgesamt charakterisieren. Diese Vertrauensintervalle sind für die Konstruktion von Aufbereitungsund Gewinnungsmaschinen von großer Bedeutung. Dabei wird angenommen, dass der Logarithmus der Reaktionskraft P normalverteilt ist, d.h., P ist lognormalverteilt.2 Ausgehend von der Reststreuung s²lgP (vgl.(5-23)) der logarithmierten Reaktionskraft P erhält man folgendes Vertrauensintervall für die Regressionsgerade: lg Po / u = lg P + / − t t n−2,1 − α 2 n−2,1 - α 2 2 ⎡ ⎛ D ⎞2 D ⎤ ⎢lg⎜ ⎟ − lg⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎝ N ⎠ ⎥⎦ 1 ⎢⎣ ⎝ N ⎠ • slg P • + n (n −1) • s 2 ⎛ D ⎞2 (5-16) lg⎜ ⎟ ⎝N⎠ - Quantil der t -Verteilung mit n − 2 Freiheitsgraden Nach ISRM-Norm gilt N = 50. 2 2 (≈ Weibull -verteilt) 40 Formel (19) ergibt sich aus Formel (15.7) in Storm [7], indem man setzt ⎛D⎞ x = lg ⎜ ⎟ ⎝N ⎠ 2 (5-17) 2 1 n ⎛D ⎞ ⎛D⎞ x = • ∑ ⎜ i ⎟ = lg ⎜ ⎟ n i =1 ⎝ N ⎠ ⎝N ⎠ 2 (5-18) y i = lg Pi (5-19) ŝ = s lg P (5-20) s x2 = s 2 ⎛ D ⎞2 (5-21) lg ⎜ ⎟ ⎝N⎠ wobei sich die Reststreuung (Streuung) wie folgt ergibt: slg2 P 2 n ⎡ ) ⎛ Di ⎞ ⎞⎟⎤ 1 ⎛ ⎜ ˆ • lg⎜ ⎟ ⎥ = • ∑⎢lg PN − lg Pi − m ⎜ n − 2 i =1 ⎢ ⎝ N ⎠ ⎟⎠⎥⎦ ⎝ ⎣ 2 (5-22) bzw. nach Umformung slg2 P n ⎧ ⎛ ˆ ⎞ D ⎫ 1 ⎪ P ˆ •lg⎛⎜ i ⎞⎟⎪⎬ = • ∑⎨lg⎜ N ⎟ + 2m n − 2 i =1 ⎪⎩ ⎜⎝ Pi ⎟⎠ ⎝ N ⎠⎪⎭ 2 (5-23) Nach ISRM-Norm gilt hier ebenso N = 50. Bei Raaz (2002) wurde offenbar Formel (5-16) vereinfacht, indem der Wurzelterm gleich 1 n gesetzt wurde. Eigentlich hängt die Intervallbreite in Formel (5-23) von 2 ⎛D⎞ der Variablen x = lg ⎜ ⎟ ab. ⎝N ⎠ Genauigkeit der Berechnung von m Man geht von der Formel (15.4) in Storm [7] aus. Danach ist die halbe Breite ∆m des Vertrauensintervalls für m in der dortigen Notation gleich Δm = sˆ ( n −1) ⋅ sX •t n−2,1- α 2 . (5-24) 41 Dabei ist wieder ŝ = slgP, während Raaz sx² wie folgt ansetzt sx2 = (lgDmax −lgDmin) / 3 . (5-25) 2 Dahinter steckt folgende Überlegung: Die Variable ist gleich lg(D/N)2 =2(lgD – lgN). Für N wird nach ISRM-Norm der Wert 50 eingesetzt. Ihre Varianz ist gleich 4var(lgD). Wenn, wie in Raaz [6] angenommen, lgD im Intervall [lgDmin, lgDmax] gleichmäßig verteilt ist, gilt nach der Formel für die Varianz der Gleichverteilung var(lgD ) = (lg Dmax − lg Dmin )2 (5-26) . 12 Damit ergibt sich s = 2 x (lgDmax − lg Dmin )2 (5-27) 3 und 3 • slg P • t Δm = n−2,1 − (lg Dmax − lg Dmin) • α 2 n −1 , (5-28) ergibt ungefähr: 2 • slg P • t Δm ≈ α n−2,1− (lg Dmax − lg Dmin) • 2 n −1 (5-29) Wenn für mehrere Messreihen eine gemeinsame mittlere Steigungskonstante m festgelegt werden kann, erfolgt analog dazu die Bestimmung eines gemeinsamen mittleren ∆m nach (5-29). Für die weiteren Berechnungen wird dabei die von Raaz angegebene vereinfachte Formel (5-16) verwendet. Die Formeln zur Kennwertberechnung, die für die statistische Auswertung von Bedeutung sind, ändern sich bei Berechnung für Kennwerte der DVS-Versuche ledig- 42 lich in der Verwendung zusätzlicher Indizes. Als Erläuterung soll hierfür die folgende Tabelle dienen: Symbol für PLT-Versuche Symbol für DVS-Versuche Benennungen D DD Äquivalentdurchmesser Dmax DD,max Maximaler Äquivalentdurchmesser Dmin DD,min Minimaler Äquivalentdurchmesser F FD Korngrößenkorrekturfaktor I ID PLT-Festigkeit / Festigkeit für unregelmäßig geformte Festgesteine IN ID,N PLT-Festigkeit / Festigkeit für idealen Wert N I N I D,N PLT-Festigkeit / Festigkeit für idealen Wert N (laut Regressionsgerade) kN kD,N Gesteinsspezifischer Exponent des Korngrößenkorrekturfaktors m mD Steigungskonstante der ReaktionskraftRegressionsgeraden ∆m ∆mD Absoluter Fehler der Steigungskonstanten der Reaktionskraft-Regressionsgeraden P PD Reaktionskraft PN PD,N Reaktionskraft für ideale Werte N PO PD,O Obere Grenze des Vertrauensintervalls für die Reaktionskraft der Regressionsgeraden PU PD,U Untere Grenze des Vertrauensintervalls für die Reaktionskraft der Regressionsgeraden s2lgP s2lgP,D Streuung oder Reststreuung der logarithmierten Reaktionskraft P slgP slgP,D Reststandardabweichung der logarithmierten Reaktionskraft P Tabelle 5-1: Gegenüberstellung der Symbole für PLT- und DVS-Versuche 43 6 Beschreibung der Weibull-Analyse Die Weibull-Analyse umfasst die Weibull-Verteilung und die Weilbull-Theorie. Sie dient der statistischen Auswertung der Messergebnisse und liefert Stoffkennwerte, die das Bruchverhalten charakterisieren (Kapitel 2.3). Die Weibull-Verteilung ist die theoretische Grundlage für die statistische Auswertung der Bruchfestigkeitsversuche für die vorliegende Dissertation. Im Folgenden werden die Grundlagen der Weibull-Theorie erläutert. Dabei wird die Variable mit σ bezeichnet, wie das in der Literatur üblich ist. Diese Variable bezeichnet die Festigkeit. Das Symbol F(Xz<σ) bezeichnet dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Festigkeit des Prüfkörpers kleiner als σ ist. 6.1 Weibull-Verteilung 6.1.1 Definition, Erwartungswerte und andere Kenngrößen Eine stetige Zufallsgröße Xz besitzt eine (zweiparametrige) Weibull-Verteilung mit den Parametern σo und mW (σo > 0, mW > 0), wenn für ihre Wahrscheinlichkeitsdichte f X z bzw. ihre Verteilungsfunktion FX z gilt: ⎧ ⎪⎪mW f X z (σ ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩ ⎛ ⎛σ ⎛ σ mW −1 ⎞ ⋅ ⎜⎜ mW ⎟⎟ ⋅ exp⎜ − ⎜⎜ ⎜ ⎝σ0 ⎝ σ0 ⎠ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ mW ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0 für σ > 0 (6-1) für σ ≤ 0 bzw. ⎧ ⎛ ⎛σ ⎪⎪1 − exp⎜ − ⎜ ⎜ ⎜⎝ σ 0 FX z (σ ) = ⎨ ⎝ ⎪ ⎪⎩ ⎞ ⎟⎟ ⎠ mW ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0 für σ > 0 (6-2) für σ ≤ 0 Dabei ist σ 0 ein Skalen- oder Lageparameter und mW ein Form- oder Gestaltparameter. Die Verteilungsfunktionen für verschiedene Formparameter mW bei gleich bleibendem Skalenparameter σ 0 sind in Bild 6-1 dargestellt. Es ist erkennbar, dass der Parameter σ 0 eine Verschiebung der Verteilungsfunktion entlang der Abszisse bewirkt. 44 F(σ) 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 Bild 6-1: σ 1 2 3 4 5 6 7 8 Weibull-Verteilung mit σ o = 5 und mW = 5 (grün); mW = 20 (blau); mW = 40 (rot) Je größer der Parameter mW , desto kleiner ist die Streuung. Bild 6-2 zeigt die Verteilungsfunktionen für verschiedene Skalenparameter σ 0 bei gleich bleibendem Formparameter mW . Die Momente der Weibull-Verteilung sind gegeben durch EX k = σ 0 Γ (1 + k / mW ), F(σ) 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 Bild 6-2: (6-3) k = 1,2,... σ 5 10 15 20 25 30 Weibull-Verteilung mit mW = 5 und σ 0 = 2 (grün); σ 0 = 7 (blau); σ 0 = 20 (rot) 45 Speziell lässt sich der Erwartungswert schreiben als EX z = σ 0 Γ (1 + 1 / mW ) (6-4) und für die Streuung ergibt sich ( ) var X z = σ 02 ⋅ Γ (1 + 2 / mW ) − (Γ (1 + 1 / mW )) . 2 (6-5) Die Schiefe der Verteilung ist gleich γ= Γ(1 + 3 / mw ) − 3Γ(1 + 2 / mW )Γ(1 + 1 / mW ) + 2(Γ(1 + 1 / mW )) 3 (Γ(1 + 2 / m 2 W ) − (Γ(1 + 1 / mW )) ) 3/ 2 Weitere Kenngrößen sind der Median mit γ 0 ,5 = σ 0 ⋅ (ln 2 ) 1 / mW . (6-6) und der Modalwert 1 / mW ⎛ m − 1⎞ ⎟⎟ für mW ≥ 1 mit w M = σ 0 ⋅ ⎜⎜ W . ⎝ mW ⎠ Als Spezialfälle ergeben sich für mW = 1 die Exponentialverteilung (mit dem Parameter λ = 1 / σ 0 ) und für mW = 2 die Rayleigh-Verteilung (mit dem Parameter λ = σ 0 ). 2 6.1.2 Schätzung der Weibull-Parameter Eine Möglichkeit zur Schätzung der Weibull-Parameter beruht auf der Auswertung einer Ausgleichsgeraden im linearisierten Weibull-Wahrscheinlichkeitsdiagramm. Diese Methode wird im Folgenden näher erklärt. Bei der Weibull-Verteilung sind zwei Parameter mW und σ 0 mittels einer vorliegenden Stichprobe σ1, σ2, …,σn vom Umfang n zu schätzen. Als erstes wird dazu die Weibull-Funktion gebildet: ⎧⎪ ⎛ ⎛σ FX z (σ ) = ⎨1 − exp⎜ − ⎜⎜ ⎜ ⎝σ0 ⎪⎩ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ mW ⎞ ⎟ , σ > 0,σ > 0, m > 0 0 W ⎟ ⎠ Durch Umformung ergibt sich: (6-7) 46 ⎛ σ 1 = exp⎜⎜ − 1 − FX z (σ ) ⎝ σ0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ mW (6-8) Zweimaliges Logarithmieren liefert: ⎛ 1 ⎞ + ln σ ⎟⎟ ln − ln 1 − FX z (σ ) = mW ⎜⎜ ln ⎝ σ0 ⎠ ( ( )) ln x = − ln 1 σ0 + ( ( (6-9) )) 1 ⋅ ln − ln 1 − FX z (σ ) mw (6-10) mit y ( σ ) = ln σ (6-11) 1 (6-12) a* = − ln b* = σ0 1 mW (6-13) ( ( )) z = ln − ln 1 − FX z (σ ) (6-14) kann eine Darstellung in Form einer Ausgleichsgeraden erfolgen: y = a* + b* z . (6-15) Die Koeffizienten a* und b* werden aus der Formel ∑ (y − (a n i i =n * )) 2 − b* ⋅ z i = Minimum (6-16) bestimmt. Durch partielle Differentiation nach a* und b* und Null setzen der Ableitungen erhält man Schätzwerte â * und b̂ * für a* und b*: ∑(y − (aˆ − bˆ ⋅ z )) = 0 n * i i =1 ∑z ⋅ (y i n i =1 i * i ) n n i =1 i =1 ⇒ n ⋅ aˆ * + bˆ * ⋅ ∑zi = ∑yi − aˆ * − bˆ * ⋅ zi = 0 (6-17) n n n i =1 i =1 i =1 2 ⇒ aˆ * ⋅ ∑zi + bˆ * ⋅ ∑zi = ∑ y i ⋅ zi (6-18) 47 und wegen z = 1 n 1 n ⋅ ∑ zi , y = ⋅ ∑ y i n i =1 n i =1 aˆ * = y − bˆ * ⋅ z , (6-19) n bˆ * = ∑ y ⋅∑ z i =1 n ∑ zi ⋅ y i − ∑z i =1 i =1 i =1 n ∑z n ∑ (z i =1 i 2 ⋅ yi − n ⋅ z ⋅ y i i =1 bˆ * = i ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ zi ⎟ n z i2 − ⎝ i =1 ⎠ ∑ n i =1 n bˆ * = n n i 2 i − n⋅z2 − z ) ⋅ (y i − y ) n ∑ (zi − z ) , 2 (6-20) i =1 Die Gleichung der Gerade lautet damit yˆ = aˆ * + bˆ * ⋅ z yˆ = y ⋅ bˆ * ⋅ (z − z ) . (6-21) Aus b̂ * errechnet sich mW : ˆW = 1 . m bˆ * (6-22) σ̂ 0 berechnet sich aus: σˆ 0 = 1 e −a* ˆ . (6-23) 48 6.1.3 Weibull-Diagramm Diagramme liefern einen ersten Eindruck über die Güte der Schätzung. Bei Auswertungen mittels der Weibull-Verteilung wird dabei häufig vom linearisierten Weibull-Wahrscheinlichkeitsdiagramm gesprochen. Durch Umstellen und zweimaliges Logarithmieren der zweiparametrigen WeibullVerteilungsfunktion FX z (σ ) : ⎛σ 1 = exp ⎜⎜ 1 − FX z (σ ) ⎝σ0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛σ 1 ⎟=⎜ ln ⎜ ⎜ 1 - FX (σ ) ⎟ ⎜ σ 0 z ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ mW (6-24) mW (6-25) ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ Y1 = lg ⎜ ln ⎜ ⎜ ⎜ 1 - FX (σ ) ⎟ ⎟ z ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛σ Y1 = mW ⋅ lg ⎜⎜ ⎝σ0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ Y1 = mW ⋅ (lg σ − lg σ 0 ) (6-26) bzw. ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟⎟ Y2 = ln ⎜ ln ⎜ ⎜ ⎜ 1 - FX (σ ) ⎟ ⎟ z ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛σ Y2 = mW ⋅ ln⎜⎜ ⎝σ0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ Y2 = mW ⋅ (ln σ − ln σ 0 ) (6-27) wird die Verteilungsfunktion FX z (σ ) in eine Gerade transformiert, wobei der Weibull-Modul mW gleich dem Anstieg der Gerade und der Skalenparameter σ0 gleich einer Verschiebung entlang der y-Achse ist. 49 In das Diagramm werden sowohl die empirischen Verteilungsfunktionswerte als auch die theoretische Verteilungsfunktion eingetragen. Bei Vorliegen einer WeibullVerteilung müsste beides weitestgehend übereinstimmen. Die empirischen Verteilungsfunktionswerte FX z (σ ) werden mit der folgenden Methode bestimmt: F (x ) = ( Anzahl X zi < σ ) n (6-28) n … Stichprobenumfang. Je nach verwendetem Programm kann die mit Hilfe der geschätzten Parameter ermittelte Verteilungsfunktion direkt als transformierte Funktion oder indirekt über Interpolation von Punkten in das Diagramm eingetragen werden. Bei der indirekten Variante (die hier später verwendet wird), kann beispielsweise wie folgt verfahren werden: Es werden die σ -Werte der Messungen benutzt und zu diesen mit Hilfe der geschätzten Parameter der Wert der Verteilungsfunktion ermittelt und transformiert. Eine Interpolation der Punkte liefert dann das endgültige Ergebnis. Für die Skalierung der Achsen gibt es mehrere Varianten: • Man verwendet die metrische Skalierung und trägt auf der waagerechten Achse den natürlichen Logarithmus von σ ab. Auf der senkrechten Achse ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟ ⎟ ” abgetragen (Bild 6-3). Diese Darstelwerden die Werte ” ln⎜ ln⎜ ⎜ ⎜ 1 − FX (σ ) ⎟ ⎟ z ⎠⎠ ⎝ ⎝ lung verliert aber leider für den Praktiker die leichte Lesbarkeit, da die dargestellten Werte Transformationen der Ausgangsgröße sind und nicht sofort interpretiert werden können. • Es wird die logarithmische Skalierung bei beiden Achsen verwendet. Aufgrund dieser Maßnahme werden auf der waagerechten Achse nun die direk- 50 ten Ausgangswerte ”σ” dargestellt. Auf der senkrechten Achse wird weiterhin ein Logarithmus abgetragen: ⎛ ⎞ 1 ⎟ . ln⎜ ⎜ 1 − FX (σ ) ⎟ z ⎝ ⎠ Um hier ebenfalls eine leichte interpretierbare Größe ablesen zu können, ⎛ ⎞ 1 ⎟ ” die entsprechenden Wahrkönnen anstelle der Werte ” ln⎜ ⎜ 1 − FX (σ ) ⎟ z ⎝ ⎠ scheinlichkeiten F X (σ ) als Beschriftung dienen (Bild 6-4). z • Beide Varianten können auch vermischt werden. Beispielsweise wird die waagerechte Achse aufgrund der direkten Interpretierbarkeit logarithmisch skaliert, während auf der senkrechten Achse in metrischer Skalierung die ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 ⎟ ⎟ ” abgetragen werden. Auch die umgekehrte VariWerte ” lg ⎜ ln⎜ ⎜ ⎜ 1 − FX (σ ) ⎟ ⎟ z ⎠⎠ ⎝ ⎝ ante ist denkbar (Bild 6-5 und Bild 6-6) Die Beispieldiagramme wurden für Diorit aus Hohwald für mittlere Äquivalentdurchmesser D = 54 mm angefertigt. Man beachte die Unterschiede zwischen den im Diagramm aufgetragenen Größen und der gewählten Achsenbeschriftung (siehe Bild 6-3 bis 6-6). Im Programm Visual-XSel 8.0 wird beispielsweise die logarithmische Skalierung verwendet, dabei werden die Festigkeiten ”σ” und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten FX z (σ ) dargestellt. 51 2 gemessene Werte ∆ gemessene Werte errechnete Werte anhand der Schätzung — Ausgleichsgerade 1 ln(ln(1/(1-F))) 0 -1 -2 -3 -4 2,5 2,75 3 3,25 3,5 ln(PLT-Festigkeit) Häufigkeit der PLT-Festigkeiten [%] Bild 6-3: Weibull-Diagramm: Beide Achsen metrisch skaliert 99,9 % 10 63,2 % 1 9,5 % 0,1 1% 0,01 1 10 100 PLT-Festigkeit Bild 6-4: Weibull-Diagramm: Beide Achsen logarithmisch skaliert (Die senkrechte Achse wurde zusätzlich mit den Wahrscheinlichkeiten in % beschriftet) 52 1 lg(ln(1/(1-F))) 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 1 Bild 6-5: 10 PLT-Festigkeit 100 Weibull-Diagramm: x-Achse logarithmisch skaliert, y-Achse metrisch 10 gemessene Werte ∆ gemessene Werte ln(1/(1-F)) —errechnete Ausgleichsgerade Werte anhand der Schätzung 1 0,1 0,01 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 lg(PLT-Festigkeit) Bild 6-6: Weibull-Diagramm: x-Achse metrisch skaliert, y-Achse logarithmisch 53 6.2 Auswertung der PLT-Ergebnisse entsprechend der Weibull-Verteilung In den folgenden Tabellen sind die Ergebnisse der Weibull-Verteilung des großen Punktlastversuchsgerätes, sowie des Druckversuchstandes für Hartgesteine und Glas dargestellt. Es gibt verschiedene statistische Verfahren, um zu überprüfen, ob die empirischen Testergebnisse durch eine Weibull-Verteilung angenähert werden können [7]. Im Rahmen der Auswertung ist die grafische Prüfmethode, bei der die Messergebnisse in ein entsprechendes Wahrscheinlichkeitsnetz (Weibull-Papier) einzutragen sind, gewählt worden. Die einzelnen Prüfungen sind in Anlage 2 hinterlegt und in den folgenden Tabellen zusammengefasst. Die hier gezeigte Wertung, ob die Ergebnisse mit der Weibull-Theorie beschreibbar sind, erfolgte subjektiv („+/-”). Versuchsapparatur: großes PLT-Gerät Beanspruchungsgeschwindigkeit: ca. 1 mm/s Variablen: PLT-Festigkeiten I [MPa] Gesteinsgeometrie Material D [mm] Quarzporphyr Basalt Diabas Diorit Glas 81 153 384 71 138 380 78 136 331 95 163 239 324 69 125 220 315 Parameter der WeibullWeibullVerteilung Verteilung * mW,I xI [MPa] sI [MPa] sI% [%] 2,8 2,9 3,3 3,4 3,4 3,0 3,3 3,0 3,8 4,3 3,5 5,5 4,7 4,5 5,3 2,7 6,5 5,6 4,6 2,0 7,4 4,8 1,7 4,0 2,7 0,9 6,8 5,0 4,5 3,0 3,5 2,2 1,2 1,2 2,0 1,7 0,7 2,4 1,6 0,6 1,3 1,0 0,3 1,8 1,6 0,9 0,7 0,9 0,5 0,5 0,02 36 37 35 32 33 35 33 37 33 26 32 20 23 26 23 42 2 + + + + + + + + + + + + + + + + Tabelle 6-1: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom großen PLT-Gerät für harte Gesteine und Glas Legende: D mW,I - Mittlerer äquivalenter Gesteinsdurchmesser - Weibull-Modul (Steigung der Ausgleichsgerade im Weilbull-Netz) xI ( sI% ), sI - Erwartungswert - (Prozentuale) Standardabweichung * - „+“/„-“ Datenpunkte „gut“/ „schlecht“ durch Weibull-Verteilung beschreibbar 54 6.3 Auswertung der DVS-Ergebnisse entsprechend der Weibull-Verteilung Versuchsapparatur: Druckversuchsstand Änderung des Plattenabstandes: 5 % von Gesteinshöhe Beanspruchungsgeschwindigkeit: ca. 1 mm/s Variablen: Festigkeiten ID [MPa] Gesteinsgeometrie Parameter der Weibull-Verteilung Material Quarzporphyr Basalt Diabas Diorit Glas WeibullVerteilung * xI D [MPa] sI D [MPa] sI [%] DD [mm] mW,I D 81 2,2 7,9 3,7 47 + 165 2,2 5,4 2,6 48 + 443 2,4 3,8 1,7 45 + 63 2,8 11,9 4,6 39 + 163 2,2 5,1 2,4 47 + 424 2,6 2,6 1,1 42 + 86 2,4 4,3 1,9 44 + 163 2,7 3,2 1,3 41 + 275 3,7 2,7 0,8 30 + 87 3,2 9,3 3,2 34 - 135 2,3 5,7 2,6 46 + 317 2,1 3,7 1,9 51 - 90 2,4 1,4 0,6 43 + 147 3,1 1,1 0,4 36 + 266 2,4 0,8 0,4 50 + D,% Tabelle 6-2: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom Druckversuchsstand (bei Änderung des Plattenabstandes von 5 %) für harte Gesteine und Glas Legende: DD mW,I D - Weibull-Modul (Steigung der Ausgleichsgerade im Weibull-Netz) xI D - Erwartungswert ( sID,% ), sI D - (Prozentuale) Standardabweichung * - „+“/„-“ Datenpunkte „gut“/ „schlecht“ durch Weibull-Verteilung beschreibbar - Mittlerer äquivalenter Gesteinsdurchmesser 55 Versuchsapparatur: Druckversuchsstand Änderung des Plattenabstandes: 15 % (10 % für Diabas und Glas) von Gesteinshöhe Beanspruchungsgeschwindigkeit: ca. 1 mm/s Variablen: Festigkeiten ID [MPa] Material Quarzporphyr Basalt Diabas Diorit