Übungen mit Lösungen
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Günter Baars E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Leitprogramm: Quantenchemie und chemische Bindung Übungen mit Lösungen Korrektorat: Dina Baars, Bern Illustrationen: Christoph Frei, Bern 1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten Copyright Pädagogische Hochschule PHBern 2 Quantenchemie und chemische Bindung LP Inhaltverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Übungen 4 1.1 Wellen, Licht und Elektronen 4 1.2 Quantenchemie und chemische Bindung 11 2 Lösungen zu den Übungen 20 2.1 Wellen, Licht und Elektronen 20 2.2 Quantenchemie und chemische Bindung 30 3 Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen 1 Übungen 1.1 Wellen, Licht und Elektronen 1.a Nennen Sie je ein Beispiel einer Transversal- und einer Longitudinalwelle. 1.b Wie sind die beiden unterschiedlichen Wellenarten definiert? 2. Ein Oszillator ist ein Massenpunkt eines Wellenträgers. 2.a Was bedeutet für einen Oszillator die Periodendauer T und die Frequenz f? 2.b Wie verändert sich die Energie E eines Oszillators, wenn die Frequenz f halbiert und die maximale Auslenkung smax verdoppelt wird ? E= 3. 1 ⋅ m ⋅ f 2 ⋅ s 2 max 2 Elektronenbeugung, leuchtendes Gas (Helium) und farbige Stoffe: diese drei Experimente resp. Phänomene können nur erklärt werden, wenn man Elektronen im Wellenmodell betrachtet. Erläutern Sie bezüglich der Experimente kurz das Vorgehen und die Beobachtungen und erklären Sie anschliessend, warum zur Erklärung dieser Experimente die Verwendung des Wellenmodells für das Elektron zwingend ist. 4. Gegeben ist eine stehende Welle. Welche Aussagen lassen sich über einen Oszillator, der nicht in einem Knotenpunkt ist, hinsichtlich Amplitude, Energie und Frequenz machen (jeweils mit kurzer Begründung). 5. Fällt ein Lichtstrahl durch einen Spalt, so ist ein Beugungsmuster zu beobachten. 5.a Skizzieren Sie das Beugungsbild. 5.b Erklären Sie, wie dieses Beugungsbild zustande kommt. 6. Was versteht man unter einer elektromagnetischen Welle? 7. Definieren Sie (jeweils nur ein Satz!) - Welle - Oszillator - Frequenz - Wellenlänge (einer fortschreitenden Welle) 8.a Wie lässt sich mit einer Schraubenfeder konstruktive Interferenz experimentell zeigen (Skizze, kurze Erklärung)? 8.b Wie lässt sich mit Laserlicht experimentell Interferenz zeigen (Skizze, kurze Erklärung)? 9.a Was versteht man unter elektromagnetischen Wellen? 9.b Worin unterscheiden sich elektromagnetische Wellen von mechanischen Wellen? 4 Quantenchemie und chemische Bindung LP 10. 1 Übungen Interpretieren Sie die gegebene Abbildung (stehende Welle in verschiedenen Schwingungszuständen). 11. Was versteht man unter einer stehenden Welle (wodurch ist sie gekennzeichnet) und wie kommt sie zustande? Beantworten Sie diese Frage anhand der gegebenen Abbildung. Zeichnen Sie die Kurve ein, die die effektive Bewegung der Feder beschreibt. 5 Quantenchemie und chemische Bindung LP 12.a 1 Übungen Gegeben ist T für einen Oszillator: T = 1 . Was bedeutet dies und wie gross ist die 10 s Frequenz des Oszillators? 12.b Gegeben ist die Wellenlänge einer fortlaufenden harmonischen Transversalwelle: λ= 12.c 1 m . Was bedeutet dies? 1000 Die Geschwindigkeit c, mit der sich eine Welle durch einen Wellenträger fortpflanzt, ist für einen bestimmten Wellenträger konstant. Welche Veränderung tritt ein, wenn die Frequenz f des Erregers (bei gleicher Amplitude) in Bezug auf die Wellenlänge λ und die Energie E der einzelnen Oszillatoren erhöht wird? 13. Wie lässt sich experimentell zeigen, dass ein schwingungsfähiges System nur ganz bestimmte (diskrete) Schwingungszustände besitzen kann? Welcher Bedingung ist die Wellenlänge λ unterworfen? 14. Gegeben ist eine Feder, die an beiden Enden jeweils an einem Stativ befestigt ist. Mithilfe eines Exzenters wird die Feder in Schwingung versetzt. Interpretieren Sie die gegebene Abbildung und setzen Sie die Werte für λ ein. 15. Eine weiche Schraubenfeder wird an zwei Stativen befestigt (Abstand: L) und durch einen Exzenter zu harmonischen Schwingungen angeregt. 6 Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen 15.a Welche Wellenart bildet sich aus und wodurch ist sie gekennzeichnet? 15.b Wie lässt sich das Zustandekommen dieser Wellenart erklären? 15.c Was lässt sich über die Energie der verschiedenen Oszillatoren dieser Wellenart aussagen? 15.d Wie ist die Wellenlänge von stehenden Wellen definiert? 16. Beugung ist eine Erscheinung, die sich mit dem Wellenmodell erklären lässt. 16.a Skizzieren Sie einen Versuch, mit dem sich Beugung experimentell zeigen lässt. 16.b Erklären Sie das Zustandekommen des Beugungsmusters. 17. Definieren Sie die Begriffe - Welle - Schwingung - harmonische Welle - Oszillator 18. Elektronen besitzen Welleneigenschaften. Wie liesse sich diese Aussage experimentell überprüfen (Art des Experiments; Erklärung der zu beobachtenden Phänomene)? 19. Eine (kleine) Brücke kann durch äussere Einwirkung in Schwingung versetzt werden. Was lässt sich über die Art und die Entstehung der Welle aussagen, die die Brücke ausbildet? 20. c Interpretieren Sie die Formel f = . λ 21. Definieren Sie die Begriffe - Welle - Längswelle - Querwelle - Interferenz 22. Spielen zwei verschiedene Instrumente den gleichen Ton, so lassen sich die beiden Instrumente durch reines Hören unterscheiden. Begründen Sie diese Tatsache. 