Drei Kaleidoskopspiegel

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___________Drei Kaleidoskopspiegel
Symmetrie
Wie kann man ein Kaleidoskop
bauen? Drei Spiegel sollen so
zusammengesetzt werden, dass
sich ein darin gespiegeltes Muster
mehrfach wiederholt. Soll dies so
geschehen, dass an keinem der
Spiegel Bruchkanten zu sehen sind,
so müssen die Kantenwinkel den
Anforderungen von Blatt 1
(Winkelklappspiegel) genügen, also
90°, 60°, 45°, 36°, 30°,... groß sein
(sie müssen 180° glatt teilen).
Was tun:
Betrachte die drei dreieckigen
Kaleidoskopspiegel. Stelle sie auf
die Muster und beobachte (am
besten flach über den Spiegel
schauend), wie sich das Muster
nahtlos in die Unendlichkeit
fortsetzt. Unter welchen Winkeln
müssen die Spiegelkanten
aufeinander treffen?
Was beobachten:
Das Muster in den Kaleidoskopen
setzt sich perfekt in die Unendlichkeit fort. Es treten keinerlei Bruchkanten an den Spiegelkanten auf.
Was passiert:
Die Kaleidoskope sind so gebaut,
dass die Kantenwinkel exakte
Bruchteile eines Halbkreises
bilden. Um jede Kante geht die
Spiegelung genau auf. Das Dreieck
in der Mitte wird unendlich oft
reflektiert.
Welche Kaleidoskope sind
möglich?
Wie viele Kombinationen von
Kantenwinkeln gibt es eigentlich
für solche „perfekten“ Kaleidoskope? Aus der Schule weiß man,
dass die Summe der Winkel im
Dreieck genau 180° beträgt.
Gleichzeitig sind aber nur Winkel
der Form 90°,60°, 45°, 36°, 30°,...
erlaubt.
Die einzigen Kombinationen von
drei Winkeln, die diese Bedingung
erfüllen, sind (90°,45°,45°),
(60°,60°,60°) und (90°,60°,30°).
Flächenornamente,
die aus den drei
möglichen
Flächenkaleidoskopen entstehen.
Die Spiegelflächen
sind dick gemalt.