Glas WeibullVerteilung xI D [MPa] sI D [MPa] sI [%] * Gesteinsgeometrie Parameter der Weibull-Verteilung DD [mm] mW,I D 78 3,0 9,0 3,3 37 + 161 2,1 7,4 3,6 49 + 66 4,6 13,2 3,2 24 + 164 3,4 7,0 2,3 33 - 395 3,4 4,7 1,5 32 + 87 2,9 6,0 2,3 38 + 168 2,5 4,3 1,9 44 + 280 3,0 3,2 1,2 38 + 87 3,2 11,0 3,7 34 - 136 3,4 7,7 2,5 32 + 334 2,2 6,2 3,0 48 + 98 3,5 2,7 0,8 30 + 142 4,4 1,9 0,5 26 + 297 4,3 1,0 0,3 30 + D,% Tabelle 6-3: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom Druckversuchsstand (bei Änderung des Plattenabstandes von 10 und 15 %) für harte Gesteine und Glas Legende: DD mW,I D - Weibull-Modul (Steigung der Ausgleichsgerade im Weibull-Netz) xI D - Erwartungswert ( sID,% ), sI D - (Prozentuale) Standardabweichung * - „+“/„-“ Datenpunkte „gut“/ „schlecht“ durch Weibull-Verteilung beschreibbar - Mittlerer äquivalenter Gesteinsdurchmesser 56 Versuchsapparatur: Druckversuchsstand Änderung des Plattenabstandes: 20 % von Gesteinshöhe Beanspruchungsgeschwindigkeit: ca. 1 mm/s Variablen: Festigkeiten ID [MPa] Material DD [mm] Quarzporphyr Basalt Diabas Diorit Glas sID,% [%] WeibullVerteilung * Gesteinsgeometrie Parameter der Weibull-Verteilung mW,I D xI D [MPa] sI D [MPa] 54 2,3 13,8 6,4 46 - 94 1,8 8,7 4,9 56 - 168 2,6 7,0 2,9 41 + 402 3,4 6,5 2,1 32 - 34 2,6 34,2 14,2 42 + 68 1,7 33,4 20,1 60 + 169 3,2 6,9 2,3 33 + 440 2,4 4,8 2,2 46 + 98 3,6 7,2 2,3 32 - 173 4,0 6,0 1,7 28 + 304 3,9 3,6 1,0 28 + 38 3,2 23,2 8,0 34 + 83 4,2 12,4 3,3 27 - 193 2,5 10,0 4,2 42 + 334 2,4 6,5 2,9 45 + 97 2,3 3,6 1,6 44 + 156 3,7 3,0 0,9 30 + 270 2,3 2,4 1,1 46 - Tabelle 6-4: Ergebnisse der Weibull-Verteilung vom Druckversuchsstand (bei Änderung des Plattenabstandes von 20 %) für harte Gesteine und Glas Legende: DD mW,I D - Weibull-Modul (Steigung der Ausgleichsgerade im Weibull-Netz) xPD - Erwartungswert ( sID,% ), sI D - (Prozentuale) Standardabweichung * - „+“/„-“ Datenpunkte „gut“/ „schlecht“ durch Weibull-Verteilung beschreibbar - Mittlerer äquivalenter Gesteinsdurchmesser 57 6.4 Weibull-Theorie 6.4.1 Grundlegende Erkenntnisse und Begriffe Ziel der Untersuchung ist die Schätzung der Wahrscheinlichkeit des Versagens eines Körpers unter gegebenen Belastungsbedingungen. Die auf einen Körper wirkenden Belastungen werden durch einen reellen Parameter beschrieben, der im folgenden ”Druck” genannt wird. Der Druck ist das Verhältnis von Kraft zur äquivalenten Fläche. Dabei bezeichnet die Belastungsspannung σ'(x) die durch den Druck verursachte Spannung im Punkt x des Körpers. Man unterscheidet zwei Arten von Spannungsverteilungen im Körper: - homogene Spannungsverteilung (einachsige Belastung): Die äußere Belastung führt an allen Punkten des Körpers zur gleichen Spannung σ'. Der Einfachheit halber wird auch die äußere Belastung mit Σ' bezeichnet und als Spannung aufgefasst. - inhomogene und homogene Spannungsverteilung (mehrachsige Belastung): Bei gegebenem Druck des Körpers liegt in jedem Punkt x des Körpers eine andere Belastungsspannung σ'(x) vor, im Gegensatz dazu liegt die konstante Belastungsspannung in allen Punkten bei homogener Verteilung vor. Der Druck wird auch hier wieder mit σB bezeichnet. Als Festigkeit eines Stoffes wird die Grenzspannung bezeichnet, bei deren Erreichen er versagt. Die zufällige Festigkeit eines Stoffes wird im Folgenden mit Σ bezeichnet. Bei spröden Werkstoffen wird das Versagen auf im Körper vorhandene Fehlstellen (oder Defekte) mit unterschiedlicher Festigkeit zurückgeführt. Als Bruchkriterium wird bei sprödem Material davon ausgegangen, dass die Überbelastung einer einzigen Fehlstelle ausreicht, um zum Versagen des Körpers zu führen. Diese Annahme wird auch als das ”Modell des schwächsten Kettengliedes” bezeichnet. In der Weibull-Theorie wird ein Körper BK betrachtet. In diesem Körper befinden sich punktförmige Fehlstellen. Jede Fehlstelle besitzt eine eigene Festigkeit mit folgender Eigenschaft: Sobald die Spannung an der Fehlstelle einen kritischen Wert, die Festigkeit dieser Fehlstelle, erreicht, tritt der Bruch von BK ein. Die mittle- 58 re Anzahl der Fehlstellen eines solchen Probenkörpers BK wird dabei durch den Parameter λ (räumliche Intensität) charakterisiert. 6.4.2 Mehrdimensionaler Fall mit homogener Spannungsverteilung Nun wird der mehrdimensionale Fall mit konstanter Spannung betrachtet. Der belastete Körper ist also ein beliebiger Körper BK im Rd. Er erfährt eine Druck, die der konstanten Spannung σ' in allen Punkten des Körpers entspricht. Diese sind durch Punktprozesse zu beschreiben. Punktprozesse sind mathematische Modelle für diskrete Mengen zufällig im Raum verteilter Punkte. Der zu betrachtende Punktprozess [50] besteht aus Paaren (x, σ(x)), mit x = (x1, x2,…, xd) … Ort der Fehlstelle und σ(x) … Festigkeit in x. Seine ”Punkte” liegen also im Raum BK × [0,∞). Es wird wie im eindimensionalen Fall [50] angenommen, dass der Punktprozess ein inhomogener Poisson-Prozess [50] mit der folgenden Intensitätsfunktion ist λ ( x ,σ ) = λθ ( σ ) . (6-29) Das bedeutet folgendes (Bild 6-7): Die mittlere Anzahl der Punkte (x,σ(x)) mit x ∈ TK ≤ BK und σu ≤ σ(x) ≤ σo ist gleich σo λ ⋅ ∫ θ ( σ ) dσ ⋅V (TK ) , (6-30) σn wobei V(TK) das Volumen vor TK und σu bzw. σo die untere bzw. obere Festigkeit an der Stelle x ist. TK (beliebige Teilmenge von BK ) BK (beliebiger Körper) Bild 6-7: Darstellung der Teilmenge 59 Bei der überall im Körper gleichen Spannung interessieren auch hier alle Punkte, die schwächer als σ' sind, d.h. alle Punkte x, deren Festigkeit σ(x) kleiner oder gleich σ' ist. Die Anzahl dieser Punkte ist eine Poisson-verteilte Zufallsgröße mit dem Parameter µ(σ'): σ′ σ′ σ′ B 0 B 0 0 μ (σ ′) = ∫ ∫ λ (x,σ ) dσdx = ∫ ∫θ (σ ) dσdx = λ ⋅V ⋅ ∫θ (σ ) dσ V - Volumen des betrachteten Körpers σ' - konstante Spannung. (6-31) Die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen von n Punkten x mit σ(x) ≤ σ'(x) im Körper BK ist aufgrund der Poisson-Prozess-Annahme gleich ( μ (σ ′))n ( ) P Nσ ′ = n = exp (− μ (σ ′)), n! n = 0, 1, ... . (6-32) Aufgrund des „Modells des schwächsten Kettengliedes“ kommt es zum Brechen des Körpers bereits dann, wenn im untersuchten Körper die Festigkeit eines Punkt x von der in diesem Punkt wirkenden Spannung σ' erreicht wird. Umgekehrt ist kein Bruch zu verzeichnen, wenn alle Fehlstellen der Belastungsspannung σ' standhalten, σ(x)>σ'(x) für alle x, d.h., wenn der Teil-Poisson-Prozess der Punkte in BK mit σ(x)≤ σ'(x) leer ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist durch die Formel der Poisson-Verteilung gegeben: P (kein Bruch des Körpers bei σ ′) = P (Nσ ′ = 0 ) = exp (- μ (σ ′)) σ′ ⎛⎛ ⎞⎞ = exp ⎜ ⎜⎜ - λV ⋅ ∫ θ (σ )dσ ⎟⎟ ⎟ . ⎜ ⎟ 0 ⎠⎠ ⎝⎝ Dabei kommt man auf die Weibull-Verteilung, wenn die folgende Festigkeitsintensitätsfunktion θ(σ) verwendet wird: θ (σ ) = g ⋅ σ m W −1 , mW > 1, (6-33) 60 wobei g ein konstanter Einflussfaktor und mW ein weiterer Parameter ist, der Weibull-Modul genannt wird. Der Weibull-Ansatz für die Festigkeitsintensitätsfunktion (6-33) führt zu σ′ ⎛ ⎞ P (kein Bruch des Körpers bei σ ′) = exp ⎜⎜ - λ ⋅V ⋅ ∫ g ⋅ σ mW -1dσ ⎟⎟ 0 ⎝ ⎠ ( mW ) ⎛ ⎞ σ′ ⎟ = exp ⎜⎜ − λ ⋅V ⋅ g mW ⎟⎠ ⎝ (6-34) und somit zur folgenden Verteilungsfunktion der zufälligen Festigkeit ∑' des Körpers BK: P (σ ′) = (∑ ≤ σ ′) = P (Bruch des Körpers bei σ ′) ⎛ λ ⋅V ⋅ g ⎞ ⋅ σ ′( mW ) ⎟⎟ . P (σ ′) = (∑ ≤ σ ′) = 1 − exp⎜⎜ − mW ⎝ ⎠ (6-35) Durch Einführung des reziproken Skalierungsparameters ⎛ m ⎞ W ⎟⎟ σ 0′ = ⎜⎜ ⎝ λ ⋅V ⋅ g ⎠ 1 mW (6-36) ergibt sich im mehrdimensionalen Fall für die Verteilung der zufälligen Festigkeit die übliche Form der Weibull-Verteilung: ⎛ ⎛ σ ′ ⎞ mW ⎟ F (σ ′) = 1 − exp ⎜ − ⎜⎜ ⎜ ⎝ σ 0′ ⎟⎠ ⎝ 6.4.3 ⎞ ⎟ . ⎟ ⎠ (6-37) Mehrdimensionaler Fall mit inhomogener Spannungsverteilung Der Fall der einachsigen Belastung stellt eine Vereinfachung dar. In der Praxis liegt im Körper i.a. eine nicht-konstante Belastungsspannung (auch inhomogene Spannungsverteilung genannt) vor. Man spricht auch von einer mehrachsigen Belastung des Körpers bzw. von einem mehrachsigen Spannungszustand im Körper. 