23. Lässt man einen Elektronenstrahl durch ein Loch fallen, so beobachtet man auf einem dahinterliegenden Leuchtschirm folgendes Bild: 7 Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen Welche Bedeutung hat dieses Experiment hinsichtlich der Elektronen und wie lässt sich das Zustandekommen dieses Bildes erklären? 24. Von welchen Faktoren ist die Energie eines schwingenden Oszillators abhängig und worin besteht diese Abhängigkeit (keine Formeln; kurze Erklärung)? 25. Sichtbares Licht gehört zu den elektromagnetischen Wellen. Erklären Sie kurz, wie Licht zustande kommt. Worin unterscheidet sich "sichtbares" Licht von "ultraviolettem" Licht? 26. Die Welleneigenschaften von bewegten Körpern sind nur für Teilchen im atomaren Bereich von Bedeutung. Begründung (de Broglie: λ = 27. h )? m⋅v Das Elektron im Wasserstoff-Atom lässt sich mit einer stehenden Welle vergleichen. Beschreiben Sie kurz den entsprechenden Versuch und interpretieren Sie die dabei beobachteten Phänomene. 28. Laserlicht und ein Elektronenstrahl zeigen Beugungsmuster. Was bedeutet diese Tatsache? 29. Ein Elektron lässt sich als dreidimensionale stehende Welle beschreiben. Welche Aussagen lassen sich mithilfe der entsprechenden Wellengleichung über das Elektron machen? 30. Auf welche Weise lässt sich die maximale kinetische Energie eines Fotoelektrons bestimmen (eventuell mit einer kleinen Skizze) ? Beschreiben und interpretieren Sie Ihre Beobachtungen. 31. „Ein Beugungsmuster lässt auf eine Wellennatur des zugrunde liegenden Phänomens schliessen.“ Erklären Sie diese Aussage. 32. Gegeben sei eine Lichtquelle, die rotes Licht ausstrahlt. Mit einem Dimmer lässt sich die Helligkeit des roten Lichts stufenlos verstellen. Beschreiben Sie mit dem Wellen8 Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen bzw. dem Teilchenmodell, was mit dem roten Licht passiert, wenn die Helligkeit (Lichtintensität) vermindert wird. 33. Beim Experiment zum Fotoelektrischen Effekt stellt man u.a. Folgendes fest: Unterhalb einer bestimmten Lichtfrequenz f werden keine Fotoelektronen freigesetzt, ganz egal, wie hoch die Intensität des Lichts gewählt wird. Interpretieren Sie dieses Resultat. Weshalb genügt das Wellenmodell des Lichts als Erklärung nicht? 34. Was versteht man unter den folgenden Begriffen? Wellenlänge Amplitude Elongation 35. Ein Oszillator ist ein Massenpunkt eines Wellenträgers. Wie verändert sich die Energie eines Oszillators, wenn die Frequenz halbiert und die Amplitude verdreifacht wird ? 36. Gegeben ist ein Beugungsbild, das dadurch entstanden ist, dass Licht durch eine Öffnung geschickt wurde. Diese Öffnung hatte die folgende Form (richtige Antwort ankreuzen): o Loch o Senkrechter Spalt o Waagrechter Spalt 37. Warum sendet ein Gas in einer Leuchtstoffröhre Licht aus? trifft zu Elektronen gehen in ein höheres Energieniveau über und nehmen die dazu notwendige Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Elektronen fallen von einem höheren Schwingungszustand in einen tieferen und geben die dabei frei werdende Energie in Form von Licht ab. Elektronen gehen in einen höheren Schwingungszustand über und senden dabei Energie in Form von Licht aus. 9 trifft nicht zu weiss nicht Quantenchemie und chemische Bindung LP 38. 1 Übungen Warum genügt das Teilchenmodell für Elektronen nicht, um die Linienspektren von leuchtendem Wasserstoffgas zu erklären? trifft zu trifft nicht zu weiss nicht Die Elektronen könnten laut Teilchenmodell jede beliebige Energie annehmen. Die Elektronen würden laut Teilchenmodell Photonen jeder beliebigen Energie aussenden, es gäbe ein kontinuierliches Spektrum. Die Elektronen könnten sich laut Teilchenmodell nur in der K-Schale aufhalten. 39. Welche der folgenden Experimente eignen sich, um die Welleneigenschaften von Licht zu zeigen? trifft zu trifft nicht zu weiss nicht Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen 40. Welche der folgenden Experimente eignen sich, um die Teilcheneigenschaften von Elektronen zu zeigen? trifft zu Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen 10 trifft nicht zu weiss nicht Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen 1.2 Quantenchemie und chemische Bindung 1. Gegeben ist der Grundzustand des Wasserstoff-Atoms. Skizzieren Sie den Verlauf der Amplitude der Elektronenwelle, der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit. 2.a Welche Beziehung besteht zwischen den beiden gegebenen Abbildungen? 2.b Zeichnen Sie den Verlauf der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit (ψ23s⋅⋅4πr2⋅dr) für diesen Schwingungszustand. 3.a Interpretieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im WasserstoffAtom (Grundzustand). 3.b Skizzieren Sie die Wolkendarstellung der Elektronendichte. 4. Die grafische Abbildung gibt Ihnen den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms. Interpretieren Sie den Verlauf der Kurve. Weshalb lässt sich der Kurvenverlauf nicht ohne das Modell einer stehenden Materiewelle verstehen? 11 Quantenchemie und chemische Bindung LP 5. 1 Übungen Nehmen Sie zu folgender Aussage Stellung: „Das Elektron im Wasserstoff-Atom hält sich im ersten angeregten Zustand in der zweiten Elektronenschale, der L-Schale, auf.“ Was bedeutet in diesem Zusammenhang der Begriff „Elektronenschale"? 