Übungen zur Vorlesung ``Mathematische Konzepte I - ICMM-CSIC

WS 2008/09
Blatt 1
Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte I“
Informationen zur Vorlesung sowie die Übungsaufgaben und das Skript finden Sie unter
http://www.physik.uni-augsburg.de/~sigmund/lehre/mk08
Login: mk08, Passwort: gauss
Aufgabe 1: Kräfte auf Pendel
~
ey
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
~
ex
~S
F
ϕ
L
~
eϕ
11
00
00
11
m
00
11
~
er
~G
F
Wir betrachten ein Pendel der Länge L, das in
der x-y-Ebene um den Winkel ϕ ausgelenkt
ist und sich in Ruhe befindet. Auf die Masse
~G = −mg~
m wirken die Gewichtskraft F
e y und
eine von der (massenlosen) Stange ausgeübte
~S . Letztere sorgt dafür, dass der Abstand
Kraft F
zwischen dem Aufhängepunkt und dem Massenmittelpunkt immer gleich ist.
a) Bestimmen Sie den Vektor ~
r vom Aufhängepunkt zum Massenmittelpunkt in der
Basis {~
e x ,~
e y }. Durch Normieren erhalten
Sie den radialen Basisvektor ~
er .
b) Der Basisvektor ~
e ϕ ist zu ~
e r orthogonal.
Welche Beziehung folgt daraus. Bestimmen
Sie ~
eϕ.
~G + F
~S muss senkrecht auf der Radialrichtung stehen (warum?). Formuc) Die Gesamtkraft F
lieren Sie diese Bedingung als Skalarprodukt, und bestimmen Sie daraus den Betrag der
~S .
Kraft F
d) Zerlegen Sie die Gewichtskraft in die Basis {~
e r ,~
e ϕ }.
e) Was ergibt sich aus den beiden vorigen Teilaufgaben für die Gesamtkraft? Bestimmen Sie
die Komponenten dieser Kraft in der Basis {~
e r ,~
e ϕ }.
Aufgabe 2: Schmidt’sches Orthogonaliserungsverfahren (schriftlich)
Aus der Menge d -dimensionaler Vektoren {~
a i }, i = 1, 2, . . . , n ≤ d , sollen paarweise orthogonale, normierte Vektoren {~
e i } berechnet werden. Dies lässt sich durch das Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren erreichen, das durch die Vorschrift
~
bj = ~
aj −
jX
−1
i =1
(~
ei · ~
a j )~
ei ,
~
bj
~
ej = q
~
b j ·~
bj
definiert ist.
a) Veranschaulichen Sie die Funktionsweise des Orthogonalisierungsverfahrens graphisch
mit Hilfe eines zweidimensionalen Beispiels.
b. w.
b) Zeigen Sie, dass die Vektoren {~
e i } paarweise orthogonal und normiert sind, d.h. zeigen Sie
die Relation
~
e i ·~
e j = δi j .
c) Führen Sie das Orthogonalisierungsverfahren mit den Vektoren
 
1

~
a 1 = 0
1
 
1

~
a 2 = 1
1
durch.
d) Was ändert sich, wenn man den Vektor ~
a 3 durch
 
2
0

~
a 3 = 1
2
ersetzt? Wie lässt sich dies erklären?
 