61 Es ist wieder ein beliebiger Körper BK und ein Druck gegeben. Bei Vorliegen eines mehrachsigen Spannungszustandes führt der Druck zu unterschiedlichen Spannungen σ'(x) in den Punkten x des Körpers. Zunächst soll diese unterschiedliche Spannungen betrachtet werden. Im linear elastischen Ansatz setzt sich σ'(x) wie folgt zusammen: σ ′( x ) = c F ⋅ σ B ⋅ σ 1′ ( x ) cF - Skalierungsfaktor σB - Druck (Kraft durch äquivalente Fläche) (6-38) σ'1(x) - in x auftretende Spannung bei einer Kraft von 1N. Auch hierbei besteht der Punktprozess der Fehlstellen aus Paaren (x, σ'(x)). Es wird wieder ein inhomogener Poisson-Prozess mit der Intensitätsfunktion λ(x, σ)=λθ(σ) angenommen. Bei der im Körper unterschiedlichen Spannung σ'(x) interessieren nun alle Punkte x, deren Festigkeit σ(x) kleiner oder gleich der Spannung σ'(x) in diesem Punkt ist. Die Anzahl dieser Punkte ist eine Poisson-verteilte Zufallsgröße mit dem Parameter µ: μ =λ⋅ σ ′( x ) ∫ ∫ θ (σ ) dσd x BK (6-39) 0 BK - betrachteter Körper λ - räumliche Intensität σ'(x) - Belastungsspannung in x θ(σ) - Festigkeitsintensitätsfunktion. Die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen von n Punkten x mit σ(x) ≤ σ'(x) im Körper BK ist aufgrund der Poisson-Prozess-Annahme wie in Formel (6-32), S. 58. Wie oben gelangt man zu 62 P (kein Bruch des Körpers bei der Spannung σ ′) = P (N σ ′ = 0 ) P (kein Bruch des Körpers bei der Spannung σ ′) = exp (− μ ) σ ′( x ) ⎞ ⎛ ⎜ ′ P (kein Bruch des Körpers bei der Spannung σ ) = exp − λ ⋅ ∫ ∫ θ (σ ) dσdx ⎟ . ⎟ ⎜ BK 0 ⎠ ⎝ Für die Festigkeitsintensitätsfunktion θ(σ) wird erneut der Weibull-Ansatz aus (633) verwendet. Durch Einsetzen von (6-33) in obige Formel und Vereinfachen ergibt sich: σ ′( x ) ⎛ ⎞ P (kein Bruch bei σ ′ ) = exp ⎜ - λ ⋅ ∫ ∫ g ⋅ σ mW −1 d σ d x ⎟ ⎜ ⎟ BK 0 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ g m = exp ⎜ - λ ⋅ ⋅ ∫ σ ′( x ) d x ⎟ . ⎜ ⎟ m W BK ⎝ ⎠ Unter Verwendung des linear elastischen Ansatzes aus (6-38) folgt schließlich ⎛ ⎞ m P (kein Bruch bei σ ′) = exp ⎜ - λ ⋅ ∫ c FmW ⋅ σ ′( mW ) ⋅ σ 1′ ( x ) W dx ⎟ , ⎜ ⎟ BK ⎝ ⎠ d.h., ⎛ ⎞ g ⋅ σ ′( mW ) ⋅ p ⎟⎟ , P (kein Bruch bei σ ′) = exp ⎜⎜ - λ ⋅ mW ⎝ ⎠ wobei p= ∫c mW F ′ m ⋅σ 1 ( x ) W d x . (6-40) BK Nach Einführen des reziproken Skalierungsparameters 1 ⎛ mW ⎞ mW ⎟⎟ σ 0′ = ⎜⎜ ⎝ λ ⋅g ⋅ p ⎠ (6-41) erhält man bei der linear elastischen Annahme im Fall der inhomogenen Spannungsverteilung für die Verteilungsfunktion der Festigkeit eines Körpers die übliche Form der Weibull-Verteilung: F (σ ′ ) = 1 − P (kein Bruch des Körpers bei σ ′ ) 63 ⎛ ⎛ σ ′ ⎞ mW ⎟ F (σ ′) = 1 − exp ⎜ − ⎜⎜ ⎜ ⎝ σ 0′ ⎟⎠ ⎝ ⎞ ⎟. ⎟ ⎠ (6-42) In allen betrachteten Fällen hängt σ'0 von der Geometrie des Körpers BK und der Form der Belastung ab, während mW der Parameter ist, welcher bereits im WeibullAnsatz (6-32) auftritt. 6.4.4 Größeneffekt Probengrößeneffekte sind typisch für spröde Stoffe. Im einfachsten Fall ergibt sich dieser Probengrößeneffekt aus der von Weibull [17] entwickelten weakest-linkVorstellung, die zu der Volumenabhängigkeit der Bruchfestigkeit 1 σ 1 ⎛ V2 ⎞ m =⎜ ⎟ σ 2 ⎜⎝ V1 ⎟⎠ W (6-43) führt. Gleichung (6-43) verknüpft die mittleren Bruchfestigkeiten σ1 und σ2 der Körper mit den Volumina V1 und V2 miteinander; mW ist dabei der vom Material abhängige Weibull-Parameter. Danach ergibt sich eine umso geringere Bruchfestigkeiten, je größer das Volumen des Prüfkörpers ist (Bild 6-8). Die physikalische Vorstellung dahinter ist, dass die Wahrscheinlichkeit, irgendwo im Körper eine kritische Bedingung für das Versagen vorzufinden, umso größer ist, je größer der betrachtete Körper ist. log Bruchfestigkeit 1 mW σ = σ 0 ⋅ v −1 / m W log Volumen Bild 6-8: Darstellung des Volumeneinflusses im doppeltlogarithmischen Maßstab 64 Die klassische Weibull-Theorie trifft für den Fall zu, dass der Weibull-Modul mW für alle untersuchten Materialkorngrößen konstant ist. Anstatt des Verhältnisses V2/V1 in Gleichung 6-43 können auch andere Verhältnisse, z.B. Oberflächen [51], verwendet werden. Im Folgenden sollen diese Überlegungen verallgemeinert werden, indem das Verhältnis der mittleren äquivalenten Durchmesser D PLT-Versuch, DD DVS-Versuch in unterschiedlichen Exponenten p eingesetzt wird, wie Gleichung 6-44 bzw. 6-45 im Folgenden zeigt: σ 1 ⎛⎜ ⎛ D2 = ⎜ σ 2 ⎜ ⎜⎝ D1 ⎝ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p ⎞ mw ,I ⎟ ⎟ ⎠ (6-44) bzw. σ 1 ⎛⎜ ⎛⎜ DD ,2 = σ 2 ⎜ ⎜⎝ DD ,1 ⎝ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p ⎞ mw ,ID ⎟ ⎟ ⎠ (6-45) Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Festigkeitsverhältnis auf zwei verschiedene Gesteine, Basalt und Quarzporphyr angewendet. Die Ergebnisse sind in Kapitel 7.2 dargestellt. 65 7 Darstellung der Ergebnisse 7.1 Darstellung und Diskussion der Ergebnisse nach der Methode von Raaz Die dargestellten Ergebnisse sind nach der Methode von Raaz (Kapitel 5) ausgewertet worden. Nachfolgend werden die Ergebnisse in Form von Diagrammen und Tabellen aufbereitet. Dabei werden hauptsächlich die Reaktionskraft, die Steigungskonstante und die Reststandardabweichung der Reaktionskraft aufgelistet. Mit diesen Materialkennwerten ist die quantitative Charakterisierung der Klüftung und Inhomogentität der Gesteine möglich. Die Reaktionskraft gibt an, bei welcher Kraft das Gestein bricht. Die Reststandardabweichung dieser Größe beschreibt die Streuung der Festigkeit bzw. Reaktionskraft des Gesteins und ist ein Indikator für dessen natürliche Inhomogenität, bedingt durch einen unregelmäßigen Gefügeaufbau (Struktur und Textur). Ist die Änderung der Gesteinseigenschaften richtungsabhängig (physikalische Anisotropie), ist auch die Inhomogenität richtungsabhängig. Je größer die Reststandardabweichung der Reaktionskraft slgP ist, desto mehr Inhomogenitäten liegen in einem Gestein vor. Die natürliche Klüftung eines Gesteins (Poren, Mikrorisse, Klüfte) wirkt sich ebenso wie die Zunahme der Probengröße abschwächend auf die Festigkeitskennwerte bzw. zunehmend auf die Reaktionskraftkennwerte aus. Die quantitative Erfassung dieses gesteinsspezifischen Zusammenhanges erfolgt mit Hilfe der Steigungskonstanten m der Regressionsgeraden (Kapitel 5) aus den Ergebnissen des Punktlastversuchsgerätes und des Druckversuchsstandes. Allgemein gilt, dass die Steigungskonstante m umso größer ist, je weniger natürliche Klüfte das Gestein aufweist [75]. 66 Reaktionskraft P [kN] Großes PLT-Gerät (Krafteinleitung Spitze-Spitze) 30 25 15 Reaktionskraft P [kN] 16,8 10,5 10 5 0 Glas Diabas Quarzporphyr Diorit Basalt Approximierte Mittelwerte der Reaktionskraft (großes Punktlastversuchsgerät, 50 mm Äquivalentdurchmesser) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Bild 7-2: Reaktionskraft P [kN] 26,3 20,1 20 Bild 7-1: Bild 7-3: 24,4 64,7 49,9 55,4 32,1 24,8 Glas Diabas Quarzporphyr Basalt Diorit Approximierte Mittelwerte der Reaktionskraft (großes Punktlastversuchsgerät, 100 mm Äquivalentdurchmesser) 350 300 250 200 150 100 50 0 303,5 181,2 90,2 Diabas 211,0 96,2 Glas Basalt Quarzporphyr Diorit Approximierte Mittelwerte der Reaktionskraft (großes Punktlastversuchsgerät, 300 mm Äquivalentdurchmesser) 67 In Grobzerkleinerungsmaschinen werden relativ große Gesteinsbrocken zerkleinert. Die Untersuchung des Bruchverhaltens großer Gesteinsbrocken bis ca. 500 mm Äquivalentdurchmesser erfolgte mit dem großen PLT-Gerät. In den Bildern 7-1 bis 7-3 sind die Ergebnisse der Untersuchungen von Gesteinsproben mit 50 mm, 100 mm und 300 mm dargestellt. Beispielhaft werden nachfolgend die ermittelten Reaktionskräfte für unterschiedlich große Probekörper aus Diabas und Diorit näher diskutiert. Aus den Bildern 7-1, 7-2 und 7-3 ist ersichtlich, dass die mittleren Reaktionskräfte mit zunehmender Korngröße steigen. Diese betragen für Diabas 16,8 kN bei 50 mm Äquivalentdurchmesser und 90,2 kN bei einer Korngröße von 300 mm. Diorit hingegen zeigt mit 24,4 kN für 50 mm und 303,5 kN bei 300 mm Korngröße viel höhere Werte. Auch die Unterschiede der Reaktionskraft zwischen Diabas und Diorit sind mit 7,6 kN (1,5facher Wert) bei 50 mm; 32,6 kN (2,0facher Wert) bei 100 mm und 213,3 kN (3,4facher Wert) bei 300 mm Äquivalentdurchmesser von der untersuchten Korngröße abhängig. Mit zunehmender Korngröße nimmt der Steigungseinfluss auf die Größe der Reaktionskräfte zu, wobei die Steigung zusätzlich von der Stoffart abhängig ist. Dies hat Konsequenzen auf die Konstruktion der Grobzerkleinerungsmaschinen, da diese in Abhängigkeit der Korngröße unterschiedlichen Belastungen ausgesetzt sind. Die bisher verwendeten Auslegungsmethoden (Kapitel 2) basieren auf Gesteinsfestigkeiten, die bei Korngrößen von 50 mm bestimmt wurden. Dadurch können aber die zu erwartenden Belastungen bei größeren Korngrößen nicht genau vorausgesagt werden. Die Untersuchungen mit dem PLT-Gerät liefern Materialfestigkeitskennwerte bei Punktbelastung. Häufig besitzen Grobzerkleinerungsmaschinen, z.B. Profilwalzenbrecher (Bild 7-4), Zerkleinerungsorgane, bei denen die Krafteinleitung durch punktförmigen Kontakt erfolgt. Deshalb sind die aus dem Punktlastversuch gewonnen Resultate für die Auslegung solcher Maschinen geeignet. Mit den empirischen Berechnungsmethoden (Kap. 2) ist es nicht möglich für diesen Maschinentyp Zerkleinerungskräfte abzuschätzen. Deshalb werden die Ergebnisse aus den Untersuchungen des stationären PLT Gerätes verwendet. 