4.4 Hermitesche Formen - Mathematik, TU Dortmund

4.4
Hermitesche Formen
Wie üblich bezeichnen wir das komplex konjugierte Element von ζ = a + bi ∈ C
(a, b ∈ R) mit ζ = a − bi.
Definition 4.4.1. Sei V ein C-Vektorraum. Eine hermitesche Form (HF) auf V
ist eine Abbildung h : V × V → C für die gilt:
(HF1) ∀x, y, z ∈ V : h(x + y, z) = h(x, z) + h(y, z);
(HF2) ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈ C : h(λx, y) = λh(x, y);
(HF3) ∀x, y ∈ V : h(x, y) = h(y, x).
Das Paar (V, h) bezeichnen wir auch als hermiteschen Raum (HR).
Bemerkung 4.4.2. Sei (V, h) ein HR. Dann gilt:
(1) ∀x, y, z ∈ V : h(x, y + z) = h(x, y) + h(x, z).
(2) ∀x, y ∈ V, ∀λ :∈ C : h(x, λy) = λh(x, y).




x1
y1




Beispiel. (1) Seien x =  ... , y =  ...  ∈ Cn . Wir definieren den komxn
yn


y1
P
 .. 
plex konjugierten Vektor y :=  .  und damit h(x, y) := xt y = ni=1 xi yi .
yn
P
P
Man beachte, dass dann h(x, x) = ni=1 xi xi = ni=1 |xi |2 ∈ R mit h(x, x) > 0
falls x 6= 0.
(Cn , h) ist ein hermitescher Raum und man nennt diese spezielle hermitesche
Form h auch das (hermitesche) Standardskalarprodukt auf Cn .
(2) Für A = (aij ) ∈ Mn (C) definieren wir die komplex konjugierte Matrix
A := (aij ) ∈ Mn (C).
Sei nun A ∈ Mn (C) mit A = At . Wir definieren nun hA (x, y) := xt Ay. Dies ist
eine HF auf Cn . Beispiel (1) ist ein Spezialfall hiervon für A = In .
(3) Sei V = {stetige Funktionen [a, b] → C} wobei [a, b] ⊆ R ein Interval ist.
Jedes f : [a, b] → C kann geschrieben werden als f (x) = f1 (x) + if2 (x) mit
f1 , f2 : [a, b] → R, und f ist stetig genau dann wenn f1 und f2 stetig sind.
Rb
Man definiert f (x) := f1 (x) − if2 (x) und für f ∈ V das Integral a f (x)dx :=
Rb
Rb
f (x)dx + i a f2 (x)dx.
a 1
1
Rb
Damit erhält man eine hermitesche Form h auf V mittels h(f, g) := a f (x)g(x)dx.
Rb
Für f (x) = f1 (x) + if2 (x) bekommt man damit h(f, f ) = a f1 (x)2 + f2 (x)2 dx,
insbesondere h(f, f ) ∈ R und wegen Stetigkeit h(f, f ) > 0 falls f 6≡ 0.
Bemerkung. Generell gilt in jedem HR (V, h) wegen h(x, x) = h(x, x), dass
h(x, x) ∈ R ∀x ∈ V .
Definition 4.4.3. Sei A ∈ Mn (C).
t
(i) Die zu A adjungierte Matrix ist definiert als A∗ := A .
(ii) A nennt man eine hermitesche Matrix falls A∗ = A.
Bemerkung 4.4.4. Seien A = (aij ), B ∈ Mn (C).
(i) A hermitesch ⇐⇒ A = At ⇐⇒ aii ∈ R ∀i und aij = aji ∀i 6= j.
3
1+i
Z.B. ist
eine hermitesche Matrix.
1−i
4
(ii) (AB)∗ = B ∗ A∗ , (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , und für alle λ ∈ C hat man
(λA)∗ = λA∗ .
Definition 4.4.5. (i) Ein HR (V, h) (bzw. die HF h auf V ) heißt positiv definit
falls h(x, x) > 0 für alle x ∈ V \ {0}. Ein unitärer Raum (UR) ist ein positiv
definiter HR.
(ii) Eine hermitesche Matrix A ∈ Mn (C) heißt positiv definit falls hA : Cn ×Cn →
C : (x, y) 7→ xt Ay eine positiv definite HF ist (siehe Bsp. (2) oben).
Analog definiert man negativ definit, positiv/negativ semidefinit.
Fakten 4.4.6. Alles, was für SBRs über R gesagt und gezeigt wurde, gilt i.W.
auch für HRs über C. Sei also (V, h) ein HR.
(1) Orthogonalität: x, y ∈ V sind orthogonal zueinander, x ⊥ y, falls h(x, y) = 0
(damit auch h(y, x) = 0, also y ⊥ x). Entsprechend definiert man S ⊥ T für
Teilmengen S, T ⊆ V .
Für S ⊆ V definiert man den zu S orthogonalen Unterraum S ⊥ = {x ∈ V | x ⊥
S} und das Radikal Rad(V, h) = V ⊥ .
(V, h) ist nicht-entartet falls Rad(V, h) = {0}.
(2) Angenommen dim V = n < ∞.
(i) Falls E : e1 , . . . , en eine Basis von V ist, so erhält man die Grammatrix
Gh,E = (h(ei , ej )) ∈ Mn (C), welche notwendigerweise eine hermitesche
Matrix ist: G∗h,E = Gh,E .
(V, h) ist nicht-entartet falls det Gh,E 6= 0.
2
(ii) Falls F : f1 , . . . , fn eine andere Basis ist, so gibt es ein S ∈ GLn (C) mit
S ∗ Gh,E S = Gh,F wobei S = MEF (idV ).
(V, h) lässt sich diagonalisieren,
d.h.