2

~
a 3 = 2
1
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Blatt 2
Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte I“
Aufgabe 3: Vektorgeometrie
~
a
Zeigen Sie mit Hilfe des Vektorprodukts den
Sinussatz
~
b
γ
β
sin α sin β
sin γ
=
=
.
|~
a|
|~
b|
|~
a −~
b|
α
Aufgabe 4: ²-Tensor
Für den ²-Tensor gilt ²123 = 1 = −²321 und zyklisch, sowie ²i j k = 0 falls nicht alle Indizes verschieden sind. Wir betrachten hier einige Eigenschaften des ²-Tensors, die in Rechnungen
häufig verwendet werden.
a) Verifizieren Sie für einige Kombinationen der Indizes j , k, l , m die Beziehung
²i j k ²i l m = δ j l δkm − δ j m δkl .
(1)
b) Zeigen Sie mit Hilfe von Gleichung (1) die Relationen
²i j k ²i j l
= 2δkl
²i j k ²i j k
= 6
Beachten Sie die Summenkonvention, unter der in drei Dimensionen gilt: δi i = 3 (=
P3
i =1 δi i ).
Aufgabe 5: Kreuzprodukt (schriftlich)
Das Kreuzprodukt ~
c =~
a ×~
b lässt sich mit Hilfe des ²-Tensors komponentenweise schreiben:
c i = ²i j k a j b k
(Summenkonvention!)
Zeigen Sie mit Hilfe dieser Darstellung folgende Beziehungen:
a) ~
a ⊥~
a ×~
b
b) |~
a ×~
b| = |~
a ||~
b| sin ϕ,
wobei ϕ der von den Vektoren ~
a und ~
b eingeschlossene Winkel ist, so dass ~
a ·~
b = |~
a ||~
b| cos ϕ.
2
2
2
2
Zeigen Sie zunächst, dass |~
a ×~
b| = |~
a | |~
b| − (~
a ·~
b) .
c) ~
a × (~
b ×~
c ) +~
b × (~
c ×~
a ) +~
c × (~
a ×~
b) = 0 (Jacobi-Identität)
Verwenden Sie die Symmetrieeigenschaften des ²-Tensors sowie Formel (1) aus Aufgabe 4.
Aufgabe 6: Drehimpuls
~ definiert, wobei ~
~ = m~
Der Drehimpuls eines Punktteilchens ist durch ~
L =~
r ×p
r und p
v Ort
und Impuls des Teilchens sind.
~ aus.
a) Drücken Sie |~
L|2 mit Hilfe des Skalarprodukts der Vektoren ~
r und p
b) Bewegt sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit ~
v 0 , so gilt für seinen Ort: ~
r (t ) =
2
~
~
~
r0 + ~
v 0 t . Wie verhalten sich dann L und |L| als Funktion der Zeit t ?
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Blatt 3
Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte I“
Aufgabe 7: Orthogonale Matrizen I
Eine reelle Matrix
D=
heißt orthogonal, falls
k D ki D k j
P
µ
D 11
D 21
D 12
D 22
¶
= δi j .
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Orthogonalitätsbedingung die Komponenten von D in Abhängigkeit von D 11 . Beachten Sie beim Auflösen von quadratischen Gleichungen die verschiedenen möglichen Vorzeichen.
b) Diskutieren Sie die Spezialfälle D 11 = 0 und D 11 = 1. Welchen Transformationen ~
r 0 = D~
r
entsprechen diese?
Aufgabe 8: Orthogonale Matrizen II
Entscheiden Sie, ob folgende Matrizen orthogonal sind:

cos φ sin φ cos φ
sin2 φ
cos2 φ
sin φ cos φ
a) A = − sin φ
0
− sin φ
cos φ

b) B = D 1 D 2 und C = D 1 D 2 D 3 , mit den Drehmatrizen D 1 , D 2 und D 3
Aufgabe 9: Differenzieren von Funktionen einer Variablen (schriftlich)
Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
a) f (x) = sin(x)
Gehen Sie von der Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten aus
und verwenden Sie das Additionstheorem sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y).
Bestimmen Sie die Ableitung von cos(x) entsprechend mit Hilfe des Additionstheorems
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y).
Hinweis: Für Sinus und Kosinus gelten die Grenzwerte lim²→0 sin(²)
² = 1 = lim²→0 cos(²).
b) f (x) = tan x =
sin x
cos x
c) f (x) = arctan x
Der Arcustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens, d.h. y = arctan(x) ⇔ x = tan(y)
p
d) f (x) = ln( x + 1)
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Blatt 4
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Aufgabe 10: Taylor-Entwicklung (schriftlich)
Entwickeln Sie die folgenden Ausdrücke nach x um x = 0 bis zur angegebenen Ordnung
O (x n ), d.h. die höchste Potenz der Entwicklung soll proportional zu x n sein.
a) ln(1 + x) und ln(2 + x) bis O (x 3 )
b)
ex − 1
ex − 1
und
bis O (x 3 )
x
ex
1 + 3x
bis O (x 2 )
(1 + x)3
p
p
cos ax − cos bx
d)
bis O (x 0 ), d.h. berechnen Sie limx→0 (. . .) mit Hilfe der Taylor-Entwicklung
x2
c)
e)
1
1
− bis O (x 1 )
sin x x
[Ergebnis: x/6]
Aufgabe 11: Integrale
Berechnen Sie die unbestimmten Integrale
Z
a)
x 2 cos(x)dx
b)
Z
2
x e−αx dx. Diskutieren Sie den Limes α → 0.
Aufgabe 12: Euler’sche Formel
Zeigen Sie mit Hilfe der Reihendarstellung von Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus die
Euler’sche Formel
eix = cos(x) + i sin(x).
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Blatt 5
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Aufgabe 13: Laplace-Transformation (schriftlich)
Für eine auf dem Intervall [0, ∞) definierte Funktion f heißt
Z ∞
φ(s) :=
dt e−st f (t )
0
Laplace-Transformierte von f . Berechnen Sie diese für die folgenden Funktionen:
a) f (t ) = c = konstant
b) f (t ) = t
c) f (t ) = eαt
d) f (t ) = t eαt
Aufgabe 14: Integrale II (schriftlich)
Berechnen Sie die Integrale
Z 1
¡
¢
a) I 1 =
1 + esin αx − e− sin αx dx
−1
Skizzieren Sie zunächst den Integranden und nützen Sie dessen Symmetrieeigenschaften
aus.
Z y
1+x
dx p
b) I 2 =
0
1 + x2
Aufgabe 15: Schraubenlinie
Die Bewegung eines Massenpunktes entlang einer Schraubenlinie ~
r (t ) ist durch die Komponenten
x(t ) = R cos(ωt )
y(t ) = R sin(ωt )
z(t ) = bt
gegeben.
a) Bestimmen Sie den Betrag v der Geschwindigkeit ~
v =~
r˙.
b) Um den Massenpunkt auf der Schraubenlinie zu halten, muss nach Newton eine Kraft
~ = m~
~ =~
F
r¨ wirken. Berechnen Sie diese. Schreiben Sie Ihr Ergebnis als Kreuzprodukt F
v ×~
c,
d.h. bestimmen Sie den (konstanten) Vektor ~
c.
c) Berechnen Sie die Länge einer Windung. Parametrisieren Sie dazu die Schraubenlinie auf
Bogenlänge.
d) Bestimmen Sie das begleitende Dreibein {~t (s),~
n (s),~
b(s) = ~t × ~