68 Bild 7-4: Zerkleinerungsorgane der Profil-Walzenbrecher In der folgenden Tabelle sind die Steigungskonstante m, die logarithmische Reststandardabweichung slgP der Reaktionskraft aufgezeigt. Für die Betrachtung der logarithmischen Reststandardabweichung der Reaktionskraft wurde ein Bereich des Äquivalentdurchmessers von ca. 50 – 500 mm herangezogen. Basalt großes PLT-Gerät m [-] slgP [lg N] 0,54 0,13 Diorit 0,70 0,11 Quarzporphyr 0,66 0,16 Diabas 0,47 0,11 Glas 0,61 0,12 Material Tabelle 7-1: Steigungskonstante m, logarithmische Reststandardabweichung slgP der Reaktionskraft für großes PLT-Gerät Tabelle 7-1 zeigt die kleinste Steigung m für Diabas mit einem Wert von m = 0,47 und die größte für Diorit mit m = 0,70. Damit wird wiederum bestätigt, dass Diabas mehr Mikrorisse bzw. Klüfte aufweist. Die Reststandardabweichung slgP als Größe zur Bewertung der Inhomogenitäten liegt für die betrachteten Materialien zwischen slgP = 0,11 lg N (Diorit) und 0,16 lg N (Quarzporphyr). Die Reststandardabweichung als Indikator für die Inhomogenität (und damit die Reaktionskräfte) kann zu einer Änderung der Konstruktion von Grobzerkleinerungsmaschinen führen. Die Größe der zu erwartenden Zerkleinerungskräfte hat direkte Auswirkung auf die statische und dynamische Beanspruchung der Maschine. Bei der Dimensionierung und dem damit verbundenen Materialeinsatz der Bauteile (z. B. Kraftübertragungselemente, Lager, Kupplung, Motor…) kann dem Rechnung getragen werden. 69 Reaktionskraft PD [kN] Druckversuchsstand (Flächenbelastung Platte-Platte) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Reaktionskraft PD [kN] Bild 7-5: Reaktionskraft PD [kN] 36,1 20,0 11,3 4,7 Glas Diabas Quarzporphyr Basalt Diorit Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 50mm Äquivalentdurchmesser, 5 % Plattenabstandsänderung) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Bild 7-6: Bild 7-7: 33,7 74,6 80,3 61,0 35,8 12,5 Glas Diabas Quarzporphyr Basalt Diorit Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 100mm Äquivalentdurchmesser, 5 % Plattenabstandsänderung) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 356,5 262,2 285,0 224,4 58,6 Glas Diabas Basalt Diorit Quarzporphyr Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 300mm Äquivalentdurchmesser, 5 % Plattenabstandsänderung) 70 Reaktionskraft PD [kN] 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Reaktionskraft PD [kN] Bild 7-8 36,9 27,8 20,5 11,6 Glas* Diabas* Quarzporphyr Diorit Basalt Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 50mm Äquivalentdurchmesser, 10 %* bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Bild 7-9: Reaktionskraft PD [kN] 33,7 95,1 96,1 77,1 53,3 25,3 Glas* Diabas* Quarzporphyr Diorit Basalt Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 100mm Äquivalentdurchmesser, 10 %* bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Bild 7-10: 492,1 438,6 388,2 242,4 87,0 Glas* Diabas* Quarzporphyr Basalt Diorit Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 300mm Äquivalentdurchmesser, 10 %* bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) 71 Reaktionskraft PD [kN] Bild 7-11: Reaktionskraft PD [kN] 79,7 80 70 60 50 40 30 20 10 0 44,5 20,7 10,2 Glas Reaktionskraft PD [kN] Bild 7-13: Quarzporphyr Diabas Diorit Basalt Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 50mm Äquivalentdurchmesser, 20 % Plattenabstandsänderung) 156,8 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Bild 7-12: 28,1 115,3 73,2 73,8 31,5 Glas Quarzporphyr Diabas Diorit Basalt Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 100mm Äquivalentdurchmesser, 20 % Plattenabstandsänderung) 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 521,9 543,4 458,2 340,6 189,5 Glas Diabas Basalt Diorit Quarzporphyr Approximierte Reaktionskraftmittelwerte (Druckversuchsstand, 300mm Äquivalentdurchmesser, 20 % Plattenabstandsänderung) 72 Die Zerkleinerung des Probekörpers erfolgt beim PLT-Gerät zwischen zwei Spitzen. Jedoch werden in den Grobzerkleinerungsmaschinen die aufgegebenen Brocken oftmals zwischen zwei Flächen zerkleinert. Die Untersuchung der bei diesem Zerkleinerungsmechanismus auftretenden Reaktionskräfte wurde mit dem bereits beschriebenen Druckversuchsstand durchgeführt. Dabei wurde die relative Plattenabstandsänderung zwischen 5, 10, 15 und 20 % variiert. Diese Werte sind praxisrelevant, da sich aufgrund der Kinematik der Grobzerkleinerungsmaschine (z.B. Backen- oder Kegelbrecher) deren Brechraum verengt und erweitert. Die hier auftretende Plattenabstandsänderung wird auch als Hub h bezeichnet (Bild 7-14). h1 h2 h1<h2 Bild 7-14: Schematische Arbeitsweise der Doppelkniehebel-Backenbrecher In den Bildern 7-5 bis 7-13 sind die so ermittelten Reaktionskräfte für die untersuchten Gesteinsproben dargestellt. Die Reaktionskräfte werden nun beispielhaft für Diabas und Diorit vorgestellt. Für die gleiche Stoffart und einer Plattenabstandsänderung von 5 % steigt die mittlere Reaktionskraft mit zunehmender Korngröße. So vergrößert sich diese für Diabas von 11,3 kN (DD = 50 mm) auf 224,4 kN (DD = 300 mm) und für Diorit von 36,1 kN (DD = 50 mm) auf 285 kN (DD = 300 mm). Bei zunehmender Plattenabstandsänderung nimmt auch die Reaktionskraft zu. Diese beträgt bei 20 % Abstandsänderung und 300 mm Korngröße für Glas das 3,2fache, für Diorit das 1,8fache, für Basalt das 1,7fache, für Quarzporphyr das 1,5fache und für Diabas das 1,5fache des Wertes von 5 %. Die vorangegangenen Ergebnisse belegen, dass der Zerkleinerungsprozess im Brechraum von Grobzerkleinerungsmaschinen wesentlich von der Stoffart, der Korngröße und der relativen Plattenabstandsänderung abhängig ist. 73 In den folgenden drei Tabellen (Tabelle 7-2 bis 7-4) sind die Steigungskonstanten mD und die logarithmische Reststandardabweichung slgP,D der Reaktionskraft in Abhängigkeit des Plattenabstandes dargestellt. Dabei wurde für die Berechnung der logarithmischen Reststandardabweichung der Reaktionskraft ein Bereich des Äquivalentdurchmessers von ca. 50 – 600 mm herangezogen. Druckversuchsstand Material Änderung des Plattenabstandes: 5 % von Gesteinshöhe mD [-] slgP,D [lg N] Diorit 0,58 0,22 Basalt 0,57 0,18 Quarzporphyr 0,80 0,22 Diabas 0,84 0,17 Glas 0,70 0,17 Tabelle 7-2: Steigungskonstante mD, logarithmische Reststandardabweichung slgP,D der Reaktionskraft für Druckversuchsstand (5 % Plattenabstandsänderung) Druckversuchsstand Material Änderung des Plattenabstandes: 10% bzw. 15% von Gesteinshöhe mD [-] slgP,D [lg N] Diorit 0,75 0,18 Basalt 0,69 0,12 Quarzporphyr 0,74 0,19 * Diabas 0,69 0,17 * Glas 0,56 0,12 Tabelle 7-3: Steigungskonstante mD, logarithmische Reststandardabweichung slgP,D der Reaktionskraft für Druckversuchsstand (10%* bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) 74 Druckversuchsstand Material Änderung des Plattenabstandes: 20 % von Gesteinshöhe mD [-] slgP,D [lg N] Diorit 0,72 0,18 Basalt 0,69 0,23 Quarzporphyr 0,82 0,16 Diabas 0,91 0,20 Glas 0,82 0,17 Tabelle 7-4: Steigungskonstante mD, logarithmische Reststandardabweichung slgP,D der Reaktionskraft für Druckversuchsstand (20 % Plattenabstandsänderung) Für die untersuchten Stoffe variiert die logarithmische Reststandardabweichung für unterschiedliche Plattenabstandsänderungen in bestimmten Bereichen. Die Steigungskonstante mD nimmt für Glas zwischen minimaler (5 %) und maximaler (20 %) Plattenabstandsänderung Werte von 0,56 bis 0,82 bzw. für Diorit von 0,58 bis 0,75 an. Die logarithmische Reststandardabweichung slgP,D beträgt in den gleichen Grenzen 0,12 lg N bis 0,17 lg N für Glas und 0,18 lg N bis 0,22 lg N für Diorit. Kornformwinkel Für die Versuche am Druckversuchsstand wurde für drei verschiedene Plattenabstandsänderungen der mittlere Kornformwinkel fi für alle Materialien und Aufgabegutkorngrößen berechnet und in den Tabellen 7-5, 7-6 und 7-7 zusammengefasst. Mittlere Kornformwinkel fi für alle Aufgabekorngröße bei 5 % Plattenabstandsänderung Material Kornformwinkel fi [°] Basalt 142 Diabas 133 Diorit 140 Glas 125 Quarzporphyr 153 Tabelle 7-5: Mittlerer Kornformwinkel für alle Aufgabekorngrößen von Festgesteinen und Glas bei 5 % Plattenabstandsänderung 75 Mittlere Kornformwinkel fi für alle Aufgabekorngrößen bei 10 %* bzw. 15 % Plattenabstandsänderung Material Kornformwinkel fi [°] Basalt 148 * Diabas 134 Diorit 137 * Glas 128 Quarzporphyr 152 Tabelle 7-6: Mittlerer Kornformwinkel für alle Aufgabekorngrößen von Festgesteinen und Glas bei 10 %* bzw. 15 % Plattenabstandsänderung Mittlere Kornformwinkel fi für alle Aufgabekorngrößen bei 20 % Plattenabstandsänderung Material Kornformwinkel fi [°] Basalt 149 Diabas 130 Diorit 144 Glas 125 Quarzporphyr 140 Tabelle 7-7: Mittlerer Kornformwinkel für alle Aufgabekorngrößen von Festgesteinen und Glas bei 20 % Plattenabstandsänderung