6. Geben Sie die Verteilung der Elektronen eines Chlor-Atoms auf die verschiedenen Wellenfunktionen an. 7. Was versteht man unter der Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte? 8.a Welche Informationen lassen sich aus der grafischen Darstellung der Wellenfunktion ψ2s des Wasserstoff-Atoms gewinnen? 8.b Skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des 2s-Zustands. 9. Skizzieren Sie die Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichten für den 1s- und den 2s-Zustand des Elektrons im Wasserstoff-Atom. Welche Unterschiede lassen sich zwischen den beiden Energiezuständen erkennen? 10. Worin liegt der Unterschied zwischen den beiden für das Wasserstoff-Atom verwendeten Elektronendichten? 11. Das Elektron im Wasserstoff-Atom kann in den verschiedenen Schwingungszuständen u.a. mit s- bzw. mit p-Wellenfunktionen beschrieben werden. Worin unterscheiden sich diese beiden Funktionsarten? Welche Unterschiede weisen die s- bzw. p-Funktionen in den verschiedenen Schwingungszuständen auf? 12. Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen (Wolkendarstellung der Elektronendichten 2p): 12 Quantenchemie und chemische Bindung LP 13. 1 Übungen Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen (Wellenfunktion ψ2pz in unterschiedlichen Winkeln zur z-Achse): 13.a 13.b 13.c 13 Quantenchemie und chemische Bindung LP 14. 1 Übungen Skizzieren Sie die Graphen für die 3s-Wellenfunktion und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der 3s-Wellenfunktion. Interpretieren Sie kurz die grafischen Darstellungen. 15. Interpretieren Sie folgende grafische Darstellung: 16. Interpretieren Sie folgende Abbildung: 17. Interpretieren Sie die folgenden Abbildungen: 14 Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen 18. Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen: 19. Gegeben sind die Wellenfunktionen 2p. Welche Winkel sind zu wählen, wenn man nur Funktionswerte entlang der Achsen betrachtet? 3 1 2 ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 3 ⎞2 ⎟ ψ2p x = ⎜ ⎟ ⋅ sin θ ⋅ cos φ ⋅ ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 2a 0 ⎟⎠ ⎝ 4π ⎠ 1 2 ⎛ 1 ⎛ 3 ⎞2 ψ2p y = ⎜ ⎟ ⋅ sin θ ⋅ sin φ ⋅ ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 2a 0 ⎝ 4π ⎠ 1 3 ⎞2 ⎟⎟ ⎠ ⎛ r ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2a 0 r ⎞ − 2a 0 ⎟⎟ ⋅ e ⎠ r ⎛ r ⎞ − 2a 0 ⎟⎟ ⋅ e ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2a 0 ⎠ 3 r 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ r ⎞ − 2a 0 ⎛ 3 ⎞2 ⎟ ⋅⎜ ⎟⋅e ψ2p z = ⎜ ⎟ ⋅ cos θ ⋅ ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 2a 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 2a 0 ⎟⎠ ⎝ 4π ⎠ 20. Beschriften Sie die Achsen des Koordinatensystems. Was bedeuten die gegebenen Graphen? Wie hängen diese Graphen zusammen? 15 Quantenchemie und chemische Bindung LP 21. 1 Übungen Wie muss die Beschriftung der y-Achse in der folgenden Abbildung lauten? (Zutreffendes ankreuzen) 16 Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des WasserstoffAtoms; ψ21s⋅dV o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms; ψ21s⋅4πr2⋅dr o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms; ψ22s⋅dV o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms; ψ22s⋅4πr2⋅dr 22. Gegeben ist folgende Abbildung: 22.a Wie viele Knotenflächen hat die der Abbildung zugrunde liegende Funktion? 22.b Zu welchem Energiezustand gehört die Funktion? 23. Gesucht ist eine Erklärung für das Zustandekommen einer Atombindung (kovalente Bindung) mit dem Wellenmodell. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? trifft zu Zwei Elektronenwellenfunktionen überlagern sich konstruktiv. Die Elektronendichte zwischen zwei Atomrümpfen wird erhöht. Zwei Elektronen halten sich immer zwischen den Atomrümpfen auf. Ein Elektron geht von einem Atom auf ein anderes über. 17 trifft weiss nicht zu nicht Quantenchemie und chemische Bindung LP 24. 1 Übungen Was geschieht, wenn einem Wasserstoff-Molekül so viel Energie zugeführt wird, dass ein Elektron in ein anderes Orbital übergehen kann? trifft zu trifft weiss nicht zu nicht Ein Elektron geht von einem antibindenden Orbital in ein bindendes Orbital über. Ein Elektron geht von einem bindenden Orbital in ein antibindendes Orbital über. Die Bindungsordnung verändert sich. Das Molekül fällt auseinander. 25. Gegeben sind zwei Molekülorbitale A und B. A 25.a Aus welchen Atomorbitalen sind die beiden entstanden? (Zutreffendes ankreuzen) px + px 25.b py + py s + px Welches ist das energiereichere Molekülorbital? (Zutreffendes ankreuzen) oA 25.c B oB Warum ist eines der Molekülorbitale energiereicher? 18 Quantenchemie und chemische Bindung LP 1 Übungen 26.a Füllen Sie das folgende Orbitalenergiediagramm für Sauerstoff aus. 26.b Welche Bindungsordnung hat das Sauerstoff-Molekül? 26.c Zeichnen Sie die Lewis-Formel eines Sauerstoff-Moleküls. 26.d Vergleichen Sie die Aussagen der Lewis-Formel mit den Aussagen des Orbitalenergiediagramms 19 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 2 Lösungen zu den Übungen 2.1 Wellen, Licht und Elektronen 1.a Transversalwelle: Wasserwellen; Longitudinalwelle: Schallwellen 1.b Bei Transversalwellen (Querwellen) steht die Bewegungsrichtung der Oszillatoren senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Bei Longitudinalwellen (Längswellen) sind Bewegungsrichtung der Oszillatoren und Fortpflanzungsrichtung parallel. 