 es kann so eine Basis F gefunden wera1


..
den für die Gh,F = 
, eine Diagonalmatrix ist mit (notwendi.
an
gerweise) ai ∈ R (∗). So eine Basis heißt dann Orthogonalbasis von (V, h).
(iii) (V, h) ist genau dann positiv definit wenn in der Darstellung (∗) in (ii) alle
ai > 0.
(iv) Es gilt der Trägheitssatz von Sylvester.
(v) Falls (V, h) UR ist, so existiert eine Basis F von V mit Gh,F = In . So eine
Basis heißt dann Orthonormalbasis (ONB) von (V, h).
(3) Sei (V, h) ein UR. Man definiert für alle x ∈ V die Norm ||x|| =
Es gilt dann
p
h(x, x).
(i) ||x|| ≥ 0, und ||x|| = 0 genau dann wenn x = 0.
(ii) (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) ∀x, y ∈ V : |h(x, x)| ≤ ||x|| · ||y||.
(iii) (Dreiecksungleichung) ∀x, y ∈ V : ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
(iv) (Homogenität) ∀x ∈ V , ∀λ ∈ C: ||λx|| = |λ| · ||x||.
Definition 4.4.7. Sei (V, h , i) ein ER (K = R) oder ein UR (K = C), und
seien f, g ∈ EndK (V ).
(a) g heißt adjungiert zu f falls ∀x, y ∈ V gilt: hf (x), yi = hx, g(y)i. Man
schreibt dann g = f ad (diese Notation ist gerechtfertgit, da wir später
sehen werden, dass adjungierte Abbildungen eindeutig bestimmt sind).
(b) f heißt selbstadjungiert falls f = f ad .
(c) f heißt orthogonal (im Fall ER) bzw. unitär (im Fall UR) falls f bijektiv
und hf (x), f (y)i = hx, yi ∀x, y ∈ V .
Bemerkung 4.4.8. (1) Die Definition von orthogonalem f im Fall ER stimmt
überein mit der früheren Definition von orthogonalem f ∈ O(V, b) für einen
SBR (V, b) (4.3.3).
(2) f adjungiert zu g ⇐⇒ g adjungiert zu f .
3
(3) f orthogonal/unitär ⇐⇒ f ad = f −1 .
(4) Verknüpfung und Umkerhabbildungen von orthogonalen/unitären Abbildungen sind wieder orthogonale/unitäre Abbildungen.
Definition und Lemma 4.4.9. Sei (V, h) ein HR. Dann ist U(V, h) := {f ∈
EndC (V ) | f unitär} eine Gruppe unter der Verknüpfung von Abbildungen, genannt
unitäre Gruppe von (V, h).
Satz 4.4.10. Sei (V, h , i) ein ER (K = R) oder ein UR (K = C) mit dim V <
∞.
(a) Zu jedem f ∈ EndK (V ) existiert ein eindeutiges g ∈ EndK (V ) mit g =
f ad .
(b) Seien f, f1 , f2 ∈ EndK (V ) und λ ∈ K. Dann gilt
• (f1 ◦ f2 )ad = f2ad ◦ f1ad ,
• (f1 + f2 )ad = f1ad + f2ad ,
• (λf )ad = λf ad .