Der Kornformwinkel variiert für die untersuchten Stoffe im Bereich von 125° bis 153°. Der mittlere Kornformwinkel für unregelmäßige Gesteine hat einen sehr großen Einfluss auf die Reaktionskräfte bzw. Festigkeit, weswegen dessen Bestimmung von entscheidender Bedeutung ist. Die Spannungsverteilung bei der Beanspruchung des Gesteins durch die Arbeitsorgane ist von dessen Kornform abhängig. Deshalb sind die Reaktionskräfte für Gesteine der gleichen Stoffart umso größer, je höher der Kornformwinkel, d.h. desto flacher das Gestein ist. 7.2 Darstellung und Diskussion der Ergebnisse nach der Weibull-Theorie Im Folgenden werden die in Kapitel 6 berechneten Ergebnisse zum Weibull-Modul (Steigungskonstante der Ausgleichsgeraden im Weibullnetz) grafisch dargestellt und interpretiert. Nach der klassischen Weibull-Theorie ist der Weibull-Modul un- 76 abhängig von der Größe des Probekörpers. Er kann als ein Materialkoeffizient für die Homogenität eines Stoffes angesehen werden. Kleine Module (z.B. mW = 5) sind charakteristisch für inhomogene Materialien mit sehr unterschiedlichen Bruchfestigkeiten, während bei großen Modulen (z.B. mW = 40) ein homogener Stoff vorliegt. In den folgenden Kapiteln sind die Weibull-Module für verschiedene Stoffarten unterschiedlicher Größe für das große PLT-Gerät und den Druckversuchsstand dargestellt. Die bei der klassischen Weibull-Theorie geforderte Unabhängigkeit von der Probengröße (Größeneffekt) konnte bei den durchgeführten Versuchen nicht nachgewiesen werden. Für spröde Stoffe gibt es bisher noch keine allgemein anerkannten Kenntnisse darüber, ob die Bruchfestigkeit eine ein- (Korngröße), zwei(Oberfläche), drei- (Volumen) oder mehrdimensionale Abhängigkeit aufweist. Um eine Angleichung der Äquivalentdurchmesserverhältnisse an die Festigkeitsverhältnisse zu erreichen, wurde das Äquivalentdurchmesserverhältnis deshalb mit verschiedenen Potenzen berechnet (6-44) und grafisch für zwei Stoffe dargstellt. Großes PLT-Gerät (Krafteinleitung Spitze-Spitze) Weibull-Modul verschiedener Stoffarten 7 6,5 6,5 6 5,5 5 5,3 4,7 4,5 4,3 4 4,5 3,8 3,5 3,3 3,4 3,4 3,5 3,3 3,0 3 2,8 2,9 3,0 2,7 2,5 D = 315 mm D = 220 mm D = 125 mm D = 69 mm D = 324 mm D = 239 mm D = 163 mm D = 95 mm D = 136 mm D = 331 mm D = 78 mm D = 380 mm D = 138 mm 0,5 D = 71 mm 1 D = 384 mm 1,5 D = 153 mm 2 D = 81 mm Weibull-Modul m W, I [-] 5,5 Bild 7-15: Glas Diorit Diabas Basalt Quarzporphyr 0 Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser D (großes Punktlastversuchsgerät) 77 Druckversuchsstand (Flächenbelastung Platte-Platte) 4 3,7 3,2 2,4 2,4 2,3 DD = 135 mm DD = 87 mm Glas Diorit DD = 275 mm DD = 163 mm DD = 86 mm DD = 424 mm DD = 63 mm DD = 163 mm Diabas Quarzporphyr Basalt 0 DD = 443 mm 1 DD = 165 mm 1,5 2,4 2,1 2 0,5 Bild 7-16: 2,4 2,2 DD = 266 mm 2,2 2,2 2,7 2,6 DD = 147 mm 2,5 3,1 DD = 90 mm 2,8 DD = 317 mm 3 DD = 81 mm Weibull-Modul mW,I D [-] 3,5 Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser DD (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung) 5 4,6 4,4 4,3 4 3,4 3,4 3,5 3 3,0 Bild 7-17: DD = 297 mm DD = 142 mm DD = 98 mm Glas* DD = 136 mm DD = 87 mm Diorit DD = 280 mm DD = 168 mm DD = 395 mm DD = 164 mm DD = 87 mm Diabas* Basalt Quarzporphyr 0 DD = 334 mm 2,2 DD = 66 mm 0,5 3,5 3,4 2,1 DD = 161 mm 1 3,2 2,5 2 1,5 3,0 2,9 2,5 DD = 78 mm Weibull-Modul mW,I D [-] 4,5 Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser DD (Druckversuchsstand, 10 %* bzw. 15 % Plattenabstandsänderung) Bild 7-18: 2,3 DD = 270 mm 3,6 DD = 156 mm 2,4 DD = 97 mm 2,5 Glas 2,4 DD = 334 mm 2,6 DD = 193 mm DD = 83 mm 3,2 DD = 38 mm 4,0 DD = 304 mm DD = 173 mm DD = 98 mm 2,3 DD = 440 mm DD = 169 mm 1,8 DD = 68 mm DD = 34 mm DD = 402 mm 4 Diorit 0,5 2,6 Diabas 1 DD = 168 mm 2 DD = 94 mm 2,5 DD = 54 mm 3,5 Basalt Quarzporphyr Weibull-Modul m W,ID [-] 78 4,5 4,2 3,9 3,7 3,4 3,2 3 2,3 1,5 1,7 0 Weibull-Module verschiedener Stoffarten und mittlerer Äquivalentdurchmesser DD (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung) 79 Großes PLT-Gerät (Krafteinleitung Spitze-Spitze) Größeneffekt Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz 10 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Quarzporphyr aus Löbejün) 8 Reales Verhältnis (Quarzporphyr aus Löbejün) 6 3,6 4 1,9 2 1,8 D 22 / D12 Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz 25 20 D 23 / D13 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Quarzporphyr aus Löbejün) Reales Verhältnis (Quarzporphyr aus Löbejün) 15,8 15 10 5 6,3 2,5 2,7 2,7 2,7 0 D 32 / D22 D 33 / D23 Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D 22 = 153 mm , D 32 = 384 mm ) 120 100 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Quarzporphyr aus Löbejün) Reales Verhältnis (Quarzporphyr aus Löbejün) 106,5 80 60 40 20 22,5 4,7 0 D 3 / D1 Bild 7-21: 1,8 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 81 mm , D 22 = 153 mm ) D3 / D2 Bild 7-20: 1,8 0 D 2 / D1 Bild 7-19: 6,7 4,9 4,9 D 32 / D12 4,9 D 33 / D13 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 81 mm , D 32 = 384 mm ) Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz 80 20 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Basalt aus Adelebsen) Reales Verhältnis (Basalt aus Adelebsen) 15 10 7,3 4,1 5 4,1 D 22 / D12 D 23 / D13 D 24 / D14 Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 71 mm , D 22 = 138 mm ) 100 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Basalt aus Adelebsen) Reales Verhältnis (Basalt aus Adelebsen) 80 60 40 29,7 29,7 57,5 29,7 29,7 20,9 20 7,6 2,8 0 D 32 / D12 D 33 / D13 D 34 / D14 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D 22 = 138 mm , D 32 = 380 mm ) Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz Bild 7-24: 4,1 0 D 3 / D1 Bild 7-23: 3,8 4,1 1,9 D 2 / D1 Bild 7-22: 14,3 900 750 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Basalt aus Adelebsen) 820,5 Reales Verhältnis (Basalt aus Adelebsen) 600 450 300 150 122,1 122,1 5,4 28,6 D3 / D2 D 32 / D22 0 153,3 122,1 D 33 / D23 122,1 D 34 / D24 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern D unterschiedlicher Potenz (großes PLT-Gerät, D12 = 71 mm , D 32 = 380 mm ) 81 Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz Druckversuchsstand (Flächenbelastung Platte-Platte) 12 10 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Quarzporpyr aus Löbejün) Reales Verhältnis (Quarzporphyr aus Löbejün) 6 4 4,1 2,4 2,0 2,4 2,4 2 0 D D ,2 / DD ,1 Bild 7-25: 8,5 8 D D2 ,2 / DD2 ,1 D D3 ,2 / DD3 ,1 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5% Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 81 mm , DD = 165 mm ) Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz 25 20 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Quarzporpyr aus Löbejün) Reales Verhältnis (Quarzporphyr aus Löbejün) 15 10 5 7,2 2,7 2,2 2,2 2,2 0 D D ,3 / D D , 2 Bild 7-26: 19,4 DD2 ,3 / DD2 ,2 D D3 ,3 / DD3 ,2 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5% Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz Plattenabstandsänderung, DD ,2 = 165 mm , DD ,3 = 443 mm ) 200 150 Berechnetes Verhältnis nach Weibull-Theorie (Quarzporpyr aus Löbejün) Reales Verhältnis (Quarzporphyr aus Löbejün) 100 50 29,9 5,5 5,3 5,3 5,3 0 D D ,3 / DD ,1 Bild 7-27: 163,6 DD2 ,3 / DD2 ,1 D D3 ,3 / DD3 ,1 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5% Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 81 mm , DD ,3 = 443 mm ) Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz 82 Bild 7-28: 25 Berechnetes Verhältnis nach WeibullTheorie (Basalt aus Adelebsen) Reales Verhältnis (Basalt aus Adelebsen) 20 17,3 15 8,6 10 5 6,7 8,6 8,6 2,6 0 D D ,2 / DD ,1 D D2 ,2 / D D2 ,1 D D3 ,2 / D D3 ,1 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5% Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 69 mm , DD ,2 = 163 mm ) 25 Berechnetes Verhältnis nach WeibullTheorie (Basalt aus Adelebsen) 20 15 10 6,8 5,5 5 5,5 5,5 2,6 0 D D ,3 / D D ,2 Bild 7-29: 17,6 Reales Verhältnis (Basalt aus Adelebsen) D D2 ,3 / D D2 ,2 D D3 ,3 / D D3 ,2 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5% Verhältins zwischen zwei mittleren Äqivalentdurchmessern unterschiedlicher Potenz Plattenabstandsänderung, DD ,2 = 163 mm , DD ,3 = 424 mm ) 350 300 Berechnetes Verhältnis nach WeibullTheorie (Basalt aus Adelebsen) 250 Reales Verhältnis (Basalt aus Adelebsen) 200 150 100 50 47,1 45,3 47,1 47,1 6,7 0 DD ,3 / DD ,1 Bild 7-30: 304,8 DD2 ,3 / DD2 ,1 DD3 ,3 / DD3 ,1 Berechnetes und reales Verhältnis zwischen zwei Äquivalentdurchmessern DD unterschiedlicher Potenz (Druckversuchsstand, 5% Plattenabstandsänderung, DD ,1 = 63 mm , DD ,3 = 424 mm ) 83 Die Ergebnisse aus den Versuchen mit dem stationären PLT-Gerät (Bild 7-15) und Druckversuchsstand (Bild 7-16 bis 7-18) zeigen, dass der Weibull-Modul für alle untersuchten Stoffe (Glas und Hartgesteine) niedrige Werte annimmt. Daraus wird geschlossen, dass die untersuchten Stoffe sehr inhomogen sind und einen großen Streubereich haben (Kapitel 6.2). Nach der klassischen Weibull-Theorie ist der Weibull-Modul unabhängig von der Probengröße. Aus den Ergebnissen der Arbeit lässt sich keine klare Aussage, d.h. systematische Tendenz, über die Abhängigkeit des Weibull-Moduls von der Probengröße ableiten. Nach der Weibull-Theorie gibt es einen funktionellen Zusammenhang zwischen dem Verhältnis der Festigkeiten und dem Verhältnis einer gewissen geometrischen Größe. Für die untersuchten Probenkörper ist es nicht klar, welche geometrische Größe zu benutzen ist. Um die am besten geeignete geometrische Größe zu ermitteln, wurden die Äquivalentdurchmesser mit unterschiedlichen Exponenten berechnet. Für die Ergebnisse der drei Versuchsreihen (stationäres PLT-Gerät, Druckversuchsstand) wurde das Verhältnis σ1/σ2 (Formel 6-44, Formel 6-45) nach ( der Weibull-Theorie berechnet und mit dem realem Verhältnis D2 / D1 ) p (Formel 6- 44, Formel 6-45) verglichen. Dabei ergaben sich Übereinstimmungen zwischen den beiden Quotienten für Quarzporphyr bei einem Exponenten p = 1 (stationäres PLT-Gerät und Druckversuchsstand). Für Basalt hingegen beträgt p = 2 für den Druckversuchsstand; beim stationären PLT-Gerät ergab sich keine Übereinstimmung. Die vorgestellten Ergebnisse zeigen, dass die Exponenten p von der Gesteinsart, von den Prüfgeräten und Korndurchmessern abhängen. 84 8 Zusammenfassung und Ausblick Um Aufbereitungsmaschinen berechnen und konstruieren zu können, werden u.a. Kenntnisse über die mineralogischen sowie physikalischen Eigenschaften der Gesteine, z.B. Reaktionskraft bzw. Festigkeit vorausgesetzt. Zur Ermittlung dieser Eigenschaften waren bisher aufwändige experimentelle Untersuchungen an großen Prüfmaschinen mit großen Gesteinsproben notwendig. Im Rahmen der Arbeit wurden umfangreiche Untersuchungen mit einem stationären Punktlastversuchsgerät (PLT-Gerät) sowie einem Druckversuchsstand, unter Einbeziehung von vier verschiedenen Hartgesteinen sowie Glas, durchgeführt. Hauptziele der Untersuchungen waren dabei: • Ermittlung des Einflusses der Gesteinsbrockengröße auf relevante Auslegungsgrößen bei unterschiedlichen Beanspruchungsgeometrien. • Mathematisch-statistische Modellierung der Versuchsergebnisse zur Gewinnung auslegungsrelevanter Materialkenngrößen (z.B. Weibull-Modul). Aus den Forschungsergebnissen konnten im Rahmen dieser Arbeit die nachfolgenden Erkenntnisse gewonnen werden: Auswertung der Testergebnisse auf der Basis der Raaz-Methode Die Versuche wurden mit den zwei Prüfgeräten: stationäres Punktlastversuchsgerät und Druckversuchsstand für unterschiedliche Äquivalentdurchmesser durchgeführt. Mit dem stationären Punktlastversuchsgerät wurde der Bereich von ca. 50 bis 500 mm und mit dem Druckversuchsstand von ca. 50 bis 650 mm getestet. Als wesentliche Einflussgröße wurde beim Druckversuchsstand die prozentuale Plattenabstandsänderung im Bereich von 5 % bis 20 % variiert. Die Testergebnisse aus den beiden Prüfgeräten zur Reaktionskraft zeigen einen sehr großen Streubereich, so dass die logarithmische Reststandardabweichung bzw. die Größe der Steigungskonstanten als Maß für die Inhomogenität und Klüftung relativ groß sind. Die Reaktionskräfte schwankten bei den Hartgesteinen wie folgt: 85 • Für das stationäre PLT-Gerät: o und einen Äquivalentdurchmesser von 50 mm zwischen 16,8 und 26,3 kN o und einen Äquivalentdurchmesser von 100 mm zwischen 32,1 und 64,7 kN o und einen Äquivalentdurchmesser von 300 mm zwischen 90,2 und 303,5 kN • Für den Druckversuchsstand und einer prozentualen Plattenabstandsänderung von 20 %: o und einem Äquivalentdurchmesser von 50 mm zwischen 20,7 und 79,7 kN o und einem Äquivalentdurchmesser von 100 mm zwischen 73,3 und 156,8 kN o einer und einem Äquivalentdurchmesser von 300 mm zwischen 340,6 und 543,4 kN Die logarithmische Reststandardabweichung slgP (slgP,D) zur Bewertung der natürlichen Inhomogenität (Ungleichmäßigkeit im Gefügeaufbau) und die Steigungskonstante m (mD) der Regressionsgeraden zur Bewertung der lokalen Inhomogenität (Mikrorisse, Poren, Klüfte) variiert für das große PLT-Gerät und die untersuchten Hartgesteine zwischen slgP = 0,11 lg N (Diorit und Diabas) und 0,16 lg N (Quarzporphyr), sowie m = 0,47 (Diabas) und 0,70 (Diorit). Am Druckversuchsstand ergaben sich für minimale (5 %) und maximale (20 %) relative Plattenabstandsänderung Werte von slgP,D = 0,17 lg N bis 0,20 lg N und mD = 0,84 bis 0,91 für Diabas. Für Diorit liegen diese Werte zwischen slgP,D = 0,18 lg N (20 %) bis 0,22 lg N (5 %) und mD = 0,58 (5 %) bis 0,72 (20 %). Der Kornformwinkel der untersuchten Gesteine lag bei ca. 125° - 150°. 86 Auswertung der Testergebnisse auf der Basis der Weibull-Theorie Basierend auf den dargestellten Versuchsergebnissen bestand eine weitere Zielstellung dieser Arbeit in der Bereitstellung geeigneter Auslegungsparameter als Grundlage für die Konstruktion von Grobzerkleinerungsmaschinen. Dazu sind Kenntnisse über die Reaktionskraft bzw. Festigkeit der Stoffe (Hartgesteine und Glas), und der auftretenden Schwankungen notwendig. Dabei ist es klar, dass wegen der auftretenden großen Streuungen umfangreiche Versuche erforderlich sind. Eine Möglichkeit zur statistischen Auswertung bietet die Weibull-Theorie, die in dieser Arbeit angewendet wurde. Nach der klassischen Weibull-Theorie ist der so genannte Weibull-Modul (Steigungskonstante der Ausgleichsgeraden im WeibullNetz) unabhängig von der Probengröße, so dass er als eine Stoffkenngröße angesehen werden kann. Dabei gilt, dass der Weibull-Modul umso größer ist, je homogener das Material ist, d.h. je steiler die Gerade im Wahrscheinlichkeitsnetz verläuft. Aus den Ergebnissen der Arbeit lässt sich keine klare Aussage, d.h. systematische Tendenz, über die Abhängigkeit des Weibull-Moduls mW ,I ( mW ,I D ) von der Probengröße ableiten. Vielmehr verhält sich der Weibull-Modul unsystematisch bzw. zufällig. Für die im Rahmen dieser Arbeit getesteten Stoffarten (Hartgesteine und Glas) ergaben sich je nach Homogenität bzw. Stoffart der Probekörper beim stationären Punktlastversuchsgerät Werte von mW ,I zwischen 2,7 und 6,5 und beim Druckversuchsstand Werte von mW ,I D zwischen 1,7 und 4,6. Ferner ist bekannt, dass der Weibull-Modul abhängig ist von der Prüfmaschine und der Form der Prüfkörper [67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74]. Es muss geklärt werden, ob die beobachteten Streuungen der Weibull-Moduln zufällig oder signifikant sind [50]. Erweisen sich die in der vorliegenden Arbeit beobachteten Unterschiede als signifikant, gilt die klassische Weibull-Theorie nicht. Denn nach der Weibull-Theorie gibt es einen funktionellen Zusammenhang zwischen dem Verhältnis der Festigkeiten und dem Verhältnis einer gewissen geometrischen Größe. Das ist meist das Probenvolumen oder die Probenoberfläche. Für die untersuchten Probenkörper ist es nicht klar, welche geometrische Größe zu benutzen ist. Es liegt nahe vom Äquivalentdurchmesser D (DD) auszugehen. Dafür wurden verschiedene Möglichkeiten untersucht: • eindimensional, was dem Durchmesser des Probenkörpers entspricht, 87 • zweidimensional was der Querschnittsfläche des Probenkörpers entspricht, • dreidimensional was dem Volumen des Probenkörpers entspricht • und es wurden noch höhere Dimensionen betrachtet. Um die am besten geeignete geometrische Größe zu ermitteln, wurden die Äquivalentdurchmesser mit unterschiedlichen Exponenten berechnet. Dabei wurde nach der Dimension von p gesucht, bei dem der Weibull-Modul vom Äquivalentdurchmesser der Größe Dp unabhängig ist. Dabei zeigte sich, dass dieser Exponent p vom Versuchsgerät und der Gesteinsart abhängt. Für p wurden Werte von p gleich 1 bei Quarzporphyr bzw. ohne Übereinstimmung bei Basalt (stationäres PLT-Gerät) und p gleich 1 oder 2 (Druckversuchstand) ermittelt. In einer Weiterführung dieser Arbeit können die umfangreichen Versuchsergebnisse aus den beiden Prüfgeräten zur Modellierung und Bewertung des Bruchverhaltens harter Gesteine mittels Diskrete-Elemente-Methode, z. B. im Profilwalzenbrecher benutzt werden. Weiterhin sind zusätzliche Versuche durchzuführen, um die Streuung des WeibullModul und damit die Anwendbarkeit der klassischen Weibull-Theorie bewerten zu können. 