Ubungen zur Vorlesung Numerik gew ¨ohnlicher

Übungen zur Vorlesung
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 5
18.11.2016
PD Dr. Thorsten Hüls
Abgabe: Freitag, 25.11.2016, 10:00 Uhr in das Postfach 128 in V3-128
Tutor: Christian Döding, [email protected]
Aufgabe 13:
Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
u′ = f (t, u),
u(t0 ) = u0 ,
f ∈ C3(
R × Rn, Rn).
(1)
(i) Geben Sie ein Gleichungssystem für die Koeffizienten α1 , α2 , β1,1 , β2,1 , β2,2 , γ1 , γ2
an, so dass das durch das Tableau
α1
α2
β1,1
β2,1
0
β2,2
γ1
γ2
bestimmte Runge-Kutta-Verfahren bei Anwendung auf (1) die Konsistenzordnung 3 besitzt.
(ii) Berechnen Sie für γ1 = γ2 = 12 eine Lösung des Systems aus (i), wobei zusätzlich Bedingung (5) aus Aufgabe 15 zu erfüllen ist.
(6 Punkte)
Aufgabe 14:
Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
u′ = t − u3 ,
u(0) = 1.
(2)
Schreiben Sie ein M ATLAB-Programm, das die Lösung von (2) im Intervall [0, 50]
numerisch approximiert. Verwenden Sie ein äquidistantes Zeitgitter mit der Schrittweite h = 0.1 und die folgenden Verfahren:
(a) das explizite Euler-Verfahren,
(b) das implizite Euler-Verfahren,
(c) das klassische Runge-Kutta-Verfahren.
Zeichnen Sie die numerischen Approximationen im Bereich [0, 50] × [−3, 5] aussagekräftig und erklären Sie die auftretenden numerischen Artefakte.
Hinweis: Verwenden Sie das Newton-Verfahren zur Lösung der in (b) auftretenden impliziten Gleichungen.
(6 Punkte)
Aufgabe 15:
Gegeben sei die nichtautonome Anfangswertaufgabe
u(t0 ) = u0 ,
u′ = f (t, u),
Sei

1


v2

g(v) =    ..
f v1 ,  .
vn+1
f ∈ C(




 ,

R × Rn, Rn).
für
v∈
(3)
Rn+1.
(A) Zeigen Sie: ū löst (3) genau dann, wenn
t
v̄(t) =
ū(t)
die autonome Anfangswertaufgabe
t
v(t0 ) = 00
u
′
v = g(v),
(4)
löst.
(B) Gegeben sei ein konsistentes, implizites Runge-Kutta-Verfahren der Stufe m,
dessen Koeffizienten die Bedingung
m
X
βi,j = αi ,
i = 1, . . . , m
(5)
j=1
erfüllen. Zusätzlich wird angenommen, dass die auftretenden impliziten Gleichungen eindeutig lösbar sind.
Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei h ein Schrittweitenvektor und
uj ,
j = 0, 1, . . .
die zugehörige Runge-Kutta-Approximation der Lösung von (3). Dann ist
t
j
v = jj , j = 0, 1 . . .
u
die Runge-Kutta-Approximation der Lösung von (4) zum gleichen Schrittweitenvektor.
(6 Punkte)