s1


Satz 4.4.11. Sei S = (sij ) = (s~1 . . . s~n ) =  ...  ∈ Mn (C) mit Spalten s~i
sn
und Zeilen si . Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) S ∗ S = In ;
(ii) SS ∗ = In ;
(iii) s~1 , . . . , s~n ∈ Cn bildet eine ONB bzgl. des hermiteschen Standardskalarprodukts h , i auf Cn ;
(iv) s1 t , . . . , sn t bildet eine ONB bzgl. des hermiteschen Standardskalarprodukts h , i auf Cn ;
(v) Die Abbildung LS : Cn → Cn : x 7→ Sx ist unitär bzgl. des hermiteschen
Standardskalarprodukts h , i auf Cn ;
(vi) Sei (V,P
h) ein UR, dim V = n und e1 , . . . , en eine ONB von (V, h). Sei
fj := ni=1 sij ei , 1 ≤ j ≤ n. Dann ist f1 , . . . , fn auch eine ONB von
(V, h).
4
Eine Matrix S ∈ Mn (C) mit obigen Eigenschaften heißt unitär. Un (C) = {S ∈
Mn (C) | S unitär} ist eine Gruppe unter der Matrizenmultiplikation, genannt
unitäre Gruppe von C in Dimension n oder vom Grad n.
Lemma 4.4.12. Sei V ein K-Vektorraum (K beliebig), f ∈ EndK (V ) bijektiv
mit Umkehrabbildung f −1 , und sei U ⊆ V ein f -invarianter Untervektorraum
mit dim U < ∞. Dann ist U auch f −1 -invariant.
Lemma 4.4.13. Sei (V, h , i) ein ER (K = R) oder ein UR (K = C) mit
dim V < ∞. Sei U ⊆ V ein f -invarianter Untervektorraum. Dann ist U ⊥ ein
f ad -invarianter Untervektorraum.
Satz 4.4.14 (Spektralsatz). (a) Seien (V, h , i) ein UR mit dim V < ∞, und
f ∈ EndC (V ) selbstadjungiert oder unitär. Dann existiert eine ONB von (V, h , i)
bestehend aus Eigenvektoren von f . Insbesondere ist f diagonalisierbar.
(b) Die Eigenwerte eines unitären f ∈ EndC (V ) bzgl. (V, h , i) haben Betrag 1.
Die Eigenwerte eines selbstadjungierten f ∈ EndC (V ) bzgl. (V, h , i) sind reell.
Korollar 4.4.15. Sei A ∈ Mn (C) eine hermitesche Matrix, d.h. A∗ = A. Dann
existiert eine unitäre Matrix S ∈ Mn (C) (d.h. S invertierbar und S ∗ = S −1 )
sodass S ∗ AS = S −1 AS diagonal ist.
Satz 4.4.16 (Reller Spektralsatz). Sei (V, h , i) ER mit dim V < ∞, und sei
f ∈ EndR (V ) selbstadjungiert bzgl. (V, h , i). Dann existiert eine ONB von
(V, h , i) bestehend aus Eigenvektoren von f . Insbesondere ist f diagonalisierbar.
Damit erhält man wieder Satz 4.3.6:
Korollar 4.4.17 (Satz 4.3.6). Sei A ∈ Mn (R) symmetrisch, d.h. A = At .
Dann existiert S ∈ On (R) mit S t AS = S −1 AS diagonal. Insbesondere zerfällt
das charakteristische Polynom PA (X) ∈ R[X] in Linearfaktoren über R und
damit sind alle Eigenwerte reell.
Korollar 4.4.18. Sei A ∈ Mn (R) eine symmetrische Matrix, d.h. A = At , und
sei bA : Rn × Rn → R : bA (x, y) = xt Ay; oder sei A ∈ Mn (C) eine hermitesche
Matrix, d.h. A = A∗ , und sei hA : Cn × Cn → C : hA (x, y) = xt Ay
(i) ∃λ1 , . .Q
. , λn ∈ R (nicht notwendigerweise verschieden) mit PA (X) =
n
n
(−1)
i=1 (X − λi ).
(ii) Es existiert eine Orthogonalbasis
E vonbA bzw. hA sodass GbA ,E bzw.

Ir+
, r+ , r− , r0 ∈ N0 , ist (mit Nullen
−Ir−
GhA ,E von der Gestalt 
0r0
5
außerhalb der Blöcke, wobei 0r0 die r0 × r0 Nullmatrix ist). Das Tripel
(r+ , r− , r0 ) (aus dem Sylvesterschen Trägheitssatz) berechnet sich dabei
wie folgt:
r+ = |{i | λi > 0}|
r− = |{i | λi < 0}|
r0 = |{i | λi = 0}|
6