88 Literaturverzeichnis [1] Prinz, H.: Abriß der Ingenieurgeologie mit Grundlage der Boden- und Felsmechanik, des Erd-, Grund- und Tunnelbaus sowie der Abfalldeponien Ferdinand Enke Verlag, Stuttgart, 1997 [2] Deutsche Gesellschaft für Erd- und Grundbau e.V.: Empfehlung 5 des Arbeitskreises 19-Versuchstechnik Felds- der Deutschen Gesellschaft für Erdund Grundbau e.V., Punktlastversuche an Gesteinsproben, Bautechnik 1, 13–15, 1982 [3] DIN 52 105: Prüfung von Natursteinen, 1988 [4] DIN22024: Rohstoffuntersuchung im Steinkohlenbergbau. 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Die Probe wird auf der Grundfläche XY (Anlage 2a) in die stabile Gleichgewichtslage gelegt. Es werden mehrere Schnittflächen unterhalb der Kornspitze analysiert bis T = 0,2•D (ca. 20 % der Korngröße der Aufgabeprobe ähnlich wie der maximale vorgegebene Plattenabstandsänderung bei den Versuchen). Die Höhe Hi, bei der die Fläche Ai analysiert wird, wird mit einer entsprechend vorbereiteten Messvorrichtung (Anlage 2a) bestimmt. 2. Messen der max. Länge ai und bi (Senkrecht zu ai) der Fläche Ai bei verschiedenen Höhen Hi von der Kornspitze. 3. Berechnung der Ellipsenfläche mit ai und bi. Ai = π • ai bi • 2 2 Bestimmung des Radius ri des Kreises, der eine äquivalente Fläche zu der Ellipsenfläche Ai darstellt. ri = Ai π 4. Verlaufsdarstellung des Radius ri des Kreises, der eine äquivalente Fläche zu der Ellipsenfläche Ai darstellt. 5. Approximation des Kurvenverlaufes mit einem Geradenverlauf H i = a • ri + b Berechnung des Kornformwinkels fi f i = 180 0 − 2 • arctan ( a ) Anlage 2a Häufigkeit der PLT-Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 Quarzporphyr Quarzporphyr (81 (81 mm) mm) 5 3 2 Quarzporphyr Quarzporphyr (153 (153 mm) mm) Quarzporphyr Quarzporphyr (384 (384 mm) mm) 1 0.6 0.8 1 2 3 PLT-Festigkeit [MPa] 4 5 6 7 8 10 Weibull-Verteilung der PLT-Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (großes PLTGerät, Quarzporphyr, 81, 153 und 384 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2b Häufigkeit der PLT-Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Bas Basalt alt (71 mm) mm) Bas Basalt alt (138 (138 mm) mm) Bas Basalt alt (380 (380 mm) mm) 1 0.7 1 2 3 4 5 6 7 PLT-Festigkeit [MPa] 10 20 Weibull-Verteilung der PLT-Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (großes PLTGerät, Basalt, 71, 138 und 380 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Häufigkeit der PLT-Festigkeiten [%] Anlage 2c 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Diabas Diabas (78 (78 mm) mm) Diabas Diabas (136 (136 mm) mm) Diabas Diabas (331 (331 mm) mm) 1 0.5 0.7 1 2 3 PLT-Festigkeit [MPa] 4 5 6 7 8 10 Weibull-Verteilung der PLT-Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (großes PLTGerät, Diabas, 78, 136 und 331 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2d 99.9 98 70 50 30 20 10 Diorit Diorit (95 (95 mm) mm) 5 3 2 Diorit Diorit (163 (163 mm) mm) Diorit Diorit (239 (239 mm) mm) Diorit Diorit (324 (324 mm) mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PLT-Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der PLT-Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (großes PLTGerät, Diorit, 95, 163, 239 und 324 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2e Häufigkeit der PLT-Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 Glas Glas (69 (69 mm) mm) Glas Glas (125 (125 mm) 5 3 2 Glas Glas (220 (220 mm) Glas Glas (315 (315 mm) 1 0.4 0.5 0.7 1 2 PLT-Festigkeit [MPa] 3 4 5 6 7 Weibull-Verteilung der PLT-Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (großes PLTGerät, Glas, 69, 125, 220 und 315 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2f Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Quarzporphyr Quarzporphyr (81 (81 mm) mm) Quarzporphyr Quarzporphyr (165 (165 mm) mm) Quarzporphyr Quarzporphyr (443 (443 mm) mm) 1 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, Quarzporphyr, 81, 165 und 443 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2g Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Quarzporphyr Quarzporphyr (78 (78 mm) mm) Quarzporphyr Quarzporphyr (161 mm) mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 30 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 15 % Plattenabstandsänderung, Quarzporphyr, 78 und 161 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2h Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Quarzporphyr Quarzporphyr (54 (54 mm) mm) Quarzporphyr Quarzporphyr (168 (168 mm) mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 30 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung, Quarzporphyr, 54 und 168 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2i Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Quarzporphyr Quarzporphyr (94 (94 mm) mm) Quarzporphyr Quarzporphyr (402 (402 mm) mm) 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung, Quarzporphyr, 94 und 402 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2j Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Bas Basalt alt (63 (63 mm) mm) Bas Basalt alt (163 (163 mm) mm) Bas Basalt alt (424 (424 mm) mm) 1 0.7 1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, Basalt, 63, 163 und 424 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2k Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Bas Basalt alt (66 (66 mm) mm) Bas Basalt alt (164 (164 mm) mm) Bas Basalt alt (395 (395 mm) mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 30 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 15 % Plattenabstandsänderung, Basalt, 66, 164 und 395 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2l Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 Bas Basalt alt (51 (51 mm) mm) 5 3 2 Bas Basalt alt (68 (68 mm) mm) Bas Basalt alt (169 (169 mm) mm) Bas Basalt alt (440 (440 mm) mm) 1 1 2 3 4 5 7 10 20 30 40 60 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung, Basalt, 51, 68, 169 und 440 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2m Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Diabas Diabas (86 (86 mm) mm) Diabas Diabas (163 (163 mm) mm) Diabas Diabas (275 (275 mm) mm) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, Diabas, 86, 163 und 275 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2n Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Diabas Diabas (87 (87 mm) mm) Diabas Diabas (168 (168 mm) mm) Diabas Diabas (280 (280 mm) mm) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 10 % Plattenabstandsänderung, Diabas, 87, 168 und 280 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2o Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Diabas Diabas (98 (98 mm) mm) Diabas Diabas (173 mm) mm) Diabas Diabas (304 mm) 1 2 3 4 5 6 7 Festigkeit [MPa] 8 10 20 Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung, Diabas, 98, 173 und 304 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2p Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Diorit Diorit (87 (87 mm) mm) Diorit Diorit (135 (135 mm) mm) Diorit Diorit (317 (317 mm) mm) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, Diorit, 87, 135 und 317 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2q Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Diorit Diorit (87 (87 mm) mm) Diorit Diorit (136 (136 mm) mm) Diorit Diorit (334 (334 mm) mm) 1 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 15 % Plattenabstandsänderung, Diorit, 87, 136 und 334 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2r Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 Diorit Diorit (38 (38 mm) mm) 5 3 2 Diorit Diorit (83 (83 mm) mm) Diorit Diorit (193 (193 mm) mm) Diorit Diorit (334 (334 mm) mm) 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung, Diorit, 38, 83, 193 und 334 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2s Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 5 3 2 Glas Glas (90 (90 mm) mm) Glas Glas (147 (147 mm) mm) Glas Glas (266 (266 mm) mm) 1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1 2 3 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 5 % Plattenabstandsänderung, Glas, 90, 147 und 266 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2t Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 Glas Glas (98 (98 mm) mm) 5 3 2 Glas Glas (142 (142 mm) mm) Glas Glas (297 (297 mm) mm) 1 0.5 0.6 0.8 1 2 3 4 5 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 10 % Plattenabstandsänderung, Glas, 98, 142 und 297 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser) Anlage 2u Häufigkeit der Festigkeiten [%] 99.9 98 70 50 30 20 10 Glas Glas (97 (97 mm) mm) 5 3 2 Glas Glas (156 (156 mm) mm) Glas Glas (270 (270 mm) mm) 1 0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 Festigkeit [MPa] Weibull-Verteilung der Festigkeiten im volllogaritmischen Netz (Druckversuchsstand, 20 % Plattenabstandsänderung, Glas, 97, 156 und 270 mm mittlerer äquivalenter Durchmesser)