2.a Schwingungsdauer T: Zeit, die ein Massenpunkt für eine volle Hin- und Herbewegung (volle Schwingung) benötigt. Die Frequenz gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an. 2.b Die Gesamtenergie ändert sich nicht, da die Frequenz ein Viertel des ursprünglichen Werts annimmt und die maximale Auslenkung viermal so gross wird wie am Anfang. 3. Elektronenbeugung: Durchdringen Elektronen einen Kristall, so erzeugen sie auf einer Leuchtschicht eine Abfolge von hellen und dunklen konzentrischen Kreisen (Beugungsbild). Diese lassen sich nur dadurch erklären, dass sich die Elektronen von den kleinen Öffnungen des Kristalls bis zur Leuchtschicht wie Wellen verhalten, die sich entweder konstruktiv oder destruktiv überlagern (auslöschen bzw. verstärken). Zerlegt man das Licht leuchtender Gase, wie z.B. Helium, Wasserstoff oder Quecksilber mit einem Prisma, so lassen sich nur ganz bestimmte farbige Linien (Linienspektrum) erkennen. Beim Sonnenlicht hingegen erhält man ein kontinuierliches Spektrum. Werden die Gase angeregt, so gehen die Elektronen in einen höheren Energiezustand. Beim Zurückfallen geben sie die aufgenommene Energie in Form elektromagnetischer Wellen (Photonen) im sichtbaren Bereich ab. Da nur ganz bestimmte Farben, die bestimmten Energien entsprechen, zu sehen sind, bedeutet dies, dass für die Elektronen nur ganz bestimmte Energiezustände im Atom möglich sind. Dies lässt sich nur mit einem Wellenmodell erklären: Die Elektronen bilden stehende Wellen um den Atomkern, d.h. das Elektronensystem (Kern und Elektronen) verhält sich wie ein schwingungsfähiges System, das nur ganz bestimmte stehende Wellen (Energiezustände) einnehmen kann. Die Elektronen farbiger Stoffe absorbieren aus dem sichtbaren Licht (sehr oft) gerade die Wellenlänge, die nötig ist, um von einem Energiezustand in einen höheren überzugehen. Damit fehlt dem sichtbaren Licht eine bestimmte Farbe. Die Mischung der 20 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen Restfarben, die vom betreffenden Gegenstand reflektiert wird, nehmen wir als Substanzfarbe wahr. 4. Im Knoten selber findet keine Bewegung der Oszillatoren statt. Zwischen zwei Knoten werden die Massenpunkte unterschiedlich stark ausgelenkt. Bei gleicher Frequenz ist die Energie der Oszillatoren umso grösser, je stärker die Auslenkung ist. 5.a Helle und dunkle Stellen wechseln sich ab: 5.b Die beobachteten hellen und dunklen Stellen können nur dann entstehen, wenn sich Lichtwellen, die durch den Spalt fällen, verstärken oder auslöschen. Das Licht muss also bei diesem Experiment mit einem Wellenmodell beschrieben werden. 6. Bei den elektromagnetischen Wellen handelt es sich um wandernde elektrische und magnetische Felder, deren Stärke periodisch ändert. Diese Felder stehen senkrecht aufeinander und pflanzen sich (im Vakuum) mit Lichtgeschwindigkeit (c = 2,998.108 m⋅s-1) fort. 7. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Oszillatoren sind die einzelnen Massenpunkte eines Wellenträgers (Seil, Feder, Was- ser, Luft), die die Bewegung des Erregers nacheinander ausführen, Die Frequenz gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an. Als Wellenlänge wird der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren bezeichnet (zwei Oszillatoren mit dem gleichen Schwingungszustand: gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung). 21 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 8.a Bewegt man ein Seil an beiden Enden gleichzeitig und gleich weit waagrecht zum Wellenträger auf eine Seite und dann wieder zurück zu den Ausgangspunkten, so kommt es zu einer Überlagerung (Interferenz) der Wellen. Die beiden Störungen laufen aufeinander zu und durchdringen sich ungestört beim Aufeinandertreffen. Dabei addieren sich die Auslenkungen, die Amplituden verdoppeln sich. Anschliessend pflanzen sich die Störungen wieder mit der ursprünglichen Amplitude fort. 8.b Man lässt einen Laserstrahl durch einen schmalen Spalt auf einen dahinter liegenden Schirm fallen. Helle und dunkle Stellen wechseln sich ab, wobei die Helligkeit (Intensität) nach den Seiten zu abnimmt (Beugungsbild). 9.a Bei den elektromagnetischen Wellen handelt es sich um wandernde elektrische und magnetische Felder, deren Stärke periodisch ändert. Diese Felder stehen senkrecht aufeinander und pflanzen sich (im Vakuum) mit Lichtgeschwindigkeit (c = 2,998.108 m⋅s-1) fort. 9.b Mechanische Wellen: benötigen einen Wellenträger; die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist von der Art des Wellenträgers abhängig. Elektromagnetische Wellen: Benötigen keinen Wellenträger; sie pflanzen sich mit Lichtgeschwindigkeit fort. 10. Mit einem Exzenter wurden auf einer Schraubenfeder stehende Wellen erzeugt. Dabei fällt auf, dass sich nur bei bestimmten Frequenzen des Exzenters stehende Wellen ausbilden. Daraus muss gefolgert werden, dass schwingungsfähige Systeme nur ganz 22 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen bestimmte stehende Wellen ausbilden können. Im Falle der Schraubenfeder gilt die Beziehung λ = 11. 2L . n Zwei gegeneinanderlaufende, gleichartige (Frequenz, Amplitude) harmonische Wellen bilden aufgrund der Interferenz eine stehende harmonische Welle aus. Die Orte, an denen die Oszillatoren zu keinem Zeitpunkt ausgelenkt werden, nennt man Schwingungsknoten. Zwischen zwei Knoten schwingen Oszillatoren gleichphasig, aber mit unterschiedlichen Amplituden. Die Bereiche zwischen den Schwingungsknoten heissen Schwingungsbäuche. 12.a Für eine volle Bewegung benötigt der Oszillator 0,1 s. Damit führt er 10 Schwingungen pro Sekunde aus: f = 10 s-1. 