n } und den Krümmungsradius ρ = 1/|d~t /ds|.
e) Berechnen Sie die Torsion τ mit Hilfe der Beziehung d~
b(s)/ds = −τ~
n (s). Für welche Ganghöhe wird die Torsion maximal?
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Blatt 6
Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte I“
Aufgabe 16: Beschleunigte Rotation
Wir betrachten die Transformation in ein mit nicht konstanter Winkelgeschwindigkeit um
die z-Achse rotierendes Bezugssystem. Der zeitabhängige Drehwinkel φ(t ) soll dabei eine
beliebige Funktion der Zeit sein.
a) Wie lautet die Zeitableitung (d/dt )rot im rotierenden Bezugssystem? Verallgemeinern Sie
Ihr Egebnis für eine beliebige Rotationsachse.
b) Bestimmen Sie die transformierte Newton’sche Bewegungsgleichung?
Hinweis: Gehen Sie wie in der Vorlesung vor, und beachten Sie dass jetzt im Allgemeinen gilt:
φ̈(t ) 6= 0.
Aufgabe 17: Kugelsymmetrisches Potential (schriftlich)
Wir betrachten das skalare Feld φ(~
r ) = r α mit α ∈ R und r = |~
r|=
p
x 2 + y 2 + z 2.
a) Berechnen Sie das Vektorfeld ~
f = − grad φ.
b) Zeigen Sie durch explizites Nachrechnen, dass gilt: rot ~
f = 0.
Eine physikalische Variante dieses Problems behandelt eine Zentralkraft
~
r
~ (~
F
r ) = F (r ) ,
r
das heißt eine Kraft, die in Richtung eines Kraftzentrums (hier: Ursprung) wirkt und deren
Betrag F nur vom Abstand r zum Kraftzentrum abhängt.
~ eine Potentialkraft ist, d.h. dass für jedes beliebige F (r )
c) Zeigen Sie, dass die Zentralkraft F
~ = 0.
gilt: rot F
~ = − grad φ. Zeigen Sie,
d) Die Kraft lässt sich somit als Gradient eines Potentials schreiben: F
dass ein kugelsymmetrisches Potential φ(r ), also eines das nur vom Abstand zum Kraftzentrum abhängt, auf eine Zentralkraft führt. Wie hängen φ(r ) und F (r ) zusammen?
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Blatt 7
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Aufgabe 18: Hénon-Heiles-Potential
Im Zusammenhang mit Untersuchungen zur Sterndynamik haben Michel Hénon und Carl
Heiles 1964 ein Potenital der Form
1
1
V (x, y) = (x 2 + y 2 ) + x 2 y − y 3
2
3
betrachtet. Im Folgenden soll dessen Struktur untersucht werden.
a) Zeigen Sie, dass sich die Form des Potentials bei einer Drehung um 120◦ um den Urpsrung
nicht ändert.
b) Berechnen Sie den Gradienten des Potentials.
c) An den Gleichgewichtspunkten des Potentials gilt gradV (x, y) = 0. Bestimmen Sie die Lagen der (vier) Gleichgewichtspunkte und die zugehörigen Werte des Potentials.
d) An drei der vier Gleichgewichtspunkte nimmt das Potential den gleichen Wert an. Zeigen
Sie, dass Geraden durch diese Punkte Äquipotentiallinien sind, d.h., dass dort das Potential konstant ist.
e) Entwickeln Sie das Potential an den Pukten (0, 0) und (0, 1) für kleine Abweichungen. Was
lässt sich aus der Form des genäherten Potentials über die Stabilität sagen?
f) Skizzieren Sie anhand der bisher erhaltenen Ergebnisse die Äquipotentiallinien des HénonHeiles-Potentials.
Aufgabe 19: Skalares Potential (schriftlich)
Welche der folgenden Vektorfelder sind Gradientenfelder? Bestimmen Sie, falls möglich, ein
skalares Potential.






2x sin(y z)
x−y
z+y
~
~
~
h(~
r ) =  x 2 z cos(y z)
g (~
r ) = y + x
f (~
r ) = y − z
z −x
z +x
x 2 y cos(y z)
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Blatt 8
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Aufgabe 20: Kurvenintegrale
Gegeben seien die Kurven

0
K 1 :~
r (t ) = 1 − cos t  , t = 0 . . . π/2
sin t

und
 
0
K 2 :~
r (t ) =  t  , t = 0 . . . 1
t
Berechnen Sie für die Vektorfelder aus Aufgabe 19 die Kurvenintegrale
Z
Z
~
~
f · d~
r und
g · d~
r.
Ki
Ki
Aufgabe 21: Ellipse
Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b ist die Menge aller Punkte (x, y), für die gilt:
x2 y 2
+
= 1.
a2 b2
Berechnen Sie die von der Ellipse umschlossene Fläche.
Aufgabe 22: Trägheitsmomente (schriftlich)
~
ez
Das Trägheitsmoment eines starren Körpers K
mit konstanter Massendichte ρ 0 lautet bei Rotation um die z-Achse
Z
2
Θ = d3V r ⊥
ρ0 ,
r⊥
dm = ρ 0 d3V
K
wobei r ⊥ Abstand eines Volumenelements zur
z-Achse ist.
~
ex
Berechnen Sie das Trägheitsmoment Θ für
a) einen Zylinder mit Raduis R, Höhe h und Symmetrieachse auf der z-Achse,
b) eine Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung.
Berechnen Sie jeweils die Masse
m=
Z
d3V ρ 0
des Körpers, und substituieren Sie in Ihrem Ergebnis die Dichte ρ 0 durch die Masse. Verwenden Sie zur Integration Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten.
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Blatt 9
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Aufgabe 23: Extrema unter Nebenbedingungen (schriftlich)
Die Methode der Langrange-Multiplikatoren lässt sich auf Funktionen von mehr als zwei Variablen verallgemeinern: Das Extremum einer Funktion φ(x 1 , . . . , x n ) unter der Nebenbedingung b(x 1 , . . . , x n ) = 0 stimmt mit dem Extremum von
F (x 1 , . . . , x n , λ) = φ(x 1 , . . . , x n ) + λb(x 1 , . . . , x n )
überein. Bestimmen Sie damit die Extremwerte folgender Funktionen unter der jeweils angegebenen Nebenbedingung:
a) φ(x, y, z) = x + y + z unter
1
x2
+ y12 + z12 = 1 im Bereich x, y, z ≥ 0
b) φ(x 1 , . . . , x n ) = x 12 x 22 . . . x n2 auf der Oberfläche einer n-dimensionalen Einheitskugel
Aufgabe 24: Dyadisches Produkt
Gegeben seien die Einheitsvektoren ~
e1 =
p1 (1, 0, 1)T
2
und ~
e2 =
p1 (−1,
4
p
2, 1)T .
a) Bestimmen Sie den Vektor ~
e 3 so, dass {~
e 1 ,~
e 2 ,~
e 3 } eine rechtshändige, kartesische Basis bildet.
b) Berechnen Sie die drei Projektoren P k auf die Basisvektoren~
e k , und zeigen Sie die Relation
P
P
=
1
(Vollständigkeit
der
Basis).
k k
c) Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass P 3 die grundlegende Projektoreigenschaft P 2 =
P erfüllt.
Aufgabe 25: Austauschlemma
Beweisen Sie das sogenannte Austauschlemma: Sind die n Vektoren ~
v 1 , . . . ,~
v n linear unabP
hängig, und ist ~
b = nk=1 λk ~
v k eine Linearkombination der ~
v k mit λ1 6= 0, dann gilt: Die Vektoren ~
b,~
v 2 , . . . ,~
v n sind linear unabhängig.
P
Zeigen Sie also, dass die Gleichung µ1~
b + nk=2 µk ~
v k = ~0 unter den genannten Voraussetzungen nur die triviale Lösung µ1 = . . . = µn = 0 besitzt.
Bemerkung: Anschaulich bedeutet das Austauschlemma, dass man in einem Satz linear unabhängiger Vektoren einen Vektor ~
v k durch einen zu ~
v k nicht orthogonalen Vektor ersetzen
kann, ohne dass die lineare Unabhängigkeit verloren geht.
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Aufgabe 26: Determinanten (schriftlich)
a) Berechnen Sie die folgenden Determinanten:
¯
¯
¯
¯
¯2 3
¯ 4 1 −1 −3¯
4
2 ¯¯
¯
¯
¯
¯0 5
¯3 2 5
0
1 ¯¯
1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯3 −2 −3 0 ¯
¯9 3 7
1¯
¯
¯
¯
¯
¯1 2 −1 −5¯
¯−1 1 4
2¯
¯
¯ 0
¯
¯a
¯ 21
¯
¯ 0
¯
¯ 0
a 12
a 22
0
0
a 13
a 23
a 33
0
¯
a 14 ¯¯
a 24 ¯¯
¯
a 34 ¯
¯
a 44 ¯
b) Verifizieren Sie den Multiplikationssatz für Determinanten mit Hilfe der Matrizen
2 −3
A=
4 5
µ
¶
µ
¶
1 −1
B=
2 1
c) Berechnen Sie die Determinante
¯
¯ 0
¯
¯−a 12
¯
¯−a
13
a 12
0
−a 23
¯
a 13 ¯¯
a 23 ¯¯
0 ¯
Was lässt sich allgemein über Determinanten antisymmetrischer n × n-Matrizen sagen?
Aufgabe 27: Cramer’sche Regel
a) Zeigen Sie die Gültigkeit der sogenannten Cramer’schen Regel: Es sei A = (~
a 1 , . . . ,~
a n ) eine
n
~
~
invertierbare n × n-Matrix und b ∈ R . Dann hat das Gleichungssystem A~
x = b die Lösung
xi =
1
det(~
a 1 , . . .~
a i −1 ,~
b,~
a i +1 , . . . ,~
a n ).
det A
(1)
Hinweis: Setzen Sie ~
b = A~
x in Gleichung (1) ein und zeigen Sie deren Richtigkeit mit Hilfe
der Rechenregeln für Determinanten.
b) Verifizieren Sie die Cramer’sche Regel für das Gleichungssystem