12.b Der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren (gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung) beträgt 0,001 m. 23 Quantenchemie und chemische Bindung LP 12.c 2 Lösungen zu den Übungen Gemäss der Gleichung EOszillator = 1 2 ⋅ m ⋅ f 2 ⋅ s max [J] nimmt die Energie bei Erhöhung 2 der Frequenz zu. Ausserdem wird die Wellenlänge λ kleiner, da die Anzahl Wellen pro Wegstrecke auf dem Wellenträger zunimmt. 13. Man erzeugt mithilfe eines Exzenters auf einer Schraubenfeder stehende Wellen. Diese bilden sich nur bei ganz bestimmten Frequenzen des Oszillators aus. Für λ gilt: λ = 2L . (L: Länge der Feder; n: Nummer des Schwingungszustands). n 14. Die Feder kann als schwingungsfähiges System nur ganz bestimmte stehende Wellen ausbilden, wobei n der Nummer des jeweiligen Schwingungszustands entspricht. Je höher die Energie des Systems (entsprechend der Zunahme von n), desto grösser ist die Anzahl der Knoten. Dabei gilt: Knotenzahl = n – 1. 15a. Es bilden sich bei bestimmten Frequenzen des Exzenters stehende Wellen aus, die durch Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche gekennzeichnet sind. 15.b Die vom Exzenter erzeugte Störung wird am gegenüberliegenden Stativ reflektiert. Die beiden nun entgegengesetzt laufenden Wellen überlagern sich konstruktiv und destruktiv, wodurch sich stehende Wellen ausbilden. 15.c Die Energie in den Schwingungsknoten ist null. In der Mitte zwischen zwei Knoten ist die Auslenkung, und damit die Energie der Oszillatoren, am grössten. Von diesem Punkt ausgehend bis zu den Knoten nimmt die Auslenkung und damit die Energie der Oszillatoren ab. 15.d Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten entspricht der halben Wellenlänge. 24 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 16.a 16.b Beugung des Lichts kommt dadurch zustande, dass an jedem Punkt einer kleinen Öffnung neue Wellen (sogenannte Elementarwellen) entstehen. Sie breiten sich mit der gleichen Geschwindigkeit aus wie die ursprünglichen Wellen. Entsprechend dem Beugungswinkel muss das Licht bis zum Auftreffpunkt unterschiedlich lange Strecken zurücklegen. Haben zwei Wellen sich genau um eine Wellenlänge λ oder das n-fache davon verschoben, dann überlagern sich zwei Wellenberge oder zwei Wellentäler. Es entsteht ein Intensitätsmaximum. Der Auftreffpunkt liegt im Bereich eines hellen Streifens. Haben die beiden Wellen sich um eine halbe Wellenlänge λ/2 oder das nfache (n = 3, 5, 7, ...) gegeneinander verschoben, so überlagern sich Wellenberg und Wellental. Es entsteht ein Intensitätsminimum. 17. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Eine Schwingung ist eine Bewegung, die in periodischer Folge um die Gleichgewichtslage (Ruhelage) eines Oszillators erfolgt. Ist die Bewegung des Erregers zeitlich und räumlich gleichmässig (harmonische Schwingung), so entsteht eine harmonische Welle. Oszillatoren sind die einzelnen Massenpunkte eines Wellenträgers (Seil, Feder, Was- ser, Luft), die die Bewegung des Erregers nacheinander ausführen, 18. In einer Elektronenbeugungsröhre schickt man einen Elektronenstrahl durch eine dünne Grafitfolie. Am gegenüberliegenden Röhrenende erscheinen auf dem Leuchtschirm helle und dunkle konzentrische Kreise. Das so gebildete Beugungsmuster lässt sich nur dadurch erklären, dass sich die Elektronen wie Wellen verhalten, die an den Öffnungen der Grafitfolie neue Elementarwellen bilden, die sich konstruktiv (helle Stellen) und destruktiv (dunkle Stellen) überlagern. 25 Quantenchemie und chemische Bindung LP 19. 2 Lösungen zu den Übungen Erreicht man, z.B. durch ein gleichmässiges Marschieren, die Eigenfrequenz der Brücke, so bildet sich eine stehende Welle aus. 20. Die Frequenz f eines Oszillators erhält man aus dem Quotienten von Ausbreitungsgeschwindigkeit c und Wellenlänge λ einer fortlaufenden harmonischen Welle. Bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Frequenz umso grösser, je kleiner die Wellenlänge ist. 21. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Bei Längswellen (Longitudinalwellen) sind Bewegungsrichtung der Oszillatoren und Fortpflanzungsrichtung parallel. Bei Querwellen (Transversalwellen) steht die Bewegungsrichtung der Oszillatoren senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Interferenz bedeutet eine Überlagerung von Wellen. Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die Auslenkungen, während es bei destruktiver Interferenz bei gleicher Amplitude zu einer Auslöschung kommt. 22. Neben der Grundschwingung (Grundton) ertönen auf den Instrumenten gleichzeitig, wenn auch sehr sehr leise, die Töne einiger höherer Schwingungen (Obertöne). Diese sind je nach Instrument verschieden. Aufgrund dieser unterschiedlichen Klangfarben lassen sich die Instrumente auseinanderhalten. 23. Das von dem Elektronenstrahl erzeugte Beugungsmuster weist darauf hin, dass sich die Elektronen wie Wellen verhalten. Diese überlagern sich konstruktiv (helle Stellen im Beugungsbild) und destruktiv (dunkle Stellen). 24. Die Energie eines schwingenden Oszillators ist von seiner Masse (m), der Anzahl Schwingungen pro Zeiteinheit (Frequenz, f) sowie der maximalen Auslenkung (Amplitude smax) abhängig. Frequenz und Auslenkung gehen im Quadrat in die Rechnung ein. 26 Quantenchemie und chemische Bindung LP 25. 