 
1 2 3
6
2 1 0  ~
x =  3 .
1 0 2
−1

Aufgabe 28: Lineare Abhängigkeit
Gegeben seien die n linear unabhängigen Vektoren ~
a 1 , . . . ,~
a n ∈ Rn sowie die Linearkombination
~
a 1 + . . . + αn ~
an .
b = α1~
Beweisen Sie: Die Vektoren ~
b −~
a 1 , . . . ,~
b −~
a n sind linear abhängig ⇔ α1 + α2 + . . . + αn = 1.
Hinweis: Betrachten Sie die Determinante |~
b −~
a 1 ,~
b −~
a 2 , . . . ,~
b −~
a n |, und bringen Sie diese
zunächst auf die Form | − ~
a1 + ~
a 2 , −~
a2 + ~
a 3 , . . . , −~
a n−1 + ~
a n , (α1 + α2 + . . . + αn − 1)~
a n |.
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Blatt 11
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Aufgabe 29: Lineares Gleichungssystem
Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit des linearen Gleichungssytems
x1
3x 1
4x 1
2x 1
+
3x 2
+
9x 2
+ 12x 2
+
6x 2
−
−
−
+
4x 3
2x 3
6x 3
2x 3
+
3x 4
− 11x 4
−
8x 4
− 14x 4
=
9
=
−3
=
6
= −12 .
Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus.
Aufgabe 30: Matrixinversion (schriftlich)
Bestimmen Sie die Inversen der Matrizen
1 2 −3
A = −1 1 1 
0 1 0


p 
2
0
−2 3
p 
1
2
3 
B=  3
p
p
4
3 −2 3
1

1
1
2
C= 
2 0
−3

Entscheiden Sie, welche dieser Matrizen orthogonal sind.
Aufgabe 31: 3 × 3-Matrix
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

1 2 1
A = 2 1 1  .
1 1 2

Fröhliche Weihnachten und viel Erfolg im neuen Jahr!
3
5
4
1

−1 4
−1 3 


−3 1 
−5 −2
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Blatt 12
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Aufgabe 32: Hauptachsentransformation (schriftlich)
Gegeben sei die quadratische Form
q(x 1 , x 2 ) = 2x 12 + 4x 1 x 2 + 5x 22 .
a) Skizzieren Sie die Punkte (x 1 , x 2 ) mit q(x 1 , x 2 ) = 1.
b) Führen Sie mit q eine Hauptachsentransformation durch, d.h. bringen Sie q auf die Diagonalform αy 12 + βy 22 , mit ~
y = D~
x . Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(1) Schreiben Sie q(x 1 , x 2 ) mit Hilfe einer symmetrischen Matrix A als ~
x T A~
x.
(2) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
(3) Normieren Sie die Eigenvektoren und geben Sie die Transformationsmatrix D an, die
A diagonalisiert.
(4) Schreiben Sie q als Funktion der neuen Variablen ~
y.
c) Tragen Sie die Eigenvektoren von A in Ihre Skizze ein.
Aufgabe 33: Simultane Hauptachsentransformation
Entscheiden Sie, ob die Matrizen

1 1 −2
A= 1 1 2 
−2 2 2


1 2 −1
und B =  2 1 1 
−1 1 0

gemeinsame Eigenvektoren besitzen. Bestimmen Sie dann die Eigenvektoren von A und B .
Aufgabe 34: Ähnliche Matrizen
Zwei quadratische Matrizen A und A 0 werden als ähnlich bezeichnet, wenn eine invertierbare
Matrix S existiert, so dass A 0 = S −1 AS.
Zeigen Sie, dass für zueinander ähnliche Matrizen A and A 0 gilt:
a) det A = det A 0 .
b) A und A 0 besitzen dieselben Eigenwerte, d.h. ist λ Eigenwert von A, dann auch von A 0 .
c) Sp A = Sp A 0 , wobei die Spur einer Matrix als die Summe ihrer Diagonalelemente definiert
P
ist, also Sp A = i A i i .
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Blatt 13
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Aufgabe 35: Komplexes Eigenwertproblem (schriftlich)
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix


−1 i 0
 −i 0 i  .
0 −i 1
Aufgabe 36: Kompaktion (schriftlich)
Bekanntermaßen verdichtet sich Kaffeepulver unter hinreichend starkem Rütteln. Für die relative Abweichung A = 1 − ρ/ρ max von der maximalen Dichte gilt näherungsweise
Ȧ = −a A 2 e1−1/A .
Dabei beschreibt der Faktor −a A 2 die sogenannte Hohlraumdiffusion und der Term mit der
Exponentialfunktion die kollektive Reorganisation.
a) Lösen Sie die Differentialgleichung für die Anfangsbedingung A(0) = 1.
b) Näheren Sie Lösung A(t ) für kleine und für große Zeiten, also für t ¿ 1/a und t À 1/a,
und skizzieren Sie A(t ).
Hinweis: Bei der Integration ist die Substitution u = 1 − 1/A hilfreich.
Aufgabe 37: Fallschirmspringer
Auf einen Fallschrimspringer mit Masse m wirkt die Schwerkraft mg und eine geschwindigkeitsabhängige Luftreibung F = −R(v). Die Geschwindigkeit v(t ) = ẋ(t ) gehorcht also der
Bewegungsgleichung
m v̇ = mg + R(v).
Lösen Sie die Bewegungsgleichung für die Anfangsbedingung v(0) = 0 durch Separation der
Variablen für folgende Reibungskräfte:
a) Bei offenem Fallschirm ist die Luftströmung laminar und die Reibung proportional zur
Geschwindigkeit, also R(v) = −γv.
b) Ist der Fallschirm geschlossen und die Strömung daher turbulent, gilt näherungsweise:
R(v) = −αv 2 .
R
Hinweis: Im zweiten Fall lässt sich ein Integral durch Substitution auf die Form dx/(1 − x 2 )
bringen. Die zugehörige Stammfunktion ist Artanh(x), also die Umkehrfunktion von tanh(x) =
(ex − e−x )/(ex + e−x ).
Aufgabe 38: Exakte Differentialgleichung
Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung
1 + x 2 + 2t x ẋ = 0
exakt ist und bestimmen Sie deren Potential F (x(t ), t ). Geben Sie die Lösungsgesamtheit der
Differentialgleichung an.
WS 2008/09
Blatt 14
Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte I“
Aufgabe 39: Lineare Differentialgleichungen (schriftlich)
Bestimmen Sie für folgende Differentialgleichungen ein Fundamentalsystem.
a) ẍ − 5ẋ + 6x = 0
...
b) x − ẍ = 0
...
c) x − x = 0


1 0 2
d) ~
x˙ = 0 1 0 ~
x
2 0 1
Aufgabe 40: Getriebenes freies Teilchen mit Reibung
Ein Teilchen bewege sich unter dem Einfluss einer Reibungskraft −mγv und einer oszillierenden Kraft F = F 0 cos(ωt ). Seine Geschwindigtkeit gehorcht dann der Bewegungsgleichung
m v̇ + mγv = F 0 cos(ωt ).
Lösen Sie diese Bewegungsgleichung für die Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0. Bestimmen
Sie zunächst die Lösung der homogenen Gleichung, und verwenden Sie als Ansatz für eine
partikuläre Lösung die homogene Lösung mit variierter Konstante.
Aufgabe 41: Harmonischer Oszillator im aperiodischen Grenzfall
Die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators lässt sich für die Dämpfung γ = 2ω0
auf die Form
ẍ + 2ẋ + x = g (t )
bringen, wobei g (t ) eine skalierte Kraft ist. Lösen Sie diese Differentialgleichung für g (t ) = t .
a) Bestimmen Sie zunächst ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung.
b) Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung x p (t ) durch geschicktes Probieren.
c) Um eine partikuläre Lösung systematisch zu finden, können Sie wie in der Vorlesung vorgehen und die Green’sche Funktion der Differentialgleichung bestimmen. Stellen Sie dann
x p (t ) als Integral über die Green’sche Funktion und die Inhomogenität dar, und berechnen
Sie dieses.