2 Lösungen zu den Übungen Führt man Metalldämpfen oder Gasen, wie z.B. Wasserstoff oder Helium, Energie zu, so gehen die Elektronen in einen höheren Energiezustand über, der jedoch nicht stabil ist. Die Elektronen „fallen“ deshalb in ein energieärmeres Niveau zurück und geben dabei die aufgenommene Energie in Form von Photonen (Licht) ab. Sichtbares Licht: Wellenlänge zwischen 400 und 800 nm Ultraviolettes Licht: Wellenlänge kleiner als von sichtbarem Licht und damit eine höhere Frequenz und Energie. 26. Je grösser die Masse eines Teilchens, desto kleiner ist die Wellenlänge λ. Der Wellencharakter von Teilchen spielt deshalb nur in atomaren Bereichen eine nennenswerte Rolle. 27. Zerlegt man das Licht von leuchtendem Wasserstoffgas, so stellt man fest, dass das Licht nur ganz bestimmte farbige Linien enthält (Linienspektrum). Die angeregten Elektronen der Wasserstoff-Atome geben bei ihrem Übergang in einen energieärmeren Zustand nur ganz bestimmte Energien (Farben) in Form von Photonen (Licht) ab. Dies bedeutet, dass die Elektronen im Wasserstoff-Atom nur ganz bestimmte Energiezustände einnehmen können. Als Erklärung betrachtet man das System Proton/ Elektron als ein schwingungsfähiges System, das nur bestimmte Energiezustände (stehende Wellen des Elektrons) einnehmen kann. 28. Da ein Beugungsmuster durch konstruktive und destruktive Interferenz von Wellen zustande kommt, muss man das Laserlicht und die Elektronen bei diesen Experimenten mit einem Wellenmodell beschreiben. 29. Mit der Wellengleichung, die ein Elektron in einem Elektronensystem beschreibt, lässt sich die Grösse der Amplitude an irgendeinem Ort berechnen. Aus der Wellen- und Schrödinger-Gleichung erhält man die Gesamtenergie sowie die potentielle und die kinetische Energie des Systems. Das Quadrat der Wellengleichung liefert die Elektronendichte, die radiale Elektronendichte, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. 27 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 30. Der UV-Anteil des Lichts löst Elektronen aus dem Metall. Ist ihre kinetische Energie genügend gross, so können sie die negative Punktladung kompensieren und als Strom im Messgerät wahrgenommen werden. Wird die negative Ladung, und damit die Spannung, erhöht, so gelingt es nur den energiereichsten Elektronen, die abstossende Kraft der Kathode zu überwinden. Auf diese Weise lässt sich die maximale Spannung U0 ermitteln, bei der keine Fotoelektronen die Kathode erreichen. Mithilfe dieser Spannung kann man die maximale kinetische Energie Tmax der Fotoelektronen bestimmen, da das Produkt aus Spannung und Elektronenladung gleich der kinetischen Energie der Elektronen ist. 31. Ein Beugungsmuster lässt sich mit konstruktiver und destruktiver Interferenz von Wellen erklären. Das zugrunde liegende Phänomen (Licht, Elektronen) muss deshalb mit einem Wellenmodell beschrieben werden. 32. Wellenmodell: Bei gleichbleibender Frequenz (Wellenlänge) wird die Amplitude der Lichtwelle verringert. Teilchenmodell: Die Anzahl der Photonen wird vermindert. 33. Würde man das Licht bei diesem Experiment mit einem Wellenmodell beschreiben, so müssten nach einer mehr oder weniger langen Zeit Fotoelektronen freigesetzt werden, da die Lichtwellen, die auf das Metall treffen, die Elektronen in immer stärkere Schwingungen versetzen würden. Anscheinend ist aber eine minimale Frequenz des Lichts nötig, die der Mindestenergie der Photonen entspricht (E = h⋅f). Zunahme der Intensität des Lichts (der Amplitude) sollte noch stärkere Schwingungen der Elektronen erzeugen. Sie müssten dann mit einer noch grösseren Wahrscheinlichkeit (nach kürzerer Zeit) das Metall verlassen können. Dies lässt sich jedoch nicht beobachten. 28 Quantenchemie und chemische Bindung LP 34. 2 Lösungen zu den Übungen Als Wellenlänge wird der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren bezeichnet (zwei Oszillatoren mit dem gleichen Schwingungszustand: gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung). Amplitude: maximale Auslenkung eines Massenpunkts (smax) Elongation: momentane Auslenkung eines Massenpunkts (s) 35. Die Frequenz wird viermal kleiner, die Amplitude neunmal grösser. Die Energie steigt damit um 2 36. 1 1 2 (EOszillator = ⋅ m ⋅ f 2 ⋅ s max ) 4 2 o Loch o Senkrechter Spalt x Waagrechter Spalt trifft zu 37. trifft nicht weiss nicht zu Elektronen gehen in ein höheres Energieniveau über x und nehmen die dazu notwendige Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Elektronen fallen von einem höheren Schwingungs- x zustand in einen tieferen und geben die dabei frei werdende Energie in Form von Licht ab. Elektronen gehen in einen höheren Schwingungszu- x stand über und senden dabei Energie in Form von Licht aus. trifft zu 38. trifft nicht zu Die Elektronen könnten laut Teilchenmodell jede x beliebige Energie annehmen. Die Elektronen würden laut Teilchenmodell Photo- x nen von jeder beliebigen Energie aussenden, es gäbe ein kontinuierliches Spektrum. Die Elektronen könnten sich laut Teilchenmodell nur in der K-Schale aufhalten. 29 x weiss nicht Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen trifft zu 39. trifft nicht weiss nicht zu Fotoelektrischer Effekt x Elektronenbeugung x Kathodenstrahlrohr x Kerze durch eine enge Spalte beobachten x Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen x trifft zu 40. trifft nicht weiss nicht zu Fotoelektrischer Effekt x Elektronenbeugung x Kathodenstrahlrohr 2.2 x Kerze durch eine enge Spalte beobachten x Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen x Quantenchemie und chemische Bindung 1. Amplitude 2.a Aufenthaltswahrscheinlichkeit radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit Die Funktion ψ3s besitzt einen Wert für ψ, der fünfmal (±) vorkommt (nahe bei null). Damit existieren fünf Kugeloberflächen mit dem Funktionswert ±ψ, drei mit positivem (rote Farbe) und zwei mit negativem (blaue Farbe) Vorzeichen. 2.b 30 Quantenchemie und chemische Bindung LP 3.a 2 Lösungen zu den Übungen Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Raumvolumen dV anzutreffen, ist in der Nähe des Atomkerns gross, wird rasch kleiner und geht im Unendlichen gegen null. 3.b 4. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Raumvolumen dV anzutreffen, ist in der Nähe des Atomkerns gross, geht dann zurück auf null, steigt anschliessend auf ein kleines Maximum an, wird wieder kleiner und geht im Unendlichen gegen null. Würde man das Elektron als Teilchen betrachten, dann wäre es nicht verständlich, wie es aus der Nähe des Atomkerns zu dem kleinen Maximum gelangen könnte, weil dazwischen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit null ist. In diesem Fall muss die Vorstellung einer stehenden Materiewelle herangezogen werden, die eine Nullfläche (eine Knotenfläche) besitzt. 5. Die Elektronenschale L entspricht in der Quantenchemie einer Kugelschale, in der die Wahrscheinlichkeit, das Elektron anzutreffen, ein Maximum ist. 1s2 2s2 2p6 3s2 3px2 3py2 3pz1 6. 17Cl: 7. Die Visualisierung der Elektronendichte erfolgt oft durch die sogenannte Wolkendarstellung. Dabei betrachtet man das Elektron als Teilchen (Teilchenmodell), von dem viele Momentaufnahmen übereinander projiziert wurden. Je grösser die Anzahl der Punkte pro Flächeneinheit, desto grösser ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron dort anzutreffen. 8.a Die Werte (die Amplituden) der Funktion ψ2s (2. Energiezustand) sind in der Nähe des Atomkerns hoch, sinken dann auf null ab, werden negativ, erreichen ein Minimum, steigen dann wieder an und gehen im Unendlichen gegen null. 31 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 8.b Aufenthaltswahrscheinlichkeit radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit Elektronendichte ψ21s⋅dV Elektronendichte ψ22s⋅dV 9. Die Elektronendichte 1s ist in der Nähe des Kerns gross und wird mit zunehmendem Abstand immer kleiner. Im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms ist die Elektronendichte in der Nähe des Kerns ebenfalls gross, sinkt aber dann rasch auf null ab. Anschliessend erreicht sie wieder einen grösseren Wert, der mit zunehmender Entfernung vom Kern immer kleiner wird. 10. Die Elektronendichte vergleicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in gleichen Volumenteilen dV, wenn diese verschiedene Abstände vom Atomkern auf2r dW 1 − = ψ 2 1s = 3 e a o weisen: dV πa 0 Radiale Elektronendichte: Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons eines Wasserstoff-Atoms in einer Kugelschale mit dem Durchmesser dr in Bezug auf das Volumen einer Kugelschale V = 4πr2⋅dr in unterschiedlichen Abständen vom Atomkern: 2r dW 1 − = ψ 2 1s = 3 e a o 2 4πr ⋅ dr πa 0 11. s-Wellenfunktionen: Die Grössen der Amplituden der s-Wellenfunktionen sind nur vom Abstand r zum Atomkern abhängig. Ab dem 2. Energiezustand weisen die Funktionen Nullstellen (Knotenflächen) und damit auch negative Werte auf. Gleiche Funktionswerte liegen auf Oberflächen von Kugeln (geometrische Örter) mit dem Atom- 32 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen kern als Zentrum. Jeder Energiezustand (jede Elektronenschale) besitzt eine s-Wellenfunktion. p-Wellenfunktionen: Neben den Abständen zum Atomkern ist die Grösse der Amplituden von p-Wellenfunktionen auch durch die Winkel θ und ϕ bestimmt. Alle pFunktionen haben positive und negative Werte sowie eine Nullstelle (Knotenfläche) durch den Atomkern, zu der weitere Nullstellen bei den höheren Hauptquantenzahlen hinzukommen. p-Funktionen gibt es erst ab dem 2. Energiezustand. Der geometrische Ort aller Punkte mit dem gleichen Funktionswert ψ ist die Oberfläche von „hantelförmigen“ Körpern, die sich symmetrisch um eine Koordinatenachse ausrichten. Ab dem zweiten Energiezustand gibt es jeweils drei p-Funktionen pro Elektronenschale. 12. Wolkendarstellung der Elektronendichte dW = ψ 2 2p : Die Elektronendichte ist im dV Atomkern null (r = 0), steigt mit zunehmendem Abstand vom Kern auf ein Maximum an und geht im Unendlichen gegen null. Mit zunehmenden Winkeln θ und ϕ werden die Werte kleiner, bis sie in den entsprechenden Koordinatenebenen null sind (Knotenflächen: xy-Ebene für ψ22pz; yz-Ebene für ψ22px; xz-Ebene für ψ22py). 13.a Verlauf der Funktionswerte ψ2pz auf der z-Achse in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = 0° und θ = 180° 13.b Verlauf der Funktionswerte ψ2pz, 30° bzw. 210° von der z-Achse entfernt und damit in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = 30° und θ = 210° 13.c Verlauf der Funktionswerte ψ2pz, 60° bzw. 240° von der z-Achse entfernt und damit in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = 60° und θ = 240° Die Kurven zeigen den (gewohnten) Verlauf der ψ2pz-Wellenfunktion. Je grösser der Abstand von der z-Achse, desto kleiner werden, entsprechend dem Kosinus, die Funktionswerte ψ. 14. 3s-Wellenfunktion radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit 33 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 3s-Wellenfunktion: Die Amplitude ist in der Nähe des Atomkerns gross, geht zurück auf null, erhält ein negatives Vorzeichen, erreicht ein Minimum, wird null und geht nach einem kleinen Maximum im Unendlichen gegen null. Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in Kugelschalen der Dicke dr anzutreffen, ist im Atomkern null, geht auf ein kleines Maximum, wird wieder null, anschliessend erscheint ein grösseres Maximum und nach einem nochmaligen Wert null erreicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit das grösste Maximum (3. Elektronenschale), bevor sie im Unendlichen gegen null geht. 15. Die Abbildung zeigt die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im 2. Energiezustand des Wasserstoff-Atoms (ausgehend von einer p-Wellenfunktion). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kugelschalen der Dicke dr nimmt vom Atomkern ausgehend auf ein Maximum zu, wird anschliessend kleiner und geht im Unendlichen gegen null. 16. Es handelt sich um die Wolkendarstellung der Elektronendichte einer 2p-Wellenfunktion. Mit zunehmendem Abstand auf bzw. von der Koordinatenachse weg nimmt die Elektronendichte ab. Die beiden darüber gelegten Kugelschalen deuten die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im 2. Energiezustand an. 17. In den drei Abbildungen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (ψ22pz⋅dV) des Elektrons dargestellt. Je grösser der Abstand zur z-Achse, desto kleiner werden die Werte für ψ. 18. Die drei Abbildungen zeigen den geometrischen Ort aller Punkte mit einem bestimmten Funktionswert ±ψ (rot: positiv, blau: negativ). 19. x-Achse: Die x-Achse liegt in der xy-Ebene, also 90° von der z-Achse entfernt; dies bedeutet: θ = 90°, ϕ: 0° bzw. 180°. Damit vereinfacht sich die Winkelfunktion ψ2px, da der Sinus von 90° +1 und der Kosinus von 0° bzw. 180° ±1 beträgt. 1 2 3 2 ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 3 ⎞ ⎟ ψ2p x = ⎜ ⎟ ⋅ (1) ⋅ (± 1) ⋅ ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 2a 0 ⎟⎠ ⎝ 4π ⎠ r ⎛ r ⎞ − 2a 0 ⎟⎟ ⋅ e ⋅ ⎜⎜ 2 a ⎝ 0⎠ y-Achse: Die y-Achse liegt ebenfalls in der xy-Ebene. Der positive Achsenabschnitt bildet mit der positiven x-Achse einen Winkel von 90°, der negative Teil einen von 270°; dies bedeutet: θ = 90°, ϕ = 90° bzw. 270°. Der Sinus dieser beiden Winkel beträgt ±1. Folglich gilt für die Winkelfunktion ψ2py auf der y-Achse: 1 3 2 ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 3 ⎞2 ⎟ ψ2p y = ⎜ ⎟ ⋅ (1) ⋅ (± 1) ⋅ ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 2a 0 ⎟⎠ ⎝ 4π ⎠ r ⎛ r ⎞ − 2a 0 ⎟⎟ ⋅ e ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2a 0 ⎠ 34 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen z-Achse: Für die z-Achse ist nur der Winkel θ massgebend, der 0° bzw. 180° beträgt. Folglich müssen für den Ausdruck sin 0° bzw. sin 180° die Werte ±1 eingesetzt werden: 1 2 3 2 r 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ r ⎞ − 2a 0 ⎛ 3 ⎞ ⎟ ⋅⎜ ⎟⋅e ψ2p z = ⎜ ⎟ ⋅ (± 1) ⋅ ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 2a 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 2a 0 ⎟⎠ ⎝ 4π ⎠ 20. Die drei Abbildungen zeigen die Wellenfunktion ψ2s, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ22s⋅dV sowie die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ22s⋅4πr2⋅dr des Elektrons im 2. Energiezustand des Wasserstoff-Atoms. Wellenfunktion 2s Aufenthaltswahrscheinlichkeit 2s radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit 2s 35 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 21. o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des WasserstoffAtoms: ψ21s⋅dV o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms: ψ21s⋅4πr2⋅dr o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms: ψ22s⋅dV x Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms: ψ22s⋅4πr2⋅dr 22.a Es sind zwei Knotenflächen erkennbar, da das Vorzeichen zweimal wechselt. 22.b Es handelt sich um den dritten Energiezustand des Wasserstoff-Atoms, dargestellt durch die ψ3s-Wellenfunktion. 23. trifft trifft weiss zu nicht nicht zu Zwei Elektronenwellenfunktionen überlagern sich konstruktiv. x Die Elektronendichte zwischen zwei Atomrümpfen wird erhöht. x Zwei Elektronen halten sich immer zwischen den Atomrümpfen x auf. Ein Elektron geht von einem Atom auf ein anderes über. 24. x trifft trifft weiss zu nicht nicht zu Ein Elektron geht von einem antibindenden Orbital in ein bin- x dendes Orbital über. Ein Elektron geht von einem bindenden Orbital in ein antibin- x dendes Orbital über. Die Bindungsordnung verändert sich. x Das Molekül fällt auseinander. x 36 Quantenchemie und chemische Bindung LP 2 Lösungen zu den Übungen 25.a px + px x py + py s + px 25.b oA xB 25.c Das MO B weist drei Knotenflächen auf, im Gegensatz zu A, das nur zwei Knotenflächen besitzt. 26.a) 26.b 26.c 26.d BO: 2 O O Das Sauerstoff-Molekül ist ein Diradikal. Die Molekülorbitale ψπ*py und ψπ*pz sind nur mit je einem Elektron besetzt. Experimentelle Untersuchungen haben ergeben, dass Sauerstoff eine spezielle Eigenschaft besitzt, den Paramagnetismus (Sauerstoff wird von einem inhomogenen magnetischen Feld angezogen), der auf diesen Radikalcharakter hinweist. Aus der Lewis-Formel des Sauerstoff-Moleküls, die ausschliesslich doppelt besetzte Wolken enthält, ist diese Stoffeigenschaft nicht erkennbar. 37
